Resolução - 1EE - 2014.01

(1)

Avaliação - 2014.01 - 1EE

Universidade de Pernambu o

Es ola Polité ni a de Pernambu o

Prin ípios de Comuni ação - 1

o.

Exer í io Es olar

Prof. Már io Lima

Data: 21.05.2014

OBS:Todososdesenvolvimentosdevemserdemonstradosnaprova.

Questão 01. (2,0pt)

a. (1,0)Determineapotên iadosinal

x(t) = C sin (ω

0

t + θ)

.

b. (1,0)NaFigura8.28,expresseossinais

x

1

(t)

,

x

2

(t)

,

x

3

(t)

,

x

4

(t)

e

x

5

(t)

em termosdosinal

x(t)

esuasversõesdeslo amentonotempo,es alonamento notempoourevertidasnotempo.

Figura8.27:

Resolução

a. (1,0)Sabe-seque

x(t) = C sin (ω

0 t + θ)

eaAEnergiadeumsinalperiódi oédenida omo:

E

T

0 ,

Z

T

0 |x(t)|

2 dt;

(2)

Também,aPotên iadeumsinalperiódi oédenida omo:

P

T

0 ,

E

T

0 T

0 =

1 T

0 Z

T

0 |x(t)|

2 dt;

emque

T

0

éoperíodofundamentaldosinal. Assim,deseja-se al ular,

E

T

0 ,

Z

T

0 |x(t)|

2 dt;

=

Z

T

0 |C sin (ω

0 t + θ)|

2 dt;

= C

2 Z

T

0 sin

2 (ω

0 t + θ)dt;

omo

sin

2 _(ω

0 t + θ) = 1 − cos

2 (ω

0 t + θ)

e

cos

2 _(ω

₀

_{t + θ) =}

1

2 [cos (2ω

0 t + 2θ) + 1]

,logo,

sin

2 _(ω

0 t + θ) =

1 ₂

−

1 ₂

cos (2ω

0 t + 2θ)

,assim;

E

T

0 = C

2 Z

T

0

1

2 −

1

2 cos (2ω

0 t + 2θ)

dt;

= C

2 Z

T

0

1

2 dt − C

2 Z

T

0

1

2 cos (2ω

0 t + 2θ)dt;

omo,

R

T

0 cos (2ω

0 t + 2θ)dt = 0

,tem-se;

E

T

0 = C

2 Z

T

0

1

2 dt;

=

C

2 _T

0

2 .

Logo,

P

T

0 ,

E

T

0 T

0 =

C

2 _T

₀

2T

0 =

C

2

2 .

b. (1,0)NaFigura8.28,expresseossinais

x

1 (t)

,

x

2 (t)

,

x

3 (t)

,

x

4 (t)

e

x

5 (t)

emtermosdo sinal

x(t)

esuasversõesdeslo amentonotempo,es alonamentonotempoourevertidas notempo.Existeváriasformasderees reverafunção

x(t)

, omoporexemplo:

a.

x

1 (t) = x(t + 1) + x(1 − t)

; b.

x

2 (t) = x

1 (t) + x(t) + x(−t)

ou

x

2 (t) =

d

dt

(x(t) + x(t + 1)) + δ(t) + δ(t − 1)

; .

x

3 (t) = x(t) + x(−t) +

1

3

; d.

x

4 (t) = x

2 (

t

2 ) −

1

3

; e.

x

5 (t) = x(t + 0, 5) + x(0, 5 − t) + x(t + 1, 5) + x(1, 5 − t)

.

Questão02. (2,0pt)

Umsinal

x(t)

omperíodo

2π

éespe i adoemumperíodopor

x(t) =







1 A

t

0 ≤ t < A

1 A ≤ t < π

0 π ≤ t < 2π

(3)

Figura8.28:

Figura8.29:

a. (1,0)Tra e

x(t)

emdoisperíodosde

t = 0

a

4π

;

ResoluçãoVerFigura8.29.

b. (1,0)Mostre queos Coe ientes

D

k

da série exponen ial de Fouriersão dadospor

D

k

=

(

2π−A

4π

n = 0

1 4πk

e

−jAn

_−1+jnAe

−jkπ

An

aso ontrário

ResoluçãoParao ál ulodos oe ientes,deve-seutilizar:

a

k

=

1 T

Z

T

x(t)e

−jkω

0 t

_dt.

(4)

ComooPeríodoé

T = 2π

,assim

ω

0 =

2π

T

= 1

.Logo,paraoproblema,faz-se

a

k

= D

k

, tendo,

a

k

= D

k

=

1 2π

Z

T

x(t)e

−jkt

dt;

=

1 2π

1 A

Z

A

0 te

−jkt

dt +

1 2π

Z

π

A

e

−jkt

dt.

Resolvendoaintegral

I

1 =

R

A

0 te

jkω

0 t

dt

,utilizandointegralporpartes,faça,

u = t ⇒

du = dt

e

v =

−e

−jkω0 t

jkω

0 ⇒ dv = e

−jkω

0 t

.Assim,

I

1 =

Z

A

0 te

jkω

0 t

_dt;

= t ·

−e

−jkω

0 t

jkω

0 A

0 −

Z

A

0 −e

−jkω

0 t

jkω

0 dt;

=

−te

−jkω

0 t

jkω

0 A

0 +

e

−jkω

0 t

k

2 _ω

2

0 A

0 ;

=

−Ae

−jkω

0 A

jkω

0 +

e

−jkω

0 A

k

2 _ω

2

0 −

1 k

2 _ω

2

0 .

Poroutrolado, onsidere

I

2 =

R

π

A

e

−jkω

0 t

dt

,logo;

I

2 =

Z

π

A

e

−jkω

0 t

_dt;

= −

e

−jkω

0 t

jkω

0 π

A

= −

e

−jkω

0 π

jkω

0 +

e

−jkω

0 A

jkω

0 .

Logo, omo

ω

0 = 1

,tem-se;

D

k

=

1 2π

1 A

I

1 +

1 2π

I

2 ;

=

1 2π

1 A

−Ae

−jkA

jk

+

1 2π

1 A

e

−jkA

k

2 −

1 2π

1 A

1 k

2 −

1 2π

e

−jkπ

jk

+

1 2π

e

−jkA

jk

;

=

1 2π

−e

−jkA

jk

+

1 2π

1 A

e

−jkA

k

2 −

1 2π

1 A

1 k

2 −

1 2π

e

−jkπ

jk

+

1 2π

e

−jkA

jk

;

=

1 2π

1 A

e

−jkA

k

2 −

1 2π

1 A

1 k

2 −

1 2π

e

−jkπ

jk

;

=

1 2πk

e

−jkA

Ak

−

1 Ak

−

e

−jkπ

j

;

=

1 2πk

e

−jkA

_{− 1 + jkAe}

−jkπ

Ak

;

paraqualquerqueseja

k 6= 0

. Logo,fazne essárioo al ulode

D

0

,assim,

D

0 =

1 T

Z

T

x(t)0dt;

=

1 2π

1 A

Z

A

0 tdt +

1 2π

Z

π

A

dt;

(5)

integrando,tem-se;

D

0 =

1 2π

1 A

t

2 2A

A

0 +

1 2π

t|

π

A

;

=

1 2π

1 A

A

2

2 +

1 2π

(π − A) ;

=

A

4π

+

(π − A)

2π

;

=

A + 2π − 2A

4π

;

=

2π − A

4π

;

para

k = 0

.

Questão03. (2,0pt)FunçõesdeWalsh,asquaispodemassumirapenasdois

valores de amplitude, formam um onjunto ompleto de funções ortonormais

e possui grande importân ia práti a em apli ações digitais, pois elas podem

serfa ilmente geradaspor ir uitoslógi oseporque amultipli ação omessas

funçõespode serimplementadasimplesmente atravésde havesdereversãode

polaridade. A Figura 8.30 mostra as primeiras oito funções desse onjunto.

Cal uleos oe ientedasérie deFouriereexpressesuarepresentaçãoemSérie

deFourier.

Figura8.30:

ResoluçãoIni ialmente,observeossinaismostradosnaFigura8.30.Notequeossinais

x

1 (t)

,

x

2 (t)

,

x

4 (t)

e

x

6 (t)

sãosemelhantes amenosdeseusperíodos

T

1 = 2

,

T

2 = 1

,

T

4 = 0, 5

e

T

6 = 0, 25

,respe tivamente. Observetambém que o sinaléa omposição deduas portas periódi as ea abertura da porta periódi a é a metade do período. Assim, lembre-se dos

oe ientesdoseguintesinal,denotadoporportaperiódi a,verFigura8.31,

x(t) =

1,

|t| < T

1 0,

T

1 < |t| <

T

₂

,

(6)

Figura8.31: Representaçãográ adosinal lo k.

Pode-seutilizarosinalSa

(t)

paraes reverdeformamaiseleganteos oe ientes en on-tradosnoExemplo4.1.2:

a

k

=

2T

1 T

Sa

(kω

0 T

1 ) ;

om

2T

1 = T /2

ouseja

T

1 = T /4

e

ω

0 = 2π/T

.

Parao al ulodosCal uleos oe ientedasériedeFourier,lembre-sedapropriedadede

linearidadeedeslo amentotemporal,assim, omo

x

1 (t) = x(t − T /4) − x(t − 3t/4)

;

x

1 (t)

S F

←→ b

k

;

emque;

b

k

=

2T

1 T

Sa

(kω

0 T

1 ) e

−jkω

0 T

4 −

2T

1 T

Sa

(kω

0 T

1 ) e

−jkω

0 3T

4 ;

=

2T /4

T

Sa

k

2π

T

4 e

−jk

2 T

π

T

4 ₋

2T /4

T

Sa

k

2π

T

4 e

−jk

2 T

π

3 T

4 _;

=

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

π

2 −

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

3

2 π

.

Logo,representaçãoemSériedeFourierédadopor,

x

1 (t) =

+∞

X

−∞

b

k

e

jk

2 π

T

t

_;

=

+∞

X

−∞

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

π

2 −

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

3π

2 e

jk

2π

_T

t

_;

=

1

2 +∞

X

−∞

Sa

k

π

2 h

e

−jk

π

2 _{− e}

−jk

3 π

2 i

e

jk

2 T

π

t

_.

Cal ula-sea representação de

x

1 (t)

,

x

2 (t)

,

x

4 (t)

e

x

6 (t)

utilizando seusperíodos

T

1 = 2

,

T

2 = 1

,

T

4 = 0, 5

e

T

6 = 0, 25

,respe tivamente.

Paraos sinais

x

3 (t)

e

x

5 (t)

,noteque essessinaissãoiguais

x

2 (t)

e

x

4 (t)

deslo ados de umquartodoperíodo(

T /4

). Dessaforma;

x

3 (t)

S F

←→ c

k

= b

k

e

−jkω

0 T

4 = b

k

e

−jk

π

2 ;

emque;

c

k

=

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

π

2 _e

−jk

π

2 ₋

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk

3

2 π

_e

−jk

π

2 _;

=

1

2

Sa

k

π

2 e

−jkπ

−

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk3π

;

(7)

Logo,representação emSériedeFourierédadopor,

x

3 (t) =

+∞

X

−∞

c

k

e

jk

2 π

T

t

_;

=

+∞

X

−∞

1

2

Sa

k

π

2 e

−jkπ

₋

1

2

Sa

k

π

2 e

−jk3π

e

jk

2 T

π

t

_;

=

1

2 +∞

X

−∞

Sa

k

π

2 h

e

−jkπ

_{− e}

−jk3π

i

e

jk

2π

_T

t

_.

Cal ula-se a representação de

x

3 (t)

e

x

5 (t)

utilizando seusperíodos

T

2 = 1

e

T

5 = 0, 5

,

respe tivamente.

Questão 04. (2,0pt)Cal ule aTransformadadeFourierparaosseguintes:

a. (1,0)

x

a

(t) =

π

5

+∞

X

n=−∞

δ

t − n

2π

5 ;

ResoluçãoOsinal

x

a

(t)

éperiódi o, omperíodo

T =

2π

5 ⇒ ω

0 = 5

,logo,a Trans-formadadeFourierdeumsinalperiódi oédadopor;

X(ω) =

+∞

X

−∞

2πa

k

δ(ω − kω

0 );

emque

a

k

=

1 T

Z

T

x(t)e

−jkω

0 t

_dt.

Assim,

a

k

=

5 2π

Z

−

π

5 π

5 δ(t)e

−jkω

0 t

_dt

;

=

5 2π

Z

−

π

5 π

5 δ(t)e

−jkω

0 (0)

dt

;

=

5 2π

π

5 Z

−

π

5 π

5 δ(t)dt

;

=

1

2 ;

logo;

X

a

(ω) =

+∞

X

−∞

2π

1

2 δ(ω − k5);

=

+∞

X

−∞

πδ(ω − 5k).

(8)

Figura8.32:

b. (1,0)

x

b

(t)

, omomostradonaFigura8.32.

ResoluçãoConsidereaumanovafunçãodenidadaforma;

y

b

(t) =

d

dt

x

b

(t);

ilustradonaFigura8.33. Figura8.33: Sabe-seque

x(t) =

1,

|t| < T

1 0,

|t| > T

1 T F

←→

X(ω) = 2T

1

Sa

(ωT

1 ).

Dessa forma,lembrandoas propriedade delinearidade e deslo amento temporaldas

Transformadas de Fourier, pode-sees rever a Transformada de Fourier de

x

b

(t)

da forma;

y

b

(t)

T F

←→

Y

b

(ω);

emque;

Y

b

(ω) = 5

Sa

(

5

2 ω)

e

j13,75ω

_{− e}

j11,25ω

_{+ e}

j8,75ω

_{− e}

j6,25ω

_{+ e}

−j6,25ω

_{− e}

−j8,75ω

_{+ e}

−j11,25ω

_{− e}

−j13,75ω

_;

= 10j

Sa

(

5

2 ω) [sin 13, 75ω − sin 11, 25ω + sin 8, 75ω − sin 6, 25ω] .

Como,

X

b

(ω) =

1 jω

Y

b

(ω);

tem-se

X

b

(ω) =

1 jω

10j

Sa

(

5

2 ω) [sin 13, 75ω − sin 11, 25ω + sin 8, 75ω − sin j6, 25ω] ;

=

10 ω

Sa

(

5

2 ω) [sin 13, 75ω − sin 11, 25ω + sin 8, 75ω − sin 6, 25ω] ;

=

10 ω

Sa

(

5

2 ω) [13, 75

Sa

(13, 75ω) − 11, 25

Sa

(11, 25ω) + 8, 75

Sa

(8, 75ω) − 6, 25

Sa

(6, 25ω)] .

(9)

Questão 05. (2,0pt)Es olha umitempararesolver:

a. Asté ni asdaanálisedeFourierpodem serestendidasparasinaistendo

duas variáveis independentes (bidimen ional). Essas té ni as

desempe-nhamum papelimportante emoutrasapli ações, omoopro essamento

deimagens, omosua orrespondentesunidimen ionalemalgumas

apli a-ções. Seja

x(t

1

, t

2

)

umsinalquedependededuasvariáveisindependentes

t

1

e

t

2

. A transformada de Fourier bidimen ional de

x(t

1

, t

2

)

édenida omo

X(ω

1

, ω

2

) =

Z

∞

−∞

Z

∞

−∞

x(t

1

, t

2

)e

−j((ω

1 t

1 +ω

2 t

2 ))

dt

1

dt

2

.

DetermineastransformadasdeFourierbidimen ionaisdosseguintes

sinais;

x(t

1

, t

2

) = e

−t

1 +2t

2

u(t

1

−

1)u(2 − t

2

);

Determineosinal

x(t

1

, t

2

)

ujatransformadadeFourier bidimen io-nalseja

X(ω

1

, ω

2

) =

2π

4 + jπ

δ(ω

2

−

2ω

1

).

b. Para ada umas das seguintes transformadas de Fourierdetermine a

in-versadastransformadasindi adas:

X

1

(ω) = A(ω)e

jB(ω)

,sendo

A(ω) = (sin 2ω)/ω

e

B(ω) = 2ω + π/2

;

X

2

(ω) = u(ω) − u(ω − 2)

;

X

3

(ω) =

P

+∞

k=−∞

(

1

2

)

|k|

δ(ω −

kπ

4

)

.