gabaritounomodulo2

(1)

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998.

Manual do Professor

Física

em sala de aula

Módulo 2

Movimentos com

velocidade variável

Conteúdo analítico

3 Objetivos do módulo e de seus capítulos

3 Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais 4

Estratégias para a ação docente

4

Abertura

4

Capítulo 1 — Movimento uniformemente variado (MUV)

5

Capítulo 2 — O espaço no movimento uniformemente variado

5

Capítulo 3 — Gráficos s # t do MUV

6

Capítulo 4 — Lançamento vertical no vácuo

7 Avaliação do aprendizado

8 Enriqueça sua aula

8 Resolução dos exercícios propostos

9 Gabarito

26

(2)

Sistema de Ensino Sistema de Ensino

Sistema de Ensino

Editor executivo: Marco Antônio Costa Fioravante Edição: Eugenio Dalle Olle, Marco Antônio Costa Fioravante Preparação: Geraldo Fantin, Temas e Variações Editoriais Revisão: Lara Milani (coord.), Adriana B. dos Santos, Alexandre

Sansone, Amanda Ramos, Anderson Félix, André Annes Araujo, Aparecida Maffei, David Medeiros, Greice Furini, Maria Fernanda Neves, Renata Tavares

Colaboração: Ana Luiza Sério Coordenação de arte: Aderson Oliveira

Edição de arte: Benedito Minotti, Fabio Ventura, Marina C. Nievas,

Raquel Bortoletto, Ricardo Yorio, Roberto Figueirinha, Tyago Bonifácio

Iconografia: Ana Lúcia S. Buendia (coord.), Fabio Matsuura, Flávia

Aline Morais

Projeto gráfico: Signorini Produção Gráfica

Diagramação: Christof Gunkel, Exata Editoração, Formato Comunicação,

Grapho Editoração, Sammartes

Ilustrações: Adilson Secco, Alexandre Jubran, Carlos Estevão

Simonka, Cecília Iwashita, Daniela Weil, DuoVentura Editorial, Edilson Antônio da Silva, Estúdio Manga, Fabiano Lucio, Fernando J. Ferreira, Gilberto Rodrigues Martho, Infografe, Irineu Paulini, Jótah Ilustrações, Jurandir Ribeiro, Keila Grandis, Levi Ciobotariu, Luigi Rocco, Maurício Antônio de Souza, Osni de Oliveira, Osvaldo Sequetin, Paulo César, Paulo Manzi, Ricardo Yorio, Rogério Borges, Sattu, Sérgio Furlani, Studio Caparroz, Vagner Coelho, Vanessa Teixeira, Vicente Mendonça

Cartografia: Lucinei Normandia

Foto de capa: Schlegelmilch/Corbis/Latinstock

Pré-impressão: Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GRUPO SANTILLANA Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (11) 2790-1500

Fax (11) 2790-1501 www.sistemauno.com.br 2009 Impresso no Brasil AUTORES Blaidi Sant’Anna

Licenciado em Física pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

Hugo Carneiro Reis

Doutor em Ciências pela USP Professor de Física do Ensino Médio

Maria da Glória Martini

Mestre em Ensino de Física pela USP Professora de Física do Ensino Médio

Walter Spinelli

Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela USP

Professor de Física e Matemática do Ensino Médio

(3)

3 Conteúdo analítico

Os movimentos com velocidade variável são o tema do módulo 2. Para isso, apresenta o conceito de aceleração

(ca-pítulo 1), reforçando a ideia da aceleração como taxa de va-riação da velocidade em relação ao tempo.

No capítulo 2, é desenvolvida a relação entre espa-ço e tempo no movimento acelerado, chamando a aten-ção para a proporcionalidade existente entre o desloca-mento acumulado e o quadrado do tempo de movidesloca-mento. Além disso, é nesse capítulo que é trabalhado o movimen-to de corpos extensos, para os quais são apresentadas técnicas que permitem a análise pontual para a descri-ção de movimentos de corpos, cujos comprimentos não podem ser desprezados em relação aos outros parâmetros do fenômeno estudado.

O capítulo 3 pode ser considerado um dos mais importan-tes do módulo, pois apresenta as representações gráficas da velocidade e do espaço, bem como sua utilização como ferra-menta de análise e de descrição de movimentos. Essa com-preensão é fundamental para os estudantes e faz parte da ampliação da capacidade leitora do aluno, na medida em que o instrumentaliza para a leitura de gráficos de qualquer outra área do conhecimento.

O capítulo 4 apresenta um tema cuja compreensão pelo aluno facilitará sobremaneira o entendimento da gravitação e de outros aspectos dinâmicos dos fenômenos físicos: lan-çamentos verticais. Existindo a necessidade de priorizar o trabalho, sugerimos garantir um maior tempo para o capítulo e, principalmente, para o conceito de queda livre.

Objetivos do módulo e de seus capítulos

Espera-se, ao final do módulo, que os alunos sejam capazes de:

n relacionar aceleração com taxa de variação da velocidade;

n identificar o movimento acelerado com o aumento da velocidade e o movimento retardado

com a sua diminuição;

n relacionar o espaço com o tempo em um movimento acelerado a partir de uma função do

2o_grau;

n construir o gráfico de velocidade em função do tempo e o de espaço em função do tempo

para o movimento uniforme;

n descrever os movimentos de lançamento vertical no vácuo.

kenne th ew ard/pr/la tins tock t 5 0 t 5 0,1 s t 5 0,2 s t 5 0,4 s t 5 1 s 4,9 m MANUAL_FIS_MOD_02.indd 3 23.03.09 10:30:59

(4)

4 Conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais

Conteúdos conceituais Conteúdos procedimentais Conteúdos atitudinais

C

apít

ulo 1

n Aceleração. n Reconhecer aceleração como taxa de variação da velocidade. n Compreender o significado do sinal da aceleração. n Identificar aspectos históricos da construção do conhecimento científico. n Transpor os conteúdos de física para situações do mundo real.

n Reconhecer riscos envolvidos em processos que envolvam velocidade e aceleração e se posicionar de forma efetiva em relação às normas de segurança.

C

apít

ulo 2

n Relação entre velocidade e tempo para o movimento variado.

n Descrever a relação entre velocidade e tempo a partir de uma função do 1o_grau.

n Construir o gráfico de velocidade em função do tempo. C apít ulo 3

n Relação entre espaço e tempo para o movimento variado.

n Descrever a relação entre espaço e tempo a partir de uma função do 2o_grau.

n Construir o gráfico de espaço

em função do tempo.

C

apít

ulo 4

n Lançamentos verticais. n Descrever o movimento de queda livre.

n Descrever o movimento e

lançamento vertical no vácuo.

Estratégias para a ação docente

Abertura

A abertura do módulo mostra uma ilustração de Galileu com o plano inclinado e faz referência ao experimento realizado para a descrição do movimento dos corpos. Um aspec- to que pode ser explorado é a contextualização histórica dos trabalhos de Galileu – a tecnologia utilizada na época e o processo indutivo envolvido nesses trabalhos.

A desmistificação do cientista e de seu trabalho permite ao aluno a visualização do proces-so científico como uma construção humana e, por isproces-so, possível de ser alcançado pelo aluno. A frase “O repouso não existe!” retoma de forma instigante o problema do referencial, deslocando a discussão para a inexistência de um estado de movimento absoluto, ou seja, independente do observador. É um bom momento para retomar discussões anteriores e garantir que os alunos tenham o entendimento mínimo dos conceitos e dos processos de descrição dos movimentos para seguir adiante.

Sempre que possível, sugerimos a utilização da foto da capa para a complementação da prospecção dos interesses e dos conceitos prévios dos alunos. Isso ajuda-o a nortear o trabalho, garantindo que a abordagem motive o estudo dos conceitos, que, de forma pouco contextualizada, pode se tornar desinteressante.

(5)

5

Por fim, Galileu foi um físico com muitas contribuições para a história do conhecimento cien-tífico, em especial para a física. O experimento retratado na foto de abertura em particular, tem bastante importância, pois marcou o início de uma mudança na descrição dos movimentos.

O módulo apresenta outro experimento de Galileu, no capítulo 4, ao tratar dos lançamen-tos no vácuo. Mais uma vez, é ressaltada a importância desse pensador para a ciência.

Capítulo 1

Movimento uniformemente variado (MuV)

Aceleração escalar

O conceito de aceleração e o significado do sinal — ou é possível acelerar diminuin-do a velocidade?

É preciso que o estudante entenda que a aceleração representa a taxa de variação da

velocidade: a aceleração pode ser positiva e o movimento acelerado (quando o módulo da velocidade aumenta), mas, também, pode ser positiva num movimento retardado (quando o módulo da velocidade diminui).

Para essa discussão, o professor pode retomar a questão que abre o capítulo: “É pos-sível acelerar diminuindo a velocidade?”. No final do capítulo, o objetivo é assegurar que os estudantes entendam o significado dessa pergunta, identificando que, em um movimen-to no qual o valor da velocidade diminui negativamente (o valor da velocidade é cada vez mais negativo: 25 m/s; 27 m/s; 29 m/s...), o movimento é acelerado e, nesse caso, a aceleração também tem valor negativo. Em suma, a classificação de um movimento como acelerado ou retardado só é possível com a comparação dos sinais (que indicam o sentido) da velocidade e da aceleração.

Representações gráficas

A utilização de representações gráficas é uma habilidade fundamental para o estudan-te em um curso de física. Nesse capítulo, ele deve ser capaz de reconhecer o movimento variado em um gráfico de velocidade em função do tempo e, ainda, a partir desse gráfico, determinar o deslocamento do móvel.

Para isso, sugerimos a resolução do exercício 2 (p. 14), que trabalha a construção do gráfico da velocidade, e dos exercícios 4 e 5 (p. 15), que põem em prática a leitura de grá-ficos do movimento variado.

Capítulo 2

o espaço no movimento uniformemente variado

Velocidade média

O estudante deve associar a velocidade com a taxa de variação do espaço em função do tempo. Por esse motivo, a velocidade média está associada ao deslocamento em um deter-minado intervalo de tempo. No caso de um movimento no qual a velocidade varia, devemos levar em consideração o deslocamento total e seu respectivo intervalo de tempo. Mas se esse movimento variado tiver aceleração constante, a velocidade média pode ser calculada a partir da média das velocidades final e inicial.

(6)

6 Corpos extensos em movimento

Sugerimos uma atenção especial para a seção Você precisa saber. O movimento de corpos extensos é um ponto que pode ser trabalhado pelo professor com os estudantes. Diferenciar ponto material (que tem dimensões desprezíveis) daquele que tem dimensões significativas é uma boa estratégia para falar sobre referenciais e escalas, itens funda-mentais para a física. Para isso, pode-se utilizar o exercício resolvido 5 (p. 28), que traz um exemplo da necessidade de levar em consideração as dimensões do corpo que está em movimento.

A equação de Torricelli

Não podemos nos esquecer de trabalhar com os alunos a equação de Torricelli, apre-sentada no Para saber mais (p. 29). A dedução dessa equação não apresenta grandes dificuldades e sua utilização facilita bastante a resolução de alguns exercícios, como o exer-cício 3 (p. 34) da Retomada dos conceitos.

Capítulo 3

Gráficos s versus t do MUV

Esse capítulo trabalha com os gráficos de espaço em função do tempo para o movimen-to variado. Por isso, sugerimos que o quadro da página 38 seja trabalhado com cuidado, pois apresenta uma síntese do que o aluno deve saber sobre gráficos do movimento unifor-memente variado.

O quadro relaciona os gráficos de velocidade em função do tempo (gráfico da fun-ção horária da velocidade) com os gráficos de espaço em funfun-ção do tempo (gráfico da função horária dos espaços). Além disso, em cima dos gráficos, o aluno tem um esque ma do movimento, com a orientação da trajetória e o vetor velocidade representado no desenho.

No caso dos movimentos variados, é importante ressaltar a mudança que ocorre com o corpo ao passar por determinados pontos: o ponto de velocidade e espaço nulos. No ponto de velocidade nula (correspondente ao vértice da parábola do gráfico s # t), o corpo muda de sentido e, por esse motivo também, muda o tipo de movimento. Por exemplo, um corpo que vinha em um movimento progressivo e retardado (se deslocava no sentido da orienta-ção da trajetória e o módulo da velocidade diminuía) passa a desenvolver um movimento retrógrado e acelerado (no sentido contrário ao da orientação da trajetória e com aumento do módulo da velocidade).

Quando a aceleração não é constante

O Bisbilhotando da página 42 pode ser uma forma interessante de encerrar o capítulo. O texto explica: quando a aceleração é maior, a velocidade varia mais e, quando a aceleração é menor, a velocidade varia menos. Assim, se fizermos um gráfico de velocidade em função do tempo, esse gráfico não é mais uma reta.

(7)

7 Capítulo 4

Lançamento vertical no vácuo

Queda livre

O capítulo começa com a explicação do movimento de queda livre. Mais uma vez, as-pectos da história da ciência podem ser trabalhados ao ensinar este item. As discussões de como Galileu chegou à conclusão de que os corpos em queda caem acelerados e o que isso significa para o desenvolvimento da ciência, bem como da importância da utilização de experimentos de pensamento, usados por Galileu, podem ser feitas em sala de aula. Se a imagem de abertura ainda não foi trabalhada, seria o momento oportuno para explorá-la.

Além disso, o professor pode aproveitar para refletir com os alunos sobre o significado do valor das acelerações. Para isso, utilizar a pergunta de abertura do módulo – “É possível uma moeda acelerar mais do que um automóvel esportivo?” – é uma boa estratégia. Essa discussão faz com que os números e os resultados dos problemas deixem de ser simples abstrações matemáticas e passem a ter um significado físico, pois, agora, os estudantes conseguem relacioná-los com situações do cotidiano.

A orientação da trajetória

Na resolução de problemas com lançamentos verticais, um cuidado fundamental é o da escolha da trajetória. Aqui talvez seja interessante retomar o trabalho feito no capítu-lo 1 sobre o significado do sinal da aceleração. Como esse sinal tem um significado que depende do sinal da velocidade (podemos ter tanto um movimento acelerado como um retardado e ambos com aceleração positiva) e, por sua vez, o sinal da velocidade depende da orientação da trajetória, a escolha dessa orientação é o primeiro passo para a solução dos problemas.

Uma sugestão é o professor resolver um mesmo problema com duas orientações dife-rentes, como, por exemplo, o exercício resolvido 6 (p. 57), e, assim, verificar que a escolha não modifica o resultado final, mas, sim, os sinais de velocidade e aceleração que serão utilizados no problema. iv ania s ant’ anna/kino es a embraer s. a ./all r igh ts reser ved MANUAL_FIS_MOD_02.indd 7 23.03.09 10:31:28

(8)

8 Avaliação do aprendizado

Considere os objetivos apresentados na página 3 deste módulo e peça aos alunos que façam uma autoavaliação.

Saliente que as informações e os conceitos abordados lhes darão condições para pros-seguir e conpros-seguir êxito diante dos próximos desafios. Por isso é importante que eles ava-liem o que realmente aprenderam.

Considerando o que você aprendeu, marque com um X.

Este módulo: Muito Parcialmente Pouco

• ajudou-me a diferenciar movimentos acelerados de movimentos retardados.

• auxiliou-me a reconhecer um movimento acelerado em um gráfico de velocidade em função do tempo.

• possibilitou-me identificar um movimento acelerado em um gráfico de espaço em função do tempo.

• permitiu-me descrever o movimento de queda livre como um movimento acelerado.

Enriqueça sua aula

Livros

n GleiCk, James. Newton. São Paulo: Companhia das letras, 2004.

Nessa biografia, os predicados de Newton dividem espaço com o estudioso incansável de teologia, do movimento, de alquimia, do

cálculo, entre outros estudos, como o da natureza da luz.

n BerliNSki, David. O dom de Newton. São

Paulo: Globo, 2002.

O dom de Newton era mais que uma habilidade ou destreza, era algo na sua alma que o fez capaz de aproveitar o fluxo de energia e trabalho das coisas a sua volta.

Site

n <www.youtube.com/watch?v=1TiXB5-q9OY>

(Acesso: 22 set. 08)

Vídeo sobre movimento no Youtube, com professor Flávio. Muito interessante porque alia o conceito à perspectiva da realidade, tratando de espaço, velocidade etc.

ERICH LESSING/ALBUM/LA

TINS

TOCK

(9)

9

1

a) A aceleração é constante durante todo o percurso, então:

Resolução dos exercícios propostos

CAPÍTULO 1

Exercícios dos conceitos

a 5 ___ Sv St ] a 5 6 2 0 ______ 10 2 0 ] a 5 3 __ 5 ] a 5 0,6 m/s2 b)

O deslocamento do móvel pode ser obtido a partir da área sob a curva do gráfico:

2

A distância percorrida pode ser determinada a partir da área sob a curva do gráfico:

b) Construindo o gráfico v # t para o desloca

mento deste móvel:

O deslocamento pode ser obtido por:

c) A equação horária da velocidade para o mó

vel é:

v 5 v0 1 at ] v 5 6 1 4 t

Então, no instante 5,5 s a velocidade será: v 5 6 1 4 3 5,5 ] v 5 28 m/s

4

n O deslocamento no primeiro trecho (0 – 1h)

é de:

x1 5N A ] x1 5 1 3 15 ] x1 5 15 km

n O deslocamento no segundo trecho (1h – 2h)

é nulo, pois o veículo está parado.

n O deslocamento no terceiro trecho (2h – 4h)

é de:

x3 5N A ] x3 5 2 3 (220) ] x3 5 240 km

Então:

x 5 x0 1 x1 1 x2 1 x3 ]

x 5 50 1 15 1 0 2 40 ] x 5 25 km No instante 4h a posição do veículo é 25 km.

5

a) n De 0 a 10 s p movimento progressivo e acelerado n De 10 a 30 s p movimento progressivo e uniforme n De 30 a 40 s p movimento progressivo e retardado

3

a) a 5 ___ Sv St ] a 5 10 2 6 ______ 1 2 0 ] a 5 4 m/s 2 v (m/s) t (s) 10 0 6 Área = Ss v (m/s) t (s) 18 10 0 18 v (m/s) Área = Ss t (s) 1,0 0 10 6 Ss 5 ___________ (18 1 8) 3 18 2 ] Ss 5 234 m Ss 5N A ] Ss 5 _________ (B 1 b) 3 h 2 ] Ss 5N A ] Ss 5 10 _____ 3 6 2 ] Ss 5 30 m Ss 5 (10 1 6) 3 1__________ 2 ] Ss 5 8 m Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________ 2 ] MANUAL_FIS_MOD_02.indd 9 06.10.08 10:54:22

(10)

10 CAPÍTULO 2

6

c

7

e A aceleração do automóvel é de 60 m/s em cada minuto, ou seja, a 5 1 m/s2_.

A equação horária da velocidade é:

v 5 v0 1 at ] v 5 10 1 1 3 t

Depois de meio minuto (30 s), temos:

v 5 10 1 1 3 30 ] v 5 40 m/s

Construindo o gráfico v # t do automóvel neste intervalo de tempo:

1

36 km/h p 10 m/s

a) A partir da equação horária da velocidade,

temos:

v 5 v0 1 at ] 0 5 10 2 4 t ] t 5 2,5 s

2

a) Pela definição de aceleração:

3

a) a 5 ___ Sv

St ] a 5 ______ 12 2 9 3 2 0 ] a 5 1 m/s2 Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________

2 ]

b) Podemos considerar uma velocidade média

para esse percurso de:

b) A velocidade do corpo no instante 4 s é:

v 5 v0 1 at ] v 5 0 1 2,5 3 4 ] v 5 10 m/s

Então, podemos considerar uma velocidade média nesse percurso de:

b) Podemos considerar uma velocidade média de: b) O deslocamento do veículo em todo o traje

to é: 40 10 0 30 t (s) v (m/s) vm 5 Ss___ St ] vm 5 600 ____ 40 ] vm 5 15 m/s Então, a velocidade média é dada por: Ss 5 (40 1 20) 3 20____________ 2 ] Ss 5 600 m Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________ 2 ] a 7 22,8 m/s2_{] OaO 7 2,8 m/s}2 a 5 Sv___ St ] a 5 230 ____ 3,6 _____ 3 ] a 5 230 ______ 3 3 3,6 ] Então, a desaceleração é dada por: Sv 5 ____ 230

3,6 m/s

Sv 5 150 2 180 ] Sv 5 230 km/h ]

Então, a velocidade média é dada por:

Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________ 2 ] Ss 5 ____________ (40 1 10) 3 30 2 ] Ss 5 750 m vm 5 Ss___ St ] vm 5 750 ____ 30 ] vm 5 25 m/s

8

b

A distância percorrida pelo corredor foi:

vm 5 Ss___ _St ] vm 5 100 ____ ₁₀ ] vm 5 10 m/s

Então, a velocidade média é de: Ss 5 (10 1 6) 3 12,5____________ 2 ] Ss 5 100 m Então: Ss 5 vm 3 t ] Ss 5 12,5 m vm 5 10 ______ ₂1 0 ] vm 5 5 m/s2 a 5 ___ Sv St ] a 5 5 2 0 _____ 2 2 0 ] a 5 2,5 m/s 2 Ss 5 vm 3 t ] Ss 5 5 3 4 ] Ss 5 20 m vm 5 10 ______ ₂1 0 ] vm 5 5 m/s Ss 5 vm 3 t ] Ss 5 10,5 3 3 ] Ss 5 31,5 m vm 5 12 1 9 ______ ₂ ] vm 5 10,5 m/s MANUAL_FIS_MOD_02.indd 10 06.10.08 10:54:22

(11)

11

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. P1 100 m 300 m P2

c) Entre 3 s e 5 s, a velocidade média é de

12 m/s, então:

Ss1 5 vm 3 t ] Ss1 5 12 3 2 ] Ss1 5 24 m

Portanto, o deslocamento entre 0 s e 5 s é: SsT 5 31,5 + 24 ] SsT 5 55,5 m

4

d

I. Errado.

O automóvel está freando e, portanto, a aceleração está no sentido contrário do movimento.

II. Errado.

Podemos considerar uma velocidade mé dia nos 2 primeiros segundos de:

vm 5 15 _______ 1 11₂ ] vm 5 13 m/s Ss 5 vm 3 t ] Ss 5 13 3 2 ] Ss 5 26 m III. Errado. a 5 ___ Sv St ] a 5 11 2 15 _______ 2 ] a 5 22 m/s 2 IV. Correto.

Conforme aumenta o intervalo de tempo, diminui a velocidade.

V. Correto.

v 5 v0 1 at ] 0 5 15 2 2t ] t 5 7,5 s

5

A equação horária da posição do automóvel é:

sA 5 s0A 1 vcA t 1 1 __ ₂ at2 ]

sA 5 1 __ ₂ 3 2 3 t2 ] sA 5 t2

A equação horária da posição do ônibus é:

so 5 vm 3 t ] so 2 16 t

No instante de encontro, os móveis estarão na mesma posição, então:

sA 5 so ] t2 5 16 t ] t (t 2 16) 5 0 ]

t 5 0 s (encontro no semáforo) t 5 16 s (instan

te do alcance)

Portanto, em 16 s o automóvel terá percorrido:

sA 5 t2_{] s}

A 5 162 ] sA 5 256 m

6

A velocidade do trem no instante em que ele para de desacelerar é: v 5 v0 1 at ] v 5 20 2 0,5 3 10 ] v 5 15 m/s vm 5 ___ Ss St2 ] 15 5 225 ____ St2 ] St2 5 15 s b) Trecho I: a 5 ___ Sv St ] 2,4 5 18 2 c ______ t ] t 5 7,5 s. Então: Ss1 5N A ] Ss1 5 7,5 3 18_______ 2 ] Ss1 5 67,5 m Trecho II: Ss2 5N A ] Ss2 5 40 3 18 ] Ss2 5 720 m Trecho III: Ss3 5N A ] Ss3 5 __________ (18 1 6) 3 6₂ ] Ss3 5 72 m

Como o percurso total foi de 1 km, temos: Ss1 1 Ss2 1 Ss3 1 Ss4 5 1.000 ]

67,5 1 720 1 72 1 vm4 3 St4 5 1.000 ]

6 3 St4 5 1.000 2 859,5 ] St4 5 23,4 s

A duração total do movimento foi de: St1 1 St2 1 St3 1 St4 ]

7,5 1 40 1 6 1 23,4 ] STT 5 7,69 s

Portanto, a distância percorrida durante o pe ríodo de desaceleração foi de:

v2_{5 v}

02 1 2aSS ]

152_{5 20}2_{1 2 3 (20,5) 3 Ss ] Ss}

1 5 175 m

Como a distância total que o trem percor re durante toda a ultrapassagem é 400 m (100 1 300 m), sabemos que o trem percor re 225 m (400 m 2 175 m) com velocidade constante de 15 m/s.

7

a) a 5 ___ Sv St ] a 5 6 2 18 ______ 6 ]

8

a) vm 5 Ss1 ___ St ] 2 5 Ss1 ___ 20 ] Ss1 5 40 m

c) Pela equação de Torricelli:

v2_{5 v} 0 2_{1 2}a_SS 2 ] v2 5 22 1 2 3 1 3 48 ] v2_{5 4 1 96 ] v 5 10 m/s} b) Ss2 5 vat 1 at 2 ___ 2 ] Ss2 5 2 3 8 1 1 3 82 _____ 2 ] Ss2 5 48 m SsT 5 Ss1 1 Ss2 ] SsT 5 88 m STT 5 St1 1 St2 ] STT 5 10 1 15 ] STT 5 25 s a 5 22 m/s2_{] OaO 5 2 m/s}2 MANUAL_FIS_MOD_02.indd 11 06.10.08 10:54:23

(12)

12

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. 100 m 15 m/s A B

10

b 108 km/h p 30 m/s

O automóvel para completamente percorren do uma distância de:

v2_{5 v} 0

2_{1 2a Ss ] 0}

2 5 302 2 2 3 3 3 Ss ]

Ss 5 150 m

Portanto, o caminhão deve parar completa mente em uma distância de 150 1 Dmin , utili

zando a equação de Torricelli:

v2_{5 v} 0 2_{1 2a Ss ]} 0 5 302_{2 2 3 2 3 (150 1 D} min) ] 900 5 600 2 4 Dmin ] Dmin 5 75 m

11

A partir do gráfico, vemos que, em um deter minado instante, os móveis atingem a mesma velocidade de 9 m/s.

a1 5 ___ Sv_St ] a1 5 12 ______ _{30 2 0}2 0 ] a1 5 0,4 m/s2

Então, a equação horária da velocidade é:

v 5 v0 1 at ] v 5 0 1 0,4 t

Portanto, o instante em que os móveis atingem a mesma velocidade é:

9 5 0,4 t ] t 5 22,5 s

A distância D, que separa os móveis, pode ser obtida pela subtração das áreas.

D 5 Ss2 2 Ss1 ]

12

b

Após 20 s, as posições dos automóveis serão:

c)

13

54 km/h p 15 m/s

a) Nos 0,5 s de tempo de reação, o carro per

corre: Ss 5 v 3 St ] Ss 5 15 3 0,5 ] Ss 5 7,5 m Utilizando Torricelli: v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]} 02_{5 15}2_{2 2 3 3 3 Ss ] Ss 5 37,5 m}

Portanto, a distância total percorrida até pa rar foi de:

7,5 1 37,5 5 45 m

E, portanto, ele não consegue parar antes do semáforo. Ele para 7 m após o semáforo.

9

a) sA 5 s0A 1 v0 at 1 at 2 ___ 2 ] sA 5 2t 2 ___ 2 ] sA 5 t 2 sB 5 s0B 1 vt ] sB 5 100 2 15t

No instante do encontro, sA 5 SB , então

sA 5 sB ] t2 5 100 2 15t ]

t2_{1 15t 2 100 5 0}

Resolvendo a equação do 2o_grau:

S 5 225 2 4(1) (2100) ] S 5 625

t 5 5 s ou

t 5 220 s (Fisicamente esta

resposta não é aceitável)

b) Substituindo o instante de encontro na

equação horária da posição do móvel A: sA 5 t2 ] sA 5 25 m

t 5 _________ 215 ! 25 2

Portanto, os móveis se encontram após 5 s.

s (m) t (s) 5 0 100 Ponto B Ponto A 25

A aceleração do móvel 1 é dada por:

D 5 148,5 2 101,25 ] D 5 47,25 m D 5 (22,5 1 10,5) 3 9______________ 2 2 22,5 3 9 _______ 2 ] sB 5 sB 2 v0B t ] sB 5 50.000 2 30 3 20 ] sB 5 49.400 m

A velocidade do automóvel A após 20 s é de:

v2_{5 v} 0

2_{1 2a Ss ] v}2_{5 0}2_{1 2 3 1 3 200 ]}

v 5 20 m/s

No instante do encontro, sA 5 sB , então: s0A 1 vat 5 s0B 1 vBt ]

200 1 20 t 5 49.400 2 30 t ] 50 t 5 49.200 ] t 5 984 s

Após 984 s, os automóveis estarão na posição:

sA 5 s0A 1 vAt ] sA 5 200 1 20 3 984 ] sA 5 19.880 m ] sA 5 19,88 km sA 5 0 1 0t 1 1 __ 2 3 20 2_{] s} A 5 200 m sA 5 s0A 1 v0A t 1 at 2 ___ 2 ] MANUAL_FIS_MOD_02.indd 12 06.10.08 10:54:23

(13)

13

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. v0A = 25 m/s v0B = 25 m/s aB = 5 m/s2 50 m 0 50

14

a) 90 km/h p 25 m/s b)

O veículo que está na frente irá parar em: v2_{5 v}

0

2_{1 2aSs ]}

02_{5 25}2_{2 2 3 5 3 Ss ] Ss 5 62,5 m}

Como este carro já estava 50 m atrás, a dis tância total que o carro de trás tem para frear é 112,5 m.

Como o motorista só aciona os freios de 0,5 s, ele percorre uma distância nesse período de:

c) v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]}

@

100 ____ 3,6

#

2 5 2 3 1,54 3 Ss ] Ss 7 250 m

16

c

A desaceleração máxima do automóvel é dada por:

Portanto, a distância necessária para o carro re duzir de 30 m/s para 10 m/s é de:

vf2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ] 10}2_{5 30}2_{2 2 3 5 3 Ss ]} 10Ss 5 800 ] Ss 5 80 m a 5 Sv___ St ] a 5 0 2 30 ______ 6 ] a 5 25 m/s 2

b) Devido ao tempo de reação do motorista, o

carro percorre 7,5 m até que ele comece a acelerar. Como o cruzamento tem 5 m, a dis tância que o carro deve percorrer no trecho de aceleração é de:

38 2 7,5 1 5 5 35,5 m

O carro irá acelerar durante 2 s, já que o motorista “perde” 0,5 s com o tempo de rea ção. Calculando a distância percorrida no trecho acelerado: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s 5 15 3 2 1 3 3 22 _____ 2 ] s 5 30 1 6 5 36 m

E, portanto, ele consegue ultrapassar o cru zamento antes que o farol fique vermelho.

15

a) a 5 ___ Sv St ] a 5 100 ____ 3,6 ____ 18 ] a 7 1,54 m/s 2 b) s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s 5 1,54 3 102 ________ 2 ] s 5 77 m

CAPÍTULO 3

1

a) Em t 5 3 s, temos: s 5 8 2 6t 1 t2_{] s 5 8 2 6 3 3 1 3}2_] s 5 8 2 18 1 9 ] s 5 21 m

d) A velocidade inicial do corpo é negativa e,

então, para que ele inverta o sentido do mo vimento sua velocidade deve se tornar nula em algum instante, e é nesse instante que ocorre a inversão do sentido.

v 5 26 1 2t ] 0 5 26 1 2t ] t 5 3 s

b) A equação horária do espaço em um MUV é:

s 5 s0 1 v0t 1 at 2

___

2 , comparando com a equação do enunciado, temos:

v0 5 26 m/s e a 5 2 m/s2

c) A equação horária da velocidade é:

v 5 v0 1 at, para este caso, a equação fica:

v 5 26 1 2t

Em t 5 1s, a velocidade do corpo é: v 5 26 1 2 3 1 ] v 5 24 m/s

Portanto, entre 0 s e 1 s, o móvel está reali zando um movimento no sentido contrário da orientação. O módulo da velocidade do corpo diminui, e, portanto, ele está desa celerando no intervalo de 0 s e 1 s. Então, o movimento do corpo nesse intervalo é

re-trógrado e retardado.

2

a) Entre t 5 0 s e t 5 2 s, a velocidade do cor po varia de 2 8 m/s para 0 m/s e, portanto, se move contra a orientação da trajetória. Como o módulo da velocidade do corpo di minui, nesse intervalo, o corpo está desace lerando. Então, o movimento entre 0 s e 2 s é retrógrado e retardado.

vm 5 ___ Ss_St ] 25 5 Ss___ ₂ ] Ss 5 50 m

Portanto, a aceleração mínima que o carro deve ter para que ele possa parar em 112,5 2 12,5 5 100 m vf2 5 v02 1 2aSs ] 02 5 252 2 2a 3 100 ] vm 5 d ___ _St ] d 5 25 3 0,5 ] d 5 12,5 m a 5 625 ____ 200 ] a 5 3,125 m/s 2 MANUAL_FIS_MOD_02.indd 13 06.10.08 10:54:24

(14)

14

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. v (m/s) t (s) 5 2 0 10

3

a A velocidade do trem em t 5 10 s é: v1 5 vc 1 at ] v1 5 0 1 1 3 10 ] v1 5 10 m/s A velocidade do trem em t 5 20 s é: v2 5 v1 1 at ] v2 5 10 1 2 3 10 ] v2 5 30 m/s

Entre t 5 20 s e t 5 50 s, a aceleração do trem é nula, e, portanto, a velocidade de 30 m/s será mantida. Então, a partir de t 5 50 s, o trem irá parar completamente em:

v 5 v0 1 at ] 0 5 30 2 t ] t 530 s

tf 5 50 1 30 ] tf 5 80 s

A distância percorrida entre t 5 0 s e t 5 10 s é:

tf 5 50 1 30 ] tf 5 80 s

v12 5 v02 1 2aSs1 ] 102 5 02 1 2 3 1 3 Ss1 ]

Ss1 5 50 m

v22 5 v12 1 2aSs2 ] 302 5 102 1 2 3 2 3 Ss2 ]

Ss2 5 200 m

vm 5 ___ Ss3

St ] Ss3 5 30 3 30 ] Ss3 5 900 m

4

b

Para calcular a distância entre os móveis A e B, temos:

D 5 sB 2 sA 5 (s0B 1 vBt) 2

@

s0A 1 v0At 1 at 2

___

2

#

A partir da análise do gráfico, podemos obter os dados das equações dos móveis A e B; subs tituindo:

D 5 (32 1 15 3 4) 2

@

0 1 30 3 4 2 _______ 3,75 3 42 2

#

]

D 5 92 2 90 ] D 5 2 m

5

d

Analisando o gráfico, a equação horária do es paço para o móvel II é:

s 5 0 1 0 3 t 1 at___ 2

2 , também pelo gráfico ve mos que em t 5 15 s, o móvel II está na posição 225 m. Substituindo: s 5 at___ 2 2 ] 225 5 a 3 152 ______ 2 ] a 5 2 m/s 2

O instante de encontro dos dois móveis é em

t 5 15 s.

A equação horária da velocidade do móvel II é:

v 5 v0 1 at

Então, a velocidade no instante do encontro é:

v 5 0 1 2 3 15 ] v 5 30 m/s

6

a) v 5 v0 1 at ] v 5 0 1 5 3 t t(s) v(m/s) 0 0 1 5 2 10

b) Entre t 5 2 s e t 5 4 s, a velocidade do cor

po varia de 0 m/s para 8 m/s, ou seja, o mó vel está se movendo no mesmo sentido da orientação. Como o módulo da velocidade do corpo aumenta, nesse intervalo, o corpo está acelerando. Então, o movimento entre 2 s e 4 s é progressivo e acelerado.

c) s 5 s0 1 v0t 1 at 2

___

2

O enunciado nos diz que o corpo parte da origem, portanto, s0 5 0m a partir do gráfi

co, vemos que para t 5 0 s, a velocidade é:

v0 5 28 m/s. Também analisando o gráfico,

podemos calcular a aceleração do corpo: a 5 ___ Sv St ] a 5 8 2 0 _____ 4 2 2 ] a 5 4 m/s 2 Substituindo: s 5 0 2 8 3 t 1 4 _____ 3 t2 2 ] s 5 28t 1 2t 2

v12 5 v22 1 2aSs4 ] 02_{5 30}2_{2 2 3 1 3 Ss} 4 ] Ss4 5 450 m Então: SsT 5 Ss1 1 Ss2 1 Ss3 1 Ss4 ] SsT 5 1.600 m MANUAL_FIS_MOD_02.indd 14 06.10.08 10:54:24

(15)

15

b) A distância percorrida pode ser obtida pela

área do gráfico v # t:

7

a) Entre os instantes t 5 0 s e t 5 5 s, o mo vimento é progressivo e retardado. Entre os instantes t 5 5 s e t 5 Ss, o movimento é retrógrado e acelerado.

b) s 5 s0 1 v0t 1 at 2

___

2 , pelo gráfico sabemos que em t 5 5 s o móvel ocupa a posição 50 m, substituindo: 50 5 0 1 v0 3 5 2 4 3 5

2

_____

2 ] 50 5 5 v0 2 50 ] v0 5 20 m/s

O móvel passa duas vezes pela posição 32 m como podese ver no gráfico, e o instante iden tificado pela letra A é 8 s.

c) Sabendo que a equação horária do espaço é:

s 5 20t 2 2 t2

Então, para s 5 32 m, temos:

32 5 20t 2 2t2_{] 22t}2_{1 20t 2 32 5 0}

Resolvendo a equação do segundo grau: S 5 202_{2 4(22) (232) ] S 5 144} t 5 2 s t 5 8 s t 5 ___________ 220 ! dllll 144 2(22)

CAPÍTULO 4

1

a) s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 31,25 5 0 1 0 3 t 1 10t____ 2 2 ] t 5 2,5 s b) v 5 v0 1 at 5 v 5 0 1 10 3 2,5 ] v 5 25 m/s

c) Após 2s, o deslocamento da pedra em rela

ção ao 8o_{andar é:}

s 5 s0 1 v0t 1 at 2

___

2 ] s 5 5 3 22 ] s 5 20 m, portanto, em relação ao solo, a pedra está a uma

altura de H 5 31,25 2 20 ] H 5 11,25 m

d) Pela equação de Torricelli:

v2_{5 v} 0

2_{1 2aSs ]}

152_{5 0}2_{1 2 3 10 3 Ss ] Ss 5 11,25 m}

2

A velocidade do corpo após 2 s de queda é:

v 5 v0 1 at ] v 5 20 m/s

Portanto, entre os instantes 2 s e 4 s, a distância percorrida foi de:

s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s 5 0 1 20 3 t 1 5 3 t 2_] s 5 20 3 2 1 5 3 22 ] s 5 60 m

3

Pela equação de Torricelli:

v2_{5 v}

02 1 2aSs ] v2 5 82 1 2 3 10 3 30 ]

v2_{5 664 ] v 7 25,77 m/s}

4

Calculando a aceleração com que a carteira caiu:

Portanto, o movimento de queda da carteira não pode ser considerado um movimento de queda livre, pois a aceleração com que a cartei ra cai não é a aceleração gravitacional.

s 5 s0 1 v0t 5 at 2 ___ 2 ] 30 5 0 1 0 3 t 1 at 2 ___ 2 ]

5

a) Durante a queda livre, a aceleração de que da é a aceleração gravitacional, ou seja:

a 5 9,8 m/s2_{ou a 7 10 m/s}2

b) A plataforma percorre 45 m em queda livre,

então: (utilizando g 5 10 m/s2₎ v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]} v2_{5 0}2_{2 2 3 10 3 (30 2 75) ]}

v 5 30 m/s p com sentido oposto da orientação

c) Utilizando a equação de Torricelli:

v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]} 0 5 302_{2 2 3 a 3 (0 2 30) ] a 5 215 m/s}2

6

a) Ss 5 __________ (5 1 3) 3 10 2 ] Ss 5 40 m Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________ 2 ] 30 5 a _____ 3 32 2 ] a 5 60 ___ 9 ] a 5 20 ___ 3 ] a 7 6,67 m/s2 s (m) 0 31,25 m v₀_{= 0 m/s} g MANUAL_FIS_MOD_02.indd 15 06.10.08 10:54:24

(16)

16

b) Substituindo T 5 6 s na equação (I), vem:

H 5 5 T2_{] H 5 5 3 36 ] H 5 180 m}

7

c

O tempo gasto para a pedra cair da altura de 7,2 m é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 7,2 5 5 t 2_{] t 5 1,2 s}

Portanto, o carro que está com velocidade constante percorre uma distância de:

] vm 5 Ss___ _St ] d 5 120 ____ _3,6 3 1,2 ] d 5 40 m

8

d

Podemos calcular a velocidade que o aparelho terá no instante em que se inicia a frenagem:

v2

n min 5 v2n 1 2aSs ] v2n min 5 22g(hmin 2 h)

A equação de Torricelli para o trecho de frena-gem é:

vf2_{5 v}2

n min 1 2aSs, substituindo v2n min, temos:

02_{5 22g(h}

min 2 h) 1 2 3 3 g 3 (0 2 hmin) ]

0 5 22ghmin 1 2gh 2 6ghmin ] hmin 5 h __ ₄

9

Quando a pedra atinge sua altura máxima, sua velocidade é nula; então:

v 7 v02 1 2aSs ] 02 5 v02 2 2 3 10 3 12 ]

v02 5 240 ] v0 7 15,5 m/s

10

O projétil retornou ao ponto de lançamento 5 s após, portanto, o tempo de subida e de descida do projétil é de 2,5 s.

a) Durante a subida:

v 5 v0 1 at ] 0 5 v0 2 10 3 2,5 ]

v0 5 25 m/s

11

a) O corpo atinge sua altura máxima em 0,8 s, então: v 5 v0 1 at ] 0 5 v0 2 10 3 0,8 ] v0 5 8 m/s b) v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]} 02_{5 25}2_{2 2 3 10 3 H} máx ] Hmáx 5 625 ____ ₂₀ ] Hmáx 5 31,25 m

b) Pela equação de Torricelli:

v2_{5 v} 0 2_{1 2aSs ]} 02_{5 8}2_{2 2 3 10 3 H ]} H 5 64 ___ 20 ] H 5 3,2 m

12

d

O tempo que o projétil leva para atingir a altura máxima é:

v 5 v0 1 at ] 0 5 10 2 10 t ] t 5 1 s

Portanto, o tempo gasto para o projétil atingir a altura máxima e retornar ao mesmo ponto de lançamento é 1 1 1 5 2 s.

Como o projétil retorna ao ponto de lançamen-to com velocidade de 210 m/s, temos:

vf 5 v 1 at ] 230 5 210 2 10t ] t 5 2 s Então, o tempo em que o projétil permaneceu no ar é:

tar 5 1 1 1 1 2 ] tar 5 4 s

Para o objeto caindo da altura H, temos:

s 5 s0 1 v0t 1 at 2

___

2 ]

Para o objeto caindo da altura H __ 4 , temos:

como o objeto largado da altura de H __ 4 ge o solo em (T 2 3) s, a única resposta

fisi-camente aceitável é: T 5 6 s.

T 5 6 s T 5 2 s T 5 2 _____________ 2(2120) ! 60_{2 3 15}

Igualando as equações (I) e (II), vem: 5 T2 5 20 (T 2 3)2 ]

5 T2_{5 20 (T}2_{2 6T 1 9) ]}

0 5 15 T2_{2 120 T 1 180}

S 5 (120)2_{2 4 (15) (180) ]} S 5 14.400 2 10.800 ] S 5 3.600 0 5 H 1 0 3 T 2 10 ___ 2 3 T 2_{] 5 T}2_{5 H (I)} (T 2 3)2_{] H 5 20 (T 2 3)}2_(II) (T 2 3) 2 10 ___ 2 (T 2 3) ] H __ 4 5 5 ] s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 H __ 4 1 0 ] 0 Calçada v₀_{= 10 m/s} hMÁX vhMÁX = 0 vfinal= 30 m/s MANUAL_FIS_MOD_02.indd 16 06.10.08 11:11:24

(17)

17 Retomada dos conceitos

13

a

Vamos calcular o tempo de queda da primeira bola: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 45 1 0t 2 5 t 2_] t 5 3 s

Como a segunda bola será lançada 1 s após a primeira, para que as duas cheguem simulta neamente ao solo, o tempo de queda da se gunda bola é de 2 s: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 45 1 v0 3 2 2 5 3 22 ] 22v0 5 25 ]

v0 5 212,5 m/s, o sinal negativo indica apenas

que o vetor velocidade está no sentido oposto ao da orientação.

Ov0O 5 12,5 m/s

14

a) O tempo que a bola permanece no ar é o dobro do tempo de subida, então:

v 5 v0 1 at ] 0 5 20 2 10 ts ] ts 5 2 s

Portanto, o tempo de voo da bola é de 4 s.

b) A distância percorrida pelo jogador enquan

to a bola está no ar é:

vm 5 ___ Ss_St ] Ss 5 8 3 4 ] Ss 5 32 m

15

b

Como o movimento de subida é simétrico ao movimento de descida podemos calcular a ve locidade inicial, calculando o valor final de uma queda livre da altura máxima:

v2_{5 v}

02 1 2aSs ] 02 5 v02 2 2 3 10 3 20 ]

v0 5 20 m/s

O tempo de subida é o mesmo que o tempo de descida e é dado por:

v 5 v0 1 at ] 0 5 20 2 10 t ] t 5 2 s

16

d

Por inércia o objeto se desprende do helicópte ro, adquirindo a mesma velocidade em que es tava o helicóptero: s 5 s0 1 v0 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 100 2 v0 3 4 2 5 3 4 2_] 4 v0 5 20 ] v0 5 5 m/s 5 18 km/h

com sentido oposto ao da orientação.

CAPÍTULO 1

1

a) v0 5 6 m/s, a 5 22 m/s2

b) o movimento é retardado, pois no intervalo

de tempo de zero a 3 s o módulo da veloci dade diminuiu, indo até o valor zero, em 3 s, quando então, o movimento tem seu senti do invertido e passa a ser acelerado, pois, em módulo, o valor da velocidade aumenta.

2

a) como v 5 v0 1 at, e para o movimento es

pecífico v 5 3 2 2t, temos: v0 5 3 km/h

b) comparando as duas equações do item “a”

temos que a 5 22 km/h2

c) quando t 5 1h, vem: v 5 3 2 2(1) ]

v 5 1 km/h

d) em um MUV, a mudança de sentido se dá

quando v 5 0, então: v 5 3 2 2t ] 0 5 3 2 2t ] 2t 5 3 ] t 5 1,5 h

3

a) a 5 Sv___ St ] a 5 16 2 12 _______ 2 ] a 5 2 m/s 2 b) a 5 ___ Sv St ] a 5 10 2 16 _______ 6 ] a 5 21 m/s 2

c) Construindo o gráfico v # t nesse intervalo:

O deslocamento nos últimos 6 s: Ss 5N A ] Ss 5 (B 1 b) 3 h_________ 2 ] Ss 5 (16 1 10) 3 6___________ 2 ] Ss 5 78 m c) s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s 5 0 1 0 3 t 1 2 3 4_____ 2 2 ] s 5 16 m v (m/s) t (s) 2 8 0 16 12 10 MANUAL_FIS_MOD_02.indd 17 06.10.08 10:54:25

(18)

18

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. Ss 5 __________ (20 1 8) 3 5 2 ] Ss 5 70 m

6

Deslocamento do móvel A:

CAPÍTULO 2

1

a) s(4) 5 4 2 8 3 4 1 2 3 42 ] s(4) 5 4 m b) s(t) 5 4 2 8t 1 2t2_{5 4 ] 2t}2_{2 8t 5 0 ]} 2t (t 2 4) 5 0 ] t 5 0 s e t 5 4 s

2

a) s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 b) s(3) 5 0 1 4 3 3 1 3 _____ 3 32 2 ]

3

v2_{5 v}2 0 1 2aSs ] 02 5 252 2 2 3 5 3 Ss ] Ss 5 62,5 m

Portanto, para que não ocorra o atropelamen to, o carro deve estar a 62,5 m do animal no instante em que aciona os freios e a 77,5 m do animal no instante em que o avista.

4

b 30 m/s 25 m/s p p 108 km/h 90 km/h

Calculando a distância percorrida pelo primei ro carro até parar:

v2

f1 5 v201 1 2aSs1 ]

02_{5 30}2_{2 2 3 5 3 Ss}

1 ] Ss1 5 90 m

Construindo o gráfico v # t de todo o trajeto:

v (m/s) t (s) 8 0 20 8 v1 v2

4

a) O movimento é uniformemente variado, pois a aceleração durante todo o trajeto é constante e diferente de zero.

b) A equação matemática que relaciona v e t é a

equação horária da velocidade v 5 v0 1 at.

Como a aceleração no trajeto é: a 5 Sv___ St ] a 5 12,5 2 20 _________ 3 ] a 5 22,5 m/s 2

Pelo gráfico vemos que a velocidade inicial do automóvel é de 20 m/s, então:

v 5 v0 1 at ] v 5 20 2 2,5 t

c) O instante “m” é o instante no qual a veloci

dade do automóvel é nula, ou seja, o instan te em que o automóvel para.

v 5 v0 1 at ] v 5 20 2 2,5 t ] 0 5 20 2 2,5 m ] m 5 8 s a 5 ___ Sv St ] a 5 20 2 8 ______ 5 2 0 ] a 5 12 ___ 5 ] a 5 22,4 m/s2 t = 0 v = 8 m/s v = 20 m/s t = 5 s

5

SsB 5 40 1 60 ] SsB 5 100 m

Portanto o móvel A percorreu 50 m a mais que o móvel B. SsA 5 (20 1 10) 3 10____________ ₂ ] SsA 5 150 m Ss 5N A ] Ss 5 _________ (B 1 b) 3 h 2 ] Ss 5N A ] Ss 5 _________ (B 1 b) 3 h 2 ] Deslocamento do móvel B: SsB 5N A ] SsB 5 b1 1 h1 1 (B2 1 b2) 3 h2 ___________ 2 ] SsB 5 5 3 8 1 __________ (16 1 8) 3 5₂ ] s(3) 5 12 1 13,5 ] s(3) 5 25,5 m e s(2) 5 5,5 1 8,5 ] s(2) 5 14 m

Então, entre 2 s e 3 s, o corpo percorreu: Ss 5 s(3) 2 s(2) ] Ss 5 25,5 2 14 ] Ss 5 11,5 m a 5 3 m/s2 5,5 5 0 1 4 3 1 1 a ______ 1 12 2 ] a __ 2 5 1,5 ] para t 5 1 s, temos: MANUAL_FIS_MOD_02.indd 18 06.10.08 10:54:25

(19)

19

5

a) Durante os 0,5 s que o motorista leva para acionar os freios, o automóvel percorre: vm 5

Ss1

___

St ] Ss1 5 12 3 0,5 ] Ss1 5 6 m Portanto, o automóvel deve parar em 24 m,

temos:

vf 2 5 v20 1 2aSs ] 02 5 122 1 2a 3 24 ]

a 5 23 m/s2

b) Sabendo que o automóvel deve percorrer

os 24 m em 1,7 s (2,2 s 2 0,5 s) temos: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 24 5 12 3 1,7 1 a(1,7)______ 2 2 ] 24 2 20,4 5 a 3 3 __ 2 ] a 5 2,4 m/s 2

6

a) 72 km/h p 20 m/s

Utilizando a equação de Torricelli: v2_{5 v}2

0 1 2aSs ]

02_{5 20}2_{2 2 3 0,8 3 Ss ] Ss 5 250 m}

b) Podemos separar o trajeto do trem em três

trechos: 1o_{(Aceleração):} vf 5 v0 1 at1 ] 20 5 0 1 0,8 t1 ] t1 5 25 s v2_{5 v}2 0 1 2aSs ] 202_{5 0}2_{1 2 3 0,8 3 Ss ] 250 m} 2o_(MRU)

A distância percorrida em MRU é de: 800 2 250 2 250 5 300 m

Então: vm 5 ___ _StSs

3

] t2 5 300 ____ ₂₀ ] t2 5 15 s

O tempo total é de:

t 5 25 1 25 1 15 ] t 5 65 s

7

c Trecho 1: s1 5 sc 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] Ss1 5 1 3 602 ______ 2 ] Ss1 5 1.800 m

8

108 km/h p 30 m/s

Pela definição de aceleração:

a distância D pode ser calculada da seguinte forma: v2_{5 v}2 0 1 2aSs ] 302 5 02 1 2 3 3 3 D ] a 5 ___ Sv St ] a 5 30 2 0 ______ 10 ] a 5 3 m/s 2

b) Sabemos que o rato demora seis segundos

para atingir a toca. A coruja, passando pelo ponto P quatro segundos após o rato, terá apenas dois segundos para alcançálo no ponto T. s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 42 5 20 3 2 1 a2 2 ___ 2 ] 2 5 2a ] a 5 1 m/s2 1º trecho

aceleração 2º trechoM.U. freamento3º trecho

9

a) O movimento do rato é uniforme, então: A distância percorrida pelo segundo automó

vel até parar é:

v2

f2 5 v202 1 2cSs2 ]

02_{5 25}2_{2 2 3 5 3 Ss}2_{] Ss}2_{5 62,5 m}

Portanto, para que não haja colisão, eles devem estar separados por:

SsT 5 Ss1 1 Ss2 ] SsT 5 152,5 m 3o_{(Desaceleração)} vf 5 v0 1 at ] 0 5 20 2 0,8 t3 ] t3 5 25 s v2_{5 v}2 0 1 2aSs3 ] 02 5 202 2 2 3 0,8Ss ] Ss 5 250 m Trecho 3: vf2_{5 v} 1 2_{1 2aSs} 3 ] 02 5 602 2 2 3 0,5 3 Ss3 ] Ss3 5 3.600 m SsT 5 Ss1 1 Ss2 1 Ss3 SsT 5 7.800 m v1 5 Ss2 ___ St ] Ss2 5 60 3 40 ] Ss2 5 2.400 m Trecho 2: v12 5 v20 1 2aSs1 ] v12 5 02 1 2 3 1 3 1.800 ] v1 5 60 m/s vr 5 ___ Ss_St ] St 5 42 ___ ₇ ] St 5 6 s s 5 s0 1 vat 1 at 2 ___ 2 ] 75 5 3 3 t2 _____ 2 ] t 5 5 dll 2 s Então, o tempo necessário para percorrer os primeiros 75 m é de:

D 5 150 m ] D __

2 5 75 m

(20)

20

13

No instante do encontro, temos:

sA 5 sB ] s0A 1 v0At 1 at 2 ___ 2 5 s0B 1 vBt ] 0 1 0t 1 0,5t 2 ____ 2 5 0 1 3t ] t2_{2 12t 5 0 ] t 5 0 s ou t 5 12 s}

Portanto, eles irão se encontrar novamente no instante 12 s.

F2C2MP019

14

a)

No instante do encontro, temos: sA 5 sB ] s0A 1 v0At 1 at 2 ___ 2 5 s0B 1 vBt ] 0 1 30t 2 5t___ 2 2 5 10 1 20t ] 5t2_{2 20t 1 20 5 0 ]} t2_{2 4t 1 4 5 0 ] t 5 2 s (raiz dupla)}

b) De forma análoga ao item “a”, temos:

CAPÍTULO 3

1

a

Em t 5 0, a posição do objeto é de 210 m, en tão x0 5 210 m. A aceleração pode ser obtida

pelo gráfico: a 5 ___ Sv St ] a 5 10 2 20 _______ 10 2 0 ] a 5 21 m/s2 Ainda pelo gráfico, em t 5 0 a velocidade do objeto é 20 m/s, então:

A B

10 m

15

Para determinar quem ganhou a corrida, bas ta determinar a posição de encontro dos dois atletas:

10

d1 d2 D s 5 s0 1 v0tt 1 at 2 ___ 2 ] d1 5 1,5 3 42 ______ 2 ] d1 5 12 m s 5 s0 1 v02t 1 at 2 ___ 2 ] d2 5 2 3 42 _____ 2 ] d2 5 16 m D2 5 d12 1 d22 ] D2 5 144 1 256 ] D2_{5 400 ] D 5 20 m}

11

No instante t 5 6 s, a posição do objeto é:

s 5 10 1 20 3 6 2 2 3 62_]

s 5 10 1 120 2 72 ] s 5 58 m

No instante t 5 6 s, o deslocamento do objeto é: Ss 5 s 2 s0 ] Ss 5 58 2 10 ] Ss 5 48 m

12

a

v0 5 50 m/s a 5 20,2 m/s2

Quando o móvel atingir a mesma velocidade no sentido oposto temos v 5 250 m/s, então:

v 5 v0 1 at ] 250 5 50 2 0,2t ]

0,2t 5 100 ] t 5 500 s

Portanto, a distância percorrida por A em 2 s é: sA 5 0 1 30 3 2 2 5 3 2 2 _____ 2 ] sA 5 50 m 5t2_{2 10t 1 20 5 0 ]} t2_{– 2t 1 4 5 0}

S 5 (22)2 _{2 4(1) (4) ] S 5 212, ou seja,}

essa equação não possui raiz real. Isso sig nifica que o móvel A não irá colidir com o móvel B. 0 1 25t 2 5t___ 2 2 5 10 1 20 t ] sA 5 sB ] s0A 1 v0At 1 at 2 ___ 2 5 s0B 1 vBt ] 60 1 10t 5 70 1 11t 2 1 _____ 3 t2 2 ] sJosé 5 sJoão ] s0 1 vt 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] t2_{2 2t 2 20 5 0}

Resolvendo a equação do 2o_{grau, temos:}

t 7 5,58 s

Substituindo o tempo de encontro em qual quer das equações, temos:

sJosé 5 60 1 10 3 5,58 ] sJosé 5 115,8 m

Ou seja, os atletas só irão se encontrar na po sição 115,8 m, e, portanto, João cruzou a linha dos 100 m primeiro e venceu a corrida.

x 5 210 1 20t 2 1 __ 2 t 2 x 5 x0 1 v0 1 at 2 ___ 2 , substituindo: MANUAL_FIS_MOD_02.indd 20 06.10.08 10:54:26

(21)

21 CAPÍTULO 4

2

e

Analisando o gráfico, vemos que a velocidade do móvel B entre os instantes 0,2 h e 0,8 h é constante e, portanto, nesse intervalo o móvel

B está em movimento uniforme.

3

c

I. Falso, entre os instantes 0 s e 4 s, a velo

cidade do móvel é constante (7,5 m/s) e, portanto, executa um movimento retilíneo uniforme.

II. Falso, entre os instantes 4 s e 6 s o móvel

permaneceu parado em s 5 50 m e, por tanto, seu deslocamento foi 0 m.

III. Verdadeiro. Entre t 5 4 s e t 5 9 s, temos:

vm 5 ___ Sv_St ] vm 5 60 _______ _{9 2 4}2 50 ] vm 5 2 m/s

4

e

A equação horária do espaço para o móvel é:

x 5 x0 1 vt, sabendo que para t 5 30 s o móvel

ocupa a posição x 5 25 m, temos: 25 5 x0 2 2,5 3 30 ] x0 5 100 m

Então:

x 5 100 2 2,5t, para t 5 15 s temos: x 5 100 2 2,5 3 15 ] x 5 62,5 m

5

e

Analisando o gráfico, vemos que a partícula exe cuta um MRU, calculando a velocidade média:

1

c

Utilizando a equação horária do espaço, temos:

s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 h 1 0 3 t 2 5 3 42_] h 5 80 m

2

a

Vamos calcular a velocidade com que o objeto passa pelo observador: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 15 1 v0 3 1 2 10 3 1 2 ______ 2 ] 2 v0 5 15 2 5 ] v0 5 10 m/s

3

e

A velocidade da pedra quando passa pelo sex to piso é: v1 5 v0 1 at ] 2v1 5 0 2 10 3 2 ] v1 5 20 m/s s (m) 0 m h g s (m) h 2 g 12º piso 6º piso Térreo 0 h s (m) 0 m H 1s 15 g

Percorrendo uma distância de:

v1 5 v20 1 2aSs ] 202 5 02 2 2 3 10

@

___ 2h₂

#

]

h 5 40 m, portanto, o tempo total é de: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 40 1 0 3 t 2 5 3 t2_] t2_{5 8 ] t 7 2,8 s} vm 5 400 ____ 20 ] vm 5 20 m/s vm 5 ___ Sv_St ] vm 5 200 2 (2200) ____________ 20 2 0 ]

Então, para o trecho de queda antes do objeto passar pelo observador, temos:

v2_{5 v} i 2_{1 2aSs ]} 102_{5 0}2_{2 2 3 10 3 (15 2 H) ]} 100 5 2300 1 20H ] 20H 5 400 ] H 5 20 m MANUAL_FIS_MOD_02.indd 21 06.10.08 10:54:26

(22)

22

R epr odução pr oibida. Ar t.1 84 do C ódigo P enal e Lei 9.61 0 de 1 9 de f ev er eir o de 1 998. Ss(m) t(s) 0 0 25 1 40 2 45 3 40 4 225 5

b) A equação horária do espaço é:

altura máxima 45 m

altura em que o objeto foi apanhado 25 m

8

b) Vamos calcular a altura máxima atingida

pela pedra em relação ao alto da torre: v 5 v2

0 1 2aSs ] 02 5 202 2 2 3 10 3 h ]

h 5 20 m

Portanto, a altura máxima em relação ao solo é:

H 5 60 1 20 ] H 5 80 m

a) A equação horária do es

paço é: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 0 5 60 1 20t 2 5t2

(dividindo a equação por 5) temos: t2_{2 4t 2 12 5 0} Resolvendo a equação do 2o_grau: S 5 16 2 4(1) (212) ] S 5 64 t 5 _______ 14 ! 8₂ t 5 2 s resposta fisicamente não aceitável t 5 6 s s (m) Altura máxima Altura em que foi apanhado t (s) 1 2 3 4 5 0 45 40 25 s (m) 0 m 60 v₀ g v (m/s)

Instante em que o corpo atinge a altura máxima

t (s) 0 30 20 10 1 2 3 4 5 – 10 – 20

5

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade da pedra será nula (é o ponto no qual o sentido da trajetória é invertido). A aceleração da pedra é constante em todo o trajeto, e, portanto, seu módulo é 10 m/s2_.

6

Podemos supor que a velocidade vertical do atleta ao passar rente a trave é nula, assim, vem:

vf2_{5 v}2

0 1 2aSs ] 02 5 82 2 2 3 10 3 Ss ]

Ss 5 3,2 m

7

a) A equação horária da velocidade é: v 5 v0 1 at ] v 5 30 2 10t

(orientando a trajetória positivamente para cima) v(m/s) t(s) 30 0 20 1 10 2 0 3 210 4 229 5 s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] Ss 5 30t 2 5t 2

4

d

No ponto mais alto da trajetória (s 5 3,2 m) do tijolo v 5 0, então, utilizando a equação de Tor ricelli, temos:

vf2 5 v20 1 2aSs ] 02 5 v20 2 2 3 10 3 3,2 ]

v0 5 8 m/s

(23)

23 Exercícios de integração

1

b

A partir do gráfico, podemos determinar a ace leração do móvel: a 5 ___ Sv St ] a 5 4 2 0 _____ 5 2 3 ] a 5 2 m/s2

Então, a equação horária da velocidade para este móvel é:

v 5 v0 1 at ] v 5 v0 1 2t

Como sabemos que no instante 3 s a velocida de do móvel é nula, temos:

v 5 v0 1 2t ] 0 5 v0 1 2 3 3 ] v0 5 26 m/s

O deslocamento é dado pela área sob a curva do gráfico: Ss 5 2 _____ (3 3 6) 2 1 (2 3 4) _____ 2 ] Ss 5 29 1 4 ] Ss 5 25 m

2

a) A velocidade do motorista é 35 metros a cada segundo durante todo o percurso. Sabemos também que em um movimento uniforme mente acelerado partindo do repouso, a dis tância total percorrida é diretamente propor cional ao quadrado do tempo (Galileu). Então:

tempo (s) 0 1 2 3 4 posição da moto (m) 0 2,6 10,4 23,4 41,6 posição do carro (m) 200 235 270 305 340 2,6 5 0 1 0 3 t 1 a _____ 3 12 2 ] a 5 5,2 m/s 2

c) A distância que separa o carro da moto após

7 s é dada por:

D 5 sc 2 sm em t 5 7 s, então:

D 5 (200 1 35 3 7) 2 (2,6 3 72_{) ]}

D 5 445 2 127,4 ] D 5 317,6 m

d) A moto alcança o carro quando:

sm 5 sc ] 2,6t2 5 200 1 35t ]

2,6t2_{2 35t 2 200 5 0}

S 5 1.225 2 4 (2,6) (2200) ] S 5 3.305 ] dll S 7 57,5

t 5 35 ! 57,5_________ 2 3 2,6

Substituindo o instante do encontro em

qualquer das equações horárias do espaço: sm 5 sc 7 200 1 35 3 17,8 ]

sm 5 sc ] 823 m

3

b

O módulo da aceleração do elevador no inter valo A é:

Oa0O 5 ___ Sv_St ] Oa0O 5 3 _____ _1,52 0 ] Oa0O 5 2 m/s2

O módulo da aceleração do elevador no inter valo C é:

Oa0O 5 ___ Sv_St ] Oa0O 5 0 _____ _1,52 3 ] Oa0O 5 2 m/s2

4

A posição da partícula no instante 4 s é:

Então, a equação horária do espaço percor rido pela moto é:

s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s(m) 5 2,6 3 t 2 t 7 24,3 s resposta não aceitável fisicamente t 7 17,8 s v (m/s) t(s) 5,0 3,0 4,0 v0 0

b) A aceleração da moto pode ser obtida da se

guinte forma: s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] 1 2(8 2 4)________ 2 2 ] s8 5 20 m s8 5 s4 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s8 5 68 2 16 (8 2 4) 1 A velocidade da partícula em t 5 4 s é: v4 5 v0 1 at ] v4 5 0 2 4 3 4 ] v4 5 216 m/s

Então, a posição da partícula em t 5 8 s é: 2 4 3 4_____ 2 2 ] s4 5 100 2 32 ] s4 5 68 m s 5 s0 1 v0t 1 at 2 ___ 2 ] s4 5 100 1 0 3 t 2

E a equação horária do espaço percorrido pelo carro é:

s 5 s0 1 vt ] sc 5 200 1 35t