Na estatística se pressupõem a existência de uma relação de interatividade (ou correlação) entre os dados obtidos, quando tais medidas são tomados sobre um mesmo objeto ou indíviduo. Neste trabalho, adotaremos a mesma estratégia.
Faremos alguns exemplos, mostrando algumas aplicações práticas do modelo de quadrados mínimos para dados composto por números fuzzy interativos.
Os dados utilizados foram retirados de Conceição et al. (2011) [20], artigo onde é discutido a associação entre a mortalidade infantil e a poluição do ar na cidade de São Paulo do ano de 1994 até 1997. No estudo, foram analisados dados longitudinais de dióxido de enxofre (SO2), monóxido de carbono (CO), ozônio (O3) e partículas inaláveis com menos de 10 nm de
diâmetro (Pm10), obtidos através da CETESB, agência que controla a poluição do ar em São Paulo.
O estudo realizado por Conceição et al. (2001) [20], sob o ponto de vista estatístico, detectou uma significativa associação entre a mortalidade infatil e a concentração dos polu- entes (CO), (SO2) e (Pm10). Além disso, correlações significativas moderadas ocorreram entre
(Pm10), (SO2) e (CO). Porém, o (O3) não apresentou correlação forte com os outros poluentes,
provavelmente devido ao fato de ser um derivado de reações fotoquímicas.
Os números fuzzy considerados nos Exemplos 4.3–4.5 foram definidos a partir do desvio padrão, tais dados são provenientes de Conceição et al.(2001) [20]. Desde que as medidas são tomadas em um mesmo poluente, parece razoável modelarmos tais poluentes através de números fuzzy e considerar a existência de uma relação de interatividade entre esses números descrita por Jγ, com γ ∈ [0, 1].
Exemplo 4.3. Seja D1 = {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), (x4, Y4) ⊂ R × RF} o conjunto de dados
na Tabela 2, onde Y1, Y2, Y3 e Y4 são números fuzzy interativos com relação a distribuição de
possibilidade conjunta Jγ e referem-se ao poluente ozônio, O3(mg/m3). Considere as funções φ3(x) = x2, φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Tabela 2 – Conjunto de Dados Fuzzy D1. Referente ao poluente O3(Mg/m3).
] x Y(fuzzy)
1994 1 (17.6;57.0;96.4) 1995 2 (25.3;60.7;96.1) 1996 3 (34.8;76.3;117.8) 1997 4 (29.5;63.0;96.5) Fonte: Conceição et al.(2001) [20]
Pelo exposto na Seção 4.5 e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos os gráficos apresentados nas Figuras 58 e 59.
Figura 58 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy Φ com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b).
Figura 59 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, para o poluente O3,
com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b).
Fonte: Própria autora.
A Figura 58 exibe a função fuzzy ˜Φ proposta na Equação (4.8) para J = Jγ, que ajusta os dados do poluente ozônio (O3) da Tabela 2 para γ = 0.25 e γ = 0.5, respectivamente.
A Figura 59 exibe a função ˜Φ de ajuste dos dados da Tabela 2, para γ = 0.75 e γ = 1, respectivamente.
Exemplo 4.4. Seja D2 = {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), (x4, Y4) ⊂ R × RF} o conjunto de dados
na Tabela 3, onde Y1, Y2, Y3 e Y4 são números fuzzy interativos com relação a distribuição de
possibilidade conjunta Jγ e referem-se aos poluentes inaláveis cujo diâmetro é inferior a 10
nm,PM10(mg/m3). Considere as funções φ3(x) = x2, φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Tabela 3 – Conjunto de Dados Fuzzy D2. Referente ao poluente PM10(mg/m3).
] x Y(fuzzy)
1994 1 (30.6;67.0;103.4) 1995 2 (43;73.8;104.6) 1996 3 (33.7;63.8;89.0) 1997 4 (35.1;60.3;85.5) Fonte: Conceição et al. (2001) [20]
Pelo exposto na Seção 4.5 e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos os gráficos apresentados nas Figuras 60 e 61.
Figura 60 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, dos poluente PM10, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b).
Fonte: Própria autora.
Figura 61 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, dos poluentes PM10, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b).
Fonte: Própria autora.
A Figura 60 exibe a função fuzzy ˜Φ proposta na Equação (4.8) para J = Jγ, que ajusta os dados da Tabela 3 para γ = 0.25 e γ = 0.5, respectivamente. A Figura 61 exibe a função ˜Φ de ajuste dos dados dos poluentes PM10 da Tabela 3, para γ = 0.75 e γ = 1, respectivamente.
Exemplo 4.5. Seja D3 = {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), (x4, Y4) ⊂ R × RF} o conjunto de dados
na Tabela 4, onde Y1, Y2, Y3 e Y4 são números fuzzy interativos com relação a distribuição de
possibilidade conjunta Jγ e referem-se ao poluente dióxido de exofre, SO2(mg/m3). Considere as funções φ3(x) = x2, φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Pelo exposto na Seção 4.5 e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos os gráficos apresentados nas Figuras 62 e 63.
Tabela 4 – Conjunto de Dados Fuzzy D3. Referente ao poluente SO2(mg/m3). ] x Y(fuzzy) 1994 1 (7.5;14.9;22.3) 1995 2 (14.7;27.5;40.3) 1996 3 (11.8;23.0;34.2) 1997 4 (9.3;19.6;29.9) Fonte: Conceição et al. (2001) [20].
Figura 62 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente SO2, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b).
Fonte: Própria autora.
Figura 63 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente SO2, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b).
Fonte: Própria autora.
ajusta os dados da Tabela 4 para γ = 0.25 e γ = 0.5, respectivamente. A Figura 63 exibe a função ˜Φ de ajuste dos dados do poluente dióxido de enxofre (SO2) da Tabela 4, para γ = 0.75 e
γ = 1, respectivamente.
Exemplo 4.6. Seja D4 = {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), (x4, Y4) ⊂ R × RF} o conjunto de dados
na Tabela 5, onde Y1, Y2, Y3 e Y4 são números fuzzy interativos com relação a distribuição de
possibilidade conjunta Jγ e referem-se ao poluente monóxido de carbono, CO(ppm). Considere as
funções φ3(x) = x2, φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Tabela 5 – Conjunto de Dados Fuzzy D4. Referente ao poluente CO(ppm).
] x Y(fuzzy) 1994 1 (2.7;5.1;7.5) 1995 2 (2.7;5.1;7.5) 1996 3 (1.9;3.9;5.9) 1997 4 (2.1;3.7;5.3) Fonte: Conceição et al.(2001) [20].
Pelo exposto na Seção 4.5 e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos os gráficos apresentados nas Figuras 64 e 65.
Figura 64 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente CO, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b).
Figura 65 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do poluente CO, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b).
Fonte: Própria autora.
A Figura 64 exibe a função fuzzy ˜Φ proposta na Equação (4.8), para J = Jγ, que ajusta os dados da Tabela 5 para γ = 0.25 e γ = 0.5, respectivamente. A Figura 65 exibe a função ˜Φ de ajuste dos dados do poluente monóxido de carbono (CO) da Tabela 5, para γ = 0.75 e γ = 1, respectivamente.
Exemplo 4.7. Seja D5= {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), . . . , (x8, Y8) ⊂ R×RF} o conjunto de dados
na Tabela 6, onde Y1, Y2, Y3, . . . , Y8 são números fuzzy interativos com relação a distribuição de
possibilidade conjunta Jγ, visto que referem-se a área do componente C14 em concentração fixa de 0.5 mmol L−1 e xi representa o mmol variando de 0.5 em 0.5 mmol. Tais dados foram extraídos de Leal (2017) [51].Considere as funções φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Tabela 6 – Conjunto de Dados Fuzzy D5.
] x Y(fuzzy) 1 0.5 (0.315;0.353;0.397) 2 1 (0.607;0.643;0.923) 3 1.5 (1.01;1.03;1.09) 4 2 (1.24;1.36;1.58) 5 2.5 (1.61;1.64;1.66) 6 3 (1.85;2;2.14) 7 3.5 (2.51;2.58;2.59) 8 4 (2.68;2.69;2.70) Fonte: Leal(2017)[51].
Os números fuzzy considerados no Exemplo 4.7 dados na Tabela 6 foram definidos a partir do desvio padrão, tais dados são provenientes de Leal (2017) [51].
Pelo exposto na Seção 4.5 e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos o gráfico apresentado na Figura 66.
Figura 66 – A subfigura (a) ilustra a solução no caso clássico e a e subfigura(b) mostra a vista superior da solução fuzzy ˜Φ com respeito a γ = 0.2.
(a) Leal(2017)[51] e (b) Própria autora.
Notamos que a subfigura (a) da Figura 66 exibi a curva de calibração extraída em [51] no caso clássico. Enquanto a subfigura (b) exibe a função fuzzy ˜Φ proposta na Equação (4.8) para J = Jγ, que ajusta os dados da Tabela 6, para γ = 0.2.
Vale salientar que no método proposto não temos ferramentas que permitam medir erros, visto que na teoria de erros é necessário que esteja estabelecida uma teoria de cálculo, o que ainda não temos na teoria fuzzy.
Exemplo 4.8. Seja D6 = {(x1, Y1), (x2, Y2), (x3, Y3), . . . , (x13, Y13) ⊂ R × RF} o conjunto de
dados na Tabela 6, onde Y1, Y2, Y3, . . . , Y13são números fuzzy interativos com relação a distribuição
de possibilidade conjunta Jγ e referem-se a composição do Cimento Portland no calor e sua
evolução durante o endurecimento e xi representa o tempo evoluindo de 12 em 12 horas. Tais dados foram extraídos de Pushpa (2013) [67]. Considere as funções φ6(x) = x5, φ5(x) = x4, φ4(x) = x3, φ3(x) = x2, φ2(x) = x e φ1(x) = 1.
Pelo exposto na Seção 4.5 e e utilizando o código D.2 do Anexo D, obtemos os gráficos abaixo:
Tabela 7 – Conjunto de Dados Fuzzy D6. ] x Y(fuzzy) 1 12 (71.6;78.5;85.4) 2 24 (67.9;74.3;80.7) 3 36 (94.9;104.3;113.7) 4 48 (79.8;87.6;95.4) 5 60 (86.9;95.5;104.1) 6 72 (99.3;109.2;119.1) 7 84 (93.4;102.7;112) 8 96 (66.3;72.5;78.7) 9 108 (84.8;93.1;101.4) 10 120 (105.3;115.9;126.5) 11 132 (76.4;83.8;91.2) 12 144 (102.7;113.3;123.9) 13 156 (99.5;109.4;119.3) Fonte: Pushpa(2013) [67].
Figura 67 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do efeito da composição do Cimento no calor, com respeito a γ = 0.25 (a) e γ = 0.5 (b).
Figura 68 – As subfiguras denotam a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, do efeito da composição do Cimento no calor, com respeito a γ = 0.75 (a) e γ = 1 (b).
Fonte: Própria autora.
Notamos que a Figura 67 exibe a função fuzzy ˜Φ proposta na Equação (4.8), para
J = Jγ, que ajusta os dados da Tabela 7 para γ = 0.25 e γ = 0.5. A Figura 68 exibe a função ˜Φ
de ajuste dos dados para γ = 0.5 e γ = 1, respectivamente. Observamos que quando γ = 1 temos um ajuste bem ruim.
Por inspeção gráfica, escolhemos o valor de γ = 0.45 e notamos na Figura 69 que os dados da Tabela 5 são razoavelmente ajustados para tal valor de γ. As linhas contínuas em verde, denotam o suporte dos números fuzzy ajustados por ˜φ. Os dados analisados são obitdos através da análise sobre um mesmo objeto (cimento Portland), onde admitimos a existência de uma relação de interatividade entre as medidas coletadas no decorrer do tempo.
Figura 69 – A subfigura (a) ilusta a vista superior da solução fuzzy ˜Φ, que denota o efeito da composição do cimento no calor, com respeito a γ = 0.45 e as linhas contínuas em verde denotam os suporte dos números fuzzy. A sibfigura (b) mostra o mesmo gráfico em 3D.