Sumário. Actividades Matemáticas Números O levantar do véu. História dos Números. História dos Números. Exercício nº1

Actividades Matemáticas –

“Números – O levantar do véu”

Ana Silva

Helena Alves (colaboração) Nuno Pena

Sumário

• Milhares, Biliões e outros Ziliões;

• O Sistema na Babilónia; ( e outros sistemas)

• Os padrões geométricos proporcionam bonitas demonstrações;

• Noves fora nada;

• As cores revelam padrões;

• Números poligonais ( contagem, triangulares, quadrados, pentagonais e hexagonais)

• Muitas Actividades.

História dos Números

• Há muitas palavras associadas aos números:

História dos Números

• A palavra “número” é de origem indo-europeia e significa “porção” ou “parte” e parece estar originalmente ligada à divisão da terra.

Exercício nº1

1. Escreve uma palavra que conheças que possa estar associada aos seguintes números: a) Número 2;

b) Número 7; c) Número 10; d) Número 12;

Milhares, Biliões e outros Ziliões

• Cerca de 1484, Chuquet inventou as palavras

bilião, trilião, …, nonilião para denotar a 2ª,

3ª, …, 9ª potência do milhão. Em meados do século XVII outros aritméticos usaram os mesmos nomes mas de forma distinta, para a 3ª, 4ª, … 10ª potência de um milhar.

Milhares, Biliões e outros Ziliões

Nome Europeu (millhão) Americano (milhar)

Bilião 1000000*1000000 1000*1000*1000 Trilião ???? ?????

…… …… ……

Exercício nº2

Comenta a seguinte afirmação: “No New York Times da semana passada foi referido que Portugal tinha um PIB de 150 biliões de euros. Na mesma semana o Público referiu que Portugal tinha um PIB de 150 mil milhões de euros”.

Exercício nº3

Nome Nome Nome

Nome Sistema Sistema Sistema Sistema Europeu EuropeuEuropeu

Europeu AmericanoAmericanoAmericanoAmericanoSistema Sistema Sistema Sistema Bilião Bilião Bilião Bilião Trilião Trilião Trilião Trilião Quadrilião Quadrilião Quadrilião Quadrilião

Completa a próxima tabela:

Milhares, Biliões e outros Ziliões

Designar-se-á por Zilião qualquer uma das palavras terminadas em ilião com o ܰ − éݏ݅݉݋ ilião a valer 106ܰ _{no sistema. Os nomes dos primeiros 9}

Ziliões são: Milhão; Bilião; Trilião; Quadrilião; Quintilião; Sextilião; Septilião; Octilião; Nonilião; Centilião (para o 100º Zilião).

Exercício nº04

1. Como se chama:

A. O Zilião de ordem um milhão e quatro? B. O Zilião de ordem dois milhões e oito?

Como se escrevem os números: O

Sistema na Babilónia

• Os babilónios utilizavam a escrita cuneiforme constituída por apenas dois símbolos.

Como se escrevem os números: O

Sistema na Babilónia

Exercício nº5, 6 e 7

1. Escreve os seguintes números da base decimal para a base sexagésimal:

A. 100; B. 121; C. 1801; D. 3691;

Como se escrevem os números: O

Sistema na Grécia

Como se escrevem os números: O

Sistema Romano

Como se escrevem os números: O

Sistema no antigo Egito

Números hindu-árabes (Nosso)

Curiosidade: O que é isto?

História e Números – Próxima Aula

• Números noutras bases;

• Os números estão agrupados em Espécies de números e existem números especiais que veremos na próxima aula.

Os padrões geométricos proporcionam

bonitas demonstrações

• As colunas com a mesma cor possuem o mesmo resto. A estes conjuntos chamamos de

classes residuais.

Padrões geométricos

Padrões geométricos

Gauss

Congruente módulo ݊

Noves fora nada

• Somar todos os seus dígitos.

• Subtrair sucessivamente 9 até obter um número menor que 9.

Actividade nº9

1. Utilizando a Prova dos Nove:

a) Verifica se o cálculo de 239x123=29390 se encontra correcto.

b) Verifica se a seguinte operação 239x123=93972 se encontra bem calculada.

Prova dos Nove

• O teste não detecta os erros cometidos, por exemplo, na ordenação dos dígitos.

• Fica assegurado que exceptuando uma eventual troca de 0 por 9, e vice-versa, nenhum outro erro de escrita num só dígito pode ter sido cometido.

Actividade 10

1. Tens um envelope com vários números de várias cores.

a) Escolhe um número par até 9.

a) Ordena os números em K+1 colunas em que K é o teu número escolhido.

b) Regista o que observas.

b) Escolhe um número impar até 10.

a) Ordena os números em K+1 colunas em que K é o teu número escolhido.

b) Regista o que observas.

As cores revelam padrões

• Ordenando peças coloridas obtêm-se padrões regulares desenhados pelas classes residuais. • Se o comprimento de uma linha for ímpar,

então os números ímpares e os pares formam um padrão axadrezado.

Actividade 11

1. Para cada tabela pinta a célula que corresponde aos quadrados perfeitos. a) Une os pontos.

b) Será possível formar parábolas com as células pintadas?

Gnómon (conhecedor)

• Gnómon - peça que podia juntar-se a uma

figura para produzir uma figura da mesma forma, mas de tamanho maior.

݊2+ ሺ2݊ + 1ሻ = ሺ݊ + 1ሻ2

Números poligonais

• Número de LADOS de um número poligonal:

ܮ

_݌ሺܣ

_ሻ

= ܣ

_݊

− ܣ

_݊−1

+ 2

Números de Contagem

Números Triangulares

•

Os números triangulares constroem-se

com a junção de um gnómon em forma

de linha.

Números Triangulares

1

3

6

Actividade nº12

• Utilizando os materiais à disposição, constrói os números triangulares até à “ordem 7”. • As figuras geométricas são sempre triângulos? • Quais são os números triangulares até á 7ª

Números Quadrados

1

4

9

…… 1, 4, 9, …

Actividade nº13

• Utilizando os materiais à disposição, constrói os números quadrados até à “ordem 6”. • As figuras geométricas são sempre

quadrados?

• Quais são os números quadrados até á 6ª Ordem?

Software MathematicaPlayer

MathematicaPlayer

Relações Triangulares

• Se pusermos dois números triangulares de lado justapostos obtemos um rectângulo de lado .݊ e ݊ +1

Actividade nº15

1. Relação entre triângulos.

A. Constrói três triângulos de ordem 2 e um triângulo de ordem 1 de forma a obter próxima imagem.

B. Volta a construir três triângulos mas agora de ordem 3 e um triângulo de ordem 2.

C. Relaciona as ordens dos triângulos iniciais com a ordem do triângulo obtido.

Relações Triangulares

Números Pentagonais

1

5

12

…… 1, 5, 12, …

Actividade nº16

• Utilizando os materiais à disposição, constrói os números pentagonais até à “ordem 5”. • As figuras geométricas são sempre

pentágonos?

• Quais são os números pentagonais até á 6ª Ordem?

Números Hexagonais

1

6

15

Actividade nº17

• Utilizando os materiais à disposição, constrói os números hexagonais até à “ordem 4”. • As figuras geométricas são sempre

hexágonos?

• Quais são os números hexagonais até á 5ª Ordem?

“Fórmula Geral” dos Números

Poligonais

• O número poligonal com p lados e n bolhas em cada lado é igual a:

݊ + ሺ݌ − 2ሻΔ݊−1=

1

2݌݊ሺ݊ − 1ሻ − ݊ሺ݊ − 2ሻ

Curiosidades:

• O nº hexagonal pode ser escrito como uma combinação de números triangulares • Apenas os números triangulares com um

número ímpar de “bolhas” de cada lado são hexagonais.

Hexanúmeros

ܐ܍ܠ

= 1 + 6Δ

= 1 + 3݊ + 3݊

Actividade

- ܐ܍ܠ

₃

- ܐ܍ܠ

₅