UNIVERSIDADE ESTADUAL DE
CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
GEIZANE LIMA DA SILVA
Somatório de números fuzzy interativos com
aplicações em ajuste de curvas
Campinas
2019
CampinasSomatório de números fuzzy interativos com
aplicações em ajuste de curvas
Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatís-tica e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutora em Matemática Apli-cada.
Orientador: Estevão Esmi Laureano
Este exemplar corresponde à versão final da tese defendida pela aluna Geizane Lima da Silva e orientada pelo Prof. Dr. Estevão Esmi Laureano.
Campinas 2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Silva, Geizane Lima da,
Si38s SilSomatório de números fuzzy interativos com aplicações em ajuste de curvas / Geizane Lima da Silva. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SilOrientador: Estevão Esmi Laureano.
SilTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sil1. Números fuzzy. 2. Zadeh, Extensão de. 3. Mínimos quadrados. 4. Lagrange, Interpolação de. 5. Ajuste de curva. 6. Conjuntos fuzzy. 7. Lógica fuzzy. I. Esmi, Estevão, 1982-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Interactive sum of fuzzy numbers with curve fitting applications Palavras-chave em inglês: Fuzzy numbers Zadeh's extension Least squares Lagrange interpolation Curve fitting Fuzzy sets Fuzzy logic
Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutora em Matemática Aplicada Banca examinadora:
Estevão Esmi Laureano [Orientador] Eduardo Silva Palmeira
Laécio Carvalho de Barros Peter Sussner
Rosana Sueli da Motta Jafelice
Data de defesa: 19-08-2019
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-7257-2281 - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/8163185929112080
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). ESTEVÃO ESMI LAUREANO
Prof(a). Dr(a). LAÉCIO CARVALHO DE BARROS
Prof(a). Dr(a). PETER SUSSNER
Prof(a). Dr(a). EDUARDO SILVA PALMEIRA
Prof(a). Dr(a). ROSANA SUELI DA MOTTA JAFELICE
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Primeiramente, agradeço a Jeová Deus por tudo que me foi concedido.
À minha filha Ana Júlia que, embora tenha sido difícil conciliar ser mãe de primeira viagem e concluir um doutorado, serviu como a principal força e motivação para não desistir. À minha mãe Zinalva, que deixou suas “crias” lá na Bahia e me acompanhou no segundo ano do doutorado, ajudando a cuidar da minha filha, enquanto eu cumpria os créditos e qualificações do doutorado.
À meu orientador Estevão Esmi Laureano, pela oportunidade e privilégio de trabalhar em conjunto. Agradeço pela orientação, disponibilidade, paciência, boa vontade e por toda ajuda concedida por meio dos conhecimentos transmitidos.
À minha querida amiga Priscila, por toda a ajuda prestada do início até aqui. Obrigada por todos os momentos compartilhados e pelo cuidado que teve comigo e com a minha pequena.
À Junot, pelo incentivo e apoio.
Aos meus irmãos, Genivaldo, Gilvan, Gilvanete, Jailson, Jairan e Júnior pelo incentivo, compreensão e amizade.
À todos os amigos e colegas conquistados aqui na Unicamp, em especial à Fernanda Bia, Caroline, Lisbeth, Vinicius, Beatriz, Marcelo e Fernanda Paula, obrigada pelo apoio e pelo companherismo e pelas palavras de incentivo e conforto nos momentos de desânimo. Aos professores Laécio Barros e Peter Susner, Eduardo Palmeira e Rosana Sueli, membros da banca, pela disposição em avaliar o trabalho.
Aos professores das disciplinas de doutorado, em especial Aurélio, Joni, Wilson e Estevão pelas disciplinas lecionadas que contribuiram extremamente na minha formação acadêmica. Aos colegas de Graduação e Mestrado, Alex, Marcos, Leornardo e ao professor Cícero, pelo incentivo e pela recomendação ao doutorado.
À todos da Congregação Jardim América das Testemunhas de Jeová, especialmente à Cristina, Elizabeth, Ivanir, Josete, Dilaine e Cícera pelo acolhimento e carinho durante esses anos que passei em Campinas.
À todos que de alguma maneira contribuiram para a concretização deste trabalho, meu muito obrigada!
que está além de toda compreensão, guardará o seu coração e a sua mente por meio de Cristo Jesus.” (Bíblia Sagrada, Felipenses 4:6,7)
No presente trabalho definimos um somatório entre números fuzzy baseado na extensão do somatório de números reais através de uma família de distribuição de possibilidade conjunta Jγ, com γ ∈ [0, 1]. Utilizamos um método de extensão denominado princípio de extensão sup-J que generaliza o princípio de extensão de Zadeh, onde J denota uma distribuição de possibilidade conjunta. Em particular, construímos uma classe parametrizada de distribuições de possibilidade conjuntas Jγ, para γ ∈ [0, 1], definidas para números fuzzy A1, A2. . . , Ak, com k ≥ 2, que descreve uma relação de interatividade entre tais números
fuzzy. Apresentamos um teorema que caracteriza os α-níveis do somatório dos números fuzzy interativos A1, A2. . . , Ak baseado na extensão sup-J. Também estudamos algumas propriedades da família proposta de distribuições de possibilidade conjunta e caracterizamos o respectivo somatório em termos da norma (proveniente da métrica de Hausdorff-Pompeiu) e do diâmetro de números fuzzy. Subsequentemente, aplicamos os resultados obtidos para desenvolver métodos de ajuste de curvas fuzzy considerando a existência de interatividade entre os valores fuzzy amostrados da curva, estendendo os métodos numéricos clássicos de ajuste de curvas tais como interpolação de Lagrange e quadrados mínimos.
Palavras-chave: números fuzzy interativos. somatório de números fuzzy. princípio de extensão sup-J. distribuição de possibilidade conjunta. ajuste de curvas. interpolação polinomial de Lagrange quadrados mínimos.
In the present work we define the sum of interactive fuzzy numbers based on the extension of the sum of real numbers using a family of joint possibility distribution Jγ, γ ∈ [0, 1]. We use an extension method called sup-J extension principle that generalizes the Zadeh’s extension principle, where J stands for a joint possibility distribution. In particular, we propose a parametrized class of joint distributions Jγ, for γ ∈ [0, 1], which is defined for fuzzy numbers A1, A2, . . . , An, k ≥ 2, and decribes a interactivity relationship among
these fuzzy numbers. We present a theorem that characterize the α-levels of sum of the interactive fuzzy numbers A1, A2, . . . , An based on sup-J extension principle. Moreover, we investigate some properties of the proposed family of joint possibility distribution, characterizing the corresponding sum in terms of norm and width of fuzzy numbers. Subsequently, we apply the results obtained to develop methods of fuzzy curve fitting considering the existence of interactivity among the fuzzy values sampled from the curve, extending the Lagrange polynomial interpolation and least squares methods.
Keywords: interactive fuzzy numbers. sum of fuzzy numbers. principle of extension sup-J. joint possibility distribution. curve fitting. Lagrange polynomial interpolation. least squares.
Figura 1 – Fluxograma do desenvolvimento da tese. . . 21
Figura 2 – Exemplos de Conjuntos fuzzy. . . 25
Figura 3 – Representação da família encaixante. . . 26
Figura 4 – Representação do α-nível do conjunto A. . . 26
Figura 5 – Distância entre os conjuntos compactos A e B. . . 37
Figura 6 – Métrica de Hausdorff para cada α-nível. . . 38
Figura 7 – Princípio de Extensão de Zadeh. . . 40
Figura 8 – Distribuição de possibilidade conjunta de dois números fuzzy A e B não interativos. . . 47
Figura 9 – Números fuzzy não interativos. . . 48
Figura 10 – Numeros Fuzzy linearmente correlacionados negativamente. . . 51
Figura 11 – Distribuição de Possibilidade conjunta J e seu domínio para γ = 0. . . 56
Figura 12 – Vista do Domínio da distribuição de possibilidade conjunta, Jγ, para A = (−1; 0; 1) e B = (−1; 0; 1). . . . 57
Figura 13 – Visão tridimensional da distribução Jγ, para A = (−1; 0; 1) e B = (−1; 0; 1). 58 Figura 14 – Representação dos números fuzzy A e B, na subfigura (a) e na subfigura(b) temos o resultado da soma interativa entre A e B, para γ = 0. . . . 61
Figura 15 – Representação dos números fuzzy (A +0B) e C em (a) e o resultado da soma interativa entre (A +0B) e C, para γ = 0 em (b). . . . 61
Figura 16 – Representação dos números fuzzy B e C (a) e o resultado da soma interativa entre B e C, para γ = 0 (b). . . . 62
Figura 17 – Representação dos números fuzzy A e (B +0C) (a) e o resultado da soma interativa entre A e (B +0C), para γ = 0 (b). . . . 62
Figura 18 – Representação do número fuzzy A = (2; 2; 3). . . . 71
Figura 19 – A subfigura (a) denota a função β e a subfigura (b) denota a função θ. . . . 71
Figura 20 – Representação dos números Fuzzy A1, A2 e A3 do Exemplo 2.1. . . 84
Figura 21 – Representação da função S− A1+A2+A3. . . 85
Figura 22 – Representação da função S+ A1+A2+A3. . . 86
Figura 23 – Resultado da soma A1+γA2+γA3, com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . . 87
Figura 24 – Resultado da soma A1+γA2+γA3 com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b). . . 87
Figura 25 – Resultado da soma A1+γA2+γA3 com γ = 1. . . 87
Figura 26 – Representação dos números fuzzy A1, A2 e A3 do Exemplo 3.4. . . 88
Figura 27 – Resultado da soma S com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . 89
Figura 31 – Resultado da soma S com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . 92
Figura 32 – Resultado da soma S com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b). . . 92
Figura 33 – Resultado da soma S com γ = 1. . . 93
Figura 34 – Representação dos números fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.6. . . 93
Figura 35 – Resultado da soma S com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . 94
Figura 36 – Resultado da soma S com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b). . . 94
Figura 37 – Resultado da soma S com γ = 1. . . 94
Figura 38 – Representação dos números fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.7. . . 95
Figura 39 – Resultado da soma S com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . 95
Figura 40 – Resultado da soma S com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b). . . 96
Figura 41 – Resultado da soma S com γ = 1. . . 96
Figura 42 – Representação dos números fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.8. . . 96
Figura 43 – Resultado da soma S com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). . . 97
Figura 44 – Resultado da soma S com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b). . . 97
Figura 45 – Resultado da soma S com γ = 1. . . 97
Figura 46 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 do Exemplo 2.1. . . 102
Figura 47 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 do Exemplo 3.4. . . 102
Figura 48 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 do Exemplo 3.5. . . 102
Figura 49 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.6. . . 103
Figura 50 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.7. . . 103
Figura 51 – Para os números Fuzzy A1, A2, A3 e A4 do Exemplo 3.8. . . 103
Figura 52 – As linhas contínuas representam o suporte e o conjunto no nível α = .5 de P(x) e a linha tracejada representa o α-nível para α = 1. Fonte:[44]. . . 110
Figura 53 – Polinômio Interpolador de Lagrange Interativo com γ = 0 (a) e γ = 0.25 (b). 111 Figura 54 – Polinômio Interpolador de Lagrange Interativo com γ = 0.5 (a) e γ = 0.75 (b).112 Figura 55 – Polinômio Interpolador de Lagrange Interativo para γ = 1. . . . 112
Figura 56 – Polinômio Interpolador de Lagrange Interativo para γ = 0.35. . . . 113
Figura 57 – Comparativo entre o polinômio Interpolador de Lagrange do Kaleva e o polinômio interpolador de Lagrange interativo, para γ = 1. . . . 113
Figura 58 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy Φ com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b). . . . 117
Figura 59 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, para o poluente O3, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b). . . . 118
Figura 60 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, dos poluente PM10, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b). . . . 119
Figura 61 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, dos poluentes PM10, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b). . . . 119
com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b). . . . 120
Figura 63 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente SO2, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b). . . . 120
Figura 64 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente CO, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b). . . . 121
Figura 65 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente CO, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b). . . . 122
Figura 66 – A subfigura (a) ilustra a solução no caso clássico e a e subfigura(b) mostra a vista superior da solução fuzzy ˜Φ com respeito a γ = 0.2. . . . 123
Figura 67 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do efeito da composição do Cimento no calor, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b). 124 Figura 68 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do efeito da composição do Cimento no calor, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b). . 125
Figura 69 – A subfigura (a) ilusta a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, que denota o efeito da composição do cimento no calor, com respeito a γ = 0.45 e as linhas contínuas em verde denotam os suporte dos números fuzzy. A sibfigura (b) mostra o mesmo gráfico em 3D. . . 125
Figura 70 – Curvas de decaimento das concentrações do fármaco no sangue, no tecido renal e no sítio do receptor em função do tempo. . . 127
Figura 71 – Curva clássica de decaimento do fármaco Fernobatital. . . 128
Figura 72 – Esquema padrão do modelo monocompartimental. . . 129
Figura 73 – Curva de impregnação, onde doses idênticas em intervalos regulares são administradas gerando acúmulo. . . 130
Figura 74 – Principio de Superposição. . . 131
Figura 75 – Saturação do fármaco. . . 133
Figura 76 – Estado de equilíbrio, γ = 0.2. . . . 133
a, b, s... Números reais;
A, B, C... Subconjuntos fuzzy ou não fuzzy; F(X) Família de subconjuntos fuzzy de X; RF Família de números fuzzy sobre R;
[A]α Conjunto de α-níveis do número fuzzy A;
a−(α), a+(α) Extremo inferior e superior, respectivamente, do α-nível do número fuzzy A;
RFc {A ∈ RF : a
− e a+ são contínuas};
2Y \ ∅ Família de todos os subconjuntos de Y diferentes do vazio; µA(x) = A(x) Função de pertinência do subconjunto fuzzy A;
^ X Ínfimo do conjunto X; _ X Supremo do conjunto X; a ∧ b Mínimo entre a e b; a ∨ b Máximo entre a e b;
LX Representa a coleção de conjuntos L-fuzzy sobre um universo arbitrário X;
ˆ
f Extensão de Zadeh da função f;
Jγ Distribuição de possibilidade conjunta parametrizada por γ; fJ Extensão de f via principio de extensão sup J;
D(Rn) Família de distribuição de Possibilidade sobre o Rn; R Relação entre conjuntos fuzzy;
i
Y
R
(y) Projeção da relação fuzzy R sobre y = xi;
αn& α Convergência por baixo; αn% α Convergência por cima;
◦s Composição inf-s; /I Composição inf-I;
D∞ A distância de Hausdorff-Pompeiu;
(a, b, c) número fuzzy triangular; (a, b, c, d) número fuzzy trapezoidal; (a, b, c)g número fuzzy gaussiano; Pα(x) α-nível do conjunto P (x); len largura do intervalo;
Cp Concentração do medicamento no organismo;
Co Concentração inicial do medicamento no organismo no instante t=0; Ke Velocidade de eliminação de medicamento no organismo;
t1/2 Meia-vida biológico;
Cs Concentração máxima que o organismo suporta ou nível de saturação; R Fator de acúmulo do fármaco no organismo;
INTRODUÇÃO . . . 18
1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . 22
1.1 Teoria de conjuntos fuzzy . . . 22
1.1.1 Conjuntos fuzzy . . . 23
1.1.2 O conceito do conjunto α-nível. . . 24
1.1.3 Conjuntos parcialmente ordenados . . . 27
1.1.4 Normas e conormas triangulares . . . 28
1.1.5 Operações entre conjuntos fuzzy . . . 30
1.1.6 Relações Fuzzy . . . 32
1.1.7 Números fuzzy . . . 34
1.1.8 Norma de um número fuzzy . . . 37
1.1.9 Princípio de extensão de Zadeh . . . 40
1.2 Aritmética para números fuzzy . . . 42
1.2.1 Diferenças entre números fuzzy . . . 43
1.3 Interatividade de números fuzzy . . . 45
1.3.1 Distribuição de possibilidade conjunta . . . 45
1.3.2 Números fuzzy interativos . . . 46
1.3.3 O Principio de extensão para números fuzzy interativos . . . 48
1.3.4 Números fuzzy linearmente correlacionados . . . 50
1.4 Multifunções . . . 52
1.4.1 Propriedades das Multifunções . . . 53
1.4.2 Seleção de uma multifunção . . . 54
2 PROPRIEDADES DA SOMA DE DOIS NÚMEROS FUZZY INTE-RATIVOS . . . 55
3 SOMATÓRIO DE NÚMEROS FUZZY INTERATIVOS VIA PRIN-CÍPIO DE EXTENSÃO SUP-J . . . 64
3.1 A soma para k números fuzzy interativos . . . 64
3.2 Simulações . . . 83
3.3 Propriedades na norma de Hausdorff-Pompeiu . . . 97
4 APLICAÇÕES . . . 105
4.1 Ajustes de curvas por interpolação polinomial e quadrados mínimos 105 4.2 Interpolação de Lagrange com parâmetros fuzzy . . . 106
4.3 Interpolação lagrangeana com parâmetros fuzzy interativos . . . 110
4.4 Ajustes de curvas para números fuzzy interativos via método dos quadrados mínimos . . . 113
4.4.1 Método de quadrados mínimos . . . 114
4.5 Método de quadrados mínimos para números fuzzy interativos . . . 115
4.6 Alguns exemplos práticos . . . 116
4.7 Decaimento de fármaco em múltiplas dosagens . . . 126
4.7.1 Estudo de Múltiplas dosagens . . . 128
4.7.2 Modelo de múltiplas dosagens para Co ∈ RF . . . 132
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 135 5.1 Contribuições . . . 135 5.2 Dificuldades encontradas . . . 135 5.3 Pretensões Futuras . . . 136 REFERÊNCIAS . . . 137 Anexos . . . 143
Introdução
Motivação
Em diversos modelos matemáticos que descrevem fenômenos biológicos, tais como dinâmicas de populações, epidemiologia e outros, os parâmetros envolvidos muitas vezes são dados por valores incertos ou vagos que em geral, são escolhidos subjetivamente por um especialista ou são obtidos de um conjunto de dados impreciso. Nesses casos podemos utilizar o conceito de número fuzzy para representar tais conhecimentos imprecisos. De maneira geral, a teoria de conjuntos fuzzy, desenvolvida por Lotfi Zadeh em 1965[86], é uma ferramenta matemática muito útil para modelar e operar com objetos e/ou conceitos cujas fronteiras são difusas e/ou imprecisas. Suas aplicações podem ser encontradas em diversas áreas do conhecimento tais como engenharia, química, biologia, dentre outros [7, 8, 15, 61, 73].
Em determinadas situações, é comum, que cada valor possível de uma variável afete os valores possíveis de outra variável, seja devido a existência de uma relação funcional ou devido à restrições físicas, químicas ou biológicas do fenômeno em questão. Na teoria de conjuntos fuzzy, este tipo de relação entre variáveis/parâmetros incertos pode ser modelado pela noção de interatividade entre números fuzzy [87]. De maneira intuitiva pode-se traçar um paralelo com a noção de dependência estocástica da seguinte forma: a relação de interatividade está para números fuzzy tal como a relação de dependência está para variáveis aleatórias. Recentemente, Wasques et al. (2019), fizeram uma aplicação em modelos epidemiológico do tipo SIR, usando como parâmetros condições iniciais fuzzy interativas [83].
Especificamente, a noção de não interatividade entre números fuzzy surgiu em 1978 baseado em um conjunto fuzzy multivariado especial chamado de distribuição de possibilidade para os respectivos números fuzzy [88]. No caso particular onde essa distribuição de possibilidade é baseada no produto cartesiano com respeito a t-norma do mínimo, diz-se que os números são não interativos, caso contrário, são ditos interativos [87].
Operações multivaloradas podem ser estendidas para lidarem com entradas fuzzy em seus subdomínios através da noção de distribuição de possibilidade conjunta. Este método de extensão é denominado princípio de extensão sup-J e generaliza o princípio de extensão de Zadeh que assume entradas fuzzy não interativas [88].
Nguyen (1978) [59] deu consistência ao conceito de não interatividade, conside-rando a extensão baseada em t-normas onde usa-se o fato que a distribuição condicional
é um múltiplo da distribuição conjunta, normalizando as distribuições condicional de possibilidade conjunta. Nguyen (1978) [58] também apresentou um teorema importante que caracteriza os conjuntos fuzzy para funções contínuas através dos α-níveis dos números fuzzy usando aritmética intervalar.
Em 1977, Barros et al. [10] estenderam os resultados de Nguyen [59]. Dubois e Prade (1981)[28] aplicaram o resultado de Nguyen e utilizaram uma t-norma T qualquer para introduzir o conceito de adição de números fuzzy interativos.
Hisdal (1978) [37], inspirado na teoria de probabilidade considerou um caso particular e desmonstrou a diferença entre independência condicional e não interatividade. Fullér, Majlender (2004) e Carlsonn(2005) [[32], [17] e [18]] deram origem ao conceito de números fuzzy completamente correlacionados utilizando distribuição de possibilidade conjunta. Coronianu (2016) [21], estabeleceu condições necessárias e suficientes para que as somas interativas e não-interativas de dois números fuzzy sejam iguais.
Barros e Santo (2017) [9] apresentaram várias propriedades e novos resultados sobre interatividade entre números fuzzy, também trataram das equações diferenciais e integrais para números fuzzy correlacionados. Neste estudo o operador derivada incopora informações relativas à interatividade entre as variáveis de estado. A classe particular de números fuzzy completamente correlacionados é restritiva, visto que as funções de pertinência dos números fuzzy devem ter correlação linear. Tal tipo de correlação requer que os números fuzzy envolvidos tenha o mesmo formato: triangular, gaussiana e outros. Sussner et al. (2016) [76] incorporam translações nas definições de distribuição de possibilidade conjunta apresentadas em Esmi et al. (2015) [29], para controlar o diâmetro da soma de números fuzzy interativos.
Ideia Central
Wasques (2019) [82], no seu trabalho de tese propôs uma classe parametrizada de distribuições conjuntas definidas para quaisquer pares de números fuzzy. Baseado nessas distribuições demonstrou um teorema que caracteriza os extremos dos intervalos das operações da soma e subtração de dois números fuzzy interativos em termos de α-níveis das extensões sup-J das operações da soma e subtração de dois números reais. O que facilitou bastante o estudo das operações aritméticas para números fuzzy.
O parâmetro γ da família de distribuição conjunta Jγ é quem determina o nível de interatividade entre os números fuzzy em questão, ou seja, tal parâmetro tem a função de ajustar as normas das correspondentes extensões sup-J das operações aritméticas.
Na aritmética dos números reais, quando realizarmos a soma de n elementos, a ordem dos operandos não altera o resultado da soma. Assim, seria natural realizar uma estensão da soma de n números fuzzy interativos de modo que a permutação dos
operandos seja invariante. Para isso, se faz necessário aplicar um princípio de extensão sobre o somatório e não se basear em uma álgebra de números.
O objetivo central do trabalho consiste em generalizar os resultados e definições obtidos por Wasques (2019) [82], para lidar com somatórios de k números fuzzy interativos, com k > 2. Para isso, primeiramente definimos um somatório entre números fuzzy baseado na extensão do somatória de números reais. Em seguida, definimos uma família de distribuição de possibilidade conjunta Jγ com γ ∈ [0, 1], onde Jγ descreve uma relação de interatividade entre os números fuzzy A1, A2. . . , Ak. Subsequentemente, utilizamos o
princípio de extensão sup J, para f = +, cuja extensão é dada por
fJγ(A1, A2, . . . , An) = A1+γA2 +γ. . .+γAn, Ai ∈ RF i= 1, . . . , n.
Estrutura da Tese
Nossa pesquisa será baseada em alguns documentos de síntese [29],[30],[41],[76], [82].
Inicialmente, no Capítulo 1 apresentamos as principais definições e teoremas da teoria fuzzy, princípios de extensão, análise fuzzy e multifunções.
No Capítulo 2 apresentamos alguns resultados do trabalho de Wasques [82] que nos dará suporte para definir um somatório entre números fuzzy baseado na extensão do somatório de números reais através de uma família de distribuição de possibilidade conjunta Jγ, com γ ∈ [0, 1].
O Capítulo 3 traz as contribuições deste trabalho para a aritmética de números fuzzy interativos, em especial, o somatório de números fuzzy interativos. Construímos uma classe parametrizada de distribuições de possibilidade conjuntas Jγ, para γ ∈ [0, 1], definidas para números fuzzy A1, A2. . . , Ak, com k ≥ 2, que descreve uma relação de
interatividade entre tais números fuzzy. Apresentamos um resultado que caracteriza os α-níveis do somatório dos números fuzzy interativos A1, A2. . . , Ak baseado na extensão sup-J. Também estudamos algumas propriedades da família proposta de distribuições de possibilidade conjunta e caracterizamos o respectivo somatório em termos da norma (proveniente da métrica de Hausdorff-Pompeiu) e do diâmetro de números fuzzy. Também
fazemos algumas simulações, para exemplificar os resultados obtidos.
No Capítulo 4 utilizamos os resultados obtidos no Capítulo 3 para desenvolver métodos de ajuste de curvas fuzzy considerando a existência de interatividade entre os valores fuzzy amostrados da curva, estendendo os métodos numéricos clássicos de ajuste de curvas tais como interpolação de Lagrange e quadrados mínimos. Além disso, analisamos uma curva de saturação.
desenvol-vimento da tese, os blocos apresentados na cor lilás são resultados já existentes, os demais blocos são resultados desenvolvidos no decorre do trabalho.
Figura 1 – Fluxograma do desenvolvimento da tese. +γ : R2 Fc −→ RFc Prop. 2.2 Teorema de Seleção de Michael Lema 3.1 Lema 3.2 +γ : Rn Fc −→ RFc Teorema 3.1 Teorema 3.2 Propriedades com respeito a norma e o diâmetro Teorema 3.3 Teorema 3.4 Aplicações Análise da curva
de Saturação ajustes de CurvasAplicações em
Interpolação polinomial Quadrados
Mínimos Fonte: Própria autora.
Finalizamos o trabalho fazendo algumas considerações finais, mostrando nossas contribuições, dificuldades encontradas e apresentando algumas propostas futuras para trabalhos posteriores.
1 Fundamentação Teórica
No presente trabalho utilizamos o ferramental da teoria de conjuntos fuzzy introduzida por Zadeh em 1965, [86], aliado a alguns resultados de análise fuzzy, interati-vidade fuzzy e multifunções. Inicialmente, tratamos dos conceitos principais dos conjuntos fuzzy e dos α-níveis bem como os conceitos de normas e conormas triangulares, relações e composição relacional fuzzy. Posteriormente, apresentamos a definição dos números fuzzy, os principais teoremas e resultados que fornecem uma caracterização para números fuzzy através dos seus α-níveis. As principais referências para este capítulo são Zadeh (1965)[86], Barros e Bassanezi(2010)[8], Pedrycz (2007) [61], Dubois (1980)[25] e Klir (1995)[47].
Apresentamos uma norma baseada na métrica de Hausdorff-Pompeiu que permite fazer uma comparação entre esses números fuzzy. Abordamos também o princípio de extensão de Zadeh e algumas de suas extensões. Prosseguimos com a aritmética para números fuzzy, em seguida apresentamos o conceito fundamental do trabalho, os números fuzzy interativos. Por fim, falamos um pouco à respeito da teoria de multifunções e alguns resultados que utilizamos no desenvolvimento do trabalho.
1.1
Teoria de conjuntos fuzzy
É frequente na linguagem natural usarmos conceitos subjetivos para expressar situações do dia a dia, como, por exemplo,
• O dia está “parcialmente” quente; • O copo está “quase” cheio de água.
Tais expressões envolvem conceitos vagos e muitas vezes imprecisos que não são bem caracterizados pelos conjuntos clássicos, daí surge a necessidade do uso da teoria de conjuntos fuzzy, proposta por Zadeh, que flexibiliza a pertinência de elementos aos conjuntos criando a idéia de grau de pertinência. A função de pertinência considerada, fornece o grau de pertinência dos diversos números ao conjunto considerado, expressando transições graduais de pertinência para não-pertinência que podem ou não ocorrerem e essas tais transições ocorrem de modo suave. Assim, um elemento pode pertencer parcialmente a um determinado conjunto.
Baseado no fato de que qualquer conjunto clássico pode ser caracterizado por meio da sua função característica, Zadeh formalizou os conjuntos fuzzy.
1.1.1
Conjuntos fuzzy
Os conjuntos da teoria clássica desenvolvidos por Jorge Cantor, por volta de 1870, permitiram a modelagem de vários problemas em diversas áreas da ciência, porém tal modelagem é bem rigirosa, permitindo apenas duas possibilidades com relação a pertinência de elementos de conjuntos: ou o objeto pertence ou não pertence ao conjunto; No entanto, os conjuntos fuzzy surgiram como um alternativa para tratar a passagem de pertinência para não pertinência de maneira mais flexível e menos abrupta, não sendo tão rígidos. Tais conjuntos não possuem fronteira bem definida. Esta seção se baseia nas referências Klir (1995) [47], Zadeh(1965) [86] e Zadeh(1978) [88].
Considere X 6= ∅ um conjunto universo.
Definição 1.1(Função de pertinência). Um subconjunto fuzzy A de X é completamente caracterizado por uma função de pertinência de A, denotada por
µA: X −→ [0, 1],
onde µA(x) significa o grau que x pertence ao conjunto A, isto é, o grau de pertinência representa o grau que um dado elemento x é membro de um conjunto fuzzy A.
Para efeito de simplificação considere µA(x) = A(x), ∀x ∈ X.
Os conjuntos fuzzy generalizam conjuntos crisp (clássicos), representados pela função característica:
χA: X −→ {0, 1}, onde
• χA(x) = 1, significa que x pertence ao conjunto A; • χA(x) = 0, significa que x não pertence ao conjunto A.
Observação 1.1. Note que o conjunto vazio é representado pelo conjunto Fuzzy A cuja função de pertinência é igual a zero para todo X, ou seja,
A(x) = 0, ∀ x ∈ X.
Exemplo 1.1. As formas para as funções de pertinência são as mais variadas possíveis e dependem do objetivo e do contexto no qual estão sendo usados, porém as funções de pertinências mais conhecidas e utilizadas são:
a) Função de pertinência do conjunto fuzzy triangular (a, b, c) : A(x) = 0, se x ≤ a; x − a b − a, se x ∈ (a, b]; c − x c − b, se x ∈ (b, c]; 0, se x ≥ c. b) Função de pertinência do conjunto fuzzy trapezoidal (a, b, c, d) :
A(x) = 0, se x ≤ a; x − a b − a, se x ∈ (a, b]; 1, se x ∈ (b, c]; d − x d − c, se x ∈ (c, d]; 0, se x ≥ d. 2- Função de pertinência gaussiana: A(x) = e−k(x−a)2
, para k ≥ 1; 3- Função de pertinência exponencial: A(x) = 1
1 + k(x − a)2, para k ≥ 1;
4- Função de pertinência Γ-função: A(x) = 0, se x ≤ a; k(x − a)2 1 + k(x − a)2, se x > a;
5- Função de pertinência sigmóide: A(x) = 1 1 + e−c(x−a).
A Figura 2 ilustra graficamente as funções de pertinência do Exemplo 1.1. Em geral as funções triangulares e trapezoidais são mais utilizadas devido a idéia da definição de região modal, onde utilizam-se um ponto, um intervalo contínuo ou uma função linear para caracterizar o espalhamento.
1.1.2
O conceito do conjunto α-nível
Podemos interpretar os α-níveis de um conjunto fuzzy como sendo restrições do domínio ou universo de interesse baseado no valor de α.
Definição 1.2 (α-nível). Considere A um subconjunto fuzzy de X. O conjunto α-nível de A é definido como sendo o conjunto clássico:
Figura 2 – Exemplos de Conjuntos fuzzy.
Fonte: Própria autora.
O núcleo de um conjunto fuzzy A corresponde ao [A]1, isto é,
[A]1 = {x ∈ X; A(x) = 1}.
Se X é espaço topológico definimos [A]0 como sendo o fecho do supporte de A:
[A]0 = supp(A), onde supp(A) = {x ∈ X; A(x) > 0}.
A importância fundamental dos conjuntos de α-níveis deve-se ao fato de serem conjuntos clássicos e por isso carregam consigo propriedades e resultados já desenvolvidos na teoria clássica.
Observação 1.2. Qualquer conjunto fuzzy A forma uma família encaixante (nested family) de conjuntos, isto é:
Figura 3 – Representação da família encaixante.
Fonte: Própria autora.
Podemos observar uma ilustração da família encaixante na Figura 3. O α-nível de um conjunto fuzzy trapezoidal A = (a; b; c; d) é
[A]α = [a−
α, a
+
α] = [(b − a)α + a, (c − d)α + d], ∀ α ∈ [0, 1]. (1.1) A Figura 4 ilustra graficamente o α-nível de um conjunto fuzzy trapezoidal A.
Figura 4 – Representação do α-nível do conjunto A.
Fonte: Própria autora.
Note que, para b = c temos os α-níveis do conjunto fuzzy triangular A = (a; b; d). Podemos observar algumas características dos conjuntos de nível.
Definição 1.3 (Conjunto fuzzy normal). Um conjunto fuzzy é dito normal se o seu núcleo é não vazio, isto é, existe um x ∈ X tal que
Teorema 1.1 (Barros e Bassanezi (2010) [8]). Os conjuntos fuzzy A e B são iguais se seus α-níveis são iguais, isto é,
[A]α = [B]α, ∀ α ∈ [0, 1].
Definição 1.4 (Subconjunto fuzzy limitado em Rn). Um conjunto fuzzy A ⊂ Rn é dito limitado se seus α-níveis [A]α são limitados para todo α ∈ [0, 1].
Definição 1.5 ( Subconjunto fuzzy convexo em Rn,Klir (1995) [47])). Um conjunto A ⊂ Rn é dito convexo se seus α-níveis [A]α são conjuntos convexos para todo α ∈ [0, 1]. Uma boa caracterização para convexidade de conjuntos fuzzy é feita através do teorema a seguir.
Teorema 1.2 (Klir (1995) [47]). Um conjunto fuzzy A de Rn é um conjunto fuzzy convexo se, e somente se, para todos x, y ∈ Rn e 0 ≤ λ ≤ 1,
A(λx + (1 − λy)) ≥ min[A(x), A(y)].
Definição 1.6 (Subconjunto semicontínuo superiormente). Um subconjunto fuzzy A de R é dito semicontínuo superiormente se
∀ >0 existe δ > 0 tal que A(x) − A(x0) ≤ , sempre que |x − x0| < δ.
Teorema 1.3 (Barros (1997) [7]). O conjunto fuzzy A ∈ F(Rn) se, e somente se i) A é semicontínua superiormente e;
ii) [A]0 é compacto .
1.1.3
Conjuntos parcialmente ordenados
Agora, relembramos algumas definições a respeito da teoria de reticulados. Esta seção está baseada em Birkhoff (1979) [13].
Definição 1.7 ( Conjunto Parcialmente Ordenado). Um conjunto P 6= ∅, munido de uma relação binária (≤) reflexiva, transitiva e anti-simétrica é dito ser um conjunto parcialmente ordenado e denotamos por (P, ≤).
Quando não houver dúvidas com respeito a ordem parcial, denotamos o conjunto parcialmente ordenado, simplesmente por P .
Dado X ⊆ P , dizemos que l ∈ P é um limitante inferior de X, se l ≤ x, ∀ x ∈ X. Analogamente, dizemos que u ∈ P é um limitante superior de X, se x ≤ u, ∀ x ∈ X.
Defini-se o ínfimo de X ⊆ P como sendo o maior dos limitantes inferiores de X, denotado por ^X. Analogamente, o supremo de X ⊂ P é definido como sendo o menor dos limitantes superiores de X e denotado por _
Definição 1.8 (Reticulado, Birkhoff (1979) [13]). Se todo subconjunto finito X 6= ∅ de um conjunto parcialmente ordenado L tem ínfimo e supremo em L, então, L é dito ser reticulado.
Um reticulado é dito completo, se todo subconjunto (finito ou infinito) de L possui um ínfimo e um supremo em L. Também, L é dito totalmente ordenado ou uma corrente ou cadeia se para todos x, y ∈ L temos x ≤ y ou y ≤ x.
Exemplo 1.2. O conjunto dos números reais com a ordem usual é um exemplo de um conjunto totalmente ordenado.
Exemplo 1.3. O intervalo [0,1] é uma cadeia ou corrente completa.
Se X é um universo arbitrário e L é um reticulado completo, então, a classe de funções X −→ L denotada por LX, é um reticulado completo com a ordem parcial dada por ⊆, ponto a ponto para A , B ∈ X, da seguinte forma:
A ⊆ B ⇔ A(x) ≤ B(x), ∀x ∈ X.
Na teoria L-fuzzy o reticulado completo LX representa a classe de conjuntos L-fuzzy em um universo arbitrário X, ou seja, o conjunto L-fuzzy A em X é a função de pertinência X ⇔ L de modo que A(x) denota o grau da pertinência de x ∈ X em A,[35].
Na teoria de conjuntos fuzzy a estrutura do reticulado [0, 1] é fundamental, visto que regras de inclusão, composição dependem tanto da relação de ordem como dos operadores ínfimo e supremo de [0, 1].
Definição 1.9 (Função Fuzzy [63]). Sejam LX e LY onde X e Y são conjuntos universo arbitrários quaisquer. A função f : LX
−→ LY é dita uma função fuzzy.
Proposição 1.1 (Klir (1995) [47]). Sejam A e B conjuntos fuzzy normais. Nós temos que:
i) A = B se, e somente se [A]α = [B]α
, ∀ α ∈(0, 1]; ii) A ⊂ B se, e somente se [A]α ⊂[B]α
, ∀ α ∈(0, 1].
1.1.4
Normas e conormas triangulares
Agora, falamos à respeito dos conectivos lógicos fuzzy que são as chamadas normas e conormas triangulares. O conceito de norma triangulares, a priore, surgiu para generalizar a desigualdade triangular em espaços métricos probabilísticos. Tal conceito provêm do conceito de cópulas dado por Karl Menger (1942)[46], o qual construiu um espaço métrico utilizando a distribuição de possibilidade para mensurar a distância entre
dois elementos do espaço. Por meio de tais conceitos se constrói operadores de base axiomática, conectivos baseados nos conceitos de norma triangular (t-norma) e conorma triangular (t-conorma ou s-norma) que são essenciais para interpretar conjunções, além de definir e interpretar operações entre conjuntos fuzzy. O operador t-norma generaliza o conectivo “e” da lógica clássica [61].
Definição 1.10 (T- Norma). Define-se uma norma triangular ou t-norma como uma operação binária
T : [0, 1]×[0, 1] −→ [0, 1] tal que ∀x, y, z, w ∈ [0, 1] as seguintes propriedades são satisfeitas: 1. Comutatividade: T (x, y) = T (y, x);
2. Associatividade: T (T (x, y), z) = T (x, (T (y, z));
3. Monotonicidade: se x ≤ y e w ≤ z, então, T (x, w) ≤ T (y, z); 4. Condições de contorno: T (x, 0) = 0 e T (x, 1) = x.
Uma outra notação usual para t-norma é T (x, y) = x 4 y. Exemplo 1.4. Exemplos de t-normas:
1. t-norma do mínimo: TM(x, y) = x ∧ y; 2. t-norma do produto: TP(x, y) = x.y;
3. t-norma de Lukasiewicz: TL(x, y) = max(x + y − 1, 0); 4. t-norma drástica: TD(x, y) = 0, se x 6= 1 e y 6= 1; x, se y= 1; y, se x= 1. Proposição 1.2. Para todo (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] valem
a) TD(x, y) ≤ T (x, y) ≤ TM(x, y), onde T é uma t-norma arbitrária; b) TD(x, y) ≤ TL(x, y) ≤ TP(x, y) ≤ TM(x, y).
O conceito de conormas triangulares ou t-conormas foi introduzido no contexto dos espaços métricos estatísticos por Schweizer e Sklar(1961) [71] como o operador dual das t-normas. As t-conormas são utilizadas na teoria fuzzy como para definir a união de dois conjuntos fuzzy ou como operador que generaliza o conectivo lógico “ou”.
Definição 1.11 (t-conorma ou s-norma). Define-se uma s-norma triangular ou t-conorma, como uma operação binária
S : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] tal que, ∀x, y, z, w ∈ [0, 1], as seguintes propriedades são satisfeitas:
1. Comutatividade: S(x, y) = S(y, x);
2. Associatividade: S(S(x, y), z) = S(x, (S(y, z));
3. Monotonicidade: se x ≤ y, w ≤ z, então, S(x, w) ≤ S(y, z); 4. Condições de contorno: S(x, 0) = x e S(x, 1) = 0.
Uma outra notação usual para s-norma é S(x, y) = x 5 y. Exemplo 1.5. Exemplos de t-conormas ou s-norma:
1. t-conorma do máximo: SM(x, y) = x ∨ y;
2. t-conorma probabilística: SP(x, y) = x + y − x.y; 3. t-conorma de Lukasiewicz: SL(x, y) = min(x + y, 1); 4. t-conorma drástica: SD(x, y) =
1, se (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1); max(x, y), caso contrário.
Os conectivos básicos da lógica fuzzy, t-norma e s-norma generalizam os conec-tivos básicos da lógica clássica “e” e “ou”, respectivamente, permitindo que se trabalhem com sentenças lógicas menos precisas.
1.1.5
Operações entre conjuntos fuzzy
Agora, apresentamos algumas operações típicas entre conjuntos: intersecção, união e complementação. Através do conceito de função de pertinência essas operações serão extendidas para a teoria dos conjuntos fuzzy.
Definição 1.12 (Intersecção entre conjuntos fuzzy, Klir (1995) [47]). A intersecção entre A e B com respeito a t-norma (T) é o subconjunto fuzzy de X, cuja função de pertinência é dada por
A ∩T B(x) = T (A(x), B(x)), ∀ x ∈ X.
A definição mais utilizada para intersecção entre conjuntos fuzzy é dada pela t-norma do mínimo. Neste caso, definimos a intersecção entre A e B, simplesmente por A ∩ B.
Proposição 1.3 (Barros e Bassanezi (2010) [8]). [A ∩T B]α = [A]α∩[B]α, ∀ α ∈ [0, 1] se, e somente se, T é a t-norma do mínimo TM. Esta seção está baseada em Barros e Bassanezi (2010) [8] e Klir (1995), [47].
Definição 1.13 (União entre conjuntos fuzzy, Klir (1995) [47]). A união entre A e B com respeito a s-norma (S) é o subconjunto fuzzy de X, cuja função de pertinência é dada por
A ∪SB(x) = S(A(x), B(x)), ∀ x ∈ X.
A definição mais utilizada para união entre conjuntos fuzzy é dada pela s-norma do máximo. Neste caso, a união de A e B é denotada simplesmente por A ∪ B.
Definição 1.14 (Inclusão entre conjuntos fuzzy, Klir (1995) [47]). Um conjunto fuzzy B é subconjunto de um conjunto fuzzy A se,
B(x) ≤ A(x), ∀ x ∈ X.
Note que a relação de inclusão acima, nada mais é que uma relação de ordem do reticulado completo [0, 1].
A negação fuzzy generaliza a negação clásssica:
Definição 1.15 (Negação fuzzy). Uma aplicação η : [0, 1] −→ [0, 1] é uma negação fuzzy se satisfaz:
1. η(0) = 1 e η(1) = 0 (fronteiras); 2. η é decrescente (monotonicidade).
Dizemos que temos uma negação estrita quando η é estritamente decrescente. Além disso, se η satisfaz a propriedade de involução
η(η(x)) = x temos uma negação forte.
Observação 1.3. A negação fuzzy usual é dada por ¯η(x) = 1 − x.
Definição 1.16. O complemento ¯A de um conjunto fuzzy A relativo ao Universo X é dado por
¯
A(x) = 1 − A(x), ∀ x ∈ X.
É importante salientar que as operações entre conjuntos fuzzy de X não satis-fazem necessariamente as mesmas propriedades que os conjuntos crisp de X. Como, por exemplo, A ∪ ¯A= X.
Definição 1.17 ( Implicação fuzzy). Dizemos que I : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] é uma implicação fuzzy se satisfaz as seguintes propriedades:
1. Decrescente na primeira variável: I(x, y) ≥ I(z, y) se x ≤ z; 2. Crescente na segunda variável: I(x, y) ≤ I(x, w) se y ≤ w;
3. Condições de Fronteira. E que estende a implicação Booleana: I(1, 0) = 0, I(0, 0) = 1, I(1, 1) = 1.
Podemos criar implicações utilizando t-normas, s-normas e negações fuzzy. Definição 1.18 (S-implicação). Considerando S uma s-norma, N uma negação forte e I : [0, 1] × [0, 1] −→ [0, 1] uma aplicação tal que I(x, y) = S(N(x), y). Então, obtemos uma implicação fuzzy I chamada S-Implicação.
Exemplo 1.6 (S-implicação de Lukasiewicz). Um exemplo de S-implicação é a implicação de Lukasiewicz, obtida utilizando a s-norma S(x, y) = min{x + y, 1} e a negação usual dada na Observação 1.3. Obtemos:
IL(x, y) = min{1 − (x + y), 1}.
Definição 1.19 (R-Implicação). Considerando T uma t-norma e I : [0, 1]×[0, 1] −→ [0, 1] uma aplicação dada por
I(x, y) = sup{z | T (x, z) ≤ y}.
Temos como exemplos de R-implicação as implicações de Godel e Goguen, cujas construções utilizam a t-norma do mínimo e do produto, respectivamente.
Exemplo 1.7 (R-implicação de Godel e Goguen). Para todo (x, y) ∈ [0, 1], as implicações de Godel e Goguen são definidas por
1. Implicação de Godel: g(x, y) = 1, se x ≤ y; y, se x > y. 2. Implicação de Goguen: gn(x, y) = 1, se x ≤ y; y/x, se x > y.
1.1.6
Relações Fuzzy
As relações fuzzy surgem da generalização das relações clássicas e indicam se existe ou não associação entre objetos e também o grau dessa relação.
Definição 1.20 (Relação crisp). Uma relação R sobre X1× X2× . . . × Xn é qualquer subconjunto do produto cartesiano X1× X2× . . . × Xn, isto é,
Podemos representar tal relação através da sua função característica: χR: X1× X2× . . . × Xn −→ {0, 1}, onde χR(x1, x2, . . . , xn) = 1, se (x1, x2, . . . , xn) ∈ R; 0, se (x1, x2, . . . , xn) /∈ R.
Definição 1.21 (Relação fuzzy). Sejam X1, X2, . . . Xn conjuntos clássicos não vazios. Uma relação fuzzy R é qualquer subconjunto fuzzy de X1× X2× . . . × Xn caracterizado pela
função de pertinência µR que associa a cada ponto (x1, x2, . . . , xn) um grau de pertinência
em R = {((x1, x2, . . . , xn), µR(x1, x2, . . . , xn))|(x1, x2, . . . , xn) ∈ X1× X2× . . . × Xn} com µR(x1, x2, . . . , xn) ∈ [0, 1].
Ou seja, tal relação fuzzy é definida pela função de pertinência µR: X1× X2× . . . × Xn −→[0, 1],
onde µR(x1, x2, . . . , xn) ∈ [0, 1], indica o grau com que os elementos xi, que compoem
(x1, x2, . . . , xn), estão relacionados sob R.
A relação fuzzy é uma ferramenta bem útil para modelagem de fenômenos naturais nos quais a relação ou interação entre os elementos nem sempre estão bem definidas.
Definição 1.22 (Produto cartesiano Fuzzy). Dados conjuntos fuzzy A1, A2, . . . , An , o produto cartesiano fuzzy entre A1, A2, . . . , An é a relação fuzzy denotada por:
(A1× A2 × . . . × An)(x1, x2, . . . , xn) = A1(x1) ∧ A2(x2) ∧ . . . ∧ An(xn),
para todo (x1, x2, . . . , xn) ∈ X1× X2× . . . , ×Xn
Veremos posteriormente que o produto cartesiano fuzzy dá origem à distribui-ções de possibilidade conjunta não interativas.
Definição 1.23 (Projeção de R sobre Xi). Considere R uma relação fuzzy em X1×
X2 × . . . × Xn. A projeção de R ∈ F(X1 × X2 × . . . × Xn) em Xi, i ∈ [1, n] são os
subconjunto de Xi denotado por i
Y
R
de Xi, definidos para todo y ∈ Xi cuja função de pertinência é dada por
i Y R (y) = _ xj∈Xj | j6=i R(x1, x2, . . . , xn), ∀ xi ∈ Xi. (1.2)
As operações que realizamos com conjuntos fuzzy, a exemplo da união, inter-secção, t-norma e s-norma também podem ser realizadas entre relações fuzzy. Contudo, podemos combinar duas relações fuzzy através de composições relacionais fuzzy. Dentre os principais exemplos de composição relacional temos:
Definição 1.24(Composição sup −t). Considere R uma relação fuzzy entre os conjuntos X e Y e S uma relação fuzzy entre os conjuntos Y e Z. Então, a composição sup −t entre R e S é a relação fuzzy (R ◦tS) definida por
(R ◦tS)(x, z) = sup y∈Y
R(x, y)T S(y, z), ∀ (x, z) ∈ X × Z, (1.3) onde T é uma t-norma qualquer e sup denota o supremo.
Analogamente, podemos definir a composição sup-t de uma relação Fuzzy R entre os conjuntos X e Y e um subconjunto fuzzy S de Y. Tal composição é o conjunto fuzzy (R ◦tS) definida por
(R ◦tS)(x) = sup y∈Y
{T(R(x, y), S(y))}, ∀ x ∈ X. (1.4)
Este tipo de composição é um dos mais utilizados e é bem importante para o trabalho, visto que podemos escrever as extensões de operações aritméticas por meio de uma composição sup-t. Quando estivermos tratando da t-norma do mínimo usamos o símbolo ◦ ao invés de ◦t.
Temos também as composições inf-s e inf-i:
Definição 1.25 (Composição inf −s). Considere R uma relação fuzzy entre os conjuntos X e Y e S uma relação fuzzy entre os conjuntos Y e Z. Então, a composição inf −s entre R e S é a relação fuzzy (R ◦sS) definida por:
(R ◦sS)(x, z) = inf
y∈YS(R(x, y), S(y, z)), ∀ (x, z) ∈ X × Z, (1.5) onde S é uma s-norma qualquer e inf denota o ínfimo.
Definição 1.26 (Composição inf −I). Considere R uma relação fuzzy entre os conjuntos X e Y e S uma relação fuzzy entre os conjuntos Y e Z e I uma implicação fuzzy qualquer. Então, a composição inf −I entre R e S é a relação fuzzy (R /IS) definida por
(R /IS)(x, z) = inf
y∈Y I(R(x, y), S(y, z)), ∀ (x, z) ∈ X × Z. (1.6)
1.1.7
Números fuzzy
Os números fuzzy são subconjuntos fuzzy que tem por domínio o conjunto dos números reais e cuja função de pertinência satisfaz algumas propriedades adicionais. Generalizam o conceito de números reais pois, se referem não somente a um único valor, mas a um conjunto conexo de possíveis valores, os quais tem peso entre 0 e 1. O conceito de números fuzzy é indispensável para a análise fuzzy e na teoria de equações diferenciais fuzzy. São muito úteis na modelagem de expressões do tipo : “em torno de”.
Definição 1.27 (Número fuzzy, Kaleva (1990) [43])). Um conjunto fuzzy A ⊂ R é dito número fuzzy, se satisfaz as seguintes propriedades:
1. A é um subconjunto fuzzy normal (isto é, ∃ x0 ∈ X tal que A(x0) = 1);
2. A é um subconjunto fuzzy convexo (isto é, A(λx+(1−λy) ≥ min[A(x), A(y)], ∀x, y ∈ R);
3. A é semicontínua superiormente em R ( isto é, ∀ > 0 existe δ > 0 tal que A(x)− A(x0) ≤ , com |x − x0| < δ);
4. O conjunto [A]0 é compacto (isto é, {x ∈ X; A(x) > 0} é compacto).¯
Exemplo 1.8. Todo número real é um número fuzzy e sua função de pertinência é dada pela função característica. Portanto, R ⊂ RF.
Agora, apresentamos alguns resultados importantes que serão usados no desen-volvimento do trabalho e que caracterizam os conjuntos de nível de um número fuzzy. O primeiro deles é denominado teorema do empilhamento:
Teorema 1.4 (Teorema do empilhamento de Negoita e Ralescu (1975) [57]). Se A é um número fuzzy qualquer e [A]α são seus α-níveis, então:
i.) [A]α é um intervalo fechado e não vazio de R para todo α ∈ [0, 1]; ii.) Se 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, então, [A]1 ⊆[A]β ⊆[A]α ⊆[A]0;
iii.) Se αn é uma sequencia em [0, 1], que converge por baixo para α ∈ (0, 1], isto é, αn ≤ α, então,
∞
\
n=1
[A]αn = [A]α;
iv.) Se αn é uma sequência em [0, 1], que converge por cima para 0, isto é, αn≥0, então, (
∞
[
n=1
[A]αn) = [A]0.
Sendo os α-níveis de um número fuzzy intervalos reais, dado A ∈ RF,
denota-mos seus α-níveis por
[A]α = [a− α, a + α] onde a+ α é o extremo superior e a −
α é o extremo inferior do α-nível.
Quando temos uma ordenação conveniente dos conjuntos fuzzy, o teorema de representação de Negoita-Ralescu permite uma caracterização dos conjuntos fuzzy por meio dos seus conjuntos de α-níveis. Tal teorema é uma espécie de recíproca do teorema do empilhamento.
Teorema 1.5 (Teorema da caracterização de Negoita e Ralescu (1975) [57]). Seja {uα; α ∈ [0, 1]} uma família de intervalos reais que satisfazem as condições:
i.) uα é um intervalo fechado não vazio de R para todo α ∈ [0, 1]; ii.) Se 0 ≤ α1 ≤ α2 ≤1, então, uα2 ⊆ uα1;
iii.) Se αn é uma sequência em [0, 1] que converge por baixo para α ∈ (0, 1], então,
∞
\
n=1
uαn = uα;
iv.) Se αn é uma sequência em [0, 1] que converge por cima para 0 então: ([∞
n=1
uαn) = u0.
Então, existe um único A ∈ RF, tal que seus α-níveis [A]α = uα, para todo
α ∈ [0, 1].
Definição 1.28 (Barros (1997) [7]). Dado A ∈ F(R), as funções a−, a+: [0, 1] −→ R são definidas por
a−(α) =^[A]α e a+(α) =_[A]α ∀ α ∈ [0, 1].
A partir dos teoremas do empilhamento e do teorema da representação obtemos o resultado seguinte:
Teorema 1.6 (Goetschel e Voxman (1986) [34]). Seja A um número fuzzy. As funções a−, a+ : [0, 1] −→ R que são os extremos dos α-níveis de A satisfazem as seguintes condições:
i.) a−
∈ R é limitada, não decrescente, contínua à esquerda em (0,1] e contínua a direita em 0;
ii.) a+
∈ R é limitada, não crescente, contínua à esquerda em (0,1] e contínua a direita em 0;
iii.) a−(1) ≤ a+(1).
Reciprocamente, dadas as funções a−
, a+ : [0, 1] −→ R que satisfazem as condições acima, então, existe um número fuzzy A ⊂ R tal que [A]α = [a−(α), a+(α)], ∀ α ∈
[0, 1].
Denotamos por RFc o conjunto dos números fuzzy, tal que as funções dos
extremos do intervalo são contínuas, isto é, RFc = {A ∈ RF : a
onde A ∈ RF e [A]α = [a−(α), a+(α)].
O espaço (RFc, D∞) é um espaço métrico completo e separável, visto que o
espaço (RF, D∞) é um espaço métrico completo,[11].
Teorema 1.7(Barros (1997) [7]). Um conjunto fuzzy A de R é número fuzzy se, e somente se, [A]α 6= ∅ é intervalo fechado onde [A]α = [a−
α, a+α], a
−
α ≤ a+α, ∀ α ∈[0, 1].
Teorema 1.8(Barros (1997) [7]). Um conjunto fuzzy A de R é número fuzzy se, e somente se, [A]0 é limitado e [A]α = [a−
α, a + α], a − α ≤ a + α, ∀ α ∈(0, 1]. Teorema 1.9 (Lopes (2019) [52]). Seja A ∈ RFc temos que:
i.) [A]0 = [a− 0, a − 1] ∪ [a − 1, a + 1] ∪ [a + 1, a + 0]; ii.) Se z ∈ [a− 0, a − 1], então, a −(A(z)) = z; iii.) Se z ∈ [a+ 1, a + 0], então, a +(A(z)) = z.
Teorema 1.10 (Esmi (2018) [30]). Sejam g : R2 −→ R e l, r : R −→ R funções contínuas; Se l ≤ r, isto é, l(x) ≤ r(x) ∀ x ∈ R. Então, as funções M, m : R −→ R dadas por:
M(x) = _ y∈[l(x),u(x)]
g(x, y) e m(x) = ^ y∈[l(x),u(x)]
g(x, y), são funções bem definidas e contínuas.
1.1.8
Norma de um número fuzzy
Para medirmos a distância entre dois números fuzzy é necessário estabelecermos qual métrica será utilizada e a partir daí definiremos uma norma para um número fuzzy, a qual possibilitará a comparação dos mesmos e também possibilitará a determinação de qual é o maior dos elementos com respeito a essa norma.
A métrica de Hausdorff-Pompeiu é a que se mais utiliza na literatura, ela é proveniente da distância entre conjuntos compactos e convexos do Rn.
Figura 5 – Distância entre os conjuntos compactos A e B.
A Figura 5 representa a distância entre dois conjuntos compactos A e B, com dH(A, B) 6= dH(B, A).
Lembremos que, usualmente, a distância de um ponto a um conjunto é dada por
d(ξa, B) = inf{||a − b||; b ∈ B}.
A partir desta definição podemos determinar a separação de Hausdorff.
Definição 1.29 (Métrica de Hausdorff-Pompeiu, Puri e Ralescu (1983) [66]). Dados A e B, conjuntos não vazios e limitados do Rn. A separação de de Hausdorff é dada por
dH(A; B) = max[ρ(A; B); ρ(B; A)], onde ρ(A; B) = sup
a∈Ab∈Binf
||a − b|| e || . || é a norma euclidiana em Rn.
Figura 6 – Métrica de Hausdorff para cada α-nível.
Fonte: Própria autora.
A Figura 6 ilustra a distância dH([A]α,[B]α), para α = 1 e α = 0.
Definimos agora uma métrica para os elementos de RF denotada por D∞.
Definição 1.30 (Distância de Hausdorff-Pompeiu sobre RF,Puri e Ralescu (1983)
[66]). Sejam A e B ∈ RF. A distância de Hausdorff-Pompeiu D∞ : RF × RF −→[0, ∞)
entre A e B é definida por
D∞(A, B) =
_
0≤α≤1
dH([A]α,[B]α), onde dH é a métrica de Hausdorff-Pompeiu
dH([A]α,[B]α) = max _ x∈[A]α ^ y∈[B]α |x − y|, _ y∈[B]α ^ x∈[A]α |x − y| .
O espaço (RF, D∞) é um espaço métrico completo. Podemos ainda definir no
espaço métrico dos números fuzzy a função ||.|| : RF −→ [0, ∞], que tem propriedades
semelhantes às de uma norma e é definida como a distância de um número fuzzy A e o número crisp 0, isto é,
||A||= D∞(A, 0).
Porém, tal espaço não compõem um espaço vetorial e, consequentemente, não é um espaço normado.
Definição 1.31(Norma de Hausdorff-Pompeiu para RF, Puri e Ralescu (1983) [66]).
A norma de um número A é definida como a função ||.|| : RF −→[0, ∞] dada por
||A||= _
α∈[0,1]
_
x∈[A]α
|x|, ∀ A ∈ RF. (1.7)
Também podemos expressar a norma como ||A||F = _ z∈[A]0 |z|= max{|a− 0|, |a + 0|}, ∀A ∈ RFc.
Propriedade 1.1 (Propriedades da norma de Hausdorff-Pompeiu, Bede (2013) [11]). Dados A e B ∈ RF e δ ∈ R, temos que a função definida na Equação (1.7) satisfaz
as seguintes propriedades: 1. ||A|| = 0 ⇐⇒ A = χ0;
2. ||δA|| = |δ|||A||;
3. ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| .
Onde a soma que aparece no item 3. será definida posteriormente na Seção 1.2.
Definição 1.32 (Diâmetro,[36]). Seja A um número fuzzy, definimos o diâmetro do número fuzzy A, como
witdth(A) = |a+0 − a−0|
Kloeden,[48] define mais uma métrica em F(Rn) chamada métrica do Sendo-gráfico.
Definição 1.33 (Métrica do sendográfico, Kloeden(1980) [48]). Seja A um número fuzzy, definimos a métrica do sendográfico em F(Rn) como
H(u, v) = d∗H(send(u), send(v)) onde
send(u) = ([u]0×[0, 1]) ∩ end(u) e end(u) = {(x, α) ∈ Rn×[0, 1]|u(x) ≥ α} e d∗
H é a métrica de Pompeiu-Hausdorff no espaço R
Durante todo o texto se faz necessário a extensão de conceitos da teoria clássica para a teoria fuzzy. A partir de agora estudamos um mecanismo matemático proposto por Zadeh (1965) [86] que permitirá tal extensão, denominado princípio de extensão de Zadeh.
1.1.9
Princípio de extensão de Zadeh
A idéia geral do princípio de extensão de Zadeh é permite que dada uma função definida em um domínio qualquer possa ser estendida para a classe de subconjuntos fuzzy desse domínio através do princípio de extensão de Zadeh (1975) [87]. Este método possibilita que estendamos os conceitos da teoria clássica para a teoria fuzzy. Isto significa que qualquer funcional definido sobre os reais pode ser utilizado para executar operações com números fuzzy. Essa sessão será baseada em [10, 8, 11, 15, 18, 19, 31, 36, 58, 68, 86, 87]. Definição 1.34(Princípio de extensão de Zadeh, Zadeh(1975) [87] e Nguyen(1978)[58]). Sejam X e Y dois conjuntos clássicos, arbitrários e não vazios e seja f : X −→ Y uma função clássica. Para cada A ∈ F(X) nós definimos a extensão de de Zadeh f como
ˆ
f(A) ∈ F(Y ) tal que: ˆ
f(A)(y) = µf (A)ˆ (y) =
sup s∈f−1(y) µA(z), se f−1(y) 6= ∅, 0, se f−1(y) = ∅.
para todo y ∈ Y onde a pré-imagem de y é dada por f−1(y) = {x ∈ X | f(x) = y}.
A Figura 7 ilustra a extensão de f quando f é contínua. Figura 7 – Princípio de Extensão de Zadeh.
Fonte: Klir [47].
Definição 1.35 (Princípio de extensão de Zadeh). Considere X1, X2, . . . , Xn e Y conjuntos clássicos, arbitrários e não vazios e seja f : X1×X2×. . .×Xn−→ Y uma função
clássica. O princípio de extensão da função f é a função ˜f : F(X1)×F(X2)×. . .×F(Xn) −→
F(Y ) cuja função de pertinência, para cada (A1, A2, . . . , An) ∈ F(X1)×F(X2)×. . .×F(Xn)
é dada por: ˜
f(A1, A2, . . . , An)(y) = µf (A1,A2,...,A˜ n)(y) =
_ s∈f−1(y) µA1×A2×...×An(s), se f −1(y) 6= ∅, 0, se f−1(y) = ∅. = _ s∈f−1(y) A1(x1) ∧ A2(x2) ∧ . . . ∧ An(x2), se f−1(y) 6= ∅, 0, se f−1(y) = ∅.
onde a pré-imagem de y é dada por
f−1(y) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ X1× X2× . . . × Xn | f(x1, x2, . . . , xn) = y}
e s = (x1, x2, . . . , xn).
O princípio de extensão de Zadeh é aplicável a qualquer tipo de função, não havendo restrição com relação ao domínio, contradomínio e continuidade da função.
A medida que a teoria dos conjuntos fuzzy foi evoluindo, novas propriedades e outros tipos de princípio de extensão surgiram, originando uma área de estudo bastante interessante.
Apresentamos importantes resultados que relacionam os α-níveis das imagens de ˜f com a imagem dos α-níveis de f respectivamente. Tais teoremas, foram inicialmente estudadas por Nguyen e posteriormente por Cabrelli , onde considerou-se uma família de contrações definidas em um espaço métrico compacto, Barros estendeu esses resultados da extensão de Zadeh para espaços métricos do tipo (F(Rn), D
∞).
Teorema 1.11 (Nguyen(1975)[58] Barros(1997)[7]). Seja f : X −→ Y uma função contínua, com X e Y espaços topológicos, então,
[ ˆf(A)]α = f([A]α), ∀ α ∈ [0, 1].
Como consequência do teorema acima temos o seguinte corolário: Corolário 1.1. Se f é contínua, então, ˆf é monotóna no seguinte sentido:
Se A ≤ B, ent˜ao ˆf(A) ≤ ˆf(B) onde A ≤ B, indica que A(x) ≤ B(x), ∀ x ∈ Rn.
Quando consideramos a t-norma do mínimo no Teorema 1.11 obtemos o seguinte teorema:
