Controle preditivo com restrições aplicado ao rastreamento de trajetória de um robô escalador com rodas magnéticas

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Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial para obtenção do grau de “Mestre em Ciências” – Área de Concentração: Engenharia de Automação e Sistemas.

Orientadora: Profa. Dra. L´ucia Val´eria Ramos de Arruda

Co-orientador: Prof. Dr. Andr´e Schneider de Oliveira

CURITIBA 2018

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

H771c Honda, Mayara Harumi Bueno Imianoski

2018 Controle preditivo com restrições aplicado ao rastreamento de trajetória de um robô escalador com rodas magnéticas / Mayara Harumi Bueno Imianoski Honda.-- 2018.

79 f.: il.; 30 cm.

Disponível também via World Wide Web. Texto em português com resumo em inglês.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial, Curitiba. Área de Concentração:

Engenharia de Automação e Sistemas, 2018. Bibliografia: f. 76-79.

1. Robôs - Sistemas de controle. 2. Robôs móveis. 3. Controle preditivo. 4. Rastreamento automático. 5. Deformações (Mecânica) - Modelos matemáticos. 6. Mínimos quadrados. 7. Gás liquefeito de petróleo - Armazenamento - Inspeção. 8. Métodos de simulação. 9. Engenharia de sistemas. 10. Engenharia elétrica - Dissertações. I. Arruda, Lúcia Valéria Ramos de, orient. II. Oliveira, André Schneider de, coorient. III. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial. IV. Título.

CDD: Ed. 23 -- 621.3

Biblioteca Central do Câmpus Curitiba – UTFPR Bibliotecária: Luiza Aquemi Matsumoto CRB-9/794

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

TERMO DE APROVAÇÃO DE DISSERTAÇÃO Nº 800

A Dissertação de Mestrado intitulada “Controle Preditivo com Restrições Aplicado ao

Rastreamento de Trajetória de um Robô Escalador com Rodas Magnéticas” defendida em

sessão pública pelo(a) candidato(a) Mayara Harumi Bueno Imianoski Honda, no dia 26 de junho de 2018, foi julgada para a obtenção do título de Mestre em Ciências, área de concentração Engenharia de Automação e Sistemas, e aprovada em sua forma final, pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial.

BANCA EXAMINADORA:

Prof(a). Dr(a). Lúcia Valéria Ramos de Arruda - Presidente – (UTFPR) Prof(a). Dr(a). Mariana Santos Matos Cavalca - (UDESC)

Prof(a). Dr(a). Flavio Neves Junior - (UTFPR)

A via original deste documento encontra-se arquivada na Secretaria do Programa, contendo a assinatura da Coordenação após a entrega da versão corrigida do trabalho.

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Agradec¸o a Deus por me dar forc¸as.

Agradec¸o aos meus pais, Cla´udio e Valk´ıria e aos demais familiares e amigos por me apoiarem.

Agradeço aos professores Dra. Lúcia Valéria de Arruda Ramos e Dr. André Schneider de Oliveira pela orientação.

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Este trabalho teve apoio financeiro da Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombust´ıveis - ANP, da Financiadora de Estudos e Projetos - FINEP, do Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovação - MCTI por meio do Programa de Recursos Humanos da ANP para o Setor Petróleo e Gás - PRH-ANP/MCTI do Programa de Formação de Recursos Humanos da PETROBRAS - PRH10-UTFPR e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior - CAPES.

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HONDA, Mayara H. B. I. CONTROLE PREDITIVO COM RESTRIÇ ÕES APLICADO AO RASTREAMENTO DE TRAJET ÓRIA DE UM ROB Ô ESCALADOR COM RODAS MAGN ÉTICAS. 79 f. Dissertação – Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2018.

Neste trabalho é apresentado um controle de rastreamento de trajetória para um robô escalador com rodas sob adesão magnética, cuja função é carregar equipamentos que realizam a inspeção de tanques de armazenamento de GLP (Gás Liquefeito de Petróleo). O robô possui acionamento diferencial e, devido a adesão magnética, ao realizar curvas fechadas, sofre deformação da estrutura f´ısica do chassis. Isto ocorre porque as rodas tem grande dificuldade em se desgrudar da superf´ıcie metálica durante a realização da manobra. O objetivo desta dissertação é desenvolver um sistema de controle que, a partir da modelagem das forças que atuam sobre o chassis, seja capaz de solucionar o problema de rastreamento de trajetória sem que ocorra a deformação do chassis. Este é um problema de controle multivariável com restrição e a técnica de controle utilizada no desenvolvimento é o controle preditivo baseado em modelo MPC (Model Predictive Control), mais especificamente o GPC (Generalized Preditive Control). Para isto um modelo dinâmico do tipo caixa preta do robô foi identificado via m´ınimos quadrados a partir de dados simulados. Para fins de validação do controlador desenvolvido foram realizadas simulações variando os parâmetros do controlador e comparados os resultados obtidos sem e com a inclusão de restrições. Também foram utilizados controladores monovariáveis do tipo PI em um esquema de controle com desacoplamento a fim de servir como referência para avaliar o desempenho do controlador proposto. Todos os resultados foram validados através de simulações utilizando as plataformas ROS (Robotic Operating System), V-REP (Virtual Robot Experimentation Platform) e MATLAB.

Palavras-chave: Robô escalador, controle com restrições, controle de trajetória, modelo de deformação

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HONDA, Mayara H. B. I. CONSTRAINED PREDICTIVE CONTROL APPLIED TO TRAJECTORY TRACKING OF CLIMBING ROBOT WITH MAGNETIC WHEELS. 79 f. Dissertação – Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica e Informática Industrial, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2018.

In this work, a trajectory tracking control is presented for a climbing wheeled robot under magnetic adhesion, whose function is to carry equipment that perform the inspection of LGP (Liquefied Gas Petroleum) storage tanks. The robot has differential drive and, due to the magnetic adhesion, when performing closed curves, deforms the physical structure of the chassis. This is due to wheels have great difficulty in detaching themselves from the metal surface during the maneuver. The dissertation purpose is to develop a control system that, based on the modeling forces that act on chassis, is capable of solving the trajectory tracking problem without chassis deformation. This is a constrained multivariable control problem and the control technique used to development is the MPC (Model Predicitive Control), more specifically GPC (Generalized Predictive Control). A black box robot model is identified by least squares from simulated data. For developed controller validation, several simulations experiments are carried out by varying the parameters of the controller and comparing obtained results without and with the inclusion of constraints. Monovariable PI controllers are designed in a decoupling control scheme to serve as a reference for evaluate the performance of the proposed controller. All the results are validated through simulations using the ROS (Robot Operating System), V-REP (Virtual Robot Experimentation Platform) and MATLAB softwares.

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FIGURA 1 Exemplo de robˆo com rodas - Robˆo AIR-2 . . . 16 –

FIGURA 2 Exemplo de robô com pernas e braços - Robô ASIMO . . . 17 –

FIGURA 3 Manobra para estacionar um robô móvel holonômico. . . 18 –

FIGURA 4 Manobra para estacionar um robô móvel com restrições não-holonômicas 19 –

FIGURA 5 Deformação do chassis do robô ao tentar fazer curvas acentuadas. . . 20 –

FIGURA 6 Esquema de controle de robˆos m´oveis . . . 22 –

FIGURA 7 Estabilização de posição . . . 23 –

FIGURA 8 Seguimento de caminho . . . 23 –

FIGURA 9 Rastreamento de trajet´oria . . . 24 –

FIGURA 10 Exemplo de trajet´oria realizada com movimentos suaves . . . 24 –

FIGURA 11 Exemplo de trajet´oria realizada com movimentos bruscos . . . 25 –

FIGURA 12 Robô de inspeção da USP . . . 33 –

FIGURA 13 Robô Autônomo de Inspeção AIR-1 . . . 33 –

FIGURA 14 Sistemas de coordenadas com a mesma orientac¸˜ao . . . 34 –

FIGURA 15 UV deslocado em relac¸˜ao a XY . . . 36 –

FIGURA 16 Posição e orientação do robô no sistema de coordenadas global. . . 37 –

FIGURA 17 Sistema de coordenadas global e local . . . 39 –

FIGURA 18 Restric¸˜ao de rolamento puro. . . 40 –

FIGURA 19 Fluxograma do GPC MIMO. . . 49 –

FIGURA 20 Compress˜ao no chassis do robˆo. . . 55 –

FIGURA 21 Esquem´atico do controle de rastreamento de trajet´oria. . . 55 –

FIGURA 22 Ambiente de simulação do robô. . . 59 –

FIGURA 23 Sa´ıda dS_dt e sinal de controle υ variando os horizontes de predic¸˜ao N2dS dt , N2dθ

dt e N2Fm. . . 60 –

FIGURA 24 Sa´ıda dθ_dt e sinal de controle ω variando os horizontes de predic¸˜ao N2dS dt, N2dθ

dt e N2Fm. . . 60 –

FIGURA 25 Sa´ıda dS_dt e sinal de controle υ variando os horizontes de controle Nυ e Nω. 61

–

FIGURA 26 Sa´ıdadθ_dt e sinal de controle ω variando os horizontes de controle N_υe N_ω. 62 –

FIGURA 27 Sa´ıda dS_dt e sinal de controle υ variando a matriz de ponderac¸˜ao R(RdS

dt, R dθ

dt , RFm). . . 63 –

FIGURA 28 Sa´ıda dθ_dt e sinal de controle ω variando a matriz de ponderac¸˜ao R(RdS dt , Rdθ dt , RFm). . . 63 –

FIGURA 29 Sa´ıda dS_dt e sinal de controle υ variando a matriz de ponderac¸˜ao Q(Qυ, Qω). 64

–

FIGURA 30 Sa´ıdadθ_dt e sinal de controle ω variando a matriz de ponderac¸˜ao Q(Qυ, Qω). 64

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FIGURA 31 Sa´ıda dS_dt e entrada υ. . . 66 –

FIGURA 32 Sa´ıda dθ_dt e entrada ω. . . 66 –

FIGURA 33 Sa´ıda Fme entrada ω. . . 67

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FIGURA 34 Sa´ıda dS_dt e entrada υ sob a restric¸˜ao da sa´ıda Fm. . . 68

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FIGURA 38 Sa´ıda dS_dt e entrada υ - Comparac¸˜ao entre PI e GPC. . . 70 –

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GLP G´as Liquefeito de Petr´oleo MPC Model Predictive Control GPC Generalized Preditive Control ROS Robotic Operating System

V-REP Virtual Robot Experimentation Platform PI Proporcional - Integral

MIMO Multiple Input Multiple Output AIR-1 Autonomous Inspection Robot - 1 MPC Model Predictive Control

PID Proporcional Integral Derivativo GPC Generalized Predictive Control

LQMPC Linear Quadratic Model Predictive Control MPC Model Predictive Control

EPSAC Extended Prediction Self Adaptive Control FAILC Fuzzy Adaptive Iterative Learning Control FOPI Fractional-Order Proportional Integral ARX Autoregressive with Exogenous Inputs

CARIMA Controlled Auto-Regressive and Integrated Moving Average V-REP Virtual Robot Experimentation Platform

ROS Robot Operating System MSE Mean Squared Error

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x₀ Posição inicial do robô no eixo XG

y₀ Posição inicial do robô no eixo YG

θ0 Orientação inicial do robô com relação ao eixo XG

v_D Velocidade da roda direita do robˆo vE Velocidade da roda esquerda do robˆo

xf Posição final do robô no eixo XG

y_f Posição final do robô no eixo YG

θf Orientação final do robô com relação ao eixo XG

ξG(t) Posição e orientação do robô na referência global no instante t

x(t) Posição do robô no eixo XGno instante t

y(t) Posição do robô no eixo YGno instante t

θ (t) Orientação do robô com relação ao eixo XGno instante t

R(θ ) Matriz de rotac¸˜ao

ξR Posição e orientação do robô na referência local

˙

φi Velocidade da roda wi

φi Posic¸˜ao da roda wi

i Representac¸˜ao da roda wi

υ Velocidade linear do robô na referência local, variável manipulada, entrada

r Raio da roda

ω Velocidade angular do robô na referência local, variável manipulada, entrada di Vetor de distância entre o centro da roda i e a referência do robô

k . k Norma euclideana de um vetor 2L Largura do chassis do robˆo

˙

x Velocidade linear do robˆo na referˆencia global ao longo do eixo XG

˙

y Velocidade linear do robˆo na referˆencia global ao longo do eixo YG

˙

θ Velocidade angular do robô na referência global υi Velocidade da roda i relacionada a referência global

υR Velocidade linear do robˆo na referˆencia global

ωR Velocidade angular do robˆo na referˆencia global

× Produto vetorial

Λ Matriz de restrições cinemáticas ˙

q Vetor de velocidades linear e angular do robˆo e velocidade das rodas

dS

dt Deslocamento linear por tempo, vari´avel controlada, sa´ıda dθ

dt Deslocamento angular por tempo, vari´avel controlada, sa´ıda

F_m Forc¸a que age sobre o chassis, vari´avel controlada, sa´ıda gdS

dtυ Função de transferência da sa´ıda

dS

dt e a entrada υ

gdS

dtω Função de transferência da sa´ıda

dS

dt e a entrada ω

gdθ

dtω Função de transferência da sa´ıda

dθ

dt e a entrada ω

gdθ

dθ

dt e a entrada υ

g_F_m_ω Função de transferência da sa´ıda Fme a entrada ω

gdθ

dθ

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dt dt N2Fm Horizonte de predic¸˜ao da sa´ıda Fm Nυ Horizonte de controle da entrada υ

N_ω Horizonte de controle da entrada ω

R Matriz de ponderação das variáveis de sa´ıda Q Matriz de ponderação das variáveis de entrada

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1 INTRODUÇ ÃO . . . 15 1.1 MOTIVAÇ ÃO . . . 17 1.2 OBJETIVOS . . . 20 1.2.1 Objetivo Geral . . . 20 1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 20 1.3 ORGANIZAÇ ÃO DA DISSERTAÇ ÃO . . . 21

2 CONTROLE EM ROB ˆOS M ´OVEIS ESCALADORES . . . 22

2.1 TRABALHOS RELACIONADOS . . . 25

2.1.1 Controle Preditivo em rob´otica m´ovel . . . 27

2.2 CONTROLE DE VELOCIDADE . . . 29

2.3 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS . . . 30

3 METODOLOGIA . . . 32

3.1 AIR-1 . . . 32

3.2 MATRIZ DE ROTAC¸ ˜AO . . . 34

3.3 MODELO CINEM ´ATICO . . . 36

3.4 IDENTIFICAÇ ÃO DO MODELO DIN ÂMICO . . . 42

3.5 CONTROLE . . . 44

3.5.1 GPC . . . 44

3.5.2 Restric¸˜oes . . . 49

3.5.2.1 Restrições sobre a variação da ação de controle . . . 50

3.5.2.2 Restrições sobre a excursão da ação de controle . . . 51

3.5.2.3 Restrições sobre a excursão do sinal de sa´ıda . . . 52

3.5.3 Programação quadrática . . . 52

4 ESTRAT ´EGIA DE CONTROLE PROPOSTA PARA RASTREAMENTO DE TRAJET ´ORIA . . . 54

5 RESULTADOS E DISCUSS ˜AO . . . 58

5.1 VARIAÇ ÃO DOS PAR ÂMETROS DE SINTONIA DO GPC . . . 59

5.2 GPC COM RESTRIC¸ ˜OES . . . 67

5.3 COMPARAC¸ ˜AO DO GPC COM PI . . . 69

6 CONCLUS ˜AO . . . 73

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Inicialmente a robótica estava principalmente focada nos robôs manipuladores devido ao fato destes serem maioria na indústria. No entanto, a crescente utilização de robôs móveis nas mais diversas atividades, como exploração de ambientes inóspitos, detonação e desmontagem de bombas e até em tarefas domésticas, tem motivado o desenvolvimento de novos métodos para modelagem, projeto e controle de sistemas móveis (OLIVEIRA, 2001)(RAFFO et al., 2005).

A evolução de projetos mecânicos e de técnicas de controle alavancou o desenvolvimento de robôs móveis que podem ser classificados quanto a sua autonomia, a estrutura e a funcionalidade (JUNG et al., 2005).

A autonomia dos robôs está diretamente relacionada com a solução do problema da navegação, que pode ser resumido da seguinte maneira: partindo de um ponto inicial, o robô deve ser capaz de alcançar um ponto desejado de destino (BATISTA, 2008). Para que este problema seja resolvido, são necessários alguns itens (BORENSTEIN et al., 1996):

• Mapas: Ter um mapa que represente o ambiente, podendo este ser fornecido ”a priori”ou gerado durante a navegac¸˜ao.

• Planejamento: Com base nos mapas, definir uma trajet´oria entre o ponto inicial e ponto final.

• Sistemas de Controle: Rastrear a trajetória previamente definida transformando o caminho em comandos de movimento e analisando a sua execução.

• Localização: Estimação global da posição e orientação do robô em relação ao ambiente. A maioria dos robôs utiliza sistemas odométricos para estimar a posição do robô, no entanto, alguns fatores como o escorregamento das rodas, faz com que erros se acumulem ao longo do trajeto. Os erros de posição fazem com que o robô finalize a trajetória em um ponto do espaço diferente do ponto final previamente estabelecido. Devido a isto é

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comum utilizar sistemas de localizac¸˜ao auxiliares que servem para corrigir os erros de odometria.

• Percepção: Sensores que identifiquem caracter´ısticas no ambiente ao redor do robô, estes também auxiliam o sistema de localização.

Quanto à autonomia, os robôs podem ser divididos em três grupos: guiados (dependentes de informações externas), semi-autônomo (são controlados remotamente, no entanto possuem certo grau de autonomia) ou totalmente autônomo (não há intervenção humana) (JUNG et al., 2005).

Quanto à estrutura, basicamente há quatro meios de locomoção nos robôs móveis: com rodas (Figura 1), com esteiras, por pernas (Figura 2) e por propulsão1(no ar, na água)(JUNG et al., 2005).

Figura 1: Exemplo de robˆo com rodas - Robˆo AIR-2 Fonte: (SANTOS, 2016)

Nos robôs dotados de rodas, objeto de estudo desta dissertação, os tipos de rodas (convencionais fixas, convencionais orientáveis centradas, convencionais orientáveis não centradas, suecas) e a disposição das mesmas influenciam no movimento do robô (OLIVEIRA, 2001).

Quanto à funcionalidade, os robôs móveis podem ser utilizados em diversas aplicações como: transporte de materiais pesados, em sistemas de vigilância, exploração espacial (cavernas e vulcões), navegação em estradas, atividades agr´ıcolas e inspeção de grandes superf´ıcies (navios, pontes, tanques de armazenamento) (MARCHI et al., 2001).

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Figura 2: Exemplo de robô com pernas e braços - Robô ASIMO Fonte: (SAKAGAMI et al., 2002)

1.1 MOTIVAC¸ ˜AO

No decorrer dos últimos 20 anos, surgiram várias pesquisas com o intuito de aprimorar o desenvolvimento de sistemas robóticos móveis capazes de se mover em superf´ıcies verticais. Um dos motivos de interesse nesta área de robôs escaladores é o aumento de segurança e a economia proporcionada. Porém, a indústria foi relutante em adotar o uso deste tipo de robô devido à falta de confiabilidade, restrições quanto aos movimentos e à falta de pessoal qualificado para operá-los. No entanto, a indústria nuclear adotou esta tecnologia antes devido ao risco em que os trabalhores eram expostos (WHITE et al., 2005).

A classificação dos robôs escaladores pode ser feita de acordo com a sua superf´ıcie de adesão (magnética, guiado por trilhos, de sucção) e também através dos seus mecanismos de locomoção (pernas, rodas, guiado por cabos). O tipo guiado por rodas pode se mover em alta velocidade, além de possuir estrutura simples e sistema de controle de fácil implementação (XU; LIU, 2017).

Os robôs escaladores são usados em diversas aplicações para aumentar a eficiência operacional e evitar o trabalho humano em ambientes externos como edif´ıcios, pontes e barragens (XU; LIU, 2017). Dentre as várias atividades desempenhadas pelos robôs escaladores está a inspeção de tanques de armazenamento de Gás Liquefeito de Petróleo. Os tanques precisam de inspeções regulares, tanto na parte interna quanto na parte externa, para identificar falhas, como fendas, corrosões e defeitos de soldagem, evitando assim poss´ıveis transtornos. O controle de rastreamento de trajetória faz com que a inspeção seja realizada eficientemente,

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garantindo que toda a superf´ıcie do tanque seja inspecionada pelo equipamento instalado no robˆo, executando movimentos precisos e suaves (SANTOS, 2016).

A maioria dos trabalhos desenvolvidos com a finalidade de solucionar o problema de rastreamento de trajetória de robôs móveis, como exemplo pode-se citar (BORGES et al., 2003) e (MOUSAVI, 2015), apenas considera o modelo cinemático do robô. No entanto, para se ter um bom desempenho no rastreamento de trajetória em altas velocidades, ambientes irregulares e com forças externas agindo sobre o ve´ıculo é necessário levar em conta as caracter´ısticas dinâmicas do robô (BOYDEN; VELINSKY, 1994).

O modelo cinemático de um robô escalador móvel dotado de rodas é definido como um sistema não-holonômico, ou seja, o modelo possui restrições não integráveis, como as oriundas do não deslizamento lateral das rodas. Para exemplificar, nas Figuras 3 e 4 o robô móvel tem como objetivo estacionar no canto inferior da figura, logo após o desn´ıvel, partindo da mesma posição inicial. O robô da Figura 3 é holonômico e para estacionar anda para frente e em seguida se movimenta lateralmente. Já o robô da Figura 4 é não-holonômico e, por possuir restrições de não deslizamento lateral, precisa fazer movimentos suaves de curvatura para frente e para trás a fim de chegar no lugar desejado.

Figura 3: Manobra para estacionar um robô móvel holonômico. Fonte: (GUERRA, 2005)

Robôs com essas caracter´ısticas não-holonômicas não podem rotacionar em torno do seu centro de massa. Devido a isto, a dimensão do espaço de velocidades é menor que a dimensão do espaço de configuração do robô (K ÜHNE, 2005).

O modelo dinâmico do robô depende de parâmetros espec´ıficos como os momentos de inércia e massas do robô e das rodas. Quando estas caracter´ısticas não são levadas em conta, o robô pode não se comportar como o esperado. Devido a isto, a modelagem que considera aspectos tanto da dinâmica quanto da cinemática do robô tendem a se aproximar do comportamento do robô real, tornando o controle mais preciso (VIEIRA, 2005).

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Figura 4: Manobra para estacionar um robô móvel com restrições não-holonômicas Fonte: (GUERRA, 2005)

Para o rastreamento de trajetória, além da modelagem, é importante analisar as condições nas quais o robô irá operar. Na literatura é comum encontrar trabalhos que visam solucionar este problema utilizando técnicas de controle clássico, tais como o PI (Proporcional -Integral), onde não se considera que os valores calculados irão atingir os limites de saturação dos atuadores, isto é, a lei de controle é modelada como um problema sem restrições. No entanto, os robôs móveis são constitu´ıdos por partes mecânicas e eletrônicas, que são suscet´ıveis às limitações f´ısicas do sistema. Estas limitações devem ser consideradas restrições nos modelos para fins de cálculo das leis de controle (K ÜHNE, 2005).

Uma das estratégias de controle que podem incorporar restrições, como a saturação dos atuadores, é o controle preditivo baseado em modelo, o qual calcula as ações de controle para um determinado horizonte de tempo futuro, minimizando uma função custo com relação a determinadas variáveis de decisão. Esta estratégia é caracterizada pela utilização do modelo matemático do sistema no cálculo da predição do comportamento futuro das variáveis que fazem parte da dinâmica do mesmo (CAMACHO; BORDONS, 1999).

Outra vantagem do controle preditivo baseado em modelo é a utilização de referências previamente calculadas na obtenção da lei de controle. Assegurando que o robô possua um sistema de localização e deslocamento adequado, é poss´ıvel conduzir o robô móvel suavemente, assim como melhorar a autonomia. Além disso, este tipo de controle pode ser estendido para sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) (RAFFO et al., 2005).

Neste contexto, o presente trabalho visa projetar um controle de rastreamento de trajetória para um robô móvel escalador com acionamento diferencial sob adesão magnética, o AIR-1(Autonomous Inspection Robot - 1) (mais detalhes na Seção 3.1). Este robô possui restrição de não deslizamento lateral e, por ter um forte sistema de adesão magnética, sofre

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deformações no chassis ao tentar realizar curvas acentuadas, já que os sinais, de grande amplitude, enviados aos atuadores forçam o movimento das rodas que, em contrapartida, tem grande dificuldade em se desgrudar da superf´ıcie metálica.

Na Figura 5 está exemplificado a situação em que o robô, iniciando na posição e orientação [ x0 y0 θ0] , sujeito as velocidades das rodas, vDe vE, por um determinado tempo,

chega em [ xf yf θf ] e, no decorrer do trajeto, o chassis sofre compress˜ao e consequentemente

há uma deformação em sua estrutura.

Figura 5: Deformação do chassis do robô ao tentar fazer curvas acentuadas. Fonte: Próprio autor

Para evitar esta deformação do chassis serão inseridas restrições no cálculo dos sinais de controle que movimentam o robô.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 OBJETIVO GERAL

O objetivo desta dissertação é elaborar um controle de rastreamento de trajetória para um robô móvel escalador de adesão magnética com a inclusão de restrições a fim de evitar a deformação estrutural do chassis em movimento angulares.

1.2.2 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

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• Realizar um levantamento bibliográfico das principais técnicas de controle aplicadas em robôs móveis.

• Desenvolver a análise cinemática de um robô móvel diferencial de duas rodas para compreender seu movimento.

• Identificar um modelo matemático que represente o comportamento do robô durante o rastreamento de uma trajetória.

• Projetar e desenvolver uma estratégia de controle preditivo baseado em modelo para o rastreamento de trajetória que considere os limites f´ısicos e as incertezas da modelagem do robô.

• Realizar experimentos em ambiente virtual e promover a discuss˜ao dos resultados alcanc¸ados.

1.3 ORGANIZAÇ ÃO DA DISSERTAÇ ÃO

No Cap´ıtulo 2 é apresentado um breve resumo sobre o controle de robôs móveis, ressaltando os três principais tipos de controle que solucionam os problemas de trajetória. Também são apresentados alguns trabalhos relacionados ao tema da presente dissertação. No Cap´ıtulo 3 é descrito o robô AIR-1 utilizado no trabalho, assim como a sua modelagem. No Cap´ıtulo 4 é apresentada a estratégia de controle preditivo desenvolvida para solucionar o problema de rastreamento de trajetória. No Cap´ıtulo 5 são discutidos os resultados das simulações e no Cap´ıtulo 6 as conclusões obtidas e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas.

(25)

2 CONTROLE EM ROB ˆOS M ´OVEIS ESCALADORES

O controle de robôs móveis pode ser exemplificado pelo esquemático mostrado na Figura 6. Os sensores fornecem a odometria para a localização do robô e mapeamento do ambiente. Com o mapa, é poss´ıvel identificar obstáculos e fazer o planejamento da trajetória a ser percorrida. A partir disto, o controle de movimento irá enviar comandos aos atuadores que movem o robô para que a trajetória planejada seja seguida. Este ciclo é executado continuamente durante o rastreamento de trajetória. Em cada execução os dados obtidos através dos sensores são atualizados e o controle de movimento é ajustado.

Figura 6: Esquema de controle de robˆos m´oveis Fonte: Adaptado de (SIEGWART et al., 2011)

O controle de movimento pode ser desenvolvido de acordo com trˆes metodologias (SERRALHEIRO, 2015):

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• Estabilização de posição: Considerando o robô no ponto R, que tem como coordenadas de posição o vetor ξO = [x, y]T ∈ FO. O controle deve estabilizá-lo na posição de

referência ξre f = [xre f, yre f]T ∈FO não importando o caminho feito, como é mostrado

na Figura 7. Um exemplo explicativo ´e um carro manobrando para estacionar em uma vaga de garagem.

Figura 7: Estabilização de posição Fonte: Adaptado de (SERRALHEIRO, 2015)

• Seguimento de caminho: Considerando o robˆo no ponto R, este deve seguir a curvaC ∈ FO com um valor fixo de velocidade vO6= 0. A distˆancia d, entre o ponto R e o ponto

M mais perto deC , deve ser zerada a fim de que o robô atinja e possa seguir o caminho desejado, como é mostrado na Figura 8. Um exemplo prático seria dirigir mantendo a distância entre o automóvel e o acostamento constante.

Figura 8: Seguimento de caminho Fonte: Adaptado de (SERRALHEIRO, 2015)

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• Rastreamento de trajetória: Neste caso a velocidade do robô é variante no tempo. O rastreamento da curvaC é feito com a velocidade do caminho parametrizado pelo tempo t. Definindo a trajetória t → (xre f(t), yre f(t)) ∈FO, o objetivo é zerar o vetor de erro

linear de posic¸˜ao e(t) = (xre f(t) − x(t), yre f(t) − y(t)). Como pode ser visto na Figura 9.

Figura 9: Rastreamento de trajet´oria Fonte: Adaptado de (SERRALHEIRO, 2015)

Sabe-se que a função do robô AIR-1 é inspecionar tanques de armazenamento esféricos. A inspeção deve ser realizada através movimentos suaves (ver Figura 10) devido às limitações apresentadas na Seção 1.1. Movimentos bruscos (ver Figura 11), ou seja, realização de curvas com ângulos entre 45◦e 90◦, tendem a deformar o chassis. Para induzir o robô a fazer curvaturas suaves é feito o controle de rastreamento de trajetória.

Figura 10: Exemplo de trajet´oria realizada com movimentos suaves Fonte: (ESPINOZA, 2014)

(28)

Figura 11: Exemplo de trajet´oria realizada com movimentos bruscos Fonte: (MINEO et al., 2016)

Na Seção a seguir serão apresentados alguns trabalhos relativos a técnicas de controle que solucionam este tipo de controle de movimento, cada uma com seus requisitos e objetivos.

2.1 TRABALHOS RELACIONADOS

Em grande parte dos trabalhos encontrados na literatura, a lei de controle é calculada a partir do erro entre uma trajetória de referência e a variável controlada realimentada (BATISTA et al., 2013). Alguns exemplos dessas estratégias de controle podem ser vistas a seguir.

Em (BORGES et al., 2003) são apresentados três tipos de controle de trajetória baseados apenas no modelo cinemático para um robô de quatro rodas (sendo duas traseiras fixas e duas dianteiras livres): proporcional, não-linear e fuzzy. Foram realizadas três simulações, nas quais foram inclu´ıdos o modelo dinâmico de primeira ordem, um controle adaptativo de velocidade, saturações de atuadores e ru´ıdos na estimação de erro de trajetória. Na primeira simulação, definiu-se um erro linear e observou-se que os controladores proporcional e não-linear tiveram vantagem em relação ao fuzzy, visto que a correção de trajetória foi realizada de forma suave e seus parâmetros de controle podem ser calculados analiticamente. Na segunda simulação foi reduzido o erro linear esperado, o que aumentou o ganho dos controladores proporcional e não-linear provocando uma saturação frequente dos atuadores. Também foi inserido um termo integral na lei de controle dos três controladores e a partir dos resultados foi observado que o controlador fuzzy gerou um erro linear menor que o proporcional e o não-linear. Na terceira simulação foi fixado o ângulo em que o robô se dirige na direção da trajetória de referência. Nessa simulação o controlador fuzzy apresentou resultados melhores

(29)

que os outros dois. Com as simulações, os autores concluiram que não foi poss´ıvel determinar qual dos controladores é melhor para se aplicar em sistemas reais.

Em (SHOJAEI et al., 2011) é desenvolvido um controlador adaptativo de rastreamento de trajetória. Um diferencial deste trabalho é que as incertezas paramétricas relativas às dinâmicas dos atuadores e dos modelos cinemático e dinâmico são canceladas por uma lei de controle adaptativa baseada na técnica de linearização via realimentação entrada-sa´ıda.

Em (MOUSAVI, 2015) é apresentado uma estrutura de controle composta por dois controladores fuzzy para rastreamento de trajetória, baseado apenas no modelo cinemático do robô móvel. São calculados a distância e o ângulo entre a posição atual do robô e a referência. Estes valores são utilizados, separadamente, em dois controladores fuzzy independentes que têm como sa´ıda as velocidades lineares e angulares, respectivamente. Para fins comparativos, esta estratégia de controle é comparada com um controlador MPC (Model Predictive Control), onde foi observado que o controle fuzzy obteve resultados melhores, em ambiente de simulação, sendo o controlador menos complexo (menos tempo para calcular as entradas de controle) e menos ruidoso.

Em (BORGES et al., 2003), (SHOJAEI et al., 2011), (MOUSAVI, 2015), a referência futura não é considerada, fazendo com que o robô demore para atingir os valores de referência estabelecidos afetando, assim, o desempenho do sistema. Outro ponto importante é que, em alguns casos, os sinais de controle são saturados devido a falta de informações do sistema fornecidas a priori que estão dispon´ıveis, mas não são usadas no cálculo da lei de controle.

Em (SERRALHEIRO, 2015) é apresentada uma estratégia de controle cinemático e dinâmico para rastreamento de trajetória. Para o controle da cinemática é utilizada uma adaptação da abordagem “Siga a Cenoura” (RANKIN, 1997) onde são calculados o erro de posição e o erro de orientação entre o robô e o “ponto cenoura”, este sendo a referência. Esses erros são usados na lei de controle que é composta por uma matriz de ganhos, velocidades lineares de referência e por funções não-lineares da metodologia de linearização por realimentação2. Já para o controle dinâmico (modelo não-linear) é usado um algoritmo PID. Nos resultados das simulações pode-se notar que tanto o erro linear quanto o erro de orientação não convergem para zero.

No entanto, nesses tipos de abordagens não é levado em conta a trajetória de referência futura, que normalmente é fornecida a priori. Uma técnica que se beneficia desta informaçãao é o controle preditivo.

2_{A metodologia de linearização por realimentação consiste em transformar algebricamente uma dinâmica}

(30)

2.1.1 CONTROLE PREDITIVO EM ROB ´OTICA M ´OVEL

O controle preditivo baseado em modelo pode ser vantajoso em relação às leis clássicas: mudanças nos parâmetros de ajuste são fáceis de serem realizadas, trata de casos multivariáveis (sistemas MIMO), o controlador pode ser linear, há possibilidade de incluir restrições de maneira simples e internamente tem compensação para zona morta (CAMACHO; BORDONS, 1999). Este tipo de controle tem sido aplicado com sucesso tanto no meio acadêmico, por exemplo, na solução do problema de rastreamento de trajetória, quanto na indústria de controle de processos (BATISTA et al., 2013). Além do controle de rastreamento de trajetória, esta estratégia pode ser usada em outros tipos de controle em robôs móveis, como pode ser visto a seguir.

Em (HUYNH et al., 2017) é mostrado um controle de orientação, onde são comparadas três estratégias de controle: PID (Proporcional Integral Derivativo)3, GPC (Generalized Predictive Control) e LQMPC (Linear Quadratic Model Predictive Control)4. Somente foi utilizado o modelo dinâmico do robô, ou seja, controle da velocidade angular das rodas a partir da tensão aplicada ao motor como entrada. O controlador PID foi escolhido como referência, a fim de comparar com as duas estratégias preditivas. O ajuste dos parâmetros do LQMPC foi feito para que este método obtivesse a mesma sa´ıda que o GPC. Nas estratégias preditivas foram inclu´ıdas restrições quanto à tensão aplicada ao motor. Foi observado que os controladores preditivos permitiram uma redução de até 70% de consumo de energia. Além disso, se fosse utilizado uma estratégia MIMO, o desempenho dos controladores GPC e LQMPC poderia ser melhor, visto que ao levar em conta o acoplamento das rodas, o robô reagiria melhor às perturbações.

Voltando ao problema de rastreamento de trajet´oria, abaixo s˜ao mostrados alguns trabalhos que utilizam o controle preditivo baseado em modelo para este fim.

Em (RAFFO et al., 2005) é feito o controle de posição e orientação de um ve´ıculo Mini-Baja que possui 4 rodas (as traseiras são alinhadas com o ve´ıculo e as dianteiras são guiáveis). Para o controle da cinemática é avaliado o custo computacional de duas estratégias de controle para seguimento de trajetória. A primeira utiliza o MPC (Model Predictive Control)

3_{A lei de controle do PID leva em consideração o erro entre a sa´ıda e sua referência, um ganho proporcional,}

os termos integral e derivativo, que s˜ao calculados a partir das constantes de tempo integral e derivativo, respectivamente, e do per´ıodo de amostragem.

4_{O LQMPC aplica a teoria de controle ótimo através de um regulador quadrático linear (LQR) em conjunto}

(31)

com o modelo cinemático do erro, onde são feitas linearizações sucessivas ao longo da trajetória de referência. A segunda utiliza o GPC MIMO com o modelo cinemático linearizado em coordenadas locais, onde é utilizada a trajetória de aproximação5 Pure-Pursuit6. São feitas simulações com uma estrutura de controle em cascata: o controle da cinemática (GPC MIMO com o modelo cinemático linearizado em coordenadas locais) e o da dinâmica é dividido em duas partes (dinâmica de direção da roda dianteira e de velocidade angular do ve´ıculo e dinâmica da velocidade linear do ve´ıculo) e em ambas são aplicadas o controle GPC. Nas simulações o ve´ıculo seguiu as trajetórias de maneira satisfatória. No entanto, ao ser submetido a velocidades mais altas, as forças laterais começam a afetar a dinâmica, isto ocorre porque o modelo dinâmico é linearizado. Já no resultados experimentais, foi considerado apenas o controle da cinemática. Porém foi utilizada uma malha de controle de velocidade para mantê-la sobre o valor de referência. O ve´ıculo apresentou bom desempenho em velocidades baixas.

Em (KLAN ˇCAR; ˇSKRJANC, 2007) é utilizado um controlador preditivo baseado em modelo, onde o erro de rastreamento de trajetória linearizado é usado para prever o comportamento futuro do sistema, a função custo penaliza o erro de rastreamento e o esforço de controle, além disso são incluidas restrições de velocidade e aceleração. Somente foi levado em conta o modelo cinemático do robô. Ao se comparar o controlador preditivo com um controlador por realimentação de estado variante no tempo, notou-se que o primeiro controlador apresentou melhores resultados, visto que é levado em conta valores futuros de referência.

Em (MA et al., 2012) é apresentado um controlador preditivo baseado na modelagem não-linear para rastreamento e estabilização de robôs móveis não holonômicos. Porém, esta abordagem tem um alto custo computacional devido ao modelo não-linear e há uma grande dificuldade de implementação em tempo real embarcado.

Em (BATISTA et al., 2013) é utilizado o modelo cinemático não-linear do robô móvel na estratégia EPSAC (Extended Prediction Self Adaptive Control)7. Para analisar o custo computacional e a eficiência do algoritmo, este controle é comparado com o MPC-LS (MPC linear baseado num modelo de linearizações sucessivas). Ambas as técnicas incluem restrições nas variáveis de controle (no caso, as velocidades lineares e angulares são limitadas). Nos resultados apresentados é poss´ıvel concluir que as duas técnicas solucionam o problema de rastreamento de trajetória, no entanto o EPSAC tem melhor desempenho, o projeto é mais simples e possui menor custo computacional. O controle desenvolvido foi aplicado em um robô

5_{Quando o ve´ıculo não se encontra sobre a referência, deseja-se aproximá-lo desta, para isso se utilizam}

trajetórias de aproximação.

6_Pure-Pursuit _{é uma algoritmo que calcula a curvatura na qual o ve´ıculo se moverá da posição atual até sua}

(32)

com duas rodas com tração e outras duas só para apoio.

Em (SHARMA et al., 2016) é desenvolvido um controlador preditivo para um robô móvel com acionamento diferencial. Os modelos cinemático e dinâmico, incluindo dinâmicas do chassis e do motor, originam um modelo linear em espaço de estados. São inclu´ıdas restrições nas ações de controle (tensões aplicadas aos motores) e no vetor de sa´ıda.

Até agora foram mostrados trabalhos onde o rastreamento de trajetória é feito baseado em dados relativos à posição e à orientação do trajeto a ser seguido e do robô. No entanto, este problema pode ser resolvido de outras maneiras, um exemplo disto é através do controle de velocidade.

2.2 CONTROLE DE VELOCIDADE

Na maioria dos trabalhos que visam solucionar o problema de rastreamento de trajetória, assume-se que a velocidade enviada ao robô é rapidamente atingida (LU; FEI, 2016). Porém, no caso de robôs com acionamento diferencial, a velocidade que o robô se move é diferente da que lhe foi estabelecida. Isto ocorre porque geralmente é feito um controle independente de velocidade para cada roda, ou seja, não considera-se o acoplamento entre as rodas, nem as incertezas do sistema (HUANG, 2005). Neste caso, o rastreamento de trajetória feito através do controle de velocidade se torna uma alternativa interessante pois, garante-se que ao se aplicar uma velocidade por determinado tempo, o robô de fato atinge o trajeto desejado.

Em (HUANG, 2005) são elaborados controladores adaptativos baseados em modelo, considerando as dinâmicas do robô, que controlam as velocidades lineares e angulares do robô mesmo sob as incertezas do sistema. Através de simulações, os controladores adaptativos foram comparados com um PID. Os controladores desenvolvidos no trabalho conseguiram controlar as velocidades, já o PID não se mostrou eficaz.

Em (LU; FEI, 2016), baseado no modelo dinâmico do robô e do seu atuador, é utilizada uma estratégia de controle de aprendizado iterativo adaptativo fuzzy (Fuzzy Adaptive Iterative Learning Control - FAILC) associada a uma lei de controle realimentada para controle de rastreamento de trajetória. A lei de controle projetada visa rastrear uma velocidade desejada, assumindo que o erro entre a velocidade real e a desejada tende a zero a medida que o número de iterações tende a infinito. A teoria de estabilidade de Lyapunov é usada para mostrar que os parâmetros do sistema fuzzy são limitados e os erros de rastreamento convergem para zero.

7_{Estratégia de controle que considera o modelo não linear do robô, a referência futura e as restrições (OGAWA,}

(33)

Em (ORMAN et al., 2016), o controlador FOPI (Fractional-Order Proportional Integral8) faz o rastreamento de trajetória e estabilização na posição desejada através do controle de velocidade e ângulo de direção. São realizadas simulações com três diferentes trajetórias, que comparam o FOPI com um controlador PI. O FOPI apresentou melhor desempenho, com menores erros de velocidade.

2.3 CONSIDERAC¸ ˜OES FINAIS

O problema de rastreamento de trajetória pode ser abordado de diversas formas. As soluções mais utilizadas são o controle de posição e orientação. Outra abordagem para solução deste problema é o controle de velocidade, onde é projetado um controle suficientemente preciso que, dada uma velocidade de referência e estipulando um determinado espaço de tempo, se garante que o robô atinja a localização desejada.

Neste trabalho, o robô possui acionamento diferencial, ou seja, a diferença de velocidade entre as rodas é que causa o movimento do robô. Quando se deseja realizar o movimento de forma precisa, o controle de velocidade se torna uma opção interessante.

Ao se analisar os trabalhos citados acima, pode-se notar que o controle preditivo baseado em modelo foi mais eficiente quanto ao problema de rastreamento de trajetória, visto que ao se utilizar referências futuras para gerar o modelo é poss´ıvel prever mais precisamente o comportamento do objeto de estudo. Além do mais, a possibilidade de incluir restrições, sendo estas operacionais ou f´ısicas, juntamente com o tratamento de sistemas MIMO torna interessante este tipo de estratégia para ser utilizada neste trabalho.

Dentre os controladores preditivos vistos, o GPC é o mais utilizado por lidar com sistemas de fase não-m´ınima e com zona morta, sendo capaz de rastrear referências de valores constantes ou variáveis, além de ser facilmente extendido para sistemas MIMO e possuir mais parâmetros de sintonia que os outros (HOLKAR; WAGHMARE, 2010).

O objetivo deste trabalho é fazer com que um robô escalador móvel com acionamento diferencial rastreie uma trajetória previamente definida. Como o robô em estudo é um sistema multivariável e seu movimento é altamente dependente da velocidade das rodas, optou-se por realizar o rastreamento de trajetória através do controle de velocidade utilizando a técnica GPC.

8_{A função de transferência que representa o controlador FOPI é dada por:}

C(s) = Kp+

Ki

sλ (1)

(34)

Outro ponto abordado nesta dissertação é a deformação do chassis, que pode ser evitada através da inclusão de restrições no cálculo da lei de controle do GPC.

(35)

3 METODOLOGIA

A maioria dos trabalhos encontrados na literatura aborda somente o modelo cinemático do robô, que é justificado quando este opera em baixas velocidades, baixas acelerações, e condições de carregamento menores dos que o robô pode operar. Além disso, pressupõe-se que não há deslizamento das rodas. Partindo destas suposições, o modelo cinemático é suficientemente válido para representar o robô. Caso estas hipóteses não sejam verdadeiras, a utilização somente do modelo cinemático não fornece com precisão a localização do robô. Sendo assim, quando o robô se encontra em ambientes hostis e precisa operar em altas velocidades, torna-se relevante considerar os aspectos dinâmicos (BOYDEN; VELINSKY, 1994).

O modelo cinemático do robô descreve o movimento do robô de acordo com as velocidades e orientações das rodas, considerando suas restrições de movimento. As caracter´ısticas dinâmicas do robô mostram a sua reação frente às entradas externas, considerando seu momento de inércia e as forças de atrito envolvidas (VIEIRA, 2005).

Neste trabalho, serão apresentados os modelos cinemático e dinâmico do robô de inspeção AIR-1.

3.1 AIR-1

Um robô para inspeção de tanque de GLP (Gás Liquefeito de Petróleo) foi desenvolvido no Laboratório de Percepção Avançada da Universidade de São Paulo (USP). A sua estrutura mecânica é caracterizada pelo desalinhamento das rodas evitando que duas rodas passem ao mesmo tempo pelos cordões de solda. O protótipo, mostrado na Figura 12, possuia tamanho grande e as rodas magnéticas não tinham força suficiente para se mover por todo o tanque. Este robô está detalhado em (OKAMOTO et al., 2012).

A partir da experiência do robô desenvolvido na USP, um protótipo para inspeção de tanque de Gás Liquefeito de Petróleo foi também desenvolvido pelo Laboratório de Automação

(36)

Figura 12: Robô de inspeção da USP Fonte: (OKAMOTO et al., 2012)

e Sistemas de Controle Avançado (LASCA) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). O projeto mecânico inovador foi realizado por (BUCH D.; SOUZA, 2010) e após este trabalho, um novo protótipo foi constru´ıdo e melhorias, como o desenvolvimento de uma roda magnética que possui maior adesão e mantem a uniformidade ao se movimentar, foram feitas por (ROVANI, 2013).

A primeira versão do robô, chamada de AIR-1 (Autonomous Inspection Robot), mostrado na Figura 13, possui 4 rodas magnéticas desalinhadas, cada par de rodas é interligado por uma correia dentada movida por um motor sem escovas. O acionamento é diferencial, ou seja, o robô se move de acordo com a diferença de velocidade entre os dois pares de rodas.

Figura 13: Robô Autônomo de Inspeção AIR-1 Fonte: (VEIGA, 2015)

Alguns trabalhos foram desenvolvidos com esta versão do robô. Em (ESPINOZA, 2014) foi elaborado um estimador da força de adesão, entre o robô com rodas magnéticas e a superf´ıcie metálica do tanque, através de uma rede neural. Em (VEIGA, 2015) foi feito

(37)

o mapeamento, através de dados de diferentes fontes de odometria, permitindo a navegação autônoma do robô por toda superf´ıcie do tanque. Em (TEIXEIRA, 2017) foi desenvolvida uma técnica de mapeamento baseada na predição do mapa para a navegação do robô que consiste na busca de caracter´ısticas conhecidas, percepção e estimativa do ambiente, predição das caracter´ısticas, construção do mapa, consideração de incertezas nas medições e planejamento de trajetória.

Considerando o fato de que o robô estudado possui acionamento diferencial e está inserido em um ambiente onde as forças que agem sobre o mesmo influenciam no seu movimento, torna-se interessante o detalhamento do modelo cinemático. Apesar dos movimentos do robô serem realizados em baixas velocidades, ao realizar determinados trajetos, o chassis do robô tende a se deformar devido a alta adesão magnética das rodas. Assim, a incorporação de caracter´ısticas dinâmicas se torna essencial. No entanto, neste trabalho, o robô AIR-1 será representado pela modelagem de um robô móvel dotado de rodas que se move em uma superf´ıcie horizontal. As incertezas não modeladas nestas representações matemáticas serão compensadas pelo controlador que será apresentado na Seção 3.5.

Antes de iniciar a modelagem é importante apresentar um conceito referente à representação da posição e orientação espacial do robô em três dimensões.

3.2 MATRIZ DE ROTAC¸ ˜AO

Define-se inicialmente dois sistemas de coordenadas OXY Z e OUVW sobre o espac¸o euclidiano de ordem 3, mostrado na Figura 14, centrados na mesma origem.

Figura 14: Sistemas de coordenadas com a mesma orientac¸˜ao Fonte: (SOUSA, 2016)

(38)

Sendo OXY Z o sistema de referˆencia fixo com os vetores de unidade iX, jY, kZ, OUVW

segue o movimento do robˆo m´ovel com os vetores de unidade iU, jV, kW.

Um espaço vetorial p do espaço é definido como:

p_{XY Z} = [pX, pY, pZ]T = pX.iX+ pY.jY+ pZ.kZ (2)

p_UVW = [pU, pV, pW]T = pU.iU+ pV.jV+ pW.kW (3)

Considerando a seguinte equivalˆencia:

    PX P_Y P_Z     = R     PU P_V P_W     (4)

A matriz de transformação é dada por:

R=     iX.iU iX.jV iX.kW jY.iU jY.jV jY.kW kZ.iU kZ.jV kZ.kW     (5)

onde, R é a matriz de rotação que determina a orientação do sistema OUVW em relação ao sistema OXY Z. R também é chamada de matriz de cossenos e é uma matriz ortogonal, ou seja, a inversa da matriz R é igual a sua transposta: R−1= RT (BARRIENTOS, 1997).

Esta matriz de rotação é útil quando se deseja representar a orientação de sistemas girando sobre um único eixo do sistema de referência fixo.

Na Figura 15, os eixos OW e OZ permanecem fixos e coincidentes enquanto é alterada a orientação de OUV em relação a OXY , sendo representado pela matriz:

R(Z, θ ) =     cos(θ ) −sen(θ ) 0 sen(θ ) cos(θ ) 0 0 0 1     (6)

(39)

Figura 15: UV deslocado em relac¸˜ao a XY Fonte: (SOUSA, 2016)

A propriedade de ortogonalidade da matriz R ´e mostrada abaixo.

R(Z, θ )−1= R(Z, θ )T     cos(θ ) sen(θ ) 0 −sen(θ ) cos(θ ) 0 0 0 1     (7)

Em (CAMPION et al., 1996) é mostrado que esta matriz de rotação é aplicada em robôs móveis, considerando que o robô é um corpo r´ıgido com rodas não deformáveis e que se movimenta em um plano horizontal.

Ao se definir a matriz de rotação é poss´ıvel fazer a modelagem cinemática do robô.

3.3 MODELO CINEM ´ATICO

A modelagem cinemática relaciona o movimento do robô à diposição das rodas e suas velocidades, além das limitações a que o robô está sujeito. O AIR-1 é um robô escalador móvel de quatro rodas porém, o par de rodas do lado direito é interligado por uma correia dentada acionada por um motor sem escovas, o mesmo acontece com as duas rodas do lado esquerdo. Assim, o modelo cinemático é constru´ıdo como se o robô tivesse duas rodas.

(40)

Considerando o sistema de coordenadas, de referência global (fixa) e de referência local (se move junto com o robô), mostrado nas Figuras 14, 15 e 16 e definindo a posição e orientação do robô na referência global ξG(t) como:

ξG(t) = h x_G(t) yG(t) θG(t) iT =h x(t) y(t) θ (t) iT (8)

onde x(t) é a posição do robô no eixo das abscissas, y(t) é a posição do robô no eixo das ordenadas e θ (t) é a orientação do robô com relação ao eixo das abscissas.

Figura 16: Posição e orientação do robô no sistema de coordenadas global. Fonte: Adaptado de (DHAOUADI; HATAB, 2013)

A relação entre as referências é dada por:

ξG= R(θ )ξR (9)

onde R(θ ) é a matriz de rotação, dada na Equação 6, e ξR é a posição e orientação do robô na

referˆencia local.

Na modelagem cinemática, as velocidades do robô podem ser definidas com relação as velocidades das rodas, ˙φi, (a posição de cada roda φi é ilustrada na Figura 16), como mostrado

abaixo: ˙ φi= υ r (10) ˙ φi= ω r k dik (11)

(41)

υ é a velocidade linear na referência local, r é o raio da roda, ω é a velocidade angular na referência do local, di é o vetor de distância entre o centro da roda i e a referência do robô e

k . k ´e a norma euclideana de um vetor.

Assim, as velocidades linear e angular do robˆo escalador s˜ao definidas como:

υ = r

2( ˙φ1+ ˙φ2) (12)

ω = r( ˙φ1− ˙φ2)

2L (13)

onde 2L ´e a largura do chassis do robˆo (ver Figura 16).

Então, a velocidade do robô na coordenada global, dada por ˙x, ˙ye ˙θ , é descrita como:

    ˙ x ˙ y ˙ θ     =     r 2cos(θ ) r 2cos(θ ) r 2sen(θ ) r 2sen(θ ) r 2L − r 2L     " ˙ φ1 ˙ φ2 # (14)

Outra maneira de se descrever as velocidades ´e:

    ˙ x ˙ y ˙ θ     =     cos(θ ) 0 sen(θ ) 0 0 1     " υ ω # (15)

Também é poss´ıvel definir todas as velocidades do sistema em relação ao sistema de coordenadas global (ver Figura 17).

(42)

Figura 17: Sistema de coordenadas global e local Fonte: Adaptado de (DHAOUADI; HATAB, 2013)

Para isto, define-se a velocidade de cada roda, υi, como:

υi= υR+ ωR× R(θ )di (16)

onde, υR e ωR são as velocidades linear e angular do robô na referência global,

respectivamente. R(θ ) é a matriz de rotação, di é o vetor de distância entre o centro da roda i e

a referência do robô e × é a notação de produto vetorial

Os vetores de distˆancia de cada roda s˜ao:

d₁=     0 −L 0     (17) d2=     0 L 0     (18)

Ent˜ao, a velocidade da roda 1 ´e:

υ1=     ˙ x ˙ y 0     +     0 0 ˙ θ     ×     cos(θ ) −sen(θ ) 0 sen(θ ) cos(θ ) 0 0 0 1         0 −L 0     (19)

(43)

υ1=     ˙ x+ L ˙θ cos(θ ) ˙ y+ L ˙θ sen(θ ) 0     =     ˙ x1 ˙ y₁ ˙ θ1     (20)

e a velocidade da roda 2 ´e dada por:

υ2=     ˙ x− L ˙θ cos(θ ) ˙ y− L ˙θ sen(θ ) 0     =     ˙ x₂ ˙ y₂ ˙ θ2     (21)

As restrições cinemáticas do movimento de um robô com acionamento diferencial são de rolamento puro e o não escorregamento, que serão discutidas a seguir.

A restrição de rolamento puro baseia-se no fato que cada roda possui um único ponto de contato com o chão, como pode ser visto na Figura 18 que toma como exemplo a roda w1.

Figura 18: Restric¸˜ao de rolamento puro. Fonte: Adaptado de (DHAOUADI; HATAB, 2013)

Considerando que n˜ao h´a deslizamento no eixo X e nem escorregamento no eixo Y , as velocidades tangenciais vP1e vP2, nos pontos de contato P1 e P2 de cada roda com a superf´ıcie,

são relacionadas com as velocidades das rodas pelas seguintes equações:

vP1= r ˙φ1 (22)

(44)

Utilizando as Equações 20 a 23, e a matriz de rotação (dada pela Equação 6) é encontrada uma relação entre a velocidade do centro da roda com a velocidade angular da roda, que de forma generalizada é descrita por:

˙

xicosθ + ˙yisenθ = r ˙φi (24)

onde ˙x_i ´e a velocidade linear ao longo do eixo x da roda i e ˙y_i ´e a velocidade linear ao longo do eixo y da roda i.

Substituindo as Equac¸˜oes 20 e 21 em 24, tem-se:

( ˙x+ L ˙θ cosθ )cosθ + ( ˙y+ L ˙θ senθ )senθ = r ˙φ1

˙

xcosθ + ˙ysenθ + L ˙θ − r ˙φ1= 0

(25)

( ˙x− L ˙θ cosθ )cosθ + ( ˙y− L ˙θ senθ )senθ = r ˙φ2

˙

xcosθ + ˙ysenθ − L ˙θ − r ˙φ2= 0

(26)

A restrição de não escorregamento define que o robô só pode se movimentar para frente e para trás, mas não pode ter movimento lateral, ou seja, a velocidade linear do robô ao longo do eixo y é nula ( ˙y_R= 0). Então, utilizando a Equação 9 com a matriz de rotação definida na Equação 6 e fazendo algumas manipulações algébricas chega-se a:

− ˙xsen(θ ) + ˙ycos(θ ) = 0 (27)

Após estas definições, as restrições cinemáticas do robô podem ser definidas como:

Λ(q) ˙q= 0 (28) com ˙ q=h x˙ y˙ θ˙ φ˙1 φ˙2 i (29) Λ(q) =     −sen(θ ) cos(θ ) 0 0 0 cos(θ ) sen(θ ) L −r 0 cos(θ ) sen(θ ) −L 0 −r     (30)

onde Λ é a matriz de restrições cinemáticas e ˙q é o vetor de velocidades linear e angular do robô e velocidade das rodas.

Apesar do modelo cinemático fazer uma boa estimativa da velocidade linear e angular do robô a partir da velocidade das rodas, este não é suficientemente representativo. Um dos

(45)

motivos que reforçam esta afirmação é que as dinâmicas do sistema, como a força de atrito entre as rodas e o chão, a influência da força da gravidade e limitações f´ısicas (material do chassis), não são consideradas nos modelos cinemáticos em geral. A fim de melhorar a representação do robô, permitindo experimentos mais próximos da realidade, será feita a identificação de um modelo dinâmico do robô na Seção 3.4.

3.4 IDENTIFICAÇ ÃO DO MODELO DIN ÂMICO

O modelo cinemático apresentado na Seção 3.3 representa um robô móvel de chão e como consequência pode apresentar um desempenho diferente do robô móvel escalador. O comportamento dinâmico do robô envolve parâmetros espec´ıficos como massa, momento de inércia, diâmetro das rodas e acoplamento entre as mesmas (HUANG, 2005). Estes, por sua vez, são dif´ıceis de serem medidos com precisão. A fim de modelar estas dinâmicas, é realizado um procedimento de identificação baseado em dados, obtendo assim um modelo dinâmico do robô.

Os métodos de identificação precisam de um conjunto de dados de entrada-sa´ıda do sistema. A escolha das variáveis, das quais serão obtidos os dados, é uma etapa importante pois, estas devem ser relacionadas dinamicamente (GUERRA, 2005). O modelo do robô é composto por modelos ARX (Autoregressive with Exogenous Inputs) de cada para entrada-sa´ıda, ou seja, vários sistemas SISO, e foi identificado utilizando o método dos m´ınimos quadrados. A descrição deste método, baseado em (LJUNG, 1999), é mostrado abaixo. O modelo ARX é composto pelos polinômios:

A(z−1)y(k) = B(z−1)u(k − 1) + e(k) (31)

onde

A(z−1) = 1 + a1z−1+ . . . + anaz

−na ₍₃₂₎

B(z−1) = b1+ b2z−1+ . . . + bnbz

−nb+1 ₍₃₃₎

onde y(k) e u(k) s˜ao os vetores de sa´ıda e entrada, respectivamente.

O modelo ARX na forma expandida ´e:

(46)

Para aplicar o método dos m´ınimos quadrados, a Equação 34 é reescrita na forma de regressão linear como:

y(k) = ϕT(k − 1)ϑ + e(k) (35)

ϕT(k − 1) = [−y(k − 1), . . . , −y(k − na), u(k − 1), . . . , u(k − 1 − nb)] (36)

ϑT = [a1, . . . , ana, b0, . . . , bnb] (37)

onde ϕT(k − 1) é o vetor de dados coletados das variáveis entrada-sa´ıda, ϑ é o vetor de coeficientes que serão estimados através do método dos m´ınimos quadrados e e(k) é o erro de modelagem.

A qualidade do modelo obtido está relacionado ao ´ındice de desempenho do método, a função custo JMQ, que deve ser minimizada.

J_MQ=

N

∑

i=1

e(i)2= eTe= kek2 (38)

J_MQ diz o quão próximo a sa´ıda prevista, ϕTϑ , está da sa´ıda real, y. Portanto, estima-se ϑ que minimize JMQ.

Substituindo a Equac¸˜ao 35 na 38, tem-se:

J_MQ= (y − ϕTϑ )T(y − ϕϑ ) = yTy− yTϕ ϑ − ϑTϕTy+ ϑTϕTϕ ϑ (39)

A minimização de JMQ leva a ∂ J_{∂ ϑ}MQ = 0, então:

∂ JMQ ∂ ϑ = −(y T ϕ )T − ϕTy+ (ϕTϕ + ϕTϕ )ϑ = −ϕTy− ϕTy+ 2ϕTϕ ϑ = 0 (40) ϑ = [ϕTϕ ]−1ϕTy (41) ´

E verificado se ϑ ´e m´ınimo, fazendo:

∂2JMQ

∂ ϑ2 = 2ϕ

T

ϕ > 0 (42)

2ϕTϕ é positiva definida, então a Equação 42 é verdadeira. Logo:

ϑMQ= argϑminJMQ= [ϕ T

ϕ ]−1ϕTy (43)

O método dos m´ınimos quadrados, descrito acima, estima ϑ que é composto pelos coeficientes do modelo ARX. Este modelo representa o sistema como uma função de

(47)

transferência. O sistema abordado nesta presente dissertação envolve três variáveis controladas e duas manipuladas, para cada par entrada-sa´ıda será gerada uma função de transferência. Estas funções de transferência serão utilizadas no controlador que será apresentado na Seção 3.5. Além do mais, este controlador irá compensar as dinâmicas não modeladas, como a força de atrito e o efeito da força gravitacional.

3.5 CONTROLE

O objetivo deste trabalho é projetar uma estratégia de controle para rastreamento de trajetória que será aplicado no robô móvel escalador de inspeção AIR-1. A partir da análise dos trabalhos apresentados na Seção 2.1 e 2.2 foi visto que o controle de velocidade se mostrou uma opção interessante para a finalidade deste trabalho. Pois, pelo fato do robô possuir acionamento diferencial, a diferença de velocidade das rodas resulta no movimento do robô. Caso este movimento não seja executado com precisão, o robô pode não rastrear o trajeto desejado. Além disto, a utilização da trajetória fornecida a priori, bem como a possibilidade de lidar com sistemas multivariáveis e a inclusão de restrições culminou na escolha do controlador GPC, o qual será descrito a seguir.

3.5.1 GPC

O controlador GPC foi desenvolvido por (CLARKE et al., 1987b), sendo um dos métodos mais utilizados na indústria e no meio acadêmico (CAMACHO; BORDONS, 1999). Esta técnica é fácil de ser implementada e, além disto, os parâmetros de ajuste possibilitam a sintonia tanto das variáveis controladas como das manipuladas permitindo, assim, aproximar-se do deaproximar-sempenho deaproximar-sejado aproximar-sem grandes dificuldades. Estas caracter´ısticas possibilitam um bom desempenho e justificam sua ampla utilização nas mais diversas aplicações (HOLKAR; WAGHMARE, 2010).

O GPC será usado para o controle de velocidade angular e linear de um robô com duas rodas que pode ser considerado um sistema multivariável. Portanto, nesta seção será deduzido a formulação da técnica GPC MIMO.

Considerando que as relações entre as variáveis do robô podem ser representadas por funções de transferência, então uma matriz de transferência n × m P(z−1) é:

(48)

onde u(k) é o vetor de entradas m × 1 e y(k) é o vetor de sa´ıdas n × 1. P(z−1) é formado por funções de transferência SISO Ppq(z−1):

P_pq(z−1) =z −1_B0 pq(z−1) Apq(z−1) = z −1_B pq(z−1) Ap(z−1) (45)

onde Apq(z−1) e B0pq(z−1) são o denominador e o numerador da função de transferência entre

a entrada q e a sa´ıda p, respectivamente. Ap(z−1) é o m´ınimo múltiplo comum dos polinômios

A_pq(z−1) para q = 1...m e p = 1...n. Desta forma, a matriz polinomial diagonal A(z−1) ´e formada com os elementos Ap(z−1) e a matriz polinomial B(z−1) com os elementos Bpq(z−1).

A modelagem do robô, para fins de controle, considera estes polinômios, A(z−1) e B(z−1), parte de um modelo CARIMA (Controlled Auto-Regressive and Integrated Moving Average) (TUFFS; CLARKE, 1985), mostrado na Equação 46, no qual se baseia o algoritmo GPC.

A(z−1) · y(k) = B(z−1) · u(k − 1) +C(z

−1₎ ∆ · e(k) (46) onde A(z−1) = In×n+ A1z−1+ A2z−2+ . . . + Anaz−na (47) B(z−1) = B0+ B1z−1+ B2z−2+ . . . + Bnbz−nb (48) C(z−1) = In×n+C1z−1+C2z−2+ . . . +Cncz−nc (49)

e C(z−1) é uma matriz polinomial n × n que representa os polinômios do ru´ıdo colorido. Como estes são dif´ıceis de serem estimados, já que as variâncias do ru´ıdo dificilmente permanecem constantes, escolhe-se C(z−1) = In×n e considera-se que as diferenças de estimação do

polinômio C(z−1) são absorvidas dentro dos polinômios A(z−1) e B(z−1) (CLARKE et al., 1987a; CAMACHO; BORDONS, 1999). Com ∆ = 1 − z−1 e e(k) o vetor de ru´ıdos n × 1, que é considerado um ru´ıdo branco com média zero, e envolve as dinâmicas não modeladas que não são capturadas nas funções de transferência da Equação 44.

Cada sa´ıda do modelo MIMO pode ser descrita por um modelo CARIMA da seguinte forma:

A_p(z−1) · yp(k) = Bp(z−1) · u(k − 1) +

e(k)

∆ (50)

onde Bp= [Bp1Bp2· · · Bpm].

(49)

seguinte Equac¸˜ao Diofantina:

1 = Ep j(z−1) · Ap(z−1)∆ + z− jFp j(z−1) (51)

onde Ep j(z−1) e Fp j(z−1) s˜ao polinˆomios de ordem j − 1 e nap, respectivamente.

Multiplicando a Equac¸˜ao 50 por ∆Ep j(z−1)zj, considerando que os termos do ru´ıdo

estão todos no futuro e realizando algumas manipulações matemáticas, chega-se a predição ótima da sa´ıda:

ˆ

y_p(k + j|k) = E_{p j}(z−1)B_p(z−1)∆u(k + j − 1|k) + Fp j(z−1)yp(k) (52)

onde Gp= Ep j(z−1)Bp(z−1).

Matricialmente, a Equação 52 é escrita como:

ˆy_p= G_p∆u + fp (53) onde ˆy_p=        ˆ y_p(k + 1|k) ˆ y_p(k + 2|k) .. . ˆ y_p(k + N2p|k)        (54) G_p=h Gp1 Gp2 · · · Gpm i (55) ∆u =        ∆u1 ∆u2 .. . ∆um        (56) fp=        f_p(1) f_p(2) .. . f_p(N2p)        (57) com

(50)

∆uq=        ∆uq(k) ∆uq(k + 1) .. . ∆uq(k + Nuq− 1)        (58) f_p( j) = z(1 − ∆Ap(z−1)) fp( j − 1) + Bp(z−1)∆u(k + j) (59)

sendo N2p o horizonte de predic¸˜ao da sa´ıda p e Nuq o horizonte de controle da entrada q.

Utilizando as propriedades recursivas do polinˆomio Ep j (CAMACHO; BORDONS,

1999), tem-se: Gpq =        g_pq₀ 0 · · · 0 g_pq₁ g_pq₀ · · · 0 .. . ... . .. ... g_pq N2p−1 gpqN2p−2 · · · gpqN2p−Nuq−1        (60)

∆u(k + j) = 0 quando j ≥ 0 e fp(0) = yp(k). Resumidamente, a predição ótima do

processo MIMO:        ˆy₁ ˆy₂ .. . ˆy_n        =        G11 G12 · · · G1m G21 G22 · · · G2m .. . ... . .. ... Gn1 Gn2 · · · Gnm               ∆u1 ∆u2 .. . ∆um        +        f1 f2 .. . fn        (61)

Os sinais de controle, ∆u, são calculados minimizando a seguinte função custo (CAMACHO; BORDONS, 1999): J(N2, Nu) = N2

∑

j=1 kˆy(k + j|k) − y_{re f}(k + j)k2_R+ Nu

∑

j=1 k∆u(k + j − 1)k2_Q (62) onde N2 e Nu são os horizontes de predição da sa´ıda e da entrada, respectivamente. R e Q são

matrizes definidas positivas, ou seja, R > 0 e Q > 0, que ponderam o erro entre a sa´ıda predita e sua referˆencia e o esforc¸o de controle.

Substituindo a Equac¸˜ao 61 em 62, tem-se:

J = (G∆u + f − y_{re f})0R(G∆u + f − y_{re f}) + ∆u0Q∆u (63)

Para encontrar a lei de controle ´otima, faz-se ∂ J

∂ ∆u = 0 e ´e verificado se ∂2J