Reference Dependent Preferences in a Dynamic Environment

(1)

Introdu¸c˜ao Aplica¸c˜ao Axiomas

Reference Dependent Preferences in a Dynamic

Environment

Gil Riella

Apresentador: Gustavo Coelho

Programa de Educa¸c˜ao Tutorial – Departamento de Economia Universidade de Bras´ılia

(2)

Introdu¸cão Aplica¸cão Axiomas 1 Introdu¸cão Formaliza¸cão 2 Aplica¸cão Tipos de agentes Hipóteses Desemprego Exemplo espec´ıfico 3 Axiomas

(3)

Introdu¸c˜ao

Aplica¸c˜ao Axiomas

Formaliza¸c˜ao

Introdu¸c˜

ao

Modelo de dois per´ıodos.

Escolha do 1◦per´ıodo age como referˆencia no 2◦ (Status Quo).

Adiciona risco `a modelagem de Kreps (1979).

(4)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Job Search

Microfundamenta¸c˜ao para modelos Macroeconˆomicos.

Descreve um indiv´ıduo que deve escolher entre ofertas de em-prego.

Interessante forma de descrever o mercado de trabalho.

(5)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Job Search

Salário e horas vagas são os critérios de decisão. 1◦ per´ıodo agente recebe ofertas de emprego.

Cada oferta est´a associada a um menu de alternativas para o

2◦ per´ıodo.

Tem de escolher um emprego hoje, mas tamb´em est´a

(6)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Modelo Riella 2006

Cada oferta est´a associada a uma distr. de prob. no espa¸co de poss´ıveis menus para amanh˜a.

N˜ao ´e mais como se o agente tivesse que escolher entre menus ponderando a escolha no primeiro per´ıodo.

(7)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

Seja X um conjunto finito n˜ao vazio de alternativas.

Deixe A ser o conjunto de todos subconjuntos n˜ao vazios de

X.

Deixe ∆(A) denotar o espa¸co de todas as medidas de

probabi-lidade sobre A.

Os elementos genericos de X s˜ao denotados por x , y , z,etc. Os de A s˜ao denotados por A, B, C ,etc.

(8)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

X.

Aqueles de ∆(A) s˜ao denotados por p, q, r ,etc.

(9)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

X.

(10)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

X.

Os elementos genericos de X s˜ao denotados por x , y , z,etc.

Os de A s˜ao denotados por A, B, C ,etc.

(11)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

X.

(12)

Introdu¸c˜ao

Formaliza¸c˜ao

Formaliza¸c˜

ao

X.

(13)

Introdu¸cão Aplica¸cão Axiomas Tipos de agentes Hipóteses Desemprego Exemplo espec´ıfico

Escolha com referˆ

encia

Teorema 3

Seja % uma rela¸cão de preferências completa em X × ∆(A). Se % satisfaz Racionalidade Limitada e Dominância Referencial se e somente se existem fun¸cões v : X → R,

u∗ : X → R, W : v(X) × [min u∗(X), max u∗(X)] → R, com W

continuo e crescente, e uma correspondˆencia Q : X ⇒ X tal que

para cada (x , p), (y , q) ∈ X × ∆(A),

(x , p) % (y , q) ⇐⇒ W (v(x), U(x, p)) ≥ W (v(y ), U(y , q)) onde para qualquer (x , p) ∈ X × ∆(A),

U(x , p) := X A∈A p(A)    max y ∈A∩Q(x )u ∗_{(y ) se A ∩ Q(x ) 6= ∅} max y ∈A u

(14)

Escolha com referˆ

encia

Teorema 3

para cada (x , p), (y , q) ∈ X × ∆(A),

(x , p) % (y , q) ⇐⇒ W (v(x), U(x, p)) ≥ W (v(y ), U(y , q))

onde para qualquer (x , p) ∈ X × ∆(A),

∗_{(y ) caso contr´}_ario0

(15)

Escolha com referˆ

encia

Teorema 3

para cada (x , p), (y , q) ∈ X × ∆(A),

(16)

Escolha com referˆ

encia

Teorema 3

para cada (x , p), (y , q) ∈ X × ∆(A),

∗_{(y ) caso contr´}_ario0

(17)

Regi˜

ao de atra¸c˜

ao

Q(x) = U_u(x ) ∪ {x }

(18)

Regi˜

ao de atra¸c˜

ao

Q(x) = U_u(x ) ∪ {x }

sendo Uu(x ) := {y ∈ X : u(y ) > u(x )}

(19)

Tecnologia de comprometimento

Vamos trabalhar com um caso de referˆencia de um agente que tem

preferˆencias %c dado por:

(x , p) %c (y , q) ⇐⇒ W v(x ),X A∈A p(A)max y ∈Au ∗ (y ) ! ≥ W v(y ),X A∈A q(A)max y ∈Au ∗ (y ) !

(20)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

Existe uma alternativa ∈ X tal que v () < v (x ) ∀ x ∈ X e Q() = X

´e a op¸c˜ao desemprego.

Assumimos que qualquer emprego ´e melhor que ficar

desem-pregado.

Para cada emprego x ∈ X , px é a distribui¸cão de probabilidade. Hipótese 2

Para cada x ∈ X , px(A) = 0 se x /∈ A

O agente nunca ´e demitido do per´ıodo 1 para o 2.

(21)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

desem-pregado.

(22)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

desem-pregado.

(23)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

desem-pregado.

Para cada emprego x ∈ X , px ´e a distribui¸c˜ao de probabilidade.

Hip´otese 2

(24)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

desem-pregado.

(25)

Hip´

oteses

Hip´otese 1

desem-pregado.

(26)

Escolha entre oferta e desemprego

Agente com preferˆencias comprometidas:

W v(x ),X A∈A px(A)max y ∈A f (u(y )) ! > W v(),X A∈A p(A)max y ∈A f (u(y )) !

Agente com preferˆencias como no teorema 3:

W v(x ),X A∈A px(A) max y ∈A∩Q(x ) f (u(y )) ! > W v(),X A∈A p(A)max y ∈A f (u(y )) !

(27)

Escolha entre oferta e desemprego

(28)

Escolha entre oferta e desemprego

(29)

Escolha entre oferta e desemprego

W v(x ),X A∈A px(A) max y ∈A∩Q(x ) f (u(y )) ! > W v(),Xp(A)maxf (u(y )) !

(30)

Exemplo espec´ıfico

Assumimos que f ´e uma Cobb-Douglas.

f (u(x )) = u1(x )αu2(x )1−α para algum α ∈ (0, 1) v(x ) = f (u(x ))

W (v, u) = v + βu para algum β ∈ (0, 1)

Podemos identificar cada emprego em X como um par (u, u) ∈ [0, 1]2

No segundo per´ıodo s´o se recebe uma oferta de emprego.

A probabilidade que um agente vai receber uma oferta de em-prego ´e uma distribui¸c˜ao uniforme em [0, 1]2

(31)

Exemplo espec´ıfico

f (u(x )) = u1(x )αu2(x )1−α para algum α ∈ (0, 1)

v(x ) = f (u(x ))

(32)

Exemplo espec´ıfico

(33)

Exemplo espec´ıfico

(34)

Exemplo espec´ıfico

(35)

Exemplo espec´ıfico

(36)

Exemplo espec´ıfico

(37)

Exemplo espec´ıfico

A rela¸cão de preferência do agente comprometido pode ser representado simplesmente pela fun¸cão v.

A preferência não comprometido pode ser repsentada por uma fun¸cão G : [0, 1]2→ R dada por:

G (u, u) = uα₁u1−α₂

ut. derivada no primeiro per´ıodo + βu₁αu₂1−α 1 − Z 1 u2 Z 1 u1 dx1dx2

ut. descontada do seg. per. caso recuse o emprego vezes a prob. + β Z 1 u2 Z 1 u1 x₁αx₂1−αdx1dx2

(38)

Exemplo espec´ıfico

G (u, u)

= uα₁u1−α₂

ut. esperada descontada do emprego que seria aceito no seg. per´ıodo

(39)

Exemplo espec´ıfico

G (u, u) = uα₁u1−α₂

ut. derivada no primeiro per´ıodo

+ βu₁αu₂1−α 1 − Z 1 u2 Z 1 u1 dx1dx2

(40)

Exemplo espec´ıfico

G (u, u) = uα₁u1−α₂

ut. descontada do seg. per. caso recuse o emprego vezes a prob.

+ β Z 1 u2 Z 1 u1 x₁αx₂1−αdx1dx2

ut. esperada descontada do emprego que seria aceito no seg. per´ıodo

(41)

Exemplo espec´ıfico

G (u, u) = uα₁u1−α₂

ut. descontada do seg. per. caso recuse o emprego vezes a prob.

(42)

Curvas de indiferen¸ca

Curvas de indiferen¸ca da fun¸c˜ao G quando α = 0, 5 e β = 0, 95

(43)

Curvas de indiferen¸ca

(44)

Introdu¸c˜ao Aplica¸c˜ao

Axiomas

Axioma 4

Racionalidade de segundo per´ıodo

Para qualquer A, B ∈ A e x ∈ X, se existe um conjunto C ∈ A ∪ {∅} tal que (x , A ∪ C ) (x, A ∪ B ∪ C ), ent˜ao (x , B ∪ D) ∼ (x , A ∪ B ∪ D) para todo D ∈ A ∪ {∅}.

(45)

Axiomas

Defini¸c˜

ao 2

Defini¸c˜ao 2

Para x , y , z ∈ X dizemos que y ´e x-favorecida a z, escrito como y Bx z, se

(46)

Axiomas

Defini¸c˜

ao 3

Defini¸c˜ao 3

Para x , y ∈ X, dizemos que y ´e x-favorecida se

1 Existe z ∈ tal que y Bx z,

2 _{ou y 7x} _{z para todo z ∈ X, mas existe}

z, w ∈ X tal que(x , {y }) (x , {z}), z 7x y e z Bxw

Para cada x ∈ X definimos o conjunto R(x ) por: R(x) := {y ∈ X | y ´e x-favorecida}

(47)

Axiomas

Defini¸c˜

ao 3

Defini¸c˜ao 3

z, w ∈ X tal que(x , {y }) (x , {z}), z 7x y e z Bxw Para cada x ∈ X definimos o conjunto R(x ) por:

(48)

Axiomas

Defini¸c˜

ao 3

Defini¸c˜ao 3

z, w ∈ X tal que(x , {y }) (x , {z}), z 7x y e z Bxw

Para cada x ∈ X definimos o conjunto R(x ) por: R(x) := {y ∈ X | y ´e x-favorecida}

(49)

Axiomas

Defini¸c˜

ao 3

Defini¸c˜ao 3

z, w ∈ X tal que(x , {y }) (x , {z}), z 7x y e z Bxw Para cada x ∈ X definimos o conjunto R(x ) por:

(50)

Introdu¸c˜ao Aplica¸c˜ao Axiomas

Axioma 5

Racionalidade Limitada Para A, B ∈ A e x ∈ X, se A ∪ B ⊆ R(x ) ou A ∪ B ⊆ X\R(x ), ent˜ao (x , A) % (x, B) implica (x, A) ∼ (x, A ∪ B).

(51)

Axiomas

Axioma 6

Dominˆancia Referencial

Para A ∈ A e x ∈ X, se y ∈ A, y /∈ R(x) e existe z ∈ A tal que

(52)

Axiomas

Lema 1

Seja % uma rela¸cão de preferências completa em X × ∆(A). Se % satisfaz Racionalidade Limitada e Dominância Referencial, então % satisfaz Racionalidade de segundo per´ıodo.