Relatorio Pendulo Simples

Universidade xxxxxxx xx xxxxx xx xxxxx

Centro das Ciências Exatas e das Tecnologias

Laboratório de Física II - Prof. xxxxxx

Física Geral II Relatório Pêndulo Simples

xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Cidade - Estado Mês, Ano

Sumário

Introdução 1

Objetivo 2

Materiais 2

Procedimento 2

Análise dos dados 3

Questões 7

Referências Bibliográficas 9

Anexo 10

Introdução

Segundo Moysés, em seu livro Curso de Física Básica, volume 2, Fluidos, Oscilações, Calor e Ondas, as oscilações correspondem a vibrações localizadas e são encontradas em todos os campos da Física. A exemplo de sistemas mecânicos vibratórios estão pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro.

Sendo assim, um pêndulo que é tirado de sua posição de equilíbrio e depois solto exemplifica uma oscilação em que o sistema, após serem estabelecidas as configurações iniciais, não é submetido à forças externas oscilatórias, e estabelece seu próprio período de oscilação, determinado pelos parâmetros que o caracterizam.

O pêndulo simples trata de um sistema onde uma massa m suspensa por um fio de comprimento l e massa desprezível, apresentam-se como no sistema abaixo.

Sistema 1, pêndulo simples

A massa m move-se sobre um círculo de raio l sob a ação do peso m.g (considerando g = gravidade) e da tensão T. Onde, decompondo a aceleração em componentes tangencial e radial, as equações de movimento são para um ângulo de desvio ɵ em relação à posição vertical de equilíbrio.

Objetivos

 Entender o pêndulo simples como um sistema oscilante.  Obter a aceleração da gravidade.

 Realizar análise estatística de dados e comparar métodos de análise.

Materiais

 01 Fio de nylon

 01 Pequeno corpo de chumbo (peso de pesca)  01 cronômetro digital (erro instrumental: 0,001 s)  01 régua milimetrada (erro instrumental: 0,005 cm)  Um cadarço de sapato

Procedimento

 Com a fita métrica foi medido o comprimento do fio, obtendo-se 2,05cm;  Para que o peso preso no fio fosse deslocado a 10°, mediu-se por trigonometria a

distância s (interpretada como cateto oposto), de 36cm, da posição de quilíbrio;  Foi medido o tempo de oscilação do pêndulo montado (peso na ponta do fio) a

10° da posição de equilíbrio 20 (vinte) vezes seguidas;

 Também a 10° da posição de equilíbrio, foi medido o período de 10 oscilações contínuas;

 Os últimos dois passos foram repetidos a um ângulo de 20°, obtendo-se s2 = 75 cm.

Análise dos dados

A partir dos dados dos tempos de oscilação, foram calculados a média, o desvio-padrão e o desvio-padrão da média. Onde, para o cálculo da média ( ´T ), considerou-se:

´T = 1 n

∑

20 X_i

Para o cálculo do desvio-padrão ( σ ), considerou-se:

σ =

√

n−1

∑

(X_i− ´X)2

Para o cálculo do desvio-padrão da média ( ), que indica o quão dispersos os valores ϵ estão da média, considerou-se:

ϵ=

√

n(n−1)

∑

(Xi− ´X )2= σ

√

Considerando T10 como a medida de tempo de dez oscilações contínuas, calculou-se o

período T, dado pela equação:

T =T10

10

Para σ10, erro de T10, considera-se a soma do erro instrumental (0,01 s) com o erro aleatório, que, no caso, utilizou-se o tempo de reação do estudante que leu a medida (0,30 s), baseado na literatura, dado por:

σ10 = 0,3 s Assim, a propagação do erro de T, σT, dá-se por:

σ_T=T

√

T₁₀)

2

=0,004 s

3

Medidas Tempo (s) para 10º Tempo (s) para 20º 1 2,72 ± 0,31 2,75 ± 0,31 2 2,69 ± 0,31 2,83 ± 0,31 3 2,68 ± 0,31 2,72 ± 0,31 4 2,66 ± 0,31 2,76 ± 0,31 5 2,70 ± 0,31 2,78 ± 0,31 6 2,67 ± 0,31 2,78 ± 0,31 7 2,71 ± 0,31 2,78 ± 0,31 8 2,69 ± 0,31 2,76 ± 0,31 9 2,69 ± 0,31 2,70 ± 0,31 10 2,64 ± 0,31 2,78 ± 0,31 11 2,66 ± 0,31 2,79 ± 0,31 12 2,70 ± 0,31 2,79 ± 0,31 13 2,71 ± 0,31 2,83 ± 0,31 14 2,67 ± 0,31 2,80 ± 0,31 15 2,69 ± 0,31 2,73 ± 0,31 16 2,69 ± 0,31 2,77 ± 0,31 17 2,69 ± 0,31 2,80 ± 0,31 18 2,67 ± 0,31 2,78 ± 0,31 19 2,67 ± 0,31 2,74 ± 0,31 20 2,66 ± 0,31 2,78 ± 0,31 ´T _2,68 2,77 σ _0,02 0,03 ϵ 0,01 0,01 T10 28,40 ± 0,31 28,61 ± 0,31 T 2,84 2,86 σT* 0,004 0,004

* Valores expressos com maior número de casas decimais para explicitar σT.

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Com a finalidade de analisar a teoria, desprezando a resistência do ar e possíveis erros aleatórios, onde se considera um sistema harmônico, pode-se calcular o período. A partir da forma geral das oscilações livres do oscilador harmônico, dado por:

x (t)= Acos(ωt+φ)

Onde ω é a frequência do oscilador e φ é a fase.

Então, substituindo a equação (onde são considerados ângulos muito pequenos e, por tanto, sen θ~¿θ ):

ω=

√

Na equação: τ =2 π ω E assim: τ =2 π

√

Utilizando-se da aceleração gravitacional g = 9,80 m/s2_{, baseado na literatura. Temos} que:

τ =2 π

√

9,80=2,87 s

Para cálculo da propagação do erro de τ , considerou-se o erro de medida para o comprimento l do fio como σl _{= 0,005 m, tem-se:}

σ_τ=τ

√

2

=0,003 s

Então, τ = 2,870 s ± 0,003 s

Analisando ´T e T percebe-se que há uma diferença de período mesmo para oscilações sob o máximo de 10°. Sabe-se que na prática existem diversas interferências que podem influenciar nos valores obtidos, como resistência do ar e tempo de reação humana (considerado nos cálculos dos erros, inclusive). Pode-se considerar também a dissipação de energia como um fator relevante.

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Esperava-se que T fosse, de fato, maior que ´T , uma vez que com a dissipação de energia, no decorrer das oscilações contínuas, o pêndulo começa a perder o alcance máximo (que seria o alcance da primeira oscilação) e por isso, menor tempo de oscilação. ´T pode ter assumido valor maior que T devido ao cenário do experimento, onde a dissipação de energia pode não ter sido observada através dos cálculos, já que analisando as medidas feitas após muitas oscilações, há diluição de erro, comparado ao erro experimental atribuído à medidas individuais. Sugere-se, então, que sejam

realizadas mais medidas de oscilações individuais para este procedimento experimental, a fim de uma melhor observação da dissipação de energia. Na análise dos dados do experimento, também não foi considerada a propagação de erro para ´T , uma vez que trata-se de medida direta, mesmo existindo um tempo de reação atribuído a cada uma das 20 medidas.

As mesmas observações de comparação entre T e ´T foram feitas para o ângulo de 20°, indicando que a esta variação ainda não foi suficiente para novos resultados.

Através do experimento com o pêndulo simples é possível medir-se a gravidade. Assim, para o sistema sob o ângulo de 10°:

g= l ( T 2 π) 2 g = 2,05

(

)

Para propagação de erro de g, fez-se:

σ_g=g

√

Considerou-se que σl _{não existe.}

Então, para 10°, g = 10,02 ± 0,01 (

m

s2 ). Para o sistema sob o ângulo de 20°,

encontrou-se g2 = 9,88 ± 0,01 (

m s2¿ .

Pode-se analisar que os valores de gravidade encontrados diferenciam-se do valor esperado na literatura pelos motivos de influência de erros atribuídos ao experimento já explicados na análise dos dados de período.

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Questões

1) Quais são os parâmetros relevantes na determinação do período do

pêndulo simples?

Para ângulos menores que 10º o parâmetro relevante é o comprimento do fio.

2) Determine para pequenas oscilações a equação de movimento de um pêndulo simples.

Considerando um sistema de pêndulo simples, como uma massa m suspensa por um o de comprimento l e massa desprezível. A massa m move-se sobre um círculo de raio l sob a ação do peso m: g (considerando g = gravidade) e da tensão T. Onde, decompondo a aceleração em componentes tangencial e radial, as equações de movimento são para um ângulo de desvio θ em relação à posição vertical de quilíbrio. Dadas as equações de movimento em relação à aceleração radial e tangencial respectivamente temos:

m. a_r=−m. l .(dθ dt) 2 =m. g . cos θ−T m. a_θ=−m. l.(d 2 θ dt2 )=m. g . sen θ

Tem-se a equação de movimento do pêndulo simples:

d2θ dt2=

−g

l senθ

Medindo o ângulo θ em radianos, tem-se, para ângulos pequenos, θ ≪1⇒senθ ≅ θ

Logo, para pequenos desvios da posição de equilíbrio estável, a equação de movimento de pêndulo simples se reduz à equação de oscilação harmônica, dada por:

d2θ dt2 +

g l θ

que corresponde à: θ+¿g l θ=0 ´ ¿ 7

3) Obtenha a solução para a equação da questão anterior.

Usando a equação de Euler, dada por:

eix _{= cos x + i senx}

Tomando a equação diferencial do oscilador: ´

x+ω2_x=0

Temos que, para determinar x(t), vamos usar apenas a parte real da equação de Euler: / x(t)=ℜ[z(t)] Onde: z (t )= A ei(φ+ω2) Já que eix =cosx+i senx

A solução do pêndulo simples é dada ´por:

x (t )=ℜ

[

]

4) Determine a equação de movimento de um pêndulo simples para valores

de oscilações em segunda ordem.

De acordo com a expansão da série de Taylor sin θ = θ−θ3/3 ..., truncando os dois primeiros termos da série, pois os elementos seguintes são muito pequenos, temos que:

senθ ≅θ−θ

3 6

A partir dos cálculos já detelhados, tem-se:

θ−θ3 6 d2θ dt2 ≈ g l .¿ ) 8

Referências Bibliográficas

H.M Nussenzveig. Um curso de física básica: Volume 2, Edgar Blucher, São Paulo (2003).

HALLIDAY, DAVID. Fundamentos de física, Volume 2: Gravitação, Ondas e

Termodinâmica. Rio de Janeiro (2009).