UnB - FT – ENE
Experimento 2
Espectro de potência e
banda essencial de um sinal
Objetivo
Esse experimento propicia ao aluno um estudo prático dos conceitos de banda essencial, espectro de amplitude RMS e espectro de potência de um sinal, aplicados à onda quadrada e à onda triangular. O cálculo do espectro de amplitude RMS dos sinais será feito utilizando a FFT e é um recurso de medição oferecido pelo osciloscópio digital disponível no laboratório.
Equipamentos Requeridos
▪ Osciloscópio Agilent DSO1002A ▪ Gerador de funções Agilent 33220A ▪ Filtro eletrônico Ithaco
Procedimentos práticos
Grave as imagens solicitadas em uma pasta assim nomeada: Exp2_Tb_n1_n2, em que T é a turma (A, B, C ou D), b é o número da bancada (1, 2, ...) e n1 e n2 são os primeiros nomes dos componentes do grupo. Dê a cada imagem o nome indicado no roteiro. Ao final da aula, entregue ao professor cópia das imagens gravadas e o relatório (formulário).
1 Banda essencial de uma onda quadrada e de uma onda triangular
.
Ajuste o gerador de funções Agilent 33220A para que ele gere uma onda quadrada com simetria de meia onda (duty cycle de 50%), frequência fundamental
f
0
200 Hz e amplitudes –6 V e +6 V. Essas devem ser a amplitude do sinal na saída do gerador quando apenas o osciloscópio estiver conectado a essa saída. Portanto, para que a amplitude do sinal seja aquela selecionada no gerador, é preciso selecionar High Z no menu Load do gerador (pressione , em seguida pressione as softkeys Output Setup e Load, e selecione High Z). Escolha escalas apropriadas no osciloscópio e meça a frequência e as amplitudes (Vmin e Vmax) do sinal. Grave a imagem com a forma de onda do sinal e essas medidas (fig1).O espectro de uma onda quadrada, assim como o espectro da maioria dos sinais, estende frequencialmente até o infinito. Contudo, como a potência (ou a energia) de um sinal que existe no mundo real é finita, o espectro desse sinal deve tender para 0 quando
f
. Além disso, a quase totalidade da potência de um sinal está geralmente contida dentro de certa banda de larguraB
eHz, podendo ser considerada desprezível a potência dos componentes cujas frequências estão fora dessa banda: isto é, se esses componentes forem suprimidos do sinal, o efeito na forma de onda do sinal e na sua potência será pequeno. Essa banda de larguraB
eHz é denominada banda essencial do sinal. O critério para selecionar essa banda depende da tolerância à distorção em cada aplicação específica. Para certa aplicação, preservar a banda do sinal que contém 95% da sua potência pode ser suficiente, mas outra aplicação pode requerer a preservação de 98%, por exemplo. Para um sinal de banda básica (ou passa-baixos), a banda essencial será a faixa de frequência de 0 Hz aB
eHz. Para um sinal passa-faixa, será uma faixa entre duas frequênciasf
inf e fsup, com fsupfinfBe.Uma onda quadrada com simetria de meia onda (50% de
T
0 em nível alto e 50% deT
0 em nível baixo) e sem componente CC tem aproximadamente 96% da sua potência em seus 10 primeiros harmônicos (ou nos seus 9 primeiros harmônicos, uma vez que seus harmônicos pares têm amplitude zero). Assim, se a largura da banda essencial desse tipo de onda quadrada for assumida como sendo igual a 10f
0, estará se considerando que preservar os componentes que contêm 96% da potência total dessa onda é suficiente para se ter um sinal de boa qualidade.Passe pelo filtro eletrônico Ithaco a onda quadrada gerada pelo gerador de funções 33220A. Ajuste o filtro para que seja um filtro passa-baixos com frequência de corte igual a 2 kHz (10
f
0) e com ganho de 0 dB. Aplique o sinal original no canal 1 do osciloscópio e o sinal filtrado no canal 2. Selecione a medição Vmax para o sinal original (CH1) e para o sinal filtrado (CH2). Sobreponha uma forma de onda à outra e escolha escalas horizontal e vertical que propiciem uma boa visualização das formas de onda. Nesse caso, não será feita qualquer medição de amplitude que envolva média temporal, portanto, uma escala horizontal que propicie a visualização de 2 a 3 períodos das formas de onda é a mais apropriada. Grave a imagem com as formas de onda dos sinais e as medições Vmax (fig2).Reduza a frequência de corte do filtro Ithaco para 1 kHz (5 ). Grave a imagem com as formas de onda do
f
0 sinal original e do sinal filtrado e com as medições Vmax (fig3). Os 5 primeiros harmônicos de uma onda quadrada com simetria de meia onda sem componente CC contêm 93,3% da sua potência.No gerador, mude a forma de onda para Ramp com simetria de 50%, frequência fundamental de 200 Hz e amplitude mínima de –6 V e máxima de +6 V. Altere a frequência de corte do filtro Ithaco para 2 kHz (10 ). No
f
0 osciloscópio, sobreponha uma forma de onda à outra e meça a frequência e a amplitude Vmax do sinal original e Vmax do sinal filtrado. Grave a imagem com as formas de onda dos dois sinais e essas medidas (fig4). O sinal não filtrado é uma onda triangular com simetria de meia de onda (ascendente em 50% de T0 e descendente em 50% deT0) sem componente CC. Os 10 primeiros harmônicos dessa onda triangular contêm 99,98% da sua potência total.
Reduza a frequência de corte do filtro Ithaco para 1 kHz (5 ).Grave a imagem com as formas de onda do
f
0 sinal original e do sinal filtrado e com as medições de frequência e Vmax (fig5). Em uma onda triangular com simetria de meia onda e sem componente CC, os 5 primeiros harmônicos contêm 99,93% da potência total da onda.Note, comparando as formas de onda dos sinais filtrados com as formas de onda dos sinais originais, que o efeito da filtragem passa-baixos foi de suavizar os sinais: transições abruptas ou rápidas presentes nos sinais originais foram eliminadas ou suavizadas. São os componentes de alta frequência que produzem essas transições nos sinais e esses componentes foram atenuados pelo filtro passa-baixos. Quanto menor a frequência de corte, mais suavizado é o sinal filtrado e, naturalmente, mais diferente esse sinal é do sinal original. Contudo, para as frequências de corte utilizadas, os sinais filtrados ainda são semelhantes aos sinais originais, pois os componentes preservados no sinal filtrado contêm uma percentagem alta da potência do sinal original.
Note que a filtragem passa-baixos causou ao sinal triangular menor distorção que à onda quadrada. Isso porque o sinal triangular tem banda essencial menor que a da onda quadrada. Esse fato pode ser comprovado matematicamente a partir das séries de Fourier desses sinais ou por meio de medições espectrais, como as que serão feitas a seguir. Porém, uma simples comparação das características temporais das formas de onda desses dois sinais permite concluir tal fato. A onda quadrada varia mais rapidamente que a onda triangular — a primeira apresenta transições ultrarrápidas (teoricamente, instantâneas) — e variações mais rápidas significam a presença de componentes de mais alta frequência com potência relevante e, portanto, maior banda essencial.
Note que a versão filtrada da onda quadrada é significativamente diferente daquela obtida com o truncamento da série de Fourier, solicitada no exercício preliminar. Na versão filtrada, em cada semiciclo da onda
existe uma oscilação amortecida que tende a desaparecer até o final do semiciclo (veja fig2 e fig3). Na versão obtida com o truncamento da série de Fourier, a oscilação é amortecida até o meio do semiciclo e crescente desse ponto até o final do semiciclo — veja figura ao lado. A explicação para essa diferença é o fato do truncamento da série de Fourier ser equivalente a um filtro passa-baixos não causal, enquanto que o filtro utilizado no experimento é, naturalmente,
causal. Note que o crescimento da oscilação a partir do meio do semiciclo é efeito da transição que irá ocorrer no final do semiciclo: isto é, o efeito antecede a causa.
2
Medição do espectro de amplitude RMS da onda quadrada e da onda triangularAjuste o gerador de funções Agilent 33220A para que ele gere uma onda quadrada com simetria de meia onda (duty cycle de 50%), frequência fundamental
f
0
200 Hz e amplitudes –6 V e +6 V. No osciloscópio, selecione asmedições de amplitude Vmin, Vmax e Vrms e escolha escalas horizontal e vertical apropriadas. Grave a imagem com a forma de onda do sinal e as medidas de amplitude (fig6). Passe a onda quadrada pelo filtro Ithaco, selecione a frequência de corte de 2 kHz, e aplique o sinal filtrado no canal 2 do osciloscópio.
O osciloscópio Agilent DSO1002A oferece recursos para a medição do espectro de amplitude RMS de um sinal utilizando a FFT (fast Fourier transform) para converter uma forma de onda no domínio do tempo em seus componentes frequenciais. Para saber como exibir no osciloscópio Agilent DSO1002A o espectro de amplitude RMS de um sinal, consulte o Guia do Usuário do osciloscópio (p. 54), disponível no computador do laboratório. Após ter ativado a operação FFT, faça os ajustes a seguir.
▪ Pressione [Math] e, no menu Math, pressione Fonte / Source e selecione CH2 para medir o espectro do sinal filtrado, aplicado no canal 2 do osciloscópio. Desative a exibição do canal 1 pressionando o botão do canal uma ou duas vezes.
▪ No menu Math, selecione a opção de exibição (Display) “tela cheia” (“full screen”).
▪ Selecione a taxa de amostragem (sampling rate, Sa) de 12,5kSa/s (ou kHz): para isso, pressione o botão do canal e então gire o botão de ajuste da escala horizontal (veja figura abaixo) para selecionar a taxa de amostragem desejada (o valor selecionado aparece na tela do osciloscópio, em Sa=).
▪ Reduza a escala vertical do CH2, ampliando verticalmente ao máximo a forma de onda do sinal que está sobreposta ao espectro, mas sem que ela seja cortada. Esse procedimento diminuirá o ruído presente no espectro medido.
▪ Desative a exibição da forma de onda do sinal, deixando somente o espectro na tela do osciloscópio — para desativar a exibição da forma de onda pressione o botão do canal uma ou duas vezes.
▪ Selecione a escala horizontal de 625 Hz/div para o espectro medido: pressione [Math] e então gire o botão de ajuste da escala horizontal (veja figura ao lado) — o valor selecionado aparecerá na tela do osciloscópio. Note que a tela do osciloscópio possui 12 divisões horizontais, assim a largura da faixa de frequência observada na tela será igual 12fesc (Hz),
sendo fesc o valor, em Hz/div, da escala horizontal
escolhida: no caso, 12625Hz/div = 7,5kHz. ▪ Selecione a frequência central de 3,75 kHz para o
espectro medido: para isso, use o botão de ajuste de posição dos controles horizontais (veja figura ao lado) — o valor selecionado aparecerá momentaneamente na tela do osciloscópio. ▪ Selecione a janela (Window) de Blackman: no
menu FFT, pressione a softkey Janela (Window) e continue pressionando essa tecla virtual ou gire o botão de seleção para escolher a janela desejada.
▪ Selecione a unidade da escala vertical (Escala / Scale) dBVRMS, no menu FFT.
▪ Selecione a escala vertical de 10 dB/div: no menu FFT, pressione e gire o botão de seleção
para escolher a escala vertical desejada. ▪ Ajuste uma posição vertical adequada para o
espectro: no menu FFT, pressione e gire o botão de seleção para deslocar verticalmente o espectro — 26 dB deve ser um valor adequado.
O osciloscópio disponibiliza cursores para se fazer medidas de frequência e de amplitude. Para ativar esses cursores, pressione a tecla ; pressione Mode e selecione a opção Manual; pressione Type e selecione Time; pressione Source e selecione MATH; pressione CurA e use o botão para posicionar o cursor vertical na frequência de 2 kHz; pressione CurA para liberar o cursor A; pressione CurBe usando o botão posicione o cursor B na frequência de 4 kHz.
Grave a imagem com o espectro medido e os cursores verticais posicionados em 2 kHz e 4 kHz (fig7a). Pressione o botão do canal para que a forma de onda do sinal filtrado seja exibida também, sobreposta ao espectro — não altere qualquer escala. Grave a imagem com o espectro e a forma de onda (fig7b).
A seletividade do filtro Ithaco é fraca: a atenuação aplicada aos componentes acima da frequência de corte (2 kHz) cresce lentamente com a frequência, por isso, os componentes na faixa de 2 kHz a 4 kHz foram pouco atenuados (veja fig7a).
Pressione o botão do canal para desativar a exibição da forma de onda do sinal, deixando apenas o espectro na tela do osciloscópio. Pressione [Math] e, no menu Math, faça as seguintes alterações:
▪ unidade da escala vertical (Escala / Scale): mude de dBVRMS para VRMS;
▪ posição vertical: posicione o nível zero (base do espectro) sobre a primeira linha inferior horizontal do quadriculado — desse modo, o espectro não sobrepõe as informações mostradas na base do quadriculado e se pode escolher uma escala vertical menor;
▪ escala vertical: escolha o menor valor que não cause o corte do componente de frequência 200 Hz (1º harmônico ou componente fundamental);
▪ não altere a taxa de amostragem de 12,5 kSa/s (ou kHz), a escala horizontal de 625 Hz/div e a frequência central de 3,75 kHz.
Use os cursores para medir a frequência e a amplitude dos harmônicos ímpares (até o 11º) do sinal — os harmônicos pares têm amplitudes muito pequenas (desprezíveis). Faça as medidas com os cursores no modo acompanhar (track): Mode Track. Pressione Cursor A e selecione a opção MATH. Pressione Cursor B e selecione a opção MATH. Ajuste os cursores para medir o 1º e 3º harmônicos e grave a imagem (fig8a). Repita para o 5º e 7º harmônicos (fig8b) e para o 9º e 11º harmônicos (fig8c), reduzindo em cada medição a escala vertical para ampliar os pulsos dos harmônicos que se está medindo (cortando os pulsos dos harmônicos inferiores), aumentando, desse modo, a acurácia das medidas. (Veja que no espectro medido com a unidade dBVRMS todos os componentes até o 11o estão
representados por pulsos bem altos, não sendo necessário reduzir a escala para fazer as medições de amplitude. Contudo, em razão de um defeito do osciloscópio, os valores medidos com a unidade dBVRMS apresentam erros muito
grandes).
Compare os valores medidos com os valores teóricos das amplitudes RMS dos harmônicos. Para os harmônicos com frequência menor que 2 kHz, os valores medidos devem ser próximos dos valores teóricos. Para os componentes que têm frequência próxima da frequência de corte do filtro (2 kHz) ou maior que essa, os valores medidos são menores que os valores teóricos porque o filtro atenua esses componentes.
No gerador, mude a forma de onda para triangular (Ramp) com simetria de 50%, frequência fundamental de 200 Hz e amplitude mínima de –6 V e máxima de +6 V. No osciloscópio, escolha escalas apropriadas e selecione as seguintes medições de amplitude: Vmin, Vmax e Vrms. Grave a imagem com a forma de onda do sinal e as medidas de amplitude (fig9). Meça o espectro da onda triangular filtrada, usando os mesmos ajustes feitos para a medição em fig7a, e posicione os cursores verticais em 2 kHz e 4 kHz. Grave a imagem (fig10). Em seguida, mude a unidade da escala vertical para VRMS, na medição de espectro, e use os cursores para medir a frequência e a
meça o 3º e 5º harmônicos (fig11b) e o 7º e 9º harmônicos (fig11c), reduzindo em cada medição a escala vertical para ampliar os pulsos dos harmônicos que se está medindo (ceifando os pulsos dos harmônicos inferiores), aumentando, desse modo, a acurácia das medidas. Compare os valores medidos com os valores teóricos das amplitudes RMS dos harmônicos.
Uma onda quadrada (ou triangular) com simetria de meia onda perfeita tem apenas harmônicos ímpares, porque esse sinal é ortogonal aos harmônicos pares e, portanto, esses harmônicos não fazem parte da constituição do sinal. Contudo, note que nos espectros medidos (fig7 e fig11) existem harmônicos pares, embora eles tenham amplitudes muito menores que as dos harmônicos ímpares. A presença dos harmônicos pares nos espectros medidos significa, portanto, que as formas de onda produzidas pelo gerador não têm simetria de meia onda perfeita. A seguir serão medidos os espectros de sinais que claramente não apresentam simetria de meia onda e, portanto, são constituídos de harmônicos pares e ímpares.
No gerador, altere a simetria da onda triangular para 25%. Meça o espectro da onda triangular filtrada, usando os mesmos ajustes feitos para a medição em fig7, e posicione os cursores em 2 kHz e 4 kHz. Lembre de reduzir a escala vertical do domínio do tempo para o menor valor que não cause o corte da forma de onda, para reduzir o ruído no espectro medido. Grave a imagem com espectro medido (fig12), sem o sinal sobreposto.
No gerador, mude a forma de onda para quadrada e selecione um duty cycle de 25%. Meça o espectro da onda quadrada filtrada, usando os mesmos ajustes feitos para a medição em fig7, e posicione os cursores em 2 kHz e 4 kHz. Grave a imagem com espectro medido (fig13), sem o sinal sobreposto.
Visualize no osciloscópio a onda quadrada com duty cycle de 25% e sua versão filtrada. Grave a imagem (fig14). Visualize no osciloscópio a onda triangular com simetria de 25% e sua versão filtrada. Grave a imagem (fig15). A onda triangular com simetria de 25% e a onda para quadrada com duty cycle de 25% são sinais que, claramente, não têm simetria de meia onda e, portanto, eles são constituídos de harmônicos pares e ímpares. Veja a confirmação disso por meios dos espectros medidos desses sinais (fig12 e fig13). No espectro da onda triangular (fig12), note também que a amplitude dos harmônicos reduz mais lentamente com frequência do que no espectro da figura fig10. Isso se deve ao fato da onda triangular com simetria de 25% variar mais rapidamente que a versão com simetria de 50% e, consequentemente, ter uma banda essencial mais larga que a dessa última.
Um sinal pode apresentar vários tipos de simetria, entre elas: simetria par ou ímpar, simetria de meia onda e simetria de amplitude (Amin =Amax). Uma onda quadrada (ou triangular) com simetria de meia onda pode apresentar
simetria par, ímpar ou nenhuma delas: depende do seu posicionamento temporal relativo a t=0. Uma onda quadrada
(ou triangular) com simetria par é constituída apenas de componentes cossenoidais e uma com simetria ímpar é constituída apenas de componentes senoidais: caso contrário, será constituída de componentes cossenoidais e senoidais. Por outro lado, uma onda quadrada (ou triangular) com simetria de meia onda é constituída somente de harmônicos ímpares (não tem harmônicos pares), independentemente do seu posicionamento temporal relativo a
t=0 (portanto, independente de ela apresentar simetria ímpar ou par). Por exemplo, uma onda quadrada que não
tem simetria de meia onda pode ter simetria par: nesse caso, ela será constituída de harmônicos pares e ímpares, mas todos os componentes serão cossenoidais (ela não terá componentes senoidais).
O osciloscópio Agilent DSO1002A mede o espectro de amplitude RMS de um sinal. A potência média normalizada de um sinal é igual ao quadrado da sua amplitude RMS. Logo, o espectro de potência normalizada pode ser obtido a partir do espectro de amplitude RMS, elevando ao quadrado as amplitudes desse último. Se a unidade de medida do espectro de amplitude RMS for dBV, então, é suficiente considerar a unidade de medida como sendo dBW para se ter o espectro de potência normalizada do sinal.
Se uma carga de 50 (ou de outro valor) for conectada em paralelo com a entrada do osciloscópio, pode-se obter o espectro de potência relativo à potência entregue a carga, em vez de potência normalizada. Nespode-se caso, para obter o espectro de potência com escala watt (W), as amplitudes RMS medidas devem ser elevadas ao quadrado e divididas por 50 . Se a unidade de medida do espectro de amplitude RMS for dBV, então o espectro de potência com unidade de medida dBW pode ser obtido fazendo-se a seguinte conversão:
PdBW = VdBV – 10 log(50) = VdBV – 16,99
Se a escala de medida desejada for dBm, então deve-se fazer a seguinte conversão: PdBm = VdBV – 10 log(50) + 10 log(103) = VdBV + 13,01
