1
H
ŐTAN
D
R
.
K
APROS
T
IBOR
2
T
ARTALOMJEGYZÉK1 TERMODINAMIKA 5 1.1 ALAPFOGALMAK 5 1.2 A TERMODINAMIKA I. FŐTÉTELE 9 1.2.1 A RENDSZER ENERGIASZINTJE ‐ BELSŐ ENERGIA 9 1.2.2 MECHANIKAI MUNKA 10 1.2.3 HŐCSERE A KÖRNYEZETTEL 12 1.2.4 AZ ENTALPIA 12 1.2.5 A FAJLAGOS HŐKAPACITÁS 13 1.3 ÁLLAPOTVÁLTOZÁSOK HŐTECHNIKAI SZÁMÍTÁSAI 16 1.4 AZ ENTRÓPIA 21 1.5 KÖRFOLYAMATOK 24 1.6 FELADATOK 28 2 FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MÉRLEGEGYENLETEI 40 2.1 TÖMEGMÉRLEG 40 2.2 ENERGIAMÉRLEG 42 2.2.1 ÁRAMLÓ RENDSZEREK ÁLTALÁNOS ENERGIAMÉRLEGE 42 2.2.2 ÖSSZENYOMHATÓ KÖZEGEK ÁRAMLÁSA 45 2.2.3 ÁRAMLÓ RENDSZEREK HŐENERGIA MÉRLEGE 52 2.3 IMPULZUSMÉRLEG 56 2.3.1 SÚRLÓDÁSMENTES ÁRAMLÁS 56 2.3.2 SÚRLÓDÁSOS KÖZEGEK TÉRBELI ÁRAMLÁSA 58 2.3.3 CSŐÁRAMLÁS SÚRLÓDÁSOS KÖZEGEK ESETÉBEN 60 2.4 FELADATOK 63 3 HŐÁTSZÁRMAZTATÁS 74 3.1 KONVEKTÍV HŐÁTADÁS 74 3.1.1 ÁRAMLÁSI‐HŐTECHNIKAI TÖRVÉNYSZERŰSÉGEK 74 3.1.2 HŐÁTADÁSI FOLYAMATOK VIZSGÁLATA A HASONLÓSÁGELMÉLET ALKALMAZÁSÁVAL 77 3.1.3 HŐÁTADÁS SZÁMÍTÁS MESTERSÉGES KONVEKCIÓNÁL 84 3.1.4 HŐÁTADÁS SZÁMÍTÁS TERMÉSZETES KONVEKCIÓNÁL 89 3.1.5 FORRÁS 91 3.1.6 KONDENZÁCIÓ 93 3.2 HŐÁRAMLÁS A KÖZEGEK BELSEJÉBEN 95 3.2.1 A HŐVEZETÉS FOURIER EGYENLETE 95 3.2.2 A HŐVEZETÉSI FELADAT MEGOLDÁSA ÁLLANDÓSULT ÁLLAPOT ESETÉN 96 3.2.3 A HŐVEZETÉS HASONLÓSÁGI KRITÉRIUMAI 101 3.2.4 A HŐVEZETÉSI FELADAT MEGOLDÁSA INSTACIONÉR FOLYAMAT ESETÉN 102 3.2.5 A HŐVEZETÉS DIFFERENCIÁL EGYENLETÉNEK EGZAKT MATEMETIKAI MEGOLDÁSA 104 3.2.6 A HŐVEZETÉSI FELADATOK PEREM‐ ÉS KEZDETI FELTÉTELEINEK ILLESZTÉSE 106 3.2.7 INSTACIONÉR HŐVEZETÉSI FELADAT MEGOLDÁSA KÖZELÍTŐ FÜGVÉNNYEL 109 3.2.8 KÉTDIMENZIÓS INSTACIONÉR HŐVEZETÉSI FELADAT 115 3.2.9 HŐVEZETÉSI FELADAT SZÁMÍTÁSA VÉGES DIFFERENCIA MÓDSZERREL 115 3.3 HŐSUGÁRZÁS 118
3 3.3.1 SZILÁRD TESTEK HŐSUGÁRZÁSÁNAK INTENZITÁSA 119 3.3.2 A KIRCHHOFF FÉLE TÖRVÉNY 122 3.3.3 A LAMBERT TÖRVÉNY 125 3.3.4 PÁRHUZAMOS FELÜLETEK SUGÁRZÁSOS KÖLCSÖNHATÁSA 130 3.3.5 ERNYŐHATÁS 132 3.3.6 GÁZOK ÉS GŐZÖK SUGÁRZÁSA 133 3.3.7 LÁNGSUGÁRZÁS 140 3.4 FELADATOK 141 4 ÉGÉSELMÉLET 160 4.1 HOMOGÉN TÜZELÉSTECHNIKAI REAKCIÓK FOLYAMATAI 160 4.2 GYULLADÁSI KONCENTRÁCIÓK 176 4.3 A LÁNGOK TULAJDONSÁGAI 178 4.4 HETEROGÉN TÜZELÉSTECHNIKAI REAKCIÓK 184
4
E
LŐSZÓAz anyag‐ és energiaátadási feladatok, az ezekben megvalósuló hő‐ és áramlástani folyamatok az ipari gyakorlat számos területét jellemzik. A kohászat, szilikátipar, vegyipar vagy élelmiszeripar technológiáinak többsége ezekre alapozottan valósul meg, de a lakossági fűtés és energiaellátás vagy a klimatizálás műszaki feladatai ugyancsak az anyag és hőátadás törvényszerűségeinek ismeretében oldhatók meg. A jegyzet a szilárd testek, folyadékok és gázok termikus tulajdonságait, a hőtani folyamatok törvényszerűségeit és a kapcsolódó áramlástani alapösszefüggéseket mutatja be a hőenergia gazdálkodás és melegtechnológia jellemző feladataira összpontosítva. Részletesen foglalkozik a hőenergia képződésének, a hőfelszabadulásnak elméleti és tüzeléstechnikai gyakorlati kérdéseivel.
Az anyag négy fő részre különül. Az első részben általános termodinamikai alapfogalmak és törvényszerűségek kerülnek tárgyalásra. A második fejezet áramláselméleti összefüggéseket tartalmaz, összeállításuk a kohászati‐ melegtechnológiai folyamatok és az energiaellátó rendszerek tervezésénél, üzemeltetésénél jelentkező feladatokhoz kapcsolódik. Az égéselmélet című harmadik egységben a hőfelszabadulás folyamata kerül bemutatásra. Végül a hőátszármaztatás kérdéskörét tárgyaló fejezet a hőközlés módozatainak elméleti alapjait foglalja össze az előzőekben ismertetett törvényszerűségekre alapozva. A könnyebb megértést az aktuális anyagrészekhez kapcsolódó egy‐egy jellemző számpélda segíti.
A kézirat 1‐3 fejezetei a Műszaki hőtan (Dr. Kapros Tibor Miskolci Egyetem Energiahasznosítási Kihelyezett Tanszék 1997) jegyzet átdolgozásával ill. kiegészítésével készült. A 4. fejezet a Gázok tüzeléstana I (Dr. Farkas Ottóné Tankönyvkiadó Budapest 1988) alapján került összeállításra felhasználva a Tüzeléstan jegyzet (Dr. Bíró Attila Tankönyvkiadó Budapest 1991) vonatkozó részleteit.
5
1 T
ERMODINAMIKAA termodinamika a szilárd testek és fluidumok termikus állapotával, jellemzőik kölcsönhatásaival, a hőenergia és egyéb energia típusok kapcsolatával foglalkozik.
A hőenergia tartalom vagy az itt bekövetkezett változások szilárd test esetében is jelentős befolyást gyakorolnak annak számos tulajdonságára, jellemzőjére. A hőmérséklet, térfogat esetleg színváltozások, kémiai reakciók megindulása, azok sebességének alakulása szoros összefüggésben van a test által képviselt hőenergia szinttel.
Gázok és folyadékok esetében a termikus és kalorikus állapotjellemzők alapjaiban határozzák meg a fluidum tulajdonságait. Értékeiknek akár kismértékű változása döntő mértékben befolyásolhatja az üzemeltetés gazdaságossági, környezeti vagy akár biztonságtechnikai megítélését. A termikus folyamatok törvényszerűségeinek ismerete nélkülözhetetlen a melegtechnológiai és energiagazdálkodási feladatokkal foglalkozó szakember számára. A fejezetben az állapotjellemzőkkel és kölcsönhatásaikkal kapcsolatos alapösszefüggések kerülnek tárgyalásra.
1.1 ALAPFOGALMAK
A jelenségek vizsgálatánál a modellképzés eszközét alkalmazzuk. A modellek összetettségétől függően komplex vagy egyszerűsített megközelítést különböztetünk meg. A komplex modellek tartalmazzák az egyes részjelenségek hatását érzékeltető elemeket is, illetve alkalmasak az összetettebb hatásmechanizmusok egyidejű vizsgálatára. Más esetben egy‐egy kiválasztott részjelenségre összpontosít a modell, az egyéb befolyásoló tényezőket elhanyagolja, vagy leegyszerűsítve veszi figyelembe. Mindkét megközelítési módnak meg van a maga létjogosultsága. Szilárd test kemencében történő hevítésének vizsgálatánál pl. előnyös lehet a komplex modell alkalmazása. A gázok állapotváltozását jellemző összefüggések viszont sematizált, egy‐egy kiemelt jelenségre összpontosított modell segítségével határozhatók meg.
A vizsgálatok céljára a térnek a vizsgálat tárgyát tartalmazó részét lehatároljuk. A rendszerhatár lehet tényleges szilárd (cseppfolyós) határolóelem de képzeletbeli felületek is szolgálhatnak a vizsgált rendszer határoló felületeként. A rendszerhatáron kívül eső térrész a környezet.
Ha a rendszerhatáron keresztül nincs anyagáramlás, úgy a rendszer zárt. Ellenkező esetben nyitott rendszerről beszélünk. Az előzőek szerinti kialakításra példa a kívülről hevített, zárt, hozzá‐és elvezetés nélküli tartály esete. Nyitott rendszer pl. a kazán, amely mind a tüzelőberendezés fűtőanyag és levegőellátása oldaláról, mind a kéményen keresztül folyamatos anyagforgalommal jellemezhető kapcsolatban áll a környezettel.
6
A rendszer adiabatikus amennyiben környezetével nincs termikus kölcsönhatásban. Az adiabatikus rendszer nem zárja ki az anyagforgalmat. Szigetelt rendszer esetében viszont a környezet és a vizsgált térrész között sem anyag‐ sem hőátadási jelenség nem mutatkozik. Valamely rendszer fizikai állapotán a független fizikai jellemzők összegét értjük. Homogén rendszer esetében a fizikai állapot a teljes térrészben azonos. A rendszer inhomogén, ha a fizikai állapotát jellemző paraméterek, vagy azok valamelyike folyamatosan változik (pl. tűzterek). Ugrásszerűen változó fizikai jellemzők esetében heterogén rendszerekről beszélhetünk (kazán víztere a felette levő gőzpárnával).
Az egyensúlyban levő homogén rendszer, vagy a heterogén rendszer valamely homogén része a fázis. A fázishatár makroszkopikus határfelület, amely elválasztja az egyes fázisokat (szilárd vagy folyadék határfelület).
A fázisokon belül lehetnek komponensek, amelyek az adott térrészt (fázist) kitöltő anyag kémiailag elkülöníthető összetevőit jellemzik (pl. levegő esetén az oxigén és a nitrogén). Az egyszerű rendszerek egyfázisú, egykomponensű térrészként értelmezhetők (nitrogénnel töltött tartály). Több fázist tartalmaznak az összetett rendszerek. Ezek pl. a füstgázzal vagy akár levegővel telített terek, folyadék keverékek, emulziók.
Valamely rendszerre mértékadó fizikai jellemzők két módon képezhetők. Egy részük nem kapcsolható az alkotó komponensek, fázisok egy‐egy eleméhez, az adott rendszert összességében jellemzik. Ezek az intenzív mennyiségek (pl. hőmérséklet, fajtérfogat, nyomás). Más jellemzők térrész elemenként, fázisonként összegezhetők (tömeg, impulzus, enthalpia) ezek az extenzív fizikai jellemzők. Értékük általánosságban az
( )
( )
r dV F V∫
= ρ τ τ , (1.1)összefüggésből képezhető a ρ
( )
r,τ intenzitás függvény ismerete esetén. Amennyiben pl. a rendszer tömegét kívánjuk meghatározni, úgy a fenti függvény a sűrűség elosztást jellemzi. A rendszer környezetével termikus, materiális vagy mechanikus kölcsönhatásban lehet. A környezeti kapcsolat egyik tipikus, és a modellek kialakításánál gyakran alkalmazott formája az adiabatikus burok. Ekkor termikus és materiális kölcsönhatás nem lép fel (szigetelés) viszont villamos vagy mechanikai munka vihető be a rendszerbe csatlakozó kábelen vagy kívülről forgatott tengelyen keresztül.Egy rendszer egyensúlyi helyzete statikus állapot. A benne lezajló hőfolyamatok stacioner jellegűek. Erre példa az állandó hőmérsékletű helyiség és ugyancsak állandó hőmérsékletű külső környezet közötti, a falon keresztül lejátszódó hőcserefolyamat. Valójában a folyamatok többsége dinamikus, azaz rendszeresen lépnek fel az egyensúlyi állapot megváltoztatását előidéző hatások. Az előző példa esetében a külső hőmérséklet megváltozása vezet az egyensúly megbontásához. A folyamatok döntő része emiatt időfüggvényként értelmezhető. Számos esetben ugyanakkor kellő pontosságú eredményt ad a dinamikus folyamatnak egymást követő statikus állapotok sorozataként történő közelítése.
7
Az egyensúly a rendszeren belül három területen értelmezhető. Mechanikai egyensúly esetében térfogatváltozás vagy elmozdulás nem lép fel. A kémiai egyensúly feltétele a vegyi folyamatok hiánya. A termikus egyensúly kialakításának feltétele a rendszer (és a vele termikus kölcsönhatásban levő környezet) hőmérsékletértékeinek állandósága.
A rendszerben tapasztalt hőtani jelenségek a molekulák mozgására, ütközésére vezethetők vissza. A rendszer megismerése valamennyi részecske mozgási pályájának ismeretét igényelné, ami gyakorlatilag elképzelhetetlen. Az termikus állapotjellemzők (nyomás, sűrűség, hőmérséklet) a részecskék mozgásából adódó statisztikailag értelmezhető végeredményt jelentik. Eszerint a rendszer nyomása arányos a részecskék mozgási energiájával 3 2 ≈ p 2 mw N 2ź (1.2)
ahol N a vizsgált rendszer molekuláinak számát, wZ a részecskéknek a határoló falhoz való ütközésének sebességét jelenti. A hőmérséklet a molekulák mozgásának sebességével arányos a CT w= (1.3) összefüggés alapján. A sűrűség az egységnyi térfogatban elhelyezkedő összes molekula tömegét jelenti a Nm = ρ (1.4)
egyenletnek megfelelően, ahol N az egységnyi térfogatban található molekulák számát, m értéke egy molekula tömegét jelöli. Sűrűség helyett gyakran alkalmazunk ennek reciprok értékét a fajtérfogatot. A fizikai jellemző a tömegegységre vonatkozó anyag térfogatát jelenti. Gázok esetében a fenti állapotjellemzők ‐ nyomás, hőmérséklet, fajtérfogat ‐ közötti kapcsolatot a gáztörvények fejezik ki. Ezek alapformájukat tekintve ideális gázokra érvényesek. Ekkor a gázközeg tökéletesen összenyomható, a feltételezett sebességmezőt a súrlódási folyamatok nem befolyásolják és a folyamatok során nem következik be fázisváltozás.
A gáztörvények az állapotjellemzők meghatározott feltételei mellett végbemenő állapotváltozások eseteire érvényesek. Izoterm az állapotváltozás, ha a folyamat során a rendszer hőmérséklete állandó. Mivel a hőfolyamatok alapvetően a rendszer hőmérsékletének változása irányába hatnak, úgy ez az állapotváltozási forma hőközlést vagy hőelvonást tételez fel. Ekkor a nyomás és a fajtérfogat közti kapcsolatot a Boyle‐Mariotte féle törvény fejezi ki 2 2 1 1V pV p = (1.5) Ha a folyamat állandó nyomáson megy végbe úgy az állapotváltozási forma izobar. Ez alakul ki, ha egy egyik végén szabadon mozgó dugattyúval lezárt hengerben levő gázt melegítünk.
8 Ebben az esetben a hőmérséklet és fajtérfogat közti kapcsolatot Gay‐Lussac I. törvénye fejezi ki 2 1 2 1 TT VV = (1.6)
Az állandó térfogaton végbemenő izochor folyamatok esetében (térfogatát nem változtató, zárt tartályban levő gáz melegítése) a nyomás és a hőmérséklet arányait kifejező Gay‐Lussac II. törvénye teremt összefüggést 2 1 2 1 TT pp = (1.7)
Az (1.6) és (1.7) összefüggések a szélső állapotokra érvényesek (állandó térfogat, vagy nyomás). A három termikus jellemző egyidejű változása esetén a kölcsönkapcsolatot az általános gáztörvény fejezi ki. 2 2 2 1 1 1 T V p T V p ⋅ = ⋅ (1.8) Az 1.5 – 1.8 sz. összefüggések a gázok állapotának változási folyamatait jellemzik. Egy adott tömegű gázközeg nyomása, hőmérséklete és térfogata között a fenti kapcsolat van érvényben. Bármelyik paraméter változása úgy hat a másik két jellemzőre, hogy az 1.8 szerinti arány változatlan maradjon.
A törvény általánossá, a gáz tömegétől függetlenné tétele érdekében képezzük azt a viszonyszámot, amely megmutatja, hogy az adott gáz molekulatömege hányszorosa az oxigénmolekula tömeg 1/32‐d részének. Értékét kilogrammban kifejezve kilomólnyi tömeget (M) nyerjük. Mértékegysége kg/kmól.
Egy kilomólnyi tömegben az anyagtól függetlenül azonos számú molekula van (Loschmidt‐ Avogadró szám)
L = 6,023 x 1026 molekula/kmol
Eszerint azonos állapotjellemzőjű gázok tömegeinek aránya a molekulatömegek arányával azonos. Következésképpen egy kilomólnyi gáz térfogata ‐ a móltérfogat ‐ gázfajtától függetlenül azonos érték. Az un. fizikai normálállapotban T0 = 273K, p0 = 101,3kPa esetében Vmól = 22,415 m3/kmol. Az un. technikai normálállapotban (T = 293K, p = 98,066kPa) Vmól=24,8 m3/kmól. Az általános gáztörvény természetesen kilomólnyi tömeg (móltérfogat) esetében is érvényes. Ebben az esetben a egy mól R T V p = ⋅ 0 0 (1.8/a) kifejezés a gáz minőségétől és tömegétől független állandót jelent. Értéke
9 kmólK J Regy =8314,7 Amennyiben a fenti un. egyetemes gázállandót osztjuk az illető gáz móltömegével kgK J M R R= egy (1.8/b) az adott gázfajtára jellemző specifikus gázállandót kapjuk eredményül. Segítségével állítható elő az általános gáztörvény tömegegységre érvényes alakja. T R v p⋅ = ⋅ (1.8/c)
formában. Az 1.8/c kifejezés segítségével a gáz két termikus jellemzőjének ismeretében az 1.8/b sz. egyenlet alapján képzett specifikus gázállandó felhasználásával a harmadik meghatározható.
Az egyenletben az R gázállandó és a fajtérfogat értékek az adott gázfajtát jellemzik. Utóbbi a konkrét nyomás és hőmérséklet viszonyok mellett. A 8/a és 8/c sz. összefüggések szerinti számítások végzése során figyelembe kell venni az R állandók dimenzióját (J/kmólK ill. J/kgK). A nyomást tehát N/m2, a térfogatot m3/kmól vagy m3/kg mértékegységben kell megjelölni. Az 1.8, sz. egyenlet alkalmazásánál két állapot arányosítását végezzük, ekkor az eredményül nyert „2” állapothoz tartozó dimenziók azonosak az „1” állapot behelyettesítésénél alkalmazottakkal. Az 1.8 sz. kifejezésben a fajtérfogatot gyakran a sűrűséggel helyettesítik. Ekkor a gáztörvényt a RT p = ρ (1.9)
alakú egyenlet írja le. Bármelyik alakot alkalmazzuk, az ideális gáz két állapotjelzőjének ismeretében a harmadik meghatározható.
1.2 A TERMODINAMIKA I. FŐTÉTELE
A fizikai törvény az energia‐megmaradás elvére épülve valamely rendszer által képviselt energiaszint és a rendszeren vagy a rendszer által végzett mechanikai munka és a környezeti hőcsere között létesít kapcsolatot.
1.2.1 A RENDSZER ENERGIASZINTJE ‐ BELSŐ ENERGIA
A rendszer által képviselt energiaszint több komponensből tevődik össze. Meghatározó jelentőségű a belső energia (U). Ez az energiafajta a rendszert alkotó molekulák rendezetlen mozgásából adódik (transzlációs oszcillációs és rotációs) és figyelembe véve az (1.3) összefüggést, arányos a rendszer hőmérsékletével.
10
Az energiaszintet vegyileg aktív anyagok esetében jelentősen befolyásolja a rendszer által képviselt kémiai energia. Égési folyamat esetén pl. Ez az energiafajta alakul át belső energiává. A rendszer által képviselt kinetikai energia (áramló gázok, folyadékok) ugyancsak egyik eleme a térrész által képviselt teljes energia mennyiségnek. 2 2 w m Ekin = (1.10)
A potenciális energia a részecskéknél jelentkező gravitációs erő hatását fejezi ki. Arányos a vizsgált részecske függőleges irányú helyzetével.
mgh Epot =
(1.11)
Ahol "h" a folyadékoszlop magassága, azaz a vizsgált fluidum elemnek egy kiválasztott bázisértékhez képesti viszonylagos függőleges koordinátája.
A sugárzási energia a rendszert alkotó komponensek esetleges radioaktív, lumineszcenciás stb. sugárzó képességét jellemzi.
A rendszer energiatartalmának ezt a komponensét nem szabad azonosítani a hősugárzó képességgel. Ez utóbbi forrása ugyanis a belső energia és a rendszer ill. a környezet közötti hőcsere egyik meghatározó formája.
A felsorolt energia komponensek közül adott rendszer esetében többnyire csak egy‐két jellemző energiafajta értéke számottevő. A továbbiakban az I. főtétel levezetésének gondolatmenete a hőenergia gazdálkodási feladatoknál meghatározó szerepet betöltő belső energia és a külső energetikai hatások kapcsolatrendszerének meghatározására irányul.
1.2.2 MECHANIKAI MUNKA
A mechanikai munka a környezethez kapcsolódó mechanikai kölcsönhatás eredményeként jön létre. Két formában jelenik meg. A térfogatváltozási munka szemléltetése az 1.1. ábrán történik.
Mivel a folyadékok gyakorlatilag összenyomhatatlanok, a térfogat változási munka a gázhalmazállapotú közegekre jellemző.
Az 1 jelű helyzetből a 2 helyzetbe külső erő hatására elmozdított dugattyú munkát végez a rendszeren.
A térfogat csökkenésével egyidejűleg a rendszer nyomása nő. A végzett munka mennyisége az erőnek és az általa
11 létrehozott elmozdulásnak a szorzata. Esetünkben ez a Fdr pAdr dL= = (1.12) összefüggéssel fejezhető ki. Az Adr szorzat a dugattyú és a henger végfala között elhelyezkedő gázközeg térfogatváltozásának felel meg, így az elemi munka értékét a pdV dL= (1.13) összefüggés határozza meg.
A nyomás a térfogat függvénye, tehát a dugattyúnak az 1. pontból a 2. pontba történő elmozdulása során végzett munka a
∫
= 2 1 V V pdV L (1.14) kifejezésből határozható meg.Amennyiben a térfogatváltozás az ábra szerinti módon következik be, úgy külső erő végez munkát a rendszeren. Ekkor a munka értéke a fenti egyenlet értelmében negatív előjelű (V2 < V1). Fordított esetben a dugattyú a 2 helyzetből a hengertérben kialakult nyomás hatására az 1 jelű pozícióba mozdul el, az integrálási határok felcserélődnek, a végzett munka tehát pozitív előjelű. Más szóval a pozitív előjel a mechanikai munka átadásához, a negatív előjel az átvételhez kötődik.
A rendszer és környezete közötti kölcsönhatás másik megjelenési formája a surlódási munka. A folyamat visszafordíthatatlansága miatt ez minden esetben negatív előjelű (a mechanikai energiát csak átvenni képes). A rendszer mechanikai munkája a s L pdV L=
∫
2 − 1 (1.15) kifejezés alapján értelmezhető. Az egyenletből az előjelek szerepe is nyomon követhető. Az ábra szerinti elmozdulás esetén a munkát külső erő végzi, tehát az egyenlet jobboldalának első tagja negatív előjelű. A külső erő által végzett teljes munkamennyiséget a súrlódási munka növeli. Több energia befektetésére van szükség, mint amennyit a térfogatváltozás igényel. Fordított esetben a rendszer által végzett munka pozitív előjelű, a súrlódás ekkor ennek abszolút értékét – a dugattyú végén megjelenő hasznosítható energiát – csökkenti. Amennyiben rendszerünk adiabatikus, azaz környezetével nincs hőcsere kapcsolatban, úgy a külső munka és a (belső) energia megváltozása egyensúlyban vannak, azaz 12 1 2 U L U − =− (1.16)Az egyenlet a termodinamika 1. főtételének gáznemű közegek adiabatikus rendszerére megfogalmazott alakja. Az előjelekre vonatkozó fenti gondolatmenetet alkalmazva a rendszer belső energiája mechanikai munka átvételkor (kompresszió) növekszik, átadáskor (expanzió) csökken.
12
1.2.3 HŐCSERE A KÖRNYEZETTEL
Amennyiben a viszonyok nem adiabatikusak, azaz a rendszer és környezete hőcsere kapcsolatban állnak egymással, úgy a (1.16) egyenlet a 1 2 12 12 L U U Q − = − (1.17)
kifejezésnek megfelelően a hőmennyiség értékével kiegészül. Q12 jelöli a rendszerrel közölt hő mennyiségét (pozitív előjel) illetve az onnan elvont hőmennyiséget (negatív előjel).
Az (1.17) kifejezés a termodinamika I. főtetelének megfogalmazása tetszőleges termikus rendszer esetén. Eszerint egy rendszer belső energiájának változása a közölt hő és az elvont mechanikai munka különbségével arányos. A főtételt a gáznemű közegek állapotváltozásainak alapeseteire vonatkoztatva az alábbi összefüggések adódnak. Izochor esetben dV=0, tehát 1 2 12 U U Q = − (1.18) Izoterm esetben a hőmérséklettel arányos belső energiaérték változatlan, tehát 12 12 L Q = (1.19)
Adiabatikus esetben Q12=0, így a folyamatot az (1.16) összefüggés fejezi ki. Izobar esetben hőközlés (hőelvonás) hatására változik a belső energia, de térfogatváltozási munkavégzés is történik, így az (1.17) kifejezés érvényes.
Ha figyelembe vesszük a mechanikai munka két komponensét valamint a rendszer energiaszintjét jellemző további energiafajtákat, akkor a
(
)
(
)
kŽm kŽm s w w mg h h E E m U U L pdV Q 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 12 2 − + − + − + − = + −∫
(1.20)általános érvényű összefüggést nyerjük. A gyakorlati számítások többségénél a gázok potenciális energia különbsége ill. a folyadékok térfogatváltozási munkájából adódó energiafajta nem számottevő. A kémiai energia tüzelési vagy vegyipari folyamatok vizsgálatánál kerül figyelembe vételre.
A főtétel mind gáz, mind folyadék halmazállapotú közegek esetében érvényes. Utóbbi esetben természetesen az egyenlet baloldalának második, a térfogatváltozási munkát kifejező tagja zérus. 1.2.4 AZ ENTALPIA Bevezetve a V p H= U + ⋅ (1.21)
entalpia fogalmát egy kalorikus állapotjelzőt nyerünk, amely a belső energia és a térfogatváltozási munka összegeként képezhető.
13
Az entalpia mértékegysége [J], azonos a korábban „Q” jelöléssel bevezetett hőmennyiség dimenziójával. A két fizikai jellemző azonban más tartalmat képvisel. A hőmennyiséget a műszaki számításokban a vizsgált rendszer és környezete közötti termikus kapcsolat jellemzésére használják az átadott ill. elvont hő mennyiségének jellemzésére. Ugyanígy a rendszeren belüli hőáramlást is a (fajlagos) hőmennyiség jellemez. Az entalpia egy energiaszintet fejez ki, amelyben az 1.21 sz. definíciós egyenletnek megfelelően a nyomás és a térfogat hatása is kifejezésre jut.
A továbbiakban a levezetéseknél a fizikai mennyiségek általában fajlagos értékként, tömegegységre (térfogategységre) történő vonatkoztatással kerülnek feltüntetésre. Ez általános érvényük hangsúlyozása mellett a számítások végzésénél csökkenti a behelyettesítések dimenzió tévesztéséből adódó hiba veszélyét. Formailag ez a fizikai mennyiségek nagybetűs jeleinek kisbetűsre történő váltásával érzékeltethető. A műszaki számítások végzése során a képletekből nyert fajlagos értékeket a feladat szerinti tömeg vagy térfogat értékekkel szorozva adódik a konkrét eredmény. A fentiek figyelembe vételével az entalpia változása az (1.21) sz. kifejezésből a p v v p u h=Δ + Δ + Δ Δ (1.22) összefüggés alapján képezhető. Rendezés után a belső energia változás és a térfogati munka összege a h p v v p u+ Δ =− Δ +Δ Δ (1.23) egyenlet szerint fejezhető ki. Gázok esetében a termodinamika I. főtétele az (1.17) kifejezés tömegegységre vonatkoztatott alakjának rendezése után a 12 2 1 q l pdv du+
∫
= s + (1.24) összefüggés szerint képezhető. A két fenti egyenlet összevonásából nyerjük a termodinamika I. főtételének az entalpiával kifejezett alakját vdp dh l dq+ s = − (1.25) 1.2.5 A FAJLAGOS HŐKAPACITÁS A fajlagos hőkapacitás (fajhő) az a hőmennyiség, amely az egységnyi tömegű anyag egységnyi hőmérséklet növekedését (csökkenését) eredményezi. dT dq c= (1.26)A fajhő hőmérséklettől függő fizikai jellemző. A termodinamikai folyamatok alakulásában betöltött szerepe a belső energiával való kapcsolata alapján értékelhető.
14
A gáznemű közeg belső energiáját a nyomás, a hőmérséklet és a sűrűség határozza meg. Az általános gáztörvény ugyanakkor a fenti három állapotjelző között egyértelmű kapcsolatot teremt. A nyomás a hőmérséklet és sűrűség függvénye, így u=u(T,ν). A belső energia megváltozása tehát ν ∂ ∂ ∂ ∂ ν d v u dT T u du T + = (1.27)
alakban kereshető. Izochor állapotváltozás esetén az egyenlet jobboldalának második tagja zérus. Az I. főtétel értelmében a súrlódás elhanyagolása esetén a közölt, vagy elvont hőmennyiség teljes egészében a belső energia megváltozására fordítódik, tehát az izochor – állandó térfogathoz rendelt – fajhő a v v T u c ∂ ∂ = (1.28) kifejezéssel értelmezhető. Eszerint ebben az esetben az I. főtétel
∫
+∫
= + 2 1 2 1 12 l c dT pdv q s v (1.29) alakban áll rendelkezésre.Izobar állapotváltozás esetén a főtételnek az entalpiával kifejezett alakjából indulunk ki az (1.25) összefüggés szerint. A térfogat a hőmérséklet és nyomás függvénye, így az entalpia értékét a ) , ( Tp h h= (1.30) függvénykapcsolat jellemzi. Változását a dT T h dp p h dh p T ∂ ∂ ∂ ∂ + = (1.31) Differenciálegyenlet fejezi ki. Izobár feltételek mellett a jobboldal első tagja zérus. Az I főtétel értelmében a hőmennyiség a belső energia változás és a térfogati munka összege. Ez viszont az 1.23 egyenlet értelmében az entalpia változással is kifejezhető, így az állandó nyomású fajhő a p p T h c ∂ ∂ = (1.32)
kifejezéssel értelmezhető. Innen dh értékét az (1.25) sz. egyenletbe helyettesítve a termodinamika I. főtételének az állandó nyomású fajhővel kifejezett alakját nyerjük.
∫
∫
− = + 2 1 2 1 12 l c dT vdp q s p (1.33)15
Az állandó térfogaton ill. nyomáson vett fajhők közti kapcsolat az általános gáztörvény felhasználásával fogalmazható meg. Az (1.21) sz. egyenlet alapján ugyanis RT u h= + (1.34) illetve az entalpia megváltozása a RdT du dh= + (1.35) kifejezésekkel értelmezhető. Az 1.28 sz. egyenlet szerint dT c du= v (1.36) És az 1.32 alapján dT c dh= p (1.37) Az (1.35) egyenlet mindezek figyelembe vételével RdT dT c dT cp = v + (1.38) alakban írható fel, azaz R c cp − v = (1.39)
Az állandó nyomáson ill. térfogaton érvényes fajhőértékek különbsége tehát az egyetemes gázállandó. A fajhők hányadosa a κ = v p c c (1.40)
viszonyszámmal értelmezhető. A „κ” tényező az u.n. adiabatikus kitevő a gázok adiabatikus állapotváltozását jellemző hőfizikai állandó. Értéke kétatomos gázoknál κ ~ 1,4. A háromatomos gázok esetében κ ~ 1,3.
A gyakorlati számításoknál amennyiben zárt edényben lejátszódó folyamatokat vizsgálunk, az állandó térfogatú fajhő (cv) értékeit vesszük figyelembe. Áramló rendszerekben egy‐egy vizsgált szakaszon belül a nyomás közelítőleg állandó, ill. jellemző átlagérték képezhető. A fajhő értékét itt ehhez a nyomáshoz tartozó cp anyagjellemzővel kell figyelembe venni.
Az 1.42 sz. egyenletből látható, hogy az állandó nyomáson vett fajhő nagyobb, mint az állandó térfogathoz rendelt érték. Ennek a hőmérséklet növekedésre gyakorolt hatása gázok hevítése esetében a termodinamika első főtétele alapján értelmezhető. Hőközlés során izochor állapotváltozás esetén a teljes energia mennyisége a belső energia növelésére fordítódik (l12 = 0). A fajhőnek az 1.36 szerinti kifejezése ekkor az átadott teljes hőmennyiséggel ‐ jelen esetben a Δu értékével ‐ arányos. Az izobar fajhő értéke ugyancsak a teljes közölt hőmennyiséggel arányos az 1.37 sz. egyenlet értelmében. Figyelembe véve a kétféle fajhő érték különbözetét, azonos mértékű hőközlés által előidézett hőmérséklet
16
emelkedés izochor esetben nagyobb. Gyakorlatban tehát a zárt tartályokban a gáz „jobb hatásfokkal” melegíthető, mint nyitott (áramló) rendszerekben. Folyamatok esetében a hőmérséklet és ezzel együtt a fajhő értéke is változik. Egy melegedési folyamat vizsgálatánál a fajhő értékét a
( )
T dT c T T c T T p pk = −∫
1 0 0 1 1 (1.41) kifejezésből határozhatjuk meg. A T1 és T0 hőmérsékletek a folyamat kezdeti és végállapotát jellemzik. A hőtechnikai táblázatokban megadott T1 hőmérsékletekhez rendelt fajhő adatokhoz T0 =273K vonatkozási értékek tartoznak. Amennyiben T0 ≠ 273K, az aktuális fajhő adatai közelítőleg a T1 és T2 hőmérsékletekhez tartozó közepes fajhőadatok (táblázatos értékek) számtani átlagaként képezhető.Mind az entalpia mind a fajhő fontos állapotjelzője ill. fizikai jellemzője a folyadékoknak és a gázoknak egyaránt. Szilárd testek és folyadékok fajhőjénél természetesen nincs állandó térfogathoz ill. nyomáshoz rendelt érték. A fajhő ekkor az (1.26) definíciós egyenlet alapján közvetlenül használható hőkapacitások meghatározásánál.
Az 1. sz. függelék a műszaki gyakorlatban rendszeresen alkalmazott anyagok fajhő értékeit tartalmazza.
1.3 ÁLLAPOTVÁLTOZÁSOK HŐTECHNIKAI SZÁMÍTÁSAI
A gázok állapotváltozási folyamatai a gyakorlatban mindig valamilyen technológiai célhoz kötődnek és egy meghatározott feltételrendszerhez kell, hogy igazodjanak. A valóságban lezajló folyamatok szinte mindig jól modellezhetők az alaptípusok valamelyikével.
Az egyes folyamatok lefutását a p‐v síkon az 1.2. ábra szemlélteti.
Izochor állapotváltozás esetében mechanikai munkavégzés nem történik (pdv=0). Ekkor a
közölt (elvont) hőmennyiség és a hőmérséklet változás közötti összefüggés a
(
2 1)
12 c T T q = v − (1.42) Egyenlettel írható le (ld. 1.36 kifejezés). Az 1. sz. ábra segítségével értelmezve ez a rögzített helyzetű dugattyúnál történő hevítés (hűtés) esetét jellemzi.17 1.2. ábra. A gázok állapotváltozásifolyamatai Izobar esetben a hőmennyiség a hőmérséklet változások között az 1.37 sz. egyenlet szerint a
(
2 1)
12 c T T q = p − (1.43) kifejezés létesít kapcsolatot. A térfogati munka ekkor a súrlódás figyelmen kívül hagyásával az(
2 1) (
2 1)
12 p v v RT T l = − = − (1.44) egyenletből számítható. A térfogati munka és a hőmennyiség arányát tehát az κ κ 1 12 12 = = − p c R q l (1.45)viszony jellemzi. Figyelembe véve, hogy technikai gázok esetében κ=1,41, így az arány a gázfajtától független állandó – értéke ~ 0,29. Az izobar állapotváltozás az 1. sz. ábrán a szabadon mozgó dugattyú viszonyai melletti hőközléssel szemléltethető. Izoterm állapotváltozás esetén a hőmérséklet változatlan. A közölt hőmennyiség ekkor a
∫
= 2 1 12 pdv q (1.46) kifejezésnek megfelelően teljes egészében mechanikai munka végzésére fordítódik, illetőleg a rendszeren végzett mechanikai munka (pl. sűrítés) hőegyenértékét teljes egészében el kell vonni. Az 1.8 sz. egyenletből a nyomás értékét kifejezve behelyettesítés után a∫
= 2 1 12 v dv RT q (1.47)differenciál egyenletet nyerjük. A művelet elvégzését és az integrálási határok behelyettesítését követően a megoldás
18 1 2 12 ln v v RT q = (1.48) alakban áll rendelkezésre.
Az 1. sz. ábra modelljénél izoterm folyamat akkor valósul meg, ha az elvont (közölt) hő mennyisége kompenzálja a dugattyú mozgatása során fellépő kompresszió (expanzió) hatására bekövetkező hőmérséklet változást. Adiabatikus állapotváltozásnál a rendszer környezetével nem áll hőcsere kapcsolatban, azaz q12=0. Az első főtétel tehát 0 = + pdv dT cv (1.49) alakban jelenik meg. Képezve az általános gáztörvény differenciális alakját RdT vdp pdv+ = (1.50) és dT értékét az 1.49 sz. kifejezésbe helyettesítve a pdv R vdp pdv cv + =− (1.51)
Egyenletet nyerjük. Az 1.39 és 1.40 sz. egyenletek felhasználásával majd a pv szorzattal történő osztást követően az v dv p dp v dv =− ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −1 1 κ (1.52) összefüggés adódik. Kiemelve v dv értékét rendezés után a 0 = + p dp v dv κ (1.53)
szétválasztható differenciálegyenletet nyerjük. A megoldás az un. Poisson egyenletek alakjában jelentkezik llandó á v p⋅ κ = (1.54) vagy az általános gáztörvényből a nyomást ill. a térfogatot kifejezve és az 1.54 sz. egyenletbe behelyettesítve állandó v T⋅ κ−1 = (1.55) és állandó p T⋅ = − κ κ 1 (1.56) alakokban. A végzett térfogati munka mértéke
19 1 2 12 U U l = − − (1.57) A belső energia változását a fajhővel kifejezve dT c dl = v − 12 (1.58)
Az egyenletet az 1 és 2 állapot közötti véges szakaszra értelmezve és a T1 ill. T2 hőmérsékleteknek az általános gáztörvény szerint a p1v1 és p2v2 szorzattal történő kifejezése után az
(
1 1 2 2)
12 pv p v R c l = v − (1.59) összefüggés adódik. Az 1.54 szerinti Poisson egyenlet felhasználásával κ 1 1 2 1 2 1 2 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = p p p p v v p p (1.60) Rendezve az egyenletet κ κ 1 1 2 1 1 2 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = ⋅ p p v p v p (1.61) Az 1.39 és az 1.40 sz. kifejezések behelyettesítése után a végeredményt ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − κ κ κ 1 1 2 1 1 12 1 1 1 p p v p l (1.62) alakban nyerjük. A műszaki gyakorlatban a gázok folyamatait az izotermikus és adiabatikus közötti átmenetet képviselő politropikus állapotváltozás jellemzi a állandó v p⋅ m = (1.63) állapotfüggvény szerint, ahol κ < < m 1 (1.64) Hasonlóképpen érvényes formálisan a másik két Poisson egyenlet is állandó v T⋅ m−1 = (1.65) állandó p T m m = ⋅ 1− (1.66) formákban. Az 1.63 sz. kifejezés differenciális alakja a szorzat differenciálást elvégezve és vm‐1 értékkel történő osztást követően az 0 = + vdp mpdv (1.67)20 egyenlet szerint képezhető. Az általános gáztörvény differenciális alakja a RdT vdp pdv+ = (1.68) összefüggés szerint írható fel. Összevonás után
(
m−1)
pdv=−RdT (1.69)ahonnan a térfogatváltozási munka kifejezhető. Az 1.29 sz. egyenletbe helyettesítve a termodinamika I. főtétele politropikus állapotváltozás esetén tehát 1 − − = m RdT dT c dq v (1.70)
alakban áll rendelkezésre. A kifejezésben R értékét az 1. 39 sz. egyenlet szerinti fajhő különbségekkel kifejezve, majd alkalmazva az 1.40 összefüggést, a 1 − − = m m dT c dq v κ (1.71) egyenlethez jutunk. Bevezetve a 1 − − = m m c cm v κ (1.72) politropikus fajhő fogalmát az izochor és izobar folyamatokkal megegyező alakú dT c dq= m (1.73)
kifejezés adódik eredményül. Az 1.71 sz. egyenletből láthatóan cm< 0, így az izoterm állapotváltozással megegyezően politrópikus folyamat fenntartásához kompresszió során (dT > 0) hőelvonásra, expanzió esetében (dT < 0) hőközlésre van szükség.
A térfogatváltozási munka formálisan megegyezik az adiabatikus állapotváltozás során végzett (nyert) mechanikai munkával. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = − m m p p v p m l 1 1 2 1 1 12 1 1 1 (1.74) Az 1.3. ábrából láthatóan az izoterm és adiabatikus folyamatok a politropikus állapotváltozás határeseteit jelentik. A műszaki gyakorlatban az adiabatikus állapot változás csak közelítőleg valósítható meg. A környezettel történő termikus kapcsolat teljes mértékben még különleges szigetelések alkalmazása esetén sem szüntethető meg. Másrészt a gáztörvények értelmében a nyomás‐ vagy térfogatváltozás hatást gyakorol a rendszer hőmérsékletére. Izoterm folyamat tehát csak külső beavatkozás esetén (hőközlés vagy hőelvonás) alakítható ki. A spontán ill. nem temperáló célzatú beavatkozással létrejött folyamatok politrópikus jellegűek. A szükséges hőtani számítások az „m” politrópikus kitevő értékének ismeretét igénylik.
21
1.3. ábra.
1.4 AZ ENTRÓPIA
A hőtani folyamatok értékelése szempontjából lényeges, hogy a hő közlése (elvonása) milyen hőmérsékleten történik. Az ENTRÓPIA fogalmának bevezetésével a hőközlési folyamatok a közeg entrópia változásaként értelmezhetők a
[
J K]
T Q S =Δ Δ (1.75)definiciós egyenlet szerint. Az entrópia kalorikus állapotjelző. Értéke a három termikus állapotjelző segítségével (nyomás, hőmérséklet, fajtérfogat) kifejezhető.
Ideális gázok esetén a súrlódási munka elhanyagolása esetén a termodinamika I. főtételének tömegegységre vetített alakja az 1.29 sz. kifejezés alapján
∫
+∫
= 2 1 2 1 pdv dT c dq v (1.76) A jobboldal második tagjából a nyomás értékét az általános gáztörvény 1.8/c sz. egyenlet szerinti alakjából kifejezve az 1.76 sz. alapösszefüggés v dv R T dT c ds= v + (1.77) formában a hőmérséklet és a fajtérfogat függvényeként jelenik meg. Hasonló módon az 1.33 sz. egyenlet felhasználásával az entrópia változás a hőmérséklet és nyomás segítségével is értelmezhető. p dp R T dT c ds= p − (1.78)22
Az entrópia változás mint a fajtérfogat és a nyomás függvénye az 1.77 sz. kifejezésből származtatható. R értékét az 1.39 sz. egyenlet szerint képezve rendezés után ) ( v dv T dT c T dT c ds= p + v − (1.79)
Képezve az általános gáztörvény 1.50 sz. összefüggés szerinti differenciális alakját és az egyenletet a pv szorzattal osztva a p dp v dv T dT − = (1.80)
alakú kifejezést nyerjük. Az egyenlet baloldalát az 1.79 sz. összefüggésbe helyettesítve a keresett függvény p dp c v dv c ds= p + v (1.81) formában áll rendelkezésre. A nyomás, a fajtérfogat (sűrűség) és a hőmérséklet termikus állapotjelzők. A belső energia, az entalpia és az entrópia az un. kalorikus állapotjelzők. A gázok (gőzök) állapotváltozási folyamatai az I. főtétel ill. az általános gáztörvény alapján két állapotjelző segítségével értelmezhetők. Az eddig tárgyalt a p‐v síkon való ábrázolásmód a fentiek alapján kiegészülhet a T‐s síkon történő ábrázolással. Az 1.74 sz. definíciós egyenlet értelmében ebben az esetben a közölt hőmennyiség értéke a kezdeti és végpont által határolt görbeszakasz alatti területtel arányos. Az állandó térfogathoz tartozó izochor görbék az 1.77 sz. egyenletből adódóan 1 2 1 2 lnT T c s s − = v (1.82) alakú logaritmus függvények. Izobar esetben ugyancsak logaritmusos függvény fejezi ki az entrópia változását 1 2 1 2 ln T T c s s − = p (1.83) A T‐s síkon tehát eltérő meredekségű, de mindkét esetben logaritmikus jellegű görbesereget kapunk. Az izotermát vízszintes, az adiabatát függőleges egyenes jelképezi (ΔT=0 ill. ΔS=0 ). Politrópikus folyamatok entrópia változását az 1.73 sz. kifejezés alapján az 1 2 1 2 lnT T c s s − = p (1.83/a) összefüggés fejezi ki.
23
Az 1.3 sz. ábra a T‐s síkon mutatja be a különböző állapotváltozási folyamatokat jellemző diagramokat. Az izobar és izochor és politrópikus görbékhez rendelt adott pontbeli érintőknek (iránytangenseknek) a T = 0 tengellyel való metszéspontja a cp, cv és cm fajhőértékekkel arányos szakaszokat jelöl ki.
A T‐s diagramok előnyösen alkalmazhatók olyan esetben, amikor az állapotváltozást fázisváltozás kíséri gőzképződés vagy kondenzáció formájában. Az 1.4 sz. ábra a víz‐gőz fázisátalakulás folyamatát szemlélteti. 1.4. ábra. A víz‐gőz fázisátalakulási folyamata Az 1.4 sz. ábra baloldali határoló görbéje az un. alsó határgörbe a tiszta folyadékfázis határát jelöli. A diagramrész egyes szakaszaihoz rendelhető görbe alatti terület a folyadék adott hőmérsékletre történő melegítésének hőszükségletét jelenti. Az adott hőmérséklethez egy adott telítettségi nyomásérték tartozik. Ha a rendszer nyomása ezt eléri ‐ illetőleg ha adott nyomású rendszerben a folyadék eléri az adott nyomásértékhez tartozó telítettségi hőmérséklet értéket, úgy a gőzfejlődés megindul. A nyomás‐ és hőmérsékletértékek változatlanok egészen a fázisátalakulás befejezéséig (felső határgörbe) A gőzzé válás hőszükséglete a vízszintes szakasz alatti területtel arányos (forráshő). Ezt követően a további hőközlés a nyomás ill. hőmérséklet (izobar állapotváltozás esetén) meredek emelkedéséhez vezet. Ez az u.n. túlhevítési szakasz. Távolodva a felső határgörbétől a gőz egyre inkább ideális gázként viselkedik.
Az alsó és felső határgörbék a hőmérséklet növekedésével közelednek egymáshoz, majd az un. kritikus pontnál egybeolvadnak. Ennél magasabb hőmérséklet esetén már folyadékfázis nem jelenik meg, a szilárd fázis közvetlenül megy át gőzállapotba. Itt figyelembe kell venni, hogy a határgörbék minden pontjához tartozik egy telítettségi nyomásérték is. Víz esetén a kritikus értékek: pkr=218 bar, Tkr=374 C°.
24 1.5 KÖRFOLYAMATOK
Az I. főtételben megfogalmazott kapcsolatot a rendszeresen nyert (befektetett) mechanikai munka és a közölt (elvont) hőmennyiség között a gyakorlatban akkor hasznosítható, ha az állapotváltozás befejeztével egy ellenirányú folyamat során a munkát végző közeg ismét az eredeti állapotba kerül. A folyamat ekkor ciklikussá válik, megteremtődik a folyamatos munkavégzés feltétele. Az 1.5 sz. ábra a T‐s síkon ábrázolva mutat be egy elemi körfolyamatot. 1.5. ábra. Elemi körfolyamat
Az 1. pontban a közeg folyadék halmazállapotban van jelen "T" hőmérsékleten. Hőközlés közben (entalpia növekedés) megindul a gőzzé válás folyamata, amely a 2. pontban fejeződik be. A közeg hőmérséklete állandó. A telített gőzt komprimáljuk (3. pont) de közben hőt is kell tőle elvonni, a túlhevített állapot elkerülése érdekében. A folyamat politrópikus jellegű. A további hőelvonás kondenzációt eredményez (4 pont) és a tiszta folyadékfázis újabb hőmennyiség elvonásával kerül vissza az eredeti állapotba. Az s’ és s’’ jelölések folyadék ill. gőzállapothoz tartozó elemi folyamaton belüli „közepes” entrópia szintet jelölik.
Ugyanez a folyamat a p‐v síkon a p ill. p+dp állandó nyomásszinteken ábrázolható (1.6. ábra). A diagram baloldali szára a folyadék összenyomhatatlansága miatt gyakorlatilag függőleges (v’ = áll). A gőzfázisban v’’ a „közepes” fajtérfogat értéket jelöli.
A körfolyamat zárt, így a belső energiaváltozás a teljes folyamatra 1.6. ábra.
25 vonatkozóan
∫
U = 0. Az első főtételt alkalmazva∫
∫
dq= dl (1.84) A körfolyamat megvalósítása során közölt és a folyadék visszahűtésekor a rendszerből távozó hőmennyiség az 1.5 sz. ábra jelöléseivel(
)
dT T r dT s s dq= − =∫
,, , (1.85) A körfolyamat az elgőzölögtetés és a kondenzáció nyomáskülönbségével arányos mechanikai munkát eredményez a(
v v)
dp dl= ,,− ,∫
(1.86)kifejezésnek megfelelően. A két utóbbi egyenletnek az 1.84 sz. kifejezésbe történő behelyettesítéssel az un. Clausius‐Clapeyron egyenlethez jutunk
(
)
dT dp T v v r = ,, − , (1.87) ahol r a folyadék elpárologtatásának hőigénye az adott hőmérsékleten (forráshő). Az egyenlet a kalorikus és termikus állapotjellemzők között teremt kapcsolatot.Az 1.7. ábra egy tetszőleges körfolyamatot mutat be a p‐v síkon. A gáz állapotváltozása során az 1. pontból a 2. pontba került, eközben
∫
=∫
=2 1 2 1 pdv dl Lértékű munkát végzett. Ahhoz, hogy ez az állapotváltozás létrejöjjön, Q1 mennyiségű hő közlésre volt szükség. Az I. főtétel értelmében
∫
2 =∫
+∫
1 2 1 2 1 dl dU dQ (1.89) A folyamat megismételhetősége érdekében a közeget vissza kell juttatni a kiindulási állapotba (1. pont). Ha ez a felső görbe mentén történne, úgy az expanzió által nyert teljes munkamennyiséget az eredeti állapotba történő visszatéréshez szükséges kompresszióra kellene fordítani, a nyert munka felemésztődne. A közeg visszajuttatása tehát az alsó görbe mentén történik. A nyert munka a két görbe által bezárt területtel arányos. Az I. főtételt a teljes folyamatra felírva∫
∫
∫
dQ= dU + dL (1.90) 1.7. ábra. Körfolyamat a p‐v síkon26 belátható, hogy a jobboldal első tagja
∫
dU = 0, mivel a zárt folyamat kezdeti és végállapota azonos. Eszerint L Q Q dQ= − =∫
1 2 (1.91) azaz a közölt hőnek csak egy része jelentkezik mechanikai munka "nyereség" formájában, egy másik része az eredeti állapot visszaállítására fordítódik.Az 1.92 sz. összefüggéssel értelmezett termikus hatásfok megmutatja, hogy a közölt hőnek milyen hányada jelenik meg mechanikai munka alakjában 1 2 1 1 Q Q Q Q L t − = = η (1.92) A fenti általánosan vázolt folyamatot gyakorlati állapotváltozás módokra visszavezetve az 1.8. ábrán bemutatott un. Carnot féle körfolyamathoz jutunk. A közeggel az 1. ponttól kezdődően folyamatosan Q1 hőmennyiségét közölve annak expanziója izoterm feltételek mellett megy végbe, a rendszer munkát végez. A 2.
pontban a hőközlést
megszüntetjük, a gáz hőszigetelt környezetben (adiabatikus viszonyok) tovább expandál. A munkavégzés ellentétele ekkor a belső energia csökkenése, mivel a 3. pont egy alacsonyabb hőmérsékleti szintet képvisel. A kompresszió (3‐4 görbe szakasz) első része ezen az alacsonyabb hőmérsékleti szinten történik mechanikai munka befektetése és az ezzel arányos Q2 hőmennyiség egyidejű elvonása által. A 4. pontból az 1. pontba történő visszajuttatása a közegnek további kompresszióval (mechanikai munka befektetés) történik, de adiabatikus feltételek mellett a rendszer belső energiájának növelésével egyidejűleg. A közeget ismét a magasabb hőmérsékleti szintre emeljük biztosítva az újbóli munkavégzés képességét. Az 1.48 sz. összefüggés figyelembevételével izotermikus állapot változásnál 1 2 1 1 ln V V RT Q = (1.89) 4 3 2 2 ln V V RT Q = (1.90) Figyelembe véve az adiabatikus állapotváltozás 1.54 sz. Poisson egyenletét 1.8. ábra. Carnot féle körfolyamat
27 1 1 4 2 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = κ V V T T ill. 1 2 3 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = κ V V T T (1.91) azaz a fenti körfolyamatnál 4 3 1 2 V V V V = (1.92) A Carnot körfolyamat hatásfoka 1 2 1 2 1 1 T T Q Q Q t = − − = η (1.93) Értéke tehát csak a kezdeti és végállapot hőmérséklet értékétől függ.
A körfolyamat elemzéséből kitűnik, hogy létrejöttének feltétele egy hőforrás, amely a magasabb hőmérsékletű közeg felé hőt képes átadni, és egy hőnyelő (hűtőközeg), amely az alacsonyabb hőmérsékleti szinten átveszi a közeg hőtartalmának egy részét (ld. az 1.8 ábra 1‐ 2 ill. 3‐4 izoterm szakaszai).
A munkavégzés minden esetben a magasabb hőmérsékleti szintnek alacsonyabbra történő juttatása által történik. Ez az alacsonyabb hőmérsékleti szint ugyanakkor még mindig magasabb a környezet hőmérsékleténél. A hőnek mechanikai munkává történő folyamatos alakítása mindig energiaveszteséget jelent. A hőből mechanikai munkát csak annak hőmérséklet szintje csökkenése mellett nyerhetünk abban az esetben, ha a munkát végző közeg hőmérséklete magasabb a környezeténél.
Más megközelítésben a hőnek mechanikai munkává történő folyamatos átalakításához nem elegendő egy magas hőmérsékletű „hőtartály”, hanem szükség van egy „végtelen” kapacitású hideg környezetre is, ahonnan a hőt mechanikai munka befektetésével kell visszaemelni az eredeti hőmérsékleti állapotba.
A folyamatos munkavégzés a körfolyamat fenntartása miatt minden esetben igényli a közeg hőmérsékletének az eredeti szintre történő emelését. Ez mechanikai munka befektetéssel történik (kompresszió). A mechanikai munka azonban minden esetben ‐ expanziónál is ‐ súrlódási jelenséggel jár együtt. A súrlódás okozta hőfejlődés a rendszer számára veszteség, a folyamatban meg nem fordítható (irreverzibilis) elemet jelent, mivel az előzőek szerint a képződött hő csak körfolyamat keretében ‐ tehát veszteséggel ‐ alakítható vissza mechanikai munkává. Ez következik a termodinamika II. főtételéből, amely szerint a hő alacsonyabb hőmérsékleti szintről magasabbra áramolni nem képes.
A természetben irreverzibilis, azaz meg nem fordítható hőfolyamatok játszódnak le. Egy rendszer eredeti állapota csak úgy állítható vissza eredeti állapotába, ha a környezetben is változás következik be.
A termodinamika II. főtétele nem zárja ki az alacsony hőmérsékleten rendelkezésre álló hőenergia hasznosítási lehetőségét. A hőszivattyúk működési elve az 1.9. ábrán látható.
28
Az alkalmazás feltétele, hogy a körfolyamatban résztvevő közeg forráspontja alacsonyabb legyen a „hőtartály” hőmérsékleténél. Az elpárologtatóban a T1 hőmérsékletű folyékony közeg a T0 hőmérsékletű hőforrásból átvett hőmennyiség hatására izoterm állapotváltozás közben gőzállapotba kerül. A sűrítési fázis a hőveszteségek miatt politrópikus folyamat. A túlhevített gőz T2 hőmérséklete már alkalmas általános gyakorlati célú hőhasznosításra – pl. fűtőrendszerek primer energiahordozójaként. A gőz hőtartalmát izobar folyamatban hasznosítva az adott nyomáshoz tartozó telítettségi hőmérsékletre hűl, majd kondenzáció ill. nyomáscsökkentés után jut vissza eredeti állapotába.
Alacsony forráspontú közeg alkalmazása esetén pl. a földhő, vagy a tengervíz hőtartalma is hasznosítható.
1.6 FELADATOK
1. FELADAT
Acéltartályban 2 kg tömegű, 30 bar nyomású és 150 C° hőmérsékletű széndioxidot tárolunk. A gázt lehűtjük, és eközben a nyomása lecsökken 25 bar értékre. A széndioxid molekulatömege: 44 kg/kmol. Határozza meg a tartály térfogatát és a végállapot hőmérsékletét!
Megoldás
Kilomólnyi tömegű (44 kg) fizikai normálállapotú CO2 gáz térfogata 22,415 m3. Arányosítással 2 kg gáz esetében 1,019 m3 adódik. Ez az érték 101,3 kPa nyomás és 273 K hőmérséklet esetén érvényes (normálállapotban). A kérdéses térfogat az 1.8 sz. egyenlettel jellemzett általános gáztörvény alapján határozható meg a 2 1 1 2 1 2 p p T T V V = egyenletből. Az „1” index itt a normálállapotra, a „2” index a példa szerinti nyomás, térfogat és hőmérséklet adatokra vonatkozik. Behelyettesítés után a tartály térfogata V2 = 0.053 m3 értéknek adódik. 1.9. ábra.
29
Azonos eredményre jutunk, ha az 1.8/c sz. egyenletet alkalmazzuk és a CO2‐nek az 1.8/c egyenlet szerint számított specifikus gázállandóját (RCO2=189 J/kgK) helyettesítjük be. Ekkor a fajlagos térfogat (v2 = 0,0265 m3/kg) adódik eredményül. A 2 kg tömegű CO2 esetében tehát V2 = 0.053 m3
A hűtés következtében beálló nyomáscsökkenés izochor állapotváltozás eredménye. A végállapot hőmérséklete (T2) az 1.7 egyenlet szerinti Gay‐Lussac II törvény alapján határozható meg. Behelyettesítés után
T2 = 353 K = 80 C°
2. FELADAT
Két db egyenként 100 l térfogatú nitrogénnel telt tartályt kívülről melegítünk. A gáz nyomása 5 bar. Az egyik tartály fedelét hegesztéssel rögzítjük, a másik esetében biztosítjuk annak szabad mozgását (hengerteret határoló dugattyú). A hevítés során a gáz hőmérséklete 20C°‐ ról 60C°‐ra emelkedik. A nitrogén izochor fajhője cv = 0,742 kJ/kgK. A gáz normál állapotbeli sűrűsége 1,25 kg/m3. Számítsa ki a folyamat hasznos hő szükségletét mindkét esetben! Megoldás Első részfeladat a nitrogén tömegének meghatározása. A tartályban lévő nitrogén sűrűsége az általános gáztörvény 1.9 szerinti alakjából határozható meg. A normál állapotot (p = 101,3 kPa; T = 273K) „1”, a példa szerinti állapotjelzőket „2” indexszel jelölve és az egyenletbe helyettesítve ρ2 = 5,75 kg/m3 eredmény adódik. A nitrogén tömege tehát
mN2 = 0,1∙5,75 = 0,575 kg
A rögzített fedelű tartály esetében izochor hőközlési folyamat játszódik le. A szükséges hőmennyiség az 1.41 sz. egyenlet alapján határozható meg. Az értékeket behelyettesítve Qizochor = 0,742∙0,575(60‐20) = 17,07 kJ
A mozgatható fedéllel határolt tartály esetében izobar folyamat játszódik le. A szükséges hőmennyiség az 1.42 sz. összefüggésből adódik. Az izobar fajhő értéke az izochor ismeretében határozható meg. A kettő arányát a „κ” adiabatikus kitevő fejezi ki az 1.40 sz. egyenlet szerint. Nitrogén – kétatomos gáz ‐ esetében κ = 1,4. Az izobar fajhő értéke tehát cp = 1,039kJ/kgK. Az 1.42 sz. kifejezésből adódóan Qizobar = 1,039∙0,575(60‐20) = 23,9 kJ A hivatkozott összefüggésekben a „q” jelölés tömegegységre vetített fajlagos értékekre utal (kJ/kg). A számítás „Q” betűjele az adott tömeghez rendelt konkrét hőmennyiséget jelzi (kJ).
30
3. FELADAT
A merev falú, 3 m3 térfogatú tartályban sűrített levegőt tárolunk 40 bar nyomáson. A gáz hőmérséklete 10 C°. A levegő közelítőleg 79% N2 és 21% O2 komponensekből áll. Mekkora a tartályban levő, feltételezés szerint ideális gáz tömege?
Megoldás
Normálállapotban kilomólnyi tömegű gáz térfogata 22,41 m3. A példában megadott összetételű gázkeverék „móltömege” a nitrogén (MN2 = 28 kg/kmól) és az oxigén (MO2 = 32 kg/kmól) százalékos arányának megfelelően képezhető. Eszerint a levegő fiktív móltömege Mlev = 28∙0,79 + 32∙0,21 = 28,84 kg/kmól
A fenti érték tehát 22,41 m3 normálállapotú levegő tömege. A tartályban tárolt levegő normál térfogata az általános gáztörvény (1.8) alapján számítható. 3 27 , 114 283 273 013 , 1 40 3 m Vlevn = = Arányosítással a fenti normál térfogat tehát m = 28,84∙ 41 , 22 27 , 114 = 147,06 kg tömegű levegőt jelent.
Azonos eredményhez jutunk a levegőre jellemző specifikus gázállandó alkalmazása esetén. Ekkor az 1.8/b sz. egyenlet értelmében Rlev = 288,3 J/kg K Értékét a 1.8/c sz. kifejezésbe helyettesítve a fajlagos térfogat 0,0204 m3/kg. A feladat szerinti 3 m3 térfogatú tartályban tehát m = 024 , 0 3 = 147,06 kg levegőt tárolunk. 4. FELADAT
10 m3 térfogatú zárt tartály 3 bar nyomású, 30C° hőmérsékletű levegővel van megtöltve. A tartályt 400 Nm3/h teljesítményű füstgázárammal melegítjük 30 percen keresztül. A levegő izochor fajhője cvlev = 0,93 kJ/m3K. A füstgáz a hevítés során 300 C° ‐ról 200 C° ‐ra hűl. A 250C° átlaghőmérsékleten vett fajhője cp = 1,39 kJ/m3K. A leadott hőmennyiség 30%‐a hasznosul a tartályban lévő levegő melegítésére.
