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Física Geral
Aulas
– Teoria – 2010 – 1
(Introdução aos Princípios Fundamentais da Mecânica Newtoniana)
José Umberto Cinelli Lobo de Oliveira§ José Roberto Pinheiro Mahon¶ Vitor Oguri¶
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Física Armando Dias Tavares
§ Departamento de Física Teórica – DFT
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Documento processado em LTEX.
Fonte para texto:Concrete Roman (11pt)
Fonte matemática:amsfonts da American Mathematical Society.
Bibliografia: estilo da American Mathematical Society por meio deamsplain. Índice remissivo: estilo adaptado do estilo Springer-Verlag.
Rio de Janeiro, compilado em em 18 de março de 2010 (13 h 24 min)
Este trabalho contém NO T A S D E AU L A em andamento desde o
primeiro semestre de 2007, a orientação que seguimos para as aulas teórica do curso de FÍ S I C A GE R A L é destinada ao primeiro semestre do Curso de Física do
Instituto de Física Armando Dias Tavares,
Universidade do Estado do Rio de Janeiro, mantendo alinhamento com o
programa original.
O texto está distante de forma final. Contém muitas
indicações de temas para aula, sem pormenores, e está sujeito a mudanças constantes e radicais, podendo conter passagens
inconvenientes, até mesmo inadequadas para leitura de
estudantes; cada vez menos inconvenientes e menos inadequadas.
Qualquer observação, sugestão ou crítica serão bem recebidas pessoalmente ou nos endereços: [email protected] ou
Agradecemos as sugestões e críticas do Prof. Nilson Duarte Doria.
Material disponível em: http://m17-dfnae.fis.uerj.br/umberto/.
Esclarecimento O presente texto está em conformidade com anova ortografia, segundo: oVOLP
(Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa, da Academia Brasileira de Letras), o Caudas Aulete Digital, o Novo Dicionário Aurélio v 6.0, e o FLIP 7 (Ferramentas para a LÍngua Portuguesa).
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Índice de Aulas
Notação e siglas empregadas 8
Galeria . . . 9
1 Apresentação 11 Referências recomendadas . . . 12
Física . . . 12
Cálculo . . . 12
Vetores . . . 12
Comentários complementares . . . 13
2 Método científico, sistema de unidades, dimensão de grandezas físicas 14 2.1 Tentativa de história do conhecimento humano . . . 14
2.2 Filosofias para obtenção de conhecimento . . . 14
2.3 Método Científico . . . 15
2.4 Sistema de unidades . . . 16
2.4.1 Sistema de unidades como necessidade comercial . . . 16
2.4.2 Necessidade de um sistema de unidades internacional . . . 16
2.5 Grandezas físicas de mesma natureza . . . 17
2.5.1 Necessidade de padronização internacional para tratamento de dados – SI . . 17
2.5.2 Grandezas de base . . . 18
2.5.3 Grandezas de base do SI – unidades SI de base . . . 18
2.5.4 Grandezas derivadas do SI – unidades SI derivadas . . . 18
2.6 Expressão de uma grandeza . . . 20
2.6.1 Grandezas SI suplementares . . . 20
2.6.2 Prefixos SI . . . 20
2.7 Normas para escrita de nomes e símbolos de unidades SI . . . 20
2.7.1 Símbolos das unidades SI . . . 20
2.7.2 Expressão algébrica dos símbolos das unidades SI . . . 21
2.7.3 Normas para emprego dos prefixos SI . . . 21
2.8 Homogeneidade dimensional de grandezas e equações físicas . . . 21
3 Leis de Newton 23 3.1 Conceitos primitivos e princípios adotados . . . 23
3.1.1 Conceitos primitivos . . . 23
3.1.2 Princípios . . . 23
Espaço . . . 23
Tempo . . . 24
Massa . . . 25
Escalas de comprimento e de tempo . . . 26
3.2 Leis de Newton . . . 26
3.2.1 Redação atualizada das leis de movimento . . . 26
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3.2.3 Fragmentos dos enunciados de Newton . . . 28
Lei 1 . . . 28
Lei 2 . . . 28
Lei 3 . . . 28
Corolário 1 . . . 28
Corolário 2 . . . 29
4 Grandezas vetoriais 30 4.1 Caracterização de grandezas escalares . . . 30
4.2 Necessidade de caracterização da álgebra de composição de deslocamentos . . . 31
4.2.1 Caracterização de grandezas vetoriais . . . 31
4.2.2 Deslocamentos no espaço físico . . . 31
4.2.3 Velocidade no espaço físico . . . 32
4.2.4 Aceleração no espaço físico . . . 33
4.2.5 Sacolejo e tranco no espaço físico . . . 33
4.3 Espaço vetorial sobre um corpo – grandezas vetoriais . . . 33
4.4 Caracterização de grandezas tensoriais . . . 33
4.4.1 Tradução matemática de fenômenos da Natureza . . . 34
5 Cinemática vetorial 35 5.1 Produto escalar e norma de vetor – em espaço normado . . . 35
5.1.1 Trajetória . . . 36
5.1.2 Curva suporte de um movimento . . . 37
5.1.3 Norma do vetor deslocamento em coordenadas cartesianas . . . 37
5.1.4 Projeção ortogonal . . . 37
5.1.5 Produto escalar . . . 38
5.1.5.1 Propriedades do produto escalar . . . 39
Norma . . . 39
Comutatividade . . . 39
Distributividade em relação a adição . . . 39
Expressão do produto escalar em bases ortonormais . . . 39
Observações . . . 40
5.2 Expressão vetorial para velocidade e para aceleração . . . 41
5.2.1 Velocidade média . . . 41
5.2.2 Velocidade . . . 41
5.2.3 Aceleração média . . . 41
5.2.4 Aceleração . . . 42
5.3 Geometria da velocidade referente à curva suporte da trajetória . . . 42
5.4 Produto escalar de vetores associados a grandezas físicas diferentes . . . 43
5.4.1 Norma de vetores associados a grandezas no espaço físico . . . 43
5.5 Propriedades algébricas da derivada . . . 44
5.5.1 Derivada da soma de funções . . . 44
5.5.2 Derivada do produto de funções . . . 44
5.5.3 Derivada da função composta . . . 45
5.6 A questão da escala dinâmica de tempo . . . 46
6 Exemplos e métodos ilustrativos 47 6.1 Modelo . . . 47
6.2 Equacionamento do modelo para partícula livre . . . 47
6.2.1 Solução para o movimento da partícula livre . . . 48
6.3 Equacionamento do modelo dos graves em queda . . . 50
6.3.1 Solução para o movimento de queda dos graves . . . 51
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Índice de Aulas 5
6.4 Equacionamento: uma partícula sobre um plano inclinado . . . 53
6.4.1 Movimento da partícula sobre um plano inclinado . . . 53
6.4.2 Caso limite do plano inclinado horizontal e a lei da inércia . . . 53
6.4.3 Movimento no plano inclinado com atrito? . . . 53
6.5 Forças sobre uma partícula . . . 53
6.6 Derivada do produto escalar . . . 54
7 Movimento relativo – Dinâmica em referencial não-inercial 55 7.1 Cinemática do movimento relativo (sem rotação relativa) . . . 55
7.1.1 Relação entre posições . . . 55
7.1.2 Relação entre velocidades . . . 56
7.1.3 Relação entre acelerações . . . 56
7.1.3.1 Referencial . . . 57
7.1.3.2 Outro observador no referencial de um observador inercial . . . 57
7.1.3.3 Observador com velocidade constante em relação ao inercial . . . . 58
7.1.3.4 A questão do observador inercial para as leis de Newton . . . 59
7.1.4 Hipótese de Newton e transformação de Galileu . . . 59
7.1.5 Transformação de Lorentz . . . 59
7.2 Dinâmica em referencial não-inercial . . . 60
7.2.1 Teorema de conservação do momentum linear para uma partícula . . . 60
7.2.2 Movimento de queda dos graves observados por diversos observadores inerci-ais . . . 61
7.3 Tópicos complementares . . . 61
7.3.1 Teorema de Pitágoras . . . 61
7.3.2 Teorema de Tales . . . 62
7.3.3 Funções trigonométricas . . . 64
7.3.3.1 Propriedades das funções trigonométricas . . . 65
7.3.3.2 Teorema dos cossenos . . . 65
7.3.3.3 Teorema dos senos . . . 65
7.3.3.4 Rotação dos eixos coordenados no plano – seno e cosseno da soma . 66 7.3.4 Derivadas das funções trigonométricas . . . 68
7.3.5 Derivadas segundas das funções trigonométricas . . . 70
7.4 Equacionamento: movimento de partícula sujeita a força elástica . . . 70
7.5 Oscilador harmônico simples como relógio local . . . 70
8 Sistema de partículas 71 8.1 Teorema do centro de massa . . . 71
8.2 Teorema da conservação do momentum linear para um sistema de partículas . . . . 73
8.3 Tópicos complementares . . . 73
Movimento sobre um plano inclinado . . . 73
Pêndulo simples . . . 74
Queda dos graves - conceito de campo de forças . . . 74
O problema do guindaste . . . 74
Partícula em um campo de força . . . 74
8.3.1 Três forças em equilíbrio são coplanares . . . 74
8.3.2 Equações paramétricas . . . 74
8.3.2.1 Equação paramétrica da reta . . . 74
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9 Momento de força 77
9.1 Momento polar de força no plano . . . 77
9.2 Produto vetorial . . . 78
9.2.1 Propriedades algébricas do produto vetorial . . . 79
9.2.1.1 Triedro direto e sistemas levogiros . . . 80
9.2.1.2 Interpretação geométrica do produto vetorial . . . 80
9.2.2 Regra mnemônica para o produto vetorial . . . 81
9.2.3 Independência da base para o produto vetorial . . . 81
9.3 Produto misto . . . 81
9.3.1 Regra mnemônica para o produto misto . . . 82
9.3.2 Interpretação geométrica para o produto misto . . . 82
9.4 Duplo produto vetorial . . . 82
9.5 Momento axial de força no espaço físico . . . 84
9.6 Momento polar de força no espaço físico . . . 85
Composição de momentos de força . . . 85
9.7 Binários . . . 86
9.8 Sistemas de forças equivalentes e sistema nulo de forças em um corpo rígido . . . . 86
9.9 Centro de gravidade . . . 87
10 Momentum linear, momentum angular e energia cinética 88 10.1 Derivada do produto escalar e do produto vetorial . . . 88
10.1.1 Derivada do produto escalar . . . 88
10.1.2 Derivada do produto vetorial . . . 89
10.2 Conservação do momentum linear (aspecto vetorial) . . . 89
10.2.1 Colisão . . . 90
10.3 Momentum angular e o teorema da conservação do momentum angular . . . 91
10.3.1 Campo central . . . 92
10.3.2 Momentum angular e o teorema da conservação do momentum angular para um sistema de partículas . . . 93
10.4 Potência e energia cinética . . . 93
10.5 Nota – teoremas e leis de conservação . . . 94
10.6 O conceito de energia potencial . . . 94
10.6.1 Trabalho . . . 94
10.6.2 Energia potencial . . . 96
10.6.3 O potencial elétrico . . . 98
10.7 Circuitos elétricos . . . 98
10.7.1 Efeitos magnéticos da corrente . . . 100
11 Pêndulo simples e outros problemas 102 11.1 Movimento circular . . . 102
11.2 Pêndulo simples . . . 104
11.2.1 Solução por meio de força e momentum linear . . . 104
11.2.2 Solução por meio de momento de força e momentum angular . . . 105
11.3 Medição da aceleração da gravidade local . . . 106
11.4 Velocidade areolar . . . 106
11.5 Movimento sujeito a força peso e a força elástica . . . 107
11.6 Medição dinâmica de massa . . . 107
11.7 Importância da força elástica e do oscilador harmônico . . . 108
11.8 Problemas complementares . . . 108
Observação . . . 109
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Índice de Aulas 7
A Notação de índice e de somatório 111
A.1 Notação de índice . . . 111
A.2 Notação de somatório . . . 111
A.2.1 Principais propriedades do somatório . . . 112
B Espaços Vetoriais 113 B.1 Definições . . . 113
B.1.1 Axiomas de espaço vetorial . . . 114
B.1.1.1 Subespaço vetorial . . . 116
B.1.1.2 Combinação Linear . . . 116
B.1.1.3 Espaço vetorial de funções . . . 116
B.2 Dependência e independência linear . . . 117
B.3 Base . . . 118
B.4 Dimensão de um espaço vetorial . . . 120
B.5 Soma Direta . . . 121
B.6 Produto tensorial de espaços vetoriais . . . 122
B.7 Transformação linear . . . 122
B.8 Espaço dual . . . 122
B.9 Relação entre o produto tensorial de espaços vetoriais e o espaço das transformações lineares . . . 122
C Introdução à Física – Pierre Lucie 123 D Átomos em Movimento – R. P. Feynman et al. 126 D.1 Introdução . . . 126
D.2 A matéria é composta de átomos . . . 127
Versão original em inglês . . . 129
Introduction . . . 129
Matter is made of atoms . . . 131
E Newton’s Laws and the Concepts of Force – M. A. Rothman 134
Referências do Apêndice E 136
F Alfabeto grego 137
Referências 138
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Notação e siglas empregadas
Usamos a notação habitual da teoria dos conjuntos, em particular:
cf. – do latim confer, confronte, compare, confira Ex. – exemplo
et al. – do latimet alii, “e outros”; na citação bibliográfica, indicação de que a obra a que se faz referência tem mais de um autor e se menciona, por concisão, apenas o primeiro
Fig. – figura
i.e. – do latim id est., “isto é” pág. – página
p. ex. – por exemplo séc. – século
sic – assim, usado entre parênteses para indicar que uma citação é assim mesmo, embora se nos afigure estranha e seja ou pareça errada
§ – parágrafo
# – tema a ser discutido em aula Tab. – tabela
Teor. – teorema
– indica final de uma demonstração, é uma notação para o c.q.d. (como queríamos demonstrar, em latim: “Quod erat demonstrandum”, q.e.d.) [1] – indica referência bibliográfica 1 listada na seção Referências, pág. 138
; ou | – indicam individualmente: “tal que” em expressão matemática f(x) – valor em x∈A da função f :A→B
f[C] – subconjunto de B de todos valores da função f : A → B para x ∈ C, chamado conjunto imagem de C pela funçãof :A→B
bipm – Bureau International des Poids et Mesures.
cgpm – Conférence Générale des Poids et Mesures.
cipm – Comité International des Poids et Mesures.
iso – International Organization for Standardization.
gum – Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement.
si – Sistema Internacional de Unidades; Système International d’Unités; International System of Units.
vim – Vocabulário Internacional de Metrologia;
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Notação e siglas empregadas 9
Galeria1
Thalesde Mileto . . . (624 ac - 546 ac) Mileto, Turquia
Pitágoras . . . (571 ac - 496 ac) Grécia
Confúcio(Kung-Fu-Tze) . . . (571 ac - 479 ac) China
Sócrates . . . (470 ac - 399 ac) Atenas
Platãode Atenas . . . (428 ac - 347 ac) Atenas
Aristóteles . . . (384 ac - 322 ac) Grécia Alexandre, o Grande . . . (356 ac - 323 ac) Macedônia Euclidesde Alexandria . . . (330 ac - 260 ac) Grécia Arquimedesde Siracusa . . . (287 ac - 212ac) Grécia
ClaudiusPtolomeu . . . ( 90 - 168) . . . Alexandria
Aurélio Agostinho –Santo Agostinho . . . ( 354 - 430) . . . Argélia Avicena– Ibn Sina . . . ( 980 - 1037) . . . Bucara
BhaskaraAkaria . . . (1114 - 1185) . . . Índia Moses Maimônides–RaMBaM (sic) . . . (1135 - 1204) . . . Córdoba
Tomás de Aquino . . . (1225 - 1274) . . . Itália
DanteAlighieri . . . (1265 - 1321) . . . Itália GiovanniBoccaccio . . . (1313 - 1375) . . . Itália Johannes G. Laden zumGutenberg . . . (1390 - 1468) . . . Alemanha Leonardoda Vinci . . . (1452 - 1519) . . . Itália NicolauMaquiavel . . . (1469 - 1527) . . . Itália
NicolauCopérnico . . . (1473 - 1543) . . . Polônia Michelangelodi Lodovico B. Simoni . . . (1475 - 1564) . . . Itália RafaelSanzio . . . (1483 - 1520) . . . Itália
MartinhoLutero . . . (1483 - 1546) . . . Alemanha
JoãoCalvino . . . (1509 - 1564) . . . França
Luís Vaz deCamões . . . (1524 - 1580) . . . Portugual
Tycho Brahe . . . (1546 - 1601) . . . Dinamarca Miguel deCervantes e Saavedra . . . (1547 - 1616) . . . Espanha
Giordano Bruno . . . (1548 - 1600) . . . Itália
Francis Bacon . . . (1561 - 1626) . . . Inglaterra WilliamShakespeare . . . (1564 - 1616) . . . Inglaterra GalileuGalilei . . . (1564 - 1642) . . . Itália JohannesKepler . . . (1571 - 1630) . . . Alemanha Michelangelo Merisi daCaravaggio . . . (1571 - 1610) . . . Itália RenéDescartes . . . (1596 - 1650) . . . França EvangelistaTorricelli . . . (1608 - 1647) . . . Itália JohnLocke . . . (1632 - 1704) . . . Inglaterra IsaacNewton . . . (1643 - 1727) . . . Inglaterra
Gottfried Wilhelm vonLeibnitz . . . (1646 - 1716) . . . Alemanha
AntonioVivaldi . . . (1678 - 1741) . . . Itália
Johann SebastianBach . . . (1685 - 1750) . . . Alemanha
George FriedrichHändel . . . (1685 - 1759) . . . Alemanha
François - Marie Arouet (Voltaire) . . . (1694 - 1778) . . . França
DanielBernoulli . . . (1700 - 1782) . . . Holanda LeonhardEuler . . . (1707 - 1783) . . . Suíça Jean Le Rondd’Alembert . . . (1717 - 1783) . . . França Giuseppe Luigi Lagrangia (Lagrange) . . . (1736 - 1813) . . . Turim, Itália Charles-Austin deCoulomb . . . (1736 - 1806) . . . França Antoine-Laurent deLavoisier . . . (1743 - 1794) . . . França
Wolfgang AmadeusMozart . . . (1756 - 1791) . . . Áustria
D. João VI2 . . . (1767 - 1826) . . . Portugual
Jean Baptiste JosephFourier . . . (1768 - 1830) . . . França NapoleãoBonaparte . . . (1769 - 1821) . . . França
Ludwig vanBeethoven . . . (1770 - 1827) . . . Alemanha
Hans ChristianØrsted . . . (1777 - 1851) . . . Dinamarca
1
A motivação desta Galeria deve-se ao amigo Joffre Rodrigues. 2
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Johann Carl FriedrichGauss . . . (1777 - 1855) . . . Alemanha
Michael Faraday . . . (1791 - 1867) . . . Inglaterra D. Pedro I3 . . . (1798 - 1834) . . . Portugual
Johann Christian AndreasDoppler . . . (1803 - 1853) . . . Áustria
Karl Gustav Jacobi . . . (1804 - 1851) . . . Alemanha
William RowanHamilton . . . (1805 - 1865) . . . Irlanda Hermann Ludwig Ferdinand Helmholtz . . . (1821 - 1894) . . . Alemanha
D. Pedro II4 . . . (1825 - 1891) . . . Rio de Janeiro
James ClerkMaxwell . . . (1831 - 1879) . . . Escócia Dmitri IvanovichMendeleev . . . (1834 - 1907) . . . Rússia
Josiah WillardGibbs . . . (1839 - 1903) . . . Estados Unidos Joaquim MariaMachado de Assis . . . (1839 - 1908) . . . Rio de Janeiro
Ludwig EduardBoltzmann . . . (1844 - 1906) . . . Áustria GregorioRicciCurbastro . . . (1853 - 1925) . . . Itália
Hendrik AntoonLorentz . . . (1853 - 1928) . . . Holanda
Heinrich Rudolf Hertz . . . (1857 - 1894) . . . Alemanha
Karl(Carl)Pearson . . . (1857 - 1936) . . . Inglaterra
Max Karl Ernst LudwigPlanck . . . (1858 - 1947) . . . Alemanha
DavidHilbert . . . (1862 - 1943) . . . Alemanha
MarieCurie, Maria Skłodowska-Curie . . . (1867 - 1934) . . . Polônia Arnold Johannes WilhelmSommerfeld . . . (1868 - 1951) . . . Alemanha ErnestRutherford . . . (1871 - 1937) . . . N.Z., UK GiovanniGiorgi . . . (1871 - 1950) . . . Itália TullioLevi-Civita . . . (1873 - 1941) . . . Itália AlbertEinstein . . . (1879 - 1955) . . . Alemanha Amalie EmmyNoether . . . (1882 - 1935) . . . Alemanha
Niels Henrick DavidBohr . . . (1885 - 1962) . . . Dinamarca
HeitorVilla-Lobos . . . (1887 - 1959) . . . Brasil
Erwin Rudolf Josef A.Schrödinger . . . (1887 - 1961) . . . Áustria
Luiz de Barros Freire . . . (1896 - 1963) . . . Brasil
Wolfgang ErnstPauli . . . (1900 - 1958) . . . Áustria
EnricoFermi . . . (1901 - 1954) . . . Itália
Paul Adrien MauriceDirac . . . (1902 - 1984) . . . Inglaterra
Andrey NikolaevichKolmogorov . . . (1903 - 1987) . . . Rússia
Joaquim daCosta Ribeiro . . . (1906 - 1960) . . . Brasil
Lev DavidovichLandau . . . (1908 - 1968) . . . Rússia
MárioSchenberg . . . (1914 - 1990) . . . Brasil
ArmandoDias Tavares . . . (1917 - 1988) . . . Brasil
Richard PhilipsFeynman . . . (1918 - 1988) . . . Estados Unidos Cesare Mansueto GiulioLattes . . . (1924 - 2005) . . . Brasil
Antônio Carlos Brasileiro de AlmeidaJobim . . . (1927 - 1994) . . . Brasil Construção das Pirâmides de Gizé . . . (2575ac - 2465ac) . . . . Egito Peste Negra (Europa 1347-1351) . . . séc. XIV
Período Renascentista . . . séc. XV a XVI Período Barroco . . . 1580 - 1756 Peste bubônica na Itália . . . 1630 - 1633
3
Pedro de Alcântara Francisco António João Carlos Xavier de Paula Miguel Rafael Joaquim José Gonzaga Pascoal Cipriano Serafim de Bragança e Bourbon.
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Aula 1
Apresentação
Ao preparar o material para este curso deFísica Geral(aulas teóricas:2007/1−2010/1),
pretende-mos seguir orientaçãológico-formal para conceitos teóricos fundamentais. Tratar de fundamentos não é tarefa elementar.
Sabemos que estudantes calouros desconhecem o ambiente universitário (como sempre foi des-conhecido por calouros. . . ), bem como não estão habituados atualmente com o raciocínio lógico-for-mal. A responsabilidade por esse desconhecimento da base do raciocínio matemático recai atual-mente no ensino fundamental e no ensino médio (correspondendo aos antigos cursos ginasial e científico), principalmente nos “cursos” de Matemática, a cada ano carecendo progressivamente de conteúdo. No futuro, a responsabilidade recairá sobre cada um que não recuperar essa deficiência de formação.
Como o ensino de matemática tem se dado por meio de problemas padronizados e por exer-cícios de “complementação” de problemas-exemplo, o estudante não está habituado a raciocinar por meio de propriedades e conceitos, tampouco vê a importância de proposições (lemas, teo-remas, corolários) e de suas correspondentes demonstrações. Essas ideias fazem parte do trabalho de um profissional em Física, em seu dia a dia. Faremos aqui extenso exercício para esse modo de raciocinar, de entender e de concluir.
Este curso não é lúdico; não trata do “pitoresco”, embora esteja destinado àqueles que têm curiosidade para fenômenos da Natureza, por seus fundamentos e consequências; não se trata de
adestramento. Definitivamente não estaremos preocupados em adestramentos (inconsequentes) por
meio de primeiro passo, segundo passo, . . . , último passo; tão em voga atualmente (para nossa tristeza, com os que perdem o passo e o compasso).
Para que o estudante esteja em condição de entender cada aula, de participar de aulas com dúvidas e sugestões, e mesmo em condição para entender estas notas de aula e outros textos equivalentes, como por exemplo os listados em Referências (pág. 138), é necessário que o já discutido tenha sido estudado e reestudado, cada etapa com percepção de novos detalhes e surgimento de novas e mais profundas dúvidas. Estudar é adquirir dúvidas mais sutis; quem termina de estudar sem qualquer dúvida, não estudou atentamente. Note-se que não há qualquer mal-estar, qualquer automutilação ou depreciação, esclarecer uma dúvida antiga ou sofisticar o entendimento de um conceito.
Estamos conscientes que iniciamos a formação de uma geração de cientistas ou de professores de Física com base científica. Quanto mais bem preparados para lidar com propriedades e conceitos técnicos estiverem, profissionais mais capacitados formaremos, com independência intelectual, senso crítico apurado e aptidão para argumentar e contra-argumentar sobre fenômenos naturais, além de preparados para lidar com novos conceitos, novas ideias, novas realidades.
Para manter o entendimento no decorrer do curso1 é fundamental estudar; estudar o exposto e
reestudar o já exposto, estudar o que é pré-requisito para o curso – coisas do passado que não foram bem estudadas ou compreendidas; omissões do ensino fundamental e do ensino médio –. Não perca tempo. Estude. Estude muito, não é demais repetir. Estude, aprimore o vocabulário, falar e redigir bem (i.e., de forma culta) não é pedantismo (mesmo para formação de físicos ou de matemáticos), mas sim a melhor forma de entender, expor ideias e se fazer entender, comparar textos; use dicio-nários; leia e confronte outros livros do mesmo assunto, atente para as demonstrações, aprenda a
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ler nas entrelinhas que se revelam a cada nova boa leitura do texto. Faça hábito disso, é questão de técnica pessoal que deve ser sempre aprimorada. Tenha em mente que muito assunto novo será estudado daqui para diante, cada vez mais abstrato; você precisa estar preparado para usufruir esse prazer intelectual. Quanto mais avançado é o texto, maior a riqueza nas entrelinhas. Ser profissional em Física e experimentar uma aventura gratificante é trabalhar no limite do conhecimento humano, desfrutar o prazer de viver esse momento e, acima de tudo, ter consciência de sua importância no desenvolvimento científico e tecnológico.
Referências recomendadas
A Bibliografia detalhada está na página 138 e seguintes.
Física
M. Alonso & E. J. Finn [1],
Armando Dias Tavares [53],
R. P. Feynman[18],
J. Goldemberg [22],
P. Lucie[32],
L. M. P. Maia[33, 34],
N. Martins, R. U. Pauli & F. C. Mauad [35],
H. Moysés Nussenzveig [41],
F. W. Sears [47],
K. R. Symon [50],
A. Sommerfeld[49],
J. L. Synge &B. A. Griffith [51].
Cálculo
T. M. Apostol [2, 3],
G. Ávila [4, 5].
R. Courant & F. John [13],
Elon Lages Lima [29],
W. A. Granville, P. F. Smith & W. R. Longley[23],
W. Kaplan[27],
S. Lang[28],
W. A. Mauer[36],
E. E. Moise [38],
N. S. Piskounov[44, 45],
P. D. Ritger & N. J. Rose [46],
G. B. Thomas[56, 57],
Vetores
Armando Dias Tavares [53, §3.4, §3.5],
I. M. Gel’fand[21],
H. P. Hsu [26],
P. R. Halmos [24],
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Referências recomendadas 13
Comentários complementares
Quatro dos principais aspectos dos cursos de fundamentos em Física são:
I. Os aspectos fenomenológicos envolvidos.
II. Os princípios considerados para a realidade dessa fenomenologia.
III. Equacionamento de situações envolvendo essas fenomenologias e os princípios adotados.
IV. Técnicas para resolução dos problemas envolvidos.
Desses quatro itens não se pode descartar a importância da capacidade para equacionar situações que se encontram na Natureza, essa capacidade deve ser desenvolvida e não se trata de tarefa simples, principalmente nos tempos atuais quando o estudante ingressa na Universidade com co-nhecimento operacional de Matemática, quando muito. Esse comentário se faz necessário quando um dos principais objetivos de cursos fundamentais de Física nos primeiros anos de graduação é capacitar o estudante para equacionar situações, e isso não se restringe à formação de Físicos ou de Professores de Física, mas a todos os profissionais envolvidos em atividades em que situações precisam ser equacionadas, mesmo quando há a impressão de que física é plenamente dispensável para sua atividade profissional futura.
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Aula 2
Método científico, sistema de unidades,
dimensão de grandezas físicas
2.1
Tentativa de história do conhecimento humano
Por especulação histórica, os primeiros povos não-nômades foram(?) os primeiros grupos humanos a desenvolver uma cultura agrícola e pastoril, o que lhes permitiu não só se fixarem em uma região mas, principalmente, conseguirem garantir subsistência de todo o grupo envolvido. No decorrer do tempo, a adaptação ao local e do local às necessidades permitiriam o aumento dessa população como nunca antes ocorrera localmente. Ainda não haveria necessidade (premência) de escrita, ou seja, ainda não haveria história, o que ocorre com o registro dos primeiros documentos escritos, mas o pastoreio, a pecuária, a agricultura, a complexidade das relações pessoais, os legados, levariam a contagens e a registros de contagens, nomes e fatos. A matemática e a escrita teriam origem nessa época imemorial e não documentada, com episódios espalhados pelo planeta. Pesquisas arqueológi-cas recentes revelam grande evolução técnica nas vestimentas (em clima frio), em artefatos de caça e de guerra, mais espantosamente quanto a sofisticação do uso de penas cuidadosamente retorcidas em flechas, para as fazer girar, melhorando a precisão do tiro e a penetração no alvo.
Nossa base cultural ignora as culturas das Américas antes da chegada arrasadora dos europeus no final do século XV (arrasadora por doenças trazidas) e do século XVI e seguintes. . .
No Brasil a base cultural oficializada é europeia, mas cada vez descobrimos mais influências da cultura tupi-guarani entre nós, no comportamento, no trato social; até mesmo em nossos meios urbanos, mas sem qualquer traço do pensamento científico. De qualquer forma, a origem da cultura a nós trazida pelos europeus não é inteiramente europeia. A própria matemática possui origens e influências em regiões do Egito, Mesopotâmia, Grécia, Índia, China; os algarismos arábicos são hindus, não se sabe a influência de Cartago para a cultura Romana – Cartago foi arrasada pelo Império Romano e sua população exterminada –. Mas o primeiro registro do zero está na Índia. Alexandre o Grande alinhavou essas culturas montado em seu Bucéfalo e tendo por base a sólida formação recebida de Aristóteles, mas não tendo passado pela região da China.
Fatos históricos (i.e., documentados) à parte, o que importa para uma sólida formação contem-porânea na área da Ciência é a visão contemcontem-porânea dos que se encarregam dessa formação.
2.2
Filosofias para obtenção de conhecimento
Os poucos argumentos históricos que colocaremos a seguir são para que o estudante perceba como, muito provavelmente, ele próprio tenha uma concepção da Natureza ainda do início do século XVII, quando a Ilha de Santa Cruz, a Terra de Vera Cruz, o Brazil, o Brasil era achada e achado pelos europeus peninsulares atlânticos.
Buscar entender aspectos da Natureza é atividade humana imemorial que passou por povos isolados e por povos em contato comercial ou bélico, com os vencedores assimilando conhecimento (disponível) dos vencidos. Questões de crenças, religiões, necessidades políticas, gosto ou requinte cultural, ganância e vaidade se entremearam.
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2.3. Método Científico 15
Os filósofos que nos influenciaram mais diretamente abordaram várias questões: política, retó-rica, ética, matemática,etc., e mesmo questões relacionadas com o que hoje chamamos Física.
O modo de filosofar evoluiu (parece que ficou dormente durante a Idade Média). Até o Renas-cimento Italiano, consistia em formular hipóteses e argumentar logicamente suas consequências, os questionamentos tratavam apenas das argumentações lógicas.
O Renascimento encontra o gênio multifacetado de Leonardo da Vinci, quem investigou ques-tões da Natureza, mas aparentemente por aspectos descritivos, levando-o a inventos fantásticos e soluções geniais. Como investigador de questões naturais não há registro de seguidores. – Haveria algum motivo político-religioso que o fez não divulgar seu método? –
Já no período Barroco a história da Filosofia ganha nova linha com Galileu, que funda novo mé-todo filosófico para investigar a Natureza, fazendo uso do confronto experimental das consequências das hipóteses consideradas, e descartando hipóteses que acarretassem conclusões não verificadas experimentalmente. Antes de descrever as linhas gerais desse método de filosofar e investigar, uma pergunta é oportuna: Galileu deixou seguidores para seu método de filosofar? formou escola? (cf.Galeria, pág. 9)
2.3
Método Científico
A Física estuda fenômenos da Natureza por meio do Método Científico.
O Método Científico, por sua vez, segue, por princípio, o compromisso de confronto entre consequências teóricas e dados experimentais obtidos por mais diversos laboratórios em diversas épocas, e por confronto desses dados experimentais.
Em conjunção com a confrontação experimental, o outro princípio do Método Científico (ao menos aplicado à Física) diz respeito a adoção da linguagem matemática para traduzir os fatos observáveis na Natureza sob o aspecto de causae efeito.
Nesse sentido, alguns outros princípios são adotados. Um dos pressupostos básicos de todo o método científico é o princípio da repetitividade, que considera:
Princípio (da repetitividade). Toda vez que se reproduzem as mesmas condições (causas) em um experimento sobre o mesmo sistema, obtém-se sempre o mesmo resultado experimental (efeitos).1
Observe-se que o princípio da repetitividade também pressupõe válido o princípio da causa-lidade:
Princípio (da causalidade). Mesmas causas provocam sempre mesmos efeitos.
Em seguida apresentamos um roteiro que exemplifica o emprego do Método Científico. Linhas gerais do que nos motivam está em texto do Prof. Armando (cf.[53, Cap. 1]); destacamos a impor-tância da adoção de hipóteses, da confirmação experimental da sustentação dessas hipóteses;2 do
raciocínio lógico-formal dessas hipóteses sustentadas experimentalmente; além disso, destacamos o fato de as hipóteses descartadas por não-sustentação experimental não se configurar em qual-quer agressão ao cientista (filósofo). Agressão e desonra em ciência ocorrem quando o “cientista” manipula dados, falseando-os; essa é uma atitude lastimável e vergonhosa.
# Exemplificação do método científico por meio de projeto de concepção e confecção de um
dinamômetro, fazendo uso de conceito intuitivo de força associado a esforços musculares (e deformações), usando apenas material encontrado diretamente na natureza.
# Hipóteses – causa e efeito (princípios da causalidade e da repetitividade). # Confecção de uma caixa de pesos após a adoção de um peso padrão.
1
Resultados contidos em intervalo com incerteza e nível de confiança estimados experimentalmente. (Cf.[42]) 2
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# A realização do dinamômetro, nos moldes que motivamos, leva o investigador que se utiliza do método científico a perceber que esse dispositivo mede (compara numericamente) grandezas outras além de pesos de corpos. A essa grandeza chamamos força. (cf. [53, §1.5])
# A discussão apresentada envolve dois conceitos que ainda não foram definidos, atente para o fato de que apenas delineamos o modo como poderiam ser medidos. Isso significa que estávamos esboçando um desenvolver da Física que tem como espaço (pelo conceito de comprimento e do uso do teorema de Thales) e força como conceitos primitivos. Confronte o discutido anteriormente com as próximas aulas.
No contexto do Método Científico, basta um único contraexemplo ou um único resultado experi-mental (conclusivo em diversos laboratórios) que não esteja de acordo com as previsões teóricas para toda a base teórica seja reavaliada; em alguns casos mais radicais sejam descartadas todas as hipóteses anteriores, como o é o caso da hipótese de que “os corpos são mais pesados à noite”, quando um objeto pesado é erguido de dia com o corpo descansado e não se consegue erguer de noite devido ao cansaço muscular.
A aceitação de uma hipótese científica3 está, portanto, condicionada à verificação
experi-mental, da hipótese em si (geralmente de verificação experimental muito difícil) ou de suas con-sequências lógico-formais. Enquanto há respaldo experimental a teoria,4 é aceita cientificamente.
Quando, por outro lado, alguma consequência não é verificada experimentalmente e o domínio em que essa teoria não é violada experimentalmente é levantado, então se diz que essa teoria possui aceitação condicionada a esse domínio.5
2.4
Sistema de unidades
2.4.1 Sistema de unidades como necessidade comercial
# Necessidade que já havia antes da confrontação de dados experimentais – apenas troca de mercadorias e comércio (escambo) –.
# Inconveniência de unidades comopolegada, palmo, pé, braça; por muito tempo personalizadas na morfologia do soberano da região à época, apresentando diferenças de região para região e de época para época.
# Necessidade de um sistema de unidades, destacando as características culturais, políticas, econô-micas, técnicas e científicas, sendo esta que lidera aquelas.
2.4.2 Necessidade de um sistema de unidades internacional # Atividade industrial internacionalizada – padronização.
# Confronto de medidas experimentais em conjunção com métodos padronizados para tratamento de dados (objeto das aulas em Laboratório).
3
Julgamos preferível o termo “aceitação”, do verbo “aceitar”, aos termos relacionados como os verbos “acreditar” ou “crer”.
4
Isto é, o conjunto de hipóteses ou princípios fundamentais, e suas consequências lógico-formais. 5
Tabela-verdade para as proposições: pentãoq ; pse e somente seq ; pouq ; peq , respectivamente (valores lógicos das proposições: V=valor verdadeiro; F=valor falso)
p q p→q p↔q p∨q p∧q
V V V V V V
V F F F V F
F V V F V F
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2.5. Grandezas físicas de mesma natureza 17
2.5
Grandezas físicas de mesma natureza
Definição. Grandeza (no sentido geral), ou grandeza física é um atributo de um fenômeno, de um corpo ou de uma substância que pode ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado (VIM [10]).
Definição. Grandezas (ou componentes de grandezas)6 que podem ser classificadas, uma em
re-lação a outra, em ordem crescente ou decrescente são denominadas grandezas de mesma natureza (VIM). Por outras palavras,grandezas simples de mesma natureza(ou componentes de gran-dezas da mesma natureza) são aquelas que admitem uma relação de ordem, ou seja que podem ser caracterizadas como maior menor ou iguais.
Essa relação de ordem permite estabelecer umarelação de equivalência para grandezas de mesma natureza (cf.[14]). O conceito de relação de ordem está intimamente relacionado com o de classe de equivalência, que, por sua vez, está intimamente relacionado ao conceito de igualdade.
Os símbolos das grandezas são dados na norma ISO 31 (VIM).
2.5.1 Necessidade de padronização internacional para tratamento de dados – Sistema Internacional de Unidades
A necessidade de padronização de tratamento de dados experimentais recai no aspecto algébrico de que haja transitividade no confronto de dados oriundos de vários experimentos realizados em diversos laboratórios espalhados por onde o homem alcança ou alcançará, direta ou indiretamente; o que significa que se estará sempre receptivo para modificações conforme as novas necessidades e descobertas, até então desconhecidas. Por outro lado, sob o aspecto prático há a conveniência de se adotar padrões para unidades (p. ex., SI) e padronizar o tratamento de dados (p. ex., GUM) para que as análises e os confrontos de dados possam ser realizados por qualquer analista qualificado em qualquer laboratório.
Neste texto apresentaremos nos parágrafos seguintes aspectos de um sistema coerente de uni-dades. Nas aulas em Laboratório deste curso serão apresentados aspectos fundamentais de como computar, analisar e relatar a mensuração de grandezas.
O estudante perceberá as modificações ocorridas no Sistema Internacional de Unidades desde a sua origem quando da Revolução Francesa (cf. [54, 11]). Percebe-se a busca de um sistema (racionalizado) de unidades coerentes que se adéque às necessidades científicas e tecnológicas de medição e aos avanços da Física, embora não se tenha um sistema racionalizado coerente para todos os fenômenos físicos (p. ex., os fenômenos eletromagnéticos). Essa singela observação aponta para um alerta primordial que não se pode sonegar ao estudante, neste estágio inicial e em qualquer outro posterior, do curso de graduação à sua atividade profissional especializada:
⊲ não há dogmas no Método Científico (em Ciência);
⊲ não há “verdade” inquestionável, comprovada absolutamente e “universalmente”;
⊲ a Ciência não dá opinião final ou a palavra final sobre os fatos,i.e., não traduz realidade inques-tionável, apresenta apenas métodos de confronto conclusivo com nível de confiança estimável, e guia para o entendimento contemporâneo e suas aplicações confiavelmente reproduzíveis;
não se decepcione, mas sabemos hoje (há 1 século) que tudo que estaremos expondo neste texto está
errado no contexto da realidade que se tem acesso experimental. Porém (como alento) sabemos muito bem, muito melhor que há um século, em que domínio (no aspecto matemático estrito) é expressão do que se prevê e se confronta experimentalmente nesse domínio. Além disso, é nesse
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domínio que se definem os mais fundamentais conceitos, com generalizações utilizadas em outros domínios onde a chamada Física Clássica (no sentido de não-quântica e não-relativística) falece, colapsa.
Mas há outro alento, o Princípio da Correspondência de Bohr (1923) que considera que
qualquer teoria que se aplique em domínio mais amplo do que o da Física Clássica deve contê-la como limite matemático.
Haverá ainda a pergunta a não se calar: Por que não estudar logo essas físicas mais modernas? Várias são as justificativas para que todo Curso de Física inicie por física clássica elementar: fun-damenta conceitos que serão generalizados em outros contextos e faz uso de ferramental matemático não muito sofisticado comparado com os empregados em física clássica avançada (p. ex., Mecânica de Lagrange, de Hamilton ou de Hamilton-Jacobi) e em física moderna (Mecânica Relativística ou Mecânica Quântica).
Conceitos são plantinhas muito delicadas que carecem muito cuidado, muita atenção reflexão e tenência.
2.5.2 Grandezas de base
De acordo com várias teorias, ou grandes sínteses da Física Clássica, como a Mecânica, a Termodinâ-mica e o Eletromagnetismo, pode-se escolher arbitrariamente um conjunto mínimo de grandezas, tal que os valores de qualquer outra grandeza possa ser expresso em termos das unidades que compõem esse conjunto mínimo.7
Definição. Grandezas primitivas ou grandezas de base são aquelas que, convencionalmente
por aspecto lógico-formal,não são definidas em uma teoria, mas quese caracterizam pelo modo de as medir.
As unidades das grandezas de base são conhecidas comounidades de base; particularmente, para o Sistema Internacional de Unidades, são chamadasunidades de base SI.
Adotar um conjunto mínimo de grandezas primitivas não é tarefa trivial;8 uma vez não ser
única a possibilidade, mas deve haver número mínimo de grandezas independentes a contemplar toda a Física conhecida e empregada no meio científico e tecnológico, de forma mais racionalizada possível para as unidades derivadas. Nosso propósito no momento se restringe em apresentar essas grandezas que compõem a grande síntese do Sistema Internacional de Unidades (SI), os nomes dessas unidades e as normas para o emprego do SI.9
2.5.3 Grandezas de base do SI – unidades SI de base
Deve-se notar que os termos empregados no SI se afastam de fatos e conceitos mais intuitivos conforme a necessidade de maior rigor e precisão, no contexto da repetitividade em qualquer laboratório devidamente equipado; equipamentos esses cada vez mais distantes de tradicionais réguas, transferidores, pêndulos,etc.; além do apropriado para o tratamento de dados.
A lista completa das grandezas de base do SI estão na Tab. 2.1, já de acordo com a 8a
¯ edição
BIPM do SI (cf.[8]).
2.5.4 Grandezas derivadas do SI – unidades SI derivadas
Definição. Grandezas derivadas (do SI) são grandezas cujas unidades SI são definidas a partir das unidades de base, p. ex., área, volume, velocidade, aceleração, carga elétrica,etc.
7
Nomes importantes para o estabelecimento de um sistema de unidades coerente: (1832) Gauss, Weber; (1860) Maxwell, Thomson, Heaviside; (1887) Michelson, Benoît; (1901, 1927) Giorgi.
8
O Sistema Internacional de Unidades tem origem na Revolução Francesa (1799) e é fruto de colaboração interna-cional de cientistas com o intuito de o manter adequado aos avanços da Física (Experimental) e às novas tecnologias. O Brasil é signatário da Convenção do Metro (20/5/1875), assinada por 17 Estados, por ocasião daConferência Diplomática do Metro (cf. www.inmetro.gov.br/noticias/livroMetrologia.asp).
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2.5. Grandezas físicas de mesma natureza 19
Tabela 2.1: Grandezas de base do SI
Grandeza Nome da
unidade SI
Símbolo da unidade SI
Símbolo dimensional
comprimento metro m L
massa quilograma kg M
tempo segundo s T
corrente elétrica ampère A I
temperatura kelvin K Θ
quantidade de substância mol (plural: mole) mol N
intensidade luminosa candela cd J
Todas outras grandezas que não as de base são grandezas derivadas (cf.§2.6.1), que podem ser expressas em termos das grandezas de base por meio de equações da física. As dimensões das grandezas derivadas são expressas como produtos de potências das dimensões das grandezas de base usando-se as equações que relacionam as grandezas derivadas com as grandezas de base. Em geral a dimensão de uma grandeza física w é escrita sob a forma de produto dimensional, i.e., a
fórmula dimensional:10
[w] =Le1Me2Te3Ie4Θe5Ne6Je7, onde os expoentes e
i, geralmente inteiros (i.e., ei ∈Z), são chamados expoentes dimensionais
(cf.[8]).
Grandezas adimensionais (também chamadasgrandezas de dimensão 1), p. ex., a grandeza genéricax, são as que possuem fórmula dimensional igual a:
[x] =L0M0T0I0Θ0N0J0,
assim: o ângulo α e a grandeza θ=ω t que participam como argumento de sen(ω t+α) são
grandezas adimensionais, uma vez que: ângulo possui equação dimensional11
[α] =L1L−1 e [ω t] = [ω]·[t] =T−1T1.
Quando o expoente de um dos símbolos dimensionais for igual a zero, é costume omiti-lo, uma vez que corresponde ao fator1 (um).
Definição. Oradianoé unidade de medida de ângulo plano, definido como sendo a razão entre o raio de um círculo como centro no vértice do ângulo e o comprimento do arco de círculo definido pelos lados do ângulo.
Vê-se que ângulo plano é uma grandeza física adimensional. Atualmente o radiano e o esterra-diano são consideradas grandezas SI derivadas (cf. [8]).
Nota. Caso o SI adotasse o conceito de força como conceito primitivo, em lugar do de massa, teríamos, provavelmente, o quilograma força como unidade de força, o problema é que essa unidade para o peso de um corpo padrão depende do local onde a medição é realizada, e seu ajuste para a comparação por outros laboratórios terrestres dependeriam da razão entre os módulos da aceleração local da gravidade, envolvendo, portanto, propagação de incertezas de medidas; esse fato comprometeria as medidas que envolvem grande precisão, independentemente da posição (no universo) onde a medição é realizada, sendo um dos motivos pela adoção de massa como grandeza primitiva, além do de elegância formal.12
A Análise Dimensional é ferramenta extremamente útil durante o tratamento algébrico de equa-ções físicas, tanto para verificação de erro eventual, quanto para interpretação de resultados; é pratica que o estudante deve cultivar, voltaremos ao assunto quanto tratarmos da homogeneidade dimensional das grandezas físicas no §2.8.
10
Costuma-se indicar adimensão da grandezawpor[w]. 11
Note-se que a igualdade[x] = [y]não implica necessariamente a igualdadex=y, significa apenas que as grandezas xeypossuem amesma dimensão.
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2.6
Expressão de uma grandeza
O valor (a magnitude) de uma grandeza física independe da unidade adotada, embora o seu valor numérico dependa. Por exemplo, se u1 e u2 são duas unidades para a grandeza x em um mesmo estado, então13
x=λ1u1 =λ2u2, sendo [x] = [u1] = [u2],
i.e., grandezas de mesma natureza, portanto, se u1 =λ2
1u2, tem-se:
x=λ1u1 = λ1×λ21
u2 ⇒ λ2 =λ1×λ21.
Que ressalta a independência da unidade para o valor de uma grandeza e traduz o modo demudança de unidades entre seus valores numéricos, que não são únicos, embora denotem o mesmo estado da grandeza, em conjunção com a respectiva unidade.
2.6.1 Grandezas SI suplementares
O SI não mais considera grandezas suplementares. A 20a
¯ CGPM (1995, Resolução 8) eliminou a
classe de unidades suplementares no SI. O radiano e o esterradiano foram integrados à classe de unidades derivadas, sendo assim considerada na 8a
¯ edição do SI (BIPM-2006).
2.6.2 Prefixos SI
A Tab. 2.2 (que apresenta os prefixos SI) e a secção seguinte (§2.7) foram transcritas da 8a
¯ edição
do Sistema Internacional de Unidades (cf. [11]), tradução da 7a
¯ edição do BIPM (cf. [7]); veja
também a referência [8] onde esses tópicos estão mais detalhados. A forma como os prefixos SI são empregados está descrita no §2.7.3.
Tabela 2.2: Prefixos SI.
Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo
1024 yotta
Y 10−1 deci
d 1021 zetta
Z 10−2 centi
c 1018 exa
E 10−3 mili
m 1015 peta
P 10−6 micro
µ
1012 tera
T 10−9 nano
n 109 giga
G 10−12 pico
p 106 mega
M 10−15 femto
f 103 quilo
k 10−18 atto
a 102 hecto
h 10−21 zepto
z 101 deca
da 10−24 yocto
y
2.7
Normas para escrita de nomes e símbolos de unidades SI
Ver Cap. 5 da 8a
¯ ed. do SI [8] como complemento, onde essas regras estão muito bem detalhadas,
note-se que essas normas são internacionais e independentes de idioma, religião, ideologia.
2.7.1 Símbolos das unidades SI
1. Os símbolos das unidades são expressos em caracteres romanos (verticais) e, em geral, minús-culos. Entretanto, se o nome da unidade deriva de nome próprio, a primeira letra do símbolo émaiúscula.
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2.8. Homogeneidade dimensional de grandezas e equações físicas 21
2. Os símbolos das unidades permanecem invariáveis no plural.
3. Os símbolos das unidades não são seguidos por ponto.
2.7.2 Expressão algébrica dos símbolos das unidades SI De acordo com os princípios gerais [adotados pelo ISO/TC 12 (ISO 31)]:
1. O produto de duas ou mais unidades pode ser indicado de uma das seguintes maneiras:
N·m ou N m
2. Quando uma unidade derivada é constituída pela divisão de uma unidade por outra, pode-se utilizar a barra inclinada (/), o traço horizontal, ou potências negativas. Por exemplo:
m/s, m
s ou m·s
−1
3. Nunca repetir na mesma linha mais de uma barra inclinada, a não ser com o emprego de parênteses, de modo a evitar quaisquer ambiguidades. Nos casos complexos deve-se utilizar parênteses ou potências negativas.
P. ex.: m/s2 ou m
·s−2; porém nunca: m/s/s;
m·kg/(s3
·A) ou m·kg·s−3·A−1; porém nunca: m·kg/s3/A. 2.7.3 Normas para emprego dos prefixos SI
Conforme os princípios gerais adotados pela International Standardization Organization (iso), o
cipm recomenda que no emprego dos prefixos SI sejam observadas as seguintes regras (iso 31):
1. Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos (verticais), sem espaçamento entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade.
2. O conjunto formado pelo símbolo de um prefixo ligado ao símbolo de uma unidade constitui um
novo símbolo inseparável (símbolo de um múltiplo ou submúltiplo dessa unidade) que pode ser elevado a uma potência positiva ou negativa e que pode ser combinado a outros símbolos de unidades para formar os símbolos de unidades compostas.
P. ex.: 1 cm3 = (10−2m)3 = 10−6m3 1 cm−1 = (10−2m)−1 = 102m−1 1µs−1= (10−6s)−1= 106s−1
1 V/cm = (1 V)/(10−2m) = 102V/m.
3. Os prefixos compostos, formados pela justaposição de vários prefixos SI, não são admitidos. P. ex.: 1 nm; porém nunca: 1 mµm.
4. Um prefixo não deve ser empregado sozinho.
P. ex.: 106/m3 =
102
m 3
= 1 mm−3= 1/mm3; porém nunca M/m3.
Problema. Interprete a expressão das grandezas hipotéticas: 2 m mol e 2 mmol.
Problema. Interprete a expressão das grandezas hipotéticas: 2 K m/h e 2 km/h.
Problema. Interprete a expressão das grandezas: 3 m N e 3 mN.
2.8
Homogeneidade dimensional de grandezas e equações físicas
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Regras básicas Em expressões com grandezas físicas:
⊲ Igualdade, adição e subtração ocorrem apenas entre grandezas de mesma homogeneidade di-mensional. Por exemplo: é impossível adicionar ou igualarcomprimento com área.
⊲ A multiplicação e divisão podem ocorrer entre grandezas de homogeneidade dimensional diferen-tes, gerando outras grandezas de homogeneidade dimensional diferente. Por exemplo: produto de força e distância, definindo o momento de força ou o trabalho; a razão entre comprimento e tempo, caracterizando velocidade.
⊲ Os argumentos de funções transcendentes são adimensionais.
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Aula 3
Leis de Newton
3.1
Conceitos primitivos e princípios adotados
Para os propósitos imediatos deste curso bastam as questões que envolvem os fenômenos funda-mentais da Mecânica.1
Note-se que não apresentaremos ou discutiremos os próximos conceitos sob aspecto histórico, mas por argumentos e enfoque contemporâneo (desses conceitos e de toda matemática envolvida); cometeremos apenas algumas citações históricas sobre as leis de Newton.
3.1.1 Conceitos primitivos
Espaço,tempo,massa serão adotados como conceitos primitivos.2
3.1.2 Princípios
Além dosprincípios da repetitividade eda causalidade (cf.pág. 15), consideram-se outros prin-cípios, mesmo que nem sempre explicitados.
Espaço Qualitativamente, o espaço físico é o ambiente que responde pela questão“onde” ocor-reu, ocorre, ocorrerá, poderá ocorrer, ou poderia ocorrer determinado evento. O princípio do espaço caracteriza quantitativamente o conceito de distância e de comprimento no espaço físico.
Princípio (do espaço). O espaço físico é euclidiano tridimensional.3
Com esse princípio adota-se formalmente a geometria (espacial) de Euclides válida para o espaço físico. Assim, podemos lançar mão de toda Geometria Euclidiana, em particular que
a menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une; que é válido o teorema de Pitágoras,4 é valido o teorema de Tales (para triângulos semelhantes),etc.5
1
Esta aula tem por base os dois primeiros capítulos de texto de Mecânica Newtoniana Avançada, fruto de notas de aula para dois semestres de Mecânica Geral ministrado no IF-UERJ.
2
Finalmente optamos por uma estratégia para a sequência do Curso; alternativamente ao que seguimos na Aula 2 para ilustrar o Método Científico adotaríamosespaço, tempo e força como conceitos primitivos, que é uma opção mais intuitiva para primeiro curso de física. . . Esses três conceitos são suficientes para tratar da Dinâmica, sem que se leve em conta a força de Lorentz de um campo eletromagnético sobre uma carga elétrica.
3
Não pretendemos abordar questões de topologia, mas esse ponto é oportuno para registrar que o conceito de
espaço euclidiano é mais específico do que garantir a distância entre pares de pontos do espaço. É necessário que cada ponto do espaço possua vizinhanças de pontos no espaço e que essas vizinhanças admitam o limite para esse ponto, sempre por subconjuntos do espaço. Dessa forma, dado um subconjunto da curvaΓABentre os pontosAeBé sempre possível considerar ocomprimento de arco retificadoAB, que é o comprimento que teria o segmento de reta obtido colocando-se um fio inextensível sobre o segmentoABe, em seguida, deformando-o até que se apresente como um segmento de reta. De forma bem resumida, podemos dizer que um espaço euclidiano admite curvas retificáveis.
4
Note-se que a Geometria Analítica trata algebricamente a Geometria Euclidiana, particularmente quado usa o teorema de Pitágoras (por duas vezes) para obter a distância entre os pontos de coordenadas(x1, y1, z1)e(x2, y2, z2)
por
d=p(x2−x1)2+(y
2−y1)2+(z2−z1)2.
Pode-se dizer que a Geometria Analítica substitui régua e compasso por equações paramétricas, transferidor por produto escalar (a ser definido mais adiante –cf.§5.1.5).
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Portanto, com oconceito primitivo de espaçoe com oprincípio do espaço, adotam-se os conceitos geométricos deponto,reta,plano,etc., sendo quecomprimento é o que se mede fisicamente por meio derégua,trena,paquímetro,micrômetro,etc.
O Sistema Métrico Internacional (SI) tem por base histórica a adoção dometro como unidade de comprimento, ainda por meio de uma barra de platina iridiada em vigor desde1889; em 1960
sua definição baseou-se no comprimento de onda de uma radiação do criptônio 86; em1983 essa unidade foi substituída pela seguinte definição: (cf.[11, §2.1.1.1])
“O metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299792458 de segundo.”
O que significa que se utiliza atualmente a teoria da relatividade de Einstein para se definir a unidade de comprimento, de modo que a velocidade da luz seja exatamente 299792458 m·s−1;
portanto, guardando alguma distância doconceito primitivo de comprimento, sem invalidar o uso de réguas e seus sucessores mais aprimorados.
Tempo Qualitativamente, o tempo é o conceito primitivo que responde pelarelação de ordem
entre os acontecimentos oueventos; correspondendo à ideia de“quando”,“durante”, e“duração”; passado, presente e futuro, podendo ser medido por calendário, ampulheta, clepsidra, relógio, cronô-metro, etc.
Princípio (do tempo). Entre um intervalo de tempo de duração finita (medido em uma vizi-nhança suficientemente pequena de um ponto do espaço físico) e um intervalo finito aberto dos números reais se podem estabelecer bijeções.
Oprincípio do tempotrata da possibilidade de se adotar uma escala para medida quantitativa de tempo,i.e., de se construir algo que se possa chamar“relógio”. Escalas de tempo permitem que se meça“quão antes”ou “quão depois” ocorreu, ocorre ou ocorrerá um evento em relação à outro; chamamos essa grandeza“intervalo de tempo decorrido”, ou simplesmente intervalo de tempo.6
Cada elemento de um intervalo de tempo é chamadoinstante. Além disso, o conceito de instante permite que se considere (independentemente de escala de tempo) o conceito de simultaneidade
entre eventos; dois eventos são ditos simultâneos (em relação a dado observador) quando suas ocorrências são observadas no mesmo instante (por esse observador). Assim, dois eventos são ditos simultâneos em relação ao mesmo observador se medidos no mesmo instante por esse observador. A simultaneidade não é propriedade compartilhada por qualquer par de observadores; a questão de transitividade da simultaneidade deverá ser tratada em estudos posteriores.
A cinemática cuida da linguagem matemática que descreve movimentos em suas cronolo-gias.7 Por esse aspecto, no contexto da cinemática, podem-se adotar escalas de tempo quaisquer,
desde que relacionadas por funções monótonas crescentes, o que garantirá o registro da relação de or-dem da cronologia dos eventos. Porém, no contexto de dinâmica, que cuida de prever (ou controlar) movimentos a partir das condições sob as quais o sistema está submetido, os paresescala
¯de¯ tempo--escala
¯de¯comprimentonão são arbitrários, conforme discutiremos oportunamente.
8 No momento,
transcrevemos o texto da 8a
¯ ed. do SI: (cf.[11, §2.1.1.3])
mais importantes trabalhos da história e possivelmente a mais completa e extensa síntese no contexto histórico já realizado pelo homem. (cf.[6, 16, 17])
6
Note-se que um médico-legista é capaz de avaliar intervalo de tempo usando cadáver como relógio. 7
O plural ocorre porque a cronologia não é universal, depende do observador, do movimento relativo entre os observadores e das hipóteses plausíveis para relacionar a realidade observada por esses observadores.
8
Mesmo que polêmico, consideramos esse aspecto fundamental para toda a Física. Considerar natural usar uma régua escolar e um relógio de pulso, é também considerar natural a periodicidade temporal dia-noite que se repete há muito, desde antes de se entender por gente até agora, e continuará assim.
Mas, se se pretende uma Física universalizada, que se aplique fora do ambiente terrestre palpável, além do comércio terrestre, além dos preconceitos terráqueos, então os fatos aqui destacados são fundamentais para qualquer tradução de fatos da Natureza além de nossa vivência terrestre.
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3.1. Conceitos primitivos e princípios adotados 25
Primitivamente, o segundo, unidade de tempo, era definido como a fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata do “dia solar médio” fora deixada aos cuidados dos astrônomos, porém os seus trabalhos evidenciaram que o dia solar médio não apresentava as garantias de exatidão requeridas, por causa das irregularidades da rotação da Terra. Para conferir maior exatidão à definição da unidade de tempo, a 11a
¯ CGPM (1960) sancionou outra definição fornecida pela União Astronômica Internacional, e baseada no ano trópico. Na mesma época as pesquisas experimentais já mostravam que um padrão atômico de intervalo de tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo, ou de uma molécula, poderia ser realizado e reproduzido com precisão muito superior. Considerando que uma definição de alta exatidão para a unidade de tempo do Sistema Internacional, o segundo, é indispensável para satisfazer às exigências da alta metrologia, a 13a
¯ CGPM (1967) decidiu substituir a definição do segundo pela seguinte:
“O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspon-dente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.”
Na sessão de 1997, o Comitê Internacional confirmou que:
“Essa definição se refere a um átomo de césio em repouso, a uma tempe-ratura de 0 K.”
Essa nota esclarece que a definição do segundo SI é baseada na radiação do átomo de cé-sio não-perturbada pela radiação do corpo negro, isto é, numa vizinhança da temperatura termodinâmica0 K.
Massa Oconceito primitivo de massa ficará melhor caracterizado quando analisarmos as Leis de Newton para a Dinâmica, consideradas como princípios. Cabe colocar que é um conceito que distingue oscorpos físicos dinamicamente para efeitos de translação. No momento, transcrevemos o texto da 8a
¯ ed. do SI: (cf. [11, §2.1.1.2])
O protótipo internacional do quilograma foi sancionado pela 1a
¯ CGPM (1889) ao declarar que “este protótipo será considerado doravante como unidade de massa”.
A 3a
¯ CGPM (1901; CR,70), para acabar com a ambiguidade que ainda existia no uso corrente sobre o significado da palavra “peso”, confirmou que:
“O quilograma é a unidade de massa (e não de peso, nem força); ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma.”
Este protótipo internacional em platina iridiada é conservado no Bureau Internacional, nas condições que foram fixadas pela 1a
¯ CGPM em 1889.
Estuda-se há algum tempo mudar a definição do quilograma para uma alternativa que se baseia em alguma constante física, liberando-se das inconveniências da adoção de uma corpo padrão,9 nos
moldes que se fez com o metro. Dentre as quatro propostas candidatas:O quilograma é a massa de repouso cuja energia corresponde à de exatos (2997924582/662606896)×10−41Hz, baseada na
constante de Planck, para essa proposta o valor da constante de Planck é 6,626 068 96×10−34J s
exato, consistente com o valor CODATA10de 2006, ou seja, a é uma proposta em que a velocidade da
luz no vácuo (já adotada oficialmente pelo SI para o metro) e a constante de Planck são consideradas constantes exatas; essa proposta ainda não foi adotada oficialmente pelo SI (possivelmente, quando isso ocorrer, a unidade de massa seja o grama).
9
Oaumento relativo da massa do protótipo internacional é de, aproximadamente,1×10−9
(i.e., uma parte em um bilhão), em razão do acúmulo inevitável de poluentes na superfície. (cf.SI-INMETRO [12, Anexo 2-2, pág. 95])
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Nota – escalas de comprimento e de tempo Quanto as questões que envolvem escalas de comprimento e de tempo, destacamos que para o desenvolvimento da cinemática não há qualquer necessidade de que as escalas sejam “montadas” por meio de réplicas, ou seja, para localizar pontos sobre um eixo podemos lançar mão de qualquer escala monótona, o que garantirá transformações entre escalas sem perda de informação, essa escala pode ser logarítmica, ou do inverso do quadrado da distância a um ponto fixo do eixo, por exemplo. Para o tempo também não há necessidade, no aspecto cinemático, de intervalos regulares de tempo, desde que dê conta de descrever a cronologia dos eventos por meio de questões adverbiais de tempo (antes, durante, depois, etc.).
O aspecto científico de repetitividade e de confrontação de dados experimentais obtidos de laboratórios diferentes e por observadores diferentes é que leva à conveniência de escalas mais ade-quadas às transformações. O mérito do SI está em propor unidades coerentes em que as mudanças de unidades são realizadas por múltiplos de 10 e com reprodutividade (presumidamente) garantida pelas definições adotadas, entre medidas realizadas de vários laboratórios e por vários observadores.
3.2
Leis de Newton para uma partícula
3.2.1 Redação atualizada das leis de movimento
Apresentamos uma redação atualizada para as leis de Newton-Galileu, baseada em Euler e na evolução do Cálculo Diferencial e Integral:
Primeira Lei Uma partícula está em equilíbrio se, e somente se, a resultante das forças que atuam sobre a partícula seja nula.
Segunda Lei A taxa de variação com o tempo do momentum linear (i.e., a derivada temporal do momentum linear) é proporcional à força aplicada e tem a direção e sentido dessa força.
Terceira Lei Se duas partículas interagem, as forças que resultam dessa interação sobre as partículas são do mesmo módulo (norma), mesma direção e de sentidos contrários.11
O enunciado apresentado para a terceira lei de movimento, que deixa em aberto a reta suporte das forças do par “ação-reação”, é chamado, por alguns autores [50, §3.17]:forma fraca da terceira lei de Newton; sendo chamada forma forte da terceira lei de Newton quando se acrescenta ao enunciado:“e possuem a mesma reta suporte”.
3.2.2 Notas históricas com fragmentos de textos de Galileu
As leis de movimento foram formuladas originalmente, de forma completa e sistemática, por Isaac Newton [1642–1727] em 1687, no histórico“Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica” (pri-meira edição, Londres, 1687; segunda ed., 1713; terceira ed., 1726), publicado em latim, como era prática à época. Em Lucie (cf. [32, pág. 60]), encontra-se tradução do latim para o português de “dos Principia”, diretamente da terceira edição (1726), a última edição revisada pessoalmente por Newton,12 de onde tiramos alguns fragmentos dessa tradução que apresentamos no §3.2.3. Tem-se
também tradução integral para o português, comemorativa dos trezentos anos de sua publicação (cf.[39]).
A primeira lei de Newton é conhecida como lei da inércia ou lei de Newton-Galileu e diz resumidamente: “um corpo é incapaz para alterar a sua própria velocidade por si”, ou: “não é necessário força para manter um corpo em movimento retilíneo e uniforme” (em relação a um referencial inercial). Essa hipótese ia de encontro ao que se acreditava até a época de Galileu
11
Veja ainda, [52]: Tavares, A.D.: Física (Sumários) Fascículo II, UERJ, Rio, 1977, pág.9; ou [53, §3.3]. 12
![Figura 5.1: Projeção da soma de vetores [1, Fig. 3-27, pág. 42].](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dok_br/16284115.716354/39.892.85.799.235.1138/figura-projeção-da-soma-de-vetores-fig-pág.webp)
