Transformadas de Laplace
Matemática Aplicada
Carlos Luz
Conteúdo
1 Introdução 2 2 Definição e exemplos 2 3 Existência e Unicidade 6 3.1 Existência . . . 6 3.2 Unicidade . . . 74 Propriedades da transformação de Laplace 8 4.1 Linearidade . . . 8
4.2 Transformada de f(t − a), a ≥ 0 (deslocamento) . . . 8
4.3 Transformada de uma função periódica . . . 9
4.4 Transformada de f(at), a > 0 (mudança de escala) . . . 10
4.5 Transformada da derivada . . . 10
4.5.1 Transformada da derivada de ordem n . . . 11
4.6 Transformada do integral indefinido . . . 11
5 Propriedades da transformação inversa de Laplace 13 5.1 Linearidade . . . 13
5.2 Original de F(s + a), a ∈ IR (deslocamento) . . . 14
5.3 Original de F(as), a ∈ IR+ (mudança de escala) . . . 14
5.4 Original de F(s) × G(s) (convolução) . . . 15
1
Introdução
As transformadas de Laplace constituem uma das ferramentas do cálculo operacional (ou simbólico) de maior importância nas aplicações à física, à mecânica e à electrotecnia. Nomeadamente, podem ser aplicadas à resolução de edo’s lineares com coeficientes constantes, sendo a aprendizagem desta técnica um dos principais objectivos do estudo que aqui iniciaremos. As-sim, começaremos por definir a noção de transformação de Laplace e dar alguns exemplos de transformadas de Laplace de funções de utilização prá-tica habitual. Referir-nos-emos seguidamente à existência e unicidade das transformadas de Laplace e terminaremos com a apresentação das principais propriedades da transformação de Laplace e da sua inversa.
2
Definição e exemplos
Definição 1 Seja f uma função real ou complexa definida em [0, +∞[
inte-grável em cada intervalo limitado. Chama-se transformação de Laplace à aplicação
L : f −→ F(s) = +∞
0
e−stf(t)dt
em que s é um número complexo. A função F(s) diz-se a transformada de
Laplace de f e representa-se por L[f(t)]. Escreve-se então: L[f(t)] = F(s).
Exemplo 1 Função Unitária de Heaviside. Esta função define-se por: H(t) = 1, se t ≥ 0 0, se t < 0 . Então, L[H(t)] = +∞ 0 e−st1dt = lim T →+∞ T 0 e−stdt = lim T →+∞ −e−st s T 0 = 1 s − limT →+∞ e−sT s = 1 s,
desde que Re s > 0. Com efeito, escrevendo o número complexo s na forma s = a + ib tem-se, atendendo à fórmula de Euler, eix= cos x + i sen x,
Consequentemente, lim T →+∞|e −sT| = lim T →+∞e −aT = 0
desde que Re s = a > 0. Portanto,
L[H(t)] = 1
s, para Re s > 0.
Exemplo 2 Distribuição de Dirac. Supondo >0, considere-se a família de funções
f(t) =
1
, se t∈ [0, ]
0, se t /∈ [0, ] .
A distribuição de Dirac, representa-se por δ e pode ser identificada com o limite de f quando → 01. Como
L[f(t)] = 0 e−st1 dt= 1 − e−s s , vem L[δ(t)] = lim →0L[f(t)] = lim→0 1 − e−s s = 1. Consequentemente, L[δ(t)] = 1.
Exemplo 3 Função exponencial. Considere-se para t ≥ 0 a função
f(t) = e−at, em que a∈ C. Então, L[f(t)] = +∞ 0 e−ste−atdt= lim T →+∞ −e−(s+a)ts+ a T 0 = limT →+∞ 1 − e−(s+a)T s+ a = 1 s+ a, desde que Re(s + a) > 0, pois neste caso tem-se,
lim T →+∞|e −(s+a)T| = lim T →+∞e − Re(s+a)T = 0. Portanto, L[e−at] = 1
s+a, para Re(s + a) > 0.
1Em Física a distribuição de Dirac representa uma acção que se exerce num intervalo
de tempo muito pequeno, sendo por isso conhecida por função impulso. Mas na realidade, não se trata de uma função no sentido habitual como se constata calculando olim→0f. No entanto, sacrificando o rigor, age-se muitas vezes como se este limite fosse uma função e escreve-se:
δ(t) =
+∞, se t = 0 0, se t= 0 .
De forma igualmente abusiva é também costume escrever −∞+∞δ(t)dt = 1 dado que, para todo o >0, é válida a igualdade lim→0−∞+∞f(t)dt = 1.
Exemplo 4 Funções trigonométricas. Considerem-se, para t ≥ 0, as funções cos ωt e sen ωt em que ω ∈ IR+. Da fórmula de Euler sai que
eiωt+ e−iωt = 2 cos ωt e
eiωt− e−iωt = 2i sen ωt.
Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3, tem-se paraRe s > 0,
L[cos ωt] = 1 2
L[eiωt] + L[e−iωt] = 1
2 1 s− iω + 1 s+ iω = s s2+ ω2 e L[sen ωt] = 1 2i
L[eiωt] − L[e−iωt] = 1
2i 1 s− iω − 1 s+ iω = ω s2+ ω2. Portanto, para Re s > 0 são válidas as igualdades:
L[cos ωt] = s
s2+ω2,
L[sen ωt] = ω
s2+ω2.
Exemplo 5 Funções hiperbólicas. Considerem-se, para t ≥ 0, as funções
hiperbólicas
cosh ωt = eωt+ e2 −ωt senh ωt = eωt− e2 −ωt
em que ω ∈ IR+. Então, atendendo à linearidade do integral e ao exemplo 3, tem-se para Re s > ω, L[cosh ωt] = 1 2 L[eωt] + L[e−ωt] = 1 2 1 s− ω + 1 s+ ω = s s2− ω2. e
L[senh ωt] = 12L[eωt] − L[e−ωt]= 1
2 1 s− ω − 1 s+ ω = ω s2 − ω2. Portanto, para Re s > ω são válidas as igualdades:
L[cosh ωt] = s
Exemplo 6 Função potência. Supondo t ≥ 0, considere-se para cada
n ∈ IN a função f(t) = tn. Usando o método de integração por partes
obtém-se, L[f(t)] = +∞ 0 e−sttndt = lim T →+∞ T 0 e−sttndt = lim T →+∞ e−sttn −s T 0 + n s T 0 e−sttn−1dt = lim T →+∞(−e −sTTn) + n sL[t n−1].
Ora, limT →+∞(−e−sTTn) = 0 se Re s > 0. Portanto, para os valores de s que satisfazem esta condição é válida a igualdade
L[tn] = n sL[t n−1]. Por consequência, L[t] = n sL[1] = 1 sL[H(t)] = 1 s2, L[t2] = 2 sL[t] = 2 s3 e, por indução, conclui-se que
L[tn] = n!
sn+1 para Re s > 0.
Exercício 1 Usando a definição calcule a transformada de Laplace das se-guintes funções: 1. f(t) = 5, se 0 ≤ t ≤ 3 0, caso contrário .
R : 5(1−es−3s), para qualquer s . 2. H(t − a) = 1, se t > a 0, caso contrário , a >0. R : e−ass , para Re s > 0 . 3. g(t) = e−atcos ωt, a, ω > 0. R : s+a (s+a)2+ω2,Re s > 0 . 4. h(t) = te−at, a >0. R: (s+a)1 2,Re (s + a) > 0 .
3
Existência e Unicidade
3.1
Existência
A transformada de Laplace de uma função f só existe se o integral impróprio +∞
0 e−stf(t)dt for convergente2. Para tal é suficiente que f satisfaça as
condições seguintes:
1. f seja seccionalmente contínua3 em[0, +∞[;
2. f seja de ordem exponencial, isto é, existem constantes M > 0 e
α∈ IR tais que
|f(t)| ≤ Meαt, ∀t ≥ 0. (1)
Exemplo 7 A função sen t verifica | sen t| ≤ 1 = 1e0t para todo o t ≥ 0.
Bastará assim considerar M = 1 e α = 0 para se concluir que sen t é de
ordem exponencial. Repare-se, a propósito, que toda a função limitada é de ordem exponencial. Também todo o polinómio P(t) =nk=0aktk (a
k ∈ IR)
é de ordem exponencial pois, para t≥ 0, |P(t)| ≤n
k=0
|ak|tk≤ (n + 1) max |ak|ent,
atendendo a que t ≤ et. Consequentemente, tomando α = n e M = (n +
1) max |ak|, conclui-se que a desigualdade (1) é satisfeita.
Formaliza-se seguidamente uma condição suficiente de existência da trans-formada de Laplace.
Teorema 1 Seja f(t) uma função seccionalmente contínua em [0, +∞[ e
de ordem exponencial tal que |f(t)| ≤ Meαt, para t ≥ 0. Então, o integral
impróprio 0+∞e−stf(t)dt é convergente para os valores de s ∈ C tais que Re s > α. Deste modo, para estes valores de s fica garantida a existência da transformada de Laplace F(s).
2Recorde-se que se g é uma função definida no intervalo[a, +∞[, o integral impróprio
+∞
a g(t)dt diz-se convergente se e só se existe e é finito o limT →+∞
T
a g(t)dt. Caso
contrário diz-se divergente.
3Recorde-se que uma função real é seccionalmente contínua num intervalo I ⊆ IR se: i)
I pode ser subdividido num número finito de intervalos em cada um dos quais f é contínua; ii) existem os limites laterais de f nos pontos extremos daqueles subintervalos.
Dem. Note-se em primeiro lugar que |e−stf(t)| ≤ e−t Re sM eαt= Me−(Re s−α)t. (2) Então, Re s > α implica +∞ 0 M e−(Re s−α)tdt= M Re s − α. (3)
Por outro lado, como f é seccionalmente contínua em [0, +∞[ tem-se que
|e−stf(t)| é integrável em qualquer intervalo contido em [0, +∞[. Então pelo
critério de comparação de integrais impróprios conclui-se de (2) e (3) que o integral 0+∞|e−stf(t)|dt é convergente. Resulta deste facto (atendendo também a que e−stf(t) é integrável em qualquer intervalo contido em [0, +∞[ pois f é aí seccionalmente contínua), que o integral 0+∞e−stf(t)dt é conver-gente, isto é, existe a transformada de Laplace de f(t).
3.2
Unicidade
Quando F(s) = L[f(t)] diz-se que f(t) é a transformada inversa de
La-place ou original de F(s) e escreve-se
f(t) = L−1[F(s)].
Exemplo 8 Visto que L[e−3t] = s+31 tem-se L−1[s+31 ] = e−3t.
Apresenta-se seguidamente sem demonstração um resultado que estabe-lece a unicidade da transformada inversa de Laplace e que se revela funda-mental nas aplicações.
Teorema 2 Sejam f(t) e g(t) são funções seccionalmente contínuas e de
ordem exponencial em [0, +∞[. Então,
L[f(t)] = L[g(t)] ⇒ f(t) = g(t),
isto é, a transformação de Laplace é injectiva quando restringida às funções seccionalmente contínuas e de ordem exponencial. Deste modo, os originais das transformadas de funções desta classe são únicos (a menos de um número finito de descontinuidades).
Exercício 2 Quais das seguintes funções são de ordem exponencial? 1. tn. [R : Sim].
2. tan t. [R : Não]. 3. et3. [R : Não] .
4. t2e3t. [R : Sim].
Exercício 3 Mostre que existe a transformada de Laplace da função f(t) = 2tet2cos et2embora f(t) não seja de ordem exponencial.
4
Propriedades da transformação de Laplace
Listam-se em seguida algumas propriedades da transformação de Laplace que, como se verá, são de grande utilidade na resolução de equações diferen-ciais.
4.1
Linearidade
Da linearidade do integral resulta que se existem as transformadas de Laplace das funções f(t) e g(t) então,
L[λf(t) + µg(t)] = λL[f(t)] + µL[g(t)] , em que λ, µ∈ C.
Dem. Exercício.
Exemplo 9 L[4t − 3 cos 2t] = 4L[t] − 3L[cos 2t] = 4s12 − 3s22+4 = −2ss2(s22+16+4).
4.2
Transformada de
f(t − a), a ≥ 0 (deslocamento)
Seja f(t) uma função seccionalmente contínua e de ordem exponencial em
[0, +∞[. Se g(t) é um deslocamento de f(t), isto é, g(t) = f(t − a) , se t ≥ a 0 , se t < a com a ≥ 0 tem-se, L[g(t)] = e−asL[f(t)] .
Dem. Ora L[g(t)] = +∞ 0 e−stg(t)dt = a 0 e−stg(t)dt + +∞ a e−stg(t)dt = 0 + lim T →∞ T a e−stf(t − a)dt = lim T →+∞ T −a 0
e−s(a+u)f(u)du = e−as lim
T →+∞ T −a 0 e−suf(u)du = e−as +∞ 0
e−suf(u)du = e−asL[f(t)],
após a realização, na 4a igualdade, da mudança de variável t− a = u. Exemplo 10 Sendo g(t) = (t−2)3para t ≥ 2, como L[t3] = 3!
s4 vemL[g(t)] = 3!
s4e−2s.
4.3
Transformada de uma função periódica
Seja f(t) uma função periódica de período T, isto é, f(t + T) = f(t). Se f(t) é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, tem-se
L[f(t)] = 0Te−stf (t)dt
1−e−sT .
Dem. Uma vez que f é periódica de período T em[0, +∞[ tem-se
L[f(t)] = +∞ 0 e−stf(t)dt = +∞ k=0 (k+1)T kT e−stf(t)dt =+∞ k=0 T 0 e−s(u+kT )f(u + kT)du = +∞ k=0 e−ksT T 0 e−suf(u)du = T 0 e−suf(u)du +∞ k=0 e−ksT = T 0 e−suf(u)du 1 1 − e−sT = T 0 e−suf(u)du 1 − e−sT
após a mudança de variável u= t−kT realizada na 3aigualdade e o cálculo da
soma da série geométrica de razão e−sT. Naturalmente exige-se queRe s > 0 para que a série +∞k=0e−ksT seja convergente.
4.4
Transformada de
f(at), a > 0 (mudança de escala)
SeL[f(t)] = F(s), então a transformada de Laplace da função f(at) (a > 0) que resulta de f(t) por uma mudança de escala, é dada por
L[f(at)] = 1 aF(
s
a), a > 0.
Dem. Exercício.
Exemplo 11 Como L[sen t] = 1
s2+1 vemL[sen 3t] = 1 3(s1 3) 2 +1 = 3 s2+9.
4.5
Transformada da derivada
Se f(t) é seccionalmente de classe C1 sendo f de ordem exponencial, tem-se, L[f(t)] = sL[f(t)] − f(0).
Dem. Integrando por partes obtém-se: L[f(t)] = +∞ 0 e−stf(t)dt = lim T →+∞ T 0 e−stf(t)dt = lim T →+∞ e−stf(t)T0 − lim T →+∞ T 0 −se −stf(t)dt = −f(0) + sL[f(t)].
Exemplo 12 Esta propriedade é fundamental para a aplicação da transfor-mação de Laplace à resolução de equações diferenciais. Suponha-se então que se pretende resolver o problema de valores iniciais:
y+ 4y = 2t
y(0) = 0 . (4)
Aplicando a transformação de Laplace a ambos os membros da equação di-ferencial e utilizando a linearidade bem como a condição inicial, obtém-se:
L[y+ 4y] = L[2t] ⇔ L[y] + 4L[y] = 2L[t] ⇔ sL[y] − y(0) + 4L[y] = 21
s2 ⇔ (s + 4)L[y] = 21
s2 ⇔ L[y] = 2 s2(s + 4).
Assim, atendendo à injectividade da transformação de Laplace, bastará
de-terminar o original de 2
s2(s+4) para se conhecer a solução de (4). Como
2 s2(s + 4) = − 1 81s + 1 2s12 + 1 8s+ 41 , L[−1 8] = − 1 8 1 s, L[ 1 2t] = 1 2 1 s2 eL[ 1 8e−4t] = 1 8 1 s+ 4,
a unicidade e de novo a linearidade da transformação de Laplace permitem escrever a solução de (4): y= L−1 2 s2(s + 4) = −1 8 + 1 2t+ 1 8e−4t (t ≥ 0).
4.5.1 Transformada da derivada de ordem n
A propriedade anterior generaliza-se do seguinte modo: se f(n) é seccional-mente contínua e de ordem exponencial, é válida a igualdade
L[f(n)(t)] = snL[f(t)] − sn−1f(0) − sn−2f(0) − · · · − sf(n−2)(0) − f(n−1)(0) .
Em particular, para n= 2 tem-se
L[f(t)] = s2L[f(t)] − sf(0) − f(0) .
Dem. A prova, que se deixa ao cuidado do leitor, faz-se por indução a partir da transformada da derivada de primeira ordem (resultado anterior).
4.6
Transformada do integral indefinido
Se f(t) é seccionalmente contínua e de ordem exponencial em [0, +∞[ é
válida a igualdade L t 0 f(u)du = L[f(t)] s .
Dem. Designemos por φ(t) o integral indefinido 0tf(u)du. Então, φ(t) = f(t) (porquê?). Como L[φ] = sL[φ] − φ(0) e φ(0) = 0, tem-se
L[φ(t)] = L[φ] s ⇔ L t 0 f(u)du = L[f(t)] s Exemplo 13 Tem-se L 0tsen 2udu
= 2
Exercício 4 Mostre que se f(t) = ni=1cifi(t), em que c1, . . . , cn são cons-tantes, então L[f(t)] = n i=1 ciL[fi(t)].
Utilize este resultado para obter L[4e5t+ 6t3 − 3 sen 4t + 2 cos 2t] (R: s−54 +
6.3! s4 − 12 s2+16 + 2s s2+4).
Exercício 5 Prove a propriedade de mudança de escala (transformação di-recta) e utilize-a para obter L[cos t] sabendo que L[cos t] = s
s2+1.
Exercício 6 Utilize a igualdade L[f(t)] = sL[f(t)] − f(0) para obter 1. L[cos t] sabendo que L[sen t] = 1
s2+1;
2. L[sen t] sabendo que L[cos t] = s2s+1.
Exercício 7 Represente graficamente as seguintes funções periódicas de período T e obtenha as respectivas transformadas de Laplace:
1. f(t) = t, ∀t ∈ [0, T [. R : s12 − 1−eT e−sT−sT . 2. f(t) = 1, se t∈0,T2 −1, se t ∈ T 2, T
. R : 1+es(1−e−sT−2e−sT−sT/2) . 3. f(t) = 2t, se t∈0,T2 −2(t − T ), se t ∈T 2, T . R : T (e−sT/2s−e−sT) .
Exercício 8 Encontre L[f(t)] sendo f(t)a função que se obtém estendendo
sucessivamente em períodos de 2π a função f(t) = sen t, se 0 ≤ t ≤ π 0, se π≤ t ≤ 2π . R: (s2+1)(1−ee−sπ−s−2sπ) .
Exercício 9 Usando as propriedades obtenha as transformadas de Laplace das seguintes funções:
1. (t2− 1)2. R : 4! s5 − 2.2! s3 + 1 s .
3. e−tcos 3t. R : (s+1)s+12+9 . 4. e−2t(t3+ 1). R: (s+2)3! 4 +s+21 . 5. sen2t. R : s(s22+4) ..
5
Propriedades da transformação inversa de
Laplace
Vimos atrás a utilidade da transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais. Com efeito, o processo de resolução consiste basicamente no seguinte:
1. Aplicar a transformação de Laplace a ambos os membros da equação diferencial dada.
2. Resolver a equação algébrica obtida.
3. Obter a transformada inversa de Laplace da solução da equação algé-brica.
Em face deste procedimento importa pois estudar alguns processos de obtenção das transformadas inversas de Laplace. Existem várias técnicas que podem ser utilizados com o este fim. Entre elas, conta-se o recurso às propriedades da transformação inversa de Laplace cujo conhecimento pode facilitar bastante a determinação das transformadas inversas. Listam-se a seguir algumas destas propriedades.
5.1
Linearidade
A inversa de uma aplicação linear é linear. Assim, sendo F(s) = L[f(t)] e G(s) = L[g(t)] tem-se, L−1[λF(s) + µG(s)] = λL−1[F(s)] + µL−1[G(s)] , em que λ, µ∈ C. Dem. Exercício. Exemplo 14 L−1s13 − s+14 = L−11 s3 − 4L−1 1 s+1 = 1 2t− 4e−t(t ≥ 0).
Observação 1 De um modo geral para se obter o original de uma função racional F(s) = P (s)
Q(s) utiliza-se a técnica da decomposição destas funções
numa soma de fracções “mais simples”. Assim, por exemplo, sendo F(s) =
2s−3 (s−1)(s−2), como 2s − 3 (s − 1)(s − 2) = s− 11 + 1 s− 2 obtém-se, L−1[F (s)] = L−1 1 s− 1 + 1 s− 2 = L−1 1 s− 1 + L−1 1 s− 2 = et+ e2t (t ≥ 0).
5.2
Original de
F(s + a), a ∈ IR (deslocamento)
Se f(t) = L−1[F (s)] tem-se,
L−1[F (s + a)] = e−atf(t) .
Dem. Basta provar que F(s+a) = L [e−atf(t)] o que se deixa ao cuidado do leitor.
Exemplo 15 Desta propriedade resultam imediatamente duas igualdades muito úteis na resolução de exercícios práticos:
L−1 s+ a (s + a)2+ ω2 = e−atcos ωt (t ≥ 0) e L−1 ω (s + a)2+ ω2 = e−atsen ωt (t ≥ 0).
5.3
Original de
F(as), a ∈ IR
+(mudança de escala)
Se f(t) = L−1[F (s)] tem-se,
L−1[F (as)] = 1 af(at) .
5.4
Original de
F(s) × G(s) (convolução)
Se f(t) = L−1[F (s)] e g(t) = L−1[G(s)] tem-se, L−1[F (s) × G(s)] = (f ∗ g)(t) = t
0 f(u)g(t − u)du ,
em que (f ∗ g)(t) designa o produto de convolução de f por g que se define por
(f ∗ g)(t) = t
0 f(u)g(t − u)du .
Dem. Vamos provar queL[(f ∗ g)(t)] = F(s) × G(s). Ora
L[(f ∗ g)(t)] = +∞ 0 e−st t 0 f(u)g(t − u)du dt = lim T →+∞ T 0 e−st t 0 f(u)g(t − u)du dt = lim T →+∞ D e−stf(u)g(t − u)dudt, (5) em que D=(u, t) ∈ IR2 : 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ u ≤ t. Efectuando a mudança de variáveis
v= t − u
w= u ,
a região D é transformada na região
D =(v, w) ∈ IR2 : 0 ≤ v ≤ T − v, 0 ≤ w ≤ T.
Aplicando a fórmula de mudança de variáveis para integrais duplos ao integral (5) obtém-se
lim
T →+∞
D
e−stf(u)g(t − u)dudt = lim
T →+∞ D e−s(v+w)f(w)g(v)dvdw = lim T →+∞ T 0 T −v 0 e−s(v+w)f(w)g(v)dvdw = lim T →+∞ T 0 T −v 0 e−svg(v)dv e−swg(w)dw = +∞ 0 +∞ 0 e−svg(v)dv e−swg(w)dw = +∞ 0 e−svg(v)dv +∞ 0 e−swg(w)dw = L[f(t)]L[g(t)].
Tem-se portanto L[(f ∗ g)(t)] = F(s) × G(s).
Exercício 10 Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes transformadas de Laplace: 1. s s2+2. R : cos√2t. 2. s21−3. R : √33senh√3t . 3. 2s−36 − 9s3+4s2−16 +16s8−6s2+9. R : 2 3sin34t− 38cos34t+ 3e 3 2t− 7 72e− 4 3t− 25 72e 4 3t . 4. s23s+7+2s−3. R : 21e−3t+ 52et. 5. (s+1)(s−2)(s−3)2s2−4 . R: −e−t6 − 43e2t+72e3t . 6. (s−1)(s3s+12+1). [R : 2et− 2 cos t + sen t].
Exercício 11 Prove a propriedade do deslocamento (transformação inversa) e utilize-a para obter L[e4tsen t]sabendo que L[sen t] = 1
s2+1.
Exercício 12 Utilize a propriedade da convolução para calcular: 1. L−1 1 (s+2)(s−3) . R : e3t−e5−2t . 2. L−1 (s+2)21(s+2)2 . R: t3e6−2t) . 3. L−1 1 (s2+1)3 . R: (3−t2) sen t−3t cos t8 . 4. L−1 s (s2+4)3 . R: sen 2t−2t cos 2t16 .
Exercício 13 Determine a solução de cada um dos problemas de valores iniciais: 1. y+ 4y− 5y = 0, y(0) = 1, y(0) = 0. R: y = e−2tcosh 3t +2e−2tsenh 3t .
2. y+ 4y = H(t), y(0) = y(0) = 0. R : y = t 4 −161 +161 e−4t . 3. y+ 6y+ 11y+ 6y = 0, y(0) = 2, y(0) = 1, y(0) = −1. R: y = 8e−t− 9e−2t+ 3e−3t. 4. y+ 2y+ 2y = et, y(0) = 1, y(0) = 0. R: y = 1 5et+45e−tcos t +35e−tsen t . 5. y− y+ 4y− 4y = t, y(0) = y(0) = 0, y(0) = 1. R: y = − 3 20cos 2t −403 sen 2t −14t− 14+ 25et . 6. y+ 2y+ 5y = e−t, y(0) = 0, y(0) = 1. R: y = 1 4e−t −14e−tcos 2t + 12e−tsen 2t .
Exercício 14 Resolva cada um dos seguintes sistemas de equações diferen-ciais: 1. y + z = t y− z = e−t , y(0) = 3, y(0) = −2, z(0) = 0. R: y= 12e−t+ 2!1t2+ 2 + 12cos t −32sen t z = 1 − 12e−t− 12cos t +32sen t . 2. y + y + 2z+ 3z = e−t 3y− y + 4z+ z = 0 , y(0) = 1, z(0) = 0. R: y= 13e−t− 12e−t+ 16e−2t z = e−t− 25e−3t/2− 152et− 1 6e−2t .
6
Resumo de algumas propriedades
No quadro seguinte apresentam-se algumas das propriedades das transfor-madas de Laplace mencionadas acima.
PROPRIEDADE f(t) = L−1[F(s)] F(s) = L[f(t)]
Linearidade λf + µg λF + µG
Deslocamento f(t − a)H (t − a) , a ≥ 0 e−asF(s)
e−atf(t) F(s + a)
Mudança de escala f(at), a > 0 1aF(sa)
1 af( t a) F(as) Derivada f(t) sF(s) − f(0) Integral 0tf(u)du F (s)s Convolução (f ∗ g)(t) F(s) × G(s)
Apresentam-se seguidamente algumas das transformadas de Laplace mais utilizadas (supõe-se ω >0). f(t) F(s) = L[f(t)] Validade δ 1 – H(t) 1s Re s > 0 t 1 s2 Re s > 0 tn sn+1n! Re s > 0
e−at s+a1 Re(s + a) > 0
te−at (s+a)1 2 Re(s + a) > 0
cos ωt s
s2+ω2 Re s > 0
sen ωt ω
s2+ω2 Re s > 0
e−atcos ωt (s+a)s+a2+ω2 Re(s + a) > 0
e−atsen ωt (s+a)ω2+ω2 Re(s + a) > 0
cosh ωt s
s2−ω2 Re s > ω
senh ωt ω
Referências
[1] Apostol, T., Calculus, Vols. 1 e 2, Reverté, 1975.
[2] Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, 1997;
[3] Piskounov, N., Cálculo diferencial e integral, Vol. 2, Edições Lopes da Silva, 1998.
[4] Ray Wile, C. e Barret, L. C., Advanced Engineering Mathematics, McGraw-Hill, 1982.
[5] Spiegel, M. R., Transformadas de Laplace, Schaum, McGraw-Hill do Bra-sil, 1965.
Exercícios propostos
1. Indique, justificando, quais das seguintes funções são de ordem ex-ponêncial: (a) tθ; (b) tcot t; (c) eet; (d) cosh t; (e) t5e2t.
2. Seja f uma função seccionalmente contínua e de ordem exponencial para t ≥ 0, definida por
f(t) =
t , 0 ≤ t ≤ 2 2 , t > 2
Calcule L [f (t)] utilizando a definição de transformada de Laplace. 3. Mostre que apesar de √1
tnão verificar o teorema que garante a existência
da transformada de Laplace, L√1 t
existe.
4. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções (a) 2t + 6; (b) a+ bt + ct2; (c) sin πt; (d) cos2bt; (e) ea−bt; (f) etcosh 3t; (g) sin(bt + d); (h) sin 2t cos 2t.
5. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções (a) t2e−3t;
(d) 2e−tcos2 t2; (e) sinh t cos t; (f) (t + 1)2et.
6. Encontre a transformada de Laplace das funções periódicas que, ao longo de um periodo, são
(a) f(t) = 1 se t ∈]0, a[ −1 se t ∈]a, 2a[ ; (b) f(t) = t, t ∈]0, a[; (c) f(t) = sin t, t ∈ [0, π]; (d) f(t) = t se t∈]0, a[ 0 se t ∈]a, 2a[ .
7. Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = n + 1, nk < t < (n + 1) k, n = 0, 1, 2, ... k > 0. Sugestão: Considere f(t) como a diferença de t+k
k e da onda dente de serra definida em .
8. EncontreL (f(t)) das funções
(a) 2n, n < t < n+ 1, n = 0, 1, 2, ..., etc;
(b) (−2)n, n < t < n+ 1 n = 0, 1, 2, ..., etc. 9. Deduza, pela regra da derivada
(a) L(cos(bt)); (b) L(sin2(t)); (c) L(t sin(bt)).
10. Seja f(t) = t2. Encontre L(f) sabendo que L(1) = 1s.
11. Seja f(t) a função definida por f(t) = 2 se t ∈]0, π[ 0 se t ∈]π, 2π[ sin t se t > 2π . Verifique que L(f(t)) = 2s − 2e−πss + es−2πs2+1. 12. Encontre o original de (a) (s+1)1 2; (b) 3 s2+6s+8;
(c) s (s+12)2+1; (d) 2 s2+s+12. 13. Encontre os originais de (a) 0.1s+0.9s2+3.24; (b) s−10 s2−s−2; (c) ss−42−4; (d) a s4 − b s6; (e) s4s+6s−185−3s4 ; (f) (s+√ 1 2)(s−√3); (g) s2s4−13 . 14. Mostre que: (a) L−1 1 (s2+a2)(s2+b2) = 1 aba sin bt−b sin ata2−b2 ; (b) L−1 s (s2+a2)(s2+b2) = cos bt−cos at a2−b2 ; (c) L−1(s2+a2s)(s2 2+b2)= bsin bt b2−a2 − a sin at b2−a2; (d) L−1 s3 (s2+a2)(s2+b2) = b2 cos bt
b2−a2 − a2 cos atb2−a2.
15. Verifique queL−1s(e−e1−e−s−s)= en+1, n < t < n+1, n = 0, 1, 2, ..., etc.
(Sugestão: Desenvolva o denominador em série de potências de e−s).
16. Recorra à propriedade do integral indefinido para obter (a) L−1s(s21+a2); (b) L−1 1 s2((s2+a2) .
17. Encontre, pela regra do integral indefinido, o original de (a) s2+4s1 ;
(b) 4
(d) s12
s−1
s+1
.
18. Sabendo que (s2+a12)2 = L2a13 (sin at − at cos at) mostre que (a) L(2a1 tsin at) = (s2+as2)2
(b) L(2a1 (sin at + at cos at)) = (s2+as22)2
19. Recorrendo à convolução, encontre o original de (a) s2−a2 (s2+a2)2; (b) 1 (s2+1)2; (c) s12; (d) s2(s−a)1 ; (e) s(s−2)e−as ; (f) (s+3)(s−2)1 .
20. Resolva os seguintes problemas de valor inicial (a) y− y = t cos t, y(0) = y(0) = 0;
(b) y+ 4y + 8y = sin x, y (0) = y(0) = 0; (c) y+ 6y + 8y = e−3t− e−5t, y(0) = y(0) = 0; (d) y+ 4y + 13y = 13e−2tsin t, y (0) = 1, y(0) = −2;
(e) y + 2y + 2y = f(t), y (0) = 1, y(0) = −5 com f(t) a função definida por f(t) =
10 sin 2t se t ∈ [0, π]
0 se t > π .
21. Resolva cada um dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
(a) d2x dt2 + x + y = 0 d2y dt2 + x + y = 0 , x(0) = 0, dxdt(0) = 1, y(0) = 1, dydt(0) = −1; (b) d2x dt = −x + 2 (y − x) d2y dt2 = −2 (y − x) , x(0) = 0, dxdt(0) = 1, y(0) = 0, dydt(0) = −1
1 k 2 k 1 m 2 m x y 1 k 2 k 1 m 2 m x y
Figura 1: Sistema mecânico.
22. Considere o seguinte sistema mecânico com as massas m1 e m2 e molas de rigidez k1e k2,modelado pelo seguinte sistema de equações
diferen-ciais:
m1d2x
dt2 = −k1x+ k2(y − x)
m2ddt2y2 = −k2(y − x)
. (6)
(a) Resolva o seguinte problema de valores iniciais associado ao
sis-tema (6):
x(0) = 0, dx
dt (0) = 1
y(0) = 0, dydt (0) = −1 . (7)
(b) Quais são as frequências vibratórias naturais do sistema? Será que estas dependem das condições iniciais (7)? Justifique.
Soluções
1a) Sim; 1b) Não; 1c) Não; 1d) Sim; 1e) Sim; 2) s12 − e−2ss2 ; 4a) s22 + 6s; 4b)
a s+sb2+ 2c s3; 4c) s2+ππ 2; 4d) 1 2t+12s2+(2b)s 2; 4e) e a 1 s+b; 4f) (s−1)s−12−9; 4g)cos ds2+bb 2+ sin d s s2+b2; 4h) 2 s2+42; 5a) 2 (s+3)3; 5b) (s+a)s+a2+b2; 5c) 52 s−4 (s−4)2+b2 − s2+bs 2 ; 5d) 1 s+1 + (s+1)s+12+1; 5e) 12 s−1 (s−1)2+1 − (s+1)s+12+1 ; 5f) 2 (s−1)3 + (s−1)2 2 + (s−1)1 ; 6a) 1
stanha2s; 6b) 1+ass2 −s(1−ea−as); 6c)
coth 2πs/3
1+s2 ; 6d) 1−(1+as)e −as
s2(1−e−2as) ; 7) s(1−e1−ks); 8a) es−1
s(es−2); 8b) e
s−1
s(es+2); 9a) s2+bs 2; 9b) s(s22+4); 9c) (s22bs+b2)2; 10) s23; 12a) te−t; 12b)
3e−3tsinh t; 12c) e−1 2tcos t −1 2 sin t ; 12d) 4e−12tsint 2; 13a) 0.1 cos √ 3.24t + 0.9 √ 3.24sin √ 3.24t; 13b) e12t(cosh3
2t− 193 sinh32t; 13c) cosh 2t − 2 sinh 2t; 13d) a
6t3−120b t5; 13e) e3t+t3; 13f) √2+1√3
−e−√2t+ e√3t; 13g)cosh t−cos t; 16a)
17c) a12 (1 − cos at); 17d) −t − 2e−t+ 2; 19a) t cos at; 19b) −12tcos t +12sin t; 19c) t; 19d) 1 a2 (eat− at − 1); 19e) f (t − a) com f (t) = 1 2(e2t− 1); 19f) 15 (e2t− e−3t); 20a) 1 2(sin t − t cos t); 20b) 1 10 e−2xcos 2x + 1
2e−2xsin 2x − cos 2x + 12sin 2x
;
20c) −e−3t−13e−5t+13e−2t+ e−4t; 20d) e−2tcos 3t +541 e−2t(sin 3t − 3t cos 3t); 20e)
3e−tcos t − 2 cos 2t − sin(2t), se 0 ≤ t ≤ π)
(3e−t+ 2) cos t, se t > π ; 21a) x(t) = t+12cos t
√ 2− 1 2, y(t) = 12cos t √ 2 − t +1 2; 21b) x(t) = L−1 s 2 s2+ 5+√17 2 2 s2+ 5−√17 2 2 , y(t) = −L−1 1 s2+ 5+√17 2 2 s2+ 5−√17 2 2 −L−1 s 2 s2+ 5+√17 2 2 s2+ 5−√17 2 2 . 22a) x(t) = L−1 s2 (s2+ ω2 1) (s2 + ω22) , y(t) = −k−11 L 1 (s2+ ω2 1) (s2+ ω22) −L−1 s2 (s2+ ω2 1) (s2+ ω22) com ω1 = " (k1+ 2k2) −#k12+ 4k22 2 , ω2 = " (k1+ 2k2) +#k12+ 4k22 2 .
