2 . TÉCNICAS DE CONTAGEM Capítulo
2
Para resolver problemas de probabilidades, que serão estudados adiante, é necessário, em alguns casos, contar os elementos de um conjunto finito.
2.1. REGRAS DE CONTAGEM
Anotamos n(X) o número de elementos do conjunto X. Vejamos algumas situações:
2.1.1. REGRA DA SOMA
Sejam A e B conjuntos finitos, ambos subconjuntos de um conjunto universo U. Considerando x o número de elementos de A não pertencentes a AB y o número de elementos de AB
z o número de elementos de B não pertencentes a AB
temos, n(AB) = x + y + z
n(AB) = (x + y) + (y + z) y (adicionou e subtraiu y)
n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB)
Observação: Caso AB = , teremos n(AB) = 0 e a fórmula acima será: n(AB) = n(A) + n(B). Aplicando o mesmo raciocínio para três conjuntos A, B e C quaisquer (subconjuntos de um mesmo universo U), teremos:
n(AB C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)
Exemplos:
1) João deseja ir de um ponto L1 a outro ponto L2 por dois caminhos distintos. Pelo primeiro deve passar por três cidades R, S e T e pelo segundo por duas cidades V e W. Por quantas cidades poderá passar?
Solução:
2) As pessoas de uma família estudam Matemática ou Física. Sabendo-se que 6 estudam Matemática, 7 estudam Física e 4 estudam ambas disciplinas, deseja-se saber a quantidade de pessoas que a família possui.
Solução:
n(MF) = n(M) + n(F) - n(MF)
= 6 + 7 - 4 = 9 pessoas na família.
2.1.2. REGRA DO PRODUTO
Sejam A e B dois conjuntos finitos e não vazios (subconjuntos do universo U ).
Consideremos o produto cartesiano de A e B: AXB ={(x,y) / xA e yB}. O número de elementos (pares ordenados) do produto cartesiano AB é dado por: n(AXB) = n(A) . n(B) ,
essa fórmula constitui a regra do produto para dois conjuntos.
Observação: Supondo n conjuntos: A1, A2, A3,...., An subconjuntos de um mesmo conjunto U,
n( A1 X A2 X A3 X .... X An) = n(A1) . n(A2) . n(A3) ....n(An) Exemplos:
3) Numa sala estão presentes 3 rapazes e 4 moças. Quantos casais podem ser formados?
Solução
Sejam A = conjunto das moças = { M1,M2,M3,M4} e
B = conjunto dos rapazes = { R1,R2,R3} . Temos que n(A) = 4 e
n(B) = 3 , logo,
n(AXB) = n(A) . n(B) = 4 . 3 = 12 casais.
4) Considere as placas de automóvel que possuem, da esquerda para a direita, três
letras, que são vogais, e quatro dígitos: onde o 1 é múltiplo de 3, o 2 é par, o 3 é primo
e o 4 é impar. Quantas placas distintas deste tipo podem ser fabricadas? Solução:
Placa: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7
A1 conjunto das vogais .. n(A1) = 5 A4 = conjunto de dígitos múltiplo de 3 = {3,6,9}, n(A4) = 3
A2 conjunto das vogais .. n(A2) = 5 A5 = conjunto de dígitos pares = {0,2,4,6,8}, n(A5) = 5
A3 conjunto das vogais .. n(A3) = 5 A6 = conjunto de dígitos primos = {2,3,5,7}, n(A6) = 4
A7 = conjunto de dígitos ímpares = {1,3,5,7,9} = n(A7) = 5
n(A1 X A2 X A3 X A4 X A5 X A6 X A7) = n(A1) . n(A2) . .n(A3) . n(A4) . n(A5) . n(A6) . .n(A7) =
= 5 . 5 . 5 . 3 . 5 . 4 . 5 = 37 500.
R3 . . . .
R2 . . . .
R1 . . . .
Existem problemas que envolvem ambas as regras da Soma e do Produto:
5) Uma pessoa possui para traje esporte 2 calças e 5 camisas e para traje social 2 ternos, 3 camisas e 2 gravatas. De quantos modos poderá se vestir de maneira esporte ou social?
Solução:
E = traje esporte: A1 : conjunto de 2 calças n(A1)=2 A2 : conjunto de 5 camisas n(A2)=5 S = traje social: A3 : conjunto de 2 ternos n(A3)=2 A4 : conjunto de 3 camisas n(A4)=3 A5 : conjunto de 2 gravatas n(A5)=2
n(ES) = n(E) + n(S) - n(ES) ( sabemos que ES = , logo, n(ES)=0 ) = n(A1 X A2) + n(A3 X A4 A5) =
= n(A1) . n(A2) + n(A3) . n(A4) . n(A5) = = 2 . 5 + 2 . 3 . 2 = 10 + 12 = 22.
Calças Camisas modos
c1 1
c2 2
ca1 c3 3
Traje c4 4
c5 5
E c1 6
c2 7
ca2 c3 8
c4 9
c5 10
Gravatas Ternos c1 g1 11
g2 12
T1 c2 g1 13
g2 14
c3 g1 15
S g2 16
c1 g1 17
g2 18
T2 c2 g1 19
g2 20
c3 g1 21
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.1
1) Uma caixa contém 3 bolas: 1 amarela, 1 vermelha e 1 branca. Uma outra caixa contém 2 bolas: 1 azul e 1 verde. Retirando-se uma bola da 1ª caixa e outra da 2ª caixa, quantas são as possibilidades de duas cores? R. 6
2) Da cidade A até a cidade B pode-se fazer a viagem de trem ou de ônibus. Em A, existem 5 companhias ferroviárias e 4 rodoviárias a disposição do usuário e em todas elas as passagens são de três categorias: 1ª, 2ª e 3ª. De quantos modos uma pessoa pode fazer sua escolha de viagem de A para B ?
R. 27
3) Para ir de uma cidade A a uma cidade B tem-se que optar: ou passa por uma cidade X ou por Y. Se de A para X existem 6 caminhos possíveis, de A para Y existem 8, de X para B existem 7 e de Y para B existem 5, então, quantos são os possíveis caminhos de A para B? R. 82
4) Feita a consulta a respeito do uso de três marcas de um determinado produto, verificou-se que o produto da marca I é usado por 25 pessoas, da marca II por 27 e da marca III por 20. Sabendo-se, ainda, que 15 usam produtos das marcas I e II, 14 usam II e III, 13 usam I e III e 10 usam todas as marcas, pergunta-se o número de pessoas consultadas. R. 40
5) De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar em um banco de 5 lugares? R.120
6) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da estante? R.720
7) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da estante, sabendo-se que dois desses livros deverão ficar sempre juntos? R.240
8) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um automóvel, sabendo-se que o pai senta sempre no banco do motorista? R.24
9) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem se sentar em um automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro?
R.12
10) Quatro rapazes e uma garota foram juntos visitar uma exposição de quadros de arte. Um dos rapazes é perfeito cavalheiro e só entra no recinto depois que a garota o tenha feito. De quantos modos (em fila) eles podem passar pela porta de entrada?
Consideremos um conjunto L com m elementos e dele vamos extrair um subconjunto S com r elementos (r m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com determinada característica. Se a característica for: ao trocar a ordem de dois elementos
distintos o grupamento deixa de ser o mesmo, então, cada grupamento é um ARRANJO.
Vejamos de forma prática:
Seja L = {1,2,3,4,5} e o subconjunto S = {1,2,3}. Assim, teremos um grupamento (1,2,3), representando o número 123. Mudando-se a ordem de dois elementos teremos, por exemplo, o novo grupamento (2,1,3), que representa o número 213, diferente de 123. Portanto, cada um dos grupamentos assim obtido é um ARRANJO.
O problema que se apresenta agora é o de contar o número de arranjos com r elementos que podem ser formados com os m elementos de L .
2.2.1. ARRANJOS SIMPLES
Os arranjos formados com r elementos distintos a partir de L serão chamados de
arranjos simples (r m).
1) No exemplo prático acima, desejamos saber a quantidade de números de três algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos de L = {1,2,3,4,5}.
Solução:
Se a cada grupamento (a,b,c) associarmos o número de três dígitos distintos abc, então, neste caso , serão excluídos os grupamentos tais como: (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5), ... , visto que algum de seus dígitos foi repetido.
Forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3) , onde
a1A1 , A1 = conjunto de todos os dígitos de L ...n(A1) = 5 a2A2 , A2 = conjunto dos dígitos de L, excluí o fixado na centena...n(A2) = 4 a3A3 , A3 = conjunto dos dígitos de L, excluí os fixados na centena e na dezena ....n(A3)=3
Pela regra do produto: n(A1 X A2 X A3) = n(A1) . n(A2) . n(A3) = = 5 . 4 . 3 = 60 números
Vejamos quais são os arranjos simples:
Notação: m,r tomados r a r.
Assim, pela regra do produto,
Am,r = m(m-1)(m-2)(m-3)....[m-(r-1)]
No exemplo 1: A5,3 = 5.4.3 = 60 (Prática:decresce r =3 fatores a partir de m=5)
2.2.2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO
Os arranjos formados com r elementos não necessariamente distintos a partir de L serão chamados de arranjos com repetição.
Exemplo:
2) Com os dígitos de L = {1,2,3,4,5} quantos números de três algarismos podemos formar?
Solução:
Agora, grupamentos como (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5), ... devem ser considerados.
Portanto, a forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3) , onde
a1A1 , A1 = conjunto de todos os dígitos de L ... n(A1) = 5 a2A2 , A2 = conjunto de todos os dígitos de L ... n(A2) = 5 a3A3 , A3 = conjunto de todos os dígitos de L ... n(A3) = 5
Pela regra do produto: n(A1 X A2 A3) = n(A1) . n(A2) . n(A3) = = 5 . 5 . 5 = 125 números
Indicaremos por ARm,r o número de arranjos com repetição dos m elementos de L tomados r a r. Neste caso, r pode ser maior do que m. Assim, pela regra do produto,
ARm,r = m .m .m .m . .... m = mr
No exemplo: AR5,3 = 53 = 5.5.5 = 125 ( r=3 fatores iguais a m=5) 2.3. PERMUTAÇÕES
Consideremos um conjunto L com m elementos. Queremos formar grupamentos apenas permutando (mudando) a ordem dos m elementos. Temos os seguintes casos:
2.3.1. PERMUTAÇÕES SIMPLES
3) Com os dígitos de L= { 1,2,3,4,5} quantos números de 5 algarismos, sem repetição de dígitos, podem ser formados?
Solução:
A forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3, a4, a5) , onde ai Ai , i =1,2,3,4,5 A1 = conjunto de todos os dígitos de L ... n(A1) = 5 A2 = conjunto dos dígitos de L, menos o fixado na ordem de A1... n(A2) = 4 A3 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 ... n(A3) = 3 A4 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3 ... n(A4) = 2 A5 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3 e A4. n(A5) = 1
Pela regra do produto: n(A1 A2 A3 A4, A5) = n(A1) . n(A2) . n(A3) . n(A4) . n(A5)= = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 números.
Indicaremos por Pm o número de permutações simples de elementos de L. Assim,
Pm = m! = m(m-1)(m-2)(m-3) .... 1
No exemplo: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120.
Observação: A fórmula Am,r pode ser escrita com a notação fatorial Am,r =
!
!m
mr
No exemplo 1: A5,3 =
5 3 !5!
= 2! ! 5= 1 . 2
1 . 2 . 3 . 4 . 5
= 5.4.3 = 60
2.3.2. PERMUTAÇÕES SIMPLES COM REPETIÇÃO
Seja L um conjunto com m elementos. Queremos formar arranjos simples com
m elementos, podendo existir alguns com repetições. Exemplo: Os anagramas (transposição de letras ou números) da palavra ARARA, formam agrupamentos com sentido ou não: AAARR, RARAA, RAARA,... etc. Observe que a permutação, entre si, das letras “A” ou “R” na palavra ARARA não geram novos agrupamentos, pois elas não se distinguem. Seja o grupamento: (a1,a2,...a b1,b2...b .... t1,t2,...t), onde os “a” são iguais
entre si, também os “b” são iguais e assim por diante, tal que ++ ... + = m .
A fórmula Pm,,...., =
! !... !.
!
m
determina o número de grupamentos distintos e possíveis de se formar com os elementos de L, evitando as repetições dos elementos correspondentes aos , , ... .
Exemplos:
4) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra AMAR ? Solução:
Portanto, P42,1,1 = ! 1 !. 1 !. 2 ! 4 = 1 . 1 . 1 . 2 1 . 2 . 3 . 4 = 2 24
= 12 anagramas
Veja os 12 anagramas: AMAR , ARAM , AMRA , ARMA , MARA, RAMA , AAMR , AARM , MAAR , RAAM , MRAA e RMAA .
Observação: O anagrama AMAR, por exemplo, só é contado uma vez, visto que não há
distinção para os “A” permutados.
5). Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos de 332332 ? Solução:
Temos quatro dígitos iguais a 3 e dois dígitos iguais a 2.
Portanto, P64,2 =
! 2 !. 4 ! 6 = 1 . 2 . 1 . 2 . 3 . 4 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
= 15 números distintos
--- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.2
1) Calcule:
a) AR5,4 b) AR5,1 c) AR8,2 d) A5,4 e) A5,1 f) A8,2 g) P1 h) P2 i) P5
Respostas: a) 625 b) 5 c) 64 d) 120 e) 5 f) 56 g) 1 h) 2 i) 120
2) Quantos números de três algarismos podemos formar, usando os dígitos 2 e 3? R. 8
3) Dez carros disputam uma corrida. Quantos são os resultados possíveis para os três primeiros lugares? R. 720
4) Quantos anagramas pode-se formar com a palavra AMIGO ? R. 120
5) De quantos modos distintos podemos arrumar 6 livros em uma prateleira de uma estante, sabendo-se que três desses livros deverão ficar sempre juntos? R 144
6) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro?
R 12
7) Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar com os dígitos 1,2,3 e 4 ?. R. 12.
8) Um banco de jardim possui 4 lugares e 6 amigos pretendem ocupá-lo. De quantos modos distintos poderão sentar? R. 360
Consideremos um conjunto L com m elementos e um subconjunto S com r elementos de L (r m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com determinada característica. Se a característica for: aotrocar a ordem de dois elementos
distintos o grupamento permanece o mesmo, então, cada grupamento é uma combinação
simples.
Vejamos de forma prática:
1) Suponha que você esteja participando de um jogo que consiste em “lançar um dado três vezes e registrar cada um dos pontos das faces superiores expostas” . Neste caso, teremos L ={1,2,3,4,5,6}. Se você estiver apostando em “faces pares distintas”, isto é, no subconjunto S = {2,4,6} de L, então é evidente que estará concorrendo com os grupamentos: (2,4,6), (2,6,4), (4,2,6), (4,6,2), (6,2,4), (6,4,2), visto que não importa a ordem de saída dos números sorteados. Queremos dizer que não há distinção para estes grupamentos ou que constituem a mesma combinação. Caso a ordem de saída dos números sorteados fosse relevante, cada grupamento seria um arranjo, logo, todos distintos. 2) Se considerarmos três pessoas formando uma comissão a ordem com que anunciamos os nomes dos participantes não é importante, pois trata-se da mesma comissão, isto é, de uma mesma combinação. Porém, se as pessoas tiverem funções (presidente, secretário, tesoureiro) a ordem passa a ser considerada, pois assim teremos nova diretoria com os mesmos elementos e, neste caso, cada diretoria formada é um arranjo.
3) Para não deixar dúvidas: em cada sorteio da loto são extraídos cinco números de um total de cem números. Se você escolher um jogo simples (de 6 números distintos) e ocorrer nele os números das cinco extrações, então, você ganhou a quina independente da ordem dos números sorteados. O outro apostador pode escolher, em outra ordem, os mesmos números que você escolheu, isto é, a mesma combinação e, assim, também fazer a quina. Infelizmente, neste caso, você deverá dividir o prêmio com ele. Certo?
O problema que enfrentaremos agora é o da contagem das combinações simples distintas.
Indicaremos por Cm,r o número de combinações simples dos m elementos de L tomados r a r.
Vejamos um exemplo: Seja L = {1,2,3,4}. Queremos obter a quantidade de combinações simples com os elementos de L tomados 2 a 2, isto é, obter C4,2 .
Conhecendo-se as combinações: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) e (3,4) torna-se fácil dizer que C4,2 indica 6 combinações distintas.
Alertamos que nem sempre é imediato conhecer todas as combinações. Procuremos uma fórmula que nos permita obter o número de combinações distintas sem a necessidade de escrevê-las. Vejamos:
4,2 4,2
número de combinações C4,2 com o número de permutações P2 em cada combinação.
Assim, A4,2 = C4,2 . P2 ou que C4,2 =
2 2 , 4 P A
Logo, C4,2 =
2 2 , 4 P A = ! 2 3 . 4 = 2 12
= 6
Generalizando : Cm,r = r r m P A ,
ou, Cm,r =
! )! ( ! r r m m Exemplos:
C4,2 = 4! (4 2)!. 2! =
4.3. 2! 4.3 2!. 2! 2! = 2
12 = 6
C7,3 = 7! (7 3)!. 3! =
7.6.5. 4! 4!. 3! =
7.6.5
3! =3.2.1 5 . 6 . 7 = 35 --- EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.3
1) Determinar:
a) C5,2 b) C5,3 c) C10,2 d) C10,8
Respostas: a) 10 b) 10 c) 45 d) 45
2) Resolva a equação: Cn,2 = 15, n{2,3,4, ...} R. 6
3) Quantas diagonais possui um hexágono convexo? R .9 Sugestão: Sabe-se que em um polígono convexo de n vértices : Cn,2 = n + d , sendo d o número de diagonais (n = número de lados = número de vértices).
4) Sobre uma reta marcam-se 5 pontos e sobre outra paralela à primeira marcam-se 8 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos? R.220 5) Em um plano marcam-se 12 pontos dos quais 5 estão sobre uma mesma reta. Quantos triângulos podem ser formados unindo-se estes pontos? R. 210
6) Quantas retas são determinadas pelos vértices de um hexágono regular ? R.15 7) De um conjunto de 3 elementos quantos subconjuntos de 2 elementos podem ser formados? R.3
8) Qual o número de quinas possíveis de ocorrer na extração da Loto?
R. 75 287 520 9) Quantas comissões de 3 elementos podem ser formadas com um grupo de 5 pessoas? R.10
