О СИНТЕЗЕ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И.К. Асмыкович, А.А. Якименко Белорусский государственный технологический университет, Минск, Беларусь asmik@tut.by, yakim66@gmail.com Введение. При разработке математических моделей физических процессов и си-стем управления необходимо учитывать как дифференциальные, так и алгебраиче-ские связи, а во многих случаях и эффекты последействия, которыми нельзя прене-бречь. Кроме того, в системе могут объединяться как процессы непрерывного дей-ствия, так и дискретные процессы, а также возможно включение логических и слу-чайных компонент. В ряде случаев переменные могут быть как дискретными, так и непрерывными. Адекватной моделью таких процессов являются гибридные систе-мы, в частности, дескрипторные динамические системы с многомерным временем [1]. Такие системы называют либо вырожденными, либо сингулярными, либо системами неразрешенными относительно производной, либо системами с обобщенным простран-ством состояний, либо дескрипторными, причем последнее название превалирует. По нашему мнению это название наиболее точно отражает специфику таких систем. Как и в случае обыкновенных систем системы с двумерным временем имеют вид S ˙x1(t, i) = A11x1(t, i) + A12x2(t, i) + B1u(t, i), t ∈ [0, +∞), (1) Hx2(t, i + 1) = A21x1(t, i) + A22x2(t, i) + B2u(t, i), i = 0, 1, 2, . . . , (2) где x1(t, i) ∈ Rn1, x2(t, i) ∈ Rn2, u(t, i) ∈ Rr; x1(t, i), x2(t, i) — n1- и n2-векторы состояния системы; u(t, i) — r -вектор управляющего воздействия соответственно в момент (t, i), t > 0, i = 0, 1, 2, . . . ; A11, A12, A21, A22, B1, B2, S, H — постоян-ные матрицы соответствующих размеров, причем матрицы S и H квадратпостоян-ные, но возможно, вырожденные. По аналогии с [2], для таких систем рассмотрены вопросы о нормализации и регу-ляризации системы (1), (2) при совместимых начальных условиях, постановки некото-рых задач управления по типу обратной связи. Отдельно рассмотрены случаи, когда только одна из матриц S или H являются вырожденными. Литература 1. Асмыкович И. К.О дескрипторных системах с многомерным временем // Физ.-матем. науки: тез. докл. 80-й науч.-тех. конф. профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов. Минск, 1–12 февраля 2016 г. [Электронный ресурс] / отв. за издание И. М. Жарский. Минск: БГТУ, 2016. C. 39. 2. Асмыкович И. К., Якименко А. А. Линейные регуляторы в дескрипторных системах и си-стемах нейтрального типа // Актуальные направления научных исследований ХХI века: теория и практика. Сб. науч. тр. по материалам межд. заочной научно-практ. конф. «Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях». 18–19 июня 2014 г. Воронеж, ВГЛТА, 2014. № 4, ч. 1. C. 288–291.
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ А.И. Астровский1, И.В. Гайшун2 Белорусский государственный экономический университет, Минск, Беларусь aastrov@tut.by Институт математики НАН Беларуси, Минск, Беларусь gaishun@im.bas-net.by В докладе исследуется наблюдаемость, управляемость и различные виды кано-нических форм линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазидифференцируемыми коэффициентами. Вопросы наблюдаемости, управляемости линейных нестационарных систем с ква-зидифференцируемыми коэффициентами, а также теория канонических форм систем управления — наблюдения достаточно детально разработаны авторами в монографиях [1, 2]. В докладе техника квазидифференцирования применяется к системам управ-ления — наблюдения с целью получения условий существования различных видов канонических форм, в частности форм Шварца. Для применения техники квазидиф-ференцирования важно наличие нижнетреугольных матриц, относительно которых существует требуемое число квазипроизводных. Авторами разработан конструктив-ный метод нахождения таких матриц, использующий системы в форме Хессенбер-га, и указан критерий и способ приводимости системы управления к хессенберговой форме. Основные результаты, полученные в данной работе, выражены через параметры исходных систем управления — наблюдения. Приведены примеры, показывающие эф-фективность полученных результатов. Один из известных методов исследования структурных свойств динамических си-стем основан на преобразовании их к простейшей (канонической) форме, что в ряде случаев позволяет полностью изучить их основные свойства. Этот метод успешно применяется при изучении устойчивости линейных нестационарных систем обыкно-венных дифференциальных уравнений. Общая концепция исследования таких систем, основанная на классификации их относительно действия различных групп преобра-зований, изложена в [1]. Для систем управления — наблюдения реализация этой кон-цепции заключается в приведении исходной системы к простейшему (каноническому) виду с помощью подходящей группы линейных преобразований. В качестве канони-ческих обычно рассматриваются системы в форме Фробениуса, Шварца. Выбор та-ких систем в качестве каноничеста-ких объясняется тем, что для них основные задачи математической теории систем решаются сравнительно просто. Теория канонических форм оказалась эффективной и для стабилизации нелинейных уравнений по линейно-му приближению [1]. К настоящелинейно-му времени теория канонических форм Фробениуса для линейных нестационарных систем управления и наблюдения достаточно полно разработана [2]. В докладе рассматриваются вопросы построения канонических форм Шварца и для дискретных систем управления — наблюдения. Литература 1. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. М.: Едиториал УРСС, 2004. 2. Астровский А. И., Гайшун И. В. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициен-тами: управляемость и наблюдаемость движении. Мн.: Беларуская навука, 2013.
ОБОБЩЕНИЕ ЛЕММЫ ХОФФМАНА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Д.Е. Бережнов, О.Ф. Борисенко, Л.И. Минченко Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Минск, Беларусь В нашем докладе известная лемма Хоффмана [1] обобщается на случай зависящих от параметра многогранных множеств, и на основании данного обобщения доказыва-ется свойство частичной устойчивости [2–4] для задачи двухуровневого программи-рования. Пусть x ∈ Rn, y ∈ Rm. Рассмотрим многозначное отображение G, определяемое условием G(x) = y ∈ Rm | hξi , yi + αi(x) 6 0, i = 1, . . . , s, где ξi ∈ Rm, αi(x) — непрерывные функции при i = 1, . . . , s. Лемма. Для многозначного отображения G существуют число M = const > 0, такое, что для любого вектора v ∈ Rm и любого x ∈ dom G справедливо неравенство d(v, G(x)) 6 M max{0, hξi , vi + αi(x) | i = 1, . . . , s}. Рассмотрим задачу двухуровневого программирования (BLP) минимизации функ-ции F (x, y) на множестве решений задачи нижнего уровня f (x, y) → miny , hi(x, y) 6 0, i = 1, . . . , s, при дополнительных ограничениях gj(x) 6 0, j = 1, . . . , p, где функции F (x, y), f (x, y), gj(x), hi(x, y) предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Как известно [3, 4], одним из основных подходов к решению задачи (BLP) явля-ется переход к эквивалентной одноуровневой задаче: F (x, y) → min, f(x, y) 6 ϕ(x), hi(x, y) 6 0, i = 1, . . . , s, gj(x) 6 0, j = 1, . . . , p, где ϕ(x) — функция оптимального значения задачи нижнего уровня. Теорема. Пусть F (x, y) липшицева, f(x, y) = hξ0, yi + α 0(x), hi(x, y) = hξi, yi + + αi(x) при i = 1, . . . , s. Тогда для любого решения (x0, y0) задачи (BLP) найдется число µ > 0, такое, что это решение будет глобальным решением задачи F (x, y) + µ(f (x, y) − ϕ(x)) → min, hi(x, y) 6 0, i = 1, . . . , s, gj(x) 6 0, j = 1, . . . , p. Литература 1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1978. 2. Ye J. J., Zhu D. // Optimization. 1995. Vol. 33. P. 9–27.
3. Ye J. J., Zhu D. // SIAM J. Optimization. 2010. Vol. 20. P. 1885–1905.
4. Dempe S. Foudations of Bilevel programming. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.
К ВОПРОСУ О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ ГИБРИДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И.М. Борковская, О.Н. Пыжкова Белорусский государственный технологический университет, Минск, Беларусь borkovskaia@gmail.com, olga.pyzhcova@gmail.com Многие из моделей современных технологических процессов описываются гибрид-ными системами, в связи с чем оказываются актуальгибрид-ными новые методы исследования
таких систем [1, 2]. Рассмотрим объект управления, описываемый следующей гибрид-ной 2-D системой:
˙x1(τ, k) = A11x1(τ, k) + A12x2(τ, k) + B1u(τ, k), τ ∈ [0, +∞), (1)
x2(τ, k + 1) = A21x1(τ, k) + A22x2(τ, k) + B2u(τ, k), i = 0, 1, 2, . . . , (2)
где ˙x1(t, i) = ∂x1(t, i)/∂t, x1(t, i) ∈ Rn1, x2(t, i) ∈ Rn2, u(t, i) ∈ Rr; x1(t, i), x2(t, i) —
n1- и n2-векторы состояния системы; u(t, i) — r -вектор управляющего воздействия в момент (t, i), t > 0, i = 0, 1, 2, . . . ; A11, A12, A21, A22, B1, B2 — постоянные матри-цы соответствующих размеров. Граничные (начальные) условия для системы (1), (2) зададим в виде x1(0, k) = x1(k), k = 0, 1, 2, . . . , (3) x2(t, 0) = x2(t), t ∈ [0, +∞). (4) Получены явные представления решений задачи (1)–(4) на основе решений сопря-женной системы ∂X∗ 1(t, k) ∂t = X ∗ 1(t, k)A11+ X2∗(t, k)A21, X2∗(t, k + 1) = X1∗A12+ X2∗(t, k)A22, t > 0, k = 0, 1, 2, . . . , где X∗ 1, X2∗ — (m × n1) -, (m × n2) -матричные функции. Получены также представ-ления решений в виде разложения в ряды по решениям определяющих уравнений: Xk+1,i1 = A11Xk,i1 + A12X 2
k,i+ B1Uk,i, Xk,i+12 = A21Xk,i1 + A22X 2 k,i+ B2Uk,i с начальными условиями X0,i1 = 0, i = 0, 1, . . . , Xk,02 = 0, k = 0, 1, . . . , Uk,i = ( Im, k = i = 0, 0, k2+ i2 6= 0. Результаты могут быть использованы в задачах оптимизации на траекториях рас-смотренных систем. Литература 1. Марченко В. М., Борковская И. М. Устойчивость и стабилизация линейных гибридных дис-кретно-непрерывных стационарных систем // Тр. БГТУ. 2012. № 6. С. 7–10. 2. Марченко В. М., Пыжкова О. Н. Относительная управляемость линейных стационарных ги-бридных систем с многомерным временем // Тр. БГТУ. 2008. № 6. С. 3–5. ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ДВУМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В. Т. Борухов, Г. М. Заяц Институт математики НАН Беларуси, Минск, Беларусь borukhov@im.bas-net.by, zayats@im.bas-net.by Рассматривается обратная задача (ОЗ) идентификации коэффициентов теплопро-водности в начально-краевых задачах для квазистационарных двумерных уравнений
теплопроводности в ограниченном цилиндре. Предполагается, что температурное по-ле в цилиндре не зависит от угловой координаты. Для решения ОЗ развивается ма-тематический подход, основанный на методе сопряженных градиентов [1, 2]. Подход может найти применение для моделирования тепловых процессов в контейнерах с от-работанным ядерным топливом [3]. Математическая модель квазистационарного процесса переноса тепла имеет вид: λeq 1 r ∂ ∂r r∂T ∂r + ∂ 2T ∂z2 + q(r, z, t) = 0, 0 < z < H, 0 < r < R, 0 6 t 6 tf, λeq ∂T ∂r r=R = −α(T |r=R− Tcp), ∂T ∂r r=0 = 0, ∂T ∂z z=0 = 0, ∂T ∂z z=H = 0, где T = T (r, z, t) — температура, λeq = λeq(t) — эквивалентная теплопровод-ность, α = α(t) — коэффициент теплоотдачи, Tcp — температура окружающей среды, q(r, z, t) — плотность распределения источников тепла в цилиндре. Задача восстановления состоит в определении эквивалентной теплопроводности λeq(t) по данным температурных измерений y(t) = (T (ri, zj, t) | i = 1, k, j = 1, m). Математический подход к решению заключается в минимизации целевого функци-онала, построенного в виде нормы разности соответствующих температурных полей, J(λeq) = k(λeq) − y(t)k2 → min, где k · k — норма в пространстве Lkm 2 [0, tf]. Разработанная итерационная схема реализована численно конечно-разностным ме-тодом. Решение начально-краевых задач, являющихся составной частью метода, на-ходится матричной прогонкой. Отметим, что сопряженная начально-краевая задача, определяющая градиент целевого функционала, является нестандартной и ее описа-ние связано с расширеописа-нием исходного гильбертового пространства. Предложенный численный алгоритм позволяет моделировать восстановление коэффициентов тепло-проводности квазистационарного уравнения теплотепло-проводности в широком диапозоне входных параметров. Работа выполнена при финансовой поддержке БРФФИ в рамках проекта № Ф13К– 004. Литература 1. Борухов В. T., Тимошпольский В. И. Функциональная идентификация градиентными мето-дами нелинейного коэффициента теплопроводности. I. Сопряженные операторы // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 4. С. 695–702.
2. Borukhov V. T., Tsurko V. A., Zayats G. M. The functional identification approach for numerical reconstruction of the temperature-dependent thermal-conductivity coefficient // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2009. Vol. 52. P. 232–238.
3. Рудычев В. Г., Алёхина С. В., Голощапов В. Н. и др. Безопасность сухого хранения отрабо-тавшего ядерного топлива / Под общ. ред. акад. НАН Украины Ю. М. Мацевитого, чл.-кор. НАН Украины И. И. Залюбовского. Харьков: ХНУ им. В. Н. Каразина, 2013.
РЕГУЛЯРИЗИРУЕМОСТЬ ОБЩИХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ ВЫХОДАМИ В.И. Булатов Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики, Минск, Беларусь Bulatov@bsu.by Рассмотрим стационарную систему D(p)x(t) = Bu(t), (1) с r -мерным управлением (входом) u(t), n -вектор-траекторией x(t) и m -мерным выходом y(t) = Cx(t). (2) Здесь p = d/dt — оператор дифференцирования; D(λ) — n × n -матрица, эле-ментами которой являются целые функции комплексной переменной λ; B и C — соответственно n × r и m × n — матрицы. Систему (1) считаем регуляризируемой с помощью линейной обратной связи по выходу (2), если найдется r × m -матица Q такая, что замыкание системы (1), (2) управлением u(t) = Qy(t) приводит к регулярной системе (D(p) − BQC)x(t) = 0, т. е. у которой характеристическая функция δ(λ) = det[D(λ) − BQC] является нену-левой. Ранее было показано [1] что, если d(λ) = det D(λ) ≡ 0, то для регуляризируемости системы (1), (2) достаточно, а в случае одного входа (r = 1) или одного выхода (m = = 1) то и необходимо, чтобы нашлось такое число λ0, для которого CF (λ0)B 6= 0, где F (λ) — присоединенная (союзная) матрица [2] к матрице D(λ). В связи с этим представляет собой интерес следующая Теорема. Если для трехмерной (n = 3) системы (1), (2) с двумя выходами (m = 2) имеем d(λ) ≡ 0 и CF (λ)B ≡ 0, то тогда для регуляризируемости этой си-стемы необходимо и достаточно, чтобы нашлось число λ0 такое, что B⊤H(λ0)B 6= 6= 0. Здесь H(λ) = −∆01(λ) ∆10(λ) −∆∆32(λ)(λ) ∆2(λ) −∆3(λ) 0 , где ∆k(λ) = det dk(λ) C , а dk(λ) — k -я строка матрицы D(λ), k = 1, 2, 3. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из результатов [3]. Литература 1. Булатов В. И. О некоторых условиях регуляризируемости общих линейных стационарных систем управления, допускающих операторную запись // Тез. докл. XVI Междунар. научной конф. по дифференц. уравнениям «Еругинские чтения–2014». Новополоцк, 20–22 мая 2014 г. Ч. 2. С. 89–90. 2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: 1988. 3. Булатов В. И. Условия регуляризируемости общих дифференциальных систем управления третьего порядка с двумя входами // Материалы конференции «Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям». Мн., 2015. Ч. 2. С. 12–13.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ 2D СИСТЕМ И.В. Гайшун1, В.В. Горячкин2 1Институт математики НАН Беларуси, Минск, Беларусь 2 Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики, Минск, Беларусь gorvv@bsu.by 1. Наблюдаемость двухпараметрических дискретных систем с интер-вальными коэффициентами. Пусть [A], [D] и [C] — интервальные (n × n) и (n × r) -матрицы. Рассмотрим дискретную систему над множеством (IR)n с выход-ной функцией [x(t + 1, s)] = [A][x(t, s)] + [D][x(t, s + 1)], (1) [y(t, s)] = [C][x(t, s)] ((t, s) ∈ Z+× Z). (2) Ясно, что всякая интервальная финитная последовательность [γ(s)] однозначно опре-деляет решение [x(t, s)], понимаемое в смысле интервальной арифметики. Система (1) называется робастно наблюдаемой по выходу (2), если для любых A ∈ [A], D ∈ [D], C ∈ [C] наблюдаема соответствующая точечная система. Значит, робастная наблюдаемость имеет место тогда и только тогда, когда для любых A ∈ [A], D ∈ [D], C ∈ [C] выполняются условия: ∃m, rank C(A + mD)i i = 0, n − 1 = n. Рассмотрим вопрос об интервальной наблюдаемости. Если начальная финитная последовательность задана, то по уравнениям (1), (2) однозначно находится последо-вательность
[y(t, s)], . . . , [y(t, s + N + n − 1)], [y(t + 1, s)], . . .
. . . , [y(t + 1, s + N + n − 2)], . . . , [y(t + n − 1, s + N)], (3) связанная с функциями [x(t, s)], [x(t, s + 1)], . . . , [x(t, s + N + n − 1)]. (4) Здесь N — «длина» носителя начальной функции [γ(s)]. Определение. Система (1) интервально наблюдаема по выходу (2), если по по-следовательности (3) можно однозначно определить последовательность (4). Ограничимся исследованием наблюдаемости некоторых частных случаев системы (1), (2). 2. Наблюдаемость систем с неотрицательными коэффициентами. Предпо-ложим, что матрицы [A] и [D], а также финитные начальные условия [γ(s)] являют-ся неотрицательными. Используя понятия: центра α([·]) и радиуса β([·]) интерваль-ной матрицы, перейдем от системы (1), (2) к точечинтерваль-ной системе уравнений, из которой следует Теорема 1. Система (1), (2) с неотрицательными матрицами [A], [D] ин-тервально наблюдаема в классе финитных начальных функций [γ(s)] > 0, если rank P (FA+ mFD)i i = 0, 2n − 1 = 2n хотя бы при одном m ∈ R, где [C] = [C1, C2] и P = α([C]) 0.5(|C2| − |C1|) β([C]) 0.5(|C2| + |C1|) , FA= α([A]) β([A]) β([A]) α([A]) , FD= α([D]) β([D]) β([D]) α([D]) . 3. Наблюдаемость систем с симметричными матрицами [A] и [D] . Пред-положим, что матрицы [A] и [D] симметричны, т. е. [A] = −[A] и [D] = −[D]. Тогда,
как легко убедиться, при t > 0 свойством симметричности обладают любое решение [x(t, s)] и каждая выходная последовательность [y(t, s)]. Поэтому имеет место Теорема 2. Система (1), (2) с симметричными интервальными матрицами [A] и [D] интервально наблюдаема при t > 0, если хотя бы при одном m ∈ R rank (|[C]|)(|[A]| + m|[D]|)i i = 0, n − 1 = n. ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМ ОБ АЛЬТЕРНАТИВАХ ФАРКАША И ГЕЙЛА А.И. Голиков, Ю.Г. Евтушенко Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия gol-a@yandex.ru evt@ccas.ru Теоремы об альтернативах имеют не только теоретическое значение, но весьма по-лезны с вычислительной точки зрения. Они дают возможность вычислять нормаль-ные решения систем линейных равенств и неравенств, находить направление наиско-рейшего спуска в задачах выпуклого программирования, строить разделяющие ги-перплоскости, производить коррекцию несобственных задач, конструировать новые алгоритмы решения задач линейного программирования и т. д. В формулировках теорем об альтернативах всегда присутствуют две системы ра-венств и/или нерара-венств, которые обозначим через I и II. Теоремы об альтернативах утверждают, что всегда разрешима одна и только одна из систем, либо I, либо II, но не обе одновременно. Входными данными альтернативных систем I и II явля-ются элементы матрицы A и компоненты вектора b. Однако альтернативные систе-мы можно строить по-иному, используя различные матрицы разной размерности [1]. Для заданной матрицы A ∈ Rm×n ранга m, введем в рассмотрение матрицу K ∈ ∈ Rν×n , где ν = n − m — дефект матрицы A. В качестве K можно использовать любую матрицу, ν строк которой образуют базис базис нуль-пространства матри-цы A. Поэтому AK⊤ = 0 mν, где через 0ij обозначена (i × j) -матрица с нулевыми элементами. В выборе матрицы K имеется определенный произвол, она может быть построена различными способами. Если матрицу A представить в блочном виде A = = [B | N], где B невырождена, то матрицу K можно записать в следующем виде: K = [−N⊤(B−1)⊤| I ν]. Если с помощью преобразований Гаусса — Жордана матрицу A привести к виду A = [Im| N], тогда матрица K представима в виде K = [−N⊤| Iν]. Так как матрица A имеет ранг m, то система Ax = b всегда разрешима, но среди ее решений может и не быть неотрицательных. Произвольное решение системы Ax = b обозначим через ¯x. Теорема. Пусть матрица A ∈ Rm×n имеет ранг m, матрица K ∈ Rν×n имеет ранг ν = n − m и AK⊤ = 0 mν, вектор b 6= 0, ρ — произвольное положительное число. Тогда: 1) всегда совместна либо система Ax = b, x > 0n, (I) либо система Kv = 0ν, v > 0n, −¯x⊤v = ρ > 0; (IIv)
2) всегда совместна либо система K⊤y 6 ¯x, (Iy) либо система A⊤u 6 0n, b⊤u = ρ > 0. (II) Альтернативные системы (I) и (IIv) являются аналогами соответствующих аль-тернативных систем в теореме Фаркаша, а (Iy) и (II) — cоответствующих альтерна-тивных систем в теореме Гейла. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 14–07–0805 и 15–01–08259), Программы РАН I.33 П и МОН Республики Казахстан (номер госрегистрации проекта 0115РК00554). Литература 1. Голиков А. И., Евтушенко Ю. Г. Один вариант теоремы об альтернативах Фаркаша // Оп-тимизация и приложения. Вып. 4. 2015. М: ВЦ РАН. С. 67–73. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЗАДАЧ БЕЗУСЛОВНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ А.И. Голиков, Ю.Г. Евтушенко Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия gol-a@yandex.ru evt@ccas.ru Формально задачи безусловной минимизации не имеют функцию Лагранжа и, сле-довательно, для них нельзя непосредственно построить двойственную задачу. Тем не менее с помощью дополнительных переменных можно ввести искусственные ограни-чения и получить эквивалентную задачу условной минимизации, для которой уже стандартным образом определяется двойственная задача. Существует класс таких задач оптимизации, для которых взаимно двойственные задачи являются задачами безусловной оптимизации и решение любой из этих двух задач выражается через ре-шение другой. Например, такие задачи квадратичного программирования порождает регуляризация систем линейных уравнений и/или неравенств [1]. Приведем типичный пример взаимно двойственных задач безусловной квадра-тичной оптимизации, возникающий при нахождении проекции точки ˆx на множе-ство решений системы линейных уравнений с неотрицательными переменными Ax = = b, x > 0n с помощью метода регуляризации. Теорема. При любых ˆx ∈ Rn и ε > 0 решение x(ˆx, ε) задачи F (x(ˆx, ε)) = min x∈Rn + 1 2{kb − Axk 2 + εkx − ˆxk2} (1) и решение u(ˆx, ε) задачи H(u(ˆx, ε)) = max u∈Rm{b ⊤ u − 2ε1k(ˆx + A⊤u)+k2− 1 2kuk 2 } (2) связаны между собой соотношениями x(ˆx, ε) = 1 ε(ˆx + A ⊤
и имеет место F (x(ˆx, ε)) = H(u(ˆx, ε)). Из теоремы следует, что если в матрице A размерности m × n число строк m < < n, то вместо исходной задачи (1) минимизации на положительном ортанте выпук-лой квадратичной функции целесообразно решать двойственную задачу (2), которая является задачей безусловной максимизации вогнутой кусочно-квадратичной функ-ции. Тогда по формуле (3) с помощь решения задачи (2) находится решение исходной задачи (1). Для решения задачи (2) весьма эффективен глобально сходящийся за ко-нечное число шагов обобщенный метод Ньютона, который позволяет решать задачи на однопроцессорных компьютерах при n ≈ 106 и m ≈ 104. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 14–07–0805), Программы РАН I.33 П и МОН Республики Казахстан (номер госрегистрации проекта 0115РК00554). Литература 1. Голиков А. И., Евтушенко Ю. Г. Регуляризация и нормальные решения систем линейных урав-нений и неравенств // Тр. ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 2. C. 113–121. О МНОЖЕСТВЕ ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ М.Н.Гончарова Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, Гродно, Беларусь m.gonchar@grsu.by Рассмотрим линейную задачу быстродействия, в которой поведение объекта опи-сывается системой дифференциальных уравнений ˙x1 = x2, ˙x2 = u, (1) где (x1; x2) — двумерный вектор фазовых координат объекта, u — управление. До-пустимым на некотором отрезке времени I = [t0; t1] считаем управление, являющееся измеримой на отрезке I функцией аргумента t и принимающей для каждого t ∈ I значение из компакта U = [−1; 1]. Дополнительно на поведение объекта наложим фазовое ограничение x2 6ax1+ b (2) при условии a > 0, b > 0. Выберем начальную точку x = (x01; x02), (3) принадлежащую границе фазового ограничения (2), вторая координата которой удо-влетворяет ограничению 0 < x0 2 < 1/a. Теорема. Множество достижимости для системы (1) с фазовым ограничением (2) из начальной точки (3) при t0 6t 6 −a−1ln(ax02) есть множество, ограничен-ное параболой x1 = (x2−x02+ t−t0)2/4 + x01−(t−t0)2/2 + x02(t−t0), прямой x2 = ax1+ b и кривой, заданной параметрическими уравнениями x1(τ ) = − 1 2(t−τ −x 0 2ea(τ −t0))2+ 1 2 1 a+x 0 2ea(τ −t0) 2 − 1 2a2+x 0 1− x0 2 a , x2(τ ) = −t+τ +x 0 2ea(τ −t0) при t ∈ [t0; t].
Доказательство основывается на следующих фактах: 1) множество достижимости в рассматриваемой задаче является выпуклым компактом по теореме Ляпунова [1, c. 222]; 2) для каждой точки границы рассматриваемого множества существует до-пустимое управление, не выводящее соответствующую ему траекторию за границу фазового ограничения; 3) это управление и соответствующая ему траектория удовле-творяют достаточным условиям оптимальности [2]. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования лики Беларусь в рамках государственной программы научных иследований Респуб-лики Беларусь на 2016–2020 гг. (шифр задания «Конвергенция А42–16»). Литература 1. Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление (линейная теория): М.: Высш. шк., 2001. 2. Гончарова М. Н. Синтез оптимального быстродействия с фазовыми ограничениями для од-ного класса систем второго порядка // Вестн. Гродненского гос. ун-та им. Я. Купалы. Сер. 2. Мате-матика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. 2012. № 3(136). С. 53–59. ОПТИМАЛЬНОЕ ГАРАНТИРОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМ ДИНАМИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ С ОДНИМ МОМЕНТОМ ЗАМЫКАНИЯ Н.М. Дмитрук Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики, Минск, Беларусь dmitrukn@bsu.by На промежутке времени T = [t0, tf] рассмотрим объект управления ˙x = A(t)x + b(t)u + f (t)w, x(t0) = x0, (1) где x = x(t) ∈ Rn — состояние объекта в момент времени t; u = u(t) ∈ R — значение управления, |u(t)| 6 1, t ∈ T ; w = w(t) ∈ R — неизвестное возмущение, |w(t)| 6 w∗, t ∈ T ; A(t) ∈ Rn×n, b(t) ∈ Rn, f (t) ∈ Rn, t ∈ T, — кусочно-непрерывные матричная и векторные функции. Для управления объектом (1) используются дискретные управ-ления [1] с периодом квантования h = (tf − t0)/N, N ∈ N : u(t) ≡ u(s), t ∈ [s, s + h[, s ∈ Th = {t0, t0+ h, . . . , tf − h}. Целью управления объектом (1) является перевод в момент tf с гарантией на заданное терминальное множество Xf = {x ∈ Rn : h′ix 6 gi, i = 1, m} с минимальным полным импульсом управления RT |u(t)| dt. Известно [1, 2], что задача отыскания оптимальной гарантирующей программы, обеспечивающей выполнение поставленной цели при всех реализациях возмущения, может не иметь решения. Одним из подходов, позволяющих избежать этого, является учет состояний системы (1) в некоторые промежуточные моменты времени [1, 2]. В настоящей работе считается, что задан один такой момент t1 ∈ T h, называемый в [1] моментом замыкания. Предполагается, что в момент t1 станет известно реальное состояние x(t1) = x1 объекта (1), в зависимости от которого будет вычислено новое управляющее воздействие на промежутке T0 = [t1, t f]. Пусть t1 выбран таким образом, что для некоторого непустого множества X1 ⊂ Rn точек x1 существует оптимальная гарантирующая программа [1] u0(t|x1), t ∈ T0,
переводящая (1) из состояния x(t1) = x1 на множество X f при любой реализации возмущения и доставляющая минимум в J0(x1) = min u R T0|u(t)| dt. Пусть u1(t|x 0), t ∈ T1 = [t0, t1], таково, что все возможные (в силу возмущений) состояния x(t1|u1(·|x 0), w(·)) объекта (1) в момент замыкания t1 попадают на мно-жество X1 и u1 (·|x0) = arg minu{ R T1|u(t)| dt + maxwJ 0(x(t1 | u(·), w(·)))}. Совокупность {u1(·|x 0); u0(t|x1), x1 ∈ X1} называется оптимальным гарантирую-щим управлением с моментом замыкания t1. Используя принципы динамического программирования, методы линейного про-граммирования и теории двойственности, в работе доказано, что управляющее воздей-ствие u1(t|x 0), t ∈ T1, может быть найдено как решение следующей экстремальной задачи: Z T1 |u(t)|dt + h||ω||1 → min
u,ω, ˙x = A(t)x + b(t)u, x(t0) = x0, (2)
p′jx(t1) − q ′ jω 6 gj1− γj1, j ∈ J, |u(t)| 6 1, t ∈ T1, 0 6 ωk61, k ∈ K, где J, K — множества индексов; pj — нормали к граням X1; qj составлен из эле-ментов qj(s) = | Rs+h s p ′ jF (t1, t)b(t) dt|, s ∈ Th∩ T0, упорядоченных по убыванию; gj1 = = max p′ jF (tf, t1)x при условиях h′ix 6 gi− γi0, i = 1, m; γi0 = R T0|h ′ iF (tf, t)f (t)| dt w∗; γ1 j = R T1|p ′ jF (t1, t)f (t)| dt w∗; F (t, τ ) — фундаментальная матрица решений системы ˙x = A(t)x. Решение задачи (2) существенно проще предложенного в [1] алгоритма построения u1(·|x 0). Литература 1. Балашевич Н. В., Габасов Р., Кириллова Ф. М. Построение оптимальных обратных связей по математическим моделям с неопределенностью // ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, № 2. С. 265–286.
2. Kostyukova O., Kostina E. Robust optimal feedback for terminal linear-quadratic conrol problems under disturbances // Mathem. Programming. Ser. B. 2006.
МЕТОДЫ СИМПЛЕКСНОГО ТИПА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ПОЛУОПРЕДЕЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.Г. Жадан Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва, Россия//zhadan@ccas.ru Рассматривается линейная задача полуопределенного программирования: найти min C • X, Ai• X = bi, i = 1, . . . , m, X 0, (1) где C, X и Ai, 1 6 i 6 m, — симметричные матрицы порядка n. Неравенство X 0 означает, что матрица X должна быть положительно полуопределенной. Запись M1• M2 указывает на скалярное произведение по Фробениусу между матрицами M1 и M2 одного размера, определяемого как M1• M2 = tr M1⊤M2. Двойственной к (1) является следующая задача: max bTu, V (u) = C − u1A1− · · · − umAm, V 0. (2) Предполагается, что обе задачи (1) и (2) имеют решения и что матрицы Ai, 1 6 i 6 m, линейно независимые. Пусть u = [u1, . . . , um].
Условия оптимальности для (1) и (2) состоят в требовании допустимости точек X и [u, V ] и в дополнительном комплементарном условии: X • V = 0. Условия типа равенства, входящие в условия оптимальности, в векторном виде записываются как
(svec X)⊤svec V = 0, A
svecsvec X = b, svec V = svec C − A⊤svecu. (3)
Здесь svecM — прямая сумма столбцов матрицы M порядка n, начинающихся с диагонального элемента, при этом все внедиагональные элементы умножаются на √2. Размерность вектора svec M равняется «треугольному» числу n△ = n(n + 1)/2. Сим-вол Asvec обозначает (m×n△) -матрицу, строками которой являются векторы svec Ai, 1 6 i 6 m. Матрица X является крайней точкой допустимого множества в задаче (1), если ее ранг r удовлетворяет неравенству: r△ 6 m. Соответственно, u есть крайняя точка допустимого множества в задаче (2), если для ранга s матрицы V (u) имеет место неравенство: m 6 n△ − s△. Крайние точки X и u называются регулярными, если неравенства в их определениях выполняются как равенства, в противном случае они называются нерегулярными. В [1] было предложен прямой симплекс-метода для решения задачи (1), в котором требование регулярности крайних точек неявным образом учитывалось. В настоящем сообщении рассматриваются симплекс-методы, в котором данное требование опускает-ся [2]. Траектории в методах состоят из крайних точек допустимых множеств, причем отдельно анализируются особенности перехода в другую крайнюю точку в регулярном и нерегулярном случае. При этом существенным образом используется разбиение про-странства симметричных матриц на пару ортогональных друг другу подпространств. В ходе итерационного процесса все условия оптимальности (3) в каждой крайней точ-ке выполняются. Нарушаются только требования положительной полуопределенности соответственно матриц V (u) и X. При дополнительных предположениях о невырожденности задач доказывается схо-димость итерационных процессов к решениям (1) и (2). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 15–01–08259) и Про-граммы РАН I.33 П. Литература
1. Lasserre J. B. Linear programming with positive semi-definite matreces // MPE. 1996. Vol. 2. P. 499– 522. 2. Жадан В. Г. Об одном варианте симплекс-метода для линейной задачи полуопределенного программирования // Тр. ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. С. 117–127. О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ РАВНОМЕРНОЙ ГЛОБАЛЬНОЙ КВАЗИДОСТИЖИМОСТИ ТРЁХМЕРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ И.В. Инц, А.А. Козлов Полоцкий государственный университет, Новополоцк, Беларусь i.ints@mail.ru, kozlovaa@tut.by Рассмотрим линейную нестационарную управляемую систему ˙x = A(t)x + B(t)u, x ∈ Rn, u ∈ Rm, t > 0, (1)
где A и B — локально интегрируемые и интегрально ограниченные [1, c. 252] матри-цы. Построив в виде линейной обратной связи управление u = U(t)x с измеримой и ограниченной (m × n) -матрицей U, получим замкнутую систему ˙x = (A(t) + B(t)U(t))x, x ∈ Rn, t > 0, (2) коэффициенты которой также локально интегрируемые и интегрально ограниченные матрицы. Определение 1 [3]. Для произвольного r > 1 обозначим множество верхнетре-угольных матриц с положительными диагональными элементами G△(r) := {H ∈ Mn : H 6 1/r, kHk 6 r}. Система (2) обладает свойством равномерной глобальной квазидостижимости, если для некоторого T > 0 при любых r > 1 и t0 >0 для всякой матрицы H ∈ G△(r) на отрезке [t0, t0 + T ] найдутся такое число d = d(r) > 0, ортогональная матрица F ∈ ∈ Mn и измеримое и ограниченное управление U, удовлетворяющее условию kUk 6 d для всех t ∈ [t0, t0+ T ], при котором для матрицы Коши XU(t, s), t, s > 0, системы (2) с этим управлением обеспечивается равенство XU(t0+ T, t0) = X(t0+ T, t0)F HF−1, где X(t, s), t, s > 0, — матрица Коши системы (2) с нулевым управлением. Свойство равномерной глобальной квазидостижимости используется в теории уп-равления асимптотическими инвариантами линейных дифференциальных систем [2]. Так, например, наличие у системы (2) свойства равномерной глобальной квазидости-жимости является достаточным условием её глобальной ляпуновской приводимости [2, c. 258–259], которая, в свою очередь, является достаточным условием глобальной управляемости характеристическиx показателей Ляпунова [2, с. 31] этой системы. В работе [3] доказано, что достаточным условием равномерной глобальной квази-достижимости для двумерной системы (2) с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами является наличие у соответствующей системы (1) свойства равномерной полной управляемости. Определение 2 [4]. Cистема (1) называется равномерно вполне управляемой, если существуют такие числа σ > 0 и γ > 0, что при любых t0 >0 и x0 ∈ Rn на отрезке [t0, t0 + σ] найдется измеримое и ограниченное управление u, при всех t ∈ [t0, t0 + + σ] удовлетворяющее неравенству ku(t)k 6 γkx0k и переводящее вектор начального состояния x(t0) = x0 системы (1) в ноль на этом отрезке. В данной работе установлен аналогичный факт для трёхмерных систем с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами, т. е. справедлива Теорема. Пусть n = 3, m ∈ {1, 2, 3}. Если система (1) с локально интегриру-емыми и интегрально ограниченными коэффициентами равномерно вполне управля-ема, то соответствующая ей замкнутая система (2) обладает свойством равно-мерной глобальной квазидостижимости. Литература 1. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и её приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1996. 2. Макаров Е. К., Попова С. Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларуская навука, 2012. 3. Козлов А. А., Инц И. В. О глобальной ляпуновской приводимости двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. (в печати). 4. Тонков Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 10. С. 1804–1813.
К ПРОБЛЕМЕ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ А.И. Калинин Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики, Минск, Беларусь kalininai@bsu.by В классе r -мерных управляющих воздействий u(t), t ∈ [t∗, t∗], с кусочно непре-рывными компонентами рассматривается следующая задача оптимального управле-ния: ˙x = A(t)x + B(t)u, x(t∗) = x∗, (1) Hx(t∗) = g, J(u) = 1 2 t∗ Z t∗ u′P (t)u dt → min, (2) где t∗, t∗ — заданные моменты времени (t∗ < t∗), x — n -вектор, g — m -вектор (m 6 n). Остальные элементы задачи имеют соответствующие размеры, при этом среди терминальных ограничений нет «лишних», т. е. rank H = m. Элементы матриц, формирующих задачу, являются кусочно непрерывными функциями, при этом P (t) — положительно-определенная симметрическая матрица для всех t ∈ [t∗, t∗]. Предположение 1. Динамическая система (1) является управляемой на от-резке [τ, t∗ ] относительно подпространства Hx = 0 (см. [1]), при любом τ ∈ [t∗, t∗). Заметим, что для стационарной динамической системы это предположение экви-валентно требованию rank (HB, HAB, . . . , HAn−1B) = m. Введем в рассмотрение (m×n) -матричную функцию Q(t) как решение начальной задачи ˙Q = −QA(t), Q(t∗) = H. Предположение 1 гарантирует невырожденность (m × m) -матрицы C(t) =Rtt∗Q(τ )B(τ )P −1(τ )B′(τ )Q′(τ ) dτ для t < t∗. Теорема. При выполнении предположения 1 вектор-функция u(x, t) = P−1(t)B′(t)Q′(t)C−1 (t)(g − Q(t)x) является оптимальным управлением типа обратной связи в задаче (1), (2). Литература 1. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М., 1971. НЕМОНОТОННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ ЛЯПУНОВА. УСЛОВИЯ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА Л.Б. Княжище Институт математики НАН Беларуси, Минск, Беларусь klb@im.bas-net.by Представлены новые признаки стабилизации для уравнений нейтрального типа, имеющих контур управления d dtD(t, xt) = f (t, xt, ut), f (t, 0, 0) ≡ 0, (1)
где f : R+ × C([−r, 0], Rn) × D([−r, 0], Rm) → Rn, u : R+ × C([−r, 0], Rn) × ×D([−r, 0], Rm ) → Rm, x t(Θ) = x(t + Θ), Θ ∈ [−r, 0]. В качестве функционалов Ляпунова используются немонотонные функционалы не являющиеся знакоопреде-ленными [1, 2]. За счет расширения класса функционалов удается получить условия равномерной асимптотической устойчивости не содержащие априорного требования устойчивости разностного оператора и не предполагающие ограниченность правой части системы. Привлекая такие условия, оказывается возможным сформулировать несколько новых признаков оптимальной стабилизации Теорема 1. Пусть для уравнения (1) для некоторых чисел k > 1 и H > 0 най-дутся функционалы V (t, xt) и u0(t, xt) такие, что для некоторых функций класса Хана a, b, v, где a(ks) > b(s), при t ∈ R+, kxtk 6 H выполняются условия: 1) a(|x(t)|) 6 V (t, xt) 6 b(|x(t)|), если k|x(t)| > kxtk; 2) ω(t, xt, u0t) > v(|x(t)|), если t > t0, и k|x(t)| > kxtk, где x(t) — решение, порожденное начальными данными (t0, ϕ0) и управлением u0; 3) ˙V (t, xt, u0t) + ω(t, xt, u0t) = 0 ∀t > t0, где x(t) — решение, порожденное началь-ными данначаль-ными (t0, ϕ0) и управлением u0; 4) ˙V (t, xt, ut) + ω(t, xt, ut) > 0 ∀t > t0, где x(t) — решение, порожденное началь-ными данначаль-ными (t0, ϕ0) и управлением u. Тогда u0(t, x t) — оптимальное стабилизирующее управление для уравнения (1) и критерия качества с весовым функционалом ω. При изучении действия возмущений на стабилизированные системы эти условия позволяют получить новые оценки возмущений, не разрушающих стабилизирующих свойств оптимальных управлений. Полученные оценки не предполагают ограничений на величину возмущений в некоторых областях фазового пространства. Так для урав-нений вида d dtD(t, xt) = f (t, xt, ut) + R(t, xt, ut), у которых разностный оператор имеет вид D(t, xt) = x(t)+D1(t, xt) а весовая функция ω, удовлетворяет оценке l1|x(t)|2 6|ω(t, xt, ut)|, доказана Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1, V (t, xt) = (Dxt)TADxt+ V2(xt). Если для некоторого числа l < 1 при t ∈ R+, kxtk 6 H функция R удовлетворяет неравенству |R(t, xt, ut)| 6 l1l lmkkx tk, если k|x(t)| > kxtk, где lm — максимальное собственное число матрицы A, то стабилизирующее невозмущенную систему управление u0(t, x t) является стабили-зирующим управлением и для возмущенной системы. Литература 1. Гайшун И. В., Княжище Л. Б. Немонотонные функционалы Ляпунова. Условия устойчивости уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 8. С. 1291–1298. 2. Княжище Л. Б. Немонотонные функционалы в прямом методе Ляпунова для уравнений ней-трального типа // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 10. С. 1374–1383.
СВОЙСТВА ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ О.И. Костюкова1, Т.В. Чемисова2, М.А. Курдина1, 1Институт математики НАН Беларуси, Минск, Беларусь {kostyukova,kurdina}@im.bas-net.by
2University of Aveiro, Campus Universitario Santiago, Aveiro, Portugal
tatiana@ua.pt Пусть заданы следующие множества, матрицы, вектора и числа: I = I1∪ I2, I1∩ I2 = ∅, |I1| 6 n; J, |J| 6 n, D ∈ Rn×n , c ∈ Rn, D j ∈ Rp×p, Aj ∈ Rn×p, Bj ∈ Rsj×p, cj ∈ Rp, mj ∈ R, mj > 0, j ∈ J, qi ∈ Rn, ωi ∈ R, i ∈ I. Пусть K(j) = {l ∈ Rp : Bjl 6 0}, j ∈ J, D = DT, xT Dx > 0 ∀x ∈ Rn, D j = DTj, tTDjt 6 0 ∀t ∈ K(j), j ∈ J, и пусть из P i∈Iqi∆yi = 0,
∆yi >0, i ∈ I2, следует неравенство Pi∈Iωi∆yi >0.
Выберем некоторые целые числа (параметры) pj >1, j ∈ J, и рассмотрим задачу: P (pj, j ∈ J) : 1 2x T Dx −X j∈J pj X k=1 ykj 1 2t T kjDjtkj+ cTjtkj −X i∈I ωiyi → min, Dx +X j∈J Aj pj X k=1 ykjtkj + X i∈I qiyi+ c = 0, yi>0, i ∈I2; pj X k=1 ykj= mj, ykj>0, tkj∈K(j), k = 1, . . . , pj; j ∈J, где (x, tkj, ykj, k = 1, . . . , pj, j ∈ J; yi, i ∈ I) — вектор искомых переменных. Эта задача является задачей нелинейного программирования, в частности, при фиксиро-ванных ykj, k = 1, . . . , pj, j ∈ J, она становится задачей невыпуклого квадратичного программирования. Для задачи P (pj, j ∈ J) : — сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия оптимально-сти первого порядка; — исследованы свойства решений в зависимости от значений параметров pj > 1, j ∈ J; — доказано, что существуют такие числа pj > 1, j ∈ J, Pj∈Jpj 6 n − |I1| + |J|, что задача P (pj, j ∈ J) имеет оптимальное решение (x0, t0kj, ykj0 , k = 1, . . . , pj, j ∈ J; y0 i, i ∈ I), удовлетворяющее следующим свойствам: 1) y0 kj > 0, k = 1, . . . , pj, j ∈ J; 2) rank (Aj(t0kj−t01j), k = 2, . . . , pj, j ∈ J∗, qi, i ∈ I1∪I2a) = |I2a|+ P j∈Jpj+|I1| − |J|, где J∗ = {j ∈ J : pj >2}, I2a= {i ∈ I2 : y0i > 0}; 3) для ∀j ∈ J, векторы t0kj, k ∈ {s ∈ {1, . . . , pj} : ysj0 > 0}, — глобальные оптимальные решения задачи −12tTDjt − (cj + ATj x0) T t → min, t ∈ K(j).
Указанные три свойства необходимы при исследовании параметрических задач по-лубесконечного программирования. Описан алгоритм, который за конечное число итераций находит такие значения параметров pj, j ∈ J, которые обеспечивают выполнение свойств 1)–3). Проведен численный эксперимент. К ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ СИНГУЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ В.В. Крахотко, Г.П. Размыслович Белгосуниверситет, факультет прикладной математики и информатики, Минск, Беларусь {krakhotko,razmysl}@bsu.by Рассмотрим систему вида A0˙x(t) = Ax(t) + µ0f (x), t ∈ T = [0, t1], (1) где x = x(t) — n -вектор состояния в момент времени t; A0, A — постоянные n × n -матрицы, причем det A0 = 0; µ0 — малый параметр (|µ0| < 1); f(x) — достаточно гладкая n -вектор-функция. Начальное состояние x(0) системы (1) будем называть допустимым, если система (1) при этом состоянии имеет хотя бы одно решение. Предположим, что регулярен пучок матриц λA0 − A, т. е. найдется число λ0 ∈ ∈ C такое, что det(λ0A0 − A) 6= 0 и что допустимое начальное состояние x(0) = = z неизвестно, а априорная информация о нем имеет вид z ∈ X0 = {z | z ∈ Rn, d∗ 6z 6 d∗}, где d∗, d∗ ∈ Rn — некоторые заданные n -векторы. Пусть далее, есть дополнительная информация о поведении системы (1), описы-ваемая выходом y(t) = c′ x(t) + ξ(t), который в каждый момент t ∈ T с ошибкой ξ(t) измеряет проекцию состояния x(t) на вектор c ∈ Rn (kck = 1). Считаем, что реализациями помехи ξ(t), t ∈ T, могут быть любые достаточно гладкие функции, удовлетворяющие неравенствам ξ∗ 6ξ(t) 6 ξ∗, t ∈ T. Пусть y(t), t ∈ T — сигнал, записанный измерительным устройством. Множество X∗ = X(y(·)) векторов z ∈ X0, которые могут вместе с некоторыми допустимыми помехами ξ(t), t ∈ T, породить наблюдаемый сигнал y(·) = (y(t), t ∈ T ), назовем апостериорным распределением начального состояния системы (1). Множество X∗ в общем случае имеет сложную структуру, но в конкретных зада-чах оптимизации квазилинейных систем достаточно знать лишь определенные число-вые характеристики (оценки) этого множества. Одной из важнейших характеристик множества X∗ используемых в терминальных задачах оптимального управления, является его протяженность max h′z, z ∈ X∗, (2) в направлении h ∈ Rn. Вычисление оценки (2) апостериорного распределения начального состояния назо-вем задачей оптимального наблюдения за квазилинейными системами вида (1). Так как параметр µ0 в (1) является малым по модулю числом, то естественным методом решения задачи (2) является асимптотический [1, 2]. Предлагается алгоритм построения асимптотического решения задачи оптимального наблюдения.
