O Problema da Braquist´

O Problema da Braquist´

ocrona

Flaviano Bahia P. Vieira

La´ıs B´assame Rodrigues

Edson Agustini

Faculdade de Matem´atica - Famat Universidade Federal de Uberlˆandia - Ufu- MG

Agosto de 2004

Resumo

Neste trabalho, deduzimos as equa¸c˜oes param´etricas da curva chamada braquis-t´ocrona: curva descrita por uma part´ıcula que desliza sobre ela, sem atrito, de modo a atingir no tempo m´ınimo um ponto Q, partindo de um ponto P que est´a acima do primeiro, mas n˜ao na vertical. Dessa forma, essa curva ´e solu¸c˜ao de um interessante problema de otimiza¸c˜ao de trajet´orias que foi lan¸cado por Johann Bernoulli em 1696 como desafio aos matem´aticos da ´epoca. Tamb´em mostramos que uma braquist´ocrona pode ser uma taut´ocrona: curvas sobre a qual uma part´ıcula desliza sem atrito, sob a a¸c˜ao da gravidade, e atinge a parte mais baixa sempre no mesmo intervalo de tempo, qualquer que seja o seu ponto de partida sobre a curva.

Palavras-chave: Braquist´ocrona. Taut´ocrona. Cicl´oide. Equa¸c˜oes Diferenci-ais Ordin´arias N˜ao Lineares.

1

Introdu¸

c˜

ao Hist´

orica

Em uma mat´eria do jornal Acta Eruditorium de junho de 1696, Johann Bernoulli - um professor su´ı¸co da Universidade de Groningen, na Holanda - desafiou os matem´aticos da ´epoca a resolverem o seguinte problema:

“Dados dois pontos P e Q em um plano vertical e em desn´ıvel (isto ´e, a reta que os cont´em n˜ao est´a na “horizontal” e nem na “vertical”), qual ´e a curva que os liga de tal modo que uma part´ıcula partindo do repouso do ponto mais alto P e deslizando sobre ela sem atrito, sob a¸c˜ao da gravidade, gasta o menor tempo para atingir o ponto mais baixo

Q?”

a

[email protected] Orientando do Programa de Educa¸c˜ao Tutorial da Faculdade de Matem´atica (PetMat) de jan/04 a dez/04.

b

[email protected] Orientanda do Programa de Educa¸c˜ao Tutorial da Faculdade de Matem´atica (PetMat) de jan/04 a dez/04.

c

Figura 1: Qual ´e a curva “de menor tempo” entre P e Q?

Essa curva, segundo sugest˜ao de Leibniz, ficou conhecida por “braquist´ocrona”, do gregoβ̺αχυς - br´aquis - que significa “menor” eχ̺σνσς - cronos - que significa “tempo”. O mesmo jornal de maio de 1697 trazia artigos sobre o problema de seis dos mais renoma-dos matem´aticos da ´epoca: Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli, Isaac Newton, Marquˆes de L’Hospital, Gottfried Leibniz e Ehrenfried Tschirnhaus.

Figura 2: Johann Bernoulli, 1667-1748.

Johann Bernoulli n˜ao foi o primeiro a considerar o problema da braquist´ocrona. Galileu estudou-o em 1638 no seu famoso trabalho Discourse on two new science. Nesse trabalho, Galileu propˆos que um arco de circunferˆencia seria a solu¸c˜ao; no entanto, como veremos abaixo, a solu¸c˜ao n˜ao ´e um arco de circunferˆencia, mas sim um arco de cicl´oide.

2

Modelagem do Problema

ser´a a curva braquist´ocrona (aqui estamos admitindo o Princ´ıpio de Fermat que diz que a luz sempre percorre a trajet´oria de menor tempo poss´ıvel para viajar no espa¸co). Veja a Figura 3.

Figura 3: Uma part´ıcula viajando por diferentes meios.

Baseados no racioc´ınio acima, suponhamos dois meios (camadas da atmosfera) de diferentes densidades e um raio de luz atravessando-os.

Figura 4: Deduzindo a Lei de Snell.

Meio 2 a velocidade seja representada por −→v ₂. Seja T : [0, l]_→ R a fun¸c˜ao tempo gasto no percurso do raio de luz, sendoxa distˆancia do ponto em que o raio atravessa a fronteira entre os meios at´e a proje¸c˜ao ortogonal de P nessa fronteira (veja figura acima). Assim,

T(x) =

√

a2_+x2 v1

+

q

b2_{+ (l−x)}2

v2

,

sendo v₁ =_||−→v _1|| e v₂ =_||−→v _2||.

Obs.: “velocidade = distˆancia

tempo ⇒tempo=

distˆancia velocidade”.

Nosso objetivo ´e minimizar a fun¸c˜ao T.Derivando:

T′_{(x) =} x v1

√

a2_+x2 +

x₋l

v₂

q

b2_{+ (l−x)}2 .

Igualando a 0:

T′_{(x) = 0} x

v1

√

a2_+x2 +

x₋l

v2 q

b2_{+ (l−x)}2 = 0

x v1

√

a2_+x2 =

l₋x

v2 q

b2_{+ (l−x)}2

(1)

Observemos que:

senα1 = x

√

a2_+x2 (2)

e

senα2 =

l₋x

q

b2_{+ (l−x)}2

. (3)

Logo, substituindo (2) e (3) em (1) chegamos a: senα₁

v1

= senα2 v2

, (4)

equa¸c˜ao conhecida como “Lei de Snell”. Observemos que se tiv´essemos n meios:

senα1 v1

= senα2 v2

=...= senαn vn

=k, (5)

k constante.

Nas condi¸c˜oes acima, o valor x que faz (4) ocorrer ´e ponto de m´ınimo da fun¸c˜ao T. De fato, derivando T′_:

T′′_{(x) =} 1 v1





a2

q

(a2_+x2₎3  + 1 v2   b2 q ¡

b2 _{+ (l−x)}2¢3 

que ´e sempre um valor positivo para qualquer x,pois v₁ ev₂ s˜ao n´umeros positivos.

FAZENDO A ESPESSURA DAS CAMADAS DOS MEIOS TENDER A ZERO

Consideremos o esquema apresentado na Figura 5 abaixo, na qual fixamos um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal com centro em P e eixo das ordenadas orientado “para baixo”. Quando fazemos a espessura das camadas dos meios tender a zero, estamos fazendo o n´umero de meios entre os pontos P e Q tender a infinito e, portanto, temos bem definido o vetor velocidade −→v da part´ıcula tangente `a curva procurada. Pelo que vimos acima, para o m´odulo desse vetor vale a Lei de Snell (5):

v

senα =k (6)

sendo k constante e α o ˆangulo de incidˆencia do raio de luz no meio.

Figura 5: O vetor velocidade.

Consideremos um elemento de comprimento ∆s do percurso do raio de luz e suas proje¸c˜oes ∆x e ∆y paralelas aos eixos coordenados (Figura 6):

Assim:

(∆s)2 = (∆x)2+ (∆y)2

e

senα′ ₌ ∆x ∆s. fazendo ∆s_→0 temos que α′ _{→α e:}

(ds)2 = (dx)2+ (dy)2

e

senα= dx ds =

dx

q

(dx)2+ (dy)2

= dx dx

q

1 +¡_dy

dx

¢2

= q 1

1 + (y′₎2

(7)

Pela lei de conserva¸c˜ao da energia mecˆanica, quando o raio de luz percorrer a distˆancia ds, temos:

mgy = 1 2mv

2

⇒2gy=v2 _⇒v =p2gy (8)

sendo m a massa da part´ıcula, v o m´odulo de sua velocidade −→v e y o desn´ıvel entre P e Q.

Substituindo (7) e (8) em (6), temos:

√

2gy 1

√

1+(y′₎2

=k _⇒y³1 + (y′₎2´₌

µ

k

√

2g

¶2

=c2,

ou seja, temos que resolver a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de primeira ordem n˜ao linear

y³1 + (y′₎2´_=c2_{. (9)}

RESOLVENDO A EQUAC¸ ˜AO DIFERENCIAL

Considerando a equa¸c˜ao (9):

y³1 + (y′₎2´_=c2 _{⇒1 + (y}′₎2 ₌ c 2

y ⇒(y

′₎2 ₌ c 2

y −1⇒y ′ ₌

s

c2 y −1.

Obs.: o sinal escolhido ´e positivo devido `a orienta¸c˜ao escolhida para o eixo das ordenadas.

Fa¸camos a mudan¸ca de vari´aveis

y=c2sen2θ

Logo,

y′ ₌

r

c2

c2_sen2_θ −1 = r

1₋sen2_θ

sen2_θ = cotgθ ⇒ dy dx =

cosθ

senθ (10)

Mas

y =c2sen2θ _⇒ dy dx = 2c

2_{senθ(x) cosθ(x)} dθ

dx (11)

Logo, de (10) e (11):

cosθ(x) senθ(x) = 2c

2_{senθ(x) cosθ(x)}dθ dx ⇒2c

2_sen2_{θ(x)dθ =dx (12)}

Fa¸camos uma nova mudan¸ca de vari´aveis: 2θ =ω. Temos:

2θ(x) = ω(x)_⇒θ(x) = ω(x) 2 ⇒

dθ dx =

dω

2dx ⇒dθ = dω

2 . (13)

Logo, de (12) e (13):

2c2sen2³ω 2

´dω

2 =dx⇒ c2sen2³ω

2

´

dω =dx_⇒

Z

c2sen2³ω 2

´

dω =

Z

dx+d_⇒ (d constante)

Z

c21−cosω

2 dω =x+d⇒

Z

c2 2dω−

Z

c2cosω

2 dω =x+d⇒ c2

2ω−

c2_senω

2 dω =x+d⇒

(ω₋senω)c 2

2 =x+d

Mas, quando x= 0, temos

y(0) = 0_⇒ c2sen2θ(0) = 0_⇒ θ(0) = 0_⇒ ω(0)

2 = 0⇒ ω(0) = 0.

Logo, d= 0 e concluimos que

x= c 2

2 (ω−senω).

Como y=c2_sen2_{θ, temos}

y=c2sen2³ω 2

´

=c2

µ

1₋cosω 2

¶

= c 2

Logo, as equa¸c˜oes param´etricas da curva procurada ser´a

x= c 2

2 (ω−senω) (14) e

y = c 2

2 (1−cosω) (15)

Concluimos que as equa¸c˜oes param´etricas da curva γ otimizada ser´a, paraω variando em um intervalo conveniente, as equa¸c˜oes de um peda¸co de cicl´oide:

γ : [a, b] _−→ R2

ω _7−→ γ(ω) = c 2

2 (ω−senω,1−cosω) .

Uma cicl´oide pode ser obtida, mecanicamente, tomando a trajet´oria que um ponto sobre um c´ırculo descreve no plano `a medida que esse c´ırculo gira sem deslizar sobre uma reta. (Figura 7)

Figura 7: A trajet´oria de um ponto sobre uma roda que gira sem deslizar ´e uma cicl´oide.

3

Uma Propriedade Interessante da Braquist´

ocrona

Figura 8: O tempo de descida deP eP′ _{a partir do repouso at´e o ponto mais baixo Q} ´e o mesmo em uma taut´ocrona.

Com uma dedu¸c˜ao an´aloga a que fizemos no caso da braquist´ocrona, ´e poss´ıvel mostrar que uma taut´ocrona ´e, tamb´em, um arco de cicl´oide que possui o ponto mais baixo de seu tra¸cado.

Iremos demonstrar que uma braquist´ocrona, nas condi¸c˜oes explicadas acima, ´e uma taut´ocrona a partir das equa¸c˜ao param´etricas de uma cicl´oide γ:

γ : [0, π] _−→ R2

ω _7−→ a((ω₋senω,1₋cosω)

(a constante positiva). Notemos que, para ω = 0, temos o ponto (0,0) mais alto da cicl´oide e, para ω = π, temos o ponto (aπ,2a) mais baixo (lembremos que o eixo y est´a orientado para baixo!).

Consideremos as derivadas em rela¸c˜ao a ω:

x′ _{=a(1−cosω) e y}′ _=asenω

Considerando que:

(x′₎2_{+ (y}′₎2 _=a2¡

1₋2 cosω+ cos2ω+ sen2ω¢= 2a2(1₋cosω),

temos:

v = ds dt =

p

2gy; (ver (8))_⇒

dt = √ds

2gy

=

q

(dx)2+ (dy)2

√

2gy

=

s

2a2_(1−cosω)

2g(a(1₋cosω))dω; (pois x ′ ₌ dx

dω e y ′ ₌ dy

dω)

=

r

O tempo de viagem da part´ıcula desde o ponto P do topo (ω= 0) at´e o ponto Q na parte mais baixa (ω =π) da cicl´oide ´e:

T₁ =

Z π 0 dt= Z π 0 r a gdω =

r

a

gπ (16)

Consideremos, agora, a part´ıcula em um ponto intermedi´arioP′ _{da cicl´oide (ω =ω} 0). De modo an´alogo ao que fizemos acima:

v =p2g(y₋y₀),

sendo y₀ a ordenada de γ(ω₀). Logo:

v = ds dt =

p

2g(y₋y0)⇒

dt = p ds

2g(y₋y0)

=

q

(dx)2+ (dy)2

p

2g(y₋y0)

=

s

2a2_(1−cosω)

2g(a(1₋cosω)₋a(1₋cosω0)) dω = r a g r

1₋cosω cosω0 −cosω

.

Mas o tempo gasto pela part´ıcula para percorrer a curva do ponto P′ _{ao ponto mais} baixo Q ser´a:

T2 = Z π ω0 dt= Z π ω0 r a g r

1₋cosω cosω0−cosω

dω.

Mas:

senω 2 =

r

1₋cosω 2 e

cosω 2 =

r

1 + cosω

2 ⇒2 cos 2 ω

2 −1 = cosω

Logo, Z π ω0 r a g r

1₋cosω cosω0−cosω

dω= r a g Z π ω0 senω 2 s 1 cos2 ω0

2 −cos2

ω 2 dω = r a g Z π ω0 senω 2 v u u u t 1 cos2ω0

2

1₋ cos2

ω 2

cos2ω0 2

Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis z = cos

ω

2 cosω0

2

, temos:

dz =₋ 1 2sen

ω

2 cosω0

2

dω _{⇒ −}2 cos

ω0

2 senω

2

dz =dω.

Logo: Z π ω0 r a g r

1₋cosω

cosω₀₋cosωdω=−

r a g2 Z 0 1 r 1

1₋z2dz ⇒

T2 = r

a

gπ. (17)

Comparando (16) e (17),temos que os tempos T₁ eT₂ de descida das duas part´ıculas s˜ao iguais, como quer´ıamos.

4

Um Exemplo Num´

erico

Fixemos um sistema de coordenadas cartesianas com o eixo y orientado para baixo e o

ponto P = (0,0) e Q = (10,10). Calculemos a constante c 2

2 e o intervalo de varia¸c˜ao do parˆametro ω em (14) e (15).

Temos que as equa¸c˜oes param´etricas da braquist´ocrona s˜ao x= c 2

2 (ω−senω) e y = c2

2 (1−cosω).Logo, temos o seguinte sistema:

        

10 = c 2

2 (ω−senω)

10 = c 2

2 (1−cosω)

⇒1 = (ω−senω)

(1₋cosω)

Resolvendo por m´etodos n´umericos, temos queω = 2,412. Logo,

10 = c 2

2 (1−cos 2,412)⇒ c2

2 =

10

1₋cos 2,412 ⇒ c2

2 = 5,7292.

Assim, temos c 2

2 = 5,7292 e o intervalo de varia¸c˜ao de ω ´e de 0 a 2,412. Portanto, as equa¸c˜oes que procuramos s˜ao dadas por:

γ : [0; 2,412] _−→ R2

ω _7−→ 5,7292 (ω₋senω,1₋cosω) .

Figura 9: A curva braquist´ocrona de P = (0,0) a Q= (10,10).

Notemos essa braquist´ocrona n˜ao ´e uma taut´ocrona, pois o “ponto mais baixo” n˜ao pertence `a curva.

5

Um Agradecimento

Os autores s˜ao gratos `a professora Sueli I. R. Costa do Imecc-Unicamppelas conversas e dicas instrutivas a respeito do “problema da braquist´ocrona”.

Referˆ

encias

[1] Boyce, W. E.& Diprima, R. C. Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. Trad. Bras. 3a. ed., Rio de Janeiro: LTC, 1999.

[2] Braun, M. Differential Equations and Their Applications.New York: Springer-Verlag; Berlim: Heidelberg, 1978.

[3] Eves, H. T´opicos de Hist´oria da matem´atica para uso em sala de aula. Geometria. Trad. Bras. S˜ao Paulo: Atual, 1992.

[4] Eves, H. Introdu¸c˜ao `a Hist´oria da Matem´atica. Trad. Bras. 3a. ed., Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2002.

[5] Hairer, E. & Wanner, G. Analysis by its history. New York: Springer, 1995. [6] Tipler, P. A. F´ısica. v. 1a, Trad. Bras. 2a. ed., Rio de Janeiro: Guanabara Dois,

1990.