Avaliação de robustez, desempenho e aplicação do controlador adaptativo por posicionamento de pólos e estrutura variável

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica

Avalia¸c˜

ao de Robustez, Desempenho e Aplica¸c˜

ao do

Controlador Adaptativo por Posicionamento de P´

olos

e Estrutura Vari´

avel

Marcelo Brand˜

ao dos Santos

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lúcio de Araújo Ribeiro

(2)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica

Avalia¸c˜

ao de Robustez, Desempenho e Aplica¸c˜

ao do

Controlador Adaptativo por Posicionamento de P´

olos

e Estrutura Vari´

avel

Marcelo Brand˜

ao dos Santos

Disserta¸cão submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica da Uni-versidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araújo Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lúcio de Araújo Ribeiro

(3)

(4)

Avalia¸c˜

ao de Robustez, Desempenho e Aplica¸c˜

ao do

Controlador Adaptativo por Posicionamento de P´

olos

e Estrutura Vari´

avel

Marcelo Brand˜

ao dos Santos

Disserta¸c˜ao de Mestrado aprovada em 19 de outubro de 2007 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Aldayr Dantas de Ara´ujo Orientador - DEE/UFRN

Prof. Dr. Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro Co-orientador - DEE/UFRN

Prof. Dr. Francisco das Chagas Mota Examinador interno - DCA/UFRN

Prof. Dr. Shankar P. Bhattacharyya

(5)

Aos meus pais - Raimundo Oliveira e Iracema Brand˜ao `

A minha av´o - Rita Ao meu irm˜ao - Magno `

(6)

Agradecimentos

A Deus pelo dom da vida e por mais esta conquista.

Aos Professores Aldayr Dantas de Araújo e Ricardo Lúcio de Araújo Ribeiro, pelos ensinamentos e orienta¸cão acadêmica.

Aos professores da UFBA, em especial, Antônio Cezar de Castro e Lima, Leizer Schnit-man e Adhemar de Barros Fontes, pelos conhecimentos transmitidos, por me apresentarem a pesquisa acadêmica e me incetivarem à fazer o mestrado.

A todos os meus familiares e amigos, que me incetivaram e me apoiaram nessa etapa de minha vida. Aos meus amigos Artur, Nara e Ot´avio e minha namorada Mar´ılia que, mesmo distante, acompanharam e me apoiaram nos momentos dif´ıceis. A meu grande amigo Rean, que sempre me incetivou a superar obst´aculos, e que nos deixou a poucos meses.

Aos amigos do LACI que me ajudaram sempre que precisei. A todos os professores do PPGEE que me transmitiram seus conhecimentos e experiˆencias profissionais durante este per´ıodo.

(7)

Resumo

Neste trabalho, a robustez e o desempenho do controlador adaptativo por posiciona-mento de pólos e estrutura variável (VS-APPC) são avaliados e este algoritmo é aplicado em um sistema de controle de um motor. A avalia¸cão de robustez deste controlador será realizada através de simula¸cões, onde serão introduzidas as seguintes adversidades no sistema: atraso de transporte, limites da resposta no atuador, perturba¸cões, varia¸cão paramétrica e dinâmica não modelada. O VS-APPC será comparado com o controlador PI, com o controlador por posicionamento de pólos (PPC) e com o controlador adaptativo por posicionamento de pólos (APPC). O VS-APPC será simulado para rastrear uma re-ferência degrau e senoidal. Será também aplicado no sistema de controle de um motor de indu¸cão trifásico para rastrear um sinal senoidal no referencial estatórico. Os resultados das simula¸cões e experimentais comprovarão a eficiência e robustez desta estratégia de controle.

(8)

Abstract

In this work, the variable structure adaptive pole placement controller (VS-APPC) robustness and performance are evaluated and this algorithm is applied in a motor con-trol system. The concon-troller robustness evaluation will be done through simulations, where will be introduced in the system the following adversities: time delay, actuator response boundeds, disturbances, parametric variation and unmodeled dynamics. The VS-APPC will be compared with PI control, pole placement control (PPC) and adaptive pole place-ment controller (APPC). The VS-APPC will be simulated to track a step and a sine reference. It will be applied in a three-phase induction motor control system to track a sine signal in the stator reference frame. Simulation and experimental results will prove the efficiency and robustness of this control strategy.

(9)

Conte´

udo

Conte´udo i

Lista de Figuras iii

Gloss´ario de Termos vii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Sistemas de Controle . . . 1

1.2 Controle Cl´assico . . . 2

1.3 Controle Adaptativo . . . 3

1.3.1 Controle Adaptativo por Posicionamento de P´olos . . . 4

1.4 Sistemas com Estrutura Vari´avel . . . 5

1.4.1 Descri¸c˜ao Geral . . . 6

1.5 Avalia¸c˜ao de Robustez . . . 7

1.6 Sistema de Controle de um Motor de Indu¸c˜ao . . . 8

1.7 Estrutura do Trabalho . . . 9

2 Controle Adaptativo por Posicionamento de Pólos e Estrutura Variável 11 2.1 Introdu¸cão . . . 11

2.2 Descri¸c˜ao do Problema . . . 12

2.3 APPC: M´etodo Polinomial . . . 13

2.4 Descri¸c˜ao do M´etodo . . . 15

2.5 C´alculo dos Parˆametros do Controlador . . . 17

2.5.1 Referˆencia Degrau . . . 18

(10)

3 Robustez e Desempenho de um Sistema 21

3.1 Estabilidade e Desempenho . . . 21

3.1.1 Avalia¸c˜ao do Comportamento Estacion´ario . . . 22

3.1.2 Avalia¸c˜ao do Comportamento Transit´orio . . . 22

3.2 Robustez do Sistema de Controle . . . 22

3.2.1 Limita¸c˜ao da Resposta do Atuador . . . 23

3.2.2 Perturba¸c˜oes . . . 23

3.2.3 Atraso de Transporte . . . 24

3.2.4 Varia¸c˜oes Param´etricas . . . 24

3.2.5 Dinˆamica n˜ao Modelada . . . 25

3.2.6 Ru´ıdos de Leitura . . . 25

4 Simula¸cões e Aplica¸cão do VS-APPC em um Motor de Indu¸cão 26 4.1 Motor de Indu¸cão Trifásico . . . 26

4.1.1 Modelagem de um Motor de Indu¸c˜ao . . . 29

4.1.2 Parˆametros do Motor . . . 30

4.2 Simula¸c˜oes: Controle Malha Externa . . . 31

4.2.1 Avalia¸c˜ao de Robustez e Desempenho do Sistema . . . 32

4.3 Simula¸c˜oes: Controle Malha Interna . . . 40

4.3.1 Avalia¸c˜ao de Robustez e Desempenho do Sistema . . . 43

4.4 Implementa¸c˜ao do VS-APPC . . . 52

5 Conclusões e Perspectivas 54 Apêndices 56 A Conceitos sobre Sistemas 56 A.1 Representa¸cão de um Sistema . . . 56

A.2 Fun¸c˜ao de Transferˆencia . . . 57

A.3 Polinˆomios Coprimos . . . 57

B Conceitos sobre Estabilidade 60 B.1 Defini¸c˜ao de Estabilidade . . . 60

(11)

B.2.1 Fun¸c˜oes Definidas Positivas e Negativas . . . 61

B.2.2 Transla¸c˜ao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . 61

B.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . 62

B.2.4 An´alise de Sistemas baseado no M´etodo Direto de Lyapunov . . . . 63

C Princ´ıpio do Modelo Interno 64 C.1 Princ´ıpio do Modelo Interno . . . 64

D Ambiente de Simula¸c˜oes 65 D.1 Ambiente para Avalia¸c˜ao de Robustez de Algoritmos de Controle . . . 65

D.2 Apresenta¸c˜ao do Ambiente de Simula¸c˜oes . . . 66

D.2.1 Parˆametros do Sistema . . . 66

D.2.2 Parˆametros de Simula¸c˜ao . . . 67

D.2.3 Introdu¸c˜ao de Adversidades . . . 68

D.2.4 Op¸c˜oes de Algoritmos de Controle . . . 68

D.2.5 Parˆametros dos Algoritmos de Controle . . . 69

D.2.6 Apresenta¸c˜ao dos Resultados . . . 69

D.2.7 Orienta¸c˜ao ao Usu´ario . . . 72

Referˆencias Bibliogr´aficas 74

(12)

Lista de Figuras

1.1 Sistema de Controle. . . 1

1.2 Controlador PID. . . 3

1.3 Estrutura de um Controlador Adaptativo. . . 4

1.4 APPC Indireto. . . 5

1.5 Superf´ıcie de deslizamento em um sistema com estrutura vari´avel. . . 6

1.6 Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸c˜ao com controle de corrente. . . 9

2.1 Diagrama de blocos do controle por posicionamento de p´olos. . . 15

4.1 Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸c˜ao. . . 27

4.2 Diagrama de blocos do controle de corrente do motor de indu¸c˜ao. . . 27

4.3 Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸c˜ao uti-lizando o VS-APPC. . . 28

4.4 Diagrama de blocos do controle de corrente do motor de indu¸c˜ao utilizando o VS-APPC. . . 28

4.5 Simula¸c˜ao 1 - sa´ıda da planta e sinal de controle. . . 33

4.6 Simula¸c˜ao 1 - sa´ıda estimada e parˆametros do VS-APPC. . . 34

4.8 Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma perturba¸cão no sinal de controle. . . 35

4.9 Simula¸c˜ao 2 - mudan¸ca na referˆencia. . . 35

4.10 Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma varia¸cão paramétrica. . . 36

4.11 Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma perturba¸cão no sinal de sa´ıda. . . 36

4.12 Simula¸c˜ao 2 - sa´ıda estimada e parˆametros do VS-APPC. . . 37

(13)

4.15 Simula¸c˜ao 5: sa´ıda da planta e sinal de controle. . . 39

4.16 Simula¸c˜ao 6: sa´ıda da planta e sinal de controle. . . 40

4.17 Diagrama de Blocos do sistema do motor de indu¸c˜ao. . . 42

4.18 Simula¸cão 7 - corrente de sa´ıda is sd e corrente de referênciais ∗ sd (PI s´ıncrono). 43 4.19 Simula¸cão 7 - corrente de sa´ıdais sq e corrente de referênciais ∗ sq (PI s´ıncrono). 44 4.20 Simula¸cão 8 - corrente de sa´ıdais sd e corrente de referênciais ∗ sd (PPC). . . . 44

4.21 Simula¸c˜ao 8 - corrente de sa´ıdais sq e corrente de referˆenciais ∗ sq (PPC). . . . 45

4.22 Simula¸cão 9 - corrente de sa´ıdais sd e corrente de referênciais ∗ sd (VS-APPC). 45 4.23 Simula¸cão 9 - corrente de sa´ıdais sq e corrente de referênciais ∗ sq (VS-APPC). 46 4.24 Simula¸cão 8 e 9 - erro quadrático entre corrente de sa´ıdais sd e corrente de referência is∗ sd. . . 47

4.25 Simula¸cão 8 e 9 - erro quadrático entre a corrente de sa´ıda is sq e corrente de referência is∗ sq. . . 47

4.26 Simula¸cão 10 - corrente de sa´ıdais sd e corrente de referência is ∗ sd (PI s´ıncrono). 48 4.27 Simula¸cão 10 - corrente de sa´ıdais sq e corrente de referênciais ∗ sq (PI s´ıncrono). 49 4.28 Simula¸cão 11 - corrente de sa´ıda is sd e corrente de referênciais ∗ sd (PPC). . . 49

4.29 Simula¸c˜ao 11 - corrente de sa´ıda is sq e corrente de referˆencia is ∗ sq (PPC). . . 50

4.30 Simula¸cão 12 - corrente de sa´ıda is sd e corrente de referênciais ∗ sd (VS-APPC). 50 4.31 Simula¸cão 12 - corrente de sa´ıda is sq e corrente de referência is ∗ sq (VS-APPC). 51 4.32 Simula¸cão 11 e 12- erro quadrático entre corrente de sa´ıdais sd e corrente de referência is∗ sd. . . 51

4.33 Simula¸cão 11 e 12- erro quadrático entre a corrente de sa´ıda is sq e corrente de referência is∗ sq. . . 52

4.34 Resultado experimental - corrente de sa´ıdais sd e corrente de referˆenciais ∗ sd. . 53

4.35 Resultado experimental - corrente de sa´ıdais sq e corrente de referˆenciais ∗ sq. . 53

D.1 Janela Principal. . . 66

D.2 Parˆametros do Sistema . . . 67

D.3 Parˆametros de Simula¸c˜ao . . . 67

D.4 Introdu¸c˜ao de Perturba¸c˜oes. . . 68

(14)

D.6 Op¸c˜oes de Algoritmos de Controle. . . 69

D.7 Controlador PID. . . 70

D.8 Controle Adaptativo. . . 71

D.9 Controle Adaptativo Robusto com Estrutura Vari´avel. . . 71

D.10 Apresenta¸c˜ao dos Resultados. . . 72

D.11 Orienta¸c˜ao ao Usu´ario. . . 73

(15)

Gloss´

ario de Termos

APPC - Adaptive Pole Placement Control (Controle Adaptativo por Posicionamento de P´olos)

LTI - Linear Time Invariant (Linear Invariante no Tempo) MIMO - Multiple Input Multiple Output (Multivari´avel)

MRAC - Model Reference Adaptive Control (Controle Adaptativo por Modelo de Referˆencia)

PIVSC - Proportional Integrative Variable Structure Control (Controle Porporcional Integrativo por Estrutura Vari´avel)

PPC - Pole Placement Control (Controle por Posicionamento de Pólos) RFO - Rotor Flux Oriented (Orienta¸cão pelo Fluxo Rotórico)

SISO - Single Input Single Output (Monovari´avel)

VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Control (Controle Adapta-tivo por Posicionamento de P´olos e Estrutura Vari´avel)

VSC - Variable Structure Control (Controle por Estrutura Vari´avel)

(16)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

1.1 Sistemas de Controle

Um sistema a ser controlado pode ser representado, de forma simplificada, conforme a Figura 1.1.

O sistema a ser controlado é chamado de processo ou planta. O sinal aplicado na(s) entrada(s) de controle é chamado sinal de controle, e também conhecido como variável manipulada. O sinal de sa´ıda do processo é chamado de variável controlada ou variável de processo, e é a variável cujo comportamento se deseja controlar. Além disso, o sistema está, em geral, sujeito à a¸cão de sinais exógenos chamados de perturba¸cões, que são sinais de entrada cujos valores não podem ser manipulados [1].

A classifica¸cão de um sistema de controle divide-se em malha aberta e malha fechada. Em um controle em malha aberta, o sinal de sa´ıda não é medido nem realimentado para compara¸cão com o sinal de entrada. No controle em malha fechada, o sinal de erro atuante, que é a diferen¸ca entre o sinal de entrada e o sinal realimentado (que pode ser o

(17)

Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 2

próprio sinal de sa´ıda ou uma fun¸cão do sinal de sa´ıda e suas derivadas), é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a sa´ıda do sistema a um valor desejado. As desvantagens dos sistemas a malha aberta, especificamente a sensibilidade a perturba¸cões e à incapacidade de corrigir os efeitos destas perturba¸cões, podem ser superadas no sistema a malha fechada.

O controlador é um dispositivo que realiza determinadas opera¸cões matemáticas sobre o sinal de erro a fim de produzir uma a¸cão de controle que, ao ser aplicado ao processo, faz com que sejam satisfeitos determinados objetivos de desempenho do sistema de controle. A estas a¸cões matemáticas dá-se o nome de a¸cões de controle [1].

O cálculo do sinal de controle pode ser realizado a partir de sinais do sistema (sinal de referência, da sa´ıda da planta, do próprio sinal de controle) ou baseado nas variáveis de estado do sistema. Neste trabalho é suposto que apenas são mensurados os sinais de referência, de sa´ıda e de controle. A forma de calcular as a¸cões de controle depende da teoria de controle utilizada.

1.2 Controle Cl´

assico

Dentro da teoria de controle clássico, a a¸cão de controle pode ser calculada de diversas formas. As principais formas são: através da combina¸cão da a¸cão proporcional, integral e derivativa (PID), do posicionamento de pólos, de um compensador em atraso, em avan¸co e da realimenta¸cão de estado.

Estes controladores possuem uma estrutura fixa, ou seja, seus parâmetros são estáticos no tempo, são sintonizados para um ponto ou uma região de opera¸cão de um processo e essa sintonia não é modificada automaticamente caso seja necessário. Assim, a modelagem do processo é uma etapa importante para uma boa sintonia do controlador.

Atualmente, controladores de estrutura simples e padronizada, como os controladores PID, representam a imensa maioria das malhas de controle industriais em todo o mundo [1]. Nos controladores PID comercializados, apenas os ganhos dessas a¸c˜oes s˜ao ajustados. Este possui uma estrutura fixa e permite realizar seu projeto de forma simples e eficiente.

(18)

Figura 1.2: Controlador PID.

configura¸cões utilizadas são: P, PD, PI e PID, sendo admiss´ıvel utilizar as a¸cões separadas em uma malha ou em diferentes malhas do sistema.

O sinal de controle, em um controlador PID, ´e calculado em fun¸c˜ao do sinal de erro, e a estrutura, em diagrama de blocos, mais utilizada, pode ser vista na Figura 1.2.

1.3 Controle Adaptativo

O projeto de um controlador, em sua maioria, depende do modelo da planta em uma determinada condi¸cão de opera¸cão. Porém, a exatidão de uma modelagem é de extrema dificuldade, além de, em diversos processos, alguns parâmetros da planta serem desconhecidos ou parcialmente conhecidos (conhecidos com incertezas). Assim, surgiu a necessidade de técnicas de estima¸cão desses parâmetros com o intuito de melhor entender o comportamento da planta.

A motiva¸cão da adapta¸cão em sistemas de controle surgiu do desenvolvimento de um piloto automático de alto desempenho no in´ıcio da década de 50, devido à aeronave operar em uma grande faixa de velocidades e alturas, e sua dinâmica ser não linear e conceitualmente variante no tempo [3].

Uma estrutura de controle adaptativo, em geral, contém uma malha de realimenta¸cão, um estimador de parâmetros e um controlador com ganhos ajustáveis, como mostra a Figura 1.3.

(19)

Figura 1.3: Estrutura de um Controlador Adaptativo.

base em estimativas anteriores e novos dados, e assim, esta estima¸c˜ao ´e executada con-correntemente com o sistema de controle.

Controle adaptativo consiste, portanto, em aplicar alguma técnica de estima¸cão para obter os parâmetros do modelo do processo e de seu meio a partir de medi¸cões de sinais da entrada e da sa´ıda da planta, e usar este modelo para projetar um controlador [2].

A estrutura de controle adaptativo é classificada em indireta e direta. No controle adaptativo indireto (também chamado de controle adaptativo expl´ıcito) os parâmetros da planta são estimados on-line e usados para calcular os parâmetros do controlador. No con-trole adaptativo direto, o modelo da planta é parametrizado em termos dos parâmetros do controlador, os quais são estimados diretamente sem cálculos intermediários envol-vendo estimativas dos parâmetros da planta. É também chamado de controle adaptativo impl´ıcito por ser baseado na estima¸cão de um modelo impl´ıcito da planta [3]. Em ambas as estruturas, os cálculos dos parâmetros do controlador são feitos por leis de adapta¸cão. As principais técnicas de controle adaptativo são: PID adaptativo, controle adaptativo por modelo de referência (MRAC - Model Reference Adaptive Control), controle adapta-tivo por posicionamento de pólos (APPC - Adaptive Pole Position Control), controlador adaptativo auto oscilatório e controlador com ganhos ajustáveis (gain scheduling).

1.3.1 Controle Adaptativo por Posicionamento de P´

olos

(20)

(PPC-Pole Placement Controller) e é aplicável em plantas lineares e invariantes no tempo (LTI-Linear Time Invariant) tanto de fase m´ınima e não m´ınima. A combina¸cão da lei de controle por posicionamento de pólos com uma estima¸cão de parâmetros ou uma lei adaptativa originou o controlador APPC, também conhecido como self-tunning [3].

Tradicionalmente, o APPC vem sendo desenvolvido em uma abordagem indireta (Figura 1.4). Esta é fácil de projetar, é aplicável a uma grande variedade de plantas LTI e não é necessário que seja de fase m´ınima ou estável. Devido a sua flexibilidade em escolher a metodologia do projeto do controlador (realimenta¸cão de estado, projeto de compensador, método polinomial, etc.) e a lei adaptativa (m´ınimos quadrados, método do gradiente, estrutura variável, etc.), o APPC indireto é o mais geral tipo de controle adaptativo [3].

O método escolhido para projetar a lei de controle, neste trabalho, foi o método polinomial, e é suposto que apenas os sinais de referência e sa´ıda são mensuráveis.

Figura 1.4: APPC Indireto.

1.4 Sistemas com Estrutura Vari´

avel

(21)

As principais caracter´ısticas de um controle adaptativo com estrutura variável são a rapidez no transitório e a robustez a varia¸cões paramétricas e perturba¸cões, dentro de uma certa faixa de tolerância. Contudo, tem também como caracter´ıstica, um chaveamento em alta freqüência no sinal de controle e/ou em variáveis onde este método é aplicado, fenômeno conhecido como chattering.

A técnica de estrutura variável foi aplicada, neste trabalho, nas leis de adapta¸cão do APPC na estrutura indireta. Desta jun¸cão surgiu o VS-APPC - Variable Structure Pole Placement Adaptive Control.

Em seguida ´e apresentada, resumidamente, a teoria para sistemas com estrutura vari´avel.

1.4.1 Descri¸c˜

ao Geral

Para as demonstra¸c˜oes ser´a considerado o seguinte sistema de segunda ordem ˙

x1 =x2 ˙

x2 =a1x1+a2x2+u

(1.1)

com a1 ea2 conhecidos com incertezas.

Define-se uma superf´ıcie de chaveamentos como

s=x∈R2 |s(x) = cx1+x2 = 0, c >0 (1.2) na qual deseja-se que permane¸cam as variáveis de estado x1 e x2 (dinâmica do sistema). Deve ser satisfeita a condi¸cão ss <˙ 0 para se ter o comportamento ilustrado na Figura 1.5.

(22)

Em um problema de estabiliza¸c˜ao deve-se ter lim

t→∞x1(t) = 0 e limt→∞x2(t) = 0.

Defini-se u(x) da forma

u(x) =

 



u+₍_x₎_, _se _s₍_x₎_>₀

u−

(x), se s(x)<0 (1.3) com u=g(θ1, θ2, x1, x2), onde

θ1 =−θ¯1sgn(sx1), θ¯1 >|a1|

θ2 =−θ¯2sgn(sx2), θ¯2 >|c+a2|

(1.4)

Os valores dos parˆametros ¯θ determinam a rapidez com que a trajet´oria atinge a superf´ıcie de deslizamento.

Desta forma, o sistema torna-se

˙

x=

 



f+₍_x₎_, _se _s₍_x₎_>₀

f−

(x), se s(x)<0 (1.5)

tendo como condi¸c˜ao de deslizamento

s(x)·s˙(x)<0 (1.6)

Pode-se interpretar a condi¸c˜ao de deslizamento como a derivada (negativa) da fun¸c˜ao 1

2s(x)

2_{, que é uma medida da distância à superf´ıcie de deslizamento} _s₍_x_{) = 0.}

Se a condi¸c˜ao de deslizamentos(x)·s˙(x)<0 ´e satisfeita em uma vizinhan¸ca des(x)<

0, os campos vetoriais representados por f+₍_x_{) e} _f−

(x) apontam para esta superf´ıcie e, portanto, se uma trajet´oria alcan¸ca s(x), ´e for¸cada a permanecer (deslizar) sobre esta.

1.5 Avalia¸c˜

ao de Robustez

(23)

Na prática, a intera¸cão da planta f´ısica com o sistema de controle é realizado por sinais fornecidos da planta para sensores e por sinais enviados do sistema de controle para atuadores. Estes sinais de entrada e sa´ıda, e as leis que descrevem o comportamento do sistema f´ısico, são as únicas informa¸cões do processo. Em vários casos, não são obtidas leis f´ısicas que representam a planta, ou estas são bastante complexas [5].

As informa¸cões de um sistema - sinais de entrada e sa´ıda e leis f´ısicas - comumente não representam o sistema completamente. A descri¸cão de um determinado processo f´ısico incluindo todos os aspectos envolvidos pode ser impraticável. Em alguns casos, também é realizada uma simplifica¸cão das leis f´ısicas para descrever o sistema. Assim, por estes fatos, pode-se concluir que em problemas práticos de controle existe uma certa “quantidade”de incertezas [5].

O objetivo principal do estudo de robustez em algoritmos de controle é reproduzir resultados teóricos, que são comprovados computacionalmente, em sistemas f´ısicos com incertezas presentes.

Neste trabalho, adversidades são inclu´ıdas nas simula¸cões, e assim, o sistema simulado será mais semelhante ao sistema real, para que se possa avaliar a robustez do VS-APPC antes de implementá-lo em sistemas f´ısicos.

1.6 Sistema de Controle de um Motor de Indu¸c˜

ao

Após o surgimento da teoria de controle vetorial [6], que é baseada na orienta¸cão dada pelo campo do rotor, surgiram ferramentas teóricas para controlar a velocidade do motor de indu¸cão de forma desacoplada, semelhante ao motor de corrente cont´ınua (d.c.- direct current).

Um motor de indu¸cão de alto desempenho pode utilizar a estratégia de controle vetorial direta ou indireta orientada pelo fluxo rotórico (RF O - rotor flux oriented) [7]. Esta técnica de controle permite que uma máquina de indu¸cão tenha um desempenho no torque similar a máquinas d.c..

(24)

sobre-Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao 9

corrente mais efetiva na máquina. Logo, é desejado um controle em cascata para o motor (Figura 1.6), ou seja, duas malhas de controle no sistema, uma interna e outra externa. Para que isto possa ser feito é necessário que a malha interna de controle seja mais rápida que a externa. Isso é poss´ıvel porque em geral a constante de tempo mecânica é bem superior à constante de tempo elétrica [8]. Na Figura 1.6 pode-se observar a referência (ωref) e o sinal de controle da malha externa (iref), a referência da malha interna, que é

o sinal de controle da malha externa, o sinal de controle da malha interna (V), e os sinais de sa´ıda das malhas interna e externa, respectivamente (i e ω).

Figura 1.6: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸c˜ao com controle de corrente.

Além da prote¸cão mais efetiva da máquina, o controle em cascata permite um projeto mais simples dos controladores ao considerar separadamente os sistemas de acionamento e de controle propriamente dito.

Neste trabalho, ser´a aplicado o controlador VS-APPC na malha interna e na malha externa do sistema de controle do motor de indu¸c˜ao.

1.7 Estrutura do Trabalho

(25)

(26)

Cap´ıtulo 2

Controle Adaptativo por

Posicionamento de P´

olos e Estrutura

Vari´

avel

2.1 Introdu¸c˜

ao

O VS-APPC pode ser considerado um controlador h´ıbrido que agrega as caracter´ısticas do APPC e da estrutura variável na lei de adapta¸cão, isto é, aplicabilidade a plantas de fase não-m´ınima, transitório rápido e robustez.

Além disso, por utilizar o princ´ıpio do modelo interno, esta estratégia de controle leva o sistema a obter erro de rastreamento igual a zero em regime permanente para uma dada referência.

Controladores h´ıbridos que utilizam a técnica de posicionamento de pólos, podem ser vistos em [11], [12], [13] e [14]. Em [11] são utilizadas múltiplas técnicas em paralelo para estimar os parâmetros e em [12] são utilizadas redes neurais na lei adaptativa. Em [13] foi utilizado o método dos m´ınimos quadrados recursivos e esta técnica foi aplicada em um robô, e em [14] tem-se a aplica¸cão da estrutura variável na lei adaptativa, semelhante a este trabalho, e a simula¸cão deste controlador em um ve´ıculo aquático autônomo.

(27)

Cap´ıtulo 2. Controle Adaptativo por Posicionamento de P´olos e Estrutura Vari´avel 12

(Proportional Integrative Variable Structure Control), e esta foi aplicada em referˆencias degrau e senoidal. E em [17] pode ser visto um controlador que utiliza a t´ecnica de modos deslizantes acoplada ao princ´ıpio do modelo interno.

O VS-APPC desenvolvido neste trabalho, difere de outros trabalhos, principalmente, pela simplicidade do projeto, pelo algoritmo de adapta¸c˜ao reduzido, e pela semelhan¸ca a um controlador PI adaptativo (referˆencia degrau).

Resultados satisfatórios do VS-APPC podem ser vistos em [18], [19], [20], [21], [23] e [24]. E em [25] foi realizada uma compara¸cão entre algoritmos de controle, entre estes o VS-APPC, e uma avalia¸cão de robustez a algumas adversidades.

2.2 Descri¸c˜

ao do Problema

Analisa-se uma planta SISO e LTI, representada pela fun¸c˜ao de transferˆencia abaixo

y =Gp(s)u, Gp(s) =

Zp(s)

Rp(s)

(2.1) onde Gp(s) é uma fun¸cão de transferência própria e Rp(s) é um polinômio mônico. O

objetivo de controle é escolher uma entrada para a planta (u) tal que os pólos em malha fechada sejam as ra´ızes do polinômio mônico Hurwitz A∗

(s). O polinˆomio A∗

(s) é o polinômio caracter´ıstico desejado em malha fechada, que é escolhido a partir dos requisitos de desempenho em malha fechada. Para alcan¸car o objetivo de controle são feitas as seguintes suposi¸cões:

S1. Rp(s) é um polinômio cujo grau n é conhecido;

S2. Zp(s) e Rp(s) s˜ao coprimos e grau (Zp)< n.

Em geral, pela atribui¸cão dos pólos de malha fechada às ra´ızes de A∗

(s), pode-se garantir a estabilidade e a convergência da sa´ıda da planta (y) para zero em malha fechada sem a utiliza¸cão de uma entrada externa (caso regulador). O objetivo do APPC pode ser estendido com a inclusão do rastreamento de sinais, onde y é requerido seguir uma determinada classe de sinais de referência usando o princ´ıpio do modelo interno. Neste caso, o sinal de referência r uniformemente limitado é assumido satisfazer [3]

Qm(s)·r = 0 (2.2)

onde Qm(s) é o modelo interno de r, ou seja, é um polinômio mônico conhecido de grau

(28)

S3. Qm(s) e Zp(s) s˜ao coprimos.

Por exemplo, se y é requerido seguir o sinal de referência r = 4 +sen(3t), então

Qm(s) = s(s2+ 9) e, portanto, de acordo com a suposi¸c˜ao S3, Zp(s) n˜ao deveria ter s ou

(s2_{+ 9) como um fator.}

2.3 APPC: M´

etodo Polinomial

Considera-se a lei de controle

Qm(s)L(s)u=−P(s)y+M(s)r (2.3)

onde P(s), L(s) (polinômio mônico) e M(s) são polinômios de grau n+q−1, n −1 e

n+q−1, respectivamente, a serem calculados e Qm(s) satisfaz (2.2) e a suposi¸c˜ao S3.

Aplica-se (2.3) em (2.1) e a fun¸cão de transferência em malha fechada obtida é

y= Zp(s)M(s)

Qm(s)L(s)Rp(s) +P(s)Zp(s)

r (2.4)

cuja equa¸c˜ao caracter´ıstica

Qm(s)L(s)Rp(s) +P(s)Zp(s) = 0 (2.5)

tem grau 2n+q−1. O objetivo agora ´e escolherP e L, tal que

Qm(s)L(s)Rp(s) +P(s)Zp(s) =A

∗

(s) (2.6)

seja satisfeita por um polinˆomio Hurwitz mˆonico A∗

(s) de grau 2n+q−1. Devido às suposi¸cões S2 e S3 garantirem que Qm, Rp, Zp são coprimos, existe solu¸cão para que L e

P satisfa¸cam (2.6) e esta solu¸cão é única [3]. A solu¸cão para os coeficientes de L(s),P(s) da equa¸cão (2.5) pode ser obtida pela resolu¸cão da equa¸cão algébrica

Slβl=α

∗

l (2.7)

onde Sl ´e a matriz de Sylvester de QmRp e Zp de dimens˜ao 2(n+q)×2(n+q)

βl= [lTq, pT]T, α

∗

l = [0, ...,0

| {z }

q

,1, α∗_T

(29)

lq = [0, ...,0

| {z }

q

,1, lT]T ∈ ℜn+q

l = [ln−₂, ln−₃, ..., l₁, l0]

T

∈ ℜn−₁ p= [pn+q−₁, p_n₊_q−₂, ..., p₁, p₀]

T

∈ ℜn+q

α∗

= [α∗

2n+q−₂, α ∗

2n+q−₃, ..., α ∗

1, α

∗

0]T ∈ ℜ2n+q

−₁

li,pi e α

∗

i s˜ao os coeficientes de

L(s) =sn−1

+ln−2s

n−2

+...+l1s+l0 =sn−1+lTαn−2(s) P(s) = pn+q−₁s

n+q−₁

+pn+q−₂s

n+q−₂

+· · ·+p1s+p0 =pTαn+q−₁(s) A∗

(s) = s2n+q−₁

+α∗

2n+q−2s

2n+q−₂

+· · ·+α∗

1s+α0 =s2n+q

−₁

+α∗T

α2n+q−2(s)

O fato de QmRp e Zp serem coprimos garante que Sl ´e n˜ao-singular e, portanto, os

coeficientes de L(s) e P(s) podem ser computados da equa¸c˜ao

βl=S

−1

l α

∗

l (2.8)

Usando (2.5), a planta em malha fechada ´e descrita por

y= ZpM

A∗ r (2.9)

Similarmente, da equa¸c˜ao da planta em (2.1), da lei de controle em (2.3) e (2.6), ´e obtido

u= RpM

A∗ r (2.10)

Devido r ser um sinal uniformemente limitado [3] e ZpM

A∗ e

RpM

A∗ serem próprias com pólos estáveis, y e usão uniformemente limitados para qualquer polinômio M(s) de grau

n+q−1. Por isso, o objetivo do posicionamento de pólos é alcan¸cado pela lei de controle (2.3) sem ter que adicionar restri¸cões em M(s) e Qm(s). Quando r = 0, (2.9) e (2.10)

implicam que ye u convergem para zero exponencialmente r´apido. Quando r6= 0, o erro de rastreamento e=r−y´e dado por

e= A

∗

−ZpM

A∗ r=

LRp

A∗ Qmr− Zp

A∗ (M −P)r (2.11)

(30)

Figura 2.1: Diagrama de blocos do controle por posicionamento de p´olos.

isso, o posicionamento de p´olos e o objetivo de rastreamento s˜ao conseguidos pela lei de controle

QmLu=−P(y−r) (2.12)

que ´e implementada como mostrado na Figura 2.1 usando n+q−1 integradores para a realiza¸c˜ao do controlador.

QuandoL(s) tem ra´ızes no semi-plano direito, uma realiza¸c˜ao alternativa de (2.12) ´e obtida reescrevendo (2.10) como

u= Λ−LQm

Λ u−

P

Λ (y−r) (2.13)

onde Λ ´e um polinˆomio Hurwitz de grau n+q−1.

2.4 Descri¸c˜

ao do M´

etodo

Considera-se a seguinte planta

y= b

s+au⇒y˙ =−ay+bu (2.14)

ondeaebsão os parâmetros da planta. O objetivo deste controlador adaptativo é estimar

aeb, gerar um sinal de controleupara queytenda assintoticamente ao sinal de referˆencia

r e para que os p´olos de malha fechada sejam alocados nas ra´ızes de A∗

(s) (polinˆomio escolhido de acordo com os p´olos desejados em malha fechada).

Sejaam >0. Ent˜ao, pode-se escrever (2.14) como

˙

y=−amy+ (am−a)y+bu (2.15)

Um modelo para a planta pode ser escrito como ˙ˆ

(31)

onde â e ˆb são estimativas para a e b, respectivamente [3]. Defini-se o erro de estima¸cão e0 como

e0 =y−yˆ (2.17)

e, portanto,

˙

e0 =−ame0+ ˜ay−˜bu (2.18) com

˜

a= ˆa−a

˜_b_{= ˆ}_b₋_b (2.19)

Sendoa e b constantes, por hip´otese, tem-se ˙˜

a = ˙ˆa

˙˜

b =b˙ˆ (2.20)

Nos algoritmos com leis integrais de estima¸c˜ao, as leis adaptativas utilizadas s˜ao ˙ˆ

a=−γ1e0y, γ1 >0 ˙ˆ

b=γ2e0u, γ2 >0

(2.21)

onde γ1 e γ2 s˜ao os ganhos adaptativos.

Utilizando a seguinte candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V(e0,˜a,˜b) = 1 2 e 2 0+ ˜ a2 γ1 + ˜b

2

γ2

!

>0 (2.22)

encontra-se que

˙

V(e0,a,˜ ˜b) =−ame20 ≤0 (2.23) que garante [e0,˜a,˜b]T = [0,0,0]T como um ponto de equil´ıbrio est´avel.

As leis de estima¸cão por estrutura variável, utilizadas neste trabalho, para o cálculo de â e ˆb são

ˆ

a=−a¯·sgn(e0·y), ¯a >|a|

ˆ_b_{= ¯}_b_·_sgn₍_e₀_·_u₎_, ¯_{b >}_|_b_| (2.24) onde a fun¸cão sgné a fun¸cão sinal.

As amplitudes de ¯a e ¯b devem ser marjorantes dos valores máximos dos parâmetros da planta, para que se possa garantir a estabilidade assintótica. Utilizando a seguinte candidata a fun¸cão de Lyapunov,

V(e0) = 1 2e

2

(32)

e efetuando os seguintes c´alculos alg´ebricos ˙

V(e0) =e0e˙0

=−ame2₀+ ˜a·e0·y−˜b·e0·u

=−ame20+ (ˆa−a)e0·y−(ˆb−b)e0·u

=−ame2₀+ [−¯a·sgn(e0·y)−a]e0·y−[¯b·sgn(e0·u)−b]e0·u =−ame20−(¯a|e0·y|+a·e0·y)−(¯b|e0·u| −b·e0·u)

(2.26)

encontra-se que

˙

V(e0)≤ −ame20 <0 (2.27) com as restri¸cões ¯a > |a| e ¯b > |b|. Isto garante que e0 = 0 é um ponto de equil´ıbrio globalmente assintoticamente estável.

Por fim, um pequena modifica¸cão é feita no algoritmo (introdu¸cão de um valor nominal para o parâmetro ˆb). Assim, o algoritmo utilizado para sintetizar os parâmetros do sinal de controle é

ˆ

a=−¯a·sgn(e0·y), ¯a >|a|

ˆ_b_{= ¯}_b_·_sgn(_e₀_·_u_{) +}_b_nom_, ¯_{b >}_|_b₋_b_nom_| (2.28) onde y é o sinal de sa´ıda da planta, u é o sinal de controle, e0 é o erro de estima¸cão, ¯a e ¯

b são constantes da lei de adapta¸cão ebnom é um valor nominal para o parâmetro b.

2.5 C´

alculo dos Parˆ

ametros do Controlador

A lei de controle no VS-APPC é calculada pela equa¸cão (2.12) e os parâmetros do controlador são calculados de acordo com a equa¸cão (2.6). Como o polinômio Qm(s) é

escolhido de acordo com a referência a ser seguida, para cada tipo de referência tem-se expressões diferentes para os parâmetros do controlador.

Em seguida, serão desenvolvidas as expressões para o cálculo dos parâmetros do con-trolador para uma referência degrau e para uma referência senoidal.

(33)

2.5.1 Referˆ

encia Degrau

Considerando a planta dada pela equa¸c˜ao 2.14. Igualando a equa¸c˜ao caracter´ıstica em malha fechada a A∗

(s)

∗

(s) (2.29)

e fazendo Qm(s) =s e A

∗

(s) = s2₊_α

1s+α0, obt´em-se L(s) = 1 e P(s) =p1s+p0. Resolvendo a equa¸c˜ao Diofantina abaixo

s(s+a) + (p1s+p0)b =s2+α1s+α0 (2.30)

encontra-se que a solu¸cão para a equa¸cão (2.30) é

p1 =

α1−a

b (2.31)

p0 =

α0

b (2.32)

Como foi suposto que os parâmetros da planta são conhecidos com incertezas, o princ´ıpio da equivalência à certeza sugere o uso da mesma lei de controle e, portanto, os parâmetros do controlador são calculados da seguinte forma

ˆ

p1 =

α1−ˆa ˆ

b (2.33)

ˆ

p0 =

α0 ˆ

b (2.34)

onde ˆp1 e ˆp0 s˜ao as estimativas dos parˆametros do controlador que precisam ser geradas em tempo real.

Assim, a fun¸cão de transferência do controlador VS-APPC para uma referência degrau é dada por

Cd(s) =

ˆ

p1s+ ˆp0

s (2.35)

a qual tem a mesma estrutura do controlador PI (2.36). Logo, pode-se considerar, para este caso, o VS-APPC como um controlador PI adaptativo por posicionamento de p´olos e estrutura vari´avel.

CP I(s) =

ks+ 1/_τ_i

(34)

O sinal de controle discreto ´e calculado da seguinte forma

P = ˆp1·e

I =Iant+ ˆp0·eant·h

u=P +I

(2.37)

sendo e o erro (r−y),eant o erro anterior, P a parte proporcional, I a parte integrativa,

Iant a parte integrativa anterior eh o per´ıodo de amostragem.

2.5.2 Referˆ

encia Senoidal

Sup˜oe-se um sinal senoidal como referˆencia, dado por

r=A·sen(ωot+φ) (2.38)

onde A é a amplitude,ωo é a frequência e φ é a fase do sinal senoidal.

Igualando a equa¸c˜ao caracter´ıstica em malha fechada aA∗

(s)

∗

(s) (2.39)

e fazendo Qm(s) =s2+ω02 e A

∗

(s) = s3 ₊_β

2s2+β1s+β0, obt´em-se L(s) = 1 e P(s) =

p2s2 +p1s+p0, e resolvendo a equa¸c˜ao Diofantina abaixo

(s2+ω₀2)(s+a) + (p2s2+p1s+p0)b =s3+β2s2+β1s+β0 (2.40)

encontra-se que a solu¸c˜ao para o sistema acima ´e

p2 =

β2−a

b (2.41)

p1 =

β1−ωo2

b (2.42)

p0 =

β0−ω2oa

b (2.43)

Pelo princ´ıpio da equivalência à certeza, calcula-se os parâmetros do controlador da seguinte forma

ˆ

p2 =

β2−ˆa ˆ

b (2.44)

ˆ

p1 =

β1−ωo2

ˆ

(35)

ˆ

p0 =

β0−ω2oaˆ

ˆ

b (2.46)

onde ˆp2, ˆp1 e ˆp0s˜ao as estimativas dos parˆametros do controlador que precisam ser geradas em tempo real.

Assim, a fun¸cão de transferência do controlador VS-APPC para uma referência senoidal é dada por

Cs(s) =

ˆ

p2s2+ ˆp1s+ ˆp0

s2₊_ω2

o

(2.47) Esta resulta no seguinte modelo no espa¸co de estado

·

x1 =x2+ ˆp1e (2.48)

·

x2 =−ωo2x1+ (ˆp0−ωo2pˆ2)e (2.49)

u=x1+ ˆp2e (2.50)

e a versão discreta do cálculo do sinal de controle, baseada em [9], é dada por

x1(t) = cos(ωoh)·x1(t−h)+

sen(ωoh)

ωo

x2(t−h)+

sen(ωoh)

ωo

ˆ

p2+

1−cos(ωoh)

ω2

o

(ˆp0−ω2opˆ2)

e(t) (2.51)

x2(t) =−ωosen(ωoh)·x1(t−h)+cos(ωoh)·x2(t−h)+

(cos(ωoh)−1)ˆp2+

sen(ωoh)

ωo

(ˆp0−ωo2pˆ2)

e(t) (2.52)

(36)

Cap´ıtulo 3

Robustez e Desempenho de um

Sistema

3.1 Estabilidade e Desempenho

Estabilidade e desempenho são dois aspectos fundamentais no projeto, na análise e na avalia¸cão de um sistema de controle. Estabilidade, em sistemas lineares, significa que, na ausência de excita¸cão externa, todos os sinais do sistema tendem a zero. Um sistema de controle deve ser projetado de forma que a estabilidade seja preservada na presen¸ca de classes de incertezas. Esta propriedade é conhecida como estabilidade robusta [26].

O desempenho de um sistema, em geral, está relacionado com a capacidade de rastrear um sinal de referência e rejeitar perturba¸cões. Assim, deve ser inerente a um sistema de controle a capacidade de rastrear todas as referências pertencentes a uma classe de sinais, sem grandes erros, na presen¸ca de diversos tipos de incertezas. Analisando de outra forma, o pior caso de desempenho do sistema sob a a¸cão destas incertezas, deve ser aceitável. Isto está relacionado com a robustez do sistema.

(37)

Cap´ıtulo 3. Robustez e Desempenho de um Sistema 22

3.1.1 Avalia¸c˜

ao do Comportamento Estacion´

ario

Para controlar o sinal de sa´ıda de uma planta, um sinal de referência é enviado ao sistema de controle. Em geral, o objetivo do sistema de controle é tornar zero o erro entre o sinal de referência e a sa´ıda da planta. Ou seja, fazer com o sinal de sa´ıda rastreie a referência.

A depender do processo, pode ser desejado rastrear diversos sinais, os mais comuns são: degrau, rampa, senóide e onda triangular. Neste trabalho, os sinais de referência a serem rastreados pelo controlador são degrau e senoidal.

O comportamento do sinal de sa´ıda de um sistema, quando este é estável, divide-se em transitório e regime permanente ou estacionário. Os critérios de desempenho usualmente requisitados incluem aspectos no comportamento do sinal em ambas as situa¸cões. No regime permanente é desejado rastrear a referência e apresentar robustez a incertezas.

3.1.2 Avalia¸c˜

ao do Comportamento Transit´

orio

Os aspectos usualmente avaliados no transitório estão relacionados a um sinal degrau como referência.

Quando o sinal de sa´ıda tem uma resposta t´ıpica de um sistema de primeira ordem apenas é analisado, no transitório, o tempo de subida e o tempo de assentamento. En-quanto que, para sistemas de segunda ordem subamortecidos são avaliados o sobre-passo máximo ou over-shoot, o tempo de subida, o tempo de pico e o tempo de assentamento. Outros poss´ıveis critérios de desempenho são margem de fase e margem de ganho.

3.2 Robustez do Sistema de Controle

O projeto de um sistema de controle na presen¸ca de incertezas significativas requer, em geral, um sistema adaptativo e robusto.

Intuitivamente, adapta¸cão em controle quer dizer que o controlador pode modificar seu comportamento em resposta a mudan¸cas na dinâmica do processo e a perturba¸cões [2].

(38)

efeitos não considerados na fase de análise e projeto, por exemplo: distúrbios, ru´ıdo de medida, e dinâmica não modelada [28].

Com o intuito de avaliar a robustez de algoritmos de controle, alguns desses efeitos serão introduzidos nas simula¸cões. Essas adversidades são: limita¸cão da resposta do atuador, perturba¸cões no sinal de controle e na sa´ıda da planta, atraso de transporte, varia¸cões paramétricas e dinâmica não modelada.

A introdu¸cão de um desses fatores em um sistema pode levá-lo até a instabilidade, como pode ser visto em [29].

3.2.1 Limita¸c˜

ao da Resposta do Atuador

O problema de restri¸cões sobre a amplitude do sinal de controle se faz presente em todos os sistemas de controle. Devido a limita¸cões f´ısicas, tecnológicas ou mesmo por mo-tivos de seguran¸ca, os atuadores não são capazes de fornecer sinais de amplitude ilimitada aos processos a serem controlados [1].

Assim, é imprescind´ıvel introduzir uma satura¸cão do sinal de controle. Enquanto o sinal enviado pelo controlador estiver dentro da faixa tolerável pelo atuador, o sinal de controle será o sinal enviado, senão o sinal de controle será os valores lim´ıtrofes do atuador

umin e umax (equa¸c˜ao 3.1). Parau≥0, tem-se

          

u=umax se uenviado ≥umax

u=uenviado se u_min < u_enviado < u_max

u=umin se uenviado ≤umin

(3.1)

Esse comportamento não linear pode provocar uma degrada¸cão no sistema. Tal degrada¸cão pode ser sentida tanto em regime permanente, com a perda do seguimento de referências ou a não rejei¸cão assintótica de perturba¸cões constantes, quanto na resposta transitória, com o sistema apresentando tempo de estabiliza¸cão e sobre-passos maiores [1].

3.2.2 Perturba¸c˜

oes

(39)

Estes distúrbios podem estar onde houver qualquer processamento de sinal do sistema ou pode ser um sinal considerado como perturba¸cão na modelagem do sistema. Usual-mente são analisados somados ao sinal de controle ou somados ao sinal de sa´ıda.

Os distúrbios no sinal de controle podem ser oriundos do sistema de acionamento, do atuador, ou pode até ser uma variável do processo que deve ser rejeitada. A rejei¸cão desta perturba¸cão pode ser realizada através da soma de um sinal oposto ao distúrbio ao sinal de controle.

Os distúrbios no sinal de sa´ıda podem ser oriundos de um sensor, da conversão do sinal ou de outro processamento do sinal de sa´ıda. A rejei¸cão desta perturba¸cão não é trivial, pois o sinal que poderia rejeitar essa perturba¸cão, o sinal de controle, é processado antes pela planta e sua sa´ıda não necessariamente rejeitará a perturba¸cão.

3.2.3 Atraso de Transporte

O atraso de transporte pode acontecer antes do processo (entre o sistema de controle e a planta) ou após o processo (entre os sensores e o sistema de controle). Assim, estes atrasos são, respectivamente, o intervalo de tempo que o sinal de sa´ıda leva para efetivamente “sentir” uma varia¸cão no sinal de referência ou de controle, ou o intervalo de tempo que o sinal de erro leva para efetivamente “sentir” uma varia¸cão no sinal de sa´ıda.

O atraso de transporte pode ocorrer devido a um atraso na medi¸cão do sinal de sa´ıda, na opera¸cão do atuador, na a¸cão do próprio controlador ou a um atraso computacional.

A fun¸cão de transferência de um atraso de transporte é dada pela equa¸cão 3.2. O tempo T é o atraso de transporte

D(s) = e−T s

(3.2) Em geral, quanto maior o atraso de transporte, maior a dificuldade de controlar o processo.

3.2.4 Varia¸c˜

oes Param´

etricas

(40)

aproxima¸cão do sistema real. Na realidade, a maioria dos sistemas são não-lineares e um modelo linear é obtido com a lineariza¸cão do sistema em torno do ponto de opera¸cão [26]. Pode ocorrer que alguns parâmetros do modelo de uma planta tenham seus valores modificados devido a uma mudan¸ca do ponto de opera¸cão, a varia¸cões climáticas, ao desgaste de equipamentos ou devido a outros fatores. Essas varia¸cões são conhecidas como varia¸cões paramétricas e podem degradar o desempenho de um sistema de controle se não forem consideradas.

As varia¸cões paramétricas serão introduzidas neste trabalho através da varia¸cão dos coeficientes da fun¸cão de transferência que representam elementos do sistema.

3.2.5 Dinˆ

amica n˜

ao Modelada

Na modelagem de um processo, usualmente, alguns fatores que pouco influenciam na dinâmica da planta são desconsiderados com o intuito de simplificar esse modelo. A dinâmica do processo devido a esses fatores é conhecida como dinâmica não modelada ou parasita.

Como essa dinâmica não foi modelada, o sistema de controle foi projetado sem con-siderá-la, e assim, esta pode afetar o desempenho do sistema. Contudo, a robustez de um controlador deve evitar essa degrada¸cão.

A dinâmica parasita será introduzida nas simula¸cões através de uma fun¸cão de trans-ferência com ganho unitário e com tempo de estabiliza¸cão muito inferior ao tempo da dinâmica dominante do processo.

3.2.6 Ru´ıdos de Leitura

Na transmissão ou na leitura de um sinal em um sistema de controle, é normal o aparecimento de ru´ıdos a este, provenientes do próprio processo, de sensores, atuadores ou de outros equipamentos. Estes são indesejados e, para eliminá-los ou reduzir sua magnitude, pode-se utilizar filtros.

(41)

Cap´ıtulo 4

Simula¸c˜

oes e Aplica¸c˜

ao do VS-APPC

em um Motor de Indu¸c˜

ao

4.1 Motor de Indu¸c˜

ao Trif´

asico

Um sistema de controle convencional para o motor de indu¸cão é o controle em cascata. O sistema é subdividido em duas fun¸cões de transferência, simplificando assim o modelo da máquina. Então, é projetado um controlador para a malha externa (Figura 4.1) e outro para a malha interna do sistema (Figura 4.2). Estão representadas nas Figuras 4.1 e 4.2 perturba¸cões no sinal de controle e na sa´ıda da planta a serem rejeitadas pelo sistema de controle.

O controle de velocidade (fluxo e conjugado) do motor de indu¸cão (malha externa) pode ser feito por escorregamento ou em quadratura, com o fluxo rotórico ou fluxo es-tatórico e de forma direta ou indireta. Neste trabalho, a estratégia de controle utilizada foi vetorial indireta em quadratura com o fluxo rotórico. O controlador usualmente em-pregado neste malha é o controlador PI.

(42)

Cap´ıtulo 4. Simula¸cões e Aplica¸cão do VS-APPC em um Motor de Indu¸cão 27

Figura 4.1: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸cão. No esquema de controle RF O, o desempenho do torque da máquina de indu¸cão de-pende da eficácia da estratégia de controle da malha da corrente (malha interna). Neste sistema, varia¸cões paramétricas podem ocorrer devido a poss´ıveis varia¸cões nas condi¸cões de opera¸cão do motor de indu¸cão.

Figura 4.2: Diagrama de blocos do controle de corrente do motor de indu¸cão. Então, é desejável para um alto desempenho do controle vetorial, um sistema de controle adaptativo robusto na malha de corrente, que modifique seu comportamento em resposta a mudan¸cas na dinâmica do motor.

A estratégia mais comum de controle de corrente empregada no referencial s´ıncrono é o controlador PI [30]. Outra estratégia comum é o uso de controle por histerese [31]. No entanto, utilizando esta solu¸cão, erros de corrente podem surgir em regime permanente devido a intera¸cões das fases do motor, e a frequência de chaveamento variável também degrada o desempenho do sistema.

(43)

interna no referencial estatórico, evita a transforma¸cão para o referencial rotórico, e a referência é um sinal senoidal. Nas Figuras 4.3 e 4.4 estão representadas perturba¸cões no sinal de controle e na sa´ıda da planta a serem rejeitadas pelo sistema de controle.

Figura 4.3: Diagrama de blocos do controle de velocidade do motor de indu¸c˜ao utilizando o VS-APPC.

Figura 4.4: Diagrama de blocos do controle de corrente do motor de indu¸c˜ao utilizando o VS-APPC.

Por utilizar o princ´ıpio do modelo interno em sua estrutura, este controlador ´e capaz de rastrear diferentes sinais e obter erro de regime nulo em ambos casos.

(44)

fim, o VS-APPC será implementado na prática no sistema de controle da malha interna de um motor de indu¸cão.

4.1.1 Modelagem de um Motor de Indu¸c˜

ao

As equa¸cões das tensões de um motor de indu¸cão em um referencial arbitrário podem ser representadas pelas equa¸cões abaixo

vg_sd =

rs+

ls−σls

τr

ig_sd+σls

dig_sd

dt −ωgσlsi

g sq−

ls−σls

lm

ωrφgrq+

φg_rd τr (4.1) vg sq =

rs+

ls−σls

τr

ig sq+σls

dig sq

dt +ωgσlsi

g sd +

ls−σls

lm

ωrφ g rd− φg rq τr (4.2) e o conjugado eletromagn´etico da m´aquina pode ser calculado por

Ce =

2 3P

lm

lr

ψrd·irsq (4.3)

onde P é o número de pares de pólos, vg_sd, vg sq, i

g

sd e igsq s˜ao as tens˜oes e as correntes

estatóricas no eixo dq em um referencial genérico, respectivamente; rs, ls e lm são a

resistência, a indutância estatórica e a indutância mútua , respectivamente;ωg eωr são as

frequências angulares de referência genérica dq e de referencial rotórico, respectivamente;

σ = 1− l2m

lslr

e τr = _rlr_r são o coeficiente de dispersão da máquina e a constante de

tempo rot´orica, respectivamente; ψr

rd e irsq s˜ao o fluxo rot´orico no eixo direto e a corrente

estat´orica no referencial rot´orico.

Analisando a equa¸c˜ao 4.3 e mantendo o fluxo ψr

rd constante, obt´em-se que a rela¸c˜ao

entre o torque el´etrico e a corrente ir

sq (referˆencia), ´e igual a

Ce=K·irsq (4.4)

onde K ´e uma constante obtida a partir de (4.3). Sabe-se que

P(Ce−Cm) =J

dωr

dt +F ωr (4.5)

(45)

Pode-se obter a fun¸c˜ao de transferˆencia entre velocidade do rotor (ωr) e a corrente

estat´orica (ir

sq) atrav´es das equa¸c˜oes 4.4 e 4.5, supondo o motor em vazio e sem conjugado

de carga(Cm = 0), como

Ω(s)

Ir sq(s)

=

K J

s+F J

(4.6) A fun¸cão de transferência 4.6 representa o sistema da malha externa do motor de indu¸cão.

O modelo dado por 4.1 e 4.2 pode ser simplificado escolhendo o referencial estat´orico (ωg = 0). Assim, as equa¸c˜oes 4.1 e 4.2 podem ser reescritas como

vsds =rsrissd +σls

dis sd

dt +e

s

sd (4.7)

vs

sq =rsrissq+σls

dis sq

dt +e

s

sq (4.8)

sendo a letra s a representa¸c˜ao do referencial estat´orico (stator), rsr = rs+ ls

−_σl_s

τr , e

s sd e

es

sq as for¸cas contra-eletromotrizes (f cems) das fases dq da m´aquina, dadas por

essd =−(ωrφsrq+

φs rd

τr

)(ls−σls)

lm

(4.9)

essq= (ωrφsrd−

φs rq

τr

)(ls−σls)

lm

(4.10) A fun¸cão de transferência entre a corrente e a tensão da máquina de indu¸cão pode ser obtida pelas equa¸cões 4.7 e 4.8

Is sd(s)

Vs′

sd(s)

= I

s sq(s)

Vs′

sq(s)

= 1/rsr

sτs+ 1

(4.11) onde τs = σls/rsr, V

′s

sd(s) = V s

sd(s) − E s

sd(s) e V

′s

sq(s) = Vsqs(s) − Esqs (s). As f cems

Es

sd(s) eEsqs (s) são consideradas perturba¸cões não modeladas a serem compensadas pelo

controlador.

A fun¸cão de transferência 4.11 representa o sistema da malha interna do motor de indu¸cão.

4.1.2 Parˆ

ametros do Motor

(46)

Tabela 4.1: Parˆametros Nominais do Motor de Indu¸c˜ao

rs = 31.0Ω rr = 27.2Ω ls = 0.8042H lr = 0.7992H

lm = 0.7534H J = 0.0133kg.m2 F = 0.0146kg.m/s P = 2

Substituindo os parˆametros do motor em 4.6, encontra-se o seguinte modelo nominal Ω(s)

Ir sq(s)

= 286

s+ 1,1 (4.12)

Substituindo os parˆametros do motor na equa¸c˜ao 4.11, encontra-se o seguinte modelo nominal

Is sd(s)

Vs′

sd(s)

= I

s sq(s)

Vs′

sq(s)

= 10

s+ 587 (4.13)

A seguir ser´a simulado, independentemente, o sistema de controle da malha externa, utilizando o modelo 4.12, e o sistema de controle da malha interna (malha de corrente), utilizando o modelo 4.13.

4.2 Simula¸c˜

oes: Controle Malha Externa

O projeto do controlador e as simula¸cões da malha externa foram realizados sem aplicar um sistema de controle interno (controle da corrente). Assim, o sistema não é analisado em cascata.

Neste sistema o sinal de referência é um degrau. A exigência de desempenho imposta no projeto do controlador para o sistema descrito em 4.12 foi um tempo de estabiliza¸cão menor que em malha aberta, over-shoot e erro de regime permanente nulos. Foram projetados os controladores PI, APPC e VS-APPC.

Para atender o crit´erio de desempenho foi escolhido o seguinte polinˆomio caracter´ıstico:

A∗

(s) = (s+ 1,5)2 =s2+ 3s+ 2,25 (4.14) Como a fun¸cão de transferência do motor tem a mesma estrutura da equa¸cão 2.14, faz-se Qm(s) =s, L(s) = 1 e P(s) =p1s+p0.

Os parˆametros do controlador APPC e VS-APPC s˜ao calculados por:

ˆ

p1 = 3−ˆa

ˆ

(47)

ˆ

p0 = 2,25

ˆ

b (4.16)

As estimativas para o APPC e VS-APPC são calculadas de acordo com as equa¸cões 2.21 e 2.28, respectivamente. Os valores dos ganhos adaptativos do APPC utilizados nas simula¸cões foram: γ1 = 0,5 e γ2 = 0,5.

As constantes do controlador VS-APPC foram escolhidas de forma que ¯a > a, ¯a <3 para que o valor de p1 seja sempre positivo, bnom > ¯b para que ˆb seja sempre positivo,

bnom−¯b < b < bnom+ ¯b, bnom < b e bnom ≥ 1.5¯b para que haja pequenas varia¸c˜oes nos

valores de p0 e p1. Assim, foram escolhidos os seguintes valores: ¯a = 1,8 , ¯b = 100 e

bnom = 200. O valor deam, utilizado em 2.16, foi escolhido igual ao valor do p´olo desejado

em malha fechada (am = 1.5)

O controlador PI foi projetado pelo m´etodo polinomial, considerando o modelo do sistema conhecido e invariante no tempo. Assim, p0 = 0,00787 e p1 = 0,00664, ou seja,

τi = p

0

p1 ek =p0.

O cálculo do sinal de controle para os três controladores é efetuado de acordo com o algoritmo da equa¸cão 2.37.

O sistema completo foi simulado no Matlab com um passo de amostragem deh= 1ms e o sinal de referˆencia foi de r= 300 rpm.

4.2.1 Avalia¸c˜

ao de Robustez e Desempenho do Sistema

A avalia¸cão de robustez foi realizada através da introdu¸cão de adversidades no sistema. Os controladores PI, APPC e VS-APPC serão comparados em rela¸cão ao desempenho no transitório e à robustez a essas adversidades.

Inicialmente, o sistema foi simulado para um ambiente ideal. Em todas as simula¸c˜oes foi introduzida uma limita¸c˜ao no sinal de controle (umax = 3 e umin = 0). O tempo de

simula¸c˜ao foi de 5s. O sinal de sa´ıda da planta e o sinal de controle de cada controlador podem ser vistos na Figura 4.5.

Os controladores levaram a um mesmo desempenho em regime permanente, e no tran-sit´orio, com o VS-APPC foi obtido o menor tempo de acomoda¸c˜ao, e o maior foi obtido com o controlador PI.

(48)

Figura 4.5: Simula¸c˜ao 1 - sa´ıda da planta e sinal de controle.

em 4.17), podem ser vistos na Figura 4.6.

Gf iltro(s) =

10

s+ 10 (4.17)

Os valores médios para os parâmetros do VS-APPC foramp1 = 0,0134 ep0 = 0,0173. Através dos resultados observa-se que os parâmetros do controlador PI sintonizados com os parâmetros médios do VS-APPC levaram a um desempenho melhor.

Posteriormente, foram introduzidas no sistema algumas adversidades. Entre 4s e 9s foi introduzida uma perturba¸cão degrau no sinal de controle com amplitude de 0,5mA, em 13s a amplitude do sinal de referência foi reduzida para 200 rpm, em 17s o parâmetro

(49)

Figura 4.6: Simula¸c˜ao 1 - sa´ıda estimada e parˆametros do VS-APPC.

(50)

A robustez do sistema em rela¸cão à perturba¸cão no sinal de controle, ao rastreio do sinal de sa´ıda após uma mudan¸ca na referência, a robustez em rela¸cão à varia¸cão paramétrica e em rela¸cão à perturba¸cão no sinal de sa´ıda podem ser vistas nas Figuras 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, respectivamente .

Figura 4.8: Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma perturba¸cão no sinal de controle.

(51)

Figura 4.10: Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma varia¸cão paramétrica.

Figura 4.11: Simula¸cão 2 - introdu¸cão de uma perturba¸cão no sinal de sa´ıda.

(52)

Figura 4.12: Simula¸c˜ao 2 - sa´ıda estimada e parˆametros do VS-APPC.

O comportamento da sa´ıda estimada utilizada no algoritmo VS-APPC e dos parˆametros estimados do controlador ap´os a filtragem podem ser vistos na Figura 4.12.

O valor médio para os parâmetros do VS-APPC foram p1 = 0,0134 e p0 = 0,0171. Para esta mesma situa¸cão foi simulado um controlador PI (PI 2) com os parâmetros iguais aos valores médios do VS-APPC. O sinal de sa´ıda da planta e o sinal de controle do PI projetado pelo método polinomial, deste novo PI e do VS-APPC, podem ser vistos na Figura 4.13.

O resultado 4.13 mostra que o VS-APPC pode ser considerado um PI com sintonia autom´atica. O desempenho do VS-APPC e do PI 2 foram bastante semelhantes e melhores que o PI sintonizado pelo m´etodo polinomial.

Para a mesma situa¸c˜ao anterior foi simulado o VS-APPC com outros valores para ¯a, ¯

b e bnom. Foram escolhidos os seguintes valores: VS-APPC 2 com ¯a = 1,7 , ¯b = 100 e

bnom = 220; VS-APPC 3 com ¯a= 2,0 , ¯b= 120 e bnom = 180. O sinal de sa´ıda da planta

(53)

Figura 4.13: Simula¸c˜ao 3 - sa´ıda da planta e sinal de controle.

(54)

Observa-se que houve uma pequena diferen¸ca no desempenho dos controladores, por´em ambos ainda tˆem desempenho superior ao APPC e ao controlador PI.

Foi introduzida uma dinâmica não modelada no sistema, em conjuto com as adversi-dades anteriores, representada pela fun¸cão de transferência da equa¸cão 4.18.

Gdin(s) =

200

s2_{+ 20}_s_{+ 200} (4.18)

O sinal de sa´ıda da planta e o sinal de controle do PI projetado pelo m´etodo polinomial, do APPC e do VS-APPC podem ser vistos na Figura 4.15.

O desempenho transitório do sistema utilizando ambos os controladores foi deterio-rado devido a dinâmica não modelada. Pode-se observar, para o caso do VS-APPC, o surgimento de um over-shoot de aproximadamente 10%, e de um under-shoot quando houve a mudan¸ca no sinal de referência.

Por ´ultimo, foi simulado isoladamente um atraso de transporte do sistema de controle para a planta, sendo o tempo morto igual a 0,5s. O resultado desta simula¸c˜ao pode ser visto na Figura 4.16.

(55)

Figura 4.16: Simula¸c˜ao 6: sa´ıda da planta e sinal de controle.

Os controladores foram robustos ao atraso de transporte introduzido no sistema. As simula¸cões demonstraram a eficiência e robustez do VS-APPC. Comparando com o APPC e o controlador PI, o desempenho do VS-APPC foi mais robusto, a não ser quando foi introduzida a dinâmica não modelada. Foi observado que os valores dos parâmetros

p0 e p1 m´edios do VS-APPC representaram uma boa sintonia para o controlador PI. Assim, tanto pode-se interpretar o VS-APPC como um PI adaptativo, como este pode ser utilizado apenas no in´ıcio do processamento do sistema para auto-sintonizar o controlador PI.

4.3 Simula¸c˜

oes: Controle Malha Interna

(56)

tamb´em projetados os controladores PPC e PI s´ıncrono afim de comparar os resultados obtidos.

A exigência de desempenho imposta no projeto dos controladores para o sistema des-crito pela fun¸cão de transferência 4.13 foi um tempo de estabiliza¸cão menor que 0.015s e reduzir o erro em regime permanente.

Para atender o crit´erio de desempenho foi escolhido o seguinte polinˆomio caracter´ıstico:

A∗

(s) = (s+ 587)3 =s3+ 1761s2+ 1033707s+ 202262003 (4.19) Como a fun¸cão de transferência deste sistema tem a mesma estrutura da equa¸cão 2.14, faz-se Qm(s) =s2+ω₀2, L(s) = 1 eP(s) = p2s2+p1s+p0.

Os parˆametros do controlador VS-APPC s˜ao calculados por (2.44 - 2.46)

ˆ

p2 =

1761−ˆa

ˆ

b (4.20)

ˆ

p1 =

1033707−ω2

o

ˆ

b (4.21)

ˆ

p0 =

202262003−ω2

oaˆ

ˆ

b (4.22)

As estimativas para o VS-APPC s˜ao calculadas de acordo com a equa¸c˜ao 2.28. As constantes do controlador VS-APPC foram escolhidas de forma que ¯a > a, ¯a < 1761 para que o valor de p2 sempre seja positivo, bnom > ¯b para que ˆb sempre seja positivo,

bnom−¯b < b < bnom+ ¯b, bnom < b e bnom ≥ 1.5¯b para que haja pequenas varia¸c˜oes nos

valores de p2, p1 e p0. Assim foram escolhidos os seguintes valores: ¯a = 600, ¯b = 2 e

bnom = 9. O valor de am, utilizado em 2.16, foi escolhido igual ao valor do p´olo desejado

em malha fechada (am=587).

O projeto do PPC foi realizado supondo os parâmetros da planta conhecidos e cons-tantes. Sua estrutura é igual ao do VS-APPC, mas não há adapta¸cão dos parâmetros. Assim, os parâmetros deste controlador são fixos e iguais a

p2 =

1761−587

10 = 117,4 (4.23)

p1 =

1033707−ω2

o

10 = 99817,64 (4.24)

p0 =

202262003−587ω2

o