Notas para Hemodinâmica

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

Notas para Hemodinâmica

 

 

P.J. Oliveira

(Novembro 2018)

Departamento de Engenharia Electromecânica

6201-001 Covilhã

Conteúdo    1. Noções básicas de mecânica dos fluidos ……….…..………...5    2. Noções básicas de fluidos não newtonianos ………...….……….21    3. Equações da mecânica de fluidos ….………..…...….………37    4. Equações do movimento sob forma geral …..……..…...….………45    5. Viscosidade do sangue ………..…..……..…...….………55    6. Resolução das equações do movimento com método dos volumes finitos ………63    7. Escoamento pulsante em tubo ………75    8. Utilização de grandezas adimensionais – Normalização das equações ………..83    9. Fluxo de sangue em tubo circular ……….………91    Este documento reúne algumas notas dispersas que tinham sido preparadas para as unidades  curriculares  de  Hemodinâmica  e  de  Biotransporte  do  curso  de  Ciências  Biomédicas  e  que  foram adaptadas para serem estudadas como um todo. A bibliografia indicada na disciplina de  Hemodinâmica  é a  seguinte: 

 “Alguns Conceitos Básicos de Hemodinâmica”, F.T. Pinho, FEUP, Abril 2009. 

 “Biofluid Mechanics in Cardiovascular Systems”, Lee Waite, McGraw‐Hill, 2006. 

 “Applied Biofluid Mechanics”, Lee Waite e Jerry Fine, McGraw‐Hill, 2007. 

 “Modelling  the  Human  Cardiac  Fluid  Mechanics”,  H.  Oertel,  Univ.  Karlsruhe, 

2005. 

 “O Livro de Coração”, Fernando de Pádua, Academia do Livro, 2008. 

1. Noções Básicas de Mecânica dos Fluidos 

 

1.1 Propriedades materiais básicas 

Neste  estudo  iremos  considerar  materiais  que  em  geral  se  comportam  como  fluidos,  isto  é,  que se deformam continuamente quando sujeitos a uma força transversal (força de corte).  As  propriedades  básicas  de  um  material  com  interesse  para  a  mecânica  dos  fluidos  são  a  massa  volúmica, 



,  e  a  viscosidade, 



  ou 



.  A  massa  por  unidade  de  volume  da  água  a  temperatura normal (25ºC) é 





1000

 kg/m3; para o sangue 





1060

 kg/m3. A viscosidade  é  a  propriedade  relacionada  com  a  maior  ou  menor  facilidade  de  escorregamento  de  um  material,  ou  seja  é  uma  medida  da  sua  fluidez:  quanto  mais  viscoso,  menor  é  a  fluidez  do  material. Para uma determinada temperatura, a viscosidade é constante quando esse material  tem comportamento newtoniano. Neste caso usa‐se o símbolo 



 para a viscosidade. Quando  o comportamento é não newtoniano o coeficiente de viscosidade pode variar com o estado de  deformação do material e a viscosidade deixa de ser “constante”; neste caso usa‐se o símbolo 



 para representar a viscosidade.  

Ar  e  água  são  dois  exemplos  de  fluidos  newtonianos,  sendo  amplamente  utilizados  em  aplicações  da  mecânica  de  fluidos  em  áreas  da  engenharia.  Qualquer  fluido  constituído  por  moléculas simples e de baixo peso molecular, sem formação de estruturas internas, comporta‐ se em condições usuais como um fluido newtoniano (a definição exacta do que é newtoniano  é dada pela Eq. 1 abaixo). Por outro lado, materiais com uma microestrutura interna complexa  ou  formados  por  constituintes  de  elevado  peso  molecular  têm  tendência  a  comportar‐se  de  forma  não  newtoniana.  A  viscosidade  da  água  é 





10

3  Pa.s  a  25ºC,  diminuindo  para 

3

0.695 10



_

_



  Pa.s  a  37ºC,  e  a  do  sangue,  assumido  como  fluido  newtoniano  (uma  aproximação que só é válida em casos restritos), é  3

3.5 10



_

_

  Pa.s a 37ºC. A viscosidade do  ar, em condições padrão, é aproximadamente 



 

2 10

5 Pa.s.   A unidade de viscosidade no sistema internacional (MKS) é o Pascal x segundo: Pa.s = N.s/m2 =  Kg/(m.s).  Para  evitar  a  utilização  de  valores  muito  pequenos  pode  usar‐se  o  mili  Pascal  segundo, mPa.s = 0.001 Pa.s. Em alternativa usa‐se com frequência (sobretudo em aplicações  biomédicas)  a  unidade  de  viscosidade  do  sistema  CGS  (com  base  em  centímetros,  gramas  e  segundos), o Poise P. Tem‐se 1 P= 0.1 Pa.s, ou 1 Pa.s = 10 P. O centi Poise, cP=0.01 P, é igual ao  mPa.s.  É  fácil  recordar  que  em  condições  de  temperatura  normais  a  viscosidade  da  água  é 

1





mPa.s = 1 cP.         1.2 Escoamento de Couette  A viscosidade é determinada a partir de uma experiência (teórica) em que camadas de fluido  deslizam umas sobre as outras ao longo de uma determinada direcção. A este arranjo chama‐ se escoamento de Couette e está representado na Fig. 1 a. O material (um fluido, por exemplo)  é  colocado  entre  duas  placas  paralelas  e  aplica‐se  uma  força  constante  à  placa  superior  de  forma a esta se mover para a direita a uma velocidade constante. A placa inferior mantém‐se  em repouso, e o espaçamento entre as placas, h, mantém‐se constante. 

Mostra‐se  (ver  abaixo)  que  neste  escoamento  a  tensão  a  que  cada  camada  de  fluido  está  submetida  é  constante,  que  a  taxa  de  deformação  é  também  constante  e  que  o  perfil  de 

velocidades  é  linear.  Pode‐se  assim,  através  de  várias  medições  com  este  escoamento,  relacionar a tensão com a taxa de deformação.    (a) x y u(y) U h F



       (b)    x y u(y+y) u(y) y   Fig. 1‐ (a) Escoamento de Couette plano: perfil de velocidades e definição da deformação de corte 



.  (b) esquema local das camadas de fluido com velocidades diferentes para definir a taxa de corte 





.      Um fluido newtoniano é definido através da lei da viscosidade de Newton:    

 

 

,      (1)  Esta equação define a viscosidade como a constante de proporcionalidade entre a tensão   e  a  taxa  de  deformação  de  corte 





.  A  taxa  de  corte  local  é  definida  como  a  diferença  entre  velocidades para duas camadas separadas pela distância 



y

(Fig. 1 b):     0

(

)

( )

lim

y

u

u

u y

y

u y

y

y

y



 









  





_



_



_





_



      (2)  Para o escoamento de Couette temos:    tensão:

F

A





=  força / área de contacto, [N/m2]=[Pa];       (3)    taxa de corte: 

u

U

y

h













 = gradiente de velocidade =  velocidade placa / espaçamento, [1/s].        (4)    Demonstrações  A taxa de deformação de corte 





, além de representar o gradiente de velocidades, é também  a taxa de variação temporal da deformação de corte ou distorção 

d



/

dt

. A distorção 



 é o  ângulo formado entre uma linha de fluido que no tempo inicial é perpendicular aos planos das  paredes (Fig. 1 a) e que após um certo intervalo de tempo t forma uma linha inclinada com a  vertical. Nesse intervalo de tempo a camada de fluido colada à parede superior em movimento  percorreu uma distância 

l



Ut

 e a tangente do ângulo é:   

tan( )

l

Ut

h

h



 

      (5) 

  Para intervalos de tempo pequenos, 

t

 

t

, e ângulos pequenos, 

 



, temos   

tan(

)

U t

h







   

    0

lim

t

U

t

h





 







 

_

_











      (6)  onde a taxa de deformação, ou deformação por unidade de tempo, é definida como: 

/

d

dt









.      (7)    x y u(y) U h h 0 (y) x y   Fig. 2‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a vermelho) em escoamento de Couette.    Para mostrar que neste escoamento a tensão é constante faz‐se o balanço de forças sobre um  elemento  de  fluido  de  forma  paralelipipédica,  com  altura 

y

,  comprimento 



x

  e  espessura 

z



,  situado  entre 

y



0

  e 

y



y

(Fig.  2).  Considerando  que  não  existem  forças  normais  de  pressão, as únicas forças aplicadas são as resultantes das tensões de corte nas faces superior e  inferior do paralelipípedo, com componentes segundo 

x

 de:  0

( )

yx

y

x z

x z



    



  



yx

( )

y





0



Cte

        (8) 

onde 



0 é a tensão constante que a parede inferior exerce sobre o fluido, em

y



0

. Fica assim 

provado que a tensão de corte, que designamos simplesmente por 

 



yx, não depende da 

posição 

y

, sendo a tensão exercida pela placa superior sobre o fluido 



h , segundo 



x

, igual 

à  tensão 



0,  com  direcção 



x

.  Uma  outra  forma  de  verificar  a  constância  da  tensão  é 

escrever as equações de movimento para o escoamento de Couette e verificar que se reduzem  a 





yx

/

 

y

0

; por consequência 



yx é constante. 

Na análise clássica do escoamento de Couette assume‐se à partida que o perfil de velocidades  é linear, ou seja:   

u y

( )



Ay



B

       (9)  Aplicando as condições de não escorregamento, tem‐se para a parede inferior estacionária, 

0

u



 para 

y



0

      (10a)  e para a parede superior em movimento uniforme,   

u



U

 para 

y



h

.      (10b) 

o que fornece imediatamente  

B



0

 e 

A U h



/

. Por isso o perfil de velocidades vem dado  por:   

u y

( )

U

y

h



      (11)  com um gradiente de velocidades 

du dy

/



U h

/

 constante e igual à taxa de deformação de  corte 





 (ver Eq. 6).  Outra forma de se chegar a este resultado é considerando que para cada  fluido existe uma relação biunívoca entre tensão e taxa de deformação,   





f

( )





 









f

1

( )



      (12) 

Assim,  se 



  é  constante,  como  se  mostrou  acima,  então 





  é  também  constante.  Logo,  por  integração da definição 





  

u

/

y

, com as condições fronteira de não escorregamento, tem‐ se de imediato:   

u

Cte

y













   

  

u



y

  com 







U h

/

.       (13)    1.3 Viscosidade  A viscosidade surge como a “constante” de proporcionalidade entre a tensão de corte aplicada  sobre um elemento de fluido e a sua taxa de deformação de corte. Em geral escreve‐se   

 

 

      (14)  onde 



 é o coeficiente de viscosidade. De acordo com os resultados da secção anterior para  escoamento  de  Couette,  a  viscosidade  é,  fisicamente,  a  razão  entre  a  força  aplicada  por  unidade de área da placa superior, e a velocidade a que esta se move dividida pela separação  entre placas: 

  Viscosidade = (força/área) / (velocidade/separação).        (15)  Se o coeficiente de viscosidade for constante, não dependendo do estado de deformação do  fluido,  diz‐se  que  se  trata  de  um  fluido  newtoniano  e  usa‐se  a  letra 



  para  indicar  a  viscosidade.  Uma  generalização  óbvia  do  fluido  newtoniano  é  tomar 



  como  uma  função  genérica da taxa de deformação 





, isto é 

 

  



 



      (16) 

Estes  fluidos  denominam‐se  fluidos  não  newtonianos  de  tipo  GNF  (Generalized  Newtonian  Fluids),  ou  fluidos  newtonianos  generalizados.  O  caso  mais  comum  é  o  de  fluidos  em  que  a  viscosidade diminui quando a taxa de corte aumenta  

 

 

 





 com 







      (17) 

que se designam como fluidos reofluidificantes (shear‐thinning, em inglês). O sangue é deste  tipo, assim como as soluções poliméricas, por exemplo. A designação antiga para esta classe  de materiais era de pseudoplásticos.  

O caso inverso é o de fluidos em que a viscosidade aumenta com a taxa de corte, 

 

 

 





 com 







      (18) 

que  são  designados  como  fluidos  reoespessantes.  A  designação  antiga  era  de  fluidos  dilatantes. O exemplo clássico é o de uma suspensão de grãos de areia em água líquida (areia  movediça).    





newtoniano

.

reofluidificante reoespessante Bingham



0   Fig. 3‐ Comportamentos reológicos típicos no diagrama tensão – deformação.   

Portanto,  para  um  material  newtoniano  a  tensão  aumenta  linearmente  com  a  taxa  de  deformação, sendo nula quando esta é nula. Para um material não newtoniano reofluidiciante  a tensão de corte apresenta um aumento com a taxa de  deformação que é inferior a linear.  Para um material reoespessante o aumento é superior a linear. Tanto o reofluidificante como  reoespessante  têm  tensão  nula  para  taxa  de  deformação  nula.  A  Fig.  3  ilustra  graficamente  este  comportamento.  Inclui  ainda  um  outro  tipo  de  material  designado  como  plástico  de  Bingham, ou material com tensão de cedência. Nestes materiais (por vezes designados como  viscoplásticos),  o  comportamento  é  de  sólido  indeformável  enquanto  a  tensão  é  inferior  à  tensão de cedência (



0), e de líquido newtoniano para valores superiores da tensão.  O sangue 

apresenta  este  tipo  de  comportamento,  embora 



0  seja  pequeno;  outros  exemplos  são  a 

pasta de dentes e a maionese.   

A ciência que estuda o escoamento e a deformação dos materiais chama‐se Reologia. Daí as  designações  de  reofluidificante  e  reoespessamte  para  materiais  que  ficam  mais  fluidos,  ou  mais espessos, quando sujeitos a deformação. À Reologia cabe a medição da viscosidade, e de  outras propriedades materiais que servem para caracterizar o escoamento e a deformação dos  vários materiais. 

 

1.4 Medição de viscosidade 

Na  prática  a  utilização  do  escoamento  de  Couette  plano,  como  o  da  Fig.  1,  para  medir  a  viscosidade de  um  material não  é  viável porque  se  torna  impossível  limitar  o  dispositivo.  No  entanto, um escoamento semelhante em coordenadas cilíndricas é já susceptível de realização  prática.  Um  viscosímetro  de  copos  rotativos  consiste  em  dois  cilindros  verticais  concêntricos  que podem ser submetidos a um movimento de rotação, em simultâneo ou só um deles. Estes  cilindros  estão  separados  por  um  espaçamento  muito  pequeno  em  relação  ao  seu  raio.  O  material  cuja  viscosidade  se  pretende  medir  é  colocado  no  espaço  entre  os  cilindros,  no  arranjo mais comum o cilindro exterior é submetido a uma rotação com velocidade angular 



,  

e  o  binário  necessário  para  manter  o  cilindro  interior  fixo  é  medido 

T

.  A  relação  entre  o  binário e a velocidade de rotação permite obter a viscosidade.     (a) fluido testado rotação separação R₂ R_{1  (b)} R₁ R₂ ₂         (c)      R2 r U2 2 R₁ u(r)   Fig. 4‐ Viscosímetro de copos concêntricos (a), escoamento de Couette circular (b), detalhe do perfil de  velocidades (c).   

A  Fig.  4  mostra  esta  geometria.  Quando  a  separação  entre  cilindros  é  pequena, 

2 1 1

h



R



R



R

 , as fórmulas dadas acima para a geometria plana de Couette continuam a  ser  válidas.  Relembramos  que  um  binário  é  uma  força  multiplicada  pelo  braço  ou  raio  de  rotação, 

 

T



Fr

      (19) 

e que velocidade linear e velocidade angular estão relacionada por: 

 

u





r

       (20) 

em movimento rotativo circular de corpo sólido. Chama‐se a atenção de que a velocidade do  fluido  contido  no  espaço  anular  da  Fig.  4  (c)  não  segue  esta  expressão  simples,  mas  a  velocidade  da  cilindro  exterior  pode  ser  calculada  com  base  nesta  equação:   

U

2





R

2.  No 

escoamento de Couette circular (Fig. 4 b) o binário conserva‐se, ou seja o binário aplicado no  cilindro exterior é igual ao binário que o fluido exerce sobre o cilindro interior: 

 

T

2



F R

2 2 e 

T

1



F R

1 1 com 

T

2



T

1      (21) 

Para que o cilindro interior fique estacionário (não se mova), é necessário que lhe seja aplicado  um  binário  igual  a 

T

1  mas  de  sentido  contrário.  Este  será  o  binário  medido  pelo  aparelho  e 

relaciona‐se  com  a  viscosidade  da  seguinte  forma.  A  taxa  de  corte  é  aproximadamente  constante sendo obtida de:    2 2 2 1

U

R

R

R

h













      (22)  Da Eq. (14), a viscosidade vem:    2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1

/

/ 2

/

/

2

F A

T

LR

T h

U

h

R

h

R R L













 







  E a expressão final, com diâmetros em lugar de raios, é 

  1 3 3 2 1 1

4

4

(1 2

)

T h

T h

h

_{D L}

D L

D













      (23) 

onde  a  aproximação  na  igualdade  da  esquerda  se  baseia  em 

h D 

/

1

1

  e  se  usam  valores 

nominais  para  o  diâmetro 

D

,  o  binário 

T

(torque)  e  a  velocidade  angular 



.  Esta  é  relacionada com a frequência 

f

 [

s

1]=[Hz] através de:   

2

2

[

]

60

n rpm

f











      (24)  onde 

n

 é o número de rotações por minuto impostas ao cilindro exterior.    1.5 Escoamento laminar em tubos  Uma aplicação biomédica óbvia da mecânica dos fluidos é o estudo do movimento do sangue  nas  artérias  e  veias  do  corpo  humano.  Se  modelarmos  estes  vasos  como  tubos  de  secção  circular, e se considerarmos que as velocidades são relativamente baixas de forma ao regime  de  escoamento  ser  laminar  (definição  abaixo)  então  será  útil  obtermos  expressões  que  permitam  calcular  o  caudal  volumétrico  que  existe  para  uma  certo  gradiente  de  pressões  aplicado ou, por exemplo, calcular a tensão de corte na parede. Em capítulos posteriores estes  resultados serão obtidos novamente a partir das equações diferenciais básicas que regem os  movimento dos fluidos.    z u(r) D O parede eixo simetria r   Fig. 5‐ Detalhe do escoamento em tubo circular.   

A  Fig.  5  mostra  o  esquema  da  geometria  com  simetria  cilíndrica.  O  tubo  tem  diâmetro 

/ 2

D



R

,  onde 

R

  é  o  raio,  e  assume‐se  que  o  escoamento  está  completamente  desenvolvido, não havendo por isso variações das propriedades ao longo da direcção axial do  tubo, 

z

. Como se verá, o perfil de velocidades 

u r

( )

 é então parabólico, isto é 

u r

( )



r

2.    

p z h z u(r) 1 2 -dp/dz=Cte U

reservatório tubo circular

z0

 

Fig. 6‐ Geração de escoamento completamente desenvolvido em tubo circular. O perfil de velocidades  parabólico acontece quando o decaimento da pressão é linear ao longo do tubo. 

 

A  Fig.  6  mostra  um  dispositivo  que  permitiria  criar  um  escoamento  completamente  desenvolvido num tubo. A pressão na secção à entrada do tubo é igual ao peso da coluna de  água  desde  esse  ponto  até  à  superfície  livre  do  tanque, 

p

2



p

1





gh

.  Se  o  tanque  for 

considerado  de  grandes  dimensões  comparativamente  ao  tubo,  essa  pressão  irá  manter‐se  constante durante o escoamento. O líquido dentro do tubo é submetido ao um diferencial de  pressões e começa a movimentar‐se. O perfil de velocidades é inicialmente de tipo “tampão”  (perfil uniforme), evoluindo para uma forma parabólica à medida que a secção onde o perfil é  obtido  se  afasta  da  secção  de  entrada.  A  partir  de  determinada  distância 

z

0o  perfil  de 

velocidades deixa de mudar de forma, e mantém‐se constante. A variação da pressão é então  linear, isto é 



dp dz

/



Cte



P

. Diz‐se que se atingiu o desenvolvimento completo. 

 

z

u(r)

D=2R O parede eixo simetria

r

p

₂

p

1

z



z

r

Elemento fluido A_t=2rz A=r2 força z: F_z=Ap-At=0 p=p1-p2   Fig. 7‐ Balanço de forças sobre elemento de fluido (a azul).   

Um  balanço  de  forças  a  uma  porção  cilíndrica  de  fluido  de  raio 

r

  e  comprimento 



z

,  mostrado a azul na Fig. 7, dá: 

 

 

2

t

A

pA

p

r

A  área  de  contacto  onde  a  tensão  de  corte  (assumida  como  positiva  na  direcção 



z

)  está  aplicada é 

A

t



2



r z



 e o balanço reduz‐se a:    1 1 2 2

p

r

Pr

z











  1 2

Pr



 

      (25)  onde 

P

 

dp dz

/

 é a magnitude do gradiente de pressão aplicado, a força motriz para gerar  o movimento. 

P

 é constante e tem valor positivo para escoamento a processar‐se na direcção 

z



. Esta expressão permite desde logo calcular a tensão de corte na parede, 



w





(

r



R

)

:    1 2 w

PR





      (26)  Para se obter o perfil de velocidades integra‐se a expressão anterior, após substituir   pela lei  de Newton da viscosidade, com 





 

du dr

/

 (para que 



 seja positivo): 

  1 2

du

Pr

dr





 



 

2

du

P

r

dr





 

 

2

P

du

rdr





_

 

_

  que dá:    2 1

4

P

u

r

C



 



  Usando a condição fronteira de não escorregamento na parede, temos:   

0

2 1

4

P

R

C



 



  1 2

4

P

C

R







  e o perfil fica:    2 2

1

4

PR

r

u

R





_{ }







_



_{ }



_

 





    2 0

1

r

u

U

R



_{ }



 



_



_{ }



_

 





      (27)  onde a velocidade máxima, no eixo do tubo, é dada por:  2 0

4

PR

U





      (28) 

A  forma  do  perfil  é  parabólica  (variação  em  2

r

)  com  velocidade  nula  na  parede  e  valor  máximo  no  eixo,  como  é  mostrado  esquematicamente  na  Fig.  7.  O  caudal  é  calculado  integrando o perfil de velocidades sobre a secção transversal do tubo:    2 0 0 0

( )2

2

1

R R

r

Q

u r

rdr

U

rdr

R







 









_



_{ }



_

 









  que dá: 

  2 2 4 0 0 2

1

2

2

4

2

R U

R

R

Q

U

R











_



_







  A velocidade média está relacionada com o caudal através de   

U

Q

₂

R





  e vem dada por  0

2

U

U



  ou   2

8

PR

U





.      (29) 

Esta  equação  representa  a  lei  de  Hagen‐Poiseuille,  que  permite  relacionar  o  caudal,  ou  velocidade  média  no  tubo,  com  o  gradiente  de  pressão  aplicado.  Veja‐se  que  a  velocidade  máxima é o dobro da velocidade média. A velocidade média é directamente proporcional ao  quadrado  do  raio  e  ao  gradiente  de  pressão,  e  inversamente  proporcional  à  viscosidade.  O  caudal  volumétrico  é  directamente  proporcional  ao  raio  (ou  diâmetro)  levantado  à  quarta  potência.     O perfil de tensão de corte é linear como mostrado pela Eq. (25). O valor máximo da tensão de  corte, em valor absoluto, ocorre na parede, e a Eq. (26) pode agora escrever‐se  como:    w

4

U

R







  ou  w

8

U

D







      (30)  O coeficiente de atrito na parede é definido como:    ₂ 1 2 w

f

U







      (31a)  vindo dado por:    

f

16

Re



      (31b)  onde o número de Reynolds foi definido como:   

Re



UD





      (32)    1.6 Regimes de escoamento e comprimentos para desenvolvimento completo  O regime dinâmico de escoamento é:    Laminar, 

Re



2000

      (33a)    Turbulento, 

Re



4000

      (33b) 

  Transição, 

2000



Re



4000

.       (33c)  O escoamento do sangue ocorre tipicamente em regime laminar, excepto por vezes na aorta  descendente em situações de esforço (treino de atletas,  por exemplo), ou pontualmente em  vasoconstrições  de  natureza  patológica  (estenoses),  onde  o  escoamento  é  localmente  turbulento. Para escoamento turbulento a velocidade oscila localmente de forma aleatória e  só  faz  sentido,  do  ponto  de  vista  de  engenharia  ou  em  aplicações  biomédicas,  considerar  valores médios no tempo. O perfil da velocidade média (não confundir com a média na secção  dada  pela  Eq.  29)  deixa  de  ser  dado  pela  Eq.  (27)  (de  facto  segue  uma  variação  do  tipo 



1/ 7



0

1 ( / )

u



U



r R

),  a  tensão  na  parede  aumenta  substancialmente,  assim  como  o  factor  de atrito 

f

 que fica muito maior do que o dado pela Eq. (31).  O comprimento necessário para se atingir a condição de desenvolvimento completo a partir de  uma entrada com perfil de velocidades uniforme (ver Fig. 6) é dado, em função do número de  Reynolds, por:   

z

0

_0.06

_Re

D



      (34) 

Por  exemplo,  para  um  número  de  Reynolds  típico  de  200,  é  necessário  um  comprimento  de  tubo de 12 diâmetros para se atingir a situação de desenvolvimento completo. Na prática, é  difícil  no  sistema  circulatório  satisfazer  esta  condição  porque  existem  ramificações  consecutivas dos vasos, separadas por distâncias inferiores a esse comprimento.   

  

1.7 Equação de Bernoulli 

Esta  equação  exprime  a  conservação  de  energia  mecânica  em  escoamento  invíscido  (sem  viscosidade) e permite relacionar variações de pressão 

p

, velocidade 

u

, e altura (cota) 

h

:  

  1 2 1 2

1 2 1 1 2 2 2 2

p





u





gh



p





u





gh

      (35) 

Os  valores  destas  propriedades  são  obtidos  nos  pontos  1  e  2  ao  longo  de  uma  linha  de  corrente. 

Esta equação não toma em conta perdas de carga, devidas a atrito nas paredes duma conduta  ou  presença  de  obstruções  ou  variações  de  área  transversal,  uma  vez  que  estas  perdas  são  fenómenos  irreversíveis  relacionados  intimamente  com  a  existência  de  viscosidade.    É  no  entanto  fácil  generalizar  a  equação  de  Bernoulli  por  forma  a  contabilizar  perdas  de  carga  e  trabalho produzido:    1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 v

p

p

u

gh

u

gh

w e















 

      (36)  onde: 

e

v‐ energia por unidade de massa [J/kg] dissipada devido a viscosidade;   

w

‐ trabalho específico produzido pelo fluido (a sair do sistema). 

A  perda  de  carga  no  escoamento  completamente  desenvolvido  em  tubo  circular  de  comprimento 

L

 e diâmetro 

D

 calcula‐se a partir de 

  1 2 2

4

v v

L

p

e

f

U

D





 



      (36a) 

onde 

f

 é o coeficiente de atrito definido pela Eq. (31) e 

U

 é a velocidade média na secção  (na Eq. 36, 

u

1



u

2



U

). 

As  velocidades  que  aparecem  na  Eq  (35)  são  valores  locais  quando  os  índices  1  e  2  correspondem  a  localizações  pontuais  no  seio  do  campo  de  velocidades,  pontos  ligados  por  uma linha de corrente, a situação mais comum quando se aplica a equação de Bernoulli. Por  outro lado, quando a equação é aplicada como um balanço de energia mecânica a um volume  de  controlo,  essas  velocidades  são  valores  médios,  com  os  índices  1  e  2  a  referirem‐se  às  secções de entrada e de saída duma conduta (Fig. 8). Neste segundo caso os valores médios  são    obtidos  por  integração  na  secção  transversal  do  cubo  da  velocidade  a  dividir  pela  respectiva  velocidade  média  ( 2 3

1 1

( ) /

1

( )

u



u r

u r

).  Deve  referir‐se  que  esses  valores  não  são  em  geral  iguais  ao  cubo  da  média  (isto  é, 

u r

13

( )



u r

1

( )

3



U

13  ),  pelo  que  se  deve 

introduzir um factor correctivo,   

u

12





1

U

12 ou  2 2 2 2 2

u





U

,      (37)    com  





1

 (perfil de velocidades uniforme; válido para escoamento turbulento)   





2

  (perfil  de  velocidades  parabólico,  Eq  27;  válido  para  escoamento  laminar).    u2 u1 p2 h2 h1 p1 1 2 w ev   Fig. 8‐ Volume de controlo para aplicação do balanço de energia mecânica (Eq. Bernoulli).    Como indicado acima, usa‐se a notação da subsecção anterior para indicar a média calculada  segundo a Eq. (29),   1 1 1 2 1 1 0

1

( )

( )2

R

U

u r

u r

rdr

R











      (38)  ilustrada para uma secção circular de raio 

R

1.     

1.8 Exemplos de aplicação da equação de Bernoulli:    1 ₂ p₁ p₂ U1   Fig. 9‐ Esquema do venturi  (i)‐ Venturi  Um venturi consiste numa contracção relativamente suave do escoamento numa conduta que  permite  fazer  a  medição  do  caudal  que  circula  nessa  conduta,  através  de  duas  medições  de  pressão.  A  Fig.  9  mostra  esquematicamente  o  dispositivo,  com  as pressões  a  serem medidas  nas secções 1 (seio da conduta) e 2 (garganta do venturi).  Considerando que o venturi é horizontal, a equação de Bernoulli dá:    1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

p





U



p





U

  1



2 2



2 1 1 2 2



U

U

p

p









 

Resolvendo  para  a  velocidade  no  ponto  1,  e  usando  a  conservação  de  massa  (ver  abaixo) 

2

/

1 1

/

2

U

U



A A

, onde 

A

1 e 

A

2 são as áreas das secções na conduta e na parte mais estreita 

do venturi, temos:    1



1 22



1 2

2

1

p

p

U

A

A









_

_





_

_







_

_







  As pressões em 1 e 2 são medidas com um manómetro diferencial, e a razão entre as áreas na  conduta e na garganta do venturi é conhecida. Finalmente, o caudal vem dado por:   

Q



CAU

1 1  onde 

C

 é um factor correctivo, a ser obtido por calibração, e que faz o ajuste para o facto do  fluido não ser perfeito (na verdade, o fluido possui viscosidade).    

1

2

a

b

Q

U

h

L

_.

  Fig. 10‐ Manómetro diferencial. 

 

(ii)‐ Medição de pressão 

A  Fig.  10  mostra  um  manómetro  diferencial,  cuja  leitura  dá  o  desnível 

h

  do  líquido  manométrico (



liq), permitindo obter a perda de pressão no escoamento de um fluido, com 

massa  volúmica 



,  numa  conduta.  Assumindo  que  as  velocidades  nos  tubos  que  fazem  a  ligação ao manómetro são desprezáveis, a aplicação da Eq. de Bernoulli (Eq. 35) entre o ponto 

1

 e o ponto 

a

dá:   

p

1





gh

1



p

a





gh

a  entre o ponto 

2

 e o ponto 

b

:   

p

2





gh

2



p

b





gh

b  e entre o ponto 

a

 e o ponto 

b

:   

p

a





liq

gh

a



p

b





liq

gh

b  Combinando estas equações tem‐se:   

p

1



p

2



p

a



p

b





g h

(

a



h

b

)

  (uma vez que 

h

1



h

2)  e   

p

a



p

b





liq

g h

(

b



h

a

)

  ou seja,  1 2

(

liq

)

p



p



gh







. 

com 

h



h

b



h

a.  O  desnível 

h

  é  lido  do  manómetro,  a  diferença 

 

 

liq





  entre  as 

massas volúmicas do líquido manométrico e do fluido que se pretende medir é conhecida, e a  perda  de  pressão  na  conduta  vem  imediatamente  de 

 

p

gh





.  Se  o  escoamento  na  conduta  estiver  completamente  desenvolvido,  o  gradiente  de  pressão  (uma  constante)  vem 

/

P

 

p L

  (onde  o 



p

  é  o 



p

v  da  Eq  (36a)  que  resulta  duma  perda  de  carga  de  natureza 

viscosa).      1.9 Conservação de massa  Para um volume de controlo (Fig. 11) com várias entradas e várias saídas de massa tem‐se:    in out entradas saídas

m



m









      (39)  uma vez que a massa é uma propriedade extensiva que se conserva.   

m

m

i

_m

e vol. controlo

.

_.

out in   Fig. 11‐ Volume de controlo e conservação de massa.   

Esta  equação  de  conservação  de  massa  é  válida  em  regime  permanente.  O  símbolo 

m

i 

representa o caudal mássico através da conduta i, relacionado com a velocidade média através  de:   

m



i





i

AU

i i   [kg/s]      (40)  onde:   



i‐ massa volúmica na secção i [kg/m 3_]     

A

i‐ área da secção transversal [m 2 ] (para tubo circular, 

A

i





D

i2

/ 4

)     

U

i‐ velocidade média na secção i [m/s]    Q₁ Q₃ Q2

.

.

.

  Fig. 12‐ Ramificação de conduta     Por exemplo, para a Fig. 12 a conservação de massa escreve‐se:   

m



1



m



2



m



3      (41)  Os escoamentos de líquidos (água; sangue; etc) podem normalmente ser considerados como  incompressíveis, com volume específico constante 





Cte

. Neste caso pode ser conveniente  dividir  a  Eq.  (41)  pela  massa  volúmica  (

 



1





2





3)  e  trabalhar  com  o  caudal 

volumétrico:    i i i i i

m

Q

AU











  _[m3 /s].      (42)  Para a bifurcação ilustrada na Fig 12 tem‐se   

Q



1



Q



2



Q



3   



AU

1 1



A U

2 2



A U

3 3        (43) 

Sabendo o caudal de entrada 

Q

1, e a percentagem de caudal que segue pela conduta 3, por  exemplo (fracção extraída, 





Q Q

3

/

1), podemos facilmente obter as velocidades médias nos  ramais de saída, 

U

2

 

(1



)

Q

1

/

A

2 e 

U

3





Q

1

/

A

3.   

1

2

Q

₂

Q

.

₁

.

  Fig. 13‐ Expansão em tubo redondo.    Como segundo exemplo de ilustração da conservação de massa, veja‐se o caso do escoamento  numa expansão, Fig. 13. O caudal 

Q

1 circula num tubo circular de diâmetro 

D

1 e subitamente 

passa para um tubo de maior dimensão 

D

2 (razão de expansão 





D

2

/

D

1). A relação entre 

velocidades médias nas duas secções é obtida através da conservação de caudal,   

Q



1



Q



2   



AU

1 1



A U

2 2  2 1 1 2 1 1 2 2

A

D

U

U

U

A

D









_{ }

_





  ou seja,    2 2 1

1

U

U





      (44)  Se a razão de expansão for de 2, a velocidade no tubo maior será 4 vezes mais pequena do que  a velocidade à entrada. Considerando que o fluido é perfeito e não há perdas de carga, pode  aplicar‐se Eq. de Bernoulli entre as secções 1 e 2 para obter a variação de pressão:    1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

p





U



p





U

 









2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

1

1

/

p

p

U

U

U

U U





















_





_





  que se escreve,  2 1 2 1 2 1 4

1

1

p

p



U











_



_





       (45) 

Na  realidade  o  escoamento  na  expansão  (ou  numa  contracção,  se  o  escoamento  fosse  no  sentido inverso) irá implicar uma perda de carga localizada e por isso a equação de Bernoulli  deveria  ser  aplicada  com  o  termo  de  perda  (Eq.  36).  Mesmo  assim  esta  relação  é  útil  por  mostrar um facto corrente: quando a velocidade aumenta, a pressão diminui (e vice‐versa).    

2. Noções Básicas de Fluidos Não Newtonianos 

Este capítulo inclui a segunda parte de um relatório feito para a disciplina de Biotransporte e  trata de modelos reológicos para suspensões e para líquidos não newtonianos. Em particular,  são  fornecidas  e  discutidas  fórmulas  que  representam vários  modelos  de  viscosidade válidos  para  suspensões  e  para  líquidos  com  características  de  reofluidificação  (diminuição  da  viscosidade  com  a  taxa  de  corte)  e  de  tensão  de  cedência  (comportamento  sólido  a  tensões  inferiores a um determinado limiar). 

2.1 Suspensões 

Uma  suspensão  é  um  material  líquido  composto  por  uma  mistura  de  duas  fases,  uma  fase  líquida  pura,  o  meio  contínuo,  e  uma  fase  discreta  formada  por  “partículas  sólidas”  em  movimento no seio da fase líquida, sem se dissolverem nela. A noção de partícula é aqui usada  num sentido lato com uma entidade que se distingue da fase contínua na qual está suspensa,  podendo ser de facto uma partícula sólida (um grão de areia, por exemplo) ou uma cápsula de  um líquido delimitada por uma membrana elástica. O sangue, por exemplo, é uma suspensão  de glóbulos vermelhos, glóbulos brancos e plaquetas em plasma. O plasma é a fase contínua  da suspensão, comportando‐se aproximadamente como um líquido newtoniano, e os glóbulos  vermelhos  constituem  a  parte  preponderante  da  fase  discreta,  tendo  a  forma  de  um  disco  bicôncavo  e  sendo  formados  por  um  líquido  no  interior  (solução  de  hemoglobina)  envolvido  numa membrana elástica. A massa volúmica da fase sólida 



p(índice ppara partículas) difere 

normalmente da massa volúmica da fase contínua 



f (índice  fpara fluido), sendo no entanto 

importante que não seja muito superior para evitar a completa sedimentação das partículas,  com  separação  completa  entre  as  duas  fases  e  deixando  de  facto  de  existir  uma  suspensão.  Por  exemplo,  no  caso  do  sangue,  para  o  plasma 



f



1035

  [kg/m

3

]  e  para  os  glóbulos  vermelhos 



f



1080 1100



  [kg/m

3

],  o  que  dá  um  valor  de 



f



1060

  [kg/m

3

]  para  o  sangue.  

Uma  suspensão,  como  mistura  bifásica,  é  caracterizada  pela  concentração  ou  fracção  volumétrica da fase discreta,    

V

p

V





      (1)  onde 

V

p é o volume total ocupado pelas partículas que existem num determinado volume 

V

.   Para partículas esféricas de diâmetro 

d

, temos  3

/ 6

p p

V



N



d

 onde 

N

p é o número total 

de  partículas  no  volume 

V

.  Para  outras  formas  geométricas  define‐se  um  diâmetro  equivalente 

d

e  como  o  diâmetro  da  uma  esfera  que  tenha  volume  igual  ao  da  partícula  em 

causa,  e  a  concentração  volumétrica  fica  relacionada  com  a  concentração  em  número  (

n

p



N

p

/

V

= nº de partículas por unidade de volume da suspensão) por    3

/ 6

p e

n

d







     

A  fracção  volumétrica  em  percentagem  dos  glóbulos  vermelhos  no  sangue  chama‐se  hematócrito, 

H

. Para uma pessoa saudável o hematócrito é cerca de 45%, ou seja 45 % em  volume do sangue é ocupado pelos glóbulos vermelhos.  

2.2 Viscosidade de suspensões 

A  viscosidade  de  uma  suspensão  depende  da  concentração  de  partículas,  tendendo  a  aumentar  quando  a  concentração  aumenta.  Quando  a  concentração  volumétrica  é  baixa,  inferior a 5%, a viscosidade da suspensão pode ser estimada pela seguinte fórmula deduzida  por Einstein (Ann. Phy 19 (1906) 289):   

1

1

f

 









_

_







      (2)  com: 



f‐ viscosidade da fase fluida;   



‐ constante que depende da forma das partículas; para esferas 

 

5 / 2

;   



‐ fracção volumétrica das partículas. 

Mostra‐se  que  para  partículas  com  a  forma  de  disco  o  valor  da  constante  mantém‐se:  

2.5





.  Por  exemplo,  tomando  a  viscosidade  do  plasma  como 



f

1.26 10

3







  [Pa.s],  a  viscosidade  do  sangue  para  uma  concentração  muito  pequena  de  glóbulos  vermelhos,  de 

somente  5  %,  vem  3

1.44 10



_

_



  [Pa.s];  ou  seja,  há  um  aumento  de  14  %  na  viscosidade  devido à introdução das partículas na suspensão. 

 

Para  valores  maiores  da  fracção  volumétrica, 



  deixa  de  ser  uma  constante  e  passa  a  depender  da  própria  concentração.  Para  o  sangue,  por  exemplo,  obteve‐se  a  seguinte  correlação, que integra ainda a dependência com a temperatura (

T

 [K]):   

1107

1.69

0.076 exp 2.49

e

T





_





_













      (3)  válida para 

0.05

 



0.6

. 

Em condições normais, 

T



37º

C



310

K

 e 





0.45

, obtém‐se 

 

1.237

 (inferior ao 2.5  da  equação  de  Einstein),  que  dá  uma  viscosidade  do  sangue  de 





2.84 10



3  [Pa.s],  um  aumento de 125 % relativamente à viscosidade do fluido (o plasma) no qual as partículas (os  glóbulos  vermelhos)  estão  suspensas.  A  viscosidade  dada  pela  Eq.  (2)  aumenta  rapidamente  com a concentração 



, de acordo com a Eq. (3).  O efeito da temperatura, por outro lado, é de  fazer diminuir a viscosidade. Estes efeitos são ilustrados na Fig. 1. 

0 20 40 60 Hematócrito(%) 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 viscosidad e ( Pa. s ) T=37ºC T=42ºC . .   Fig. 1‐ Viscosidade do sangue em função da concentração de glóbulos vermelhos e temperatura (Eqs. 2‐ 3).    2.3 Tensão de cedência de suspensões 

Quando  a  densidade  do  material  da  fase  sólida  é  superior  à  densidade  da  fase  fluida,  isto  é 

p f







,  haverá  tendência  para  sedimentação  desde  que  as  velocidades  e  taxas  de  corte  aplicadas  sejam  suficientemente  baixas.  Em  repouso,  a  suspensão  tenderá  a  separar‐se  nas  fases  sólida  e  líquida,  e  poderá  ocorrer  ainda  formação  de  estruturas  entre  as  partículas  da  fase sólida que estão em contacto directo. A ruptura dessas estruturas para se iniciar de novo  o  escoamento  do  material  pode  requerer  que  a  tensão  aplicada  seja  superior  a  um  limiar  mínimo abaixo do qual não há movimento. Diz‐se então que o material apresenta uma tensão  de cedência, sendo uma situação típica no caso das suspensões. 

Para o caso do sangue foi desenvolvida a seguinte correlação empírica (Merrill et al., Biophy. J.  3(1963)199)  que  fornece  a  tensão  de  cedência,  em  unidades  no  sistema  CGS,  em  função  do  hematócrito (fracção volumétrica dos glóbulos vermelhos):   

 





1 3 0

A H

H

m







  [din/cm2]      (4)   onde:     

A



0.008 0.002



, constante;     

H

‐ hematócrito, em percentagem;     

H

m‐ hematócrito mínimo para existir tensão cedência, 

H

m



5

 a 

8

. 

Por  exemplo,  para 

H



45

,  obtém‐se 



0







0.008 45 5











3



0.0328

[din/cm 2

  ]



3.28

[mPa]. Quando se varia a constante 

A

 entre os limites de validade, verifica‐se que a  tensão  de  cedência  do  sangue  poderá  variar  entre  1.4  e  6.4  [mPa]  em  condições  de  hematócrito normais.   

2.4 Efeito de Fahraeus‐Lindqvist 

A  viscosidade  de  uma  suspensão  parece  ainda  depender  do  diâmetro  do  tubo  onde  circula,  quando esse diâmetro é suficientemente pequeno (inferior a cerca de 100 vezes a dimensão  das partículas em suspensão, mas superior à dimensão das partículas). Este efeito resulta do  facto  de  se  formar  uma  zona  junto  à  parede  do  tubo  que  fica  livre  de  partículas,  onde  localmente a viscosidade cai para o valor da viscosidade da fase fluida da suspensão, e que age  como se tratasse duma camada de lubrificação.  O efeito só é relevante quando a espessura da  camada sem partículas, que é da ordem da dimensão das partículas, começa a não ser muito  inferior ao diâmetro do tubo. 

No caso do sangue esse efeito, de redução da viscosidade para diâmetros dos vasos inferiores  a  cerca  de  300  m,  chama‐se  de  efeito  de  Fahraeus‐Lindqvist,  os  autores  que  primeiro  o  relataram. A camada de plasma junto às paredes vasculares tem uma espessura de cerca de 2  a 5 m (os glóbulos vermelhos têm cerca de 8 m de diâmetro). A medição da viscosidade foi  feita com um viscosímetro capilar, que no fundo usa a equação de Poiseuille (Eq. 29 da Parte I)  para  determinar  a  viscosidade  a  partir  de  medições  da  queda  de  pressão 



p

  num 

comprimento 

L

:  4

/ 8

p R

L Q



 





  (

R

‐  raio  do  vaso; 

Q

‐  caudal  volumétrico  de  sangue).  Esta  expressão  só  é  válida  para  fluido  newtoniano  e  deve  ser  modificada  para  permitir  a  medição  da  viscosidade  com  fluidos  não  newtonianos.  Este  efeito  ocorre  sobretudo  nas  arteríolas e nos vénulos com diâmetros inferiores a 1 mm; nos capilares, quando o diâmetro  fica inferior a cerca de 10 m, os glóbulos começam a interagir com as paredes, precisando de  se deformar para circularem, e a viscosidade volta a subir.    2.5 Escoamento pulsante  Um escoamento ocorre em regime variável cíclico quando o gradiente de pressão que o gera  varia  no  tempo  de  forma  sinusoidal,  com  frequência 

f

[s‐1]  =  [Hz]  e  frequência  angular 



[rad/s] (





2 f



). Por exemplo, o escoamento do sangue é pulsante, com uma frequência  imposta pelo ritmo de batida do coração de cerca de 72 por minuto, o que dá uma frequência  de 1.2 [s‐1_{]. O escoamento pulsante de fluido newtoniano em tubo circular foi analisado num} 

relatório  para  disciplina  de  Hemodinâmica,  que  deve  ser  consultado  para  se  estudar  os  detalhes do que é aqui apresentado de forma breve. A caracterização do escoamento continua  a  ser  feita  com  o  número  de  Reynolds,  que  mede  a  relação  entre  forças  inerciais  (de  convecção)  e  forças  viscosas  (de  difusão),  existindo  agora  um  parâmetro  sem  dimensões  adicional, o número de Womersley (ou de Stokes) definido como 

 



R







      (5) 

Este  parâmetro  mede  a  proporção  das  forças  inerciais  devidas  à  oscilação  temporal,  relativamente  às  forças  viscosas.  Pode  ser  visto  como  a  raiz  quadrada  de  um  número  de  Reynolds  oscilante: 



2



 

(

R R

) /

 



U R

o

/





Re

o,  onde 

U

o





R

  é  uma  velocidade 

característica da oscilação. Quando 



 é pequeno (





1

), o escoamento oscilante num tubo  comporta‐se  como  um  escoamento  de  Poiseuille,  com  o  caudal  a  oscilar  em  fase  com  o  gradiente  de  pressão  imposto  e  o  perfil  de  velocidade  a  manter‐se  basicamente  parabólico,  com  uma  velocidade  máxima  que  também  oscila  com  frequência 



.  Quando 



  é  grande  (





10

),  a  frequência  imposta  é  alta  e  o  campo  de  velocidades  não  tem  tempo  para  acompanhar a oscilação do gradiente de pressão que gera o movimento. Na zona central do  tubo  o  perfil  de  velocidades ficam  basicamente  uniforme  (perfil  “tampão”),  com  magnitudes  pequenas,  podendo  haver  uma  zona  estreita  de  velocidades  superiores  junto  à  parede  do  tubo.  A  oscilação  das  velocidades  fica  desfasada  relativamente  à  frequência  imposta  pelo  gradiente  de  pressão,  havendo  um  atraso  de  cerca  de  90  graus.  Ou  seja,  o  máximo  de  velocidade ocorre cerca de ¼ de período depois do máximo da pressão (o período é o inverso  da frequência, 

T



1/

f

 [s]). 

No sistema circulatório humano a frequência de pulsação é a mesma (imposta pelo coração) e  por  isso  o  número  de  Womersley  vai  diminuindo  com  o  raio  dos  vasos  por  onde  o  sangue  circula,  ou  seja,  é  elevado  nas  grandes  artérias,  e  vai  diminuindo  à  medida  que  se  progride  para artérias pequenas, arteríolas e capilares. Na microcirculação (

R



50

m) a influência da  pulsação é praticamente desprezável. Valores típicos de 



: 16 (aorta); 3.2 (artéria pequena, 4  mm diâmetro). 

  

2.6 Fluidos não newtonianos 

Nas  secções  anteriores  tratou‐se  o  caso  das  suspensões,  ou  seja  a  influência  sobre  a  viscosidade  da  presença  de  uma  fase  com  partículas  “sólidas”  suspensas  numa  fase  fluida.  Admitiu‐se  que  a  viscosidade  da  fase  fluida  era  newtoniana,  sendo  portanto  uma  constante  para uma dada temperatura. No entanto muitos líquidos apresentam efeitos de fluidificação,  ou  seja  diminuição  da  viscosidade  com  o  aumento  da  taxa  de  corte,  e  efeitos  de  tensão  de  cedência, só escoam quando a tensão é superior a um valor mínimo. 

Nesta  secção  serão  tratados  modelos  reológicos  para  fluidos  não  newtonianos  do  tipo  GNF  (Generalizad Newtonian Fluids), cuja equação de estado é muito semelhante à newtoniana, 

 

 

 

      (6) 

a única diferença consistindo no facto da viscosidade 



 poder ser agora uma função da taxa  de  deformação  de  corte 





,  isto  é 

  



( )



.  Na  Eq.  (6)  assume‐se  que 



  e 





    são  as  magnitudes da tensão e da taxa de deformação, sendo por isso valores positivos.   

2.7 Fluidificação 

  2.7.1 Modelo de lei de potência  O modelo GNF mais simples que contabiliza o efeito de fluidificação ou espessamento (shear  thinning ou shear thickening) é o modelo da lei de potência: 

  n

K









  ou  n1

K



_



_

       (7)  onde:   

K

‐ consistência [Pa.sn]     

n

‐ índice da lei de potência 

Quando 

n



1

  a  viscosidade  diminui  com  o  aumento  da  taxa  de  corte  e  o  fluido  é  reofluidificante,  o  caso  mais  comum.  Usava‐se  anteriormente  a  designação  de  fluido  pseudoplástico.  Quando 

n



1

  a  viscosidade  aumenta  com   





  e  o  fluido  é  reoespessante  (designação antiga, fluido dilatante). Quando 

n



1

 e viscosidade é constante e temos de novo  o caso newtoniano com 





K

.  

O  sangue  é  fluidificante  quando 







100

[s‐1]  e  algumas  propostas  para  ajuste  entre  a  lei  de  potência e viscosidades efectivamente medidas foram (unidades MKS): 

 

K



0.0134

, 

n



0.785

     (

 



0.00498

 [Pa.s])      (8a)  de Walburn e Schneck (Bioreology 13 (1976) 201);  e 

 

K



0.0161

, 

n



0.63

      (

 



0.00293

 [Pa.s])      (8b)  de Owen et al. (artigo de conferência 2005). Os valores de viscosidade indicados acima dentro  dos  parêntesis  são  para







100

[s‐1].  Normalmente  tanto 

K

  como 

n

  variam  com  o  hematócrito  e  modelos  de  lei  de  potência  para  o  sangue  mais  sofisticados  deveriam  incluir  esses efeitos. 

  2.7.2 Modelo de Carreau‐Yasuda 

Uma variação realista da viscosidade com a taxa de deformação (  versus 



) deve apresentar  um patamar  para taxas de corte elevadas 





 

, igual à viscosidade do solvente no caso 

de uma suspensão ou solução, e outro patamar 



0 para taxas de corte muito baixas, 







0

. 

Nesses limites o modelo da lei de potência não tem um comportamento correcto (resulta em 



 

 quando 







0

, e 





0

 quando 





 

). O modelo de Carreau‐Yasuda dado pela  seguinte equação resolve esse problema, à custa de um número maior de parâmetros:   





 

1 0

1

n a _a

 

 



  











_





_

      (9)  Onde:   

n

‐ índice [‐]     

a

‐ constante de Yasuda [‐]     



0‐ viscosidade para 



 nulo [Pa.s]     



‐ viscosidade para 





  infinito [Pa.s]     



‐ constante de tempo [s]