0. Apostila Capitalização simples Prof. Alexandre 2016

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Introdução:

As idéias e os conceitos da Matemática Financeira são relativamente simples, pois se referem ao valor do dinheiro no tempo, sendo o principal objetivo desta ciência estudar o comportamento do capital no tempo.

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise das operações financeiras, de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Conceitos:

Capital (C): O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros(J) Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.

O juro pode ser comparado ao aluguel, pois visa a remuneração sobre um bem. Ao alugar uma casa e ao pagar o aluguel correspondente ao seu uso tem-se uma operação similar ao empréstimo de um recurso financeiro pago com juros.

Taxa de Juros (i): É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital inicial. Trata-se do coeficiente relativo a um período que aplicado sobre um capital possibilita a definição do juro.

A taxa de juro se refere sempre a um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao ano (aa), etc. Apresenta-se de duas formas:

Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. Ex: i =5%am.

Forma unitária ou centesimal: representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. Ex: i = 0,05am.

Obs.: na realização dos cálculos se utiliza a forma unitária.

Prazo exato: Considera o ano civil. Mês com 28, 29, 30 e 31 dias e ano com 365 e 366 dias.

Prazo comercial: Considera o ano comercial.Mês com 30 dias e ano com 360 dias.

As modalidades de prazo determinaram o juro exato e comercial, respectivamente.

Obs.: Na resolução dos problemas será utilizado o prazo comercial.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES ---

Neste sistema de capitalização somente o principal (capital inicial) rende juros.

Juros Simples

Se n é o numero de períodos, i é a taxa unitária ao período e C é o valor principal, ou capital inicial, então os juros simples são calculados por:

J = C i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por:

J= 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

Obs.:Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituímos i por i/100 e obtemos a fórmula:

J = C i n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 2% ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

Obs.:Se a taxa e o prazo não são compatíveis é necessário realizar a conversão de uma ou de ambas, escolhendo preferencialmente modificar o prazo.

Juros simples. Fórmulas derivadas.

A partir da fórmula de juros simples (J = C.i.n) são desenvolvidas as relações:

Capital: C = J/ i. n Taxa: i = J/ C.n Prazo: n = J/C.i

Compatibilidade dos dados

taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Nas situações onde isto não ocorre deverão ser feitas conversões de unidades.

Taxas equivalentes

Duas ou mais taxas são equivalentes quando, ao serem aplicadas a capitais iguais, por prazos também iguais, produzem juros iguais.

No sistema de capitalização simples a obtenção da taxa equivalente a uma dada taxa é conseguida facilmente, pois as taxas, neste sistema, são proporcionais.

Taxas proporcionais.

Duas ou mais taxas são proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos a uma mesma unidade, formarem uma proporção.

Ex: 3 %ad e 90%am são proporcionais, pois:

Taxa período

3% ---- 1 dia => 3 = 1 90% ---- 30 dias 90 30

Na prática, a obtenção da taxa proporcional é realizada por uma multiplicação ou divisão simples, ou ainda uma regra de três.

Montante em capitalização simples.

O Montante é o capital inicial acrescido dos juros por ele produzido ao final do prazo estabelecido.

Fórmula: O montante é determinado pela soma entre o capital e o juro.

M = C + J => M = C + C.i.n =>

M = C.(1 + i. n)

Montante simples. Fórmulas derivadas.

Da fórmula de montante simples M = C.(1 + i.n) são desenvolvidas as fórmulas:

Capital: C = M Taxa: i = (M/C)

_–

1 Prazo: n = (M/C)

_–

1

(1+ i.n)

n i

Ex: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

Solução:conversão do prazo de dias para ano: 145/360 =0,402778 ano

M =C.(1 + i.n)

M = 70000 (1 + 0,105.0,402778) = R$ 72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

A fim de diminuir os erros de aproximação deve-se trabalhar com seis casas decimais após a virgula.

Fluxo de caixa ou Diagrama do capital no tempo

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para cima enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para baixo. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema, isto é apenas uma convenção.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao mês. O montante gerado em 5 meses será de R$ 6.000,00. A indicação no fluxo de caixa seria.

C= 5.000,00 M = 6.000,00

0 5 Mês

Exercícios

1. Calcular o juro simples que o capital de R$ 14.000,00 rende quanto aplicado a 84% aa, durante 3 meses.

3. Qual o valor do juro corresponde a um empréstimo de R$ 3000,00 feito pelo prazo de 2 meses, à taxa de juro simples de 12% aa?

4. Qual a taxa de juro simples que, aplicada ao capital de R$ 123.000,00,durante 18 meses, produz um montante de R$ 344.400,00?

5. Que capital, aplicado à taxa de juro simples de 60% aa, eleva-se a R$ 110.000,00 em 1 ano, 2 meses e 20 dias?

6. Encontre a taxa mensal simples a que esteve aplicado um capital de R$ 2.000,00, o qual, em 3 meses e 20 dias, elevou-se a R$ 5.000,00.

7. Que taxa mensal de juro simples faz com que um capital triplique de valor em 3 anos e 1 mês?

DESCONTO NO SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Desconto é o abatimento sobre o valor de um título ao qual alguém faz jus por

“comprá-lo” em data anterior a seu vencimento. Indicaremos o desconto por d.

Nas operações envolvendo um título de crédito, destacamos alguns elementos relativos à data de análise do problema.

 Valor nominal, ou valor futuro do título (N): é o valor em uma data posterior à de análise do problema, normalmente esta data posterior é a data de vencimento do título. Indicaremos o valor nominal por N.

 Valor atual, ou valor presente do título(A): é o valor do título na data de análise do problema. Indicaremos o valor atual por A.

Pode ocorrer, no entanto, de um título ter seu valor definido em data anterior à data de análise; neste caso modifica-se a data de análise para a data em que o valor do título foi definido e calcula-se o valor nominal deste título na data em que se deseja.

Ex: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ 20.000,00 que a

“vendeu” a um banco, numa data anterior à de seu vencimento, por R$ 15.000,00, temos:

Valor nominal: N = R$ 20.000,00

Valor atual (na data de resgate): A = R$ 15.000,00 Desconto: d = 20.000 – 15.000 => d = R$ 5.000,00

O exemplo dado ilustra as seguintes relações básicas envolvidas em uma operação de desconto:

d = N

_–

A ou A = N

_–

d ou N = A + d

Na prática, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do título, a

pretexto de “aluguel” do dinheiro antecipado. Quando esse juro é calculado sobre

um único valor do título (nominal ou atual) o desconto é chamado desconto simples.

É claro que o correto é calcular o desconto com base no valor atual, pois sendo o desconto uma espécie de juro e sendo o juro proporcional ao capital envolvido, o desconto deve ser proporcional ao valor atual do título, que representa o valor do capital naquele momento. No entanto, muitas vezes o desconto é cobrada com base no valor nominal, por representar maior rentabilidade para o “comprador do título”.

Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de desconto simples: o racional (calculado sobre A) e o comercial (calculado sobre N), os quais estudaremos a seguir.

Desconto racional simples

Desconto racional simples, também chamado desconto por dentro ou desconto

real, e o desconto simples aplicado sobre o valor atual do título. Indicaremos o desconto racional por d.

Observação: Na prática o desconto racional simples é raramente utilizado nas

operações financeiras.

Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juro simples, em que o capital inicial corresponde ao valo atual do título. Assim, para um título descontado n

períodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa i e com um certo

valor atual A, temos:

d = Ain.

No entanto, na maioria das situações envolvendo descontos, tem-se conhecimento do valor nominal e não do valor atual do título. Por esse motivo, faz-se necessária a dedução de uma relação para o desconto racional, que envolva o valor do título.

Sabemos que: A = N – d

d = Ain => d = (N – d) in => d = Nin – din => d + din = Nin => d(1 + in) = Nin Daí, temos

: d = _N.i.n_

(1 + i.n)

Agora, acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do desconto racional: a relação entre o valor nominal e um dado atual racional.

A = N – d => A = N – Nin => A = N(1 + in) – Nin 1 + in 1 + in

=> A = N + Nin – Nin =>

A = N

N = A . (1 + in)

1 + in

Exercícios:

1. Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 6.462,50, 2 meses antes da data de vencimento. Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é de 60% aa e o critério adotado foi o do desconto racional simples?

2. Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 6.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 40% aa? (Considere o desconto acional simples.)

3. Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes de seu vencimento, foi negociada por R4 53.409,00, à taxa de desconto racional de 84% aa. Qual era o valor nominal desse título?

Desconto comercial simples

Desconto comercial simples, também chamado desconto “por fora”, é o

desconto simples aplicado sobre o valor nominal do título. Indicaremos o desconto comercial por dc.

Observação: O desconto comercial simples é bastante utilizado nas situações

reais.

Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juro simples, em que o capital inicial (C ou A) foi substituído pelo valor nominal do título (N).

Assim, para um título de valor nominal N, descontado n períodos de tempo antes

de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial ic, temos:

d = A. i. n e d

= N.i

n

A relação entre o valor nominal e o valor atual, sob o critério do desconto comercial, pode ser deduzida como se segue:

Ac = N – dc => Ac = N – Nicn =>

A

= N (1

–

i

n)

N =

A .

(1 - i

n)

Em resumo, temos as seguintes relações básicas para o trato do desconto comercial:

dc = Nicn

dc = desconto comercial

ic = taxa de desconto comercial

n = prazo de antecipação do título

Exercícios:

1. Um título com valor nominal de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 30% am. Qual o desconto comercial concedido?

2. Em 2012 resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500,00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de 36% am?

3. Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$ 19.250,00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se a operação deu-se à taxa comercial de 30% aa?

4. Um banco opera no desconto de títulos à taxa comercial simples de 20%

am. O sacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja “vende-la” a esse

banco 7 meses antes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operação?

5. (ESAF) Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$ 600.000,00, recebendo o líquido de R$ 5.16.000,00. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão de 2% sobre o valor do título, que o regime é de juro simples comerciais, sendo a taxa de juros de 96% aa, qual o prazo de desconto da operação?

Equivalência de capitais

Dois ou mais capitais com datas de vencimento diferentes, são ditos equivalentes quando, transportados para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para a qual serão transportados é chamada data focal. No regime de juros simples , a escolha da data focal influencia a resposta do problema.Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de cálculo (racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equivalentes, se transportados para uma certa data, e podem não ser equivalentes, se transportados para uma outra data, mesmo mantendo-se todas as condições do problema.

A fim de transporte de um capital para a data focal escolhida, tem-se dois casos:

1º caso: o capital a ser transportado está localizado em data posterior à data focal.

C

Nesse caso, deve-se encontrar o valor atual do capital na data focal, fazendo uso da fórmula de valor atual racional ou comercial, conforme os dados do problema.

2º caso: o capital está localizado em data anterior à data focal.

x

data focal

Nesse caso, deve-se encontrar o valor futuro do capital na data focal, fazendo uso da fórmula de valor nominal ou futuro racional ou comercial, conforme os dados do problema.

Na prática, os problemas envolvendo equivalência de capitais surgem, principalmente, quando se necessita mudar a data de vencimento de um título.

Exercícios:

1. Verificar se os capitais R$6400,00, com vencimento para 3 meses, e R$ 10 000,00, com vencimento para 7 meses, são ou não equivalentes pelo critério da taxa comercial simples a 10% am, na data focal 5.

2. Desejo substituir um título de R$50 000,00 que vence hoje por outro que vencerá daqui a 3 meses. Para esse tipo de transação, o banco aplica a taxa comercial simples de 20% am e, para os cálculos, adota a data focal 3. Qual o valor do novo título?

3. Uma pessoa trocou um título de R$159 000,00, com vencimento para 45 dias, por outro a ele equivalente, a uma determinada taxa de desconto racional, com vencimento para 10 dias e valor nominal R$121 000,00. Qual o valor dessa taxa racional, considerando-se a data focal zero?

Equivalência entre conjuntos de capitais

Dois (ou mais) conjuntos de capitais são ditos equivalentes quando a soma dos valores capitais de cada conjunto, transportados para uma mesma data, a uma taxa, produzir valores iguais.

Exercícios:

pagar essas quantias nas datas previstas, propõe a seu credor o pagamento total da dívida, em uma só vez, daqui a 90 dias. Qual o valor desse pagamento único, se foi usada para essa transação a taxa simples racional de 15% am e a data focal 90?

2. Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos: o primeiro no valor de R$15.000,00, para pagamento imediato, e o segundo no valor de R$70 000,00, para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco o pagamento total da dívida em uma só vez, em 3 meses. Qual o valor desse pagamento único, se a operação será realizada comercialmente a 84% aa, na data focal 3?

TEXTO: PIB E TAXA DE JUROS.

Prof. Alexandre B. Lopo

O governo parece querer que a segunda década do século XXI seja uma década perdida, ou seja de crescimento lento. O Banco Central (BACEM) mantém a política de juros altos para controle inflacionário (deseja o centro da meta de 4,5%), atualmente a taxa está em 14,25%aa. Apesar da última reunião do Comitê de Política Monetária indicar um viés de queda para a taxa SELIC, a taxa atual mantém o PIB em patamares negativos e inferiores a 2015, isto significa uma recessão econômica.

Com a manutenção dos juros altos, as estimativas para o PIB, que apresentou uma taxa negativa em 2015 reduziram-se ainda mais em 2016. Penso que o BACEM deveria fazer uma queda na taxa SELIC, pois o crescimento econômico foi bastante comprometido pelas altas taxas de juros e pelo déficit fiscal, com previsão de debito de 170 Bilhões de reais. Considerando-se que o Brasil possui uma das maiores taxas de juro real (descontada a inflação) do mundo, sendo que a Comunidade Europeia e os Estados Unidos apresentam taxas próximas a 2%. Trata-se de um remédio amargo para manter a “doença” da inflação sobre controle. E a inflação realmente está sendo controlada apresentando uma redução em 2016.

Para um país em desenvolvimento como o Brasil a recessão atual representa queda na de renda e desemprego em alta. O controle da inflação visando atingir uma meta inflacionária via elevação dos juros desestimula o crédito e gera endividamento, somente os bancos tem ganhado. É bom lembrar que esta taxa influencia decididamente o crescimento econômico do Brasil, dificultando e onerando os investimentos no setor produtivo, e este fato é mais um obstáculo que impede todos os benefícios sociais que poderiam ser gerados pelo desenvolvimento desta grande nação, além de elevar a dívida publica (federação, estados e municípios), pois suas dívidas são reajustadas pela taxa SELIC.

Questões:

1) Indique as conseqüências no PIB da atual taxa de juros SELIC e os desdobramentos na economia nacional?

2) Explique como o governo mantém a inflação sobre controle utilizando-se de altas taxas de juros.