CONTROLADORES COMUTATIVOS ESTABILIZANTES PARA PLANTAS

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CONTROLADORES COMUTATIVOS ESTABILIZANTES PARA PLANTAS INST ´AVEIS

Marcos V. Moreira†_{, Jo˜}_{ao C. Basilio}†,⋆ Universidade Federal do Rio de Janeiro † _{COPPE - Programa de Engenharia El´}_etrica ⋆ _{Escola Polit´}_{ecnica - Departamento de Eletrot´}_ecnica

Cidade Universit´aria - Ilha do Fund˜ao 21.945-970 - Rio de Janeiro - R. J.

E-mails: moreira@pee.coppe.ufrj.br, basilio@coep.ufrj.br

Resumo— Recentemente, uma parametriza¸cão de todos os controladores comutativos estabilizantes foi obtida, bem como uma caracteriza¸cão de todos os graus de liberdade dispon´ıveis, o que permite a aplica¸cão do método do lugar caracter´ıstico no projeto de controladores multivariáveis visando atender outros objetivos de controle como, por exemplo, robustez. Porém, a existência do controlador comutativo estabilizante não é garantida para plantas instáveis. Neste artigo uma condi¸cão suficiente para a existência do controlador comutativo estabilizante ´

e apresentada. Esta condi¸cão é satisfeita para uma vasta classe de plantas e pode ser facilmente verificada a partir da matriz de transferência da planta.

Abstract— Recently, a parametrization of all stabilizing commutative controllers and a characterization of all degrees of freedom available has been obtained, thus, allowing the application of the CLM to the design of multivariable controllers with the view to addressing other control objectives, e. g. robustness. However, it has not been guaranteed the existence of a stabilizing commutative controller for unstable plants. In this paper, a sufficient condition for the existence of stabiling commutative controllers is presented. This condition is satisfied for a large class of plants and can be easily checked from the plant transfer function matrix.

Key Words— Multivariable control, frequency domain, linear systems.

1 Introdu¸c˜ao

O Método do Lugar Caracter´ıstico (MLC) (MacFarlane e Belletruti, 1970) é uma impor-tante ferramenta de projeto de controladores mul-tivariáveis para plantas com o mesmo número de entradas e de sa´ıdas. Esse método consiste em transformar o projeto de um sistema de controle multivariável no projeto de vários sistemas de controle monovariáveis sem que sejam necessários o desacoplamento ou a dominância diagonal da planta. A base do MLC é o critério de estabili-dade de Nyquist generalizado (MacFarlane e Kou-varitakis, 1977), que fornece uma maneira de ve-rificar a estabilidade do sistema multivariável em malha fechada a partir dos lugares caracter´ısticos da fun¸cão de transferência do sistema em malha aberta. De acordo com o critério de Nyquist gene-ralizado, um sistema em malha fechada é estável se e somente se o número total de envolvimentos em sentido anti-horário, do ponto cr´ıtico −1 + j0, pelos lugares caracter´ısticos do sistema em malha aberta, for igual ao número de pólos instáveis da planta e do controlador.

O MLC consiste em se projetar controladores que tenham as mesmas matrizes de autovetores e autovetores duais que a planta e, em seguida, as fun¸cões de autovalores são escolhidas de forma que os sistemas realimentados sejam estáveis e satisfa¸cam requisitos de desempenho tais como rejei¸cão de perturba¸cão, rastreamento do sinal de referência e resposta transitória. Um pro-blema inicial é que a matriz de autovetores da

planta é, em geral, irracional, sendo, portanto, necessário utilizar uma aproxima¸cão racional para a matriz de autovetores para a obten¸cão do controlador comutativo (MacFarlane e takis, 1977; Cloud e Kouvaritakis, 1987; Kouvari-takis e Basilio, 1994; Basilio e KouvariKouvari-takis, 1995). Mais recentemente (Basilio et al., 2002) uma outra abordagem para a obten¸cão de um controlador racional que comute com a planta é apresentada, em que utilizando-se a parametriza¸cão de Youla-Kucera e a teoria de bases polinomiais m´ınimas, é obtida uma parametriza¸cão para todos os con-troladores racionais estabilizantes que comutam exatamente com a planta, sendo também apre-sentada uma caracteriza¸cão de todos os graus de liberdade dispon´ıveis nesta parametriza¸cão. Con-tudo, a existência do controlador comutativo es-tabilizante não é garantida para o caso de plantas instáveis.

Neste artigo será apresentada uma condi¸cão suficiente para a existência de controladores co-mutativos estabilizantes. Esta condi¸cão é satis-feita para uma vasta classe de plantas e pode ser verificada a partir de uma análise simples da ma-triz de transferência da planta.

Este artigo está estruturado da seguinte forma. Na se¸cão 2 é feita uma breve revisão sobre bases polinomiais m´ınimas. Uma parametriza¸cão do tipo Youla-Kucera é apresentada na se¸cão 3 para todos os controladores comutativos estabi-lizantes. Na se¸cão 4 é dada uma condi¸cão sufi-ciente para a existência de controladores

(2)

comu-tativos para plantas instáveis. Um exemplo que ilustra a parametriza¸cão proposta é apresentado na se¸cão 5.

2 Base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de uma matriz polinomial Sejam Rp×q_{[s] e R}p×q_{(s), os anéis de matrizes} poli-nomiais e racionais, respectivamente. Suponha que seja dada uma matriz A(s) ∈ Rp×q_{[s] e seja} f (s) um vetor polinomial tal que A(s)f (s) = 0. Então f (s) é um vetor pertencente ao espa¸co nulo de A(s). Isto leva à defini¸cão de base polinomial m´ınima (Forney, 1975) para o espa¸co nulo de A(s). Para tanto, suponha que A(s) (p < q por simpli-cidade) tenha a seguinte forma de Smith:

ΣA(s) =      ǫ1(s) 0 . . . 0 0 . . . 0 0 ǫ2(s) . . . 0 0 . . . 0 .. . ... . .. ... ... ... 0 0 . . . ǫp(s) 0 . . . 0      , (1)

onde ǫk(s) = 0 para k = p − ν + 1, . . . , p. Neste caso a matriz A(s) é dita ter um posto normal r = p − ν, ou equivalentemente, que o espa¸co nulo de A(s) tem dimensão ¯ν = q − p + ν para todo s. Defini¸cão 1 Seja A(s) uma matriz com posto normal r e seja F (s) = f₁(s) f₂(s) . . . f_¯_ν(s), onde gr[f

i(s)] = φi, uma matriz polinomial tal que A(s)F (s) = O. Ent˜ao, F (s) forma uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de A(s) se e somente seP¯ν

i=1φi é m´ınimo. Para a obten¸cão de uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de A(s), o primeiro passo é determinar o posto normal de A(s). Uma maneira simples para o cálculo do posto normal pode ser desenvolvida a partir da equa¸cão (1) no-tando que a matriz A(s) somente perde posto, além do normal, para um número finito de valores de s, que são os zeros dos polinômios invariantes ǫi(s), i = 1, . . . , r. Além disso, como ǫi(s) divide ǫi+1(s), então o número de valores sk ∈ C que tornam ρ [A(sk)] < r, onde ρ(.) denota o posto de uma matriz complexa, é determinado pelo grau de ǫr(s). Portanto, para saber qual é o posto normal de A(s) basta verificar o posto de A(sk) para k valores distintos de s = sk, onde k é maior que o grau de ǫr(s) e obter r fazendo:

r = max sk

{ρ[A(sk)]}. (2) Uma estimativa do número de freqüências que pre-cisam ser utilizadas para a verifica¸cão do posto normal de A(s) pode ser obtida a partir da defini¸cão de polinômios invariantes. Seja ∆i(s) o máximo divisor comum de todos os menores i × i de A(s). Então os polinômios invariantes ǫi(s) são obtidos fazendo-se ǫi(s) = ∆i(s)/∆i−1(s). Portanto, é fácil verificar que o somatório dos graus dos polinômios invariantes é igual ao grau de ∆r(s), isto é,Pri=1gr(ǫi) = gr(∆r), onde gr(.) denota grau, e, portanto, gr(ǫr) ≤ gr(∆r). Um limitante superior para o grau de ∆r(s) pode ser obtido supondo r = p e lembrando que o máximo

- - _K(s) - _G(s) -6− + r(s) y(s)

Figura 1. Sistema com realimenta¸c˜ao unit´aria negativa

divisor comum de todos os menores p × p de A(s) não excede o menor somatório dos graus de p co-lunas de A(s). Desta forma, o seguinte algoritmo pode ser utilizado para a determina¸cão do posto normal de uma matriz polinomial.

Algoritmo 1 Seja A(s) uma matriz polinomial. Passo 1: Selecione as p colunas de A(s) com os menores graus por coluna e fa¸ca l igual ao so-mat´orio dos graus dessas p colunas de A(s) se-lecionadas.

Passo 2: Escolha cada valor de s, sk, para k = 1, . . . , l + 1, de forma que todos os sksejam distin-tos. Para cada sk, fa¸ca decomposi¸cão por valores singulares de A(sk) e obtenha o posto ρ[A(sk)] a partir dos valores singulares não nulos de A(sk). Passo 3: O posto normal r é obtido fazendo-se

r = maxsk{ρ[A(sk)]}.

Observa¸c˜ao 1 O algoritmo 1 acima pode ser ter-minado antes que todos os valores de sk tenham sido verificados se, para algum sk, ρ [A(sk)] =

min(p, q).

Uma vez calculado o posto normal de A(s), r, então a matriz A(s) tem um espa¸co nulo de di-mensão ¯ν = q − r, ou seja, é sempre poss´ıvel en-contrar um conjunto de ¯ν vetores polinomiais li-nearmente independentes f (s) de graus m´ınimos, sobre o corpo das fun¸cões racionais, tal que A(s)f (s) = 0. Bases polinomiais m´ınimas podem ser obtidas de maneira robusta utilizando-se o al-goritmo proposto em Basilio e Moreira (2004).

3 Uma parametriza¸c˜ao para todos os controladores comutativos

estabilizantes

Considere o sistema realimentado da figura 1 onde G(s) ∈ Rm×m_{(s) é a matriz de transferência da} planta e K(s) ∈ Rm×m_{(s) é a matriz de} trans-ferência do controlador a ser projetado. Considere também que

G(s) = N (s)M−1_{(s) = ˜}_M−1_{(s) ˜}_{N (s)} ₍₃₎ ´e uma fatora¸c˜ao duplamente coprima de G(s) em R_Hm×m

∞ (o anel de todas as matrizes racionais pr´oprias e est´aveis). Desta forma, existem ma-trizes X(s), Y (s), ˜X(s) e ˜Y (s) ∈ RHm×m

∞ que

satisfazem a identidade de Bezout generalizada

˜ X(s) − ˜Y(s) ˜ N(s) M˜(s) M(s) Y (s) −N (s) X(s) = I O O I . (4)

A classe de todos os controladores, K(s), que esta-bilizam internamente o sistema em malha fechada ´e dada pela parametriza¸c˜ao de Youla-Kucera:

K(s) = U (s)V−1_{(s) = ˜}_V−1_{(s) ˜}_U(s)

= [Y (s) + M (s)Q(s)] [X(s) − N (s)Q(s)]−1 = [ ˜X(s) − Q(s) ˜N(s)]−1_{[ ˜}_Y_{(s) + Q(s) ˜}_M_{(s)], (5)}

(3)

onde Q(s) ∈ RHm×m

∞ . Em Basilio et al. (2002), utilizando-se as equa¸cões (4) e (5), uma condi¸cão necessária e suficiente para a existência de contro-ladores comutativos estabilizantes é obtida, i.e., para que K(s) estabilize internamente e comute com G(s), ou seja, G(s)K(s) = K(s)G(s), deve-se encontrar Q(s) ∈ RHm×m

∞ que satisfa¸ca a seguinte equa¸cão: N(s)Q(s) ˜M(s) − M (s)Q(s) Ñ(s) = C(s), (6) onde C(s) = X(s) ˜M (s) − M (s) ˜X(s). (7) Escrevendo Q(s) = q₁(s) q₂(s) . . . q m(s) e C(s) = c1(s) c2(s) . . . cm(s), onde q_i(s) e ci(s) denotam, respectivamente, as colunas de Q(s) e C(s), tem-se que a equa¸cão (6) torna-se:

P (s)q(s) = c(s), (8) onde P(s) = ˜Mt(s) ⊗ N (s) − ˜Nt(s) ⊗ M (s), q(s) = qt 1(s) q t 2(s) . . . q t m(s) t , (9) c(s) = ct 1(s) c t 2(s) . . . c t m(s) t ,

onde ⊗ denota o produto de Kronecker. Portanto, a partir de (8) e (9) uma condi¸cão necessária e su-ficiente para a existência de um controlador comu-tativo estabilizante pode ser reescrita da seguinte forma: existe K(s) que estabiliza e comuta com a planta G(s) se e somente se existe um vetor estável q(s) ∈ Rm2

(s) tal que (8) ´e satisfeita.

Observa¸c˜ao 2 Embora N (s), M (s), N (s),˜ ˜

M (s), X(s), ˜X(s) sejam matrizes racionais, é sem-pre poss´ıvel formá-las de modo que elas tenham todas o mesmo polinômio no denominador. Logo, é sempre poss´ıvel considerar P (s) ∈ Rm2

×m2

[s] e c(s) ∈ Rm2

[s].

4 Existência de controladores comutativos estabilizantes Um controlador comutativo estabilizante K(s) sempre existe quando a matriz de transferência da planta G(s) é estável (Basilio, 1995). Neste caso, Qe(s) = −M−1(s)Y (s) = − ˜Y (s) ˜M−1(s) satisfaz a condi¸cão de comutatividade (6) e per-tence a RHm×m

∞ . Porém, se G(s) não é estável, Qe(s) 6∈ RH∞m×m, uma vez que no polinômio do denominador aparecerão os pólos instáveis da planta. Assim, para abordar o caso geral de plan-tas instáveis, é necessário caracterizar o espa¸co gerado por todas as solu¸cões da equa¸cão (8). Para tanto, escreva

q(s) = 1 dq(s)

nq(s), (10) onde n_q(s) ∈ Rm2

[s] e dq(s) é um polinômio. Substituindo-se q(s) na equa¸cão (8), resulta:

P (s) 1 dq(s)

n_q(s) = c(s), (11) que pode ser escrito na seguinte forma matricial:

P (s) − c(s) nq(s) dq(s) = 0 ⇔ T (s) nq(s) dq(s) = 0. (12)

Portanto as solu¸cões (estáveis e instáveis) da equa¸cão (8) serão definidas pelo espa¸co nulo à direita de T (s) e serão obtidas a partir de com-bina¸cões lineares dos elementos de uma base poli-nomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s). As-sim, é imperativo obter a nulidade de T (s). Para tanto, o seguinte resultado é necessário.

Lema 1 Seja A ∈ Cm×m _{uma matriz} diago-naliz´avel e considere que cada autovalor distinto de A, λi, i = 1, . . . , l, tem multiplicidade µi. Ent˜ao, existemPl

i=1µ2i matrizes linearmente in-dependentes que comutam com A.

Prova. Seja A = W ΛAW−1 a decomposi¸cão es-pectral de A e seja B uma matriz que comuta com A. Se AB = BA, então W ΛAW−1B = BW ΛAW−1 e ΛA(W−1BW ) = (W−1BW )ΛA. Denotando ¯B = (W−1_{BW ), ent˜}_{ao conclui-se que} B comuta com A se e somente se ¯B comuta com ΛA. Como A é diagonalizável, então ΛA pode ser escrita como: ΛA = diag{ΛAi, i = 1, . . . , l},

onde cada bloco ΛAi´e ΛAi= λiIµi, com Iµi

deno-tando a matriz identidade de ordem µi. Portanto, é fácil verificar que ¯B é diagonal por blocos, ou seja, ¯B = diag{Bi, i = 1, . . . , l}, onde cada bloco Bi ∈ Cµi×µi, e que para que haja a comutativi-dade entre ΛA e ¯B é necessário que cada bloco Bi comute com o seu correspondente bloco ΛAi.

Como ΛAi é múltipla da identidade, então

exis-tem µ2

i matrizes Bi, linearmente independentes, que comutam com ΛAi. Portanto, como existem

l blocos ΛAi distintos ´e f´acil verificar que existem

Pl

i=1µ2i matrizes linearmente independentes que

comutam com A.

Uma conseqüência do lema 1 é a possibilidade de se obter a nulidade de P (s) a partir das fun¸cões de autovalores de G(s).

Lema 2 Seja G(s) a matriz de transferˆencia da planta. Ent˜ao, P (s) tem posto normal m2_{− ¯}_ν, onde ¯ν = Pl

i=1µ2i e µi ´e a multiplicidade da fun¸c˜ao de autovalor gi(s), para i = 1, . . . , l, de G(s).

Prova. Se P (s) tem posto normal igual a r, menor do que m2_{, ent˜}_{ao existem ¯}_{ν = m}2_{− r} ve-tores polinomiais α(s) ∈ Rm2

[s] linearmente inde-pendentes tais que

αt_{(s)P (s) = 0}t_. ₍₁₃₎ Seja αt_(s) ₌ _[αt 1(s) αt2(s) . . . αtm(s)], onde α_i(s) ∈ Rm_{[s] e defina} A(s) =      αt 1(s) αt2(s) .. . αt m(s)      . (14)

Portanto, é fácil verificar que satisfazer a equa¸cão (13) é equivalente a satisfazer:

˜

(4)

Multiplicando esta equa¸c˜ao `a esquerda por ˜

M−1_{(s) e `}_{a direita por M}−1_{(s) resulta:}

A(s)N (s)M−1_{(s) − ˜}_M−1_{(s) ˜}_{N(s)A(s) = O.} ₍₁₆₎

Como G(s) = N (s)M−1_{(s) = ˜}_M−1_{(s) ˜}_{N (s) e} es-crevendo G(s) = NG(s)/d(s), onde d(s) ´e o mmc dos denominadores de G(s) e NG(s) ∈ Rm×m[s], pode-se reescrever (16) como:

A(s) 1

d(s)NG(s) = 1

d(s)NG(s)A(s). (17)

Como G(s) tem l fun¸cões de autovalores gi(s) distintas com multiplicidade µi, então para um número infinito de freqüências ωk, k = 1, 2, . . ., NG(jωk), tem l autovalores distintos e cada um com multiplicidade µi. Logo, se jωk não é um zero de d(s), então (17) é satisfeita se e somente se A(jωk) comuta com NG(jωk). Como, de acordo com o lema 1, existem Pl

i=1µ2i matrizes linear-mente independentes que comutam com NG(jωk), então para um número infinito de valores ωk, a nulidade de P (jωk) é igual a Pli=1µ2i. Desta forma, pela defini¸cão de posto normal dada em (2), se verifica que a nulidade normal de P (s) é Pl

i=1µ2i.

Supondo que a matriz polinomial P (s) tem nulidade ¯ν, então T (s) tem nulidade ¯ν + 1. Desta forma, denotando H(s), a matriz polinomial de di-mensão (m2_{+ 1) × (¯}_{ν + 1) cujas colunas formam} uma base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s), então T (s)H(s) = O. Logo, todos os ve-tores q(s) que satisfazem (12) podem ser obtidos da seguinte forma:

nq(s) dq(s)

= H(s)ψ(s), (18)

onde ψ(s) ´e um vetor polinomial. Particionando H(s) como

H(s) = Ht(s) ht_b(s)

, (19)

ent˜ao dq(s) ´e dado por:

dq(s) = ¯ ν+1 X i=1 hbi(s)ψi(s), (20)

que é uma equa¸cão Diophantina generalizada. Logo, a equa¸cão (8) tem solu¸cão estável se e somente se existem polinômios ψi(s), i = 1, 2, . . . , ¯ν + 1, tais que dq(s) é Hurwitz. Desta forma, o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para uma dada planta G(s) se torna o problema de encontrar dq(s) Hur-witz. Uma condi¸cão necessária e suficiente para a existência de um controlador comutativo estabi-lizante é apresentada a seguir.

Lema 3 Seja G(s) a matriz de transferˆencia da planta. Ent˜ao, existe um controlador comutativo estabilizante para G(s) se e somente se ht

b(s0) 6= 0t_{, para todo s}

0igual a um pólo instável da planta. Prova. Note que não existem ψi(s), i = 1, 2, . . . , ¯ν + 1, que fazem com que dq(s) seja Hurwitz se e somente se o maior divisor comum de hbi(s), χ(s), tiver um zero instável, ou seja,

χ(s0) = 0 e s0 possui parte real positiva. Este fato implica que se não existir um controlador co-mutativo estabilizante, então htb(s0) = 0t. Note também que Qe(s) = −M−1(s)Y (s) satisfaz a equa¸cão (6) e, conseqüentemente, q_e(s), constru´ı-do de acorconstru´ı-do com (9) a partir de Qe(s) , satisfaz (8). Logo, escrevendo q_e(s) = 1

dqe(s)

nqe(s), ´e

ime-diato perceber que os zeros de dqe(s) s˜ao os p´olos

de G(s). Portanto, se algum valor de s = s0 tem parte real positiva e é tal que htb(s0) = 0t, então s0deve ser um pólo instável da planta. A partir dos lemas 2 e 3 uma condi¸cão sufi-ciente para a existência de controladores comuta-tivos estabilizantes pode ser obtida.

Teorema 1 Se P (s0) tem posto m2− ¯ν, onde ¯ν é a nulidade normal de P (s), para todo pólo instável da planta, s0, então existe um controlador comu-tativo estabilizante.

Prova. Suponha que n˜ao exista um controlador comutativo estabilizante para a planta, i. e., de acordo com o lema 3, ht

b(s0) = 0t para algum s0 igual a um p´olo inst´avel da planta e seja H(s) a matriz polinomial obtida via base polinomial m´ınima para o espa¸co nulo de T (s). Portanto,

T(s0)

Ht(s0) 0t

= O ⇒ P (s0)Ht(s0) = O. (21)

Como H(s) é obtido via base polinomial m´ınima, então H(s) é irredut´ıvel (Kailath, 1980), ou seja, tem posto cheio por coluna para todo s, o que leva a Ht(s0) ter posto ¯ν + 1. Como, de acordo com o lema 2, P (s) tem nulidade normal igual a ¯

ν, logo, para que (21) tenha solu¸cão é necessário que P (s0) tenha nulidade maior ou igual a ¯ν + 1, o que significa que P (s0) deve perder posto além do normal. Portanto, se P (s0) tem posto m2− ¯ν, então não é poss´ıvel que Ht(s0) tenha posto ¯ν + 1, o que leva a ht_b(s0) 6= 0t. O teorema 1 fornece uma condi¸cão suficiente para a existência do controlador comutativo estabi-lizante e que é satisfeita para uma vasta classe de plantas, conforme será apresentado a seguir. Teorema 2 Se NG(s0) tem posto m e se os au-tovalores distintos de NG(s0) têm a mesma multi-plicidade que as respectivas fun¸cões de autovalores de NG(s), para todo s0 igual a um pólo instável da planta, então existe um controlador comutativo estabilizante.

Prova. Se NG(s0) tem posto m, então o fator (s − s0) não pertence aos polinômios invariantes de NG(s). Logo, é fácil verificar que M (s0) =

˜

M (s0) = O, e, portanto, de acordo com (6), (7) e (9), P (s0) = O e c(s0) = 0. Colocando o fator (s− s0) em evidˆencia, a equa¸c˜ao (8) pode ser reescrita como:

(s − s0) ¯P(s)q(s) = (s − s0)¯c(s). (22)

Desta forma, encontrar a solu¸cão q(s) para a equa¸cão (22) é equivalente a encontrar a solu¸cão para

¯

(5)

Suponha, sem perda de generalidade, que s0é um pólo de G(s) de multiplicidade 1. Então, resolver a equa¸cão (23) é o mesmo que obter um controlador comutativo estabilizante para a planta

¯ G(s) = (s−s0)G(s) = (s − s0) d(s) NG(s) = 1 ¯ d(s)NG(s) (24)

tal que ¯d(s0) 6= 0. Logo, uma fatora¸c˜ao dupla-mente coprima para ¯G(s) pode ser escrita como:

¯ G(s) = N (s) ¯M−1_{(s) = ˜}_M¯−1_{(s) ˜}_N(s), ₍₂₅₎ onde ¯M (s) = 1 s−s0M (s) e ˜ ¯ M (s) = 1 s−s0 ˜ M (s). Procedendo de maneira igual a prova do lema 2 ´e f´acil verificar que obter o posto de ¯P (s0) equivale a encontrar todas as matrizes linearmente inde-pendentes A(s0) que satisfazem:

˜ ¯

M(s0)A(s0)N (s0) − ˜N(s0)A(s0) ¯M(s0) = O. (26)

Como ¯d(s0) 6= 0 então ¯M (s0) e ˜M (s¯ 0) possuem in-versa. Logo, pré-multiplicando-se a equa¸cão (26) por ˜M¯−1_(s

0) e p´os-multiplicando por ¯M−1(s0) obt´em-se:

A(s0)N (s0) ¯M−1(s0) − ˜M¯−1(s0) ˜N(s0)A(s0) = O, (27)

e, de acordo com as equa¸c˜oes (25) e (24), a equa¸c˜ao (27) pode ser reescrita como:

A(s0) 1 ¯ d(s0) NG(s0) − 1 ¯ d(s0) NG(s0)A(s0) = O. (28)

Assim sendo, todas as poss´ıveis matrizes A(s0) que satisfazem (26) devem comutar com NG(s0). Como os autovalores de NG(s0) têm as mes-mas multiplicidades das fun¸cões de autovalores de NG(s), então o posto de ¯P (s0) é igual a m2− ¯ν, onde ¯ν é a nulidade normal de P (s) e, de acordo com o teorema 1, isto garante a existência do con-trolador comutativo estabilizante. Note que a condi¸cão imposta pelo teorema 2 requer que a planta não tenha pólos e zeros instáveis coincidentes. Além disso, o teorema 2 leva a uma maneira simples de verificar a e-xistência do controlador comutativo estabilizante: para todos os pólos instáveis da planta, s0, de-vem ser calculados os autovalores de NG(s0). Se, por exemplo, os autovalores de NG(s0) são dis-tintos e diferentes de zero, então existe um con-trolador comutativo estabilizante e pode-se uti-lizar a parametriza¸cão apresentada em (18) para a obten¸cão de todos os vetores racionais e estáveis q(s) que satisfazem (8).

5 Exemplo

Considere a seguinte matriz de transferˆencia da planta apresentada em Basilio et al. (2002):

G(s) = 1 d(s) −54, 32s −47s + 2 −48, 5s − 1, 94 −42s ,

onde d(s) = (s − 1)(s + 2). É fácil verificar neste exemplo que G(s) tem somente um pólo instável

s0= 1. Portanto, ´e necess´ario calcular os autova-lores de

NG(1) = −54, 32 −45 −50, 44 −42

,

que são iguais a −96, 199 e −0, 121. Desta forma, as condi¸cões do teorema 2 são satisfeitas, isto é, NG(1) tem todos os autovalores distintos, e a e-xistência do controlador comutativo estabilizante está garantida.

Considere agora o problema de encontrar um controlador comutativo estabilizante para G(s). O primeiro passo ´e calcular N (s), M (s), ˜N (s),

˜

M (s), X(s), Y (s), ˜X(s) e ˜Y (s) ∈ RH∞ que satisfa¸cam a identidade de Bezout generalizada. Uma vez obtida a parametriza¸cão, o próximo passo é formar a matriz polinomial P (s) e o vetor polinomial c(s). A partir das equa¸cões (9a) e (9c), P (s) = [pij(s)] e c(s) são calculados, obtendo-se:

p11(s) = −78, 3s 4 −2, 7s3+ 78, 3s2+ 2, 7s + 0, 02 p21(s) =−48, 5s 5 −4666, 2s4 −329, 3s3 +4658, 5s2 +377, 8s+7, 6 p31(s) = 47s 5 + 4537, 9s4−54, 1s3−4545, 8s2+ 7, 1s + 7, 9 p41(s) = 78, 3s 4 + 2, 7s3−78, 3s2−2, 7s − 0, 02 p12(s) =−47s 5 −4595, 5s4 +60, 3s3 +4603, 3s2 −13, 3s−7, 8 p22(s) =12, 3s 5 +1196, 1s4+34, 8s3−1196, 1s2−47, 1s+0, 02 p32(s) = 8, 7s 4 −0, 03s3−8, 8s2+ 0, 03s + 0, 02 p42(s) = 47s 5 +4595, 5s4 −60, 3s3 −4603, 3s2 + 13, 3s + 7, 8 p13(s) = 48, 5s 5 +4606, 4s4+329, 55s3−4598, 6s2−378, 1s−7, 8 p23(s) = 9, 0s 4 + 0, 02s3−9, 0s2−0, 02s + 0, 02 p33(s) =−12, 3s 5 −1178, 4s4 −36, 2s3 +1178, 4s2 +48, 5s+0, 02 p43(s) =−48, 5s 5 −4606, 4s4−329, 6s3+4598, 6s2+378, 1s+7, 8 p14(s) = −60, 5s 4 −2, 7s3 + 60, 6s2 + 2, 7s − 0, 01 p24(s) =48, 5s 5 +4684, 1s4 +330, 0s3 −4676, 5s2 −378, 5s−7, 6 p34(s) =−47s 5 −4520, 0s4+54, 9s3+4527, 9s2−7, 9s−7, 9 p44(s) = 60, 5s 4 + 2, 7s3 −60, 6s2 −2, 7s + 0, 01 c(s) =     337, 2s4_{+ 19256s}3_{+ 426, 9s}2 − 19256s − 764, 2 −43, 5s4− 2482, 4s3− 55, 0s2+ 2482, 4s + 98, 5 −43, 5s4− 2485, 8s3− 58, 1s2+ 2485, 8s + 101, 6 −337, 2s4− 19256s3− 426, 9s2+ 19256s + 764, 2     .

Uma vez obtidos P (s) e c(s) deve-se formar a matriz polinomial T (s) = [P (s) − c(s)], e via base polinomial m´ınima calcular H(s), tal que T (s)H(s) = O. De acordo com o lema 2 tem-se que a nulidade de P (s) é 2, logo, a nuli-dade de T (s) é 3, o que significa que o algoritmo para obten¸cão de H(s) deve parar quando forem obtidos 3 vetores polinomiais. Procedendo desta forma obtém-se: H(s)=      0, 244s + 0, 367 0, 373s − 0, 283 −0, 047s + 0, 460 −0, 279s − 0, 420 −0, 406s + 0, 271 −0, 104s + 0, 140 −0, 270s − 0, 396 −0, 394s + 0, 204 −0, 101s + 0, 779 0, 315s + 0, 478 0, 476s − 0, 344 −0, 021s + 0, 341 0, 003s + 0, 008 0, 022s − 0, 005 −0, 148s − 0, 009      .

O próximo passo é a obten¸cão do vetor estável q(s), utilizando, para tanto, a matriz polinomial H(s) e os graus de liberdade dados pelo vetor ψ(s) conforme descrito pela equa¸cão (18). A única restri¸cão na escolha do vetor polinomial ψ(s) é que dq(s) = (0.003s + 0.008)ψ1(s) + (0.022s − 0.005)ψ2(s) + (−0.148s − 0.009)ψ3(s) seja Hur-witz. Desta forma, suponha que ψ1(s), ψ2(s) e ψ3(s) devem ser escolhidos de forma a satisfazer dq(s) = s+3. Uma solu¸cão para essa equa¸cão Dio-phantina é ψ1(s) = 562, 4805, ψ2(s) = 366, 0083

(6)

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Re[l_q(jω)] Im[l q (j ω )]

Figura 2. Lugares caracter´ısticos do sistema em malha aberta Qp(s) = G(s)K(s).

e ψ3(s) = 50. A partir destes valores obtém-se a seguinte matriz Q ∈ RHm×m ∞ : Q(s) = 1 s+ 3 −257, 6s − 155, 6 287, 0s + 134, 7 296, 1s + 160, 6 −332, 8s − 193, 7 . (29) Substituindo-se Q(s), dado em (29), na parametriza¸cão de Youla-Kucera (equa¸cão 5) um controlador comutativo estabilizante, K(s), pode ser obtido:

K(s) = Nk(s)Mk−1(s) onde Nk(s)= 4, 5s 2_{+ 12, 7s − 1, 5} _{63, 1s}2 − 18, 5s − 0, 7 4, 0s2_{+ 10s − 0, 5} −72, 8s2+ 18, 9s + 2, 5 e Mk(s)= −3, 7s2+ 73, 4s − 0, 9 −0, 1s2+ 1, 1s + 3, 2 −3, 3s2+ 65, 4s + 1, 9 0, 1s2− 0, 3s + 1, 3 . ´

E fácil verificar que este controlador tem dois pólos instáveis, 19, 9409 e 6, 8869; logo, como a planta também tem dois pólos instáveis, para que o sistema em malha fechada seja interna-mente estável é necessário que os lugares carac-ter´ısticos da fun¸cão de transferência em malha aberta, Qp(s) = G(s)K(s), tenha quatro envolvi-mentos em sentido anti-horário do ponto cr´ıtico −1 + j0. Os lugares caracter´ısticos de Qp(s) são apresentados na figura 2, onde claramente se veri-fica que o ponto cr´ıtico −1+j0 é de fato envolvido quatro vezes em sentido anti-horário e, portanto, o sistema em malha fechada é estável.

Considere agora a mesma medida de comuta-tividade utilizada em Basilio et al. (2002):

ei(ω) =

|lqi(jω) − lgi(jω)lki(jω)|

|lqi(jω)|

100%, i = 1, 2,

que representa o erro percentual entre os lugares caracter´ısticos de Qp(s) (lqi(jω)) e os produtos

dos lugares caracter´ısticos de G(s) (lgi(jω)) e K(s)

(lki(jω)) a cada freq¨uˆencia ω. A partir da figura

3, se verifica que o erro percentual para ambos os lugares caracter´ısticos ´e extremamente pequeno (menor do que 10−10_{%), o que mostra que G(jω)} e K(jω) realmente comutam.

6 Conclus˜ao

Neste artigo uma condi¸c˜ao suficiente para a e-xistˆencia do controlador comutativo estabilizante

10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 0 0.5 1 x 10−10 ω (rad/s) e1 ( ω ) 10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 0 0.5 1 x 10−10 ω (rad/s) e2 ( ω )

Figura 3. Erro percentual entre os lugares caracter´ısticos de Qp(s) = G(s)K(s) e o produto dos lugares

carac-ter´ısticos de G(s) e K(s) a cada freq¨uˆencia ω.

é apresentada. Essa condi¸cão se aplica a uma grande variedade de plantas, e pode ser facilmente verificada a partir dos autovalores da matriz de transferência da planta.

Agradecimentos

Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPq.

Referˆencias

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