6. Capitalização. E.g., a 5 anos à taxa juro anual de 3,5% resulta no fim do prazo uma entrega de x(1+3,5%)^5 = 118.

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Sumário

Sumário(16ª aula)(16ª aula)

6. Capitalização

6.2. Capitalização simples 6.3. Taxa de juro anual equivalente 6.4. Noção de Desconto

23 Nov. 2004

Capitalização composta

• Vimos que os contratos de empréstimo consideram

um montante e uma taxa de juro por unidade de tempo

• E.g., 100.000 € a 5 anos à taxa juro anual de 3,5%

• É necessário calcular o total a “devolver” ao fim do

prazo

3

Capitalização composta

• E.g., 100.000 € a 5 anos à taxa juro anual de 3,5%

resulta no fim do prazo uma entrega de

• 100.000x(1+3,5%)^5 = 118.768,63€

• Mas esta “conta” é difícil de fazer

• E quando a taxa de juro anual e o prazo são pequenos,

posso desprezar os “juros de juros”

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Capitalização simples

• Se não considerar os “juros de juros” no fim do prazo

a entrega será

• 100.000x(1+3,5%x5) = 117.500,00€

• O “erro” será de 1,27% (1268,63€)

• Em vez de uma série geométrica uso uma aritmética

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• A operação “aritmética” é mais facilmente entendida

pelos agentes económicos que compram bens e

serviços a crédito:

• Frigoríficos, televisores, automóveis, férias no

Brasil, etc.

• Então, nestes contratos a capitalização é “simples”

6

• Recordo que

• Ln[V.(1+r)^n]= Ln(V) + n.ln(1+r)

≈ Ln(V) + n. r, sse r ≈ 0

• Ln(V) + n. r

≈ Ln[V. (1 + n. r)], sse n. r ≈ 0

• Quer dizer que V.(1+r)^n

≈ V.(1+r.n) se e só se r e r.n

forem próximos de zero.

(2)

• Para a mesma taxa, o juro capitalizado de forma

composta é sempre maior que o juro capitalizado de

forma simples (tem os juros de juro), excepto se a

taxa de juro fosse negativa.

• Mas é necessário eu saber qual é a taxa verdadeira

Taxa Anual Equivalente

• Mas queremos saber qual seria à taxa anual se a

capitalização fosse a composta

• Por exemplo, comprei um frigorífico por 250€ a pagar

no fim de 2 anos com um juro simples anual de 5%

• 250x(1+2x5%) = 250x(1+r)^2

• r = (1+2x5%)^0,5 – 1 = 4,88%

• A taxa de juro anual equivalente é de 4,88%

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Capitalização com contrato complexo

• Por exemplo, tenho um cartão de crédito

• Tem um tecto de 1000€

• No fim dos meses, amortizo pelo menos 10% da dívida

• Sobre a parte que não pagar, incide 1% de taxa de juro

• Mais 1€ de mensalidade

• Quanto é a taxa de juro anual equivalente que pago?

• É dependente do perfil do cliente.

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• Podemos dizer que 1% ao mês corresponde a uma

taxa anual de (1,01)^12 – 1 = 12,68%

• Vejamos um cliente que comprar todos os meses 300€

e fica a dever 500 €. Cada mês paga 5€ + 1€ de juros:

meses meses 300€ 300€ 305€305€ 300€300€ 305€305€ 300€300€ 305€305€ 300€300€ 305€305€ --500€500€ --500€500€ --500€500€ --500€500€ --500€500€ 11

• Assumindo as compras no meio dos meses, o capital

médio em divida é 300€/2 + 500€ = 650€

• O juro mensal é de 6€ (taxa mensal de 6/650 = 0,92%)

• TAE de 1,0092^12 – 1 = 11,66%

meses meses

12

Capitalização com prestações

• Mas, normalmente, os contratos têm prestações

periódicas

• E.g., por cada 100€, pagar 9€ por mês durante 1 ano

• Qual a TAE?

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Tmensal 1,20% TAE 15,45%

Mês Inicio Juros Amort Fim

1 100,00 1,20 9,00 92,20 2 92,20 1,11 9,00 84,31 3 84,31 1,02 9,00 76,33 4 76,33 0,92 9,00 68,25 5 68,25 0,82 9,00 60,07 6 60,07 0,72 9,00 51,79 7 51,79 0,62 9,00 43,42 8 43,42 0,52 9,00 34,94 9 34,94 0,42 9,00 26,36 10 26,36 0,32 9,00 17,68 11 17,68 0,21 9,00 8,89 12 8,89 0,11 9,00 0,00

• E se fizéssemos uma conta “simples”

• Se amortizo, em média devo metade (50€)

• Pago de juros 8€

• A taxa de juro anual é aproximadamente 16%

• A TAE que determinei com o Solver é 15,45%!!!

15

• Em termos matemáticos, a determinação da TAE

implícita num contrato complexo é difícil, tendo

muitas vezes que ser feito por tentativa e erro.

• Normalmente, constrói-se um modelo numa folha de

cálculo e usa-se a ferramenta

Solver.

16 Exercícios de aplicação

Exercícios de aplicação ((ininSoares etSoares etCadilheCadilhe, 1976: 11, 1976: 11--60)60)

Questão 1:

No fim do ano uma empresa atribui 1000€ de premio à primeira criança a nascer no dia 1 de Jan de 2005.

Sendo que o dinheiro é depositado com a remuneração de 1% por semestre e só pode ser levantado quando a criança atingir os 18 anos.

Quanto receberá a criança quando levantar o dinheiro?

A)1430,77€ B) 1360,00€ C) 1340,73€ C) 1403,37€

Exercício 1:

Ao fim do prazo, de correram 18x2=36 semestres O valor será 1000x(1,01)^36 = 1430,77€ É a resposta A)

A) 1430,77€ B) 1360,00€ C) 1340,73€ C) 1403,37€

Questão 2:

Dois primos que fazem anos no mesmo dia, no dia em que fizeram um 10 anos e outro 15 anos, receberam de herança 100 000 Euros em certificados de aforro; estipulava-se que aquela quantia deveria ser repartida de forma que cada um recebesse aos 18 anos o mesmo valor.

Se vigorar a taxa de juro anual de 2.5%, qual deve ser o montante recebido pelo mais novo?

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Exercícios de aplicação

Questão 2:

Um demora 8 anos e outro 3 anos

Sendo X o dinheiro que o mais novo recebe e arredondando a 4 casas decimais X.(1+2,5%)^8 = (100.000-X).(1+2,5%)^3

X.1,2184= (100.000-X).1,0769 1,2953.X=107.690, X = 46917,61 (é a A)

A) 46917,34€ B) 46193,74€ C) 49617,43€ D) 46371,94€

l Questão 3 - Num empréstimo de 100.000€, convencionou-se que o devedor

faria o pagamento só no fim do 4º ano, liquidando então 124.000€.

l Qual é a taxa de juro anual equivalente implícita no contrato?

A) 6,00% B) 5,53% C) 6,23€ D) 5,87%

l Questão 3-l 100.000x(1+r)^4=124.000 l r = 1,24^0,25-1 = 0,05525 l A) 6,00% B) 5,53% C) 6,23€ D) 5,87% 22 Exercícios de aplicação

l Questão 4 - Qual o valor total acumulado por um capital de 1.000€ após 30

anos e meio de capitalização composta, à taxa trimestral de 0,5%?

l A)1610,00€ B)1743,76€ C) 1.837.64€ D)1941,43€

l Qual a TAE?

l A) 2,00% B) 2,02% C) 2,04% D) 2,06%

l Questão 4 - Qual o valor total acumulado por um capital de 1.000€ após 30

anos e meio de capitalização composta, à taxa trimestral de 0,5%?

l 1000€x1,005^(30,5x4) = 1.837.64€, opção C l A)1610,00€ B)1743,76€ C) 1.837.64€ D)1941,43€ l Qual a TAE? l (1+0,5%)^4 = 1,005^4 = 2,0151%, opção B l A) 2,00% B) 2,02% C) 2,04% D) 2,06% 24 Exercícios de aplicação

l Questão 5 - Em 1873 foi vendido um quadro por 100 contos de Reis.

l Sendo que foi vendido em 2004 por 2,5 milhões de €, qual foi a TAE de

valorização?

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l Questão 5 - Em 1873 foi comprado um quadro por 100 contos de Reis.

l Sendo que foi vendido em 2004 por 2,5 milhões de €, qual foi a TAE de

valorização?

l 100x(1+r)^131=500.000

l r =5.000^(1/131)-1= 0,06718, opção A)