HÉLICES, CURVAS DE BERTRAND E SUPERFÍCIES REGRADAS

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA. HÉLICES, CURVAS DE BERTRAND E SUPERFÍCIES REGRADAS. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Marcia Viaro Flôres. Santa Maria, RS, Brasil 2012.

(2) HÉLICES, CURVAS DE BERTRAND E SUPERFÍCIES REGRADAS. Marcia Viaro Flôres. Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática, Área das Ciências Naturais e Exatas, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dra. Claudia Candida Pansonato. Santa Maria, RS, Brasil 2012.

(3) Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática. A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação de Mestrado. HÉLICES, CURVAS DE BERTRAND E SUPERFÍCIES REGRADAS elaborada por Marcia Viaro Flôres. como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática COMISSÃO EXAMINADORA:. Prof. Dra . Claudia Candida Pansonato (Orientador). Prof. Dra . Rosane Rossato Binotto (UFFS). Prof. Dr. Ari João Aiolfi (UFSM). Santa Maria, 27 de fevereiro de 2012..

(4) AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar agradeço a Deus por sua infinita bondade. Graças a Ele consegui forças e coragem para concluir mais essa etapa da minha vida. Agradeço de coração ao meu grande companheiro de todas as horas, Glademir, por estar sempre do meu lado, dando apoio e amor. E agradeço a ele pelo maior presente da minha vida, minha pequena Cristine. Filha saiba que eu te amo para sempre! Registro também meus agradecimentos aos meus pais e irmão, por terem sido partes fundamentais na formação do meu caráter. A todos os professores que contribuíram para minha formação, principalmente ao professor João Batista Peneireiro pelo exemplo de vida. Meus agradecimentos especiais à professora Claudia, pela sua orientação durante toda a realização desse trabalho e por sua compreensão para com todas as inusitadas situações pelas quais passei nesses últimos dois anos. Agradeço aos professores Ari, Rosane e Carmen pela leitura desse texto e pelas palavras de incentivo. Aos meus colegas de mestrado, agradeço pelas experiências que vivemos juntos. Em especial ao Marcos por estar sempre pronto a nos ajudar. Marcos, você tem um grande caráter! Agradeço também em especial a Solange e a Elisa por não terem medido esforços para me ajudar no momento mais delicado da minha vida, o nascimento da Cristine. Obrigada de coração! Por fim, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro recebido..

(5) RESUMO Dissertação de Mestrado Programa de Pós-Graduação em Matemática Universidade Federal de Santa Maria. HÉLICES, CURVAS DE BERTRAND E SUPERFÍCIES REGRADAS AUTORA: MARCIA VIARO FLORES ORIENTADORA: CLAUDIA CANDIDA PANSONATO Data e Local da Defesa: Santa Maria, 27 de fevereiro de 2012. O presente trabalho destina-se a um estudo sobre hélices e curvas de Bertrand. Uma hélice circular τ é caracterizada por ter curvatura κ 6= 0 e torção τ constantes. Se a razão for constante, a curva κ é chamada hélice generalizada. Uma curva γ : I −→ R3 é chamada curva de Bertrand se existe uma outra curva γ : I −→ R3 tal que as retas normais de γ e γ em s ∈ I são iguais. Tanto a hélice generalizada como a curva de Bertrand podem ser vistas como generalizações da hélice circular. Neste trabalho, além de obtermos importantes caracterizações destas curvas, realizamos também um estudo destas do ponto de vista da teoria de curvas em superfícies regradas. Palavras-chave: Hélices. Curvas de Bertrand. Superfícies Regradas..

(6) ABSTRACT Dissertation Graduate Program in Mathematics Universidade Federal de Santa Maria. HELICES, BERTRAND CURVES AND RULED SURFACES AUTHOR: MARCIA VIARO FLORES ADVISOR: CLAUDIA CANDIDA PANSONATO Date and Location of Defense: Santa Maria, February 27nd , 2012. This work is designed to study helices and Bertrand curves. A circular helix is characterized by τ having constant curvature κ 6= 0 and constant torsion τ . If the ratio is constant, the curve is called κ generalized helix. A curve γ : I −→ R3 is called a Bertrand curve if there is another curve γ : I −→ R3 such that the normal lines of γ and γ at s ∈ I are equal. Generalized helices and Bertrand curves can be viewed as generalizations of the circular helix. In this work, we obtain important characterizations of these curves. Besides, we also study these curves from the view point of the theory of curves on ruled surfaces. Keywords: Helices. Bertrand Curves. Ruled Surfaces..

(7) SUMÁRIO. INTRODUÇÃO. 6. 1 CURVAS ESPECIAIS. 8. 1.1. Curvas no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.2. Hélices e Vetor de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 1.3. Curvas de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.4. A indicatriz de Darboux de uma curva de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2 SUPERFÍCIES REGRADAS. 31. 2.1. Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 2.2. Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.3. Superfícies Desenvolvíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3 CURVAS ESPECIAIS E SUPERFÍCIES REGRADAS. 39. 3.1. Superfície retificável desenvolvível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.2. Superfície normal principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.3. Algumas caracterizações de superfícies regradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. CONCLUSÃO. 55. REFERÊNCIAS. 56.

(8) INTRODUÇÃO Este trabalho visa um estudo sobre hélices e curvas de Bertrand. Um dos problemas importantes em geometria diferencial de curvas no espaço é a caracterização de uma curva regular. A curvatura κ e a torção τ desempenham um papel efetivo nesta caracterização. Uma hélice circular é caracterizada por ter curvatura κ 6= 0 e torção τ constantes. Se a τ razão for constante, a curva é chamada hélice generalizada. Tal condição é equivalente aos vetores κ tangentes fazerem um ângulo constante com uma direção fixa. Existem muitas aplicações interessantes de hélices, sendo que as estruturas helicoidais surgem, por exemplo, em nanomolas, nanotubos de carbono, na forma da hélice dupla do DNA, em escadas helicoidais, entre outras [12]. Outra abordagem para o problema de caracterização de curvas é considerar a relação entre os vetores do referencial de Frenet de curvas, como é o caso das curvas de Bertrand. Estas curvas foram descobertas por J. Bertrand em 1850 e constituem um importante tópico da geometria clássica de curvas. Uma curva γ : I −→ R3 é chamada de Bertrand se existe uma outra curva γ : I −→ R3 tal que as retas normais de γ e γ em s ∈ I são iguais. Neste caso γ é chamada par de Bertrand de γ . Mostraremos na Proposição 3 que a curva é de Bertrand se e somente se existem números reais não-nulos A e B tais que Aκ + Bτ = 1, para todo s ∈ I, onde κ e τ são a curvatura e a torção, respectivamente, de γ . Com isto, pode-se mostrar que as curvas de Bertrand também são uma generalização das hélices circulares.. O estudo de hélices e curvas de Bertrand também será feito do ponto de vista de curvas sobre superfícies regradas. No capítulo 1 será feito inicialmente um breve apanhado da teoria local das curvas no espaço e, após, dedicaremos as seções subsequentes ao estudo das hélices generalizadas e das curvas de Bertrand. Destacamos os resultados obtidos nos Teoremas 1 e 2 que estabelecem, respectivamente, que toda hélice generalizada pode ser construída a partir de uma curva plana e que toda curva de Bertrand pode ser obtida de uma curva esférica. Na última seção estudamos o conceito de envelope de uma família de funções para obter uma importante caracterização da indicatriz de Darboux de uma curva de Bertrand. O capítulo 2 será dedicado à teoria clássica de superfícies regradas. O interesse pelo tema tem reaparecido recentemente devido suas aplicações em diferentes áreas que vão desde Geometria Diferencial Projetiva, Computação Gráfica a Desenho Industrial, dentre outras. Neste capítulo faremos um apanhado dos principais resultados sobre superfícies regradas. As referências utilizadas são [2] e [3]. Dentre as superfícies regradas, destacamos duas categorias que merecem atenção especial: as.

(9) 7 superfícies cilíndricas e as superfícies desenvolvíveis. No capítulo 3 estudaremos hélices generalizadas e curvas de Bertrand como curvas em superfícies regradas, tendo como base [7]. Para isto, dividimos o capítulo em três seções. Na primeira seção faremos um estudo sobre a superfície retificável desenvolvível, destacando as condições para que ocorra pontos singulares e relacionando esta com a hélice generalizada. Na segunda seção estudaremos a superfície normal principal, seus pontos regulares, bem como encontraremos condições para que a curvatura se anule. O desfecho do capítulo encontra-se na terceira seção, na qual são apresentados resultados que relacionam as hélices generalizadas com a superfície retificável desenvolvível e as curvas de Bertrand com a superfície normal principal. Chamamos atenção para a caracterização de helicóides obtida pela Proposição 16..

(10) Capítulo 1 CURVAS ESPECIAIS Este capítulo é dedicado ao estudo das hélices generalizadas e das curvas de Bertrand. Estas curvas são uma generalização da clássica hélice circular. Os principais resultados obtidos são dados pelo Teorema que estabelece que toda hélice generalizada pode ser construída a partir de uma curva plana e pelo Teorema que estabelece que toda curva de Bertrand pode ser obtida de uma curva esférica. Além disto, na seção 1.4, obtemos uma importante caracterização da indicatriz de Darboux de uma curva de Bertrand. As principais referências utilizadas aqui são [2], [5], [7], [8] e [13].. 1.1 Curvas no Espaço Nesta seção fazemos um breve estudo da teoria local de curvas no espaço e estabelecemos fórmulas para o cálculo da curvatura e torção que serão utilizadas no decorrer do trabalho. Dizemos que uma curva parametrizada diferenciável de R3 é uma aplicação diferenciável γ , de classe C∞ , de um intervalo aberto I ⊂ R em R3 . Chamamos a variável t ∈ I de parâmetro da curva e o subconjunto de R3 formado pelos pontos γ (t),t ∈ I, de traço da curva.. γ ′ (t) =. Tomando γ (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I ⊂ R, uma curva parametrizada diferenciável, o vetor. (x′ (t), y′(t), z′(t)) é chamado de vetor tangente a γ em t ∈ I. A reta tangente à curva regular γ em t0 ∈ I é a reta que passa por γ (t0 ) na direção de γ ′ (t0 ).. Dada uma curva regular γ : I −→ R3 , o comprimento de arco da curva γ , de t0 a t1 , é dado por Z t1 t0. k γ ′ (t) k dt.. A função comprimento de arco de γ a partir de t0 é dada por s(t) =. Z t t0. k γ ′ (r) k dr..

(11) 9 Uma curva regular γ : I → R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco se para cada t0,t1 ∈ I, t0 ≤ t1, Z t1 t0. k γ ′ (t) k dt = t1 − t0 .. Toda curva regular no espaço admite uma reparametrização pelo parâmetro comprimento de arco. Consideraremos aqui uma curva γ : I → R3 parametrizada pelo comprimento de arco. A curvatura de γ em s ∈ I é definida por κ (s) =k γ ′′ (s) k .. Observe que se γ : I → R3 é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, então k γ ′ (s) k= 1. Assim, γ ′′ (s) é ortogonal a γ ′ (s). Portanto, para todo s ∈ I onde κ (s) 6= 0, podemos γ ′′ (s) definir um vetor unitário na direção de γ ′′ (s) e ortogonal a γ ′ (s), dado por n(s) = . Este vetor é κ (s) denominado vetor normal a γ em γ (s). Denotando por t(s) o vetor unitário γ ′ (s), temos que t(s) e n(s) são vetores ortonormais e t′ (s) = κ (s)n(s). O vetor b(s) = t(s) × n(s) é denominado vetor binormal a γ em s.. O referencial ortonormal {t, n, b} é chamado triedro de Frenet da curva γ em s.. Cada dois vetores do triedro de Frenet determinam um plano. O plano normal à curva γ em. γ (s) é o plano que contém γ (s) e é normal ao vetor t(s). O plano que contém γ (s) e é normal a b(s) é denominado plano osculador; por fim, o plano que contém γ (s) e é normal a n(s) é chamado plano retificante da curva γ em s. b(s) plano normal. plano retificante n(s). t(s). plano osculador. Figura 1.1: Planos retificante, normal e osculador O número real τ (s) definido por b′ (s) = −τ (s)n(s) é denominado torção da curva em s.. Se γ : I → R3 é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco tal que κ (s) > 0, para todo s ∈ I, então o triedro de Frenet da curva γ em s é um referencial ortonormal de R3 bem.

(12) 10 definido. Dessa forma, podemos obter os vetores t′ (s), n′ (s) e b′ (s) como combinação linear de t(s), n(s) e b(s). Pelo exposto anteriormente, temos que t′ (s) = κ (s)n(s) b′ (s) = −τ (s)n(s). Vamos obter a expressão para n′ (s). Sabemos que n(s) = b(s) × t(s). Derivando, n′ (s) = b′ (s) × t(s) + b(s) × t′ (s). Fazendo as substituições, obtemos: n′ (s) = −κ (s)t(s) + τ (s)b(s). Resumindo, temos t′ (s) = κ (s)n(s) n′ (s) = −κ (s)t(s) + τ (s)b(s) b′ (s) = −τ (s)n(s).. que são denominadas equações de Frenet-Serret.. Observamos que nem sempre a curva que estamos trabalhando está parametrizada pelo comprimento de arco, contudo ainda assim podemos encontrar sua curvatura e torção conforme a proposição a seguir. Proposição 1 Seja γ : I → R3 uma curva regular de parâmetro t e β : J → R3 uma reparametrização. de γ pelo comprimento de arco, isto é, β (s(t)) = γ (t), para todo t ∈ I. Sejam κ (s) > 0 e τ (s) a curvatura e a torção de β em s ∈ J, então k γ ′ (t) × γ ′′(t) k k γ ′ (t) k3 (γ ′ (t) × γ ′′(t)).γ ′′′(t)) . τ (s(t)) = − k γ ′ (t) × γ ′′(t) k2. κ (s(t)) =. Demonstração Seja s(t) =. Z t 0. ds Assim, =k γ ′ (t) k. dt. k γ ′ (r) k dr a função comprimento de arco.. 2 d 2s d γ ds ds ds ′′ ′ + t(s) 2 . = t(s) . Então, γ (t) = t (s) Mas, γ (t) = ds dt dt dt dt ′.

(13) 11 Agora, ! 2 2 ds ds ds 3 ds × t′ (s) + t(s) 2 = (t(s) × t′ (s)). γ ′ (t) × γ ′′(t) = t(s) dt dt dt dt Então k γ ′ (t) × γ ′′(t) k=k γ ′ (t) k3 κ (s(t)). Portanto,. κ (s(t)) =. k γ ′ (t) × γ ′′(t) k . k γ ′ (t) k3. Derivando γ ′′ , obtemos:. 2 2 !′ 2s 3s ds d d ds ′ ′′′ n(s) + n′ (s) γ (t) = 3 t(s) + 2 t (s) + κ (t) dt dt dt dt ! 3 ! 2 2s 3s ds d ds ds d γ ′′′ (t) = t(s) + κ ′ (t) + 3κ (t) n(s) − κ 2 (t) dt 3 dt dt dt dt 2 3 ds b(s). + κ (t)τ (t) dt . ds Assim, (γ (t) × γ (t)) · γ (t) = −τ (t)κ (t) dt ′. ′′. ′′′. 2. Como k γ ′ (t) × γ ′′(t) k2 = κ 2 (t) k γ ′ (t) k6 , então. τ (s(t)) = −. 6. = −τ (t)κ 2(t) k γ ′ (t) k6 .. (γ ′ (t) × γ ′′(t)).γ ′′′(t) . k γ ′ (t) × γ ′′(t) k2. 1.2 Hélices e Vetor de Darboux Nesta seção vamos definir a hélice generalizada destacando algumas de suas propriedades. Também vamos estudar o vetor de Darboux que será importante para o desenvolvimento dos capítulos posteriores. Iniciaremos com a clássica definição de hélice circular. A principal referência utilizada nesta seção foi [5]. Definição 1 Uma curva γ : I → R3 é uma hélice circular se a curvatura κ (s) 6= 0 e a torção τ (s) são constantes..

(14) 12. Figura 1.2: Hélice Circular Definição 2 Uma curva γ : I → R3 com κ (s) 6= 0 é chamada uma hélice generalizada se a reta. tangente de γ faz um ângulo constante com uma direção fixada.. Figura 1.3: Hélice Generalizada Vamos agora determinar a direção fixada dada pela definição acima. Quando um ponto se move ao longo de uma curva em R3 , seu triedro de Frenet, {t, n, b}, transladado paralelamente até a origem, define um movimento rígido chamado Movimento de Frenet. A cada instante, o triedro de Frenet determina um eixo de rotação. Este é determinado pelo núcleo da matriz de Frenet.   0 k(s) 0   M(s) =  −k(s) 0 τ (s)  . 0. Temos que v é uma direção fixa se M(s)v = λ v.. −τ (s). 0. Considerando o polinômio característico, temos p det(M(s) − λ I) = 0 ⇒ λ = 0 e λ = −τ 2 (s) − κ 2 (s).. Como estamos interessados na direção que é mantida fixa, devemos considerar apenas o au-. tovalor real, ou seja, λ = 0. Assim, o vetor D(s) = τ (s)t(s) + κ (s)b(s) é um autovetor relativo ao D autovalor considerado. Este vetor é chamado de vetor de Darboux. O vetor unitário d = deskDk creve uma curva na esfera chamada indicatriz de Darboux..

(15) 13 e = τ (s)t(s) + b(s), que está no núcleo de M(s) e é múltiplo de D(s), será O vetor D(s) κ chamado vetor de Darboux modificado e será útil posteriormente. Agora, sendo a a direção fixada, temos que. γ ′ · a = constante ⇒ γ ′′ · a = 0 ⇒ κ n · a = 0 ⇒ a é ortogonal a n para κ 6= 0. Assim, a = λ t + µ b e λ 2 + µ 2 = 1.. Ainda, γ ′′′ · a = 0 ⇒ (κ ′ n + κ n′ ) · a = 0. ⇒ (κ ′ n + κ (−κ t + τ b)) · (λ t + µ b) = 0 ⇒ −κ 2 λ + κτ µ = 0 τt + κb . ⇒a= p (τ 2 + κ 2 ) Portanto,. D é a direção fixa da hélice generalizada. kDk. A proposição a seguir nos dá uma caracterização da hélice generalizada em função da curvatura e torção. Proposição 2 Uma curva γ (s) com curvatura não-nula é uma hélice generalizada se, e somente se, τ (s) é constante. κ. κb + τt , vamos encontrar a′ . Demonstração Primeiramente, tomando a = p (κ 2 + τ 2 ) 1. (κ ′ b + κ b′ + τ ′ t + τ t′ )(κ 2 + τ 2 ) 2 − (κ b + τ t) 21 (κ 2 + τ 2 )− 21 (2κκ ′ + 2ττ ′ ) a = . κ2 + τ2 Usando as equações de Frenet, ′. a′ =. (κ ′ b + τ ′ t)(κ 2 + τ 2 ) − (κ b + τ t)(κκ ′ + ττ ′ ). a′ =. κ 2 τ ′ t + τ 2 κ ′ b − κκ ′ τ t − κττ ′ b. 3. (κ 2 + τ 2 ) 2 Efetuando os cálculos, obtemos. .. . 3 (κ 2 + τ 2 ) 2 Reagrupando os termos de forma conveniente, temos a′ =. τ (τκ ′ − κτ ′ )b + κ (κτ ′ − κ ′ τ )t 3. (κ 2 + τ 2 ) 2. .. (1.1). Suponha γ (s) uma hélice generalizada. Assim,. γ ′ · a = constante.. (1.2). Derivando 1.2 e usando as equações de Frenet. γ ′′ · a + γ ′ · a′ = 0 ⇒ κ n · a + t · a′ = 0.. (1.3).

(16) 14 Aplicando as expressões de a e a′ em 1.3, ! ! κb + τt τ (τκ ′ − κτ ′ )b + κ (κτ ′ − κ ′ τ )t =0 +t· (κ n) · p 3 (κ 2 + τ 2 ) (κ 2 + τ 2 ) 2 ! κ (κτ ′ − κ ′ τ )t κ (κτ ′ − κ ′ τ ) = 0 ⇒ = 0. ⇒ t· 3 3 (κ 2 + τ 2 ) 2 (κ 2 + τ 2 ) 2. (1.4). Como κ 6= 0, a expressão 1.4 nos dá:. κτ ′ − κ ′ τ = 0. Por outro lado,. τ ′. κ. =. κτ ′ − κ ′ τ . κ2. (1.5). (1.6). Usando 1.5 em 1.6, concluímos que τ ′. κ. Suponha, agora, Assim,. τ . κ. =0⇒. τ . κ. = constante.. = constante.. τ ′. κ. =0⇒. κτ ′ − κ ′ τ = 0 ⇒ κτ ′ − κ ′ τ = 0. 2 κ. (1.7). Utilizando isto em 1.1, concluímos que a′ = 0. Então,. γ ′′ · a + γ ′ · a′ = (κ n) · Mas,. κb + τt p (κ 2 + τ 2 ). !. + t · 0 = 0.. 0 = γ ′′ · a + γ ′ · a′ = (γ ′ · a)′ ⇒ γ ′ · a = constante. Portanto, γ é uma hélice generalizada. Como consequência deste resultado temos que a hélice circular é um caso particular de hélice generalizada.. Veremos a seguir como uma hélice generalizada pode ser construída a partir de uma curva plana. A referência utilizada aqui é [5]. Dada uma curva plana regular γ (t) com curvatura não-nula, definimos uma curva no espaço. γe(t) = γ (t) + (cot θ. Z t t0. kγ ′ (r)kdr)a + c, onde θ é um número constante e a e c são vetores. constantes com γ ′ (t).a = 0 e kak = 1.. No teorema a seguir utilizaremos {t, n, b} para o triedro de Frenet da curva plana γ e {T, N, B}.

(17) 15 para o triedro de Frenet da curva no espaço γe.. Teorema 1 A curva γe dada acima é uma hélice generalizada. Além disto, todas as hélices generali-. zadas podem ser construídas por este método.. Demonstração Prova da 1a afirmação. τ Mostremos que é constante. Assumimos γ (t) uma curva plana parametrizada pelo comκ primento de arco. Derivando γe, obtemos. γe′ (t) = γ ′ (t) + cot θ a.. γe′′ (t) = κ p (t)n(t), onde κ p é a curvatura da curva plana. γe′′′ (t) = κ p′ (t)n(t) − (κ p(t))2t(t).. Também sabemos que. κ (t) =. kγe′ × γe′′ k 3. e. τ (t) =. det(γe′ , γe′′ , γe′′′) . kγe′ × γe′′ k2. (γe′ .γe′ ) 2 Efetuando os cálculos, obtemos. κ (t) =| κ p (t) | sen 2 θ e τ (t) = κ p (t) cot θ sen 2 θ . τ Assim, é constante. κ Prova da 2a afirmação. Seja γe uma hélice generalizada parametrizada pelo comprimento de arco. Neste caso, a imaD(s) gem esférica de Darboux d(s) = é constante. kD(s)k Denote a = d(s) = τ . τ (s)T(s) + κ (s)B(s) p . τ 2 (s) + κ 2 (s). (s) = c. Escolha θ tal que cot θ = c ( sen θ > 0). κ Considere a curva γ (s) = γe(s) − (γe(s) · a)a. Temos que. Então γ (s) · a = 0. Logo γ está no plano normal a a, ou seja, γ é uma curva plana.. Temos que γe′ (s) · a = cos θ e kγe′ (s) − (γe′ (s) · a)ak = sen θ . Segue que. γ (s) + (cot θ. Z s 0. kγ ′ (r)kdr)a = γe − cos θ as + cot θ sen θ sa = γe.. Como consequência temos o seguinte resultado.. Corolário 1 Uma curva plana γ é um círculo se e somente se as hélices generalizadas correspondentes são hélices circulares. Demonstração Pelos cálculos feitos na demonstração do teorema anterior, temos que a curvatura κ e a torção τ das hélices generalizadas são dadas por.

(18) 16. κ (t) =| κ p (t) | sen 2 θ e τ (t) = κ p (t) cot θ sen 2 θ . Vemos que são constantes se κ p (t) é constante.. 1.3 Curvas de Bertrand Na seção anterior vimos as hélices generalizadas como uma generalização da hélice circular. Outra generalização da hélice circular é dada pelas curvas de Bertrand. Definição 3 Uma curva γ : I → R3 com κ (s) 6= 0 é chamada uma curva de Bertrand se existe uma curva γ : I → R3 tal que as retas normais principais de γ e γ em s ∈ I são iguais. Neste caso, γ é. chamada um par de Bertrand de γ .. Veremos inicialmente que toda curva plana com curvatura não-nula é de Bertrand. Para isto necessitaremos do conceito de evoluta e involuta de curvas. Se α (s) é uma curva regular de curvatura κ 6= 0, a quantidade ρ (s) =. raio de curvatura de α em s. O círculo de raio ρ (s) e centro c(s) = α (s) +. 1 é denominada | κ (s) |. 1 n(s) κ (s). é denominado círculo osculador e c(s) é dito centro de curvatura. A medida que varia o parâmetro s, o centro de curvatura descreve uma curva β , a evoluta de α . Uma involuta de uma curva regular β é uma curva que é ortogonal às retas tangentes de β . Portanto, se β é evoluta de α , então α é uma involuta de β . Então, se α é uma curva plana, podemos sempre encontrar uma curva α tal que α e α são curvas de Bertrand. De fato, se β é a evoluta de α , então todas as involutas α de β têm a mesma normal principal de α , pois por definição de involuta, estas curvas interceptam ortogonalmente qualquer tangente de β . Considere γ : I −→ R3 uma curva de Bertrand com γ seu par. Então, por definição, γ pode ser representada na forma. γ (t) = γ (t) + a(t)n(t) onde n(t) é o vetor normal unitário de γ e | a(t) | é a distância do ponto P de γ ao ponto correspondente P de γ ; a(t) tem sinal positivo se o sentido de P a P é o de n(t) e negativo caso contrário. Vamos provar que a(t) é uma constante. Sejam s e s os parâmetros comprimento de arco de γ e γ , respectivamente. Como a é a distância dos pontos correspondentes de γ e γ , a é uma constante se, e só se,.

(19) 17 d d 2 (a ) = [(γ − γ ) · (γ − γ )] = 2(γ − γ ) · (γ ′ − γ ′ ) dt dt se anula. De fato, a afirmação é válida pois o vetor γ − γ é paralelo à reta normal principal comum, enquanto os vetores γ ′ e γ ′ são tangentes a γ e γ , respectivamente, isto é, são ortogonais à normal principal. Vamos utilizar o fato anterior para dar uma caracterização de curvas de Bertrand. Proposição 3 Seja γ : I → R3 uma curva no espaço com κ (s) 6= 0. Suponha que τ (s) 6= 0. Então γ é uma curva de Bertrand se, e somente se, existem números reais não-nulos A, B tal que Aκ (s) + Bτ (s) = 1, para todo s ∈ I. Demonstração Suponha que γ é uma curva de Bertrand com γ o par de Bertrand. Sejam t e t os vetores tangentes unitários a γ e γ , respectivamente. Temos d (t · t) = t′ · t + t · t′ . dt. (1.8). Como os vetores t′ e t′ são paralelos à reta normal principal comum, a expressão 1.8 se anula. Denotando por α o ângulo entre os tangentes nos pontos correspondentes, temos t · t =k t kk t k cos α = cos α = constante, Assim, em todos os pontos correspondentes de γ e γ o ângulo entre os vetores tangentes é o mesmo. Vamos utilizar s e s como o parâmetro comprimento de arco de γ e γ , respectivamente. Assim, como γ é curva de Bertrand,. γ (s) = γ (s) + an(s).. (1.9). Então, usando 1.3 e as equações de Frenet, cos α = t · t =. d γ ds ·t ds ds. ds (t + an′ ) · t ds ds = (t · t + a(−κ t + τ b) · t) ds ds = (1 − aκ ). ds. =. Logo, ds (1 − aκ ) = constante ds. (1.10).

(20) 18 Por outro lado, temos ds ds ds ([t + a(−κ t + τ b)] × t) k=k aτ n k=k aτ k . ds ds ds. k t × t k=k. (1.11). Também k t × t k=k t kk t k sen α = 1.1. sen α = sen α .. (1.12). De 1.3, 1.11 e 1.12, obtemos aτ. ds = ± sen α = constante. ds. (1.13). Então, de 1.10 e 1.13, temos ds (1 − aκ ) cos α 1 − aκ ds = =C ⇒ = C. ds sen α aτ aτ ds Fazendo, em 1.14, a = A e C =. (1.14). B , a. 1 − Aκ B = ⇒ 1 − Aκ = Bτ ⇒ Aκ + Bτ = 1. Aτ A Agora, seja a curva γ (s), com s seu parâmetro comprimento de arco. Tomemos a curva. γ (s) = γ (s) + An(s). (1.15). Aκ (s) + Bτ (s) = 1,. (1.16). e mostremos que se então γ e γ são curvas de Bertrand. Diferenciando a expressão 1.15 com relação a s, obtemos dγ = t + An′ = t + A(−κ t + τ b) = t − Aκ t + Aτ b = (1 − Aκ )t + Aτ b. ds B Em 1.16, tomando C = , ficamos com A. Portanto, de 1.3 e 1.17. 1 − Aκ = CAτ .. (1.17). dγ = Aτ (Ct + b). ds. (1.18).

(21) 19 Assim, se a orientação de γ já foi escolhida, o vetor tangente unitário a γ é da forma Ct + b t= √ 1 +C2. (1.19). Derivando 1.19, obtemos 1 1 1 dt (Ct′ + b′ ) = √ (Cκ n − τ n) = √ (Cκ − τ )n. =√ ds 1 +C2 1 +C2 1 +C2 Observe que este vetor é a derivada do vetor tangente a γ e pertence à normal principal a γ e esta normal coincide com a normal principal de γ . Portanto, γ e γ são curvas de Bertrand.. Uma consequência direta da Proposição 3 é que as hélices circulares são curvas de Bertrand. A seguir apresentamos algumas consequências importantes da Proposição 3. Corolário 2 Seja γ : I −→ R3 uma curva no espaço com κ (s) 6= 0 e τ (s) 6= 0. Então γ é uma curva de Bertrand se, e somente se, existe um número real A 6= 0 tal que A(τ ′ (s)κ (s) − κ ′(s)τ (s)) − τ ′(s) = 0. Demonstração Pela proposição anterior, como γ é uma curva de Bertrand, existem números reais não-nulos A e B tais que Aκ (s) + Bτ (s) = 1. Então como τ (s) 6= 0, B =. 1 − Aκ (s) 1 − Aκ (s) . Ou seja, a expressão é uma constante. τ (s) τ (s). Diferenciando, temos −Aκ ′ (s)τ (s) − (1 − Aκ (s))τ ′(s) = 0 ⇒ −Aκ ′ (s)τ (s) − τ ′(s) + Aκ (s)τ ′(s) = 0 [τ (s)]2 Assim, A(τ ′ (s)κ (s) − κ ′(s)τ (s)) − τ ′(s) = 0.. Agora, por hipótese temos A(τ ′ (s)κ (s) − κ ′(s)τ (s)) − τ ′(s) = 0 Portanto,. A(τ ′ (s)κ (s) − κ ′(s)τ (s)) − τ ′(s) = 0, pois τ (s) 6= 0. [τ (s)]2. Então, A(τ ′ (s)κ (s) − κ ′(s)τ (s)) − τ ′(s) = τ (s)2 com B uma constante real.. . 1 − Aκ (s) τ (s). ′. =0⇒. 1 − Aκ (s) = B ⇒ Aκ (s) + Bτ (s) = 1, τ (s). Assim, pela proposição anterior, γ é uma curva de Bertrand. Proposição 4 Se γ é uma curva de Bertrand, ou γ é plana ou τ (s) nunca se anula. Demonstração Seja γ uma curva de Bertrand com γ o par de Bertrand e sejam t e t os vetores tangentes unitários de γ e γ , respectivamente..

(22) 20 Pela demonstração da Proposição 3, t · t = cos α = constante e. k t × t k= sen α = constante,. (1.20). onde α é o ângulo formado entre os vetores tangentes. Sendo s o comprimento de arco de γ , temos que. γ (s) = γ (s) + an(s).. (1.21). Derivando 1.21 com relação ao comprimento de arco s de γ , obtemos d γ ds ds dγ = = (γ ′ (s) + an′ (s)) . ds ds ds ds. (1.22). Usando as equações de Frenet em 1.22 t = (t + a(−κ t + τ b)). ds ds = ((1 − aκ )t + aτ b) . ds ds. (1.23). ds ds ds × t = aτ b × t = aτ n. ds ds ds. (1.24). Por outro lado, usando 1.23 t × t = ((1 − aκ )t + aτ b). Assim, como k n k= 1, de 1.20 obtemos o que segue: k t × t k=k aτ. ds ds n k=k aτ k= C, ds ds. (1.25). onde C é uma constante. ds 6= 0, da expressão 1.25 concluímos que: Como a 6= 0 e ds (a) se C = 0, então τ (s) = 0, para todo s ∈ I, ou seja, γ é uma curva plana; (b) se C 6= 0, então τ (s) 6= 0, para todo s ∈ I.. Portanto, uma curva de Bertrand é plana ou sua torção nunca se anula.. Temos então que se γ é uma curva de Bertrand no espaço, sua torção é nunca nula. Quando γ é plana, γ possui infinitos pares de Bertrand dados por curvas γ (s) = γ (s) + an(s) paralelas a γ . A próxima proposição relaciona as torções de uma curva de Bertrand e seu par. Proposição 5 Seja γ : I −→ R3 uma curva de Bertrand com par de Bertrand γ . Então τ (s)τ (s) é constante não-negativa, onde τ (s) e τ (s) indicam a torção de γ e γ , respectivamente..

(23) 21 Demonstração Inicialmente observe que devido à Proposição 4 podemos supor τ 6= 0 e τ 6= 0. Como t e t são ortogonais à normal principal comum de γ e γ , t é da forma: t = ±(cos α t + sen α b),. (1.26). onde α é o ângulo entre t e t, que é constante, conforme a prova de 3. Se tomarmos o produto vetorial entre t e n temos b = t × n = (cos α t + sen α b) × n = cos α b − sen α t.. (1.27). Diferenciando a expressão 1.27 com relação a s, encontramos db db dt = cos α − sen α , ds ds ds já que α é constante. Usando as equações de Frenet, db = − cos ατ n − sen ακ n = −(τ cos α + κ sen α )n. ds. (1.28). Por outro lado db db ds ds = = −τ n , ds ds ds ds onde s é o parâmetro comprimento de arco de γ .. (1.29). Comparando 1.28 e 1.29 e usando o fato que n = ±n, temos −(τ cos α + κ sen α )n = −τ n ⇒ τ cos α + κ sen α = ±τ. ds ds. ds . ds. (1.30). Como por hipótese, γ é curva de Bertrand, temos pela Proposição 3 Aκ + Bτ = 1 Fazendo A = a, C = como segue. (1.31). B cos α e C = , como na prova da Proposição 3, podemos reescrever 1.31 sen α A. κ + cot ατ =. 1 sen α ⇒ τ cos α + κ sen α = . a a. (1.32).

(24) 22 Então de 1.30 e 1.32, ± (τ cos α + κ sen α ) = ±. ds sen α =τ . a ds. (1.33). De γ (s) = γ (s) + an(s), obtemos t=. ds d γ ds ds = (t + an′ ) = [(1 − aκ )t + aτ b] . ds ds ds ds. (1.34). Comparando os coeficientes de 1.26 e 1.34, encontramos ±(cos α t + sen α b) = [(1 − aκ )t + aτ b]. ds . ds. Agora comparando os coeficientes de b, temos ± sen α = aτ. ds ds sen α aτ ds ⇒ =± =± ⇒ . ds ds aτ ds sen α. (1.35). Por fim, de 1.33 e 1.35. τ aτ sen α sen 2 α ⇒ τ .τ = = constante. ± =± sen α a a2 Portanto, o produto das torções é uma constante não-negativa.. Vimos na seção 1.2 que toda hélice pode ser obtida a partir de uma curva plana. Veremos agora um resultado similar envolvendo as curvas de Bertrand. A referência utilizada aqui foi [5]. Seja γ : I −→ S2 uma curva esférica parametrizada pelo comprimento de arco e σ o parâmetro comprimento de arco de γ . Considere: t(σ ) = γ ′ (σ ); s(σ ) = γ (σ ) × t(σ ).. {γ (σ ), t(σ ), s(σ )} forma um referencial ortonormal chamado triedro de Sabban.. γ ⊂ S2 .. Vamos mostrar agora que t′ (σ ) = −γ (σ ) + κg (σ )s(σ ), onde κg é a curvatura geodésica de. Escolheremos γ o vetor normal da esfera em γ (s). Assim, a curvatura geodésica κg (s) é dada. por. κg (σ ) = γ ′′ (σ ) · (t(σ ) × γ (σ )). Logo,. κg (σ ) = t′ (σ ) · (t(σ ) × γ (σ )) = t′ (σ ) · s(σ ).. (1.36).

(25) 23 Como k γ k= 1, temos t′ · t = 0, significando que t′ é ortogonal a t. Assim, t′ = aγ + bs.. (1.37). Precisamos encontrar a e b na expressão 1.37. a = t′ · γ e b = t′ · s.. Como k γ k= 1, temos γ ′ · γ = 0. Derivando esta última expressão,. γ ′′ · γ + γ ′ · γ ′ = 0 ⇒ γ ′′ · γ + 1 = 0 ⇒ γ ′′ · γ = −1 ⇒ t′ · γ = −1.. (1.38). Então, de 1.36 e 1.38, a = −1 e b = κg . Portanto, t′ (σ ) = −γ (σ ) + κg (σ )s(σ ). Agora, vamos mostrar que s′ (σ ) = −κg (σ )t(σ ). Como s(σ ) = γ (σ ) × t(σ ), derivando obtemos,. s′ (σ ) = γ ′ (σ ) × t(σ ) + γ (σ ) × t′ (σ ) = κg (σ )(γ (σ ) × s(σ )) = κg (σ )(−t(σ )) = −κg (σ )t(σ ). Pelo visto anteriormente, temos que. γ ′ (σ ) = t(σ ) t′ (σ ) = −γ (σ ) + κg (σ )s(σ ) s′ (σ ) = −κg (σ )t(σ ).. Definimos uma curva no espaço. γe(σ ) = a. Z σ σ0. γ (r)dr + a cot θ. Z σ σ0. s(r)dr + c.. (1.39). Teorema 2 A curva γe acima é uma curva de Bertrand. Além disto, todas as curvas de Bertrand. podem ser construídas por este método.. Demonstração Vamos mostrar primeiramente que γe dada em 1.39 é uma curva de Bertrand. A ideia aqui é utilizar a Proposição 3.. Para isso, precisamos calcular a curvatura e a torção de γe(σ ). Derivando γe(σ ), obtemos. γe′ (σ ) = a(γ (σ ) + cot θ s(σ )).. γe′′ (σ ) = a(1 − cot θ κg (σ ))t(σ ).. γe′′′ (σ ) = −a cot θ κg′ (σ )t(σ ) + a(1 − cot θ κg (σ ))(−γ (σ ) + κg(σ )s(σ ))..

(26) 24 Assim, utilizando a Proposição 1, encontramos, com ε = ±1:. κ (σ ) = ε. sen 2 θ (1 − κg (σ ) cot θ ) a. (1.40). τ (σ ) =. sen 2 θ (κg (σ ) + cot θ ) . a. (1.41). e. Observe que usando 1.40 e 1.41, obtemos cot θ sen 2 θ 2 (1 − κg (σ ) cot θ ) + (κg (σ ) + cot θ ) a(εκ (σ ) + cot θ τ (σ )) = a εε sen θ a a ⇒ a(εκ (σ ) + cot θ τ (σ )) = 1.. Logo, existem números reais A = aε e B = a cot θ tais que Aκ (σ ) + Bτ (σ ) = 1 o que significa que γe é uma curva de Bertrand. Agora, sendo γe curva de Bertrand, queremos mostrar que. γe(σ ) = a. Z σ σ0. γ (r)dr + a cot θ. Z σ σ0. s(r)dr + c,. para alguma curva esférica γ .. Como γe é curva de Bertrand, existem A, B ∈ R tais que Aκ (s) + Bτ (s) = 1. ε sen θ B Façamos a = A, cot θ = ; e escolhemos ε = ±1 com > 0. a a Definimos uma curva esférica dada por. γ (s) = ε ( sen θ T(s) − cos θ B(s)),. (1.42). onde T(s) e B(s) são os vetores tangente e binormal, respectivamente, da curva γe e s é o parâmetro comprimento de arco de γe.. Então, derivando a expressão 1.42 e usando as equações de Frenet com N o vetor normal principal de γe, encontramos. γ ′ (s) = ε ( sen θ T′ (s) − cos θ B′ (s)). = ε ( sen θ κ (s)N(s) − cos θ (−τ (s)N(s)). = ε ( sen θ κ (s) + cos θ τ (s))N(s) ε = a sen θ (κ (s) + cot θ τ (s))N(s) a ε sen θ (aκ (s) + a cot θ τ (s))N(s) = a ε sen θ N(s). = a.

(27) 25 Seja σ o parâmetro comprimento de arco de γ , então dγ ε ε dσ =k k=| sen θ |= sen θ . ds ds a a Também temos aγ (s). dσ ε = aε ( sen θ T(s) − cos θ B(s)) sen θ = sen θ ( sen θ T(s) − cos θ B(s)). ds a. Logo, a cot θ γ (s) × Como s = γ × a. Z σ 0. dγ dσ = cos θ ( sen θ B(s) + cos θ T(s)). d σ ds. (1.43). (1.44). dγ , temos dσ. γ (r)dr + a cot θ. Z σ. s(r)dr =. 0. Z u u0. + =. sen θ ( sen θ T(t) − cos θ B(t))dt. Z u. Z u u0. u0. cos θ ( sen θ B(t) + cos θ T(t))dt. ( sen 2 θ + cos2 θ )T(t)dt =. = γe + c.. Então,. γe(σ ) = a. Z σ σ0. γ (r)dr + a cot θ. Z σ σ0. Z u. T(t)dt. u0. s(r)dr + c.. A curva de Bertrand da figura 1.5 foi gerada a partir da curva esférica γ (t) = ( sen (t), sen (t) cos(t), cos2 (t)), figura 1.4, tomando-se a = 1 e cot θ = 1. 1.5 1 0.5 0 -0.5. -4 -2 0. 1 6. 0.75 0.5 4. 0.25 0 0.5 0.25. -1 -0.5 0 0.5. 0 -0.25 1 -0.5. Figura 1.4: Curva esférica Como consequência temos o seguinte resultado.. 2. 0. Figura 1.5: Curva de Bertrand.

(28) 26 Corolário 3 A curva esférica γ é um círculo se, e somente se, as correspondentes curvas de Bertrand são hélices circulares. Demonstração Pela demonstração do teorema anterior, temos sen 2 θ κg′ (σ ) εκg′ (σ ) cos θ ′ κ (σ ) = − e τ (σ ) = . a a ′. A curva esférica γ é um círculo se e somente se κg′ (σ ) ≡ 0. Esta condição é equivalente à condição. κ ′ (σ ) = τ ′ (σ ) ≡ 0.. 1.4 A indicatriz de Darboux de uma curva de Bertrand Como vimos no Teorema 2, toda curva de Bertrand γe pode ser obtida a partir de uma curva esférica γ . Veremos nesta seção que a evoluta esférica de γ (lugar geométrico dos centros dos círculos osculadores) é a indicatriz de Darboux de γe. Para isto precisaremos do conceito de envelope de uma família de funções.. Suponha que F : R × Rr ֌ R seja uma aplicação diferenciável (o símbolo ֌ indica que o. domínio de F é um subconjunto aberto de Rr+1 ). Usamos (t, x1, ..., xr ) como coordenadas de R × Rr e consideremos F como uma família de funções de x, parametrizadas por t. Escrevemos Ft : Rr ֌ R para a função Ft (x) = F(t, x); suponhamos que, para cada t, zero seja um valor regular de Ft , isto ∂F é não nula para algum i. Se tomarmos Ct = Ft−1 (0), temos que Ct é uma é, para F(t, x) = 0, ∂ xi (r − 1)-variedade parametrizada. Isso motiva a definição a seguir. Definição 4 O envelope da família F é definido por D = DF = {x ∈ Rr : ∃t ∈ R, F(t, x) =. ∂F (t, x) = 0}. ∂t. ∂F (t, x) = 0, então t é dito corresponder a x. ∂t Quando r = 2, tem-se que Ct é uma curva regular, para cada t.. Se x ∈ D e F(t, x) =. Como exemplo, considere a família de círculos unitários centrados no eixo x1 do plano x1 x2 . Cada círculo desta família tem como equação (x1 − t)2 + x22 − 1 = 0, com t ∈ R fixo. As curvas Ct = Ft−1 (0), onde F(t, x1, x2 ) = (x1 − t)2 + x22 − 1 são círculos de raio 1 centrados no eixo x1 .. Dado (x1 , x2 ) ∈ Ct , então (x1 − t)2 + x22 − 1 = 0. Além disso,.

(29) 27. ∂ Ft ∂ Ft (t, x) = 2(x1 − t) e (t, x) = 2x2 . ∂ x1 ∂ x2 Logo,. ∂ Ft ∂ Ft (t, x) = (t, x) = 0 ⇔ x2 = 0 e x1 = t. ∂ x1 ∂ x2 Mas estes pontos não pertencem a Ft−1 (0), portanto 0 é valor regular de Ft , para qualquer t ∈ R. Assim, Ft−1 (0) é localmente uma superfície parametrizada em R3 . Sendo assim, vamos encontrar o conjunto discriminante de F. Temos. ∂F = −2(x1 − t) e então ∂t D = {x ∈ R2 : x1 = t, x22 = 1} = {x ∈ R2 : x2 = ±1},. que é o par de retas x2 = ±1. Note que t corresponde a (t, 1) e a (t, −1) em D. Na figura abaixo, podemos visualizar melhor o exemplo anterior.. Figura 1.6: Família de círculos centrados em (x1 , 0) A evoluta de uma curva plana α : I −→ R2 também pode ser vista como o envelope de retas. normais à curva. De fato, considere a família F : R × R2 −→ R dada por F(s, x) = (x − α (s)) · α ′ (s), onde s é o parâmetro comprimento de arco de α . Cada reta normal à curva α em α (s) é determinada por Cs = Fs−1 (0). Vamos encontrar o envelope desta família de retas. Temos que F = 0 ⇒ (x − α ) · α ′ = 0 ⇒ x − α = λ n e. ∂F = 0 ⇒ −α ′ · α ′ + (x − α ) · α ′′ = 0. ∂s Logo, F =. ∂F = 0, se e somente se, ∂s −1 + (λ n + α − α ) · α ′′ = 0 ⇒ λ =. 1 . κ. Assim, o conjunto DF é dado por DF = {x ∈ R2 ; x = α (s) +. 1 n(s), com κ (s) 6= 0}, κ (s). ou seja, o envelope das retas normais de γ é dado pelos centros dos círculos osculadores de γ (evoluta)..

(30) 28. Figura 1.7: Família de retas normais ao gráfico de sen x Usando a definição de envelope vista anteriormente, vamos estudar a evoluta de uma curva esférica. Para uma curva esférica γ : I −→ S2 , com curvatura κ 6= 0, vamos definir evoluta esférica de γ como o envelope de grandes círculos normais à curva. Tome a família F : R × S2 −→ R dada por F(s, x) = x · t(s), ou seja, a família de grandes círculos ortogonais a γ , onde γ é uma curva esférica parametrizada pelo comprimento de arco e t = γ ′ . Assim, F = 0 ⇒ x · t = 0 ⇒ x = λ n + µb. ∂F = 0 ⇒ x · κn = 0 ∂s Agora,. ∂F = 0 ⇒ (λ n + µ b) · (κ n) = 0 ⇒ λ = 0, ∂s já que estamos admitindo a hipótese κ 6= 0. F=. Logo, x = µ b. Como x ∈ S2 , temos k x k= 1 e assim µ = ±1. Portanto, DF = {x ∈ S2 ; x = ±b(s), s ∈ I}.. Figura 1.8: Curva esférica. Figura 1.9: Evoluta esférica. Podemos expressar a evoluta esférica de γ em termos do triedro de Sabban visto anteriormente..

(31) 29 x · t = 0 ⇒ x = λ γ + µs. x · t′ = 0 ⇒ x · (−γ + κg s) = 0.. Usando x = λ γ + µ s, obtemos. (λ γ + µ s) · (−γ + κg s) = 0 ⇒ λ = κg µ . Então x = κg µγ + µ s.. (1.45). Mas k x k= 1, o que implica. κg2 µ 2 + µ 2 = 1 ⇒ µ = ± q. 1. κg2 + 1. .. (1.46). De 1.45 e 1.46, segue que x = ±q. 1. κg2 + 1. (κg γ + s).. (1.47). Pode-se mostrar usando [5] que a evoluta esférica de γ é dada pelos centros esféricos dos círculos osculadores a γ . Temos então a seguinte proposição. Proposição 6 Seja γ : I → S2 uma curva esférica e γe : I → R3 uma curva de Bertrand correspondente a γ . Então a indicatriz de Darboux de γe é igual à evoluta esférica de γ . Demonstração Pela demonstração do Teorema 2, temos que a curvatura e a torção de γe são dadas por. κ (σ ) =. ε sen 2 θ (1 − κg (σ ) cot θ ) a. (1.48). e. sen 2 θ (κg (σ ) + cot θ ) , a onde a, θ , ε são dados como no Teorema 2.. τ (σ ) =. (1.49). Consideraremos, como no Teorema 2, {T, N, B} para o triedro de Frenet da curva γe, s o parâmetro comprimento de arco de γe e σ o parâmetro comprimento de arco da curva γ . Assim, utilizando a expressão de γe em (1.39) obtemos como na demonstração do Teorema 2 que T(σ ) = a(γ (σ ) + cot θ s(σ )). dσ ds. (1.50). e N(σ ) = ε t(σ ).. (1.51).

(32) 30 Então, de 1.50 e 1.51, temos B(σ ) = T(σ ) × N(σ ) = a(γ (σ ) + cot θ s(σ )) . dσ B(σ ) = ε a ds. . dσ × ε t(σ ). ds. (s(σ ) − cot θ γ (σ )).. (1.52). Como o vetor de Darboux é dado por D(σ ) = τ (σ )T(σ ) + κ (σ )B(σ ), temos utilizando 1.48, 1.49, 1.50 e 1.52 que . sen 2 θ dσ D(σ ) = (κg (σ ) + cot θ ) a(γ (σ ) + cot θ s(σ )) a ds i dσ hε + sen 2 θ (1 − κg (σ ) cot θ ) aε (s(σ ) − cot θ γ (σ )). a ds Efetuando os cálculos, obtemos dσ D(σ ) = (s(σ ) + κg(σ )γ (σ )). ds 1 D(σ ) Portanto, d(σ ) = =q (κg (σ )γ (σ ) + s(σ )). k D(σ ) k 2 κ (σ ) + 1 g. Portanto, por 1.47, d é a evoluta esférica de γ ..

(33) Capítulo 2 SUPERFÍCIES REGRADAS O estudo de superfícies regradas é um assunto clássico em Geometria Diferencial. O interesse pelo tema tem reaparecido recentemente devido suas aplicações em diferentes áreas que vão desde Geometria Diferencial Projetiva, Computação Gráfica a Desenho Industrial, dentre outras. Neste capítulo faremos um apanhado dos principais resultados clássicos sobre superfícies regradas que serão úteis no próximo capítulo. As referências utilizadas são [2] e [3]. Também estudaremos as superfícies desenvolvíveis. Tais superfícies são exemplos de superfícies regradas cuja curvatura gaussiana é nula em todos os seus pontos regulares.. 2.1 Definição Intuitivamente podemos considerar uma superfície regrada como uma superfície gerada por uma linha reta movendo-se ao longo de uma curva. Mais formalmente, temos a definição que segue. Definição 5 Uma superfície regrada em R3 é (localmente) a função F(γ ,δ ) : I × R → R3 definida por. F(γ ,δ ) (t, u) = γ (t) + uδ (t), onde γ : I → R3 , δ : I → R3 − {0} são funções diferenciáveis e I é um intervalo aberto. Neste caso, chamamos γ a curva base ou diretriz, e as retas u 7→ γ (t) + uδ (t) são chamadas de geratrizes. Podemos dizer que a superfície regrada é gerada pela família {γ (t), δ (t)}. Os exemplos mais simples de superfícies regradas são as superfícies tangentes a uma curva regular, os cilindros e os cones. Uma superfície tangente é dada por F(γ ,t) (t, u) = γ (t) + ut(t)..

(34) 32. Figura 2.1: Superfície tangente Um cilindro pode ser visto como uma superfície regrada gerada por uma família de retas {γ (t), δ (t)}, com t ∈ I, γ (t) contida em um plano e δ (t) paralelo a uma direção fixa em R3 .. Se tomarmos uma família {γ (t), δ (t)}, com t ∈ I, onde γ (t) está contida em um plano e todas. as geratrizes passam por um ponto que não pertença a esse plano, temos o cone.. Figura 2.2: Cone As duas proposições que seguem referem-se às curvaturas gaussiana e média de uma superfície regrada em geral..

(35) 33 Proposição 7 Seja F(γ ,δ ) uma superfície regrada com kδ (t)k = 1. Então a curvatura gaussiana (det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t))2 de F(γ ,δ ) é dada por K(t, u) = − , com E = E(t, u) = kγ ′ (t) + uδ ′ (t)k2, F = (EG − F 2 )2 F(t, u) = γ ′ (t) · δ (t), G = G(t, u) = 1. eg − f 2 , onde E, F, G e e, f , g são os coeficientes da primeira EG − F 2 e segunda formas fundamentais, respectivamente. Como F(γ ,δ ) (t, u) = γ (t) + uδ (t) e usando N para o vetor normal à superfície temos: Ft × Fu e = N · Ftt ; f = N · Ftu ; g = N · Fuu ; N = . (kFt × Fu k) E = Ft · Ft , F = Ft · Fu , G = Fu · Fu . Demonstração Temos que K(t, u) =. Observe que: kFt × Fu k = kFt kkFu k sen θ ,. Ft · Fu = kFt kkFu k cos θ , onde θ é o ângulo entre Ft e Fu . Assim, (kFt × Fu k)2 + (Ft · Fu )2 = (kFt k)2 (kFu k)2 ). p √ Logo, kFt × Fu k = (kFt k)2 (kFu k)2 − (Ft · Fu )2 = EG − F 2 .. Ainda observe que Fu = δ (t) e Fuu = 0, assim g = N · Fuu = 0. 2 √Ft ×Fu · F 2 tu −f EG−F 2 = − , ou seja, Dessa forma, K(t, u) = EG − F 2 EG − F 2 ((Ft × Fu ) · Ftu)2 (EG − F 2 )2 (det(Ft , Fu , Ftu ))2 − (EG − F 2 )2 (det(γ ′ (t) + uδ ′(t), δ (t), δ ′(t)))2 − (EG − F 2 )2 (det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) − u det(δ ′ (t), δ (t), δ ′(t))2 − (EG − F 2 )2 (det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)))2 − . (EG − F 2 )2. K(t, u) = − = = = =. Proposição 8 Seja F(γ ,δ ) uma superfície regrada com kδ (t)k = 1. Então a curvatura média de F(γ ,δ ) é dada por. H(t, u) =. −2(γ ′ (t) · δ (t)) det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) + det(γ ′′ (t) + uδ ′′(t), γ ′(t) + uδ ′(t), δ (t)) 3. 2(EG − F 2 ) 2. em que E = E(t, u) = kγ ′ (t) + uδ ′(t)k2, F = F(t, u) = γ ′ (t) · δ (t) e G = G(t, u) = 1.. ,.

(36) 34 Demonstração Temos que H(t, u) = Assim,. eG − 2 f F + gE . 2(EG − F 2 ). (N · Ftt )1 − 2(N · Ftu )(Ft · Fu ) 2(EG − F 2 ) (Ft × Fu ) · Ftt − 2(Ft × Fu ) · Ftu(Ft · Fu ) √ = 2( EG − F 2 )(EG − F 2 ) −2(γ ′ (t) · δ (t)) det(γ ′ (t) + uδ ′(t), δ (t), δ ′(t)) + det(γ ′ (t) + uδ ′ (t), δ (t), γ ′′(t) + uδ ′′(t)) = 3 2(EG − F 2 ) 2 −2(γ ′ (t) · δ (t)) det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) + det(γ ′′ (t) + uδ ′′(t), γ ′(t) + uδ ′(t), δ (t)) = . 3 2(EG − F 2 ) 2. H(t, u) =. Observemos que aqui estamos admitindo a possibilidade de que F tenha pontos singulares, isto é, pontos (t, u) onde Ft × Fu = 0.. Considerando F(γ ,δ ) : I × R → R3 definida por F(γ ,δ ) (t, u) = γ (t) + uδ (t), temos que ∂ F(γ ,δ ) ∂ F(γ ,δ ) (t, u) × (t, u) = γ ′ (t) × δ (t) + uδ ′(t) × δ (t). ∂t ∂u Assim, (t0 , u0 ) é um ponto singular de F(γ ,δ ) se, e só se, γ ′ (t0) × δ (t0 ) + u0 δ ′ (t0 ) × δ (t0) = 0.. ∂F ∂F No caso da superfície tangente F(γ ,t) (s, u) = γ (s) + uγ ′ (s), temos que × = uγ ′′ (s) × ∂ s ∂ u γ ′ (s) = −uκ (s)b(s). Logo, a superfície tangente sempre tem pontos singulares ao longo de γ . Observamos também que se F(γ ,δ ) (s, u) = γ (s) + uδ (s) é uma superfície regrada que é nãosingular em γ (s), então γ (s) é transversal às geratrizes, isto é, os vetores {γ ′ , δ } são linearmente. independentes.. De fato, suponhamos que γ não seja transversal às geratrizes. Assim, γ ′ × δ = 0 e. 0 em u = 0. Então F seria singular ao longo de γ .. ∂F ∂F × = ∂t ∂u. Dentre as superfícies regradas, destacamos duas categorias que merecem atenção especial: as superfícies cilíndricas e as superfícies desenvolvíveis. As seções que seguem são destinadas ao estudo dessas duas classes de superfícies regradas.. 2.2 Superfícies Cilíndricas Vamos primeiramente supor, sem perda de generalidade, que k δ k= 1. Definição 6 Dizemos que a superfície regrada F(γ ,δ ) é uma superfície cilíndrica se δ (t) × δ ′ (t) ≡ 0.. Quando δ (t) × δ ′ (t) 6= 0, dizemos que a superfície regrada F(γ ,δ ) é não-cilíndrica.. Observamos que a condição δ (t) × δ ′ (t) 6= 0, é equivalente a δ ′ (t) 6= 0, para todo t ∈ I..

(37) 35 De fato, supondo k δ k= 1, temos que. δ · δ = 1. Derivando esta última expressão obtemos. δ ′ · δ = 0. Isso significa que sendo θ o ângulo formado entre δ e δ ′ , θ = 90o . Assim, tomando k δ × δ ′ k=k δ kk δ ′ k sen θ =k δ ′ k . Então δ (t) × δ ′ (t) 6= 0 ⇔ δ ′ (t) 6= 0.. Por outro lado, se F é não-cilíndrica, temos bem definida uma curva σ (t) na superfície regrada F(γ ,δ ) com a propriedade que σ ′ (t) · δ ′(t) = 0. Chamamos tal curva de linha de estricção. Notemos que a linha de estricção está bem definida. De fato, queremos encontrar uma curva parametrizada σ (t) tal que σ ′ (t) · δ ′(t) = 0, para todo. t ∈ I, e que o traço de σ (t) esteja contido no traço de F, isto é,. σ (t) = γ (t) + u(t)δ (t) para alguma função a valores reais u(t). Supondo a existência de tal curva e diferenciando a expressão acima, obtemos. σ ′ (t) = γ ′ (t) + u′(t)δ (t) + u(t)δ ′(t). Impondo a condição σ ′ (t) · δ ′(t) = 0, temos. 0 = σ ′ (t) · δ ′(t) = (γ ′ (t) + u′(t)δ (t) + u(t)δ ′(t)) · δ ′(t) ⇒ u(t) = −. γ ′ (t) · δ ′(t) . δ ′ (t) · δ ′(t). Além disto, esta curva não depende da curva base escolhida. De fato, sejam γ e γe duas curvas bases para F. Então podemos escrever para alguma função s(u).. F(t, u) = γ (t) + uδ (t) = γe(t) + s(u)δ (t). e as correspondentes linhas de estricção. Então Sejam σ e σ. σ (t) = γ (t) −. e. γ ′ (t) · δ ′(t) δ (t) δ ′ (t) · δ ′(t).

(38) 36. σe (t) = γe(t) −. Assim,. γe′ (t) · δ ′(t) δ (t). δ ′ (t) · δ ′(t). e (t) = γ (t) − γe(t) − σ (t) − σ. Por outro lado, temos que. Então, de (2.1) e (2.2):. e. Portanto, σ = σ. (γ ′ (t) − γe′(t)) · δ ′(t) δ (t). δ ′ (t) · δ ′(t). γ (t) − γe(t) = (s(u) − u)δ (t). (2.1). (2.2). [(s(u) − u)δ ′(t)] · δ ′(t) e (t) = s(u) − u − σ (t) − σ δ (t) = 0. δ ′ (t) · δ ′(t). Vamos tomar a linha de estricção como a curva base da superfície regrada e escreveremos a. superfície da seguinte maneira F(t, u) = σ (t) + uδ (t).. Assim, Ft = σ ′ (t) + uδ ′ (t) e Fu = δ (t). Então Ft × Fu = σ ′ (t) × δ (t) + uδ ′(t) × δ (t).. Como δ ′ (t) · δ (t) = 0 e δ ′ (t) · σ ′(t) = 0, concluímos que σ ′ (t) × δ (t) = λ (t)δ ′ (t), para alguma função λ (t) chamada de parâmetro de distribuição. Assim, k Ft × Fu k2 =k λ δ ′ + uδ ′ × δ k2 = λ 2 k δ ′ k2 +u2 k δ ′ k2 = (λ 2 + u2 ) k δ ′ k2 . Segue-se que os eventuais pontos singulares da superfície regrada situam-se ao longo da linha de estricção u = 0 e eles ocorrem se e somente se λ (t) = 0. det(σ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) . k δ ′ (t) k2 Utilizando isto na expressão de K dada na Proposição 5, segue que Observe que λ (t) =. K=−. λ2 . ( λ 2 + u2 ) 2. Concluímos então que tomando a curva base como a linha de estricção, temos que, em pontos regulares, a curvatura Gaussiana de uma superfície regrada satisfaz K ≤ 0, sendo zero apenas ao longo das geratrizes que intersectam a linha de estricção em um ponto singular.. 2.3 Superfícies Desenvolvíveis Definição 7 Dizemos que uma superfície regrada F(γ ,δ ) é uma superfície desenvolvível se a curvatura gaussiana da parte regular de F(γ ,δ ) se anula..

(39) 37 Observemos que uma superfície regrada F(γ ,δ ) (t, u) = γ (t) + uδ (t) é uma superfície desenvolvível se e somente se det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) = 0. De fato, isto decorre imediatamente da Proposição 7, visto que. K(t, u) = −. (det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)))2 . (EG − F 2 )2. Vamos considerar agora três superfícies regradas especiais associadas a uma curva γ (s) com curvatura positiva. A primeira é a superfície tangente, já vista na seção 2.1. A segunda é a chamada superfície normal principal que é dada por: F(γ ,n) (t, u) = γ (t) + un(t) A terceira é conhecida por superfície binormal e é dada por: F(γ ,b) (t, u) = γ (t) + ub(t) Temos então a seguinte proposição. Proposição 9 A superfície tangente é sempre uma superfície desenvolvível. A superfície normal principal e a superfície binormal são superfícies desenvolvíveis se e somente se a curva correspondente é plana. Demonstração Para a superfície tangente temos δ (s) = t(s) = γ ′ (s). Assim det(γ ′ (t), δ (t), δ ′(t)) = 0, pois apresenta duas colunas iguais. No caso da superfície normal principal, temos que det(γ ′ (s), δ (s), δ ′(s)) = det(γ ′ (s), n(s), n′(s)) = det(γ ′ (s), n(s), −κ (s)t(s) + τ (s)b(s)) = det(γ ′ (s), n(s), τ (s)b(s)).. Como os vetores t, n e b são linearmente independentes, este determinante só se anula quando τ (s) = 0, isto é, quando a curva é plana. Por outro lado, se γ (s) é uma curva plana, a normal principal pertence ao plano da curva e assim a superfície normal principal é um plano. Por fim, no caso da superfície binormal nós temos det(γ ′ (s), δ (s), δ ′(s)) = det(γ ′ (s), b(s), b′(s)) = det(γ ′ (s), b(s), −τ (s)n(s)),.

(40) 38 onde novamente este determinante se anula se e só se a torção é nula, ou seja, quando γ (s) é uma curva plana. Inversamente, se γ (s) é uma curva plana, b(s) é constante e assim b′ (s) = 0. Portanto, det(γ ′ (s), b(s), b′(s)) = 0. Vamos agora distinguir dois casos de superfícies desenvolvíveis: (a) δ (t) × δ ′ (t) ≡ 0. Isso significa que δ ′ (t) ≡ 0. Assim, δ (t) é constante e a superfície regrada é um cilindro sobre uma curva obtida pela interseção do cilindro com um plano normal a δ (t); (b) δ (t) × δ ′ (t) 6= 0, para todo t ∈ I. Nesse caso, δ (t) 6= 0, para todo t ∈ I. Temos assim que a superfície é não-cilíndrica. Podemos determinar a linha de estricção e verificar que o parâmetro de distribuição det(σ ′ , δ , δ ′ ) λ= ≡ 0. k δ ′ k2 Portanto, a linha de estricção será o lugar geométrico dos pontos singulares da superfície desenvolvível. Se σ ′ (t) 6= 0, para todo t ∈ I, segue da equação acima, do fato que σ ′ · δ ′ ≡ 0 e de. δ ser paralelo ao plano tangente da superfície que δ é paralelo a σ ′ . Logo, a superfície regrada é a superfície tangente de σ . Se σ ′ (t) = 0, para todo t ∈ I, então a linha de estricção é um ponto, e a superfície regrada é um cone tendo esse ponto como vértice. Desse modo, longe dos pontos de acumulação dos zeros das funções envolvidas, uma superfície desenvolvível é uma união de pedaços de cilindros, cones e superfícies tangentes..

(41) Capítulo 3 CURVAS ESPECIAIS E SUPERFÍCIES REGRADAS Neste capítulo estudaremos hélices generalizadas e curvas de Bertrand como curvas sobre superfícies regradas. Através de alguns resultados veremos que a hélice generalizada está relacionada à curvatura gaussiana e a curva de Bertrand à curvatura média da superfície regrada que as contém. Para este estudo introduziremos duas superfícies regradas importantes, a saber a superfície retificável desenvolvível e a superfície normal principal. Os principais resultados desta seção encontram-se no artigo [5].. 3.1 Superfície retificável desenvolvível e = τ (s)t(s) + b(s), que chamamos vetor de Darboux Do capítulo 1, definimos o vetor D(s) κ modificado. Considere γ : I −→ R3 uma curva regular com κ (s) 6= 0.. Utilizando este vetor vamos definir a superfície retificável desenvolvível, como segue. e Definição 8 A superfície regrada F(γ ,D) ˜ (s, u) = γ (s) + uD(s) é chamada a superfície retificável desenvolvível de γ . No decorrer da seção veremos algumas propriedades importantes dessa superfície que justificam sua denominação. ′ e ′ (s) = τ (s)t(s). Primeiramente, observemos que D κ τ e = (s)t(s) + b(s) com κ (s) 6= 0. De fato, temos que D(s) κ.