GENERATION OF RANDOM SIGNALS APPLIED TO DIGITAL TRANSMISSION SYSTEMS

GENERATION OF RANDOM SIGNALS APPLIED TO DIGITAL

TRANSMISSION SYSTEMS

Laís Aparecida Moreira, Rausley A. Amaral de Souza, Rodrigo Cogliatti

INATEL, Instituto Nacional de Telecomunicações, Avenida João de Camargo,510, 37540-000, Santa Rita do Sapucaí, MG, Brasil,

http://www.inatel.br

Keywords: Digital Transmission, Random Numbers, Statistical Distributions and Computational Methods.

Abstract. Due to the revolution in signal distribution technologies, one of the challenges of digital transmission is to ensure the safety and proper performance of wireless communication networks, which required an increase of the equipment capacity. Within the context of engineering, considering the high cost of such equipment, an appropriate simulation environment is of paramount importance to permit realistic performance assessments. In the simulation phase, we know that reliability, accuracy and "randomness" are crucial features for the performance analysis of any product. Therefore it is the subject of this work, understanding the several computational methods for generating random signals, according to the different types of statistical distributions that exists. Gaussian distribution, Rayleigh and Rice are some distributions that are most used in engineering. Recently, the α-μ distribution was proposed which explores the nonlinearity of the propagation medium. The choice of any method depends on the efficiency and applicability to a certain distribution. In this work, we deal with the problem of developing software that can be effectively used in the simulation and analysis of the problems involved in telecommunications engineering, thus aiming at proposing solutions to achieve the greater utilization in the transmission of signals in wireless communication networks.

1 INTRODUÇÃO

A importância da geração dos chamados números aleatórios vem da multiplicidade das suas aplicações, pois, utilizando a aleatoriedade foi possível desenvolver técnicas mais simples para resolver problemas numéricos complexos.

Dentre as principais aplicações onde se encontram a utilidade dos números aleatórios (ou sinais aleatórios) destacam-se: simulação, amostragem, análise numérica, programação, criptografia, tomada de decisão entre outras.

Os números aleatórios, na prática, são muito difíceis de obter. Como técnica alternativa utiliza-se os chamados números pseudo-aleatórios (gerados por algoritmos) para simular os eventos aleatórios utilizados, por exemplo, na segurança das redes de comunicações sem fio. Um exemplo de aplicação desta técnica é utilizado nos sistemas CDMA (Code Division

Multiple Access).

Na fase de simulação, sabe-se que confiabilidade, precisão e “aleatoriedade” são características primordiais para os eventos aleatórios. Assim, um ambiente de simulação adequado é de essencial importância.

Dentro do contexto apresentado, serão objetos de estudo deste trabalho os métodos de geração de números aleatórios considerando-se os chamados ambientes não homogêneos. Nos modelos matemáticos aplicáveis nestes ambientes, destacam-se as distribuições α-µ, η-μ e

κ-µ, bem como uma análise prática destas distribuições através dos resultados numéricos

obtidos.

2 MÉTODOS COMPUTACIONAIS DE GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS A palavra aleatoriedade é utilizada para exprimir quebra de ordem ou imprevisibilidade, ou ainda um conjunto de eventos que não descreve um padrão determinístico, mas segue uma distribuição de probabilidade.

As muitas aplicações da aleatoriedade levaram ao desenvolvimento de diferentes métodos para a geração aleatória de dados. A escolha de qualquer método depende de sua eficiência e aplicabilidade para uma determinada distribuição.

A seguir serão apresentados alguns dos métodos e técnicas utilizados no processo de geração de números aleatórios.

2.1 Método Box & Muller

O método da transformação de Box & Muller proposto inicialmente por (Box e Muller, 1958) consiste da geração de pares de amostras aleatórias independentes com distribuição normal com média zero e variância unitária, a partir de uma fonte de números aleatórios distribuídos uniformemente.

Considerando que U1 e U2 são variáveis aleatórias uniformemente distribuídas no intervalo

unitário, e serão variáveis aleatórias gaussianas de média µ e variância , conforme descrito por

(1)

(2)

Dada a análise acima, percebemos que o método de Box & Muller é um método estatístico muito simples, porém, é considerado ruim devido à lentidão de processamento, fato que

ocorre porque o método requer a estimativa de uma raiz quadrada e de duas funções trigonométricas a cada par de amostras gerado.

Embora atualmente existam recursos computacionais disponíveis para auxiliar em um processamento rápido, a transformação de Box & Muller pode ser realizada com mais eficiência utilizando um algoritmo de aceitação/rejeição conforme segue:

1. Gere e independentemente conforme .

2. Faça .

3. Se então, volte ao passo 1.

4. Caso contrário, faça e .

A validade deste método, bem como exemplos de aplicação, pode ser encontrada em (Gentle, 1998).

2.2 Método da Convolução

Para várias distribuições estatísticas importantes (Law, 2000), uma variável aleatória desejada pode ser expressa como uma soma de outras variáveis aleatórias que são IID (independente e identicamente distribuídas) e podem ser geradas mais rapidamente do que a geração direta de , ou seja,

(3)

É importante ficar atento para não confundir o método da convolução com o método da composição (Law, 2000). Aqui assumimos que a variável aleatória pode ser representada como um somatório de outras variáveis aleatórias, o que difere bastante da situação abordada pelo método da composição. O algoritmo geral para o método da convolução pode ser descrito pelos seguintes passos:

1. Gerar IID cada um com função de distribuição . 2. Retornar .

O método da convolução, quando ele pode ser utilizado, é muito simples, pois, podemos gerar a sequência de facilmente.

2.3 Método Congruencial Multiplicativo

O método congruencial, também conhecido como método do Resíduo da Potência, tem este nome devido ao conceito de congruência, da teoria dos números. A expressão matemática do método é dada por (Gentle, 1998)

(4)

onde β é um inteiro entre 0 e M, e M é um número primo ou uma potência inteira de um número primo .

Exemplos deste método podem ser encontrados em (Gentle, 1998). Explicação detalhada e aplicações podem ser encontradas em (Law, 2000).

2.4 Método da Transformada Inversa

Para a variável aleatória X a função distribuição cumulativa (FDC) é a função definida por (Gentle, 1998)

(5)

Logo, se é uma variável aleatória com uma FDC contínua temos que

(6)

onde é uniformemente distribuída no intervalo .

Assim, podemos perceber uma relação simples entre a variável aleatória e a variável aleatória com função distribuição

₍₇₎

O uso desta simples transformação é denominado técnica da FDC inversa. Uma grande desvantagem deste método é o fato de sua aplicação estar limitada a variáveis que possuem FDC inversível. A validade do método pode ser encontrada em (Gentle, 1998).

2.5 Método Monte Carlo

O método de Monte Carlo (MMC) é um método estatístico simples e direto, utilizado como forma de obter aproximações numéricas de funções complexas.

O método tipicamente envolve a geração de observações através de vários experimentos de alguma distribuição de probabilidade e o uso da amostra obtida para aproximar a função de interesse.

Para entender o método, suponha que se deseja avaliar a integral (Law, 2000)

(8)

onde é uma função real que não é analiticamente integrável.

Seja Y a variável aleatória onde é uma variável aleatória contínua distribuída uniformente no intervalo , então o valor esperado de é

(9)

Através da análise encontrada em (Law, 2000) obtemos que

. (10)

Em particular, estimando pela média das amostras obtemos que

(11)

onde são variáveis aleatórias IID .

Além disso, de acordo com (Law, 2000) podemos mostrar que , ou seja, que é um estimador de I.

A validade do método, bem como exemplos de aplicação, pode ser encontrada em (Hammersley e Handscomb, 1964).

2.6 Método da Aceitação-Rejeição

O método da Aceitação-Rejeição (Law, 2000) necessita que especifiquemos uma função , comumente chamada de hat function, que seja majoritária em relação à função densidade de probabilidade (FDP) que se deseja gerar, ou seja, para todo . A função não será uma FDP já que

(12) Mas a função (13)

claramente é uma FDP. Este método é capaz de gerar uma variável aleatória com FDP . O algoritmo geral é o seguinte:

1. Gerar tendo uma distribuição qualquer (Uniforme, gaussiana, exponencial ou outra). 2. Gerar uma distribuição uniforme , independente de .

3. Se retornar . Caso contrário, retornar para o passo 1 e tentar novamente.

O algoritmo continua realizando o processamento até gerar N números aleatórios X distribuídos de acordo com a distribuição desejada. Como demonstrado em (Law, 2000), a probabilidade de aceitação no passo 3 do algoritmo é . A validade deste método, bem como exemplos de aplicação, pode ser encontrada em (Law, 2000).

3 AMBIENTES NÃO HOMOGÊNEOS

Em sistemas de comunicações móveis pequenos deslocamentos espaciais podem resultar em grandes variações no nível do sinal recebido (Rappaport, 1996). Como alternativa para avaliar os efeitos desses pequenos deslocamentos são utilizados modelos estatísticos.

Três fatores básicos são considerados em um modelo estatístico de um sinal se propagando (D’Ávila, 1995):

1. Perdas de Percurso: Fenômeno físico de decaimento de potência de acordo com o

aumento da distância entre o transmissor e o receptor.

2. Efeitos de Sombreamento: Ocorrem quando grandes obstáculos (edifícios, morros e

similares) se situam entre o transmissor e o receptor. Esse efeito pode provocar consideráveis perdas na potência recebida e interromper instantaneamente a comunicação.

3. Efeitos de Múltiplo Percurso: São causados devido às diversas ondas refletidas

(réplicas do mesmo sinal) que chegam à antena receptora em fases e instantes de tempo diferentes.

A Fig. 1 ilustra o comportamento desses três fatores.

Os três fatores ilustrados influenciam diretamente nas variações sofridas pelo canal. Logo, um ambiente de propagação pode ser descrito como a combinação desses três fatores, dependendo das características e finalidades de cada ambiente.

Por sua vez, cada ambiente de propagação está associado a um método estatístico. É devido a este fato que os diversos tipos de ambientes de propagação são descritos por distribuições estatísticas de mesmo nome.

As distribuições mais conhecidas, tais como Rayleigh (Lord Rayleigh, 1880), Rice (Rice, 1944) e Nakagami-m (Nakagami, 1960), consideram um ambiente de propagação onde os múltiplos percursos refletem-se nas superfícies de forma homogênea. Esta é certamente uma aproximação, pois para que seja caracterizado um campo de espalhamento homogêneo fazem-se necessárias algumas características conforme descrito por (Braun e Dersch, 1991).

Figura 1: Comportamento dos fatores considerados em um sinal se propagando.

Com o objetivo de modelar o fenômeno de desvanecimento em pequena escala em um ambiente não homogêneo, foram propostas recentemente as distribuições α-µ (Yacoub, 2007),

κ-μ (Yacoub, 2001) e η-μ (Yacoub, 2000) que são brevemente demonstradas neste artigo

seguidas de um comparativo com as demais distribuições. 3.1 Distribuição α-µ

A distribuição α-µ (Yacoub, 2007) é uma distribuição de desvanecimento geral que foi proposta com o objetivo de explorar a não linearidade de um meio de propagação. Esta distribuição é, na verdade, uma versão reescrita da distribuição Gama generalizada, a qual foi proposta pela primeira vez por Stacy (Stacy, 1962). A densidade α-µ é dada por (Yacoub, 2007)

(14)

onde α é o parâmetro de não linearidade, é o valor eficaz de R, µ é o número real de clusters (conjuntos de ondas espalhadas) e é a função Gamma definida como

₍₁₅₎

Sendo , e o parâmetro µ dado por

(16)

onde denota o operador esperança matemática, representa a variância e o parâmetro

µ correspondente ao número real de clusters de múltiplos percursos.

A FDC da envoltória pode ser obtida como

(17)

A distribuição α-μ é uma distribuição que inclui outras distribuições conhecidas, tais como Gamma (e suas versões discreta Erlang e central Chi-Quadrado), Nakagami- (e sua versão discreta Chi), Exponencial, Weibull, Semi Gaussiana e Rayleigh.

A Fig. 2 mostra a relação entre as principais distribuições derivadas a partir da distribuição α-μ.

Figura 2: Sumário Matemático – Distribuição α-μ. 3.2 Distribuição κ-μ

A distribuição κ-μ (Yacoub, 2001; Yacoub, 2007) é uma distribuição de desvanecimento geral que pode ser usada para representar as variações em pequena escala do sinal em desvanecimento em uma condição de linha de visada direta (LOS, do inglês Line of Sight).

A distribuição considera um sinal composto de vários clusters com ondas provenientes dos múltiplos percursos. Dentro de cada cluster, as fases das ondas são aleatórias e tem atrasos temporais semelhantes e, entre os vários clusters, os atrasos das ondas são relativamente grandes. Por hipótese, considera-se que as ondas dos múltiplos percursos dos vários clusters possuem potências idênticas, mas dentro de cada cluster existe uma componente dominante de potência arbitrária (Yacoub, 2001; Souza, 2009). A distribuição é dada por (18) onde κ é a razão entre a potência total da componente dominante e a potência total das componentes espalhadas, e é a função de Bessel modificada de primeiro tipo de ordem arbitrária (Abramowitz e Stegun, 1972). Sendo

(19)

(20) onde é a função de Marcum-Q generalizada (Marcum, 1960), dada por

(21)

Assim como a distribuição α-μ, a distribuição κ-μ também inclui outras distribuições conhecidas, tais como Nakagami-m, Rayleigh, Rice e Semi Gaussiana. A Fig. 3 mostra a relação entre as distribuições citadas.

Figura 3: Sumário Matemático – Distribuiçãok-µ. 3.3 Distribuição η-µ

A distribuição η-µ (Yacoub, 2000; Yacoub, 2007) é uma distribuição de desvanecimento geral que pode ser usada para representar as variações em pequena escala do sinal em desvanecimento em uma condição NLOS (Non Line-of-Sight).

Assim como nos ambientes α-µ e k-µ, a modelagem a partir da distribuição η-µ é considerada em um ambiente não homogêneo, sendo o sinal também composto de vários

clusters com ondas provenientes dos múltiplos percursos.

De forma geral, a Fig. 4 mostra o mecanismo de propagação em um ambiente não homogêneo onde é possível verificar vários conjuntos de ondas espalhadas (ou clusters)

Figura 4: Mecanismo de propagação.

De acordo com (Souza, 2009) dentro de cada cluster, as fases das ondas são aleatórias e tem atrasos temporais semelhantes e, entre os vários clusters, os atrasos das ondas são relativamente grandes.

A distribuição η-µ pode aparecer em dois formatos diferentes. No Formato 1, as componentes em fase e em quadratura do sinal em desvanecimento dentro de cada cluster são consideradas gaussianas independentes de média nula e possuem potências diferentes (variâncias distintas). No Formato 2, as componente em fase e em quadratura do sinal em desvanecimento dentro de cada cluster são consideradas gaussianas correlacionadas de média nula e possuem potências idênticas (variâncias idênticas). Sendo assim o parâmetro é a relação entre as variâncias das componentes em fase e em quadratura.

Em ambos os formatos, o parâmetro µ é uma extensão real do número de clusters e é dado por

(22)

onde e são funções do parâmetro e variam de um formato para outro.

A partir das conclusões acima, a FDP da distribuição η-µ para os dois formatos, é dada por

(23) onde Ω é a potência média do sinal.

Assim, a FDC da distribuição η- pode ser expressa como

(24)

(25)

Como casos especiais da distribuição η-µ são consideradas as distribuições Semi Gaussiana Positiva, Rayleigh, Hoyt e Nakagami- . A Fig. 5 descreve a relação entre as distribuições relacionadas com a densidade η-µ.

Figura 5: Sumário matemático – Distribuição η-µ. 3.4 Método da Convolução aplicado às distribuições em estudo

Como descrito na Seção 2.2 deste trabalho o método da convolução é muito simples nos casos em que ele pode ser aplicado, ou seja, nos casos em que a variável aleatória desejada pode ser expressa como uma soma de outras variáveis aleatórias que são IID

Esta seção tem por objetivo demonstrar como algumas das distribuições em estudo podem ser geradas a partir do somatório de variáveis aleatórias gaussianas, dependendo das características particulares e dos parâmetros aplicados a cada distribuição.

A distribuição α-µ considerando o método, pode ser descrita como

(26)

considerando média nula e variância para cada variável aleatória. A distribuição κ-µ pode ser descrita como

(27) onde e são processos gaussianos independentes com média nula e variância ; e representam respectivamente os valores médios das componentes em fase e em quadratura do sinal composto de clusters com ondas provenientes dos múltiplos percursos; e é o número de clusters de múltiplo percurso.

(28) onde e são processos gaussianos independentes com média nula e variâncias distintas.

A distribuição Nakagami-m pode ser descrita como

(29)

onde , , são variáveis com média nula e variância . A distribuição Rayleigh pode ser descrita como

. (30)

A distribuição Hoyt pode ser descrita como

(31)

considerando média nula e variâncias e distintas para as variáveis Y1 e Y2.

A distribuição Gaussiana unilateral pode ser descrita como

(32)

considerando média nula e variância para a variável aleatória Y1. 4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Para facilitar o entendimento deste trabalho e ainda, como forma de avaliar o comportamento dos ambientes de propagação mencionados, a seguir são apresentados alguns gráficos gerados com o auxílio dos softwares de simulação Matlab e Mathematica.

4.1 Ambiente Nakagami-m

A Fig. 6 ilustra o comportamento do ambiente de propagação Nakagami-m. Nesta simulação fixou-se o fator de desvanecimento m dado na Equação (15) para , e tornamos variável o parâmetro Ω, que refere-se à potência média do sinal.

A Fig. 7 também ilustra o comportamento do ambiente de propagação Nakagami-m. Neste caso, foi alterado o fator de desvanecimento.

Figura 7: Comportamento do ambiente de propagação Nakagami-m. 4.2 Ambiente Hoyt

A Fig. 8 ilustra o comportamento do ambiente de propagação Hoyt (Nakagami-q). Na figura é possível perceber as variações sofridas pela envoltória da distribuição através da alteração dos valores de η(relação entre as variâncias das componentes em fase e em quadratura) e da potência média do sinal, denotada por Ω.

4.3 Ambiente α-µ

O comportamento do ambiente de propagação α-µ é ilustrado na Fig. 9. Quando considera-se o número real de clusters µ igual a 2 e, tornam-considera-se variáveis os valores do parâmetro de não linearidade α e do valor eficaz de R ( ).

Figura 9: Comportamento do ambiente de propagação α-µ.

A Fig. 10 também ilustra o comportamento do ambiente de propagação α-µ, contudo, neste caso, consideramos o valor eficaz de R, aqui denotado por , igual a 1. O número real de

clusters (µ) se mantém igual a 2 e, tornamos variável apenas os valores do parâmetro de não

linearidade (α).

4.4 Ambiente κ-µ

O comportamento do ambiente de propagação κ-µ é ilustrado na Fig. 11, onde é possível perceber as variações sofridas pela envoltória da distribuição através da alteração dos valores de κ e de µ.

Figura 11: Comportamento do ambiente de propagação κ-µ.

Para a geração destas amostras foi utilizado o método da aceitação-rejeição, conforme descrito na Seção 2.6. Como pode ser observado, a aplicação do método da Aceitação-Rejeição mostrou-se eficiente no objetivo de gerar amostras com amplitudes distribuídas de acordo com a distribuição κ-μ.

É importante ressaltar que foi utilizada uma função t(x) constante o que produz uma FDP

r(x) uniformemente distribuída. A Tabela 1 mostra a porcentagem das amostras aceitas

usando o método da aceitação-rejeição. Para aumentar a porcentagem das amostras aceitas, é possível utilizar várias funções uniformemente distribuídas, ou mesmo outro tipo de FDP, com o objetivo de diminuir a área abaixo de t(x). Aumentando assim a probabilidade de aceitação de amostras e, portanto, aumentando a eficiência do método em termos de aceitação das amostras.

Tabela 1: Porcentagem das amostras aceitas usando o método da aceitação-rejeição da distribuição κ-µ.

κ µ m Amostras geradas Amostras aceitas Aproveitamento % 0 2 2 100000 9553 9,55 1 1,5 2 100000 10018 10,02 2,41 1 2 100000 10067 10,07 5 TESTES DE ADERÊNCIA

A fim de se verificar se os números aleatórios gerados estão distribuídos conforme a distribuição de interesse, pode-se fazer uso de algum teste estatístico de aderência, cuja finalidade é averiguar se uma amostra pode ser considerada como proveniente de uma

população com uma determinada distribuição.

Os testes de aderência mais utilizados são o teste de Kolmogorov-Smirnov e o teste do Qui-Quadrado. Ambos medem o grau de aderência entre a distribuição de uma amostra de números aleatórios gerados e a correspondente distribuição teórica, e ambos também são baseados na hipótese nula de que nenhuma diferença significante existe entre a amostra e a distribuição teórica. No presente artigo, dar-se-á maior atenção ao teste de Kolmogorov-Smirnov. Para maiores informações sobre este e outros testes para diferentes propósitos, consultar (Gentle, 1998).

O teste de Kolmogorov-Smirnov compara a FDC da distribuição de interesse com a FDC da amostra, e pode ser aplicado a qualquer distribuição contínua. Sendo SN(x) a FDC empírica do conjunto de dados gerado, e F(x) a FDC da distribuição de interesse, o teste Kolmogorov-Smirnov baseia-se no maior desvio absoluto entre F(x) e SN(x) expresso por

(33)

(34)

Essas estatísticas medem as distâncias (vertical) entre os gráficos das duas funções, teórica e empírica, nos pontos e . Com isso, utiliza-se como estatística de teste

(35)

Como se trata de um teste de hipóteses, estipula-se um limiar de probabilidade a partir do qual é possível aceitar ou rejeitar a hipótese nula, ou seja, aceitar ou não a sequência de dados gerada como aderente àquela distribuição. Esse limiar de probabilidade é chamado de

nível de significância, e é estipulado de acordo com o pesquisador. Em geral, estipula-se um

nível de 5%. Este valor será adotado neste artigo.

O valor da probabilidade de se obter o efeito observado, dado que a hipótese nula é verdadeira, é chamado de p-valor. Se o valor do p-valor for menor que o nível de significância estipulado, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, o conjunto de dados não é aderente àquela distribuição. Caso contrário, se o p-valor for maior, aceita-se a hipótese nula e os dados são considerados aderentes àquela distribuição. A Tabela 2 mostra o resultado dos testes de aderência para cada um dos conjuntos de dados gerados nas seções anteriores. Pode-se concluir que todos os conjuntos de dados gerados possuem p-valor maiores do que o nível de significância adotado, 5%, e, portanto, todos são considerados aderentes às suas respectivas distribuições.

Tabela 2: Testes de aderência aplicados aos ambientes de propagação em estudo Ambiente (Distribuição) Parâmetros p-Valor

Nakagami-m Ω=1 , m=2 0,5094 Ω=2 , m=2 0,2023 Ω=3 , m=2 0,0696 Ω=1, m=0,5 0,6927 Ω=1, m=1 0,4707 Ω=1, m=2,5 0,9183 Ω=1, m=3 0,3284 Hoyt Ω=2, η=1 0,4806 Ω=3, η=2 0,6132 Ω=4,5, η=3,5 0,4222 α-µ α=1, µ=2, =4 0,7657 α=2, µ=2, =2 0,6462 α=3, µ=2, = 0,7641 α=1, µ=2, =1 0,1830 α=2, µ=2, =1 0,3615 α=3, µ=2, =1 0,0741 κ-µ κ=0, µ=2 0,4207 κ=1, µ=1,5 0,8929 κ=2,4, µ=1 0,9621 6 CONCLUSÃO

Este trabalho foi elaborado a partir do estudo e compreensão da geração de sinais aleatórios dada a sua importância para a análise e simulação de sistemas reais de transmissão digital. As muitas aplicações da aleatoriedade levaram ao desenvolvimento de diferentes métodos para a geração aleatória de dados.

Foram abordados alguns dos principais métodos computacionais de geração de números aleatórios. Demonstraram-se os algoritmos aplicáveis a cada método. Como forma de garantir a veracidade das informações referências contendo a validade dos métodos bem como exemplos de aplicação foram citadas ao decorrer das subseções.

Foi demonstrado ainda que a escolha de um método depende de sua eficiência e aplicabilidade para a distribuição que se deseja modelar. As distribuições estatísticas mais conhecidas tais como Rayleigh Rice e Nakagami-m que consideram um ambiente de propagação homogêneo foram apenas citadas e referenciadas de acordo com cada contexto apresentado.

Já as distribuições α-µ, κ-µ e η-μ que consideram um ambiente de propagação não homogêneo foram descritas. Estas distribuições surgiram como uma alternativa para avaliar os efeitos do desvanecimento em pequena escala e, por isso vêm se tornando uma importante ferramenta aplicável na modelagem de sistemas de comunicações móveis.

Foram demonstrados os resultados numéricos obtidos a partir da simulação de algumas das distribuições estudadas, onde o comportamento de cada ambiente de propagação foi ilustrado por gráficos comparativos assim como os principais testes de aderência.

Agradecimentos

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais – FAPEMIG pelos recursos disponibilizados.

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