UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFAL CAMPUS DE ARAPIRACA
MATEMÁTICA – LICENCIATURA
DRAYTONN LINCOLN FERREIRA DA SILVA
TEOREMA DE EULER - ARITMÉTICA MODULAR
ARAPIRACA 2021
Draytonn Lincoln Ferreira da Silva
Teorema de Euler - Aritmética modular
Monografia apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas UFAL, Campus de Arapiraca.
Orientador: Prof. Dr. Rinaldo Vieira da Silva Júnior Coorientador: Prof. Me. Luiz Gabriel dos Santos Gomes
Arapiraca 2021
Universidade Federal de Alagoas – UFAL Biblioteca Campus Arapiraca - BCA Bibliotecário Responsável: Nestor Antonio Alves Junior
CRB - 4 / 1557
S586t Silva, Draytonn Lincoln Ferreira da
Teorema de Euler – Aritmética modular / Draytonn Lincoln Ferreira da Silva. – Arapiraca, 2021.
39 f.: il.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade Federal de Alagoas, Campus Arapiraca, Arapiraca, 2021.
Orientador: Prof. Dr. Rinaldo Vieira da Silva Júnior. Coorientador: Prof. Me. Luiz Gabriel dos Santos Gomes.
Bibliografia: f. 39.
1. Aritmética modular. 2. Congruência. 3. Teorema de Euler. I. Silva Júnior, Rinaldo Vieira da. II. Gomes, Luiz Gabriel dos Santos. III. Título.
CDU 51
Draytonn Lincoln Ferreira da Silva
Teorema de Euler - Aritmética modular
Monografia apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática da Universidade Federal de Alagoas - UFAL, Campus de Arapiraca.
Data de Aprovação: 05/02/2021.
Banca Examinadora
Prof. Dr. Rinaldo Vieira da Silva Júnior Universidade Federal de Alagoas UFAL
Campus Arapiraca (Orientador)
Prof. Me. Eben Alves da Silva Universidade Federal de Alagoas UFAL
Campus Arapiraca (Examinador)
Prof. Me. Luiz Gabriel dos Santos Gomes Instituto Federal de Alagoas - IFAL
Campus Coruripe (Examinador)
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que de alguma forma contribuíram no decorrer desta jornada, em especial: a Deus a quem devo minha vida, a minha família pelo apoio, a minha esposa Mayara Rodrigues Ferreira Lima por sempre me incentivar e compreender nos momentos difíceis e aos professores pelo que me transmitiram, serei eternamente grato a cada um de vocês.
“ Onde Eu estiver e com o que tiver, posso fazer qualquer coisa por meio daquele que faz de mim o que sou”
RESUMO
Este trabalho apresenta algumas aplicações de congruência para o ensino médio, sobretudo o Teorema de Euler. O conteúdo de aritmética modular abrange diversas áreas, e por ser um conteúdo tão amplo possui diversas aplicações no cotidiano. A proposta deste trabalho é que a partirdodesenvolvimentodeconceitosbásicosdecongruênciasejapossívelapresentar resultados mais fortes, como o Pequeno Teorema de Fermat e sua generalização, o Teorema de Euler. A partir desses teoremas e dos conceitos de congruência, foi possível criar aplicações que envolvessem o CPF (Cadastro de Pessoa Física), código de barras, e o sistema de criptografia RSA. Tais aplicações são bastante importantes e atuais, sendo possível uma adaptação para serem apresentadas no ensino médio.
ABSTRACT
This work presents some congruence applications for high school, especially Euler’s theorem. The content of modular arithmetic covers several areas, and because it is such a broad content, it has several applications in everyday life. The purpose of this work is that from the development of basic concepts of congruence it is possible to present stronger results, such as Fermat’s Little Theorem and its generalization, Euler’s Theorem. From these theorems and congruence concepts, it was possible to create applications that involved the CPF (Cadastro de Pessoa Pessoa), barcode, and the RSA encryption system. Such applications are very important and current, being possible an adaptation to be presented in high school.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Código de barras do tipo UPC ... 30
Figura 1 – Código de barras do tipo EAN-13 ... 31
Figura 1 – Código de barras ex 3.4 ... 32
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 10 2 ARITMÉTICA MODULAR ... 11 2.1 Congruência ... 11 2.2 Congruência linear ... 14 2.3 Sistemas de Congruências ... 17
3 A FUNÇÃO PHI DE EULER ... 20
3.1 O Pequeno Teorema de Fermat ... 20
3.2 Funções Aritméticas e Multiplicativas ... 22
3.3 O Teorema de Euler ... 22
4 APLICAÇÕES ... 27
4.1 Aplicações no Ensino Médio ... 27
4.1.1 Metodologia ... 27 4.1.2 CPF ... 28 4.1.3 Código de Barras ... 30 4.1.4 Criptografia RSA ... 34 5 CONCLUSÃO ... 38 REFERÊNCIAS ... 39
10
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo mostrar algumas aplicações de aritmética modular que podem ser utilizadas no Ensino Médio. O mesmo apresenta conteúdos que envolvem congruência, congruência linear, sistemas de congruências, o Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler.
No primeiro capítulo tratamos dos principais conceitos de congruência, sendo aconselhá- vel ao leitor ter uma base dos conhecimentos de MDC e fatoração para uma melhor compreensão do conteúdo.
O segundo capítulo trata de dois teoremas clássicos da aritmética modular, são eles, O Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler, teoremas estes que foram fundamentais para as aplicações.
O terceiro capítulo foi destinado para as aplicações, onde mostramos as características de um CPF e como verificar se uma determinada sequência de números forma um CPF válido. Além disso, este trabalho mostrou como funciona a codificação e a decodificação de uma sequência de números em um código de barras e por fim o método mais seguro atualmente de criptografar qualquer informação, o método de Criptografia RSA.
A aplicação do trabalho será dividida em quatro etapas, na primeira será feito a apre- sentação do conteúdo básico que fundamentará toda a aplicação. Em seguida será mostrado as características do CPF e de como cada discente pode determinar seus dígitos verificadores. Posteriormente será abordado os conceitos de um código de barras, sua funcionalidade e como cada discente pode decodificar tal código. Por fim, será apresentado o método de criptografia RSA, onde cada discente aprenderá formas de codificar e decodificar uma mensagem.
11
2 ARITMÉTICA MODULAR
Neste capítulo trataremos da aritmética modular, também conhecida como aritmética dos restos que foi introduzida por Gauss no seu livro Disquisitiones Arithmeticae, de 1801, aqui serão abordados os primeiros conceitos de congruência tendo como principais referências utilizadas (SANTOS, 1998), (ARAÚJO, 2018) e (COUTINHO, 2014).
2.1 CONGRUÊNCIA
Definição 2.1. Sejam m um número natural e a e b inteiros quaisquer. Dizemos que a é congru- ente a b módulo m, quando m | (b − a) e escrevemos
a ≡ b(mod m)
Se m ‡ (b − a), dizemos que a é incongruente a b módulo m e escrevemos
a /≡ b(mod m)
Exemplo 2.1. 19 ≡ 1(mod 3), pois 3 | (19 − 1) Exemplo 2.2. 12 /≡ 3(mod 5), pois 5 | (12 − 3)
Proposição 2.1. Se a e b são inteiros, temos que a ≡ b(mod m) se, e somente se, existir um
inteiro k tal que a = b + km.
Demonstração. (⇒) Seja a ≡ b(mod m) teremos que m|(a − b), assim, existe k ∈ Z tal que
a − b = km, portanto a = b + km.
(⇐) Reciprocamente, perceba que se k ∈ Z é tal que a = b + km, deste modo, teremos
km = a − b, ou seja, m | a − b, assim, pela definição 1.1 a ≡ b(mod m).
Exemplo 2.3. Perceba que 84 = 4+16.5, daí pela proposição anterior, segue que 84 ≡ 4(mod 5) Proposição 2.2. (Relação de equivalência) Se a, b, m e c ∈ Z, m > 0, as seguintes
sentenças são verdadeiras: i) a ≡ a(mod m)
ii) Se a ≡ b(mod m), então b ≡ a(mod m)
iii) Se a ≡ b(mod m) e b ≡ c(mod m), então a ≡ c(mod m)
Demonstração. i) Perceba que m | 0, então m | a − a, portanto a ≡ a(mod m).
12
assim a = mk + b. Portanto, b = a − mk, e isso garante que b ≡ a(mod m).
iii) Se a ≡ b(mod m), então
Se b ≡ c(mod m) teremos que
a − b = k1m (2.1)
b − c = k2m (2.2)
Somando membro a membro essas duas igualdades, teremos
a − c = k1m + k2m (2.3)
Reorganizando teremos a − c = m(k1 + k2) ∈ Z. Fazendo k3 = k1 + k2, ficaremos com
a = c + mk3 e isso implica que a ≡ c(mod m).
Exemplo 2.4. 5 ≡ 5(mod 7)
Exemplo 2.5. 6 ≡ 2(mod 4), então 2 ≡ 6(mod 4)
Exemplo 2.6. 97 ≡ 17(mod 4) e 17 ≡ 1(mod 4), então 97 ≡ 1(mod 4) Teorema 2.1. Se a, b, c e m são inteiros tais que a ≡ b(mod m), então:
i) a + b ≡ b + c(mod m) ii) a − c ≡ b − c(mod m) iii) ac ≡ bc(mod m)
Demonstração. i) Como a ≡ b(mod m), então existe k ∈ Z tal que a − b = km deste modo
a − b = (a + c) − (b + c), portanto a + c ≡ b + c(mod m).
ii) Como (a − c) − (b − c) = a − c − b + c = a − b e sabemos por hipótese que a − b = km,
então segue que a − c ≡ b − c(mod m).
iii) Como a − b = km, então ac − bc = ckm, com (c . k) ∈ Z o que implica que m|(ac − bc),
portanto, ac ≡ bc(mod m).
Teorema 2.2. Se a, b, c, d e m são inteiros tais que a ≡ b(mod m) e c ≡ d(mod m), então
i) a + c ≡ b + d(mod m) ii) a − c ≡ b − d(mod m) iii) ac ≡ bd(mod m)
Demonstração. i) Como a ≡ b(mod m) então a − b = k1m e como c ≡ d(mod m) segue que
c − d = k2m com k1 e k2 ∈ Z. Daí, somando as equações membro a teremos (a − b) + (c − d)
= k1m + k2m, ou seja, (a − b) + (c − d) = m(k1 + k2), portanto, m | (a + c) − (b + d),
e isto implica que a + c ≡ b + d(mod m).
ii) Pelo item i) fazendo a subtração de a−b = k1m com c−d = k2m , teremos (a−b)−(c−d) =
13
d
d
d d
iii) Analogamente multiplicando ambos os lados de a − b = k1m por c obtemos ac − bc = k1cm
e multiplicando ambos os lados de c − d = k2m por b obtemos bc − bd = k2bm. Por fim,
somando ac − bc = k1cm e bc − bd = k2bm teremos ac − bd = m(k1c + k2b).
Portanto, ac ≡ bd(mod m).
Exemplo 2.7. Sendo 22 ≡ 1(mod 3) e 14 ≡ 2(mod 3) segue do item (i) do teorema 1.2 anterior que 22 + 14 ≡ 1 + 2(mod 3), ou seja, 36 ≡ 3(mod 3)
Exemplo 2.8. Como 22 ≡ 1(mod 3) e 14 ≡ 2(mod 3) segue do item ii do teorema anterior que 22 − 14 ≡ 1 − 2(mod 3), ou seja, 8 ≡ −1(mod 3)
Exemplo 2.9. Como 22 ≡ 1(mod 3) e 14 ≡ 2(mod 3) segue do item iii do teorema anterior que 22 . 14 ≡ 1 . 2(mod 3), ou seja, 308 ≡ 2(mod 3)
Teorema 2.3. Se a, b, c e m são inteiros e ac ≡ bc(mod m), então a ≡ b(mod m ) onde
d = (c, m).
Demonstração. Note que podemos reescrever ac ≡ bc(mod m) como ac − bc = c(a − b) = km, com k ∈ Z.
Dividindo ambos os membros da igualdade por d ficamos com ( c )(a − b) = k(m ).
d d
Daí temos que (m ) | ( c )(a − b).
Além disso, sabemos que (m , c ) = 1, com isso temos que (m ) | (a − b) e isso implica
d d d
que a ≡ b(mod m ).
Corolário 2.1. (Lei do Corte) Se d = 1, ac ≡ bc(mod m) ⇒ a ≡ b(mod m)
Definição 2.2. Se h e k são dois inteiros com h ≡ k(mod m), dizemos que k é um respiduo de
h módulo m.
Definição 2.3. O conjunto dos inteiros {r1, r2, · · · , rs} é um sistema completo de
resíduos módulo m se
i) ri /= rj(mod m) para i /= j;
ii) Para todo inteiro m existe um ri tal que n ≡ ri(mod m).
Exemplo 2.10. O conjunto 0, 1, 2, 3, · · · , m − 1 é um sistema completo de resíduos módulo m. Proposição 2.3. Se a ≡ b(mod n) então ak ≡ bk(mod n), k ∈ Z∗+
Demonstração. Para demonstrar essa proposição, será utilizado o método de indução sobre k.
14 Suponha que seja válida para k = r, ou seja, ar ≡ br(mod n).
Agora basta mostrar que vale também para k = r + 1.
Temos que ar ≡ br(mod n) é nossa hipótese de indução. E que a ≡ b(mod n) é nossa hipótese. Utilizando o item iii) do Teorema 1.2, segue que ar+1 ≡ br+1(mod n).
Portanto, pelo Princípio da Indução Finita ak ≡ bk(mod n) para todo k ∈ Z∗+. Exemplo 2.11. Qual o resto da divisão de 744 por 4?
Sabemos que 7 ≡ 3(mod 4), então pela proposição anterior, segue que 744 ≡ 344(mod 4)
Porém perceba que mesmo utilizando a proposição encontramos potências extremamente grandes que tornam inviável a solução braçal do problema.
Agora perceba também que 7 ≡ −1(mod 4) e pelo corolário 744 ≡ (−1)44(mod 4) Note que o fato de estarmos utilizando uma potência de base -1 facilita todo o processo de solução, uma vez que podemos realizar o cálculo mentalmente.
Como (−1)44 = 1 segue então que 744 ≡ 1(mod 4)
Portanto, 1 é o resto da divisão de 744(mod 4). 2.2 CONGRUÊNCIA LINEAR
Definição 2.4. Dados a e b inteiros, com a /= 0, uma congruência da forma
ax ≡ b(mod m)
é chamada congruência linear, em que X é uma incógnita. Exemplo 2.12. Resolva a congruência 6X ≡ 3(mod 15)
Ao buscar uma solução para a congruência acima fazendo X = 1, 2, . . . percebemos que
X = 8 é uma das possíveis soluções para a congruência, pois 48 ≡ 3(mod 15) umas vez que
15 | (48 − 3)
Exemplo 2.13. Resolva a congruência 4X ≡ 3(mod 8)
Ao buscar uma solução para a congruência acima fazendo X = 1, 2, . . . percebemos que não é possível encontrar tal solução, pois ao reescrevermos tal congruência como 4X − 3 ≡ 0(mod 8) percebemos que qualquer valor atribuido a X ao fazermos 4X − 3 o resultado sempre será um número ímpar, e portanto não será divisível por 8.
15
0
Tendo em vista tais exemplos, os teoremas a seguir nos ajudarão a determinar se uma congruência possui solução, e em caso positivo dizer quantas são incongruentes.
Teorema 2.4. Sejam a, b inteiros positivos e d = mdc(a, b). Se d ‡ c então a equação ax+by = c
não possui solução inteira. Se d|c ela possui infinitas soluções e se x = x0 e y = y0 é uma
solução particular, então todas as soluções são incongruentes duas a duas dadas por x = x + b k
e y =
y0
a d
16
0 0
d d Demonstração. Vamos realizar a demonstração por partes.
Primeiramente, se d ‡ c teremos que a equação ax + by = c não tem solução, pois, como
d|a e d|b ele também deveria dividir c já que é combinação linear de a e b. Agora vamos supor
que d|c. Pelo Teorema de Bezóut, sabemos que existem n0 e m0 ∈ Z, tais que
an0 + bm0 = d
como d|c, então existe k ∈ Z tal que c = kd. Multiplicando ambos os membros de an0+bm0 = d
por k teremos a(n0k) + b(m0k) = kd = c. Isso implica que o par (x0, y0) onde x0 =
n0k e y0 = m0k é uma solução da equação ax + by = c. Deste modo, podemos verificar que
os pares da forma x = x0 b + k, y = y0 d a —
dk são soluções, pois
b a ax + by = a(x0 + dk) + b(y0 − dk) ax + by = ax0 + ab ab d k + by0 − d k ax + by = ax0 + by0 = c
Isso nos diz que se conhecermos uma solução particular (x0, y0), podemos encontrar
a partir dela infinitas soluções.
Por fim, vamos mostrar que toda solução da equação ax +by = c é da forma x =
x0 a y = y0 − dk. b + k, d
Sendo (x, y) uma solução, ou seja, ax +by = c. Como ax0 +by0 = c, subtraindo membro
a membro, obtemos
ax + by − ax0 − by0 = a(x − x0) + b(y − y0) = 0
daí segue que a(x − x ) = b(y − y ). Sabendo que d = mdc(a, b), então a, b = 1. Assim, dividindo ambos os membros da igualdade por d, encontramos
a b
Portanto, b
d
d (x − x0) = d (y0 − y)
| (x − x0) e assim existe k ∈ Z que satizfaz x −
x0
b
= k , isto é,
17
d d d 1 2
b a b a
x = x0 +
dk. Substituindo este valor de x em d (x − x0) = d (y0 − y), temos y = y0 − dk.
Teorema 2.5. Sejam a, b, m ∈ Z, m > 0 e mdc(a, m) = d. No caso em que d ‡ b a congruência
ax ≡ b(mod m) não possui nenhuma solução e quando d|b, possui exatamente d soluões incongruentes módulo m.
Demonstração. Teremos que x ∈ Z é solução de ax ≡ b(mod m) se, e somente se, existe y ∈ Z
tal que ax = b + my, ou reorganizando a equação ax − my = b .
Pelo teorema anterior sabemos que a congruência não possui solução se d ‡ b, mas se
m
d|b a congruência possui infinitas soluções que são dadas por x = x0
−
k. Mas, o principal d
objetivo é encontrar a quantidade de soluções incongruentes, ou seja, que não representem a mesma solução. Isso implica que basta determinar quando
x1
são congruentes módulo m.
= x0 m — d k1 e x2 = x0 m — d k2
Para isso, se x1 e x2 forem congruentes, isso significa que
x0 − m d k1 ≡ x0 − m k2(mod m). Logo a m d k1 ≡ m
k2(mod m), como temos
que
d
m
d | m, dessa
forma mdcm, m = m , onde m pode ser simplificado, ficaremos então com, k ≡ k (mod d). Perceba que substituimos m por d = m/(m/d). Assim, as soluções incongruentes são obtidas quando x =
x0
m
— d k.
Exemplo 2.14. Resolva a congruência 4X ≡ 3(mod 8)
Perceba que d = mdc(4, 8) = 4 e 4 ‡ 3, portanto, como o d ‡ 3 podemos afirmar que tal congruência linear não possui solução.
Exemplo 2.15. Resolva a congruência 6X ≡ 3(mod 15)
Perceba que d = mdc(6, 15) = 3 e 3 | 3, portanto, como o d | 3 podemos afirmar que tal congruência linear possui solução.
Agora vejamos como determinar tais soluções:
Temos que d = 3, isso significa que tal congruência linear possui 3 soluções incongruen- tes módulo 15.
Como vimos anteriormente X = 8 é solução dessa congruência, portanto as soluções módulo 15 são:
18 Assim, todas as soluções inteiras dessa congruência linear são dadas por
8 + 15t, 13 + 15t, 18 + 15t onde t ∈ Z
Definição 2.5. Uma solução x0 de ax ≡ b(mod m) é única módulo m quando qualquer
outra solução x1 for congruente a x0 módulo m.
Definição 2.6. Uma solução a de ax ≡ 1(mod m) é chamada de um inverso de a módulo m. Proposição 2.4. Seja p um número primo. O inteiro positivo a é o seu próprio inverso módulo p,
onde p é um número primo.
Demonstração. (⇒) De fato se a é o seu próprio inverso, então a2 ≡ 1(mod p). Daí, segue que
p | (a2 − 1).
Porém, se p | (a − 1)(a + 1), e sendo p primo, então temos que p | (a − 1) ou p | (a − 1), e isso implica que a ≡ 1(mod p) ou a ≡ −1(mod p).
(⇐) Temos que se a ≡ 1(mod p) ou a ≡ −1(mod p), então p | (a − 1) ou p | (a + 1).
Portanto, temos que p | (a − 1)(a + 1) e isso significa que a2 ≡ 1(mod p). 2.3 SISTEMAS DE CONGRUÊNCIAS
Inicialmente considere o seguinte problema: Determinar qual número deixa resto 2, 3 e 2 quando dividido, respectivamente por 3, 5 e 7.
O problema acima foi proposto, no século 1, pelo matemático Chinês Sun-Tsu. Tal problema em liguagem moderna é equivalente a resolver o seguinte sistema de congruências:
X ≡ 2(mod) 3 X ≡ 3(mod) 5 X ≡ 2(mod) 7
Para resolver tal sistema de congruências precisamos de alguns conteúdos prévios, dentre eles a proposição a seguir:
Proposição 2.5. Toda congruência do tipo aX ≡ b(mod m) que tem solução é equivalente a
uma congruência do tipo X ≡ c(mod n). Demonstração. Temos que
aX ≡ b(mod m) tem solução ⇔ d = (a, m) divide b
Deste modo, fazendo
aJ = a, bJ = b e n = m
d d d
teremos a seguinte congruência equivalente
19
aJX ≡ bJ(mod n), com
(aJ, n) = 1
X ≡ c(mod n), onde c = aJJbJ
sendo aJJ o inverso multiplicativo de aJ módulo m.
Nosso objetivo agora é resolver sistemas de congruências lineares do tipo
aiX ≡ bi(mod ni), i = 1, · · · , r.
Daí, como vimos anteriormente, tal sistema possui solução quando (ai, ni) | bi, ∀i = 1, · · · , r.
Pela proposição anterior, esse sistema é quivalente a um sistema da forma
X ≡ ci(mod mi), i = 1, · · · , r.
Teorema 2.6. (Teorema Chinês dos Restos) Sejam n1, n2, · · · , nk inteiros relativamente primos
dois a dois (isto é, tais que, se i /= j, então mdc(ni, nj) = 1), e sejam C1, C2, · · · , Ck inteiros
20
X ≡ C1(mod n1)
X ≡ C. 2(mod n. 2)
X ≡ Ck(mod nk)
admite uma solução que é única módulo n = n1.n2 · · · nk
Demonstração. Considere o número n = n1.n2 · · · nk. Agora, definindo para cada índice i o
inteiro Ni = . Tal que Nn i
ni é o produto de todos os inteiros n1, · · · , nk
, exceto o próprio ni,
como estes elementos são todos primos com ni, temos que mdc(Ni, ni) = 1.
Em seguida vamos determinar ri, si ∈ Z tais que riNi + sini = 1 com 1 ≤ i ≤ k. Agora devemos mostrar que o número x0 = C1r1N1 + C2r2N2 + · · · + CkrkNk é uma
solução do sistema dado. Perceba que se j /= i, então Nj ≡ 0(mod ni), uma vez que ni é um dos fatores de Nj, com isso CjrjNj ≡ 0(mod ni) assim, segue que
x0 = C1r1N1 + C2r2N2 + · · · + CkrkNk ≡ CiriNi(mod ni)
Como riNi + sini = 1, teremos que rjNi ≡ 1(mod ni), assim, x0 ≡ CiriNi ≡ Ci(mod
ni) dessa forma x0 é solução para a equação X ≡ Ci(mod ni) para cada i. Portanto, temos uma
solução para o sistema. Agora devemos mostrar que qualquer outra solução é congruente a
x0 mod n.
Como
Se considerearmos x como outra solução, teremos x ≡ Ci(mod ni), com 1 ≤ i ≤ k.
x0 ≡ Ci(mod ni) é também solução, temos que x ≡ x0(mod ni), ou seja, ni|(x − x0), para cada
i, sendo 1 ≤ i ≤ k. Além disso, temos o fato de que como os inteiros ni são primos entre si,
então ni.n2 · · · nk|(x − x0), por fim, concluimos que x ≡ x0(mod n).
Agora é possível resolver o problema inicial apresentado nesta seção.
Exemplo 2.16. Determinar qual número deixa resto 2, 3 e 2 quando dividido, respectivamente por 3, 5 e 7.
Vimos anteriormente que tal problema pode ser representado como
X ≡ 2(mod) 3 X ≡ 3(mod) 5 X ≡ 2(mod) 7
21
Com base no sistema de congruências acima podemos perceber que (3, 5) = (3, 7) = (5, 7) = 1, portanto podemos utilizar o Teorema Chinês dos Restos para resolver tal problema. Com base nos dados do sistema temos que: n1 = 3, n2 = 5 e n3 = 7. Daí, segue que
n = n1 . n2 . n3 = 3 . 5 . 7 =
105.
Temos também que
n N1 = 1 10 5 = 3 n = 35, N2 = 2 10 5 = 5 n = 21, e N3 = n 3 10 5 = 7 = 15
Daí podemos representar o problema anterior como o seguinte sistema de congruências equivalente:
35X ≡ 1(mod) 3 21X ≡ 1(mod) 5 15X ≡ 1(mod) 7
Onde as soludas congruências são respectivamente: x1 = 2, x2 = 1 e x3 =
1. Portanto uma solução módulo M = 105 é dada por:
x = N1 . x1 . c1 + N2 . x2 . c2 + N3 . x3 . c3
onde c1, c2 e c3 são respectivamente 2, 3 e 2.
Daí substituindo os valores correspondentes na igualdade anterior, teremos:
x = 35 . 2 . 2 + 21 . 1 . 3 + 15 . 1 . 2 = 233
Como 233 ≡ 23(mod 115), segue que 23 é uma solução e qualquer outra solução é do tipo 23 + 105t, t ∈ Z.
22
. 3 A FUNÇÃO PHI DE EULER
Como motivação, iniciaremos este capítulo falando sobre o Pequeno Teorema de Fermat, teorema este que possui uma vasta aplicação e é de suma importância para resolver determinados problemas, em seguida falaremos sobre funções aritméticas e por fim veremos que existe uma ge- neralização para o Pequeno Teorema de Fermat. Como embasamento utilizamos principalmente (FEITOSA, 2012).
3.1 O PEQUENO TEOREMA DE FERMAT
Por volta de 50 anos a.c., os chineses sabiam que se p é um número primo, então
p | 2p − 2. Sendo Fermat o responsável por generalizar tal resultado enunciando um pequeno
mais importante teorema conhecido como Pequeno Teorema de Fermat.
Teorema 3.1. (Pequeno Teorema de Fermat) Sejam p um primo e a um inteiro tal que p ‡ a.
Então,
ap−1 ≡ 1(mod p) .
Demonstração. Considere o conjunto cujos elementos pertencem a Z
{a, 2a, 3a, · · · , (p − 1)a} (3.1)
Agora note que tomando quaisquer dois elementos deste conjuto eles não são congruentes entre si mod p, pois, se xa ≡ ya(mod p) com 1 ≤ x, y ≤ p − 1. Como mdc(a, p) = 1 podemos chegar a partir de uma simplificação em x ≡ y(mod p), o que não pode acontecer, visto que que os elementos do conjunto
{1, 2, · · · , p − 1} (3.2)
não são congruentes entre si. Além disso, nenhum dos elementos de {a, 2a, 3a, · · · , (p − 1)a} é côngruo a 0 módulo p, uma vez que, se p|ax com 1 ≤ x ≤ p − 1, assim p|x ou p|a o que de fato não acontece. Por conta disso, segue que os elementos de {a, 2a, 3a, · · · , (p − 1)a} são côngruos aos de {1, 2, · · · , p − 1} numa determinada ordem.
Desse modo, teremos p − 1 congruências da seguinte forma:
a ≡ x1(mod p) 2a ≡ x2(mod p)
.
(p − 1)a ≡ xp−1(mod p)
Donde x1, x2, · · · , xp−1 são os inteiros 1, 2, · · · , p − 1.
De maneira ordenada, multiplicando-se as congruências obtemos
23 Assim, teremos (p − 1)!ap−1 ≡ (p − 1)!(mod p).
Como mdc((p − 1)!, p) = 1, podemos simplificar e chegar no seguinte resultado
ap−1 ≡ 1(mod p)
.
Corolário 3.1. Sejam p um número primo e a um inteiro arbitrário. Então,
ap ≡ a(mod p)
Demonstração. Se p ‡ a segue do teorema anterior que ap−1 ≡ 1(mod p).
Daí, multiplicando esta congruência por a, segue que ap ≡ a(mod p).
Se p | a teremos que p | ap o que implica que p | ap − a, que nada mais é que
ap ≡ a(mod p).
Exemplo 3.1. Determinar o resto da divisão de 22021 por 7.
Temos que p = 7 e a = 2, logo é fácil ver que p ‡ a e portanto podemos utilizar o Pequeno Teorema de Fermat.
Assim, utilizando o Pequeno Teorema de Fermat teremos
26 ≡ 1(mod 7)
Elevando ambos os membros da congruência pro 336, ficaremos com
(26)336 ≡ 1336(mod 7)
Resolvendo, obtemos
22016 ≡ 1(mod 7)
Multiplicando a congruência por 25 teremos 22021 ≡ 25(mod 7)
Com isso segue que
Logo
25 ≡ 4(mod 7)
22021 ≡ 4(mod 7)
24
3.2 FUNÇÕES ARITMÉTICAS E MULTIPLICATIVAS
Definição 3.1. Uma função f : N −→ C é chamada de função aritmética. Exemplo 3.2. A função f (x) = x3 é uma função aritmética.
Exemplo 3.3. A função f (x) = 2 não é uma função aritmética, pois, para x = 5 a função
25
Definição 3.2. Uma função é chamada de multiplicativa se
f (m . n) = f (m) . f (n), ∀m, n ∈ N com (m, n) = 1.
Definição 3.3. Uma função é chamada de completamente multiplicativa se
f (m . n) = f (m) . f (n), ∀m, n ∈ N.
Exemplo 3.4. A função f (x) = x2 é completamente multiplicativa. De fato, fazendo f (m . n) = (m . n)2 = m2 . n2 = f (m) . f (n)
Perceba que em nenhum momento precisamos usar o fato de (m, n) = 1, ou seja, em nenhum momento precisamos saber que m e n são primos entre si.
Exemplo 3.5. Seja τ (n) := #{d ∈: d | n}, ou seja, a quantidade de divisores positivos de n. Mostre que τ não é completamente multiplicativa.
Para mostrar o que foi pedido vamos primeiro determinar a quantidade de divisores de n, seja D+ a quantidade de divisores de n positivos, façamos:
D+(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Como 12 possui 6 divisores positivos, teremos que
τ (12) = 6
Porém, perceba também que 12 = 2 . 6, daí
D+(2) = {1, 2}
D+(6) = {1, 2, 3, 6} Temos então que
τ (12) = τ (3) . τ (4)
τ (2) . τ (6) = 8 /= τ (2 . 6) = τ (12) = 6
Portanto, a função τ não é completamente multiplicativa. 3.3 O TEOREMA DE EULER
Veremos nesta seção que o Teorema de Euler é uma generalização do Pequeno Teorema de Fermat, de modo que tal Teorema abrange congruências de módulo primo ou não. Começaremos a seção com uma breve explanação sobre a função φ.
Definição 3.4. Se m é um inteiro positivo, a função φ de Euler,
denotada por φ(m), é definida como sendo o número de inteiros positivos menores do que ou iguais a m que são relativamente primos com m.
Pela definição anterior temos que
26
p
p
além disso, temos que φ ≤ m − 1, para todo m ≥ 2 e se m ≥ 2 então φ(m) = m − 1 se, e somente se, m é um número primo.
Teorema 3.2. Se p é primo e k ≥ 1, então
φ(pk) = pk − pk−1 = pk1 − 1
Demonstração. Perceba que (m, pk) = 1 se, e somente se, p ‡ m.
Entre 1 e pk existem pk−1 números que são divisíveis por p, tal que
p, 2p, 3p, · · · , (pk−1)p
com pα ≤ pk se, e somente se α = 1, 2, · · · , pk−1.
Daí, o conjunto {1, 2, · · · , pk} terá exatamente pk − pk−1 números que são relativamente primos com pk. Logo, por definição, temos que
φ(pk) = pk − pk−1 = pk1 − 1
Definição 3.5. Um sistema reduzido de resíduos módulo m é um conjunto de números inteiros
r1, · · · , rs tais que
(i) (ri, m) = 1, para todo i = 1, · · · , s;
ii) ri =/ rj(mod m) se i /= j;
iii) Para cada n ∈ Z tal que (n, m) = 1, existe i tal que n ≡ ri(mod m)
Proposição 3.1. Seja r1, · · · , rφ(m) um sistema reduzido de resíduos módulo m e seja a ∈ Z tal
que (a, m) = 1. Então, ar1, · · · , arφ(m) é um sistema reduzido de resíduos módulo m.
Demonstração. De fato seja a1, · · · , am um sistema completo de resíduos módulo m, donde foi
retirado o sistema reduzido de resíduos r1, · · · , rφ(m). Como (a, m) = 1, então (ai, m) = 1 se, e
somente se, (aai, m) = 1.
Exemplo 3.6. O conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é um sistema completo de resíduos módulo 10. Daí, segue que {1, 3, 7, 9} é um sistema reduzido de resíduos módulo 10. Isso se deve ao fato de que para se obter um sistema reduzido de resíduos de um sistema completo módulo m, basta retirar os elementos do sistema completo que não são relativamente primos com m.
27 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1 2
Teorema 3.3. A função φ de Euler é multiplicativa, isto é, se m e n são números naturais tais (m, n) = 1, então
φ(mn) = φ(m)φ(n). Demonstração. Se m = 1 ou n = 1 nada a se fazer.
Para m e n > 1 vamos considerar a seguinte tabela abaixo, onde pela definição de φ(mn) é o número de inteiros que são relativamente primos com mn.
1 2 · · · r · · · m m
+ 1 m + 2 · · · m + r · · · 2m
2m + 1 2m + 2 · · · 2m + r · · · 3m
. . . .
(n − 1)m + 1 n − 1)m + 2 · · · (n − 1)m + r · · · nm
Para calcular φ(mn) teremos que (l, mn) = 1 se, e somente se (l, n) = (l, m) = 1, ou seja, devemos determinar os inteiros que são simultaneamente primos com m e n.
Daí segue que se o primeiro elemento de uma coluna não for primo com n, então todos os demais elementos desta coluna não são primos com n. Isso implica que os elementos que são primos com n devem estar nas colunas restantes que são em número φ(n), cujos elementos são primos com n.
Temos que (m, n) = 1 a sequência k, n + k, · · · , (m − 1)n + k forma um sistema completo de resíduos módulo m, ou seja, φ(m) desses elementos são números primos com m.
Com isso podemos concluir que o número de elementos simultaneamente primos com n
e m é φ(m)φ(n).
Corolário 3.2. Se n = pα1 pα2 · · · pαk é a fatoração em primos de n, então:
1 φ(n) = n1 − p 1 1 − p 1 · · · 1 − p Demonstração. Pelo Teorema 2.3 teremos
φ(n) = φ(pα1 pα2 · · · pαk ) φ(n) = φ(pα1 )φ(pα2 ) · · · φ(pαk ) φ(n) = pα1−1(p1 − 1)pα2−1(p2 − 1) · · · pαk −1(pk − 1) φ(n) = pα1−1pα2−1 · · · pαk −1(p1 − 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1) 1 2 k 1 1 1 φ(n) = n1 − p 1 − p · · · 1 − p 1 2 k k
28 Exemplo 3.7. Calcule o φ(2021). Fatorando 2021 obtemos: 2021 = 43 . 47 Daí, Onde, φ(2021) = φ(43 . 47) = φ(43)φ(47) φ(43) = 43 − 1 = 42 φ(47) = 47 − 1 = 46 Portanto, φ(2021) = 42 . 46 = 1932 Exemplo 3.8. Calcule o φ(2160). Fatorando 2160 obtemos: 2160 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 5 = 24 . 33 . 5 Daí, Onde, φ(2160) = φ(24 . 33 . 5) = φ(24)φ(33)φ(5) φ(24) = (24 − 23) = 8 φ(33) = (33 − 32) = 18 φ(5) = 5 − 1 = 4
29
Portanto, φ(2160) = 8 . 18 . 4 = 576
Teorema 3.4. (Teorema de Euler) Se mdc(a, m) = 1, então
aφ(m) ≡ 1(mod m)
Demonstração. Tome {r1, · · · , rφ(m)} como um sistema reduzido de resíduos módulo m. Daí
segue que {ar1, · · · , arφ(m)} também forma um sistema reduzido de resíduos módulo m, como
isso temos que
r1 . r2 . · · · . rφ(m) ≡ ar1 . ar2 . · · · . arφ(m)
r1 . r2 . · · · . rφ(m) ≡ aφ(m)r1 . r2 . · · · . rφ(m)
Como mdc(r1 . r2 . · · · . rφ(m), m) = 1, pela lei do cancelamento obtemos exatamente
o teorema de Euler
aφ(m) ≡ 1(mod m).
Exemplo 3.9. Determine o resto da divisão de 52021 por 8. Como (5, 8) = 1 então podemos utilizar o Teorema de Euler. Sendo a = 5 e m = 8, vamos agora calcular o φ(8)
Segue que φ(8) = φ(23) = 23 − 22 = 4
Logo, o Teorema de Euler nos garante que 54 ≡ 1(mod 8) Elevando ambos os membros da congruência a 505, obtemos
(54)505 ≡ 1(mod 8)
52020 ≡ 1(mod 8)
Multiplicando ambos os membros da congruência por 5, ficamos com
52021 ≡ 5(mod 8)
30
4 APLICAÇÕES
4.1 APLICAÇÕES NO ENSINO MÉDIO
Neste capítulo apresentaremos algumas aplicações do conteúdo de aritmética modular que podem ser apresentados para discentes do ensino médio, nele mostraremos como criar um número de CPF (Cadastro de Pessoa Física) válido, ou verificar um número de CPF já existente, além das características de um código de barras e de como funciona a criptografia RSA. As principais referências utilizadas neste capítulo foram (COUTINHO,2014), (SANTOS,2018), (AVELAR,2015) e (ESQUINCA,2013).
4.1.1 Metodologia
Que a matemática está presente em nosso cotidiano não é uma surpresa, porém, muitas aplicações da matemática nos passam despercebidas, como por exemplo, os dígitos do nosso CPF, os códigos de barras de produtos e nossa segurança virtual por meio de senhas.
Partindo deste pressuposto, é de suma importância tentar entender o funcionamento de alguns fatos que ocorrem ao nosso redor. Diante disso, este trabalho surge como uma alternativa para compreender os exemplos citados. Para isso foi elaborado uma proposta de aplicação que envolvem os conteúdos de congruência e que podem ser trabalhados no ensino médio.
A proposta inicial é de que este trabalho seja dividido em quatro etapas, de modo que seja possível concluir tal aplicação em quatro aulas. Para atingir tal objetivo, o ideal é dividir a turma em grupos, pois o trabalho em equipe facilitará na resolução das atividades propostas.
Após a divisão dos grupos, é de suma importância que a primeira etapa que tratará dos conceitos básios tenha sido bem clara, pois tais conceitos serão necessários e fundamentais para toda a aplicação, visto que é a partir dele que será possível realizar as demais etapas.
Nas etapas seguintes, para uma maior agilidade, recomenda-se que o docente distribua todo o material necessário impresso, sendo essencial a explicação dos principais passos. Vale ressaltar que no material constará todo o passo a passo a ser seguido, de modo que o papal dos discentes será interpretar e adaptar para os problemas propostos para cada grupo. A seguir veremos com mais detalhes como será dividido cada etapa.
A primeira etapa consiste em introduzir aos discentes o conceito de congruência e apresentar de forma simples os pricipais resultados apresentados no trabalho, como por exemplo, o Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler.
Na segunda etapa serão apresentados problemas que envolvam o CPF, neste momento vale a pena indagar perguntas para motivar os discentes, como por exemplo, os números do CPF são aleatórios? Existe alguma regra para determinar tais números?
Em seguida o ideal é apresentar a proposta de modo que cada um seja capaz de identificar os números verificadores de seu próprio CPF, tendo como sequência o desafio de determinar os números verificadores do CPF de um colega.
31
de barras, indagar sobre o funcionamento e finalidade de um codigo de barras pode gerar motiviação nos discentes, como por exemplo, ler um código de barras de forma invertida altera a identificação do produto? E, qual a diferença de um código de barras para o outro?
Uma boa proposta de abordagem é levar produtos com os números do código de barras cobertos para que os discentes sejam capazes de identificar tais números utilizando todos os conceitos apresentados no trabalho.
Por fim, na quarta etapa do trabalho será apresentado aos discentes o método de cripto- grafia RSA, método que por si só é bastante atraente para o público jovem, uma vez que engloba a criptografia de mensagens e bastante tecnologia. A dica principal para a aplicação é utilizar números primos pequenos, de modo que os discentes consigam descriptografar as mensagens criadas com mais facilidade.
4.1.2 CPF
O CPF ou Cadastro de Pessoal Física é um número composto por 11 dígitos que tem como finalidade identificar pessoas. Destes 11 dígitos podemos detacar os 3 últimos, onde os dois últimos são os dígitos verificadores e o terceiro dígito da direita para a esquerda identifica a unidade federativa na qual a pessoa foi registrada. A tabela abaixo nos mostra o código de cada estado.
Tabela 1 – Código de cada Estado
0 Rio Grande do Sul
1 Distrito Federal, Goiás, Mato Grosso do Sul e Tocantins 2 Pará, Amazonas, Acre, Amapá, Rondônia e Roraima
3 Ceará, Maranhão e Piauí
4 Pernambuco, Rio Grande do Norte, Paraíba e Alagoas
5 Bahia e Sergipe
6 Minas Gerais
7 Rio de Janeiro e Espírito Santo
8 São Paulo
9 Paraná e Santa Catarina
Fonte: O autor (2021).
Exemplo 4.1. A pessoa portadora do CPF de número 000.000.006-00 foi registrada no estado de Minas Gerais.
Exemplo 4.2. A pessoa portadora do CPF de número 000.000.004-00 foi registrada em um desses quatro estados: Pernambuco, Rio Grande do Norte, Paraíba ou Alagoas
Para determinar os dígitos verificadores de um CPF existe toda uma matemática por trás, e ela envolve congruência modular. A seguir veremos como determinar tais números.
O primeiro passo para obter tais dígitos é multiplicar os 9 primeiros dígitos do CPF da esqueda para a direita pela seguinte sequência de números: 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8 e 9.
32
Em seguida devemos somar os produtos obtidos, chamaremos o resultado dessa soma de
S1. O primeiro dígito verificador será o número congruente a S1 módulo 11.
Analogamente o segundo dígito verificador pode ser obtido multiplicando os 10 primeiros dígitos do CPF pela sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, em seguida devemos somar os produtos obtidos, assim chamaremos o resultado dessa soma de S2. O Segundo dígito
verificador será o
número congruente a S2 módulo 11.
Traduzindo o que foi dito acima para uma linguagem matemática, teremos que o primeiro dígito verificador DV1 será obtido da seguinte forma:
S1 = 1 . a1 + 2 . a2 + 3 . a3 + 4 . a4 + 5 . a5 + 6 . a6 + 7 . a7 + 8 . a8 + 9 . a9
S1 ≡ DV1(mod 11)
E o segundo dígito verificador será obtido da seguinte forma:
S2 = 0 . a1 + 1 . a2 + 2 . a3 + 3 . a4 + 4 . a5 + 5 . a6 + 6 . a7 + 7 . a8 + 8 . a9 + 9 . a10
S2 ≡ DV2(mod 11)
Onde as sequências a1, a2, · · · , a9 e a1, a2, · · · , a10 são os dígitos do CPF.
Observação: Caso o número obtido for congruênte a 10 módulo 11, será utilizado o 0 como dígito verificador.
Exemplo 4.3. Determine os dígitos verificadores do CPF que possui a sequência 491633844 como os 9 primeiros dígitos.
Primeiro devemos multiplicar esses dígitos pelos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, obtendo o seguinte resultado:
S1 = 1 . 4 + 2 . 9 + 3 . 1 + 4 . 6 + 5 . 3 + 6 . 3 + 7 . 8 + 8 . 4 + 9 . 4
S1 = 206
E temos que
206 ≡ 8(mod 11) Logo, o primeiro dígito verificador deste CPF é 8. O segundo dígito verificador é encontrado fazendo:
S2 = 0 . 4 + 1 . 9 + 2 . 1 + 3 . 6 + 4 . 3 + 5 . 3 + 6 . 8 + 7 . 4 + 8 . 4 + 9 . 8
S2 = 236
E temos que
236 ≡ 5(mod 11) Logo, o segundo dígito verificador deste CPF é 5. Portanto o CPF completo é 491.633.844-85
33
4.1.3 Código de Barras
Não podemos questionar a importância do código de barras em nosso dia a dia, afinal ele está presente em todos os produtos que compramos, porém, qual seria a utilidade dele?
Basicamente o código de barras tem como principal finalidade identificar produtos, as barras são formadas a partir de um código binário, onde o número 1 representa as faixas pretas e o número 0 as faixas brancas. Quando uma faixa é mais grossa que as demais significa que existe um somatório de várias faixas da mesma cor, dessa forma o código de barras funciona como uma espécie de RG, visto que são únicos.
Com o avanço da tecnologia e a chegada dos leitores a laser a identificação de produtos por meio de código de barras se tornou quase instantânea, agilizando todo o processo de compras. Mas, como funciona o processo de leitura de um código de barras?
A grosso modo os leitores funcionam como um scanner, onde os mesmos emitem um raio que incide sobre as barras. Quando a barra é escura, a luz é absorvida e quando é branca é refletida para o scanner. Daí, a partir dessas informações o computador consegue decodificar o código binário e identificar o produto registrado.
Estados Unidos e Canadá utilizam códigos de barra do tipo UPC (Código Universal de Produtos), esse código de barras consiste de 12 dígitos, onde os números são colocados abaixo das listras, como podemos ver na figura abaixo.
Figura 1 – Código de barras do tipo UPC
Fonte: O autor (2021).
Os demais países utilizam o código EAN-13 (European Article Numbering system) que possui um dígito a mais, sendo este o dígito verificador. Neste código de barras em questão cada bloco numérico apresenta uma informação diferente, como, por exemplo, identificação do país, da empresa e do produto.
Veremos a seguir como são feitos a leitura e o cálculo do dígito verificador para os códigos de barras mencionados.
Vimos anteriormente que os códigos de barras representam números no sistema binário, agora veremos qual o número formado de acordo com cada tipo de barra. Veremos que existem barras finas, médias, grossas e muito grossas, que são responsáveis por determinar um certo número. Podemos ver qual o valor de cada barra a partir da tabela abaixo.
31
Figura 2 – Código de barras do tipo EAN-13
Fonte: Códigos de Barras Brasil (2021).
Tabela 2 – Valor correspondente das barras
Listras Finas Médias Grossas Muito Grossas
Branca 0 00 000 0000
Preta 1 11 111 1111
Fonte: Esquinca (2013).
A principal diferença entre o código de barras EAN-13 e o UPC é que as barras do tipo EAN-13 possuem três blocos de barras um pouco mais compridas que as outras, onde cada bloco possui três barras que servem como delimitadores e não representam números. Enquanto os delimitadores dos códigos de barra do tipo UPC são representados por barras maiores, onde o primeiro e o último dígito estão codificados com barras do mesmo tamanho das delimitadoras.
A seguir veremos como são realizadas as leituras de cada código de barras.
No código de barras do tipo UPC é feita a leitura referente a espessura e a cor das barras, de modo que a cada quatro barras será associado uma sequência de sete dígitos entre zeros e uns, onde cada digíto de 0 até 9 é representado por uma sequência de zeros e uns, como mostra a tabela abaixo.
Exemplo 4.4. Em um detemrinado código de barras do tipo UPC, aparece o seguinte número: 123601057072. Escreva tal número da forma binária utilizando os dados da Tabela 3. Primeiro devemos verificar quais números pertencem ao lado esquedo e quais pertencem ao lado direito, daí temos que:
32 Tabela 3 – Valor correspondente a cada dígito no UPC
Dígito Lado Esquerdo Lado Direito
0 0001101 1110010 1 0011001 1100110 2 0010011 1101100 3 0111101 1000010 4 0100011 1011100 5 0110001 1001110 6 0101111 1010000 7 0111011 1000100 8 0110111 1001000 9 0001011 1110100 Fonte: Esquinca (2013). Lado esquerdo: 123601 Lado direito: 057072
Com isso, basta escrevermos tais números individualmente em sua forma binária pelos dados da Tabela 3, daí obtemos:
0011001 - 0010011 - 0111101 - 0101111 - 0001101 - 0011001 - 1110010 - 1001110 - 1000100 - 1110010 - 1000100 - 1101100
Onde tal código binário é representado pelo seguinte código de barras:
Figura 3 – Código de barras ex 3.4
Fonte: O autor (2021).
Assim como no UPC os códigos de barra do tipo EAN-13 também são representados por zeros e uns. Por possuir um dígito a mais e para que uma mesma leitura seja capaz de identificar códigos de barras de ambos os sistemas, temos que o primeiro dígito que aparece no sistema EAN-13 é definido pelos 6 dígitos seguintes. Por conta disso é preciso acrescentar dados a mais para cada dígito do lado esquerdo como mostra a tabela abaixo.
33 Tabela 4 – Valor correspondente a cada dígito no EAN-13
Dígito Lado Esquerdo (Ímpar) Lado Esquerdo (Par) Lado Direito
0 0001101 0100111 1110010 1 0011001 0110011 1100110 2 0010011 0011011 1101100 3 0111101 0100001 1000010 4 0100011 0011101 1011100 5 0110001 0111001 1001110 6 0101111 0000101 1010000 7 0111011 0010001 1000100 8 0110111 0001001 1001000 9 0001011 0010111 1110100 Fonte: Esquinca (2013).
Um cuidado importante que deve-se tomar ao decodificar um código de barras EAN-13 é observar a quantidade de números uns de cada dígito, caso a quantidade de uns seja ímpar deve-se procurar na tabela acima a sequência correspondente ao Lado Esquerdo (ìmpar), do contrário a sequêcia desejada estará no Lado Esquerdo (Par). A leitura do lado direito é análoga ao sistema UPC.
Exemplo 4.5. Determine a codificação do seguinte código de barras
Figura 4 – Código de barras ex 3.5
Fonte: O autor (2021).
O primeiro passo é analisar as barras utilizando os dados da Tabela 2.
Vale ressaltar que as barras maiores não são consideradas para codificar os números. Perceba então que logo após as barra maiores temos:
Barra branca fina → 0 Barra preta média → 11 Barra branca fina → 0 Barra preta grossa → 111
34
Fazendo o mesmo procedimento com as demais barras, encontraremos os dados presentes na tabela a seguir:
Tabela 5 – Descodificação do ex 3.5
Lado Esquerdo Lado Direito
1o 8 ←→ 0110111 (Quantidade ímpar de
uns) 7
o 0 ←→ 1110010
2o 9 ←→ 0010111 (Quantidade par de uns) 8o 5 ←→ 1001110
3o 1 ←→ 0011001 (Quantidade ímpar de
uns) 9
o 5 ←→ 1001110
4o 1 ←→ 0110011 (Quantidade par de uns) 10o 8 ←→ 1001000
5o 5 ←→ 0110001 (Quantidade ímpar de
uns) 11
o 7 ←→ 1000100
6o 0 ←→ 0000101 (Quantidade par de uns) 12o 2 ←→ 1101100
Fonte: O autor (2021).
A tabela abaixo nos mostra que a paridade da quantidade de números uns que aparecem na representação dos seis primeiros dígitos irá determinar o primeiro dígito do código de barras EAN-13.
Tabela 6 – Paridade da codificação
Dígito Inicial 1o 2o 3o 4o 5o 6o
0 ímpar ímpar ímpar ímpar ímpar ímpar
1 ímpar ímpar Par ímpar Par Par
2 ímpar ímpar Par Par ímpar Par
3 ímpar ímpar Par Par Par ímpar
4 ímpar Par ímpar ímpar Par Par
5 ímpar Par Par ímpar ímpar Par
6 ímpar Par Par Par ímpar ímpar
7 ímpar Par ímpar Par ímpar Par
8 ímpar Par ímpar ímpar Par ímpar
9 ímpar Par Par Par Par ímpar
Fonte: Esquinca (2013).
Agora perceba que nossa sequeência encontrada possui a seguinte paridade Ímpar, par, Ímpar, Par, Ímpar, Par
Portanto, pela tabela 6, teremos que o primeiro dígito de fato é 7. 4.1.4 Criptografia RSA
O termo criptografia nos remete a algo moderno, como por exemplo, mecanismos para proteger senhas ou conversas. Entretanto, desde a antiguidade o homem já utilizava códigos para transmitir mensagens, onde basicamente alguém que possuisse tal código poderia distorcer uma deterinada mensagem de modo que apenas quem conhecesse esse código fosse capaz de indentificá-la.
35
Quando falamos de RSA, temos que ter em mente que esse método de criptografia possui duas chaves, onde uma chave é pública, ou seja, qualquer pessoa pode utilizar para criptografar mensagens e outra chave é privada, de modo que apenas quem possuir tal chave será capaz de descriptografar a mensagem.
Apesar de existirem diversos métodos de criptografia, o RSA é o mais utilizado atualmente em aplicações comerciais, com ele é possível criar criptografias com diversos graus de segurança. Tendo em vista sua importância, para compreender tal médoto precisamos nos ater em dois parâmetros básicos: para codificar uma mensagem precisamos de dois números primos, que chamaremos de p e q, de modo que conheçamos seu produto, do qual chamaremos de n. E para descodificar a mensagem iremos precisar conhecer apenas quem são os primos p e
q.
Tome como exemplo um determinado aplicativo de troca de mensagens, agora suponha que para um usuário enviar a mensagem para outro o mesmo precisa conhecer o número n = pq, ou seja, tal chave é uma chave pública, onde todos os usuários a conhecem. Sendo n a chave pública, para que um indíviduo de fora do aplicativo consiga descriptografar a mensagem, ele precisa apenas determinar os primos p e q que constituirão a chave de decodificação.
Aparentemente o método se mostra fraco, visto que para decifrar o código basta apenas fatorar o número n em componentes primos, porém, o RSA utiliza primos muito grandes chegando a 150 algarismos ou mais, de modo que para fatorar tal número é uma tarefa quase impossível, isso levando em conta os métodos atuais.
Dividiremos o método de criptografia RSA em algumas partes, seja a primeira delas chamada de etapa de pré-codificação, e suponha que a mensagem a seguir não possui números, acentuação nem pontuação, e suponha que sejam utilizadas apenas letras maiúsculas de A a Z, onde os espaços entre as palavras serão substituidos pelo número 99.
Tome a tabela abaixo como sendo nossa tabela de conversão, perceba que cada letra corresponde a um número de dois algarismos para evitar ambiguidade.
Tabela 7 – Tabela de conversão
A B C D E F G H I J K L M
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
N O P Q R S T U V W X Y Z
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 Fonte: O autor (2021).
Convertendo a frase Tenha Coragem, obtemos o seguinte número
29142317109912242710161422
Para darmos continuidade no método RSA vamos usar um exemplo em que p = 11 e q = 13, assim n = 143. Daí a mensagem acima convertida e quebrada ficará com os seguintes blocos:
36
Perceba que a forma de formar os blocos não é única, porém precisamos tomar alguns cuidados, é muito importante que os blocos não comecem com 0, pois dessa forma teríamos problemas na hora de decodificar a mensagem. Por esse motivo no exemlo acima não fizemos
29 − 142 − 21 − 71 − 099 − · · ·
Após a pré-codificação, a próxima fase é a de codificação. E para essa etapa, precisaremos de n que é o produto dos nossos primos p e q e de um inteiro positivo t que deve ser inversível módulo φ(n), ou seja, mdc(t, φ(n)) = 1.
Temos que φ(n) é da seguinte forma
φ(n) = (p − 1)(q − 1)
ou seja, se conhecermos p e q podemos calcular facilmente φ(n).
Daí, a chave de codificação RSA será denotada pelo par (n, t). Em seguida vamos chamar de C(b) o bloco codificado, tal que b ∈ Z∗
+ e b/, n. Logo, C(b) ≡ bt(mod n), onde 0 ≤
C(b) < n.
Em nosso exemplo, temos que p = 11 e q = 13, assim, n = 143 e
φ(n) = (11 − 1)(13 − 1) = 10 . 12 = 120. para escolher t vamos utilizar o menor valor
possível, e esse valor será o 7, pois é o menor primo que não divide 120. Agora veja como fica o bloco 29 da mensagem do nosso exemplo após ser codificada.
C(29) ≡ 297 ≡ (29)5 . (29)2(mod 143) ≡ (29)5 . 841(mod 143) ≡ (29)5 . 126(mod 143) ≡ 29 . 126 . 126 . 126(mod 143) ≡ 79 . 126 . 126(mod 143) ≡ 87 . 126(mod 143) ≡ 94(mod 143)
Logo, podemos substituir o antigo bloco 29 pelo bloco 94 que já está codificado. Fazendo isso nos demais blocos ficamos com a seguinte mensagem codificada:
94 − 142 − 125 − 6 − 10 − 44 − 34 − 81 − 6 − 62 − 74 − 81 − 128
Para decodificar está mensagem precisamos saber a informão contida no par (n, s), onde
d é o inverso de t módulo φ(n), daí o par (n, d) será chamado de chave de decodificação. Sendo D(a)
o resultado do processo de decodificação, segue que D(a) é dado por
D(a) ≡ ad(mod n), onde 0 ≤ D(a) < n.
Conhecendo φ(n) e o número d basta aplicar o Teorema de Bezout para decodificar, porém, caso não conheçamos p e q o cálculo de d será quase impossível.
37
Pelo nosso exemplo temos que n = 143 e t = 7. Daí, aplicando o Teorema de Bezout para calcular d, teremos que dividir φ(143) por 7, onde obtemos que
120 = 7 . 17 + 1
ou seja,
1 = 120 + (−17) . 7.
Com isso, temos que o inverso de 7 módulo 120 é -17. Mas, como queremos d positivo basta fazermos d = 120 − 17 = 103 que é o menor inteiro positivo congruente a -17 módulo 120.
Portanto, pada decodificar o bloco de mensagem codificada, precisamos calcular a forma reduzida de ad módulo n. Assim, pelo nosso exemplo anterior, se quisermos decodificar dentre os blocos
codificados o bloco 142, teremos que calcular a forma reduzida de 142103 módulo 143, porém, esse cálculo só é possível utilizando um sistema de computação algébrica, daí poderíamos verificar que de fato 142103 ≡ 142(mod 143).
38
5 CONCLUSÃO
Podemos concluir a partir deste trabalho que a aritmética modular é de grande importância para o ensino da matemática, conceitos como congruência possuem uma vasta aplicação em nosso cotidiano e isso deve ser utilizado com mais frequência pelo docente.
Foram apresentadas no trabalho três aplicações que envolvem aritmética modular e que estão diretamente ligadas ao cotidiano de qualquer cidadão, problemas estes que podem ser propostos e adaptados para que discentes do ensino médio sejam introduzidos a estes conceitos.
Portanto, apesar de muito amplo, é possível trabalhar conceitos de aritmética modular presentes em nosso dia a dia por meio de aplicações, tornando a aprendizagem mais simples e prática, vale ressaltar ainda que diversos conceitos já são trabalhados no ensino médio, porém muitas vezes sem citar diretamente o conteúdo de congruência, como por exemplo, as potências de números complexos que podem ser trabalhadas como uma congruência de módulo 4.
39 REFERÊNCIAS
ARAÚJO, J. E. de. Divisibilidade, congruência e aritmética modular em problemas olímpicos. 2018. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, PB, 2018.108p. Disponível em:
http://dspace.sti.ufcg.edu.br:8080/jspui/handle/riufcg/2291. Acesso em: 15 jan. 2021.
AVELAR, R. C. Uma abordagem da aritmética modular na primeira série do ensino médio.2015. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Instituto de Ciêncis Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, MG, 2015. 54p. Disponível em:https://repositorio.ufjf.br/jspui/handle/ufjf/336. Acesso em: 20 jan.2021.
CÓDIGOS DE BARRAS BRASIL. Como os códigos de barra funcionam? São Paulo: Códigos de Barras Brasil,2021. Disponível em:
https://codigosdebarrasbrasil.com.br/como-coacutedigos-de-barras- funcionam.html. Acesso em: 12 jan.2021.
COUTINHO, S. C. Números inteiros e criptografia RSA. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.
ESQUINCA, J. C. P. Aritmética : códigos de barras e outras aplicações de congruências. 2013. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Programa de Pós-Graduação em Matemática, Centro de Ciência e Tecnologia, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, MS, 2013. 73p. Disponível
em:https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/1746. Acesso em: 15 jan. 2021.
FEITOSA, S. Curso de teoria dos números: nível 2: o teorema de Euler. [s. l.]: Polos Olímpicos de Treinamento,2012. (Apostila). Disponível em:
https://poti.impa.br/uploads/material_teorico/gws18uwsrjswk.pdf. Acesso em: 15 jan. 2021.
SANTOS, J. P. O. Introdução à teoria dos números.1 ed. Rio de Janeiro: SMB, 1998.
SANTOS, M. C. S. Criptografia RSA.2018. Trabalho de Conclusão de Curso ( Licenciatura em Matemática) - Universidade Federal de Alagoas, Arapiraca,2018. 42p. Disponível em: https://ud10.arapiraca.ufal.br/repositorio/publicacoes/1941. Acesso em: 20 jan. 2021.
