José Henrique Galeti

Métodos de Demodulação de Fase Aplicados a Interferômetros de Dois Feixes Realimentados

Trabalho apresentado como requisito para a obtenção do título de doutor no Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de Ilha Solteira. Especialidade: Automação

Orientador:

Prof. Dr. Cláudio Kitano UNESP - FEIS

Co-orientador:

Prof. Dr. Michael J. Connelly Universidade de Limerick - Irlanda

ILHA SOLTEIRA 2016

desta obra, e, as pessoas que Ele tem escolhido com co-autor, em especial

minha esposa Rosângela e meus filhos Henrique e Arthur.

Ao professor Dr. Cláudio Kitano que, como grande incentivador deste estudo, me orientou dedicadamente neste trabalho, apoiando as ideias propostas e incentivando a participação em congressos nacionais e internacionais além de um intercambio anual na Irlanda. Além da gratidão, é importante registrar que: graças ao seu caráter associado a humildade, sempre colocando os interesses coletivos acima dos individuais, assumiu o risco de apoiar as ideias desenvolvidas neste trabalho. Privilegiando a iniciativa à sapiência, sempre incentivou o desenvolvimento de novas ideias desde as primeiras investigações até a divulgação dos resultados, atribuindo aos seus orientados todos os méritos.

Ao professor Dr. Michael Connelly por me receber na Universidade de Limerick na Irlanda, orientar e apoiar as ideias lá propostas.

Aos professores Drs. Andrés Pablo Barbero e Marcelo Werneck disposição e paciência, tendo em vista o longo translado, em participar da banca de avaliação.

Aos professores Drs. Aparecido Augusto de Carvalho, Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, Rodrigo Cardim e Ricardo Tokio Higuti, pelo apoio, sugestões, disposição e paciência em participar de bancas de avaliação.

Aos companheiros de laboratório Aline, Andryos, Fernando, Sílvio, Vander, Marlon, Paula, Rafael, Guilherme, Roberta, Everaldo, Chaves, Lukas e Aidan pela colaboração e momentos de descontração igualmente importante para a realização deste trabalho. Aos amigos Samir Nakad e Marli que cumpriram a árdua tarefa de apoiar e incentivar incondicionalmente.

Ao meu pai, aos meus irmãos, tios e avôs pelos ensinamentos diretos e indiretos, a sala de aula da vida.

A minha mãe “in memoriam”

A interferometria óptica é uma técnica amplamente reconhecida por sua sensibilidade extremamente elevada para a medição de diversas grandezas físicas. Em particular, quando aplicada à medição de deslocamentos mecânicos, permite a detecção de movimentos micrométricos e nanométricos em sólidos. Neste trabalho são enfatizados dois arranjos interferométricos: (i) um interferômetro de Michelson homódino em montagem volumétrica, aplicado à detecção de deslocamentos gerados por atuadores piezoelétricos flextensionais; e (ii) um interferômetro polarimétrico aplicado a detecção de alta-tensão, sendo ambos realimentados. O trabalho se insere na linha de pesquisas desenvolvidas no Laboratório de Optoeletrônica (LOE) da FEIS-UNESP dedicada à concepção de técnicas inéditas de detecção interferométrica de fase óptica. Propõe-se na tese, a implementação de técnicas inovadoras de demodulação de fase aplicadas a interferômetros de dois feixes, divididas em dois grupos: (a) métodos de demodulação baseados na análise do espectro do sinal fotodetectado; (b) método de demodulação heteródino sintético realimentado. Além desses, apresenta-se um estudo de viabilidade de um interferômetro homódino em malha fechada que seja capaz de detectar a fase óptica de um sinal com forma de onda arbitrária, e com elevado conteúdo de ruído eletrônico. Os métodos propostos foram implementados e aplicados experimentalmente em medidas de micro e nanodeslocamentos de atuadores piezoelétricos, e também, à medição de alta-tensão. Restou demostrado, através dos experimentos, a capacidade dos métodos de detectar amplitudes de deslocamentos entre de 10 nm a 5 μm, independente das variações das características ambientais no local do interferômetro. Confirmou-se também a viabilidade de medição de ordens elevadas de conteúdo harmônico de sinais de alta-tensão, através do uso de um interferômetro polarimétrico em conjunto com o método heteródino sintético controlado com sistema de realimentação.

Palavras-chaves: Interferometria medição de deslocamentos nanométricos. detecção de fase óptica. interferômetro de Michelson. medição de alta-tensão. interferômetro polarimétrico. realimentação.

Optical interferometry is a well-known technique successfully used for extremely high sensitivity measurements of physical quantities. In particular, as a mechanical displacement sensor, allows micrometric and nanometric displacement detection. In this paper, we show two experimental schemes: (i) A visible laser Michelson interferometer, volumetric assembly, applied to the displacement detection generated by the piezoelectric flextensional actuators; and (ii) a polarimetric interferometer applied to high voltage detection, both using feed-back control. The work is part of the research line carried out by Optoelectronics Laboratory (LOE) at FEIS-UNESP aimed to design innovative interferometric optical phase detection techniques. Theoretically idealized, and experimentally implemented, phase demodulation techniques proposed in this work are divided into two groups: (a) demodulating method based on spectrum analysis of detected signal (by a photodiode); (B) synthetic heterodyne demodulation with control loop scheme. Furthermore, a feasibility study of a homodyne closed loop interferometer is presented, which effectively detect arbitrary signal at high electronic noise content. The proposed methods were implemented and experimentally applied to piezoelectric actuators nano displacement measurements, and also to high voltage measurements. The system was successfully used to measure amplitude displacement from 10 nm to 5 µm under typical interferometer environmental drift. The presented, synthetic-heterodyne demodulation scheme using control loop was successfully used to measure high-voltages (HV) signals. The sensor system, proposed, was used to measure a 60 Hz HV signal with an amplitude range for 300 V to 7.5 kV, and highly distorted 4 kV signal. The experimental results show good agreement with measurements taken using the industry standard signal coincidence method and consequently the new scheme has many potential applications for high-voltages sensing.

Keywords: interferometry measurement of nanometric displacements. optical phase detection. interferometer. high-voltage measurement. polarimetric interferometer. closed-loop.

Figura 1 - Protótipos de atuadores piezoelétricos flextensionais. (a) e (c) Abertos, com dois pontos de medição (em cima e embaixo). (b) e (e) Fechados com quatro pontos de medição. (d) e (f) Fechados com dois pontos de medição...20 Figura 2 - Atuadores piezoelétricos flextensionais com duas piezocerâmicas. (a) e (b) Deslocadores

XY...23 Figura 3 - Interferômetro de Michelson básico (usado no LOE para experiências demonstrativas). a) Esquema geral. b) Montagem experimental. c) Franjas de interferência...25 Figura 4 - Diagrama esquemático de um interferômetro de Michelson com malha de controle

proporcional...36 Figura 5 - Modulador eletroóptico de intensidade em configuração de sensor óptico de tensão

elevada...44 Figura 6 - Representação do experimento de Young para duas fontes de luz...49 Figura 7 - Desenho esquemático do interferômetro de Michelson e vista em detalhe que se

assemelha ao experimento de Young...53 Figura 8 - Simulação dos três tipos de franjas que um interferômetro de Michelson pode produzir: a) franjas circulares: a = 0 µm e ∆z = 0,5 µm, b) franjas intermediárias: a = 30 µm e ∆z = 50 µm c) franjas retas e paralelas: a = 30 µm e ∆z = 0 m...56 Figura 9 - Curva caraterística do interferômetro que relaciona a variação de fase com a intensidade

óptica ...57 Figura 10 - Sinais interferométricos simulados. A linha, cujo sinal possui intensidade máxima

unitária, representa o sinal de excitação enquanto que a linha cujo sinal possui

intensidade menor representa o sinal recuperado. Em (BARBOSA, 2009)...60 Figura 11 - Sinais interferométricos somados a uma perturbação ambiental de 200 Hz. a) Com

frequência de excitação de 5 kHz e período de aquisição de 0,2 ms. b) Com frequência de excitação de 500 Hz e período de aquisição de 2 ms (LEÃO,2004)...61 Figura 12 - Diagrama da célula Pockels empregada neste trabalho...62 Figura 13 - Diagrama do modulador de amplitude baseado em célula Pockels empregada neste

trabalho...66 Figura 14 - Padrão de interferência na configuração com birrefringência natural (sem campo

elétrico)...67 Figura 15 - Padrão de interferência na configuração sem birrefringência natural (sem campo

elétrico)...67 Figura 16 - Configuração experimental utilizada para medição de deslocamento do APF...69 Figura 17 - Exemplos de sinais de entrada e saída do interferômetro de Michelson em malha aberta..

70

Figura 18 - Configuração do Simulink utilizada na simulação do interferômetro de Michelson...71 Figura 19 - Fase relativa entre os braços do interferômetro; a)b)e c)...72 Figura 20 - Variação de fase relativa entre os braços do interferômetro (entrada) e tensão do

fotodetector...73 Figura 21 - O processo de detecção de fase óptica utilizando o método de baixa profundidade de

modulação...74 Figura 22 - Representação simulada da reentrância produzida pela aplicação de uma tensão de

excitação que gera um deslocamento de faserad erad...75 Figura 23 - Funções de Bessel de primeira espécie e ordem n...79 Figura 24 - Máximos das magnitudes das harmônicas, em módulo, que compõem o sinal

fotodetectado...87 Figura 25 - Ocorrência do índicedo módulo da HMSSI, para faixa derad...88

Figura 27 - Esquema do interferômetro realimentado proposto para o LIGO (GRAY et al., 1999).. 95

Figura 28 - Esquema do interferômetro realimentado proposto para o LIGO (GRAY et al., 1999) adaptado para simulação...99

Figura 29 - Esquema do interferômetro realimentado usado na simulação...100

Figura 30 - Sinais de entrada sem ruído para o interferômetro em malha fechada. a)b) e c)...101

Figura 31 - Sinais sem ruído para o interferômetro em malha fechada. a)b)...101

]Figura 32 - Sinais de entrada e o sinal de erro sem ruído. a)b)...103

Figura 33 - Sinais de entrada e saída com ruído S/R=10. a)b) Saída do filtro...103

Figura 34 - Sinais com ruído S/R=10 ea)b) Saída do filtro...104

Figura 35 - Esquema do interferômetro realimentado com a utilização de dois filtros passa baixa... 104 Figura 36 - Sinais com ruído S/R=10 e dois filtros passa baixa. a)b) Saída do filtro...105

Figura 37 - Esquema do interferômetro realimentado com dois filtros passa baixas e um passa alta.... 105 Figura 38 - Sinais de entrada e saída com ruído S/R=10 e dois filtros passa baixa e um passa altas. a) b) Saída do filtro passa altas, e, c) Sinal gerado pelo APF...106

Figura 39 - Gráfico para determinação da solução da equação (73)...108

Figura 40 - Plano de fase para o filtro de primeira ordem...111

Figura 41 - Plano de fase para o filtro de segunda ordem com tempo de observação de 25 ms...112

Figura 42 - Plano de fase para o filtro de segunda ordem e tempo limitado a 18 ms...113

Figura 43 - Plano de fase para o filtro de segunda ordem, a 18 ms e condições iniciais definidas.. 114

Figura 44 - Tempo de estabilização de algumas trajetórias do sistema relaxado...114

Figura 45 - Configuração experimental utilizada para medição de deslocamento do APF...116

Figura 46 - Esquema do interferômetro realimentado...117

Figura 47 - Sinal adquirido do interferômetro implementado...118

Figura 48 - Sinais de entrada e saída simulados (interferômetro em malha fechada)...119

Figura 49 - Tempo de estabilização do sistema simulado (interferômetro em malha fechada)...120

Figura 50 - Configuração do interferômetro de Michelson utilizada para medição de deslocamento aplicando-se métodos heteródinos sintéticos...122

Figura 51 - Espectro de um sinal fotodetectado prático com entrada de 1 kHz e portadora de 20 kHz. ...124

Figura 52 - Diagrama do processamento aplicado ao sinal fotodetectado do método heteródino sintético classico...125

Figura 53 - Diagrama do processamento aplicado ao sinal fotodetectado do método heteródino sinético auto-calibravel...127

Figura 54 - Configuração do interferômetro de Michelson utilizada para medição de deslocamento aplicando-se método heteródino sintético controlado...130

Figura 55 - Funções de Bessel J1, J2 e combinações...131

Figura 56 - Diagrama do processamento aplicado ao sinal fotodetectado pelo método heteródino sintético controlado...132

Figura 57 - Configuração do interferômetro de polarimétrico utilizado para medição de alta-tensão aplicando-se métodos heteródinos sintéticos...136

Figura 58 - Funções de Bessel J1, J0 e combinações...139

Figura 59 - Diagrama do processamento aplicado ao sinal fotodetectado pelo método heteródino sintético polarimétrico...140

Figura 60 - Esquema do interferômetro tipo Michelson realimentado...143

Figura 61 - Fotos da montagem interferométrica e seus detalhes numerados...144

Figura 62 - Atuador Piezoelétrico Flextensional de movimento unidirecional - EE1 EE1...146

Figura 63 - Atuador Piezoelétrico Flextensional de movimento bidirecional – C1...147 Figura 64 - Linearidade do APF EE1, frequência de entrada de 1 kHz e frequência de amostragem

Figura 65 - Resposta em frequência do APF EE1...149

Figura 66 - Linearidade do APF EE1, frequência de entrada de 310 Hz...150

Figura 67 - Resposta em frequência APF C1 – movimento direto...151

Figura 68 - Sensibilidade do APF C1 em 930 Hz– movimento direto...152

Figura 69 - Sensibilidade do APF C1 em 2,8 kHz– movimento direto...153

Figura 70 - Esquema do interferômetro realimentado...154

Figura 71 - Linearidade do APFr...155

Figura 72 - Resposta em frequência na banda até 25 kHz, com detalhe para frequências até 5 kHz... 156 Figura 73 - Resposta a entrada degrau, com valores de máximos e mínimos...156

Figura 74 - Resposta em frequência obtida da resposta ao degrau...157

Figura 75 - Resposta a entrada degrau com aplicação do filtro rejeita-faixa...158

Figura 76 - Sinais de entrada e saída com a realimentação desligada...160

Figura 77 - Sinais de entrada e saída com a realimentação...160

Figura 78 - Tela do Osciloscópio; medida com realimentação ligada; e entrada senoidal...161

Figura 79 - Sinais de entrada e saída com a realimentação...161

Figura 80 - Sinais de entrada e saída sem a realimentação, e, sinal de alto conteúdo harmônico....162

Figura 81 - Sinais de entrada e saída com a realimentação, e, sinal de alto conteúdo harmônico.. .162

Figura 82 - Sinais de entrada e saída sem a realimentação, e, sinal de baixo conteúdo harmônico... 163 Figura 83 - Sinais de entrada e saída com a realimentação, e, sinal de baixo conteúdo harmônico... 163 Figura 84 - Esquema do interferômetro tipo Michelson realimentado experimento UL...165

Figura 85 - Sinal fotodetectado típico para entrada de 1 kHz...166

Figura 86 - Espectro do Sinal fotodetectado típico para entrada de 1 kHz...166

Figura 87 - Sinal típico de saída de 9 kHz demodulado pelo método Sin-het...167

Figura 88 - Sinal típico de saída de 9 kHz demodulado pelo método Sin-C...167

Figura 89 - Sinais Y1 e Y2 no tempo...168

Figura 90 - Curvas de Lissajous com os sinais Y1 e Y2...168

Figura 91 - Linearidade da sensibilidade por tensão do AP...169

Figura 92 - Resposta em frequência do AP comparativa entre os métodos n-CPM, SCM e Sin-c.. 169

Figura 93 - Resposta em frequência do AP comparativa entre os métodos Sin-het e Sin-c...170

Figura 94 - Pulso de entrada ao AP e resposta do sistema demodulada pelo método Sin-c...171

Figura 95 - Comparação da FFT da resposta ao pulso e da resposta em frequência levantada com sinais senoidais...171

Figura 96 - Esquema do interferômetro tipo Michelson realimentado experimento UL...172

Figura 97 - Experimento polarimétrico para medição de alta-tensão montado no LOE...173

Figura 98 - Sinal fotodetectado típico para entrada de 60Hz e modulação de 12 kHz senoidais...175

Figura 99 - Espectro do Sinal fotodetectado típico para entrada de 1 kHz...175

Figura 100 - Sinal típico de saída de 9 kHz demodulado pelo método Sin-het...176

Figura 101 - Sinais YA e YB no tempo...176

Figura 102 - Curvas de Lissajous com os sinais YA e YB...177

Figura 103 - Linearidade do sistema e erro relativo na faixa de operação...177

Figura 104 - Resposta em frequência do SAT comparativa com a do sistema (SAT e método)...178

Figura 105 - Comparação entre o sinal demodulado e a entrada com distorção harmônica...179

Figura 106 - Comparação entre as magnitudes das harmônicas do sinal demodulado e a entrada.. 179

Figura 107 - Esquema do interferômetro realimentado sugerido com um bloco quantizador...185

Figura 108 - Sinais de entra, saída e de realimentação sem quantizador. a)b) Saída do filtro passa altas, e, c) Sinal de realimentação...185 Figura 109 - Sinais de entra, saída e de realimentação com quantizador. a)b) Saída do filtro passa

ANSYS Software de análise numérica. AP Atuador piezoelétrico.

APF Atuador piezoelétrico flextensional

APFr Atuador piezoelétrico flextensional do ramo de realimentação BaTiO3 Titanato de bário

BGO Cristal de Bi4Ge3O12

BPM Método da Baixa Profundidade de Modulação

BS Espelho semi-refletor - Divisor de feixes neutro (Beam Splitter) DSP Processamento digital de sinais

ECLD External Cavity Laser Diode

EDM Electrical Discharge Machining

FFT Transformada Rapida de Fourier

FPGA Field Programmable Gate Array

He-Ne Hélio Neônio

HMSSI Harmonica de maior magnitude do sinal de saida do interferometro LabVIEW Software de controle de instrumentação e aquisição e analise de dados LiNbO3 Niobato de lítio

LLVS linear length-to-voltage sensisitivity

LOE Laboratório de optoeletronica do Departamento de Engenharia Elétrica da Unesp Campos de Ilha Solteira

MDPS Minimum Detectable Phase Shift

MEMS Dispositivos micro mecanicos e eletricos - Microlectromechanicas Systems MFO Modulador de Fase Óptica

n-CPM Método Harmônico homódino. OVS Transformador óptico de tensão

PBG fibra óptica dotados com redes de Bragg PbTiO2 Titanato de chumbo

PGC Metodo de demodulação Phase Generated Carrier PM Modulação de fase (Phase Modulation)

PZT Titanato-zirconato de chumbo (plumbum zirconate titanate) SAT Sensor de Alta-tensão

Sin-c Método Sintético Heteródino controlado Sin-het Método Sintético Heteródino autoconsistente SNR Relação entre o sinal e o ruído

TEM Onda Eletromagnética Transversal TP Transformadores de potencial.

TPO Transformadores de potencial ópticos

UL Laboratório de comunicações ópticas da Universidade de Limerick – Rep. da Irlanda

LISTA DE SÍMBOLOS

A Constante de proporcionalidade sinal fotodetectado

β _{Sensibilidade do APF em m/V}

B Sensibilidade equivalente do APF considerando o interferômetro em rad/V

c Velocidade da luz no vácuo

C₁ Fator de ganho auxiliar da modulação do método sintético heteródino

C Fator de ganho da modulação do método sintético heteródino d Distância entre os eletrodos célula Pockels

d_n Distâncias das fontes ate a projeção no experimento de Young

dv /di Sensibilidade da frequência ótica em relação a corrente

⃗

en Campo elétrico instantâneo para n=t,1 e 2

EG Sinal de erro para o ganho do método sintético heteródino

controlado.

E_p Sinal de erro para a fase do método sintético heteródino controlado.

E_{G 0} Sinal de erro para método sintético heteródino controlado Hilbert. Ev Campo elétrico aplicado a célula Pockels

⃗

E_{x Campo óptico de polarização na direção X}

⃗

E_{y Campo óptico de polarização na direção Y}

⃗

E_n Campo elétrico do laser para n=0,01 e 02

f1 Frequência de modulação auxiliar do método sintético heteródino. f0 Frequência de modulação do método sintético heteródino.

f_c Frequência de corte do filtro.

G_0,1,2 Ganhos em diferentes frequências introduzidos pelo sistema de

aquisição

G_c Ganho de correção do controle para o ponto ótimo.

h (t) filtro passa baixa (no elo de realimentação)

h₁(t ) filtro passa baixa (fora do elo de realimentação)

H (s ) Função de transferência do filtro h (t)

H₁(s) Função de transferência do filtro h1(t )

I_m Variação da corrente do diodo laser em torno do ponto de polarização

I (t) Intensidade óptica ou irradiância

J_n Funções de Bessel de primeira espécie e ordem n ⃗k , ⃗k_n Vetor de onda para n=1 e 2

l Diferença de comprimento entre os braços do interferômetro

l0 Diferença de caminho ótico entre os braços do interferômetro

L Comprimento do cristal eletro-óptico

n Índice de refração

ne Índice de refração extraordinário

no Índice de refração ordinário

nx Índice de refração na direção X

ny Índice de refração na direção Y

q Característica de fase do sistema de aquisição.

⃗r , ⃗rn Vetor propagação da onda eletromagnética para n=1 e 2

rnm Coeficientes eletro-ópticos linear do efeito Pockels n,m=1,2 e 3

S_n Fontes de luz no experimento de Young para n=1 e 2

S_v Sinal final do método sintético heteródino controlado Hilbert.

S_{1,2,3,4,5,6,7,8} Sinais intermediários do método sintético heteródino autocalibrado.

So Sinal final do método sintético heteródino autocalibrado.

S_v Sinal final do método sintético heteródino.

t Tempo.

v (t) Saída do interferômetro (sinal elétrico fotodetectado).

vd(t ) Tensão medida no fotodiodo (sistema realimentado)

v_m Tensão aplicada ao Modulador de Fase Óptica (MFO)

v_s Tensão aplicada ao Sensor de Alta-tensão (SAT)

v_max Tensão máxima obtida na saída do fotodetector vs tensão aplicada aos eletrodos célula Pockels

vi(t) Tensão aplicada ao APF ou AP (entrada do interferômetro tipo

Michelson)

V Visibilidade do sinal interferométrico

Vn Magnitude das harmônicas do sinal fotodetectado para n=1,2,3,...

Vπm Tensão elétrica para variação de fase de π rad com

birrefringência natural

Vπs Tensão elétrica para variação de fase de π rad sem

birrefringência natural

x Índice de modulação

Y_{1,2,3,4,5, A , B} Sinais intermediários do método sintético heteródino controlado.

Y_v Sinal final do método sintético heteródino controlado

Δ I (t) Variação da intensidade óptica.

Δl Deslocamento do atuador piezoelétrico.

Δl₀ Variação da diferença entre os braços do interferômetro

Δle(t) Deslocamento equivalente do atuador piezoelétrico medido em

radianos

Δ λ Variação comprimento de onda da radiação da fonte óptica Δ ϕ_{0 Variação da diferença de fase quase-estática nos braços do}

interferômetro

Δn Variação do índice de refração

Δ Ψ Variação total da fase nos braços do interferômetro

Δv (t ) Tensão alternada no fotodetector

Δ ω Variação da frequência do laser.

Δ Z Diferença entre os braços do interferômetro

λ Comprimento de onda da radiação da fonte óptica

ω_{0 Frequência angula de modulação nos métodos sintetísticos} heteródinos.

ω, ωn Frequência angular da luz para n=1 e 2

ω_{s Frequência angular do sinal de modulação}

ϕ_{0 Diferença de fase estática entre os braços do interferômetro} ϕ(t ) Sinal aplicado ao interferômetro (variação de fase)

ξ, ξ_n Fase inicial do interferômetro para n=1 e 2 Δ Γ _{Diferença de retardo na célula Pockels}

Φ_{m Fase induzida pelo campo elétrico na célula Pockels com} birrefringência natural

Φ_{0 Fase inicial independente do campo elétrico na célula Pockels} Φ_{s Fase induzida pelo campo elétrico na célula Pockels sem}

birrefringência natural

Ψ (t) Variação total de fase no interferômetro.

ζ_{1,2 Fases dos osciladores internos controladas pelo sistema Sin-c}

Kt ganho constante em frequência

ϕ_r(t ) Sinal aplicado ao ramo de realimentação do interferômetro (variação de fase)

χ (t ) Sinal de interesse no interferômetro polarimétrico.

ψ_{0,1,2 Fases em diferentes frequências introduzidos pelo sistema de} aquisição

SUMÁRIO

1 Introdução...18

1.1 Atuadores Piezoelétricos Flextensionais – Noções Gerais...18

1.2 O Problema da Interferometria Óptica...25

1.3 Sensores Ópticos de Tensões Elevadas...41

1.4 Objetivos da Tese...46

1.5 Organização do Texto...47

2 Interferômetros de Dois Feixes...49

2.1 Experimento de Young...49

2.1.1 Visibilidade de Franjas...52

2.2 Interferômetro de Michelson...52

2.2.1 Franjas no Interferômetro de Michelson...55

2.3 Interferômetro em malha aberta...57

2.3.1 Desvanecimento do sinal Interferométrico...59

2.4 Interferômetro Polarimétrico...62

2.4.1 Visibilidade e Franjas no Interferômetro Polarimétrico...66

2.5 Modelo de Simulação em Malha Aberta...69

2.6 Método de Baixa Profundidade de Modulação...73

3 Métodos Espectrais de Demodulação...77

3.1 Métodos Clássicos...78

3.1.1 Método J1/J3...80

3.1.2 Método de Pernick...81

3.2 Contribuições aos Métodos Clássicos...82

3.2.1 Métodos com Mitigação dos Efeitos de Singularidade...83

3.2.2 Métodos com Ampla Faixa Dinâmica...86

4 Interferômetro em malha fechada...94

4.1 Controle Proporcional...96

4.2 Simulações em Malha Fechada...97

4.3 Análise Preliminar de Estabilidade...107

4.3.1 Análise da estabilidade local...109

4.4 Malha Fechada com Parâmetros Práticos...115

4.4.1 Modelo em Malha Fechada...115

5 Métodos heteródinos sintéticos Realimentados...121

5.1 Modelo Matemático do Heteródino Sintético...121

5.2 Heteródino Sintético Auto-Calibrável...126

5.3 Heteródino Sintético Controlado...129

5.4 Sensor de Alta-tensão Heteródino Sintético...135

6 Resultados Experimentais...143

6.1 Arranjo experimental tipo Michelson no LOE...143

6.1.1 Método Espectral Aplicado à Medida de Deslocamento...146

6.1.2 Experimentos com interferômetro realimentado...154

6.2 Arranjo Experimental tipo Michelson na UL...164

6.3 Experimento com o Sensor de Alta-tensão no LOE...172

7 Considerações Finais...181

7.2 Conclusões sobre o Interferômetro Homódino Realimentado...182

7.3 Conclusões sobre o Método Heteródino Sintético...183

7.4 Sugestão para trabalhos futuros...184

1 Introdução

A concepção de novos métodos de detecção de fase óptica através de interferometria laser constitui o enfoque principal desta tese de doutorado. Ênfase é dada às aplicações envolvendo a caracterização de atuadores piezoelétricos flextensionais (APF), através de interferômetros de Michelson (ou Michelson modificado), bem como à medição de tensões elétricas elevadas, através de sensor óptico de tensão à base de efeito eletroóptico.

1.1 Atuadores Piezoelétricos Flextensionais –

Noções Gerais

Como é bem conhecido, o efeito piezoelétrico direto refere-se à geração de uma distribuição de cargas elétricas e, consequentemente, de uma diferença de tensão entre as superfícies de uma amostra, quando essa é submetida a uma deformação mecânica (CADY, 1946). Por outro lado, no efeito inverso, ocorre a deformação da amostra quando submetida a uma tensão elétrica ou um campo elétrico. O efeito piezoelétrico inverso tem sido amplamente empregado na implementação de atuadores mecânicos utilizando-se, por exemplo, cristais sem centro de simetria como o quartzo, niobato de lítio, etc. (KINO, 1987), bem como, cerâmicas como o PZT (titanato zirconato de chumbo) e outras (ROSENBAUM, 1988). Em geral, os piezocristais são desejáveis em operações de altas frequências (MHz e acima), enquanto as piezocerâmicas são adequadas para frequências mais baixas (até centenas de kHz). Em certas aplicações, onde se opera com elevada razão de aspecto, como na indústria de microeletrônica (para o posicionamento de máscaras) ou em microscopia de varredura (para o posicionamento de amostras), é importante que um tal atuador possua elevada faixa dinâmica, a fim de gerar deslocamentos que vão desde picometros até micrometros (DEVASIA et al., 2007). Na área de manipulação celular (injeção intracitoplasmática) ou de microcirurgias, é desejável se operar ferramentas na faixa de micrometros, mas com resolução de nanometros (BERGANDER et al., 2003).

No caso particular do PZT, a deformação da piezocerâmica é relativamente pequena, o que proporciona boa resolução e eficiência na nanoescala, porém, não pode ser usada diretamente como um atuador na faixa superior a centenas de micrometros, a menos que tensões elevadas sejam utilizadas, ou então, que se opere o dispositivo em sua frequência de ressonância mecânica. Neste último caso, podem ocorrer problemas de largura de banda e linearidade reduzidas. Para esse fim, frequentemente são empregados mecanismos amplificadores em conjunto com as piezocerâmicas, a fim de converter uma pequena deformação induzida em um deslocamento maior de saída, o qual pode ser usado em aplicações práticas com pequenas tensões de alimentação (LELETTY et al., 2003; DOGAN et al., 1997). Mecanismos flexíveis a estado sólido, do tipo solidário com a piezocerâmica (compliant mechanism), são usados regularmente para esta função, com o objetivo de se evitar perdas, como ocorre com mecanismos convencionais usando-se pinos, juntas e/ou dobradiças. Um atuador muito eficiente e com mecanismo amplificador solidário, corresponde ao atuador piezoelétrico flextensional, como os investigados na pesquisa do candidato.

Neste texto (embora não seja regra geral), a terminologia APFMA refere-se tanto aos atuadores piezoelétricos flextensionais que contenham uma única piezocerâmica (algumas vezes designados simplesmente por APF), quanto aos atuadores piezoelétricos flextensionais multiatuados (por duas ou mais piezocerâmicas), como os nanoposicionadores/deslocadores XY. Nesta pesquisa, os APFMAs foram projetados e manufaturados pelo Grupo de Sensores e Atuadores da Escola Politécnica da USP - EPUSP (SILVA et al., 2003; SILVA; KIKUCHI, 2000; CARBONARI et al., 2009; CARBONARI et al., 2007; CARBONARI Et al., 2005), com o qual o grupo do Laboratório de Optoeletrônica (LOE) da FE-IS/ UNESP mantém vínculo de cooperação desde 2005.

Novos modelos de APFs têm sido desenvolvidos na EPUSP usando-se a técnica de otimização topológica, um método de projeto computacional que combina um algoritmo de otimização e o método de elementos finitos, para satisfazer um compromisso entre grandezas antagônicas como deslocamento e força, flexibilidade e rigidez, etc., a fim de se encontrar a topologia ótima das partes mecânicas. Na Figura 1, ilustram-se seis exemplos de APFs utilizados nas pesquisas do candidato, consistindo essencialmente de uma piezocerâmica de PZT fixada a uma estrutura metálica flexível, a qual proporciona tanto amplificação quanto conversão da direção

dos deslocamentos (de extensional para flexural). Todas as piezocerâmicas (PZT-5A,

American Piezoceramics) dos APFs são polarizadas na direção da menor dimensão,

a qual é designada como eixo 3. Os eletrodos para alimentação estão depositados sobre as faces no plano transversal 1-2. As piezocerâmicas são coladas com resina epóxi às estruturas flexíveis de alumínio, e manufaturadas pela técnica de eletro-erosão a fio (EDM - Electrical Discharge Machining). Os APFs das Figuras 1(a) e 1(b) são constituídas por piezocerâmicas de dimensões 30 mm x 14 mm x 3 mm na direções 1, 2 e 3, respectivamente. A piezocerâmica da Figura 1(c) tem dimensões 30 mm x 13 mm x 3 mm, a da Figura 1(d) tem dimensões 30 mm x 14 mm x 5 mm, e, a da Figura 1(e) tem dimensões 30 mm x 14 mm x 1 mm, nas direções 1, 2 e 3, respectivamente.

Figura 1 - Protótipos de atuadores piezoelétricos flextensionais. (a) e (c) Abertos, com dois pontos de medição (em cima e embaixo). (b) e (e) Fechados com quatro pontos de medição. (d) e (f) Fechados com dois pontos de medição.

Fonte: do próprio autor

Quando se deseja a geração de deslocamento maior que o convencional, mas aplicando-se tensões muito baixas (tipicamente abaixo de 10 V), sugere-se a utilização de atuadores piezocerâmicos em multicamadas, baseados em pilhas de piezocerâmicas. A porção ativa do atuador consiste de uma pilha de discos piezocerâmicos separados por eletrodos metálicos delgados. Os elementos em pilha podem suportar forças elevadas e exibem valores de rigidez muito superiores aos convencionais. A pilha se beneficia do movimento axial, ou seja, a principal contribuição é devido ao coeficiente piezoelétrico d33 (ROSENBAUM, 1988). A

explicação para geração de grandes deslocamentos é que todos os discos estão eletricamente associados em paralelo, e assim, a tensão aplicada à pilha é igual à tensão aplicada a cada elemento individual. Portanto, a tensão máxima de operação é proporcional à espessura dos discos. No atuador mostrado na Figura 1(f), propôs-se acoplar uma pilha de piezocerâmicas a uma estrutura flexível em monobloco, objetivando-se obter um APF capaz de gerar deslocamentos maiores que os demais. A pilha de piezocerâmicas tem um comprimento total de 18 mm, composta por diversos discos de 100 μm de espessura e 2 mm de diâmetro. A pilha é colada à estrutura de alumínio com resina epóxi.

Os deslocamentos nos APFs das Figuras 1(a), 1(c), 1(d) e 1(f) decrescem do centro da estrutura metálica, onde um deslocamento máximo é observado, para as bordas, onde o deslocamento é igual ao da piezo cerâmica (ou pilha) isolada. Cada APF das Figuras 1(b) e 1(e) apresenta deslocamento máximo em quatro pontos a meio caminho entre a borda e o centro, local onde o deslocamento é nulo. Ao contrário dos APFs em estruturas bipartidas das Figuras 1(a), (b) e (c), os protótipos das Figuras 1(d), (e) e (f) foram manufaturados com estruturas metálicas em monobloco. Quando posicionado no interferômetro, a pastilha de PZT de cada APF (com exceção do atuador em pilha) foi fixado a um suporte através de três pontos, na direção perpendicular ao deslocamento a ser medido (direção 2), de modo que a piezocerâmica ficasse livre para vibrar nas demais direções (1 e 3).

Quando a estrutura metálica flexível, solidária ao APF, está em monobloco (fechada nas extremidades), a transmissão de deslocamento da piezocerâmica para o metal envolve dois tipos de ações: (i) um mecanismo de pressão entre as extremidades da piezocerâmica e a estrutura flexível, e (ii) um mecanismo de cisalhamento entre os eletrodos superior e inferior da piezocerâmica e a estrutura flexível. A presença da camada de epóxi entre a piezocerâmica e a estrutura flexível pode introduzir não linearidades no mecanismo de transmissão de deslocamento. O mecanismo de pressão tende a ser menos afetado pelo comportamento não linear da camada epóxi do que o mecanismo de cisalhamento e, portanto, a estrutura fechada não é afetada significativamente pelo epóxi. Por outro lado, nos atuadores com estrutura metálica bipartida (aberta nas extremidades), a transmissão de deslocamento, da piezocerâmica para a estrutura metálica, se deve principalmente ao mecanismo de cisalhamento na camada epóxi e, portanto, o comportamento do APF tende a ser mais afetado pela não linearidade da cola. Contudo, esta

configuração é mais fácil de montar e não apresenta risco de curto-circuito entre os eletrodos da piezocerâmica, o que constitui uma vantagem significativa. Desde que o efeito da não linearidade da resina epóxi é difícil de ser modelada no projeto do APF e nas simulações com elementos finitos, a medição interferométrica dos deslocamentos gerados tem um papel muito importante nos testes de validação e desempenho.

O projeto de um APF é relativamente complexo e deve se levar em consideração a amplificação do deslocamento proporcionada pela estrutura flexível e a força produzida na direção do deslocamento de interesse (CARBONARI et al., 2005; SILVA et al., 2003; SILVA; KIKUCHI, 2000). Esses parâmetros podem ser otimizados se a estrutura for projetada para se obter flexibilidade e rigidez. Análises numéricas utilizando o software ANSYS permitem realizar uma modelagem dos dispositivos, levando-se em consideração todos os componentes da estrutura: a piezocerâmica, adesivos, formas de excitação, pontos de engastes, etc. O objetivo da otimização topológica é determinar, através de adição e remoção de material no domínio fixo de projeto, a estrutura contínua que atenda a função objetivo especificada. Ou seja, a técnica avalia como variar os níveis de material, entre zero (ausência de material) até a unidade (presença de material), permitindo-se alguma relaxação (admitindo-se densidades intermediárias entre esses dois níveis), definindo-se assim um modelo contínuo de material. Informações detalhadas sobre este assunto podem ser encontradas em (SILVA et al., 2003; SILVA; KIKUCHI, 2000).

Por sua vez, um APFMA genérico (CARBONARI et al., 2009; CARBONARI et al., 2007; CARBONARI et al. 2005) consiste de uma estrutura multi-flexível atuada por duas ou mais piezocerâmicas, que maximizam movimentos de atuação ou forças em pontos pré-definidos do domínio como, por exemplo, nos nanoposicionadores XY mostrados na Figura 2. Novamente, cada piezocerâmica (PZT-5A, American

Piezoceramics) está polarizada ao longo de sua menor dimensão, a direção 3, e os

eletrodos estão depositados sobre as faces no plano 1-2. As piezocerâmicas são coladas com resina epóxi à estrutura flexível de alumínio e manufaturada pela técnica de EDM. A piezocerâmica na Figura 2(a) tem dimensões 20 mm x 5 mm x 1 mm nas direções 1, 2 e 3, respectivamente. Os pontos de medição (máximos valores de deslocamentos Δ x e Δ y ) estão indicados na figura. A piezocerâmica na Figura

2(b) tem dimensões 6 mm x 5 mm x 1 mm nas direções 1, 2 e 3, respectivamente. Os pontos de medição estão no canto inferior direito da estrutura.

Figura 2 - Atuadores piezoelétricos flextensionais com duas piezocerâmicas. (a) e (b) Deslocadores XY.

Fonte: do próprio autor

O projeto de um APFMA é ainda mais complexo que o do APF, pois envolve muitas piezocerâmicas, com grande número de movimentos de atuação gerados pela aplicação de tensões elétricas nos vários elementos e, principalmente, devido ao acoplamento entre os movimentos, algo bastante crítico. Os movimentos acoplados são movimentos indesejáveis que surgem na estrutura e comprometem a eficiência do dispositivo. No projeto do APFMA também se utiliza o método de otimização topológica, principalmente, para se obter a melhor resposta para os movimentos gerados e a minimização dos movimentos acoplados. Uma discussão detalhada sobre o projeto desses mecanismos pode ser encontrada em (CARBONARI et al., 2009; CARBONARI Et al., 2007; CARBONARI et al., 2005).

Os nanoposicionadores XY da Figura 2 apresentam deslocamentos máximos em vértices específicos, onde o deslocamento na direção X, por exemplo, constitui o deslocamento gerado quando a piezocerâmica que se encontra na direção perpendicular for excitada. Neste caso, o deslocamento ortogonal Y constitui o deslocamento acoplado. Uma medida quantitativa do acoplamento entre os deslocamentos X e Y num nanoposicionador XY pode ser obtida pela seguinte expressão (CARBONARI et al., 2005):

na qual Δ x é o deslocamento direto na direção X (o deslocamento gerado) e Δ ys

é o deslocamento espúrio (deslocamento acoplado/cruzado) na direção Y. Consequentemente, é importante tentar diminuir Sxy durante o estágio de projeto do

nanoposicionador XY (CARBONARI et al., 2007; CARBONARI et al. 2005).

Cita-se que vários outros modelos (não mostrados nas Figuras 1 e 2) foram projetados e usinados pelo Grupo da EPUSP, e disponibilizados ao LOE. Como resultado das pesquisas, pretendeu-se executar a caracterização desses novos protótipos de atuadores, em termos de fatores de mérito como: linearidade do deslocamento gerado em relação à tensão elétrica aplicada, coeficiente de calibração (razão nm/V) ou coeficiente LLVS (do inglês linear length-to-voltage sensisitivity), da histerese, da faixa dinâmica de deslocamento linear, da resposta em frequência, determinação da largura de banda, frequências de ressonância eletromecância, do fator de acoplamento (no caso de deslocadores XY), dentre outros. Com isso, se suplementaria a linha de pesquisa do Grupo de Sensores e Atuadores da EPUSP, envolvida principalmente com o projeto e fabricação desses dispositivos.

Em geral, excitam-se os dispositivos com tensão senoidal e se detectam as magnitudes dos deslocamentos de saída, desde que se opere dentro da faixa de linearidade entre a tensão elétrica aplicada e o deslocamento produzido. A análise de linearidade permite avaliar a amplificação provocada no deslocamento da piezocerâmica pela estrutura flexível de metal, possibilitando também verificar a deformação máxima e os limites de tensão elétrica de excitação (abaixo da tensão de ruptura dielétrica), estabelecendo-se assim, um intervalo de resposta linear do deslocamento, normalizado em relação à tensão elétrica aplicada à piezocerâmica dos atuadores. A resposta em frequência possibilita avaliar as frequências de ressonâncias dos APFMAs, estabelecendo-se uma largura de banda em que um atuador apresenta uma resposta práticamente plana e para a qual pode operar no regime quase estático, abaixo da primeira frequência de ressonância.

1.2 O Problema da Interferometria Óptica

O diagrama de blocos de um interferômetro de Michelson em óptica volumétrica encontra-se esquematizado na Figura 3: (a) Diagrama de blocos, (b) Exemplo de montagem experimental e (c) franjas de interferência projetadas sobre um anteparo.

Figura 3 - Interferômetro de Michelson básico (usado no LOE para experiências demonstrativas). a) Esquema geral. b) Montagem experimental. c) Franjas de interferência..

(a)

(b) (c)

Fontes: a) (LEMES, at al., 2013); b) do próprio autor e c) do próprio autor

Nessa aplicação em particular, o interferômetro está sendo usado para caracterizar um atuador piezoelétrico do tipo bender (comumente empregado em

tweeters). Um divisor de feixes neutro, com razão 50/50, divide o feixe de laser em

duas componentes, que constituem os dois braços do interferômetro. O feixe de referência e o feixe sensor são dirigidos para os espelhos fixo e móvel, respectivamente. O feixe sensor é refletido pelo espelho colado ao atuador e retorna

ao divisor de feixes, sendo daí dirigido a um fotodetector. O feixe de referência é refletido pelo espelho fixo, retorna ao divisor de feixes e também é focalizado sobre o fotodetector. Sobre esse fotodetector os dois feixes são, portanto, superpostos. Quando um sinal de excitação elétrica [ vi(t ) , em volts] é aplicado ao atuador, um

deslocamento mecânico [ Δ l (t ), em nm] será gerado, fazendo-o vibrar e modulando a diferença de fase entre os braços do interferômetro [ ϕ(t) , em rad]. À medida que a amostra a ser caracterizada vibra longitudinalmente, a fase do feixe sensor varia em relação à do feixe de referência, causando movimento de franjas de interferência. Se o atuador estiver operando dentro de sua região linear, existe uma proporcionalidade direta entre a tensão elétrica aplicada vi(t ) e o desvio de fase

óptica ϕ(t ) gerado.

Quando os feixes de saída do interferômetro são superpostos sobre um fotodiodo, a tensão elétrica detectada, v(t ) medida em mV, exibe a seguinte forma geral (UDD et al., 2011):

v(t )=A { 1+V cos[ϕ(t )+ϕ0(t)]} (2)

sendo A (medida em mV) uma constante de proporcionalidade que depende da intensidade da fonte óptica (W/m2_{), da responsividade de tensão do fotodetector}

(V/W) e do ganho do circuito de condicionamento de sinal (V/V). O fator V (adimensional) está relacionado à visibilidade de franjas, e ϕ0 (radianos) é um

deslocamento de fase estático (em princípio) devido à diferença de caminho óptico entre os braços do interferômetro na ausência de sinal ϕ(t ).

Se for possível mensurar a diferença de fase ϕ(t ) a partir do sinal elétrico (2), a variação da amplitude de vibração do atuador é dada por (UDD et al., 2011):

Δl (t )=[ϕ(t )/ 4 π] λ (3)

sendo λ o comprimento de onda da luz laser. Como λ , na faixa óptica, é muito pequeno (da ordem de 1 μm), percebe-se que uma variação de fase de apenas ϕ(t )=10 (a qual pode ser mensurada sem dificuldades usando instrumentos eletrônicos) corresponde a um deslocamento de 1,4 x 10-9 _{m (isto é, 1,4 nm ou 14 Å),}

Na ausência de sinal (ou seja, quando ϕ(t )=0 ), a derivada de (3) em relação à fase total Ψ(t)=ϕ(t )+ϕ0), resulta: d v/ d (Ψ)=−AV sen Ψ=−AV sen ϕ0, e assim,

quando ϕ0=π /2 rad, tem-se uma sensibilidade máxima (em módulo) do

interferômetro. O mesmo ocorre para ϕ0=3 π/ 2 rad. Quando um sinal ϕ(t )≠0 for

inserido em (3), e admitindo-se a hipótese de que ϕ(t )≪1 rad, é conveniente manter o valor ϕ0=π /2 rad constante, quando (2) opera em torno de sua condição

de maior sensibilidade. Neste caso, o sinal de saída, v(t ), é uma réplica proporcional ao sinal de entrada, ϕ(t ) (a menos de um fator de fase de 180o_{). A}

operação na qual se impõe ϕ(t )≪1 rad é denominada de modo de baixa profundidade de modulação.

Na prática, contudo, devido às perturbações ambientais espúrias (turbulências de ar, flutuações de baixa frequência na temperatura e na pressão no local do interferômetro, bem como, vibrações externas, mesmo que imperceptíveis pelo operador do sistema), a diferença de fase ϕ0 varia no tempo, dando origem ao

efeito de desvanecimento (fading) do sinal de saída v(t ). Por exemplo, se ϕ0

variar de ϕ0=π /2 rad para ϕ0=π rad, enquanto o sinal ϕ(t ) for mantido o

mesmo, a forma de onda na saída apresenta amplitude muito pequena (além de grande distorção, com elevado conteúdo de 2ª. harmônica). A operação com o valor de ϕ0=π rad, em princípio, seria inviável. Em vista desta discussão, costuma-se

representar o termo ϕ0 por ϕ0(t) , o qual oscila aleatoriamente na faixa de

frequências abaixo de 5 Hz (tipicamente) em ambiente de laboratório.

Por outro lado, a operação na qual ϕ(t )> π/ 2 rad é chamada de modo de grande profundidade de modulação (ou com multi-franjas), devido à grande quantidade de oscilações presentes no sinal de saída. Nesses casos são geradas versões bastante distorcidas do sinal de entrada, embora ainda se preserve todas as informações sobre o mesmo (basicamente, tratam-se de sinais modulados em fase, que podem ser demodulados eletronicamente). Mantendo-se a amplitude de entrada constante, mas considerando que ϕ0 varia aleatoriamente, obtém-se um sinal de

saída que desvanece lentamente no tempo. Desta forma, o problema da interferometria óptica consiste essencialmente em se medir valores da fase ϕ(t ) , na faixa de 10-2 _{rad (ou menos) a 10 rad (ou mais), diante de grandes variações}

aleatórias de ϕ0(t) (cujas magnitudes podem atingir milhares de radianos) ao longo

do tempo, tornando o sinal v(t ) não reprodutível de medição para medição.

Várias técnicas de demodulação de fase encontram-se publicadas na literatura para medir ϕ(t ) a despeito da variação aleatória de ϕ0(t): contagem de franjas

(VON MARTENS, 1987), interferometria com luz branca (YAN et al., 2000), com dois comprimentos de ondas (SASAKI et al., 1991), com redes de Bragg (GANGOPADHYAY, 2004), polarimétrica (VARNHAM et al., 1983), intermodal em fibra óptica (KUMAR et al., 2001), métodos baseados no espectro do sinal detectado (SUDARSHANAM; SRINIVASAN, 1989), interferômetro de quadratura (KOO et al., 1982), a técnica homódina ativa (JACKSON et al., 1980), heteródina (MONCHALIN, 1986), pseudo-heteródina (KERSEY et al., 1984), heteródina com múltiplos comprimentos de onda (KIM, 2004), heteródina sintética (COLE et al., 1982), para citar algumas. Cada método apresenta vantagens e desvantagens, cada qual sendo mais adequado para resolver uma classe específica de problemas, mas não todos.

Na pesquisa do candidato, novos métodos de detecção de fase óptica são propostos, em particular, os métodos homódinos desenvolvidos no domínio do tempo ou no domínio da frequência. Embora a maioria deles sejam particularizados para fins de medição de deslocamentos micro e sub-micrométricos em atuadores piezoelétricos, também podem ser adaptados para medição de ampla variedade de outras grandezas físicas. Como exemplo, cita-se a medição de tensões elétricas elevadas, assunto que o candidato também desenvolve em sua pesquisa.

1.2.1 Métodos De Detecção De Fase Óptica Baseados No Espectro Do Sinal De Saída

Métodos de demodulação de fase óptica usando-se técnicas de análise do espectro do sinal fotodetectado constituem ferramentas clássicas de detecção interferométrica desde a década de 1920, mas somente após a década de 1960, com a invenção do laser, é que se difundiram amplamente. Dentre os principais métodos espectrais disponíveis na literatura, para se estimar o índice de modulação, destacam-se os métodos clássicos como o J0 nulo, J1 máx, J1/J2, J1/J3, J1...J4, J1...J6 e

J0...J2 (UDD at. al., 2011; SUDARSHANAM; CLAUS, 1993; SUDARSHANAM;

quando o desvio de fase variável no tempo em (2) varia harmonicamente, conforme

ϕ(t )=x sen (ω_st ) sendo x o índice de modulação de fase. Neste caso, pode-se

reescrever (2) em termos de série de Fourier, da seguinte forma:

v(t )=A 2 + AV 2

{

[

∑

]

∑

}

sendo Q=cos ϕ0(t ) e P=senϕ0(t ) , fatores que dependem da variação aleatória da

fase ϕ0(t) , e, Jn(x) é uma função de Bessel de primeira espécie e ordem n (=1, 2,

3, ...). Portanto, observa-se que o sinal v(t ) é composto de um termo independente do tempo e de componentes harmônicas Vn ímpares e pares, em frequências

múltiplas da componente fundamental em ωs. Assim, por exemplo, se um atuador

piezoelétrico operar em sua região de linearidade entre a tensão de alimentação e o deslocamento gerado, pode-se estimar a forma de onda ϕ(t ) , e daí, se x puder ser mensurado através de algum dos métodos citados, a magnitude do deslocamento microscópico associado pode ser determinado aplicando-se (3).

O método de J1/J3 foi proposto no artigo clássico de Deferrari et al. (1967)

(com outros métodos, como o J1/J2, J0 nulo e J1 máx), e sugere mensurar a

magnitude da componente fundamental (V1) e terceira harmônica (V3) de v(t )

e, em seguida, calcular a razão entre as mesmas. Durante o cálculo da razão

V₁/V₃=J₁(x)/ J₃(x) , apenas as raias espectrais ímpares estarão envolvidas e,

assim, os coeficientes AVP de (4) são automaticamente cancelados na divisão entre o numerador e denominador, evidenciando que o cálculo de x independe do valor de ϕ0(t) . Por esse motivo, em princípio, tal método é imune ao

desvanecimento (também pode-se afirmar que o método independe da estabilidade da fonte óptica, da responsividade do fotodiodo e da visibilidade). Resolvendo-se a equação transcendental acima, extrai-se o valor de x .

Por outro lado, o método conhecido como J1... J4 constitui uma solução

elegante na qual se calcula o índice de modulação estimado x através de uma relação de recorrência entre funções de Bessel (SUDARSHANAM; SRINIVASAN, 1989). São necessárias quatro componentes espectrais, V1,V2,V3 e V4, e

demonstra-se que os coeficientes AVP ou AVQ de (4) também são automaticamente cancelados durante a divisão entre o numerador e denominador na relação de recorrência. O método é direto, permitindo o cálculo direto (sem inversão de funções de Bessel) do deslocamento de fase óptica induzido, x , além de não ser afetado (em princípio) por variações da intensidade óptica da fonte, visibilidade de franjas e variações aleatórias da fase aleatória ϕ0(t) .

Um problema dos métodos de detecção baseados na análise do espectro do sinal fotodetectado refere-se à presença de ruído eletrônico aditivo que se apresenta durante o processo de aquisição de dados. Cada componente espectral de (4) tem uma amplitude que depende de funções de Bessel Jn(x) , que podem assumir

valores muito pequenos dependendo do valor do argumento x e da ordem n. Na presença de ruído aditivo gerado na fotodetecção, a SNR (do inglês, signal-to-noise

ratio, relação sinal-ruído) varia para cada componente espectral, e, é preciso

quantificar sua influência na estimativa do erro cometido pelos métodos espectrais. Para índices de modulação muito pequenos ( x≪1 rad), somente a componente fundamental é significativa [ou seja , J2(x) , J3(x) , J4(x) , etc., tornam-se pequenos

comparados com J1(x) ] , sendo que as harmônicas de ordem superior podem

possuir SNR menores do que a unidade, limitando a estimação de x a um dado valor mínimo abaixo do qual o erro de medição fica intolerável. Por conta disso, métodos espectrais em geral apresentam limites de resolução. Um fator de mérito de resolução corresponde ao MDPS (Minimum Detectable Phase Shift) definido em (SUDARSHANAM, 1992), como o mínimo desvio de fase detectável. Por exemplo, SUDARSHANAM, CLAUS (1993) mostraram que, diante de tensões de ruído do tipo 1/ f , o valor do MDPS no método J1... J4 é igual a 0,2 rad. Portanto, o método

não tem exatidão para medir valores de x abaixo de 0,2 rad, o mesmo ocorrendo com o método J1/J3.

Os métodos J1/J3 e J1... J4 têm outro problema sério: para valores de x

superiores à aproximadamente 3,83 rad, a função de Bessel J1(x) assume valores

negativos pela primeira vez, e, nesta situação, o uso do espectro de magnitudes (módulo) das componentes da tensão fotodetectada (4) não é bastante para demodular x ; a escolha incorreta do sinal algébrico de cada Jm(x) pode conduzir

exemplo, fica limitada entre 0,2 e 3,8 rad, o que equivale apenas ao intervalo entre 10 e 191 nanometros, aproximadamente.

Para resolver este problema, e ampliar a faixa dinâmica indefinidamente, alguns autores sugeriram levar em conta o valor inicial da fase ϕ(t ) no momento da medição (ϕs), i.e., empregar ϕ(t )=x sen(ωst ) , algo que não foi contemplado na

série de Fourier trigonométrica (4). Assim, os sinais negativos devem ser adequadamente corrigidos, usando-se por exemplo, o método J1... J4 modificado

(JIN et al., 1991), o qual torna necessário utilizar um complicado algoritmo se para se determinar ϕs matematicamente. Contudo, embora não esteja discutido na

literatura, se percebeu que este método amplia a faixa de medição somente até 5,1 rad, pois seus autores não levaram em consideração o efeito do ruído eletrônico, cuja repercussão sobre um processo de modulação PM (phase modulation), não linear, conduz a resultados inesperados. De fato, quando se atinge x=5,14 rad, gera-se uma indeterminação (uma singularidade infinita, 0/0) no cálculo de x . Potencializada pelo ruído, esta singularidade pontual se manifesta como erros intoleráveis ao longo de faixa finita ao redor do valor de x=5,14 rad que se deseja medir, inviabilizando o processo de detecção. Por isso, o método J1... J4

modificado, na verdade, tem faixa dinâmica limitada, apenas entre 0,2 e 5,14 rad aproximadamente.

Uma solução para o problema de correção de sinal algébrico seria operar com os algoritmos usando a série de Fourier complexa do sinal fotodetectado (técnica de transformada de Fourier discreta), a qual automaticamente traz consigo a informação

de ϕs, i.e., as fases de cada harmônica Vn estariam automaticamente disponíveis.

Porém, o candidato tem percebido que, quando se opera com sinais onde as harmônicas superiores em (4) tornam-se da ordem de grandeza do ruído, a FFT (do inglês Fast Fourier Transform) resultante calcula a fase do ruído (e não a do sinal), causando erros intoleráveis e que ocorrem com grande frequência na prática. Assim, na pesquisa, procurou-se gerar métodos que trabalhassem apenas com o espectro de magnitudes de (4), quando o objetivo fosse ampliar ao máximo possível a faixa dinâmica.

Por fim, cita-se outro problema pertinente ao método J1... J4: na condição de

aleatória ϕ0(t)=2 n π rad, n=0,1,2, 3,... , pode haver a ocorrência de P=0 ou Q=0 em (4). Com isso, geram-se indeterminações do tipo 0/0 no cálculo de x . Este fato, potencializado pelo ruído eletrônico, gera medições espúrias que dificultam esclarecer se houve um erro na aquisição do sinal ou uma singularidade devido à

ϕ₀(t). A expectativa comum é que essas condições sejam eventos aleatórios raros,

que possam ocorrer uma vez ou outra durante as medições, não trazendo grandes consequências. Na prática, porém, tal expectativa nem sempre é respeitada.

A partir de 1993 a literatura começou a apresentar métodos capazes de ampliar a faixa dinâmica de detecção das técnicas espectrais, como no trabalho de Sudarshanam e Claus (1993), onde se propôs o método chamado J1... J6, que

emprega as seis primeiras harmônicas de (4) e que também é imune ao desvanecimento. Dividido em duas partes, o método J1... J6 (pos) desloca o ponto

de singularidade superior para 6,38 rad, enquanto o método J1... J6 (neg) melhora a

resolução para 0,05 rad (considerando-se que a tensão de ruído varia conforme 1/ f ) . Contudo, cita-se que o método J1... J6 também exige a aplicação do

algoritmo de correção de sinal algébrico das funções de Bessel.

Retornando-se ao caso do método J1/J3 cita-se que o mesmo é capaz (em

princípio) de medir quaisquer valores de x>0,2 rad, desde que se aplique alguma rotina para corrigir os sinais algébricos das componentes espectrais (para x>3,83) . Contudo, existe um problema adicional (além da necessidade de se resolver uma equação transcendental), que torna o método não confiável. Na extração de x a partir de V1/V3=J1(x)/ J3(x) , existe o problema de ambiguidade de fase, ou seja,

para um mesmo valor da razão V1/V3 mensurada, podem estar associados infinitos

valores possíveis de x . Isto ocorre devido ao comportamento oscilatório das funções de Bessel Jm(x) , e restringe a aplicação do método J1/J3 à solução de

problemas nos quais x aumenta gradativamente a partir de zero, a fim de se rastrear a evolução das raízes da equação transcendental, descartando-se as soluções espúrias. O problema de ambiguidade não ocorre em métodos diretos como

J₁... J₄, J₁... J₆ (pos), e J₁... J₆ (neg).

Apesar dos problemas, os métodos espectrais clássicos ainda hoje são amplamente usados na prática. Por exemplo, o método J1/J3 constitui o método 3

da norma ISO 16063-11, para calibração de acelerômetros (USUDA; KUROSAWA, 1999; VELDMAN, 2003). Em 2004, o método foi usado foi usado na calibração de medidores piezoelétricos de vibração na faixa de frequências entre 2 a 50 kHz, e com deslocamentos entre 0,002 a 0,2 μm, e comparado com os resultados produzidos por métodos como o J0 mínimo, J1 mínimo e J1 máximo (XUE; HE, 2004). A

técnica foi implementada em 2005, mas com radiação de microondas geradas por diodo Gunn no lugar de laser, objetivando monitorar sinais de movimentos respiratórios e de batimentos cardíacos (ABRAMOV et al., 2005). No lugar do interferômetro, foi empregada um arranjo diferencial com guias de ondas metálicos e retangulares a base de T-mágico. Adie et al. (2008) aplicaram o método J1/J3 para

medição de propriedades mecânicas de tecidos humanos na área de elastografia óptica coerente (OCE – Optical Coherence Elastography), uma técnica bastante eficiente na diferenciação de tumores e tecidos normais circunvizinhos. Em 2012 o método foi utilizado para medir/ajustar o valor do fator C que otimiza o método PGC (Phase-Generated Carrier) de demodulação de fase óptica (a ser discutido adiante) (BING et al., 2012). O sistema foi implementado num interferômetro de Michelson em óptica volumétrica com braços de 22 m de comprimento para fins de monitorar atividades geológicas. O sistema foi capaz de medir deslocamentos e vibrações com 20 pm de resolução, na faixa de frequências entre DC e 200 Hz. Um sistema similar foi apresentado em 2013, empregando-se um interferômetro de Michelson em fibra óptica montado em bancada, e com processamento de sinal via software LabVIEW (GAOSHENG et al., 2013). Ainda em 2013, resultados de testes executados em laboratórios do FBU Test-S.-Peterburg, em St. Petersburg, são divulgados, recomendado-se o método J1/J3 como um eficiente padrão de referência de

vibração pela Federação Russa de instrumentos de Medição, na faixa de 5 a 10 kHz (OKREPILOV; SMIRNOV, 2013).

Em 2014, um sistema sensor em fibra óptica para medição de vibração baseado em rede de Bragg foi caracterizado em (YANG et al., 2014), utilizando-se uma variante do método J1/J2 em conjunto com o método PGC. A linearidade do

sensor (densidade espectral de potência, dBm/Hz, do sinal detectado versus amplitude do sinal de teste, mV) chegou a 99,082% na frequência de 50 kHz. Essa variante do método J1/J2 também foi usada na medição de deslocamentos, usando

um interferômetro de Michelson e a técnica de modulação senoidal de frequência, tanto para melhorar a estabilidade da frequência de um diodo laser de cavidade

externa (ECLD – External Cavity Laser Diode), quanto a exatidão e faixa de medição (VU et al., 2016a). A frequência do ECDL foi modulada em 300 kHz, modulando-se a corrente de injeção, sendo travada (locked) na componente hiperfina do iodo, I2,

próxima a 633 nm.

Por sua vez, o método J1... J4 foi utilizado por Marçal et al, (2007) para

caracterizar atuadores piezoelétricos flextensionais em termos de linearidade e resposta em frequência na faixa entre 1 e 50 kHz. Uma versão do método J1... J4

foi proposta em 2012 objetivando aumentar sua faixa dinâmica, atingindo-se o mesmo valor do método J1... J6, porém, usando apenas duas componentes

espectrais ( V1 e V3, sendo V2 e V4 interpoladas), em vez de seis (MARÇAL et al,

2012a). A validação dessa técnica foi realizada através de um modulador eletroóptico a base de célula Pockels de niobato de lítio. A faixa dinâmica para detecção de fase óptica foi aumentada para até 100 rad através da generalização do método anterior, e aplicada para análise de linearidade e resposta em frequência de atuadores piezoelétricos (MARÇAL et al., 2012b). Em 2016, uma outra variante do método

J₁... J₄ foi usada para medir o índice de modulação de fase que, por sua vez, é aplicada ao método J2/J3 para fins de medição de deslocamentos num

interferômetro de Michelson realimentado (VU et al, 2016b). Novamente, é utilizada a técnica de modulação de frequência senoidal de um diodo laser de cavidade externa para atingir a estabilização de sua frequência central, na componente hiperfina do iodo (usando-se uma célula de I2), próxima a 633 nm, por meio de um sistema de

realimentação alimentado por sinais extraídos da saída do interferômetro.

Em princípio, todos os outros métodos clássicos de análise espectral citados no texto apresentam limitação de MDPS. Novamente, ressalta-se nesta pesquisa a importância de se propor novos métodos/algorítmos que sejam capazes de aumentar a faixa dinâmica. Por isso, procurou-se na Tese desenvolver métodos espectrais capazes de operar com um interferômetro de Michelson homódino, passivo (em malha aberta) e de baixíssimo custo, e que sejam diretos (não é necessário resolver equações transcendentais, com a inversão de funções de Bessel), não tenham problemas de ambiguidade de fase, sejam imunes ao desvanecimento, não necessitem de correção de sinais algébricos (operem somente com o espectro de magnitudes), auto-consistentes (não demanda procedimento de auto-calibração) e possuam faixa dinâmica relativamente ampla.