EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A AULA 07 01) f(2x) = 2 ∙ (2x) + 2 f(2x) = 4x + 2 2 · f(x) g(2x) = 2 ∙ (2x) g(2x) = 4x = 2 ∙ g(x) h(2x) = 2 ∙ (2x) – 2 h(2x) = 4x – 2 2 · h(x) 02)
Se é uma função linear, pode-se escrever como f(x) = a · x.
Se passa pelo ponto P(–2, 6), então, f(–2) = 6. Assim:
f(–2) = 6
a · (–2) = 6
a = –3
f(x) = –3x
03)
Gráfico é uma reta, ou seja, é uma função afim. Assim, f(x) = ax + b.
(–1, 2) f(–1) = 2 a · (–1) + b = 2 –a + b = 2
Resolve-se então o sistema: a b 2 5a b 3 1 6a 1 a 6 1 b 2 b 13 6 6
Tem-se então que a função f(x) fica f(x) 1x 13
6 6 04)
1 1 t 1 a t a 24 21 21t 21 24t t 7 anos AULA 08 01)Para uma função quadrática tem-se:
1 2 b x 2a f(x) 0 b x 2a
1 2 v v v v v v x x x 2 b b 2a 2a x 2 b b 2a x 2 2b 2a x 2 b a x 2 b x 2a
Para o cálculo da ordenada do vértice (yv), faz-se:
v v 2 v v v 2 v 2 2 v 2 2 2 2 v 2 2 2 v 2 2 v v y f(x ) y a x b x c b b y a b c 2a 2a ab b y c 2a 4a ab 2ab 4a c y 4a a b 2b 4ac y 4a b 4ac y 4a y 4a 02)1 2 1 2 v v v v v v b x 2a f(x) 0 b x 2a x x x 2 b b 2a 2a x 2 b b 2a x 2 2b 2a x 2 b a x 2 b x 2a 03)
f(x) é uma função quadrática com concavidade para baixo, ou seja, o conjunto imagem é definido por Im (f) : ]-,yv].
Cálculo do yv:
v 2 v v y 4a 4 4 2 0 y 4 2 y 2 Assim, tem-se que Im(f) : ]-,2]
S(a) = a ∙ (10 – a)
S(a) = 10a – a2
Área Máxima acontecerá no valor de “a” correspondente ao vértice da parábola definida por S(a), ou seja:
10 a 2 1 a 5 As dimensões do retângulo são, então: 5 cm x 5 cm.
AULA 09 01)
1 2 2 2 1 2 2 c.q.d 1 2 2 1 2 1 2 f x a x – x x – x f x a. x – xx – xx x x f x a. x – x x x x x b c f(x) a x x a a f(x) ax bx c 02)As raízes são –2 e 1 e o gráfico passa pelo ponto (0, –4).
Pela forma fatorada, tem-se:
f(x) = a · (x – x1) · (x – x2)
f(x)=a ∙ (x + 2) · (x – 1)
Sendo f(0) = –4, tem-se:
a ∙ (0 + 2) ∙ (0 – 1) = –4
a = 2
Conclui-se então que a função f(x) é:
f(x) = 2 ∙ (x + 2) ∙ (x – 1)
03)
Considerando o “Novo Eixo”, a parábola representa uma função com raízes 20 e 100 e que passa pelo ponto (60, –8). Assim:
C(v) = a ∙ (v – 20) ∙ (v – 100) C(60) =a ∙ (60 – 20) ∙ (60 – 100) –8 = –1 600 ∙ a a = 0,005 Assim, C(v) = 0,005 · (v – 20) ∙ (v – 100) Para v = 120, tem-se: C(120) = 0,005 ∙ (120 – 20) ∙ (120 – 100) C(120) = 10
O valor de C solicitado no enunciado precisa ser calculado em relação ao eixo original, então:
C = 16 + C · (120)
C = 16 + 10
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B AULA 07 01) 1 S 4 6 sen30º 2 1 S 12 2 S 6 u.a 02) a) 2 2 2 2 2 d 5 8 2 5 8 cos 60º 1 d 25 64 80 2 d 89 40 d 7 cm b) 2 1 S 2 5 8 sen60º 2 3 S 40 2 S 20 3 cm 03) Os lados são: a = 3 m b = 5 m c = 6 m
a)
2 a b c 3 5 6 p p p 7 m 2 2 S p p a p b p c S 7 7 3 7 5 7 6 S 56 S 2 14 m b) S p r 2 14 7 r 2 14 r m 7 c) a b c S 4 R 3 5 6 2 14 4 R 45 14 R 4 14 14 45 14 R m 56 AULA 08 01)Do triângulo PQS, tem-se: 3 sen60º QS 3 3 QS 2 2 QS k cos 60º 2 1 k 2 2 k 1 Do triângulo PQR, tem-se:
2 2 2 QR 12 3 QR 147 QR 7 3 Do triângulo RSQ, tem-se: 1 2 11 sen120º 1 2 7 3 sen 2 2 3 11 7 3 sen 2 11 sen 14 02)
a)
Pela Lei dos Cossenos, tem-se:
2 2 2 2 2 x 30 50 2 30 50 cos120º 1 x 900 2 500 3 000 2 x 4 900 x 70 m
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
50 35
y 49m 70 y
b)
Pela Semelhança de Triângulos, tem-se:
R 50 y 30 50 R 99 R 297m 30 50 5 Cálculo do perímetro: PER 2R R 3 (6 ) 297 PER 3 5 99 PER (6 )m 5
c – 1 + b – 1 = 10 b + c = 12 cm S = p ∙ r S = (10 + b + c) ∙ 1 S = (10 + 12) ∙ 1 S = 22 cm2 AULA 09 01)
Os valores serão assim distribuídos:
k A 2 k B 3 k C 4 k D 3 k E 6
A B C D E 3 800 k k k k k 3 800 2 3 4 3 6 6k 4k 3k 4k 2k 3 800 12 19k 45 600 k 2 400
Conclui-se então que cada um vai receber:
k A A 1 200 reais 2 k B B 800 reais 3 k C C 600 reais 4 k D D 800 reais 3 k E E 400 reais 6
A diferença entre o maior e o menor valor é 800 reais.
02) I – FALSO x · y · z = (2k – 2) ∙ 2k ∙ (2k + 2) x ∙ y ∙ z = 2k ∙ (4k2 – 4) x ∙ y ∙ z = 8k3 – 8k x ∙ y ∙ z = 8(k3 – k) DIVISÍVEL POR 8 II – FALSO x + y + z = 2k – 2 + 2k + 2k + 2 x + y + z = 6k MÚLTIPLO DE 6 III – VERDADEIRO x + z = 2y
4k = 4k 03) T = x ∙ k + (x + 2) ∙ k T = (x + x +2) ∙ k T k 2x 2
A parte que caberá ao mais velho, será igual a x 2 2x 2
.
Quanto maior o valor de x, maior o denominador, MENOR a parte do terreno que caberá ao filho mais velho e sempre maior que 1/2.
04) d + e + f = 0,32 ∙ 250 d + e + f = 80 0,40 ∙ 80 = d d = 32 0,20 ∙ 250 = c + f c + f = 50 f = 10 c = 40 32 + e + 10 = 80 e = 38 b = e b = 38 a + b + c = 0,68 ∙ 250 a + 38 + 40 = 170 a = 92
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C AULA 08
01)
a)
Multiplicou a 1ª linha por 2
Multiplicou a 3ª linha por –1
Multiplicou a 3ª coluna por 3
DET = 2 ∙ (–1) ∙ 3 ∙ detA DET = –6 ∙ 5 DET = –30 b) det(3A) = 33 ∙ detA det(3A) = 27 ∙ 5 det(3A) = 135 c) Matriz Transposta DET = detA DET = 5 d)
Combinação Linear entre as 1ª e 3ª linhas
DET = detA
Troca de posição entre as 2ª e 3ª colunas
DET = – detA
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D AULA 07 01) i i i 180º(n 2) a n 180º(10 2) a 10 a 144º 02) 2 2 d 3n n(n 3) 3n 2 n 3n 6n n 0 n 9n 0 n 9 lados 03)
Considerando que o ângulo interno de cada pentágono regular é “x”, tem-se:
180º(5 2) x 5 x 108º Da figura, tem-se: 3x + = 360º 3 ∙ 108º + = 360º = 36º 04)
i S 180º(n 2) 2 160º 180º(n 2) 12 n 2 n 14 n (n 3) d 2 14 14 3 d 2 d 77Para um polígono com quantidade PAR de lados, o número de diagonais que passa pelo centro é igual à metade do número de lados. Assim:
n D d 2 14 D 77 2 D 70 AULA 08 01) 82 ... 62 + 52 64 ... 36 + 25 64 < 61 ACUTÂNGULO 02) 8 – 5 < x < 8 + 5 3 < x < 13
Como “x” é um valor inteiro, tem-se:
x : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Ao todo são 9 possibilidades de triângulos.
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, tem-se: 8 12 x 15 x 12x 120 8x 20x 120 x 6 cm 04)
Pela figura, tem-se:
(m + n + p + q + r) é a soma dos ângulos internos de um pentágono;
m, n, p, q, r e s são também ângulos internos de cada triângulo (ângulo oposto pelo vértice);
180º(5 2) m a j 180º n h i 180º p f g 180º q d e 180º r b c 180º (m n p q r) (a b c d e f g h i) 900º 540º (a b c d e f g h i) 900º a b c d e f g h i 360º AULA 09 01)
Por semelhança de triângulos, tem-se:
6 x 12 30 x 12x 180 6x x 10 Área 10 12 Área 120 02)
40 30 30 x 40x 900 x 22,5 cm 03) 4 d 19 2 d 2 4d 8 2d 38 2d 30 d 15 m 04)
b h 2k h k 2kh bh bk 2kh bk bh k(2h b) bh bh k 2h b
EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E AULA 07 01) 12 = sen2x + cos2x sen2x + cos2x = 1 02)
03) 2 2 2 2 2 2 o sen x cos x 1 3 sen x 1 5 9 sen x 1 25 4 senx 16 5 4
sen x x 2 Quadrante senx
25 4 5 senx 5 4 senx 5 4 tgx tgx tgx 3 cos x 3 5 1 1 5
sec x sec x sec x
3
cos x 3
5
1 1 5
cos sec x cos sec x cos sec x 4 senx 4 5 1 cot gx tgx 1 3 cot gx cot gx 4 4 3 04)
cos1 < sen1 < tg1 AULA 08 01) I –
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c.q.dsen x cos x 1 cos x sen x cos x 1
cos x cos x cos x tg x 1 sec x sec x 1 tg x II –
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c.q.dsen x cos x 1 sen x sen x cos x 1
sen x sen x sen x 1 cotg x cos sec x cos sec x 1 cotg x
2 2 2 2 2 x 2tg(a)x 1 0 ( 2tga) 2tga 4 1 ( 1) x 2 1 2tga 4tg a 4 x 2 2tga 4 tg a 1 x 2 2tga 2 sec a x 2 2tga 2 sec a x 22 tga sec a x tga sec a x 2 x tga sec a 03)
2 2 2 2 2 2 2 2 sec x tgx sec x tgx y1 sen x cot gx cos sec x cot gx cos sec x sec x tg x
y
cos x cot g x cos sec x 1 y cos x 1 y sec x 04)
Utilizando o Produto Notável a3 + b3 = (a + b) ∙ (a2 – ab + b2), tem-se:
3 3
2 2
sen x cos x E
senx cos x
(senx cos x) (sen x senx cos x cos x) E senx cos x E 1 senx cos x AULA 09 01)
y = sen30º + sen150º – sen210º – sen330º
y = 4 ∙ sen30º
y = 4 ∙ 0,5
y = 2
02)
y = cos60º + cos120º – tg210º – cotg240º
y = cos60º + (– cos60º) – tg30º – cotg60º
y tg30º cot g60º 3 1 y 3 3 3 3 y 3 3 2 3 y 3 03) A = 180º – 28º A = 152º B = 180º + 28º B = 208º C = 360º – 28º C = 332º cosA = – cos28º = – 0,8829 cosB = – cos28º = – 0,8829 cosC = cos28º = 0,8829 04) 4 4 tg tg 5 5 4
