UMA PROPOSTA DE ANÁLISE VERTICAL: INVESTIGANDO O CONHECIMENTO MATEMÁTICO PARA O ENSINO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA

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UMA PROPOSTA DE ANÁLISE VERTICAL: INVESTIGANDO O CONHECIMENTO MATEMÁTICO PARA O ENSINO DE PROFESSORES DA

EDUCAÇÃO BÁSICA

Marieli Vanessa Rediske de Almeida1

Karina Aguiar Alves2, Thais Helena Inglêz Silva3, Regina Lúcia da Silva 4 1 _{Fundação Universidade Federal do ABC, marieli.almeida@outlook.com}

2_{Fundação Universidade Federal do ABC, karina.aguiar@aluno.ufabc.edu.br} 3_{Fundação Universidade Federal do ABC, thaisinglez@gmail.com} 4

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, regiluciasilva@hotmail.com

Resumo

Este trabalho insere-se numa agenda de pesquisa a ser desenvolvida no projeto “Conhecimento matemático para o ensino: uma abordagem baseada em perfis conceituais”, vinculado ao Programa Observatório da Educação. Temos por objetivo apresentar os resultados de uma das etapas do projeto, que consistiu na coleta de dados com professores da Educação Básica, por meio de questionários e entrevistas. Trazemos como referencial teórico e de análise o trabalho de Ball, Thames e Phelps, que propuseram, baseados nas ideias de Lee Shulman sobre os Conhecimentos Profissionais Docentes, os domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino. A fim de trazermos um recorte genuíno da etapa em questão, desenvolvemos uma estruturação metodológica, apoiados em uma abordagem qualitativa de cunho interpretativo, que denominaremos de “análise vertical”, onde o percurso de três participantes será explorado nas três fases da investigação aqui apresentada. Observamos que, embora os professores participantes possuam perfis de formação e tempo de atuação semelhantes, exibiram abordagens distintas de ensino para conceitos algébricos, bem como, manifestaram diferentes domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino. Intentamos, futuramente, ampliar nossas análises, a fim de traçarmos correlações entre as diferentes investigações empreendidas até o momento no grupo e investigarmos como se dá a articulação de conhecimentos docentes e conhecimentos algébricos em professores de matemática, em diferentes níveis de atuação, tanto na Educação Básica como no Ensino Superior.

Palavras-chave: Conhecimento Matemático para o Ensino. Formação de Professores.

Ensino de Álgebra.

INTRODUÇÃO

A presente investigação encontra-se alocada no projeto de pesquisa denominado “Conhecimento Matemático para o Ensino de álgebra: uma abordagem baseada em Perfis Conceituais”, desenvolvida no âmbito do Observatório da Educação - OBEDUC - sob o edital 049/12, e coordenado pelo Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro. O projeto, sediado na Universidade Federal do ABC - UFABC - conta com o apoio e financiamento da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES e é constituído por bolsistas e outros colaboradores, dentre os quais encontram-se estudantes de graduação e de Pós-Graduação, professores da Educação Básica e professores do Ensino Superior. Propomo-nos, tendo este como um dos objetivos norteadores de nossas pesquisas, a

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investigar os conhecimentos algébricos mobilizados por professores, ao ensinar álgebra na Educação Básica. Alinhados a este propósito, apresentamos nossas reflexões preliminares a respeito de uma das etapas de investigação do grupo, que contou com a participação de 22 professores da Educação Básica da rede pública estadual do grande ABC, sob a perspectiva teórica do Conhecimento Matemático para o Ensino - MKT - desenvolvido por Deborah Ball e seus colegas.

Nos referimos a uma das etapas pois o trabalho desenvolvido inclui investigações teóricas e conta também com a participação de professores do Ensino Superior, bem como, futuramente, investigações com estudantes da rede púbica estadual do grande ABC. Sendo assim, o trabalho com os professores da Educação Básica figura uma das etapas da coleta de dados, inscrita em um processo de investigação maior. O interesse pela temática da Educação Algébrica justifica-se tanto pelos resultados encontrados nas macroavaliações (ALVES, FAGUNDES, ROSSETTO, SILVA e GOMES, 2014) quanto por pesquisas teóricas (DOERR, 2004; ARTIGUE, ASSUDE, GRUGEON e LENFANT, 2001).

O Conhecimento Matemático para o Ensino, por sua vez, constitui um modelo teórico apresentado por Ball, Thames e Phelps (2008), desenvolvido em aproximação com os trabalhos de Shulman (1986, 1987). Elencamos tais referenciais para subsidiar nossas análises e a elaboração dos instrumentos para a coleta de dados. Destacamos a contribuição destes autores para as pesquisas em Formação de Professores, a começar com o trabalho de Shulman que, ao levantar a temática de investigação de quais são os conhecimentos necessários a um professor da Educação Básica, lançou um campo de investigações no final dos anos 80, que desde então tem despertado o interesse de diversos pesquisadores e uma variedade de agendas de pesquisa. Essa variedade de agendas de pesquisas culminou em diferentes tipologias associadas, cada qual, a uma orientação teórica, como observam Tardif e Raymond (2000):

Vários autores tentaram ordenar essa diversidade, propondo classificações ou tipologias relativas ao saber dos professores (...). Por exemplo, algumas tratam de fenômenos sociais (Bourdoncle 1994), outras de princípios epistemológicos (Shulman 1986), outras, de correntes de pesquisas (Martin 1993; Raymond 1993; Gauthier et al. 1997) ou de modelos ideais (Paquay 1993). (TARDIF, RAYMOND, 2000, p. 213 e 214, grifo nosso)

A abordagem baseada em princípios epistemológicos se alinha aos interesses do grupo em investigar os conhecimentos do professor sobre álgebra, considerando o conhecimento como constructo a partir das interações entre sua prática docente, a institucionalização da profissão e sua formação. Em se tratando de Ball e seus colaboradores, o trabalho desenvolvido acrescenta o valor da prática dos professores e objetiva elencar os conhecimentos profissionais docentes necessários especificamente ao professor de matemática.

Nos propomos a observar como os domínios de conhecimentos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008) se manifestam quando alguns professores da Educação Básica falam sobre sua prática e sobre conceitos matemáticos, pensando particularmente no ensino de álgebra. Para tanto, apresentamos primeiramente as ideias centrais dos trabalhos de Shulman (1986, 1987) e de Ball, Thames e Phelps (2008), seguidas pela metodologia deste trabalho, nossas análises e discussões e alguns apontamentos finais.

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REFERENCIAL TEÓRICO

Buscaremos agora trazer uma revisão dos trabalhos de Lee Shulman (1986, 1987), que tiveram por objetivo estabelecer a importância do conhecimento do conteúdo para a profissão docente e de Ball, Thames e Phelps (2008) que, a partir dos trabalhos de Shulman, elaboraram o Conhecimento Matemático para o Ensino, uma gama de conhecimentos e habilidades necessárias ao ensino de matemática. Tais trabalhos vem sendo estudados por nosso grupo e nos permitiram compreender os diferentes tipos de conhecimentos mobilizados pelos professores participantes desta investigação.

Shulman (1986) defende a existência de um conhecimento do conteúdo que é particular ao ensino. Segundo este autor, o professor necessita ter um conhecimento diferenciado sobre o assunto a ser ensinado. Nesta perspectiva, o autor propõe três categorias para que se estude o conhecimento do conteúdo1 para o ensino, quais sejam: o Conhecimento Específico do Conteúdo2, o Conhecimento Curricular3 e o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo4, conhecido principalmente por sua sigla em inglês, PCK.

O Conhecimento Específico do Conteúdo faz referência a conteúdos específicos da disciplina que o professor ministra, o que envolve o entendimento de procedimentos, concepções e fatos, entre outros. O Conhecimento Curricular envolve os conhecimentos que o professor possui sobre o currículo, incluindo o conhecimento de programas, tópicos específicos e utilização de materiais didáticos. Com isso, cabe destacar que o Conhecimento Curricular para Shulman não se restringe ao conhecimento do conteúdo programático. No que se refere ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, o autor defende a existência de uma relação indissociável entre o conhecimento do conteúdo e os conhecimentos pedagógicos para o seu ensino. Desta forma, o PCK confere uma especificidade relacionada à profissão docente.

Já em 1987, Shulman apresenta mais algumas categorias que formariam, em conjunto com as categorias apresentadas no artigo de 1986, a Base de Conhecimentos para o Ensino5. Dessa forma, tal base de conhecimentos seria formada por conhecimento específico do conteúdo, conhecimento pedagógico geral, conhecimento do currículo, conhecimento pedagógico do conteúdo, conhecimentos sobre os alunos, conhecimento dos contextos educacionais e conhecimento sobre objetivos educacionais.

A partir destes dois trabalhos de Shulman (1986, 1987), pesquisadores em diversas áreas passaram a se dedicar ao estudo dos conhecimentos necessários ao ensino, principalmente em relação ao Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, categoria que gerou grande interesse na comunidade científica. Entre os pesquisadores que se dispuseram a aprofundar o trabalho de Shulman estão Deborah Ball e seus colegas. Em seu trabalho, Ball, Thames e Phelps (2008) buscam apresentar o que denominaram Conhecimento Matemático para o Ensino6 (MKT). Partindo de suas investigações, os autores construíram um quadro teórico com diferentes domínios necessários ao ensino de matemática.

1

Content Knowledge no original, em inglês.

2

Subject-matter Content Knowledge no original, em inglês.

3

Curricular Knowledge no original, em inglês.

4

Pedagogical Content Knowledge no original, em inglês.

5

Knowledge Base of Teaching no original, em inglês.

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Neste quadro, o Conhecimento Específico do Conteúdo, proposto por Shulman, foi subdividido em Conhecimento Comum do Conteúdo e Conhecimento Especializado do Conteúdo. Já o Conhecimento Pedagógico do Conteúdo, foi subdividido em Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes e Conhecimento do Conteúdo e o Ensino. Além disso, o quadro construído pelos autores apresenta os domínios Conhecimento do Horizonte do Conteúdo e Conhecimento do Conteúdo e o Currículo que, conforme os mesmos, necessitam ser estudados em maior profundidade para determinar se continuarão ou não alocados desta forma no quadro.

O Conhecimento Comum do Conteúdo7 (CCK) refere-se a conhecimentos e habilidades matemáticas utilizados em qualquer situação que não envolva o ensino, enquanto o Conhecimento Especializado do Conteúdo8 (SCK) se refere a conhecimentos e habilidades específicas do professor que ensina matemática. O Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes9 (KSC) relaciona conhecimentos matemáticos com conhecimentos sobre os alunos e o Conhecimento do Conteúdo e o Ensino10 (KCT) relaciona conhecimentos matemáticos com conhecimentos sobre o ensino.

Neste trabalho nos utilizamos dos domínios de Ball, Thames e Phelps (2008) por se tratar de um modelo teórico desenvolvido para o estudo dos conhecimentos dos professores de matemática e porque os trabalhos do grupo liderado por Ball, na Universidade de Michigan, vem sendo amplamente estudados e discutidos em nosso grupo.

ASPECTOS METODOLÓGICOS

A metodologia utilizada na presente investigação insere-se numa abordagem qualitativa de cunho interpretativo. Concordamos com Creswell quando, ao descrever a abordagem qualitativa, diz:

7

Common Content Knowledge no original, em inglês.

8

Specialized Content Knowledge no original, em inglês.

9

Knowledge of Content and Students no original, em inglês.

10

Knowledge of Content and Teaching no original, em inglês.

Figura 1: Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino

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A pesquisa qualitativa é um meio para explorar e para entender o significado que os indivíduos ou os grupos atribuem a um problema social ou humano. O processo de pesquisa envolve (...) a análise dos dados indutivamente construída a partir das particularidades para os temas gerais e as interpretações feitas pelo pesquisador acerca do significado dos dados (CRESWELL, 2010, p. 25).

As interpretações, por sua vez, são feitas à luz do referencial teórico apresentado, ou seja, os pesquisadores atribuem às falas dos professores e situações por eles apresentadas significados a partir dos referenciais de Conhecimento Matemático para o Ensino e de concepções de álgebra. Acerca disso, Santana e Sobrinho destacam:

(...) sob a visão de um pesquisador interpretativista, o fenômeno a ser estudado é resultado da colocação de significados que o pesquisador impõe ao fenômeno, moldado pela maneira como ambas as partes se interagem, (...) a interpretação ainda deve variar de acordo com o lugar onde o pesquisador e o fenômeno estão inseridos e em qual período de tempo ele está sendo analisado. (SANTANA, SOBRINHO, 2007, p. 2 e 3) Como mencionamos, esta pesquisa se insere em um projeto mais amplo, o qual contempla múltiplas investigações. Com isso, há três grandes eixos sobre os quais temos empenhado esforços e estudos, a saber: concepções de álgebra, o Conhecimento Matemático para o Ensino e o modelo teórico de Perfil Conceitual. Uma vez que o objetivo do projeto está relacionado ao conhecimento matemático para o ensino de álgebra, todos os instrumentos de coleta elaborados pelo grupo contam com um viés que possibilite explorar as concepções de álgebra dos participantes da pesquisa e os conhecimentos profissionais docentes por eles manifestados, apoiados, para isso, em Shulman ou no trabalho de Ball e seus colaboradores.

Neste trabalho, apresentamos os resultados da investigação realizada com professores da Educação Básica, especificamente sob o viés dos conhecimentos profissionais docentes, nos utilizando, como dissemos em nosso referencial, do Conhecimento Matemático para o Ensino. Ressaltamos que, por estarmos interessados particularmente no ensino de álgebra e, com o intuito de ampliarmos nossas concepções de álgebra escolar, as questões propostas também pretenderam investigar as concepções de álgebra manifestadas pelos professores. Neste sentido, o grupo tem desenvolvido um trabalho de categorização da álgebra escolar, sistematizado em um quadro de referência em construção11 (SILVA, SAITO, SOUZA e BEZERRA, 2015), o qual usaremos como parâmetro para identificar, nas falas dos professores, manifestações do Conhecimento Especializado do Conteúdo. Assumimos neste trabalho que a manifestação de diferentes concepções de álgebra configura-se no domínio Conhecimento Especializado do Conteúdo, visto que, na construção do quadro de referência, consideramos aspectos intrínsecos da álgebra relacionados ao seu ensino.

Esta investigação se desenvolveu em três fases, cada qual com um objetivo em particular: na primeira fase foi elaborado um questionário de identificação, a ser levado às escolas nas quais os professores participantes do nosso grupo trabalham, para que fosse respondido por seus colegas também professores de matemática. Com este questionário levantamos informações acerca da formação desses professores, suas áreas de afinidade

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Como o objetivo deste trabalho é a discussão dos conhecimentos docentes, não vamos nos ater a discussão e aprofundamento das categorias de álgebra, que vem sendo construídas e apresentadas em eventos da área. O quadro segue como apêndice a este trabalho.

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com matemática, a continuidade de seus estudos e dados pessoais, com o objetivo de traçarmos um perfil dos participantes. Os professores que, ao final deste questionário, manifestaram interesse em continuar a contribuir com a pesquisa participaram também da segunda fase.

Obtivemos 26 respostas ao questionário da primeira fase, sendo que 22 destes professores manifestaram interesse em continuar participando da pesquisa. Na segunda etapa, foi elaborado um roteiro de entrevista com oito questões que versavam sobre as concepções de álgebra e sobre os domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino. As entrevistas da segunda fase foram agendadas, gravadas e posteriormente transcritas para as análises.

Já a terceira fase foi composta por um questionário com cinco situações matemáticas relacionadas a conceitos algébricos, sendo solicitado ao professor que ora resolvesse, ora interpretasse as situações propostas. Tais situações foram retiradas de artigos estudados no período de aproximadamente dois anos de atuação do grupo. O questionário foi entregue aos 22 professores entrevistados, sendo estabelecido um prazo de quinze dias para devolução. Ao final, recebemos 14 questionários respondidos.

Considerando a vastidão dos dados coletados e analisados, retrataremos neste trabalho apenas o percurso de três dos Professores da Educação Básica - PEB, aqui denominados PEB 1, PEB 3 e PEB 9, que estão entre os professores participantes das três etapas de coleta de dados. Os professores analisados pertencem a uma mesma escola, alocada na região do grande ABC, no município de Santo André. Estes professores possuem perfil de formação e tempo de experiência semelhantes, bem como possuem experiência nos quatro anos finais do Ensino Fundamental e nos três anos do Ensino Médio.

No presente momento, nossa intenção é fazer um levantamento dos conhecimentos que se manifestam na fala de professores com perfis semelhantes , a fim de compreender se existem relações entre este perfil e os domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino observados. Como etapas posteriores, pretendemos ampliar as investigações com as respostas de professores com diferentes perfis. Não nos cabe aqui traçar um diagnóstico, prescrever ou apontar erros, dificuldades e/ou deficiências no trabalho dos entrevistados. Temos por único interesse verificar, através dos instrumentos apresentados, como os domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino se manifestam na fala e na execução das atividades propostas.

CONSTRUINDO UMA ANÁLISE VERTICAL

Nesta fase destacamos algumas observações sobre as três etapas de nossa investigação. Por motivo de espaço apresentaremos somente alguns protocolos dos professores.

ANÁLISE VERTICAL PEB1

Na data da coleta de dados, PEB 1 possuía 35 anos de idade, atuava no magistério há 10 anos na rede estadual de São Paulo, lecionando há seis meses na escola em questão, como professor auxiliar. Cursou licenciatura em matemática, concluindo sua graduação em 2002, em uma instituição pública de ensino. Posteriormente, deu continuidade a sua formação, por meio de participação em eventos e realização de mestrado. Quando da coleta, atuava no Ensino Médio com jornada de trabalho de 10 horas semanais.

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Destacamos na fala de PEB 1 a articulação entre as diferentes áreas da matemática, demonstrando certa informalidade ao tratar de conceitos matemáticos. Quando questionado sobre sua área de afinidade dentro da matemática, PEB 1 elege a aritmética. Identificamos, no protocolo abaixo, a ênfase dada à aritmética na resolução proposta quando lhe foi solicitado que elaborasse uma atividade para a introdução de um conceito algébrico a sua escolha.

Observamos que, para introduzir o conceito de função, o professor se utiliza de uma dupla contextualização: da própria matemática, ao favorecer a utilização de técnicas aprendidas anteriormente, como também da realidade do aluno ao propor uma situação problema envolvendo seu cotidiano. Com isso, identificamos a predominância do domínio de Conhecimento do Conteúdo e o Ensino, pois as estratégias de contextualização utilizadas pelo professor são elementos que favorecem diferentes abordagens de ensino.

A esse respeito, Skovsmose (2014) discute sobre a importância do que ele denominou Cenários para Investigação. Segundo o autor, um cenário para investigação é “um terreno sobre o qual as atividades de ensino-aprendizagem acontecem” e, em oposição à tradicional abordagem que envolve um grande número de exercícios repetitivos, esta abordagem busca propiciar momentos de pesquisa e reflexão em sala de aula de matemática. Segundo o autor, juntamente com listas de exercícios, os cenários para investigação compõem 6 diferentes milieus de aprendizagem, sendo estes divididos em

Figura 2: Protocolo PEB 1 - 3ª Fase

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referências a conceitos puramente matemáticos, a objetos que se encontram em uma semirrealidade e a situações da vida real.

O exemplo apresentado por PEB 1 refere-se, conforme Skovsmose (2014), ao milieu do tipo 3, que envolve o paradigma de exercícios e uma situação próxima à realidade. O autor considera que situações desse tipo podem possibilitar a contextualização, pelos alunos, de procedimentos matemáticos, mas ressalta que tais situações são distantes da realidade e geralmente fornecem informações exatas a fim de facilitar os cálculos. Por este motivo, o autor destaca a importância de que o professor transite por diferentes milieus de aprendizagem, propondo aos alunos diferentes momentos de estudo, ora envolvendo exercícios puramente matemáticos, ora proporcionando a oportunidade de reflexão e pesquisa sobre a realidade. Entendemos esta capacidade de transitar por diferentes milieus de aprendizagem como um conhecimento específico ao professor e consideramos, deste modo, que o conhecimento apresentado por PEB 1, ao propor a atividade acima, refere-se ao Conhecimento do Conteúdo e o Ensino, já que ele tenta trazer uma situação próxima ao cotidiano dos estudantes. Cabe ressaltar que a inserção de um referencial com enfoque na aprendizagem visa a contemplar os diferentes elementos que constituem o domínio de Conhecimento do Conteúdo e o Ensino. Ao privilegiar a contextualização de atividades matemáticas, PEB 1 acredita estar favorecendo a aprendizagem de conceitos algébricos.

Partindo de um viés aritmético para a introdução de um conceito algébrico, a abordagem proposta por PEB 1 se enquadra em uma das categorias de conhecimento algébrico em construção por nosso grupo, denominada Generalizações. Entendemos que a manifestação desse tipo de conhecimento, conforme argumentamos na metodologia, figura no domínio de Conhecimento Especializado do Conteúdo.

Quando aconteceu a coleta de dados, PEB 3, então com 36 anos de idade, atuava no magistério há 7 anos na rede estadual de São Paulo, lecionando há três anos na escola em questão, como professor auxiliar. Cursou licenciatura em matemática, concluindo sua graduação em 2006, em uma instituição pública de ensino. Durante a coleta, atuava nos anos finais do Ensino Fundamental com jornada de trabalho de 18 horas semanais.

Ao analisarmos a resposta da questão que tinha por finalidade a elaboração de uma tarefa para a introdução a algum conceito algébrico, emergiu em sua resposta disparidade entre o que PEB 3 considera álgebra com a atividade que ele considera propícia à introdução de conceitos algébricos. A fim de exemplificar tal controvérsia nas respostas, trazemos dois trechos transcritos da entrevista, seguidos pelo protocolo da referida atividade.

Ao responder à pergunta “O que você entende por álgebra?”, PEB 3 a define a partir de conceitos relacionados à álgebra escolar, quando aponta álgebra como "O estudo das variáveis, a equação, as incógnitas, sistemas lineares". Ao fazer referência aos conteúdos que estão relacionados à álgebra escolar, sem trazer suas concepções sobre esta área, PEB 3 manifesta o domínio Conhecimento Comum do Conteúdo. Quando questionado sobre “em que momento da vida escolar você identifica que o ensino da álgebra é iniciado?”, PEB 3 acredita que

Álgebra se inicia no 7º ano... eu acho tarde... Mas deveria começar bem antes, no quinto ano; começando com adição ou subtração de uma “equaçãozinha”; podia ser no 4º ano eles já começam a somar... poderia começar nesta série. (PEB 3)

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Em ambos os trechos, PEB 3 enfatiza a presença de equação como conceito central para caracterização de uma atividade algébrica. Porém, encontramos contradições entre as afirmações anteriores e o protocolo abaixo, no qual não identificamos a presença de conceitos algébricos conforme as concepções de álgebra desenvolvidas no grupo.

Fonte - Dados da pesquisa.

Identificamos, também, indícios do Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes quando PEB 3 demonstra preocupação em explicar um conteúdo de diversas maneiras para que os alunos compreendam o assunto abordado, como se pode perceber no seguinte trecho: “Ah! Sim a gente aprende com os alunos, e a dificuldade de cada um é sempre diferente, então você acaba tendo que explicar de várias maneiras o conteúdo de álgebra e a gente acaba aprendendo. Vamos tentando nos aprimorar.” (PEB 3). Entretanto, por falta de exemplos que ilustrassem essas dificuldades, não podemos afirmar que, de fato, este domínio se manifesta.

Na época da coleta de dados, PEB 9, então com 40 anos de idade e quatro anos de experiência no magistério da rede estadual de São Paulo, estava há dois anos na escola em questão, como professor regente. Possui formação inicial em Pedagogia, tendo cursado também licenciatura em matemática, concluindo sua última graduação em 2007, em uma instituição privada de ensino. Posteriormente, deu continuidade a sua formação, participando de oficinas e minicursos. Quando da coleta, atuava nos anos finais do Ensino Fundamental, não especificando sua jornada de trabalho.

PEB 9 declara utilizar livros didáticos e o material proposto pelo Estado para a confecção e execução de suas aulas, o que fica evidente no decorrer das fases. Ao sugerir uma abordagem para a introdução da álgebra muito próxima da aritmética, com ênfase no pensamento relacional (STEPHENS, RIBEIRO, 2012) observa-se a influência de conhecimentos pedagógicos oriundos da prática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, como potencializador do pensamento algébrico, para a posterior introdução do conceito de equação. Acreditamos que essa interlocução entre os conhecimentos aritméticos e algébricos caracteriza o Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes, na medida em que o professor considera conceitos já aprendidos para a introdução de um novo conceito. Além disso, ao se utilizar do pensamento relacional como uma abordagem de ensino, PEB 9 demonstra a influência de sua formação pedagógica em sua prática docente e, ainda, demonstra transitar pelo domínio de Conhecimento Especializado do Conteúdo, ao favorecer a introdução do conceito de incógnita.

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Fonte - Dados da pesquisa.

Quando questionado sobre sua compreensão de álgebra, PEB 9 demonstra uma visão bastante atrelada a procedimentos, conforme pode ser observado no seguinte trecho "pra mim é a resolução né, porque a parte do aluno interpretar fica por conta da… porque a álgebra é fazer a continha, daí se ele interpretar o exercício ele consegue fazer a continha". Esta visão utilitarista da matemática está fortemente presente nos livros didáticos em geral, conforme apontam Lins e Gimenez (1997), para estes autores “o professor apoia-se no livro didático que, na sua maioria, apresenta atividades algébricas que destacam cálculo com letras”. Esta algoritmização da álgebra pode ser um reflexo do Movimento da Matemática Moderna, ainda muito presente na confecção de livros didáticos.

A visão procedimental manifestada pelos professores participantes é abarcada também pelo quadro sobre concepções de álgebra escolar que está em construção pelo grupo, configurando a categoria denominada Manipulação (SILVA et al, 2015). Tal categoria engloba atividades que envolvam incógnitas, com objetivo de simplificar ou resolver problemas através de algoritmos e configura uma visão ainda fortemente arraigada no ensino de álgebra.

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

De maneira geral, os três professores em questão estão na faixa etária entre 35 e 40 anos, atuando na rede estadual paulista entre quatro e dez anos e possuindo formação em Licenciatura em Matemática, sendo que apenas PEB 1 deu continuidade a sua formação, realizando um mestrado. Observamos algumas convergências entre os participantes, tais como informalidade ao tratar de conceitos matemáticos, enfoque aritmético na fala e construção das atividades propostas e a predominância dos conceitos de equação e função ao caracterizar uma atividade introdutória de álgebra. Tais características também foram observadas nos demais participantes que não foram analisados neste trabalho.

Para além destas convergências, com relação aos domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino, nenhum destes foi manifestado simultaneamente pelos três professores, sendo que o Conhecimento do Conteúdo e os Estudantes esteve presente na fala de PEB 3 e PEB 9. No que se refere à PEB 3, ele manifesta este domínio quando demonstra seus anseios com relação às diferentes dificuldades dos alunos, ainda que sem exemplificar tais dificuldades. Já PEB 9, por sua vez, manifesta-o ao demonstrar que leva em conta os conhecimentos prévios dos alunos ao introduzir o conceito de equação.

O Conhecimento Especializado do Conteúdo foi manifestado por PEB 1, quando este parte de um viés aritmético para a introdução do conceito algébrico de função e também por PEB 9, quando o docente se utiliza do pensamento relacional como abordagem de ensino. Cabe ressaltar que PEB 3, embora discorra sobre conhecimentos algébricos pertinentes à Educação Básica, quando solicitado que exibisse uma atividade com viés algébrico, exibiu uma atividade de cunho aritmético. Em algumas situações, os

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professores também mobilizaram o Conhecimento do Conteúdo e o Ensino, como por exemplo, PEB 1, ao elaborar uma atividade introdutória para o conceito de função, utilizando estratégias de contextualização que favorecem diferentes abordagens de ensino. Observamos que embora os participantes possuam perfis semelhantes, as abordagens propostas são bastante diversificadas e embasadas em suas crenças e perspectivas didáticas e de conhecimento matemático distintos. Temos a presença marcante da aritmética nas atividades, manifestando uma visão de que os conteúdos são indissociáveis na Educação Básica, fazendo uso de elementos matemáticos aprendidos anteriormente para subsidiar a introdução de novos conceitos.

Nenhum dos professores manifestou o Conhecimento do Conteúdo e o Currículo característica essa que pode ser atribuída ao sistema educacional paulista, pautado num currículo posto e unificado, o que pode ter impedido o surgimento de elementos característicos desse domínio na fala dos participantes. Entendemos, por outro lado, que isso pode refletir uma falha na construção de nossos instrumentos de coleta, os quais podem não ter possibilitado maiores reflexões relacionadas a questões curriculares. Salientamos que o domínio Conhecimento do Horizonte do Conteúdo não foi contemplado na fala dos participantes, provavelmente por se tratar de um domínio ainda em construção e não possuir uma definição bem estruturada sobre os elementos que o compõe.

Como parte de uma agenda de pesquisas diversificada, temos a intenção de ampliar nossas análises e investigar como esses domínios de conhecimento se manifestam na prática desses professores em sala de aula. Temos também a intenção de traçar correlações entre as diferentes investigações empreendidas até o momento pelo grupo, sobre como se dá a articulação de conhecimentos docentes e conhecimentos algébricos em professores de matemática com diferentes níveis de atuação, tanto na Educação Básica como no Ensino Superior.

REFERÊNCIAS

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magistério. Educação & Sociedade, Campinas, v. 21, n. 73, p.209-244, dez. 2000.

ANEXO

Categorias de Álgebra Principais ideias

1. Pré-Álgebra

» Manipulação de somas, produtos e potências aritméticos; » Resolução de problemas aritméticos para a introdução do

pensamento algébrico.

2. Generalizações

» Aritmética generalizada;

» Estrutura de representação formal do concreto (através da abstração);

» Atribuir grau de abstração e generalidade aos símbolos linguísticos.

3. Relações » Estudo das relações entre grandezas.

4. Estruturação

» Estudo das estruturas e propriedades atribuídas às operações com números reais e polinômios;

» Linguagem simbólica/variável como símbolo arbitrário.

5. Modelagem

» Iluminar ou organizar uma situação, como ferramenta; » Construção da atividade e exercícios de modelagem; » Modelagem de situações a partir de situações-problema.

6. Manipulação

» Conjunto de técnicas ou procedimentos específicos para abordar problemas por métodos algorítmicos;

» Capacidade de efetuar e expressar transformações algébricas primordialmente simbólicas;

» Atividades que envolvam incógnitas com o objetivo de simplificar ou resolver.