por W. Freire, F. Calvi Junior e M. Nilvam definidos num espaço vetorial F de funções ao invés do espaço vetorial R n. A grosso

(1)

C´alculo Variacional

por W. Freire, F. Calvi Junior e M. Nilvam

1. Introdu¸c˜ao

O cálculo diferencial de fun¸cões de n variáveis trata de fun¸cões do espa¸co Rn _{em R,}

f : Rn _{−→ R. O c´alculo variacional trata de funcionais, especificamente aqueles}

definidos num espa¸co vetorial F de fun¸c˜oes ao inv´es do espa¸co vetorial Rn_{. A grosso}

modo pode-se dizer que o cálculo variacional é o cálculo diferencial de funcionais

E : F −→ R, onde F ´e um espa¸co vetorial de fun¸c˜oes suficientemente comportadas.

A finalidade destas notas é apresentar o cálculo variacional de uma forma simples e ao mesmo tempo com um pouco de rigor matemático, mas objetivando a sua utilidade na f´ısica. O foco principal é a determina¸cão de pontos cr´ıticos (máximos ou m´ınimos ou, mais geralmente, pontos estacionários) de funcionais; estes pontos são na verdade fun¸cões que satisfazem as equa¸cões de Euler, as quais deduziremos aqui de uma forma elegante matematicamente e utilizaremos em problemas matemáticos e f´ısicos.

2. Derivada Funcional

O conceito chave no cálculo diferencial de fun¸cões é o de derivada. No caso de fun¸cões com mais de uma variável surgem as derivadas parciais e, mais geralmente, as derivadas direcionais (as derivadas parciais são derivadas direcionais particulares). O conceito de derivada funcional (ou variacional) desempenha para funcionais o mesmo papel que o conceito de derivada direcional desempenha para fun¸cões de n variáveis. Vamos apresentar o conceito de derivada funcional fazendo analogia com derivadas direcionais de fun¸cões.

(2)

2.1 - Derivadas Direcionais

Considere uma fun¸c˜ao de n vari´aveis, digamos1 _{f : R}n _{−→ R, que a cada ponto}

x = (x1, x2, ..., xn) do espa¸co Rn associa um ´unico valor f (x) em R. A derivada

(direcional) de f com respeito ao vetor v = (v1, v2, ..., vn) ∈ Rn no ponto x ´e o n´umero

dado por

∂vf (x) = lim λ→0

f (x + λv) − f (x)

λ , (1)

no pressuposto que o limite exista.

Exemplo: Vamos calcular a derivada da fun¸c˜ao de duas vari´aveis designada por

f (x1, x2) = x21 · x2, para cada x = (x1, x2) de R2, relativamente ao vetor v =

(1/2,√3/2). No caso temos que

x + λv = (x1, x2) + λ Ã 1 2, √ 3 2 ! = Ã x1 + λ 2, x2+ λ√3 2 ! ,

e pela defini¸c˜ao dada,

∂vf (x1, x2) = lim λ7→0 f (x1+ λ/2, x2+ λ √ 3/2) − f (x1, x2) λ = = lim λ7→0 (x1+ λ/2)2(x2+ λ √ 3/2) − x2 1x2 λ = = lim λ7→0 " x2 1 √ 3 2 + x1x2+ λ 2 ³ x1 √ 3 + x2 2 ´ +λ 2√₃ 8 # =⇒ =⇒ ∂vf (x1, x2) = x2 1 √ 3 2 + x1x2.

Em particular, a derivada de f relativamente a v no ponto x = (x1, x2) ≡ (2, 0) ´e

∂vf (2, 0) = 2

√

3.

Observa¸c˜ao: Para uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis f : R2 _{→ R, que a cada (x, y) ∈ R}2

associa z = f (x, y) ∈ R, temos que as derivadas direcionais no ponto (x, y) em rela¸c˜ao a i = (1, 0) e a j = (0, 1) s˜ao, respectivamente, dadas por

∂if (x, y) = lim λ7→0 f [(x, y) + λ(1, 0)] − f (x, y) λ = limλ7→0 f (x + λ, y) − f (x, y) λ ,

1_{Poder´ıamos considerar mais geralmente uma fun¸c˜ao f : A ⊂ R}n _{→ R, mas por simplicidade de}

(3)

∂jf (x, y) = lim λ7→0 f [(x, y) + λ(0, 1)] − f (x, y) λ = limλ7→0 f (x, y + λ) − f (x, y) λ

e s˜ao referidas usualmente como derivadas parciais de f (no ponto (x, y)) com respeito a x e a y e s˜ao denotadas por

∂f

∂x(x, y) e ∂f ∂y(x, y),

respectivamente.

Uma defini¸c˜ao equivalente para a derivada direcional, dada pela express˜ao (1)

∂vf (x) = lim λ→0

f (x + λv) − f (x)

λ ,

pode ser considerada notando que, sendo x e v fixos, podemos designar a fun¸c˜ao

g(λ) = f (x + λv); desta forma o limite acima pode ser escrito como ∂vf (x) = lim

λ→0

g(λ) − g(0)

λ = g

0₍₀₎

ou, na nota¸c˜ao de Leibnitz,

∂vf (x) = dG dλ ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 ≡ d dλ[f (x + λv)] ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 .

Esta expressão é vantajosa em muitos casos, como o do nosso exemplo, no qual a fun¸cão f dada por f (x1, x2) = x21· x2 é polinomial, portanto diferenciável, donde o uso

da regra da cadeia pode ser realizado2_{. Veja:}

Exemplo (bis): Dada a fun¸c˜ao definida por f (x1, x2) = x21 · x2, para todo x ≡

(x1, x2) ∈ R2 e o vetor v = (1/2, √ 3/2), temos ∂vf (x) = d dλ[f (x + λv)] ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 = d dλ[f (x1+ λ/2, x2+ √ 3λ/2)] ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 = = ∂f ∂x1 d dλ[x1+ λ/2] + ∂f ∂x2 d dλ[x2+ √ 3λ/2] = = 2x1x2· 1 2+ x 2 1· √ 3 2 = x1x2+ x2 1 √ 3 2 ,

(4)

que ´e o mesmo resultado encontrado anteriormente.

2.2 - Funcionais

Vamos definir derivada para o caso de um funcional E : F → R que atua num espa¸co

F de fun¸c˜oes, por exemplo

F = {q : I ⊂ R → R| q ´e diferenci´avel Ck_},

onde I é um intervalo; um “ponto”(ou elemento) q de F é uma fun¸cão que a cada

t ∈ I associa um n´umero q(t) ∈ R. O s´ımbolo Ck _{´e usado aqui para indicar que q}

possui derivadas cont´ınuas at´e a ordem k.

Antes de falar das derivadas de funcionais vejamos alguns exemplos de tais objetos.

Exemplos de Funcionais:

a) Seja F = {q : (+∞; −∞) ≡ R −→ R| q ´e cont´ınua (C0_{)} e considere o funcional}

E : F → R, que a cada q ∈ F associa um valor constante, por exemplo um valor

particular de q:

E[q] = q(t0) ∈ R, t0 fixado em R.

Este funcional, que atua numa fun¸cão q como um “filtro que deixa escapar”apenas o valor q(t0), é designado como funcional delta e é de grande importância na mecânica

quˆantica, onde ´e designado em termos de um s´ımbolo de integral:

E[q] ≡

Z _+∞

−∞

δ(t − t0)q(t) = q(t0), t0 ∈ R.

Usualmente os funcionais de interesse nas aplica¸c˜oes s˜ao dados por integrais. Vejamos os exemplos seguintes.

b) Considere agora F = {q : [1; 2] → R| q ´e C1_{} e o funcional G : F → R definido}

por

G[q] =

Z ₂

1

(5)

Vamos calcular valores deste funcional para algumas fun¸c˜oes q de seu dom´ınio. Para

q dada por q(t) = t2_{, t ∈ [1; 2], temos}

G[q] = Z ₂ 1 t · t2_{· dt =} 1 4x 4 ¯ ¯ ¯ ¯ x=2 − 1 4x 4 ¯ ¯ ¯ ¯ x=1 = 15 4 . Agora para q dada por q(t) = t3_{, t ∈ [1; 2], temos}

G[q] = Z ₂ 1 t · t3· dt = 1 5x 5 ¯ ¯ ¯ ¯ x=2 − 1 5x 5 ¯ ¯ ¯ ¯ x=1 = 31 5 .

Note que para este funcional cada fun¸cão q (não somente um dos valores de q) tem como imagem um número real G[q]. Todos os valores de q no intervalo em considera¸cão são levados em conta na integral que define o funcional!

A hip´otese “q ´e C1_{”foi aqui colocada para permitir que possamos derivar este funcional,}

no sentido que vamos definir adiante: esta derivada, como veremos, envolver´a q0 _dentro

da integral.

EXERC´ICIO: Seja F = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C2_{}, e tomemos o funcional}

A : F → R, definido por A[q] =R_abq(t)[q0_(t)]2_{dt. Calcule o valor de A[q] em cada caso:}

(a) q(t) = t, (b) q(t) = t + 1, (c) q(t) = t2_.

Os funcionais do exemplo (b) e do exerc´ıcio acima s˜ao da forma

A[q] =

Z

I⊂R

L(q(t), q0_{(t), t) · dt,}

onde L(q, q0_{, t) é uma fun¸cão diferenciável das variáveis q, q}0 _{e t. Os funcionais desta}

forma constituem uma importante classe de funcionais; a dinâmica (clássica) de um sistema de n part´ıculas é descrita, como veremos, em termos de um funcional, chamado

(6)

2.3 - Derivada “Direcional”de um Funcional

Inicialmente lembre que a derivada de uma fun¸c˜ao f : A ⊂ Rn _{→ R no ponto x =}

(x1, ..., xn) ∈ A e relativamente ao vetor v = (v1, ..., vn) de Rn ´e definido pela equa¸c˜ao

(1): ∂vf (x) = lim λ→0 f (x + λv) − f (x) λ = d dλ[f (x + λv)] ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 ,

desde que o limite exista3_.

Vejamos como fica a derivada no caso de um funcional E : F0 ⊂ F −→ R, onde

F = {q : I → R| q ´e Ck _{no intervalo I}}4_{. Pois bem: A derivada de E no “ponto”q ∈}

F0 e relativamente ao “vetor”η ∈ F (η : I → Rn) ´e dada por

δηE[q] = lim ²7→0 E[q + ²η] − E[q] ² = d d²{E[q + ²η]} ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 , (2)

desde que o limite exista.

Vamos ent˜ao aplicar esta defini¸c˜ao para calcular derivadas de alguns funcionais.

Exemplos:

(a) Vamos considerar o funcional apresentado, em exemplo anterior, dado por

G[q] =

Z ₂

1

t · q(t) · dt,

definido em F = {q : [1; 2] → R| q ´e C1_{}. Vamos calcular a derivada de G num}

“ponto”q de F relativamente a um “vetor”η que tamb´em jaz em F. Pela defini¸c˜ao (2) temos δηG[q] = d d²G[q + ²η] ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 = d d² Z ₂ 1 t[q(t) + ²η]dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 ;

note que as fun¸cões q e η, embora não especificadas, são supostos pré-fixadas em F.

3_{Aqui A ⊂ R}n _{´e um conjunto aberto.}

4_{Aqui alguns cuidados matemáticos são requeridos, mas não entraremos nestes detalhes;}

admi-tiremos que F0 possui atributos suficientes para que o limite dado na equa¸c˜ao (2) possa ter sentido,

(7)

Podemos designar tq(t) + ²tη(t) ≡ f (², t), com (², t) ∈ R × [1; 2], de modo que δηG[q] = d d² Z ₂ 1 f (², t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 .

Tendo em vista que q e η s˜ao C1 _{e, ent˜ao, ∂}

²f = tη(t) ´e cont´ınua, podemos usar o

teorema de Leibnitz para deriva¸c˜ao sob o sinal de integra¸c˜ao. Logo

δηG[q] = Z ₂ 1 ∂f (², t) ∂² ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 dt = Z ₂ 1 tη(t)dt, ∀ q ∈ F. Em particular, se η(t) = 1/t, t ∈ [1; 2], ent˜ao δηG[q] = 1.

(b) Vejamos agora o funcional dado por

A[q] =

Z _b

a

q(t)[q0_(t)]2_dt

definido sobre

F0 = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C2, q(a) = α, q(b) = β fixos em R},

que est´a contido em F = {q : [a; b] → R| q ´e de classe C2_{}; ou seja, F}

0 ´e o espa¸co das

fun¸cões C2_{-diferenciáveis em [a; b] cujo gráfico possui os mesmos extremos (a, q(a)) =}

(a, α) e (b, q(b)) = (b, β). Ent˜ao δηA[q] = d d²A[q + ²η] ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 = d d² Z _b a {[q(t) + ²η(t)][q0(t) + ²η0(t)]2}dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 ;

vale salientar que aqui devemos ter q + ²η ∈ F0 para que A[q + ²η] fa¸ca sentido.

Assim os vetores η ∈ F en rela¸c˜ao aos quais podemos derivar A devem satisfazer

η(a) = η(b) = 0.

Com um pouco de trabalho alg´ebrico, temos

δηA[q] = d d² Z _b a [qq02_{+ ²(2qq}0_η0_{+ ηq}02_{) + ²}2_(qη02_{+ 2ηq}0_η0_{) + ²}3_ηη02_]dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0

donde, derivando sob o sinal de integra¸c˜ao e em seguida fazendo ² = 0,

δηA[q] = Z _b a [q0(t)]2η(t)dt + 2 Z _b a q(t)q0(t)η0(t)dt;

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realizando (explicitamente) uma integra¸c˜ao por partes e considerando o teorema fun-damental do c´alculo, δηA[q] = Z _b a q02_{η · dt + 2} Z _b a ½ d dt[qq 0_η] ¾ dt − 2 Z _b a ½ d dt[qq 0_] ¾ η · dt = = Z _b a ½ q02_{− 2}d dt[qq 0_] ¾ η · dt + [q(b)q0_{(b)η(b) − q(a)q}0_(a)η(a)].

Foi nesta etapa que a hip´otese “q ´e C2_{”tornou-se conveniente: temos a presen¸ca de}

d(qq0_{)/dt dentro da integral. Portanto, visto que η(a) = η(b) = 0,}

δηA[q] = Z _b a ½ q02_{− 2}d dt[qq 0_] ¾ η · dt.

(c) Considere uma generaliza¸c˜ao do exemplo (a) descrita por um funcional da forma

A[q] =

Z _b

a

L(q(t))dt,

definido sobre as fun¸c˜oes que “moram”em F = {q : [a; b] → R| q ´e C1_{}; Aqui}

L : Rn _{→ R é uma dada fun¸cão diferenciável (C}1_{) da variável q. Vamos calcular a}

derivada de A num “ponto”q de F relativamente a um “vetor”η que tamb´em jaz em

F. Pela defini¸c˜ao (2) temos δηA[q] = d d²A[q + ²η] ¯ ¯ ¯ ¯ ² = d d² Z _b a {L(q(t) + ²η(t))}dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 .

Pondo L(², t) = L(q(t) + ²η(t)) ≡ L(Q(², t)), com Q(², t) = q(t) + ²η(t), e usando a regra da cadeia (visto que L e q s˜ao C1_{-diferenci´aveis) temos}

δηA[q] = d d² Z _b a L(², t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 = Z _b a ∂ ∂²[L(², t)] ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 dt = = Z _b a ½ dL dQ ∂Q ∂² ¾¯_¯ ¯ ¯ ²=0 dt = Z _b a dL dq ¯ ¯ ¯ ¯ q(t) η(t) · dt =⇒ =⇒ δηA[q] = Z _b a dL dq ¯ ¯ ¯ ¯ q(t) η(t) · dt.

Em particular, para [a;b]=[0;1], n = 1 (Rn_{= R), L(q) = q}2_{, q(t) = t + 1 e η(t) =}√_3t,

temos δηA[q] = Z _b a 2(t + 1)√3t · dt = 5 √ 3 3 .

(9)

(d) Considere agora um funcional

A[q] =

Z _b

a

L(q0_(t))dt,

definido sobre as fun¸c˜oes que “jazem”em

F = {q : [a; b] → R| q ´e C2};

Aqui L : Rn_{→ R é uma dada fun¸cão diferenciável C}2 _{da variável q}0_{. Vamos calcular a}

derivada de A num “ponto”q de F relativamente a um “vetor”η que tamb´em jaz em

F. Pela defini¸c˜ao (2) temos δηA[q] = lim ²7→0 A[q + ²η] − A[q] ² = lim²7→0 1 ² ½Z _b a [L(q0_{(t) + ²η}0_{(t))]dt −} Z _b a [L(q0_(t))]dt ¾ = = lim ²7→0 Z _b a ½ L(q0_{(t) + ²η}0_{(t)) − L(q}0_(t)) ² ¾ = Z _b a ½ lim ²7→0 L(q0_{(t) + ²η}0_{(t)) − L(q}0_(t)) ² ¾ dt.

Tendo em vista que q e η s˜ao fun¸c˜oes supostamente dadas podemos definir, para cada

t, uma fun¸c˜ao Htpor Ht(²) = L(q0(t)+²η0(t)) ≡ L( ¯Qt(²)), em que ¯Qt(²) = q0(t)+²η0(t).

Dessa forma, δηA[q] = Z _b a ½ lim ²7→0 Ht(²) − Ht(0) ² ¾ dt = Z _b a ½ dHt d² ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 ¾ dt = = Z _b a ( _n X l=1 dL d ¯Qt,l · d ¯Qt,l d² ) ²=0 dt = Z _b a ( _n X l=1 dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(t) η0_l(t) ) · dt = = Z _b a ( d dt " n X l=1 dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(t) ηl(t) #) dt − Z _b a ( n X l=1 d dt dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(t) ηl(t) ) dt. ´

E aqui que levamos em conta que q e L s˜ao de classe C2_{: a express˜ao d(dL/dq}0 l)/dt,

que envolve em geral q00_{, est´a presente na segunda integral. Pelo teorema fundamental}

do c´alculo δηA[q] = (" _n X l=1 dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(b) ηl(b) # − " _n X l=1 dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(a) ηl(a) #) − Z _b a ( _n X l=1 d dt dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(t) ηl(t) ) dt.

Um caso de particular interesse ´e aquele em que os vetores η s˜ao tais que η(a) =

(10)

curvas de Rn_{, q : [a; b] → R}n_{, que possuem os mesmos extremos, ou seja, ao conjunto}

F0 = {q ∈ F| q(a) = Q1, q(b) = Q2, com Q1 e Q2 fixos em Rn} ⊂ F. De fato,

Q1 = q(a) = q(a) + ²η(a) =⇒ η(a) = 0 e Q2 = q(b) = q(b) + ²η(b) =⇒ η(b) = 0. Sendo

este o caso, temos

δηA[q] = − Z _b a ( _n X l=1 d dt dL dq0 l ¯ ¯ ¯ ¯ q0_(t) ηl(t) ) dt.

(c) Vamos considerar agora um caso que generaliza os dois anteriores, o qual ´e descrito por um funcional A[q] = Z _b a L(q(t), q0_{(t), t)dt,} definido em

F0 = {q ∈ F| q(a) = Q1, q(b) = Q2, com Q1 e Q2 fixos em Rn}

o qual est´a contido em

F = {q : [a; b] → Rn_{| q ´e C}2_};

a fun¸cão L : R2n _{× [a; b] −→ R das variáveis q, q}0 _{e t é suposta C}2_{-diferenciável.}

Calculemos a derivada de A num “ponto”q de F0 relativamente a um “vetor”η de F

tal que η(a) = η(b) = 0. Pela defini¸c˜ao (2) temos

δηA[q] = lim ²7→0 A[q + ²η] − A[q] ² = = lim ²7→0 1 ² ½Z _b a [L(q(t) + ²η(t), q0(t) + ²η0(t), t)]dt − Z _b a [L(q(t), q0(t), t)]dt ¾ = = Z _b a ½ lim ²7→0 L(q(t) + ²η(t), q0_{(t) + ²η}0_{(t), t) − L(q(t), q}0_{(t), t)} ² ¾ dt.

Tendo em vista que q e η s˜ao fun¸c˜oes supostamente dadas podemos definir, para cada

t, uma fun¸c˜ao Jt pondo Jt(²) = L(q(t) + ²η(t), q0(t) + ²η0(t), t) ≡ L(Qt(²), ¯Qt(²), t),

onde Qt(²) = q(t) + ²η(t) e ¯Qt(²) = q0(t) + ²η0(t). Dessa forma,

δηA[q] = Z _b a ½ lim ²7→0 Jt(²) − Jt(0) ² ¾ dt = Z _b a ½ dJt d² ¯ ¯ ¯ ¯ ²=0 ¾ dt =

(11)

= Z _b a ( n X l=1 ∂L ∂Qt,l · dQt,l d² + ∂L ∂ ¯Qt,l ·d ¯Qt,l d² ) ²=0 dt = = Z _b a dt · ( _n X l=1 ∂L ∂ql · ηl(t) + ∂L ∂q0 l · η0 l(t) ) (q(t),q0_(t),t) = = Z _b a dt ( n X l=1 · ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l ¸ · ηl(t) ) − Z _b a ( d dt " n X l=1 ∂L ∂q0 l ηl(t) #) dt; logo δηA[q] = Z _b a dt · n X l=1 · ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l ¸ ηl(t).

3. Pontos Cr´ıticos. Equa¸c˜oes de Euler

Uma classe de problemas importantes no estudo de fun¸cões consiste na determina¸cão de pontos de máximo ou de m´ınimo. Para este fim um resultado relevante é que se uma fun¸cão f : A ⊂ Rn _{−→ R admite um ponto p ∈ A de máximo ou de m´ınimo}

local onde ela possua derivada direcional ∂vf (p) para todo v ∈ Rn (v n˜ao nulo) ent˜ao

∂vf (p) = 0 ∀v de Rn, ou seja, p ´e um ponto cr´ıtico ou estacion´ario de f . Mas nem

todo ponto cr´ıtico de uma fun¸cão f é de máximo ou de m´ınimo local para esta fun¸cão, pois pode ocorrer que ela possua pontos tipo sela; para classificar pontos cr´ıticos um teste útil em muitos casos é o teste das derivadas de segunda ordem.

Nosso interesse agora ´e determinar pontos estacion´arios de funcionais espec´ıficos. Pre-cisamente, dado um funcional

A[q] =

Z _b

a

L(q(t), q0_{(t), t)dt,} ₍₃₎

definido em

F0 = {q ∈ F| q(a) = Q1, q(b) = Q2, com Q1 e Q2 fixos em Rn},

onde

(12)

e L : R2n_{× [a; b] → R é uma dada fun¸cão diferenciável C}2_{, determinar um “ponto”q ∈}

F0 tal que

δηA[q] = 0, para toda η ∈ F tal que η(a) = η(b) = (0, ..., 0) ≡ 0.

Uma vez determinado este ponto q, para saber se A[q] é máximo ou m´ınimo pode-se consultar o teste da pode-segunda varia¸cão funcional (análogo ao teste das derivadas segundas para fun¸cões), sobre o qual não falaremos aqui (ver referências).

Tendo em vista a última equa¸cão da página 8, obtemos que um ponto cr´ıtico de A deve necessaria e suficientemente satisfazer

δηA[q] = Z _b a dt · n X l=1 · ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l ¸ ηl(t) = 0, (4)

para toda η ∈ F cumprindo η(a) = η(b) = 0. Estas condi¸cões de contorno não constituem grande restri¸cão sobre as fun¸cões η de forma que a escolha de uma delas é bastante arbitrária. Assim a validade da (4), com η arbitrária, implica em

∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l = 0, l = 1, ..., n. (5)

Vamos esclarecer melhor este ponto. Primeiro veja o lema abaixo enunciado e provado.

Lema Fundamental: Seja f : [a; b] → R cont´ınua. Se Z _b

a

f (t)η(t)dt = 0,

para toda η : [a; b] → R cont´ınua e tal que η(a) = η(b) = 0 então f é identicamente nula (f ≡ 0), isto é, f (t) = 0, ∀ t ∈ [a; b].

Prova: Suponha que f n˜ao ´e identicamente nula, ou seja, existe ζ ∈ [a; b] tal que

f (ζ) 6= 0, digamos que seja f (ζ) > 0 (a prova do caso f (ζ) < 0 ´e semelhante).

Pela continuidade de f , existe ξ no intervalo aberto (a; b), ξ suficientemente pr´oximo de ζ, tal que f (ξ) > 0. E novamente pela continuidade de f existe um intervalo [ξ − δ; ξ + δ] ⊂ [a; b], com a < ξ − δ < ξ + δ < b, tal que f (t) > 0 ∀ t ∈ [ξ − δ; ξ + δ].

(13)

Por outro lado tome uma fun¸c˜ao cont´ınua η : [a; b] → R tal que η(t) = 1 para

t ∈ [ξ − δ/2; ξ + δ/2] e η(t) = 0 para t ∈ [a; ξ − δ] ∪ [ξ + δ; b], que claramente satisfaz η(a) = η(b) = 0. Segue que

Z _b a f (t)η(t)dt = Z _ξ+δ/2 ξ−δ/2 f (t) · 1 · dt > 0, contradi¸c˜ao. ¨

Com este lema podemos justificar claramente a passagem Z _b a dt n X l=1 · ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l ¸ ηl(t) = 0, ∀η ∈ F | η(a) = η(b) = 0 =⇒ =⇒ ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l = 0, l = 1, ..., n.

Para isto notamos que, da arbitrariedade da η, podemos escolher, para cada ´ındice

l = 1, ..., n, um η da forma η = (0, 0, ..., 0, ηl, 0, ..., 0), com ηl : [a; b] → R na l-´esima

posi¸c˜ao coordenada satisfazendo ηl(a) = ηl(b) = 0; esta escolha satisfaz claramente

que η(a) = η(b) = 0. Assim temos Z _b a dt · ∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l ¸ ηl(t) = 0, ∀ ηl: [a; b] → R | ηl(a) = ηl(b) = 0,

e pelo lema fundamental, segue (5):

∂L ∂ql − d dt ∂L ∂q0 l = 0, l = 1, ..., n.

Estas equa¸cões são denominadas equa¸cões de Euler do Cálculo Variacional. Elas con-stituem um sistema de n equa¸cões diferenciais ordinárias (acopladas) de segunda ordem para as fun¸cões ql: [a; b] → R. De fato, estas equa¸cões podem ser reescritas como

n X s=1 [fls(q, q0, t)qs00+ gls(q, q0, t)qs0] + hl(q, q0, t) = 0, l = 1, ..., n, onde fls(q, q0, t) = ∂ 2_L ∂q0 s∂ql0 ,

(14)

gls(q, q0, t) = ∂2_L ∂qs∂q0l , hl(q, q0, t) = ∂2_L ∂t∂q0 l − ∂L ∂ql .

Podemos dizer ent˜ao que um ponto cr´ıtico do funcional A : F0 → R dado pela integral

(3) ´e uma curva em Rn_{, q = (q}

1, ..., qn) ∈ F0, cujas fun¸c˜oes coordenadas ql constituam

uma solu¸cão das equa¸cões de Euler (5). Note que a estas n equa¸cões de segunda ordem devemos adicionar as 2n condi¸cões de contorno estabelecidas em F0: q(a) = Q1

(15)

4. Problemas Clássicos do Cálculo das Varia¸cões

a - Curva Plana de Menor Comprimento entre dois Pontos

b - Curva Geradora da Superf´ıcie de Revolu¸c˜ao de ´Area M´ınima

c - Braquist´ocrona