1.4 Multifunções
1.4.2 Seleção de uma multifunção
Definição 1.56 (Seleção). Considere X um espaço métrico e Y um espaço de Banach. Suponha que exista uma função f : X −→ Y com a propriedade
f(x) ∈ F (x), ∀x ∈ X; Neste caso, dizemos que f é uma seleção da multifunção F.
Definição 1.57 (Seleção contínua). Dada uma multifunção F : X −→ 2Y \ ∅ , diz-se que a função f : X −→ Y é uma seleção continua de F se f for uma seleção de F e contínua em X.
Teorema 1.22(Teorema de seleção de Michael). Sejam X espaço Métrico e Y espaço de Banach, F : X −→ 2Y \ ∅ uma multifunção com valores fechados e convexos. Se F é semicontinua inferiormente , então, dados (x0, y0) ∈ graf(F ), existe uma seleção contínua
f : X −→ Y de F, tal que f(x0) = y0.
Demonstração. Ver Aubin (1987) [3] ou Kisielewicz (1991) [45].
O teorema de Michael, será utilizado muitas vezes na demostração de muitos resultados ao longo do trabalho.
Existem multifunções scs com valores fechados e convexos que não possuem seleção contínua, conforme observamos no exemplo abaixo:
Exemplo 1.11. Considere a multifunção F : R −→ 2R\ ∅, definida por
F(x) = [0, 1], se x = 0, 1, se x > 0, 0, se x < 0.
F é semicontinua inferiormente, é claro que f não tem uma seleção contínua definida em R.
O presente capítulo elenca os conceitos básicos necessários para o entendimento do trabalho. No capítulo seguinte apresentamos uma família parametrizada de relações fuzzy em R2. Veremos que essas relações são, de fato, uma distribuição de possibilidade
conjunta para dois números fuzzy interativos dados . Além disso, apresentamos algumas propriedades interessantes como o controle da soma de dois números fuzzy interativos baseado nesses conjuntos.
2 Propriedades da Soma de Dois Números
Fuzzy Interativos
Neste capítulo iremos descrever brevemente os resultados apresentados em [82]. Wasques (2019) conseguiu uma caracterização simples para a soma de dois números fuzzy interativos a partir da representação para os α-níveis da distribuição de possibilidade conjunta da soma e subtração entre dois números fuzzy. A seguir, apresentamos alguns resultados que servirão de base para realizar a extensão do somatório interativo de k números fuzzy.
Para construirmos a família de distribuição de possibilidade conjunta Jγ vamos considerar A, B ∈ RFc tal que [A]
α = [a− α, a + α] e [B] α= [b− α, b + α] para todo α ∈ [0, 1]. Para todo γ ∈ [0, 1] e para todo x ∈ R definimos os seguintes intervalos: IA(x, α, γ) = [¯b + fAα(x) + γ(b−α − ¯b − fα A(x)), ¯b + f α A(x) + γ(b + α − ¯b − f α A(x))], e
IB(x, α, γ) = [¯a + fB(x) + γ(aα −α −¯a − fB(x)), ¯a + fα B(x) + γ(aα +
α −¯a − f α B(x))], onde ¯a = a−1 + a + 1 2 , ¯b= b−1 + b+1
2 e as funções fA(x), fα B(x) são dadas porα fAα(x) = (−(x − ¯a) ∨ (b−α − ¯b)) ∧ (b+
α − ¯b) e
fB(x) = (−(x − ¯b) ∨ (aα −α −¯a)) ∧ (a+
α −¯a).
Observação 2.1. Os números reais ¯a e ¯b utilizados acima são denominados translações dos números fuzzy A e B, respectivamente. Tais translações são obtidas pelo ponto médio entre α-nível, com α = 1 e a origem. Assim, para cada α ∈ [0, 1] tem-se
a−α −¯a ≤ 0 ≤ a+α −¯a e b−α − ¯b ≤0 ≤ b+α − ¯b. (2.1) Para todo α, γ ∈ [0, 1] define-se os conjuntos PA(γ), PB(γ) ⊆ R2 por
PA(γ) = [ α∈[0,1) [ x∈{a−α,a+α} {x} × IA(x, α, γ) ∪ [ x∈[A]1 {x} × IA(x, 1, γ) e PB(γ) = [ α∈[0,1) [ x∈{b−α,b+α} {x} × IB(x, α, γ) ∪ [ x∈[B]1 {x} × IB(x, 1, γ) .
A relação fuzzy Jγ, para cada γ ∈ [0, 1] é definida como sendo Jγ(x1, x2) = A(x1) ∧ B(x2) se (x1, x2) ∈ P (γ), 0, caso contrário (2.2) onde P(γ) = PA(γ) ∪ PB(γ). (2.3)
Observação 2.2. Desde que A, B ∈ RFc segue-se que os extremos dos intervalos IA(x, α, γ)
e IB(x, α, γ) são funções contínuas para todo x ∈ R.
Proposição 2.1. Sejam A, B ∈ RFc e Jγ a relação fuzzy dada pela Equação (2.2). Para
todo γ ∈ [0, 1] temos que:
(i) Jγ é uma distribuição de possibilidade conjunta para A e B; (ii) Jγ ⊆ Jλ para todo 0 ≤ γ ≤ λ ≤ 1;
(iii) A +γB ∈ RFc.
Demonstração. Ver [29] e [82].
Pelo item ii) da Proposição 2.1 temos que J0 ⊆ Jγ ⊆ J1 para todo γ ∈ [0, 1].
Como J1 = J∧, temos uma relação entre números fuzzy não interativa para γ = 1.
Na subfigura (a) representamos a distribuição de possibilidade conjunta, J0, para
A = (−1; 0; 1) e B = (−1; 0; 1). Em (b) temos domínio de J0, cujas linhas tracejadas de azul
representam as curvas de nível +(x, y) = z, para z = −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2. Figura 11 – Distribuição de Possibilidade conjunta J e seu domínio para γ = 0.
Fonte: Wasques [82].
Na Figura 12 ilustramos o domínio da distribuição de possibilidade conjunta Jγ para γ = 0.25, γ = 0.5, γ = 0.75 e γ = 1, respectivamente.
Figura 12 – Vista do Domínio da distribuição de possibilidade conjunta, Jγ, para A = (−1; 0; 1) e B = (−1; 0; 1).
Fonte: [29].
A Figura 13 dá uma visão tridimensional da distribuição de possibilidade conjunta Jγ para γ = 0.25, γ = 0.5, γ = 0.75 e γ = 1, para A = B = (−1, 0, 1), onde as linhas tracejadas de azul representam as curvas de nível f(x, y) = z, para z = −2, −1.5, −1, −0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2.
Figura 13 –Visão tridimensional da distribução Jγ, para A = (−1; 0; 1) e B = (−1; 0; 1).
Fonte: Wasques [82].
Proposição 2.2. Dado I(R) = {[a, b] : a ≤ b, a, b ∈ R} e uma família de subconjuntos {Aβ ∈ I(R) : ∀β ∈ I}, onde I é um conjunto de índices. As seguintes igualdades são válidas
inf [
β∈I
Aβ = inf
β∈I(inf Aβ) e sup
[
β∈I
Aβ = sup
β∈I(sup Aβ). Demonstração. Ver [82].
Proposição 2.3. Sejam A, B ∈ RFc e Jγ uma distribuição de possibilidade conjunta para
A e B, como em (2.2). Para todo α e γ ∈ [0, 1], temos [Jγ]α= [ β∈[α,1] (PA(β, γ) ∪ PB(β, γ)), onde PA(β, γ) = {a−β} × IA(a−β, β, γ)∪{a+β} × IA(a+β, β, γ), se β ∈ [0, 1) [ x∈[A]1 {x} × IA(x, 1, γ), se β = 1 e PB(β, γ) = {b−β} × IB(b−β, β, γ)∪{b+ β} × IA(b + β, β, γ) , se β ∈ [0, 1) [ x∈[B]1 {x} × IB(x, 1, γ), se β = 1. Demonstração. Ver [82].
O seguinte teorema dá uma caracterização para a soma de dois números fuzzy interativos por meio dos seus α-níveis. Tal teorema permite manipular essa soma interativa de maneira simples.
Proposição 2.4. Sejam A, B ∈ RFc tal que [A] α = [a− α, a + α] e [B] α = [b− α, b + α], se
[A +γB]α = [c−α, c+α] ∀ α ∈ [0, 1], então, os α-níveis da soma interativa A +γB são dados por c−α = ^ β≥α h−(A+ γB)(β, γ) e c + α = _ β≥α h+(A+ γB)(β, γ) (2.4) onde h−(A+ γB)(β, γ) = {[(a − β+b + β)+γ(b − β−b + β)]∧[(a + β+b − β)+γ(a − β−a + β)]∧[(¯a+¯b)+γ(a − β+b − β−(¯a+¯b))]} e h+(A+ γB)(β, γ) = {[(a − β+b + β)+γ(a + β−a − β)]∨[(a + β+b − β)+γ(b + β−b − β)]∨[(¯a+¯b)+γ(a + β+b + β−(¯a+¯b))]} Demonstração. Ver [82].
O próximo resultado garante que a norma de Pompeiu-Hausdorff da soma interativa de dois números fuzzy é majorada inferiormente e superiormente pelas normas das extensões fJγ com γ = 0 e γ = 1, respectivamente.
Proposição 2.5. Sejam A, B ∈ RFc. Considere a função φA+B : [0, 1] −→ R dada por
φA+B(γ) = ||A +γB||. As seguintes propriedades são verdadeiras (i) φA+B é uma função contínua e não decrescente;
(ii) φA+B(0) ≤ ||A +J B|| ≤ φA+B(1),
para toda distribuição conjunta J de A e B tal que A +J B ∈ RF.
Demonstração. Ver [82].
A proposição seguinte garante que a largura da soma interativa de dois números fuzzy é majorada inferiormente e superiormente pelas larguras de A +0B e A +1B.
Proposição 2.6. Sejam A, B ∈ RFc. Considere a função ϕA+B : [0, 1] −→ R dada por
ϕA+B(γ) = width(A +γB). As seguintes propriedades são verdadeiras: (i) ϕA+B é uma função contínua e não decrescente;
(ii) ϕA+B(0) ≤ width(A +J B) ≤ ϕA+B(1),.
para toda distribuição conjunta J de A e B tal que A +J B ∈ RF
Gostaríamos que a soma interativa satisfizesse a propriedade de associatividade, porém infelizmente tal propriedade não é válida. Considere o (contra) exemplo a seguir: Exemplo 2.1. Sejam A,B e C números fuzzy triangulares dados por A = (−1; 0; 1), B = (−1; 0; 1) e C = (−1; 0; 2). A Proposição 2.4 garante que
[A +γB]α = [ inf β≥αh − (A+γB)(β, γ), sup β≥α h+(A+ γB)(β, γ)]
De acordo com a relação dada em (1.1), temos que
[A]α= [B]α = [−1 + α, 1 − α] e [C]α = [−1 + α, 2 − 2α]. Assim, para γ = 0, obtemos
[A +0B]α = [ inf β≥α{0, 0, 0}, supβ≥α{0, 0, 0}] = [0, 0] conforme a Figura 14. Daí, [A +0B]α+ [C]α = [S1]α, ou seja, [S1]α= [0, 0] + [−1 + α, 2 − 2α] = [−1 + α, 2 − 2α] = [C]α, ∀ α ∈[0, 1],
conforme a Figura 15. Por outro lado [B +0C]α = [ inf
β≥α{0, 1 − β, 0}, supβ≥α{0, 0, 1 − β}] = [0, 1 − α], como observamos na Figura 16. Logo,
[A]α+
0 [B +0 C]α = [ inf
β≥α{0, β, 1 − β}, supβ≥α{0, β, 1 − β}] = [0, 1 − α] = [S2] α, conforme ilustrado na Figura 17.
Portanto, [S1]α 6= [S2]α e concluímos que S1 6= S2. Ou seja, não é válido a
Figura 14 – Representação dos números fuzzy A e B, na subfigura (a) e na subfigura(b) temos o resultado da soma interativa entre A e B, para γ = 0.
Fonte: Própria autora.
Figura 15 – Representação dos números fuzzy (A +0 B) e C em (a) e o resultado da soma
interativa entre (A +0B) e C, para γ = 0 em (b).
Figura 16 – Representação dos números fuzzy B e C (a) e o resultado da soma interativa entre B e C, para γ = 0 (b).
Fonte: Própria autora.
Figura 17 – Representação dos números fuzzy A e (B +0C) (a) e o resultado da soma interativa
entre A e (B +0C), para γ = 0 (b).
Fonte: Própria autora.
Esse exemplo mostra que para realizar uma soma de três números fuzzy a ordem deve ser considerada. Assim, não poderíamos estender a soma proposta por Wasques usando recursividade. Desejamos definir uma família de distribuição de possibilidade conjunta que nos permitar estender o operador soma de modo que a permutação dos operandos no somatório interativo seja invariante.
Baseado nos resultados obtidos por [82] vamos estender as idéias anteriores para lidar com k números fuzzy interativos, com k ≥ 2. No capítulo seguinte apresentamos uma família parametrizada de relações fuzzy em Rn, mostramos que essas relações são, de
fato, uma distribuição de possibilidade conjunta para k números fuzzy dados. Além disso, garantimos um controle da norma dessa soma e demonstramos algumas propriedades.
3 Somatório de Números Fuzzy Interativos
via Princípio de Extensão Sup-J
A noção de interatividade entre dois ou mais números fuzzy surge como um con- ceito adjacente ao conceito de distribuição de possibilidade conjunta (tal como salientamos na Seção 1.3).
Neste capítulo construímos uma família de distribuição de possibilidade conjunta Jγ atribuída a k números fuzzy. Cada uma dessas distribuições estabelece uma relação de interatividade entre os k números fuzzy envolvidos.
A norma e o diâmetro da extensão sup-J da função f(x1, x2, . . . , xn) =
n
X
i=1 xi baseada na família de distribuição conjunta Jγ atigem menor e maior valores possíveis, respectivamente para γ = 0 e γ = 1.