Cintra-Nunes - Geometria Analítica I

(1)

Curso Superior de Licenciatura

em Matemática

Semestre 02

Geometria Analítica I

Autoria

Caitano de Oliveira Cintra

Co-autoria

Olavo Otávio Nunes

Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco CEFET-PE

CEAD - Coordenação de Tecnologias Educacionais e Educação a Distância 2008

(2)

Governo Federal

Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad

Secretaria de Educação a Distância SEED

Carlos Eduardo Bielschowsky

CEFET-PE

Centro Federal de Educação

Tecnológica de Pernambuco

Diretor Geral

Sérgio Gaudêncio Portela de Melo Direção de Ensino

Maria Tereza Duarte Dutra Gerente de Ensino Superior Elba Maria Nogueira Ferraz Ramos

Coordenação de Tecnologias

Educacionais e Educação a

Distância

Coordenação Geral

Maria das Graças Costa Nery da Silva Coordenação Suplente

Joseana Maria Cardoso de Oliveira Coordenação do Curso

José de Melo Lima Filho Coordenação Tutoria Ana Paula Silva da Silveira Coordenação Pedagógica Iracema da Costa Pimentel Revisão Lingüística Leoana Maria de Sá Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica Eliana Virgínia Vieira de Melo Carlos José das Chagas Moura Bolsistas - Diagramação Giselle Tereza Cunha de Araújo Leila Priscila Nunes da Silva Natan Lemos V. Kawashima Bolsistas - Ilustração Diogo Ferreira Soares Elton Flor da Silva

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Sumário

Aula 02 ... 05 Aula 03 ... 05 Aula 04 ... 05 Aula 05 ... 05 Aula 06 ... 05 Aula 07 ... 05 Aula 08 ... 05 Aula 09 ... 05 Aula 10 ... 05 Aula 11 ... 05 Aula 12 ... 05 Aula 01 ... 05

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7 René Descartes

O relacionamento entre as propriedades geométricas das figuras e as propriedades analíticas das equações só foi possível depois que o filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650) desenvolveu um método que explorava as relações entre a Geometria Euclidiana e a Álgebra, mostrando que uma poderia se utilizar da outra de modo que as questões geométricas são resolvidas não de forma particular, mas de forma que a solução seja aplicável a qualquer figura que comporte esta questão. Esse método é usualmente chamado de Geometria Analítica.

Pierre Fermat Relacionar a Geometria Euclidiana com a Álgebra não foi um feito apenas de Descartes. Outro francês, Pierre Fermat (1601 – 1665), em 1636, em uma carta dirigida a Gilles Roberval (1602 – 1675), expôs idéias semelhantes às de Descartes e em sua obra “Ad locos planos e sólidos isogoge” (Introdução ao estudo dos lugares planos e sólidos) abordou a teoria da reta e da circunferência

Sistemas de Coordenadas

Apresentação

A disciplina Geometria Analítica I na matriz curricular do Curso de Licenciatura em Matemática oferecido pela Universidade Aberta do Brasil, tendo como “Instituição Incubadora” o CEFET-PE, desempenha o impor-tante papel de permitir ao aluno rever tópicos de matemática que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, são abordados no Ensino Médio. Rever esses conteúdos possibilitará ao futuro professor uma melhor compreensão dos mesmos, refletindo na qualidade de suas futuras inter-venções profissionais.

Desenvolveremos o programa de Geometria Analítica I em um sistema de coordenadas ortogonais.

Na aula I, estudaremos coordenadas na reta, coordenadas no plano, dis-tância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e faremos uso de coordenadas para resolvermos alguns problemas de geometria plana. Nas aulas seguintes, estudaremos a reta, a circunferência, a parábola, a elipse e a hipérbole.

Objetivos

Ao estudar essa aula, o aluno terá aprendido:

Associar os pontos de uma reta com os números reais;

Associar os pontos de um plano com os pares ordenados de números reais;

Calcular distância entre dois pontos;

Escolher um sistema de coordenadas conveniente para as suas apli-cações.

Introdução

Muitos autores conceituam a Geometria Analítica como sendo a parte da matemática onde se aplica a análise matemática na resolução de proble-mas geométricos.

» » » »

(8)

8

Assim podemos dizer que os problemas fundamentais da Geometria Analítica são:

Dada uma figura definida geometricamente, estabelecer a equação correspondente;

Dada uma equação, construir a figura correspondente;

Estudar as relações existentes entre as propriedades geométricas das figuras e as propriedades analíticas das equações.

Coordenadas Cartesianas na Reta

Uma reta r pode ser pensada como um ponto que se desloca, obedecendo auma determinada direção (Fig 1;1)

r r

ou

Figura 1.1: A seta indica o sentido de percurso

Escolhemos arbitrariamente um ponto dessa reta que denominamos de

O. Esse ponto divide a reta em duas semi-retas que chamamos de e O ′x (Fig 1.2). Esse ponto O é chamado de origem das semi-retas.

x O x' x' x O ou Figura 1.2: semi-retas

Agora escolhemos, também de forma arbitrária, outro ponto de r que denominemos de U. A semi-reta que contém o ponto U é chamada de semi-reta positiva, e a semi-reta oposta é chamada de negativa. Com essa escolha de U, introduzimos uma orientação na reta.

Reta Orientada

É a reta sobre a qual indicamos um sentido positivo, em geral ,por meio de uma seta (Fig. 1.3)

O x

x' x'

x U O U

semi-reta positiva semi-reta positiva semi-reta negativa ou semi-reta negativa

Figura 1.3 : reta orientada

1) 2) 3)

Faça uma animação no WINPLOT 2D, para visualizar esse fato.Digite como equações paramétricas x=at e y=1 e como ponto x=2pi*a e y=1. Faça t variar de -2pi a 2pi e a variar de 0 a 1.

A denominação Sistemas de coordenadas Cartesianas é uma homenagem a René Descartes (1596-1650). A palavra cartesiana vem de Cartesius, forma latina do nome de Descartes.

(9)

9

Postulado da Régua Os pontos de uma reta podem ser postos em

corres-pondência com os números reais de tal modo que

A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real; A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta; A distância entre dois pontos quaisquer da reta é o valor absoluto da diferença dos números correspondentes.

Agora tendo em vista o postulado da régua, façamos o ponto O corres-ponder ao número real 0 (zero), e o ponto U corresponder ao número real 1 (um) e convencionemos que a medida do comprimento do segmento

seja igual a uma unidade de medida, isto é,

Eixo

Definição: Chamamos de eixo uma reta orientada munida de uma

uni-dade de comprimento (Fig. 1.4)

O x x' x' x _U O U ou 0 0 1 1 Figura 1.4: eixo

No nosso estudo, vamos convencionar que a semi-reta positiva é aquela que está à direita do ponto O e, além disso, deixaremos de escrever as letras O e U (representando os pontos), escreveremos obrigatoriamente os números reais 0 e 1, que implicitamente indicam esses pontos e deixa-remos também de escrever x′ (Fig. 1.5)

0 1 x

Figura 1.5: eixo que usaremos no texto

Agora, se é um ponto da reta que se encontra à direita de , associa-mos a ele o número real . Por outro lado, se é um ponto da reta que se encontra à esquerda de , associamos a ele o número real . O número real é chamado de coorde-nada do ponto , e para indicarmos isso escrevemos (Fig. 1.6).

O U

0 1 x x

P Figura 1.6: coordenada do ponto P

I) II) III)

(10)

10

Atividade

1) Observe no eixo abaixo (Fig 1.7) a posição dos pontos

. Posicione nesse mesmo eixo os pontos

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

A

B C

Figura 1.7

Dados dois pontos P(x) e Q(y), o postulado da régua nos diz que a distância de P(x) a Q(y) é dada por d(P,Q)= x−y . Assim, con-siderando os pontos acima, temos d(A,B)= 2−(−3) = 2+3 =5 e

8 8 5 3 ) , (B E = − − = − = d .

2) Determine todos os pontos P

( )

x de um eixo r que satisfaçam a seguinte condição:

a) x =2 b) x−1 =3 c) 2+x =1 3) Calcule a d ,

(

A B

)

, onde A e B são pontos de um eixo r. a) A

( )

3 e b) A

( )

5 e B

( )

2

c) A

( )

−1 e B

( )

3 d) A

( )

−5 e B

( )

−3

4) Sejam A ,

( ) ( )

a B b e C

( )

c pontos de um eixo r. Dizemos que C

( )

c é o simétrico de B

( )

b relativamente a A

( )

a quandoA

( )

a é ponto médio do segmento cujas extremidades são B

( )

b e C

( )

c. Dados os pontos A

( )

5

e B

( )

−3 , determine:

A coordenada do ponto C simétrico deB

( )

−3 relativamente a A

( )

5 ; A coordenada do ponto C simétrico de A

( )

5 relativamente a B

( )

−3

5) O segmento que tem por extremidades os pontos A

( )

−2 e foi dividido em três partes iguais. Determine as coordenadas dos pontos da divisão.

6) Determine as coordenadas dos extremos A e B do segmento que foi dividido em três partes iguais pelos pontos e

a) b)

(11)

11

Coordenadas Cartesianas Ortogonais no Plano

Consideramos, num plano , um eixo e uma reta r que interceptam perpendicularmente esse eixo no ponto O. A semi-reta de r que está no semiplano acima do eixo é a semi-reta positiva e é denominada de

(Fig. 1.8). O ₁ r y x Figura 1.8

Tomando sobre a reta orientada uma unidade de medida, temos um eixo que juntamente com o eixo formam o sistema de coordena-das cartesianas ortogonais no plano, que denominamos de xOy. O eixo

é chamado de eixo das abscissas enquanto que o eixo é cha-mado de eixo das ordenadas. O ponto Oé a origem desse sistema de coordenadas (Fig. 1.9)

x y

O ₁

1

Figura 1.9: eixos ortogonais

Fixado o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em um plano , fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre e o no sentido de que a cada ponto de corresponde um único par de números reais

( )

x,y e, reciprocamente, a cada par de números reais

( )

x,y _{corresponde um único ponto de .}

Os números reais x e y são as coordenadas cartesianas de , onde x

(12)

12

é chamado de abscissa e y de ordenada. Para indicar que

( )

x,y são as coordenadas de P

escrevemos: P ,

( )

x y ou P=

( )

x,y .

O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (Fig. 1.9) divide o plano em quatro regiões

chamadas de quadrantes, conforme ilustrado abaixo (Fig.1.11).

x y O ₁ 1 I II III IV    > > 0 0 y x    < > 0 0 y x    < < 0 0 y x    > < 0 0 y x Figura 1.11: quadrantes

Para se localizar um ponto no plano , que está munido de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal é preciso conhecer a distância de ao eixo (chamada de abscissa) e a distância de ao eixo (chamada de ordenada). Assim, o ponto está situado na interseção de duas retas, uma paralela ao eixo (representando a abscissa) e outra paralela ao eixo (representando a ordenada) (Figs. 1.12 e 1.13)

x y O ₁ 1 P x y Figura 1.12: Localização de P x y o 1 1

Figura 1.13: Linhas paralelas aos eixos

Atividade

(13)

13 Localize,na Fig.1.13, os pontos A(2,3), B(-1,4), C(0,3), D(-3,0) e E(-2,-4).

Dê as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, e F mostrados na figura 1.14. Faça o desenho do triângulo de vértices , ,

Considere os pontos

Desenhe o quadrilátero Q que tem por vértices os pontos dados;

A partir de Q, desenhe uma figura F quando se deslocam duas unidades para baixo a ordenada do ponto e três unidades para a direita a abscissa do ponto.

Observe as figuras abaixo.

x y 1 1 Figura 1.15 x y 2 1 Figura 1.16 x y 1 2 Figura 1.17

A Figura 1.15 é um quadrado, apesar de não parecer;

A Figura 1.16 parece ser um quadrado, mas é um retângulo de lados 1 e 2 unidades de comprimentos;

A Figura 1.17 que parece ser uma circunferência se trata de uma elipse de semi-eixos medindo 1 e 2 unidades de comprimento.

Essas distorções ocorrem porque as unidades de medidas tomadas sobre os eixos e são diferentes.

Para evitar estas distorções, vamos considerar, a partir de agora, que as unidades de medidas sobre os eixos são sempre iguais (Fig. 1.18).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 3 x y

Figura 1.18: eixos com as mesmas unidades

1) 2) 3) 4) a) b) 1. 2. 3.

(14)

14

Veja agora como ficam as figuras (Fig. 1.14, 1.15, 1.16,) acima, considerando sobre os eixos as mesmas unidades de medidas.

1 1 x y Figura 1.15-1 1 1 2 x y Figura 1.16-1 −1 1 −2 −1 1 2 x y Figura 1.17-1

Distância entre Dois Pontos

Sejam A e B dois pontos que têm abscissas e ordenadas diferentes. Construamos um triângulo retângulo tendo como hipotenusa o segmento . Em seguida, pelo teorema de Pitágoras, calculemos a distância (Fig. 1.19)

(1.1) x y A B R d 1 2 x x − 1 2 y y − 1 x 2 y 1 y 2 x Figura 1.19 : distancia entre A e B

Atividade

Faça o desenho do triângulo de vértices , , e calcule o seu perímetro.

Faça o desenho do triângulo de vértices , , e verifique que se trata de um triângulo isósceles.

Verifique que o triângulo de vértices , e é retângulo e calcule sua área.

Determine de modo que o triângulo de vértices , e seja retângulo em.

Mostre que os pontos , e são colineares. 1)

2) 3) 4) 5)

(15)

15

Ponto Médio de um Segmento

Considere os pontos e do plano. Seja o ponto médio de (Fig 1.20)

x y A B M P R x y _x₁ 2 x _y₁ _y₂

Figura 1.20 : ponto médio

Da semelhança dos triângulos e , temos que

(1.2)

Como é ponto médio de , temos , logo podemos escreve a equação. 1.2 da seguinte forma:

(1.3) Resolvendo as equações 1.3 em relação a e a , obtemos

e e daí .

Definição: Dados os pontos _e , dizemos que é ponto médio de se

Atividade

Dados os pontos , determine as coordenadas do ponto sabendo que o ponto é ponto médio do segmento

Os pontos médios dos lados de um triângulo são M

(

2 −, 1

)

, N

(

−1,4

)

e P

(

−2,1

)

. Determine os vértices do triângulo.

Mostre que A

( )

1 −, 2 , B

( )

5,6 , C

( )

7,4 e D

(

3 −, 4

)

são vértices de um paralelogramo.

1)

2) 3)

(16)

16

Sejam A

(

−3,5

)

e B

( )

1,7 vértices adjacentes de um paralelogramo e seja M

( )

11, o ponto de interseção de suas diagonais. Determine os outros vértices.

5) Diz-se que os pontos A e A' são simétricos em relação ao ponto B quando B é o ponto médio do segmento AA '. Dados os pontos A

( )

3 −, 1 e B

( )

2,4 , determine:

a) as coordenadas do ponto A'_{simétrico do ponto}A_{em relação ao ponto}B_;

b) as coordenadas do ponto B'_{simétrico do ponto}B_{em relação ao ponto}A_.

6) Diz-se que os pontos A e A' são simétricos em relação ao eixo quando é a mediatriz do segmento AA '. Determine as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos

( )

2,3

A , B

(

−3,2

)

, C

(

−1 −, 1

)

, D

(

3 −, 5

)

, E

(

0 −, 3

)

e F ,

( )

x y em relação ao eixo

Parametrização de um Segmento

Sejam A

(

x1, y1

)

e B

(

x2, y2

)

dois pontos quaisquer do . No que se segue, é o

segmento de reta que tem por ponto inicial A, ponto final B e P é um ponto qualquer desse segmento (Fig.1.21). x y A B P Q R x y Figura 1.21

Teorema 1.1: Sejam A

(

x1, y1

)

e B

(

x2, y2

)

dois pontos quaisquer do . Se P , é um

( )

x y

ponto do segmento _,então:

(1.4)

Prova: Da semelhança dos triângulos ABR e APQ, podemos escrever:

t y y y y x x x x ₌ − − = − − 1 2 1 1 2 1 e ₀_≤_t_≤₁_(1.5) 4)

(17)

17 Esta equação é equivalente a

1 0 , 1 2 1 1 2 1 ≤ ≤       = − − = − − t t y y y y t x x x x (1.6)

Calculando

x

e y na equação (1.6), obtemos a equação (1.4), que é o que queríamos provar.

Definição As equações dadas por (1.4) são chamadas de equações paramétricas do

seg-mento AB.

Observações: é fácil ver da equação (1.4) que:

Se t=0, então x =x1 e y =y1, logo P = A. Se t=1, então x =x2 e y =y2, logo P =B. Se 2 1 = t , então 2 2 1 x x x= + e 2 2 1 y y y= + . Logo,       + + = 2 , 2 2 1 2 1 x y y x P é ponto médio de AB.

Definição A função real definida por:

é chamada de uma parametrização do seg-mento AB.

Atividade

1) Considere o segmento de extremidades . Desenhe o segmento ;

Escreva uma parametrização para ;

Determine as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais.

2) Seja T o triângulo de vértices A

( )

3,4 , B

( )

−1,1 e C

(

0 −, 3

)

_.

Faça o desenho de T e de suas medianas;

Determine as coordenadas do baricentro de T, ponto de interseção das medianas; Calcule os comprimentos das medianas de T_.

3) Mostre que as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A

(

x1, y1

)

,

(

x2, y2

)

B e C

(

x₃, y₃

)

são dadas por       + + + + 3 , 32 3 1 2 3 1 x x y y y x _. I) II) III) a) b) c) a) b) c)

(18)

18

Escolhendo um Sistema de Coordenadas

Os exemplos a seguir mostram que a escolha conveniente de um sistema de coordenadas pode simplificar a solução de alguns problemas de geometria plana. Esta escolha consiste, em geral, em traçar um dos eixos coincidindo com um dos lados da figura e tomando um ponto deste para origem do sistema de coordenadas.

Exemplo 1: Prove que o segmento determinado pelos pontos médios dos lados não paralelos

de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.

Prova: Considere o trapézio ABCD e os pontos E e F, que são, respectivamente, os pon-tos médios dos seguimenpon-tos e (Fig. 1.22)

A B C D E F Figura 1.22 x y A B C D E F Figura 1.23

Queremos mostrar que é paralelo a e, além disso, .

Para isto, escolhamos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais que tenha origem no ponto A e o eixo contenha o seguimento (Fig.1.23)

Neste sistema, coloquemos as coordenadas dos pontos como sendo A(0,0), B(b,0), )

, ( ca

C e D( cd, ). Agora, as coordenadas dos pontos E e F são dadas por       2 , 2 c d E e       + 2 , 2 c b a

F (definição de ponto médio)

Observemos que as ordenadas dos pontos E e F são iguais, assim é paralelo a e, con-seqüentemente, a . Por outro lado, _e , logo

Agora, .

É o que queríamos mostrar.

Exemplo2 Prove que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade

da hipotenusa.

Prova: Considere o triângulo retângulo ABC, de catetos b e c , hipotenusa a e mediana

(19)

19 Pelo teorema de Pitágoras, temos que _a₌ _b2₊_c2 _{e queremos mostrar que} _{. Para}

isto, considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy que tenha origem no ponto A e os eixos contenham os catetos do triângulo ABC (Fig. 1.25)

Assim temos, A

( )

0,0 , B

( )

b,0 , C ,

( )

0c e       2 , 2 c b

M (definição de ponto médio). Logo,

.

É o que queríamos mostrar.

Atividade

1) Faça a escolha de um sistema de coordenadas para provar que:

Os segmentos determinados pelos pontos médios dos lados opostos de qualquer quadri-látero cortam-se mutuamente ao meio;

O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao ter-ceiro lado e tem metade do seu comprimento;

O ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante de seus três vér-tices;

As diagonais de um retângulo têm comprimentos iguais.

Resumo

No texto que acabamos de estudar, aprendemos, entre outras coisas, o seguinte:

Reta orientada é uma reta sobre a qual indicamos um sentido positivo, em geral por meio

de uma seta;

Eixo é uma reta orientada munida de uma unidade de comprimento;

Postulado da régua: pontos de uma reta podem ser postos em correspondência com os

números reais tal que

A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real; A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta;

A distância entre dois pontos quaisquer da reta é o valor absoluto da diferença dos números correspondentes.

Dados na reta, ;

Escolhemos para trabalhar um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais

a) b) c) d) » » » I) II) III) » »

(20)

20

e, além disso, as unidades nos dois eixos têm os mesmos comprimentos;

Dados no plano, temos que

Dados no plano, as coordenadas do ponto médio do

segmento são dadas por ;

A função real definida por

é uma parametrização do segmento /

Muitas demonstrações em Geometria Plana são facilitadas quando utilizamos

a Geometria Analítica, desde que seja escolhido um sistema de coordenadas ade-quado.

Referências

LIMA, Elon Lages; et alli. A Matemática do Ensino Médio. V. 3. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. Geometria Analítica, v. 7. São Paulo: Atual Editora, 1978

LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1992

STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Geometria Analítica – 2ª. ed. São Paulo: McGRAW-HILL, 1987

PEIXOTO, Roberto. Elementos de Geometria Analítica - 6ª. ed. São Paulo: Editora Paulo de Azevedo, 1955

Winplot. http://math.exeter.edu/rparris. Acessado em 20/10/2007

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(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

25

A Equação Cartesiana da Reta

Objetivos

Ao final dessa aula, esperamos que o aluno seja capaz de:

Construir o gráfico e estabelecer a equação de reta vertical e horizontal; Fazer o gráfico e determinar o coeficiente angular de reta não vertical; Verificar se três pontos do plano são colineares;

Estabelecer a equação cartesiana da reta que passa por um ponto conhecido e o coefi-ciente angular;

Escrever a equação cartesiana da reta definida por dois pontos; Aplicar a equação da reta na construção de modelos lineares.

Introdução

A modelagem matemática é um processo que consiste em descrever, em linguagem matemá-tica, os fenômenos físicos, as leis da economia e, mais freqüentemente, os problemas da vida real.

O modelo matemático mais simples é o que relaciona duas variáveis, e , através da equação . Essa equação chama-se linear porque o seu gráfico é uma reta, e os modelos matemáticos descritos por ela são denominados de modelos lineares.

Nessa aula, estudaremos as retas verticais, as retas horizontais, o coeficiente angular de uma reta não vertical e estabeleceremos a equação cartesiana de uma reta da qual se conhece um ponto e o coeficiente angular, bem como a equação cartesiana da reta definida por dois pontos. Em seguida, faremos uso da equação da reta na construção de alguns modelos lineares.

Reta Vertical

Na figura abaixo (Fig 2.1), estão representados os pontos e .

Figura 2.1 » » » » » »

(26)

26 −2 −1 1 2 x y A B r Figura 2.2

A reta r determinada pelos pontos A e B, cujo gráfico é mostrado acima (Fig 2.2), é paralela ao eixo dos y. Esse eixo e todas as retas, a ele paralelas, chamam-se retas verticais.

Em uma reta vertical, todos os pontos têm a mesma abscissa. Assim, em relação à reta vertical

r mostrada na figura acima, todos os pontos têm abscissa x=−2, que é a equação carte-siana de r.

Mais geralmente, a equação x = representa, no plano, uma reta vertical que corta o eixo dos a x no ponto de coordenadas

( )

a,0 , conforme ilustra a figura abaixo (Fig 2.3)

.

x y

a r

Figura 2.3: reta vertical

Reta horizontal

O eixo dos x e todas as retas, paralelas a ele, são chamadas de retas horizontais.

−1 1 2 3 x y r

(27)

27 Na figura acima (Fig 2.4), é mostrada uma reta horizontal r. Observe que todos os pontos de r

têm a ordenada y=3, que é a equação cartesiana de r. Mais comumente, a equação y =b

representa, no plano, uma reta horizontal que corta o eixo dos y no ponto

( )

0,b , conforme ilustrado na figura abaixo (Fig 2.5).

x y

r

O b

Figura 2.5: reta horizontal

Atividade

1) Seja r a reta definida pelos pontos A

(

a,−1

)

e B

(

−3,b

)

, estabeleça condições sobre a e b para que a reta r seja:

a) Vertical; b) Horizontal.

2) Em cada caso, faça o desenho da reta cuja equação é dada. Conforme o caso, determine a interseção de r com o eixo dos x ou com o eixo dos y.

a) x=3 b) y=−2

3) Faça a representação geométrica de cada conjunto dado abaixo.

( )

{

−2≤ ≤4

}

= x y x C , :

( )

{

≥1

}

= x y y D , :

( )

{

<−3

}

= x y y E , :

( )

{

−1≤ ≤4

}

= x y y F , :

4) Seja R a região do plano definida pelas desigualdades: −1≤x≤3 e −2≤ y≤3

a) Esboce o gráfico de R b) Calcule a área de R. a) b) c) d) e) f)

(28)

28

Coeficiente angular ou inclinação de uma reta

Seja r a reta definida pelos pontos A

(

x₁, y₁

)

e B

(

x₂, y₂

)

, com _{x ≠ (Fig 2.6).}₁ x₂

x y ∆ ∆ x y A B C O

Figura 2.6: reta por dois pontos

O coeficiente angular de r é o número real m dado por:

Observações

1) O coeficiente angular de uma reta é a taxa de variação de y por unidade de variação de

x (Fig.2.7).

Figura 2.7: coeficiente angular

2) Se x =₁ x₂, então a reta é vertical e o coeficiente angular não é definido. (Fig 2.8)

x y a r A B O

(29)

29

Atividade

1) Em cada caso, faça o desenho da reta dada e determine o seu coeficiente angular. a) A

(

−1 −, 3

)

e B

( )

0 −, 1

b) A

( )

2,3 e B

(

−2,3

)

c) A

( )

1,2 e B

( )

3 −, 2

2) Faça o gráfico da reta que passa pelo ponto a) A

( )

,12 e tem coeficiente angular m=2. b) A

(

−4,3

)

e tem coeficiente angular m=−3. c) A

(

2 −, 3

)

e tem coeficiente angular m=0. d) A

(

−5 −, 1

)

e tem coeficiente angular m=−₃2.

3) Verifique se os pontos A

( )

1,1 , e são colineares. 4) Seja r a reta definida pelos pontos A

(

−3,4

)

e B

(

2 −, 4

)

.

a) Faça um esboço do gráfico de r.

b) Determine a interseção de r com o eixo dos x .

c) Obtenha a interseção de r com o eixo dos y.

Equação da Reta

Seja r uma reta no plano passando pelo ponto A

( )

x₁_,y₁ , temos, então, dois casos a consi-derar:

Caso 1: r é uma reta vertical (Fig 2.9)

x

y _r

(30)

30

Nesse caso, como vimos anteriormente, é a equação de r. Caso 2: r é uma reta não vertical (Fig 2.10)

x y A B O r

Figura 2.10: reta não vertical

Nesse caso, suponhamos que seja conhecido o coeficiente angular m da reta r e tomemos, sobre r, um ponto B ,

( )

x y , distinto do ponto A

(

x₁, y₁

)

. Temos, então, que:

m x x y y ₌ − − 1 1 _ou

(

)

1 1 m x x y y− = − .

Exemplo 2.1 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A

(

4 −. 1

)

e tem coeficiente angular

4 3 − .

Solução Seja B

( )

x,y ∈r um ponto distinto do ponto A

( )

4 −, 1 . Temos, então, que:

(

4

)

4 3 1=− − + x y ou 2 4 3 + − = x

y (Equação reduzida) ou 3x+4y−8=0 (Equação geral)

Exemplo 2.2 Determine a equação da reta definida pelos pontos A

(

−1,2

)

e B

( )

0,4 .

Solução O coeficiente angular dessa reta é 2 1 0 2 4 ₌ + − = m .

Agora, procedendo como no exemplo anterior, temos que:

(

1

)

2

2= +

− x

y _ouy =2 +x 4.

Exemplo 2.3 Uma companhia comprou uma máquina no valor de R$12.000,00. Sabe-se que

o valor residual após 10 anos será de R$4.000,00.

Escreva uma equação linear relacionando o valor V da máquina e o tempo t. Esboce o gráfico da equação determinada em (a).

Qual o valor da máquina depois de 6 anos?

Solução A reta que passa pelos pontos

(

0,12000

)

e tem inclinação a)

b) c)

(31)

31 . Assim, temos que:

ou , . 10 400 12000 t V

Figura 2.11: depreciação linear 7200 12000 4800 12000 6 800 + =− + = − = . V

Exemplo 2.4 Uma companhia vende 30.000 unidades de um produto quando o preço unitário

é R$12,00. A companhia determinou que pode vender 8.000 unidades a mais com uma redu-ção de R$4,00 no preço unitário. Ache a equaredu-ção da demanda, supondo-a linear, e faça um esboço do seu gráfico.

Solução A inclinação da reta determinada pelos pontos e é dada por =

−

2 .

000

. Temos, então, que:

a) ou

b)

Figura 2.12: gráfico da demanda

Atividade

1) Seja r a reta que passa pelo ponto P(-1,2) e tem coeficiente angular igual a -3. a) Escreva a equação de r.

a) b)

(32)

32

b) Determine as interseções de r com os eixos coordenados. c) Faça um esboço do gráfico de r

2) Calcule o coeficiente angular (se possível) da reta que passa pelos pontos dados. Escreva a equação da reta e construa o gráfico correspondente.

a) (-1,-2) e (3,-4) b) (-2,3) e (2,3) c) (0,-4) e (3,-1) d) (-2,1) e (-2,-3)

3) Calcule o coeficiente angular e a interseção com o eixo dos y (se existir) da reta dada e construa o gráfico correspondente.

a) y=2x-3 d) 4x+3=0 b) 3x+4y=-2 e) 2x+5y=0 c) 5y+3x=2 f) 5y-3=0

4) O custo de uma máquina é de R$20.000,00 e sua vida útil é estimada em 5 anos. Supondo que o seu valor residual seja 10% do valor inicial e que a depreciação é linear, estabeleça a equação que relaciona o valor V da máquina com o seu tempo de vida útil t. Faça um esboço do gráfico dessa equação.

Resumo

Nessa aula, aprendemos que:

Reta vertical é o eixo dos y ou qualquer reta paralela a ele;

Reta horizontal é o eixo dos x ou qualquer reta paralela a ele;

A inclinação de uma reta não vertical é a taxa de variação de y por unidade de varia-ção de x ;

A equação cartesiana da reta que passa por A

(

x₁, y₁

)

e tem coeficiente angular m é

dada por y− y₁ =m

(

x−x₁

)

Referências

LIMA, Elon Lages; et alli. A Matemática do Ensino Médio. V. 3. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998.

1. 2. 3. 4.

(33)

33 LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de

Matemática - SBM, 1992

STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Geometria Analítica – 2ª. ed. São Paulo: McGRAW-HILL, 1987

PEIXOTO, Roberto. Elementos de Geometria Analítica - 6ª.ed. São Paulo: Editora Paulo de Azevedo, 1955

Winplot. http://math.exeter.edu/rparris. Acessado em 20/10/2007 http://images.google.com.br/images. Acessado em 10/10/2007

(34)

(35)

(36)

(37)

37

Posições Relativas de Duas Retas

Objetivos

Ao término dessa aula, espera-se que o aluno esteja apto a:

Identificar retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes;

Estabelecer a relação entre a posição de duas retas no plano com as soluções de um sistema de equações lineares;

Utilizar feixe de retas para simplificar a solução de alguns problemas de Geometria Analítica;

Determinar a interseção de retas concorrentes;

Conduzir por um ponto dado uma reta paralela a uma reta dada;

Estabelecer a equação cartesiana da reta que passa por um ponto e é perpendicular a uma reta dada.

Introdução

Nessa aula, estudaremos as posições relativas de duas retas no plano, relacionando-as com a discussão de um sistema de equações lineares formado pelas equações das retas dadas. Em seguida, trabalharemos a noção de feixe de retas no plano, mostrando, através de exemplos, que a solução de alguns problemas de Geometria Analítica Plana pode ser simplificada, usando o argumento de feixe de retas no plano. Finalizaremos o presente estudo, estabelecendo, atra-vés do coeficiente angular, a condição que permite verificar se duas retas não verticais são paralelas ou são perpendiculares.

Posições relativas de duas retas

Sejam r e s duas retas de equações a₁x+b₁y=c₁ e a₂x+b₂y=c₂,respectivamente. Agora, consideremos o sistema de equações lineares

( )

S formado pelas equações de r e s

( )

S :    = + = + 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a

Conforme

( )

S tenha uma única solução, não tenha solução ou tenha uma infinidade de solu-ções, as retas r e s são chamadas, respectivamente, de retas concorrentes, retas paralelas

e retas coincidentes. Veja ilustração abaixo. » » » » » »

(38)

38 x y r s I Figura 3.1: concorrentes x y

r

s

Figura 3.2: paralelas x y

r=s

Figura 3.3: coincidentes

O sistema

( )

S é equivalente ao sistema

( )

S' , que é obtido de

( )

S substituindo a sua segunda equação por: a₂

(

a₁x+b₁y

) (

−a₁ a₂x+b₂y

)

=a₂c₁−a₁c₂

Logo, o sistema de equações lineares

( )

S' é dado por:

( )

S' :

₍

₎

   − = − = + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 c a c a y b a b a c y b x a

Assim, temos que: r e s são concorrentes ⇔ a₂b₁ ≠a₁b₂ ⇔

2 1 2 1 b b a a _≠ _{, com} ₀ 2 2b ≠ a ; r e s são paralelas ⇔ a2b1 =a1b2 e a2c1 ≠a1c2 ⇔ 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ₌ _≠ _{, com} ₀ 2 2 2b c ≠ a ; r e s são coincidentes ⇔ a₂b₁ =a₁b₂ e a₂c₁ =a₁c₂_⇔ 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ₌ ₌ _{, com} ₀ 2 2 2b c ≠ a . Exemplo 3.1

a) As retas de equações 2x+y−3=0 e 4x+2y+3=0 são paralelas, uma vez que:

3 3 2 1 4 2 − ≠ = .

b) As retas de equações 3x−2y=−1 e −6x+4y=2 são coincidentes. De fato:

2 1 4 2 6 3 ₌ − ₌ − −

c) As retas x+ y−2 =0 e 3x+ y−2=0 são concorrentes, uma vez que:

1 1 3 1 ≠

A interseção dessas retas é o ponto P

( )

0,2 , solução do sistema de equações lineares:    = − + = − + 0 2 3 0 2 y x y x

(39)

39

Atividade

1) Determine o valor de a para que as retas

( )

r1 :2x−y+1=0,

( )

r2 :x+ y+3=0 e

( )

r a3 : x+ y−5=0 sejam concorrentes em um mesmo ponto P. Em seguida, determine as coordenadas de P.

2) Encontre a e b para que as retas ax−2y−1=0 e 6x−4y−b =0 sejam: a) concorrentes; b) paralelas; c) coincidentes.

3) Estude as posições relativas das retas:

a) e ;

b) 2x−4y+3=0 e x−2y+1=0; c) 3x+5y−4=0 e ; d) x− 2 =y 0 e 2x−2y =0.

4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P

( )

5,4 e pela interseção das retas de equações cartesianas x−y+1 =0 e x+ y−5 =0.

Feixe de Retas no Plano

Para cada k∈ℜ, considere o conjunto:

Fazendo k =0, k =1 e k =−1, obtemos R , ₀ R1 e R−1,que são retas concorrentes no ponto

( )

,12

P , interseção das retas x+ y−3 =0 e 3x−y−1=0, conforme ilustrado na figura abaixo. −2 −1 1 2 3 −1 1 2 3 x y P

Figura 3.4: interseção de retas

O conjunto R é chamado de feixe de retas no plano definido pelas retas k

( )

r :x+ y−3=0

(40)

40

é um feixe de retas no plano definido pelas retas :

( )

r :a1x+b1y+c1 =0 e

( )

s :a2x+b2y+c2 =0

Feixe de Retas Concorrentes

Suponhamos que as retas r e s sejam concorrentes em P

(

x₀, y₀

)

. Temos, então,

(

a1x0 +b1y0 +c1

) (

+k a2x0 +b2y0 +c2

)

=0+k.0=0, para qualquer que seja , o que nos leva a concluir que toda reta de R passa pelo ponto _k P

(

x0, y0

)

. Por outro lado, seja

t uma reta do plano que passa por P

(

x₀, y₀

)

, com t ≠ , e seja s Q

(

x₁, y₁

)

um ponto de t distinto de P. Temos então que a reta de equação:

(

)

(

2 2 2

)

0 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ₊ ₊ + + = + + − + + a x b y c c y b x a c y b x a c y b x a

passa pelos pontos P e Q, portanto coincide com t .

Da argumentação acima, conclui-se que toda reta de R passa pelo ponto k P e,

reciproca-mente, toda reta do plano diferente de s que passa por P pertence a R . Logo, _k R é um feixe _k

de retas no plano que passam porP,que é chamado de base ou centro do feixe de retas.

Feixe de Retas Paralelas

Se r e s são retas paralelas, então temos que:

,

2

1 a

a =l b₁ =l b₂ e c1 ≠l c2 para algum . Nessas condições, a equação:

(

a1x+b1y+c1

) (

+k a2x+b2y+c2

)

=0 toma a seguinte forma:

(

l +k

)

a₂x+

(

l +k

)

b₂y+c₁ +kc ₂ =0, o que nos leva a concluir que, como l ≠−k, qual-quer reta do feixe é paralela a s e, por conseguinte, a r.

Reciprocamente, seja t uma reta qualquer do plano que é paralela a r. Se t coincide com s ,

então t pertence ao feixe. Se t não coincide com s , seja M

(

x2, y2

)

um ponto de t que não

pertence a s . A reta de equação:

(

)

(

2 2 2

)

0 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ₊ ₊ + + = + + − + + a x b y c c y b x a c y b x a c y b x a

que passa por M e é paralela a reta r_{, coincide com a reta t . Assim, fica estabelecido que}

(41)

41

Exemplo 3.2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto P

( )

3 −, 2 e pela interseção das retas 2x+3y−1=0 e x−2y−4=0.

Solução: O feixe de retas concorrentes definido pelas retas dadas tem por equação:

(

2x+3y−1

) (

+k x−2y−4

)

=0. Agora, como a reta passa pelo pontoP

( )

3 −, 2 , obtém-se a equação:

0 3 1+ =

− k , que tem por solução

3 1 =

k .

Levando-se esse valor na equação do feixe, temos a equação:

0 7 7

7x+ y− = ou x+ y−1 =0, que é a equação procurada.

Vale ressaltar que este problema pode também ser resolvido encontrando, inicialmente, o ponto de interseção das retas e, em seguida, escrevendo a equação da reta definida por dois pon-tos.

Exemplo 3.3 Determine a equação da reta que passa por P

( )

,1−2 e é paralela à reta de equa-ção 4x+5y−1=0.

Solução: A equação do feixe de retas paralelas é dada por: 4x+5y+c=0. Queremos a reta que passa por P

( )

,1−2 . Assim, temos que: 4−10 +c=0 Logo, a reta procurada tem por equação: 4x+5y+6=0

Atividade

1) Ache a equação da reta que passa pelo ponto de interseção das retas 2x−y=7 e

4 3 = + y

x e que:

a) passa pela origem; b) tenha coeficiente angular -3; c) passe pelo ponto

( )

7,2 . 2) Determine a equação da reta que passa pelo ponto

(

2 −, 3

)

e é paralela à reta de equação 3x−7y+3=0.

3) Considere o feixe de retas no plano que tem por equação:

(

x+4y−1

) (

+k 3x−y+2

)

=0 Determine as coordenadas do centro P do feixe.

A equação das retas do feixe que são paralelas aos eixos coordenados. a)

(42)

42

A equação da reta do feixe que seja paralela à reta 2x−y+5=0. Encontre a equação da reta comum aos feixes:

(

x−y+1

) (

+k1 2x−y−2

)

=0 e

(

5x+3y−2

)

+k2

(

3x−y−4

)

=0.

Retas Paralelas

Na secção anterior, usando a idéia de feixe de retas paralelas, aprendemos a resolver o pro-blema de determinar a equação da reta que passa por um ponto e é paralela a uma reta dada. Aqui, discutiremos esse problema sob o ponto de vista do coeficiente angular.

Sejam r e s duas retas não verticais com equações cartesianas e , respectivamente. Temos, então, que:

a) Se r e s são paralelas, então suas inclinações são iguais.

b) Se r e s são concorrentes, então suas inclinações são diferentes.

x y

r s

Figura 3.5: retas paralelas

x y

r

s

Figura 3.6: retas paralelas

x y

r

s

Figura 3.7: retas concorrentes

x y

r s

Figura 3.8: retas concorrentes

De (a) e (b), segue-se que: r// s⇔m=a

Exemplo 3.4 Determine a equação da reta que passa por P

(

−1−3

)

e é paralela à reta de equação y =−3 +x 2.

c) d) e)

(43)

43

Solução: A reta cuja equação queremos determinar tem inclinação m=−3. Assim, sua equa-ção é dada por:

(

1

)

3 3=− + + x y y =−3 −x 6.

Retas Perpendiculares

Sejam r_{e s duas retas não verticais com equações cartesianas} e respectivamente.

a) Se r e s são perpendiculares, então m.a=−1.

Sejam r' e 's retas que passam pela origem do sistema de coordenadas e são paralelas a r

e a s , respectivamente. Temos, então, que a equação de r' é e a equação de 's é . Portanto, A ,1

( )

m e B ,1

( )

a . Agora, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo OAB , segue-se que:

(

_m₋_a

)

2 ₌₁₊_m2 ₊₁₊_a2

, logo, m.a=-1. r s r' s' A O x y B 1

Figura 3.9 : retas perpendiculares

b) Se , então r e s são perpendiculares. Temos que:

.

Portanto, o triângulo OAB é retângulo em O . Assim, de (a) e (b), segue-se que r e s são

perpendiculares ⇔ m.a=−1.

Exemplo 3.5 Determine a equação da reta que passa pelo ponto

( )

5 −, 1 e é perpendicular à reta de equação 4x−3y=1.

Solução A inclinação da reta dada é

3 4 =

a . Logo, a reta cuja equação queremos encontrar tem inclinação

4 3 − =

m . Portanto, sua equação é dada por:z

(

5

)

4 3 1=− − + x y ou 4 11 4 3 + − = x y 3x+4y=11

(44)

44

Atividade

1) Para que valores de k∈ℜ as retas 2x+5y =7 e são: a) paralelas? b) perpendiculares?

2) Em cada caso, determine a equação da reta que satisfaça a seguinte condição: a) passa pela origem e é perpendicular à reta de equação cartesiana 2x−3y =11 ; b) passa por

( )

3,2 e é paralela à reta de equação cartesiana 4y+x=3.

3) Escreva a equação da mediatriz do segmento , com A

(

−3 −, 2

)

e B

( )

,14 .

4) Dados A

( )

3,7 , B

( )

11, e C

( )

9,6 , determine a projeção ortogonal de A sobre a reta definida pelos pontos B e C . Em seguida, calcule as coordenadas de A', ponto simétrico de A em relação à reta determinada pelos pontos A e .B

Resumo

Sejam r e s duas retas de equações a1x+b1y=c1 e a2x+b2y=c2, respectivamente.

Nessa AULA, aprendemos que:

1. r_es são concorrentes ⇔ 2 1 2 1 b b a a _≠ _{, com} ₀ 2 2b ≠ a ; 2. r_es são paralelas ⇔ 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ₌ _≠ _{, com} ₀ 2 2 2b c ≠ a ; 3. r_es são coincidentes ⇔ 2 1 2 1 2 1 c c b b a a ₌ ₌ _{, com} ₀ 2 2 2b c ≠ a .

4. A equação do feixe de retas no plano definido pelas retas

( )

r :a1x+b1y+c1 =0 e

( )

s :a₂x+b₂y+c₂ =0, é dada por

(

a₁x+b₁y+c₁

) (

+k a₂x+b₂y+c₂

)

=0; 5. Se r e s são concorrentes em P

(

x₀, y₀

)

, então a equação

(

a1x+b1y+c1

) (

+k a2x+b2y+c2

)

=0 representa um feixe de retas concorrentes em P, que é chamado de base ou centro do feixe de retas;

6. Se r e s são retas paralelas, então a equação

(

a₁x+b₁y+c₁

) (

+k a₂x+b₂y+c₂

)

=0 representa um feixe de retas paralelas ;

7. Se r e s são duas retas não verticais com equações cartesianas e respectivamente, então temos que:

(45)

45 a) r e s são paralelas ⇔m =a;

b) r e s são perpendiculares ⇔ m.a=−1.

Referências

LIMA, Elon Lages; et alli. A Matemática do Ensino Médio. v. 3. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998

STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Geometria Analítica – 2ª.ed. São Paulo: McGRAW-HILL, 1987

PEIXOTO, Roberto. Elementos de Geometria Analítica - 6ª.ed. São Paulo: Editora Paulo de Azevedo, 1955

Winplot. http://math.exeter.edu/rparris. Acessado em 20/10/2007

http://images.google.com.br/images. Acessado em 10/10/2007

(46)

(47)

(48)

(49)

49

Translação de Eixos

Objetivos

Quando do término dessa aula, esperamos que o aluno seja capaz de:

Usar a translação de eixos para simplificar a equação de algumas curvas planas; Calcular a distância de um ponto a uma reta;

Determinar a área de um triângulo em função das coordenadas dos vértices.

Introdução

A resolução de muitos problemas de Geometria Analítica pode ser simplificada através da trans-lação dos eixos coordenados. Nessa aula, após obtermos as equações de transtrans-lação, faremos uso delas para estabelecermos a fórmula do cálculo da distância de um ponto a uma reta. Em seguida, calcularemos a área de um triângulo com um dos vértices na origem do sistema de coordenadas e, usando translação de eixos, faremos a generalização desse resultado.

Translação de Eixos

Na figura 4.1 abaixo, estão representados os seguintes pontos: A

(

−2,2

)

, B

(

0 −, 3

)

, C

( )

4,0 _,

( )

5,3

D e O'

( )

21, .

Figura 4.1: pontos no plano

Por O'

( )

21, , vamos conduzir uma reta paralela ao eixo e uma reta paralela ao eixo, construindo um novo sistema de coordenadas ortogonal x' yO' ', de modo que os eixos ’ e tenham a mesma orientação do eixo e do eixo , respectivamente, conforme ilustrado na figura 4.2

» » »

(50)

50 x y A B C D O' x' y'

Figura 4.2: eixo transladado

O novo sistema de coordenadas x' yO' ' é uma translação do sistema de coordenadas original

.

xOy Em relação a este novo sistema de coordenadas, os pontos A, B, C e D têm coor-denadas

(

−4,1

)

,

(

−2 −, 4

)

,

( )

2 −, 1 e

( )

1,2 , respectivamente.

Mais geralmente, consideremos os pontos P ,

( )

x y e O ,'

( )

a b no sistema de coordenadas ortogonal xOy.Conduzimos por O ,'

( )

a b uma reta paralela ao eixo e uma reta paralela ao eixo . Em seguida, introduzimos o sistema de coordenadas ortogonal x' yO' ', de modo que ’ e tenham a mesma orientação de e de , respectivamente, conforme ilustração abaixo. x y P O' x' y' a b x x' y _y' O

Figura 4.3: eixo transladado

As coordenadas de P no novo sistema de coordenas são

(

x,' y'

)

. Essas coordenadas se rela-cionam com as coordenadas de P no sistema antigo através das equações dadas abaixo:







+

=

+

=

'

y

b

y

x

a

x

_(4.1)

Exemplo 4.1: Encontre as novas coordenadas de

( )

0,4 ,

(

−4,0

)

e

(

−4,4

)

, quando os eixos se deslocam, por translação, para a nova origem O'

(

−3,−2

)

.

(51)

51

Solução: As novas coordenadas

(

x,' y'

)

de

( )

x,y são dadas por: x'=x+3 e y'= y+2

Assim, as novas coordenadas de

( )

0,4 ,

(

−4,0

)

e

(

−4,4

)

são, respectivamente,

(

− ,12

)

,

( )

3,6 e

(

− ,16

)

.

Exemplo 4.2: Escreva a equação da reta 4x−3y−4=0 no sistema de coordenadas, obtido de xOypor translação, para a nova origem O' −

( )

2, 1 .

Solução: As novas coordenadas

(

x,' y'

)

e as antigas coordenadas

( )

x,y estão relacionadas por:







+

=

−

=

1 '

2 '

y

x

Logo, no novo sistema de coordenadas, a equação da reta é dada por:

( ) ( )

' 2 3 ' 1 4 0

4 x− − y+ − = _{Isto é,}

Exemplo 4.3: Encontre a nova origem O ,'

( )

a b do novo sistema de coordenadas x' yO' ', obtido por translação do sistema xOy de modo que a equação: _x2 ₊_y2 ₊6_x₋2_y₊1₌0 seja transformada na equação: _x'2₊_y'2₌9_.

Solução: Usando a técnica de “completar quadrados” escrevemos a equação dada na forma

seguinte:

(

_x₊3

) (

2 ₊ _y₋1

)

2 ₌9

Assim, fazendo x'= x+3 e y'= y−1, temos que a equação dada é transformada na equa-ção: _x'2₊_y'2₌9_e_O_{' −}

(

₃_1,

)

_{é a nova origem do sistema de coordenadas}_x_{' y}_O_' _'_.

Atividade

1) Suponha que o sistema de coordenadas xOy seja transladado para um sistema de coorde-nadas x' yO' ', cuja origem 'O tem coordenadas

(

3 −, 2

)

no sistema xOy

a) Determine as coordenadas x' y' do ponto com coordenadas dadas por P

( )

0,2 ; b) Encontre as coordenadas do ponto com coordenadas x' y' dadas por Q

( )

5 −, 1 ; c) Desenhe os eixos coordenados xOy e x' yO' ' e marque os pontos P e Q.

2) Escreva a equação da reta no sistema de coordenadas x' yO' ', obtido de xOy por translação para a nova origem O'

(

−3,−3

)

.

(52)

52

Distância da Origem a Uma Reta

Seja r a reta de equação cartesiana .

x y r t d I O

Figura 4.4: distância da origem a reta r

A reta t que passa pela origem e é perpendicular à r tem equação . Assim, as coordenadas de I, interseção de r e t , são dadas pela solução do sistema linear

( )

S dado abaixo:

( )

S

Resolvendo o sistema

( )

S , obtemos:

Logo, ₂ 2 ₂ ₂ ₂ , b a c b a c d + = + =

Exemplo 4.4 Calcule a distância da origem à reta r de equação .

Solução: A equação da reta r na forma geral é . Logo, a distância da ori-gem à reta é dada por:

.

Distância de Um Ponto a Uma Reta

Seja r a reta de equação cartesiana e seja P

(

x₀,y₀

)

∉r

Em relação ao sistema de coordenadas , a equação da reta r é dada por: .

(53)

53 Logo, 2 2 0 0 b a c by ax d + + + = r t d I O x y x' y' P

Figura 4.5: distância de um ponto a uma reta

Exemplo 4.5: A distância do ponto P

(

− ,12

)

à reta r de equação 2x−3y+6=0 é dada

por: .

Distância Entre Duas Retas Paralelas

Sejam r e t duas retas paralelas, com equações e , res-pectivamente (Fig 4.6) .

A distância entre r e t é igual à distância de um ponto qualquer P

(

x₀,y₀

)

∈t à reta r. Como

(

x y

)

t P ₀, ₀ ∈ , temos que . Logo, . x y r t _d I O P

(54)

54

Exemplo 4.6: A distância entre as retas paralelas e é dada por:

.

Área do triângulo

Inicialmente, vamos considerar o triângulo com um dos vértices coincidindo com a origem do sistema de coordenadas, conforme mostrado na figura 4.7.

x y A B C D h

Figura 4.7: área do triângulo

Suponhamos que A

(

x1, y1

)

e B

(

x2, y2

)

. Assim, a reta determinada pelos pontos A e C tem

equação geral dada por:

0

1 1x−x y=

y

. Logo, se S é a área do triângulo, então temos que:

D y x y x x y y x x y y x S 2 1 . 2 1 . . 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − = + − + = ondeD é o determinante

Por outro lado, se o triângulo tem vértices A

(

x1, y1

)

, B

(

x2, y2

)

e C

(

x3, y3

)

, fazemos uma

translação de modo que a nova origem de novo sistema de coordenadas seja o ponto C

(

x₃, y₃

)

As coordenadas de A e B em relação ao sistema de coordenadas são, respectiva-mente,

(

x₁ −x₃,y₁−y₃

)

e

(

x₂ −x₃,y₂ −y₃

)

. Assim, a área S do triângulo ABC é dada por:

(55)

55

(

₁ ₃

)(

₂ ₃

) (

₂ ₃

)(

₁ ₃

)

2 1 _x _x _y _y _x _x _y _y S = − − − − − . Isto é,

(

y y

)

x

(

y y

)

x

(

y y

)

D x S 2 1 2 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 − − − + − = = , ondeD é o determinante:

Exemplo 4. 7: Calcule a área do triângulo de vértices A

(

−4 −, 2

)

, B

( )

,13 e C

(

5 −, 4

)

.

Solução: A área do triângulo é dada por

Atividade

Calcule:

a distância do ponto P

(

−2 −, 3

)

à reta 2x−y+5=0; a distância entre as retas 3x−y+7=0 e 3x−y−4=0; a área do triângulo de vértices A

( )

3 −, 1 , B

( )

,14 e C

(

−4 −, 5

)

.

Resumo

O que aprendemos:

As equações de translação, que relacionam as coordenadas do sistema com as coordenadas do sistema x' y', são dadas por:x=a+ 'x e y=b+y'.

A distância do ponto P

(

x0, y0

)

à reta é dada por

A área do triângulo de vértices A

(

x1, y1

)

, B

(

x2, y2

)

e C

(

x3, y3

)

é dada por D S 2 1 = , onde D é o determinante: 1) 2) 3) » » »

(56)

56

Referências

LIMA, Elon Lages; et alli. A Matemática do Ensino Médio. v. 3. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998

STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Geometria Analítica – 2ª .ed. São Paulo: McGRAW-HILL, 1987

PEIXOTO, Roberto. Elementos de Geometria Analítica - 6ª .ed. São Paulo: Editora Paulo de Azevedo, 1955

Winplot. http://math.exeter.edu/rparris. Acessado em 20/10/2007http://images.google.

com.br/images. Acessado em 10/10/2007

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(58)

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(60)

(61)

61

Ângulo Entre Duas Retas

Objetivos

Ao final dessa AULA, esperamos que o aluno seja capaz de:

Determinar os ângulos formados por duas retas concorrentes e não perpendiculares; Estabelecer as equações das bissetrizes dos ângulos de duas retas.

Introdução

Na figura abaixo, estão representadas duas retas concorrentes r e r'.

r r'

P

Figura 5.1: retas concorrentes em P

As retas r e r' determinam quatro ângulos que são congruentes dois a dois. Se r e r' são perpendiculares, então a medida de cada ângulo é . Suponhamos ,então, que r e r' não sejam perpendiculares e passemos a calcular as medidas dos ângulos que elas determinam. Para fazê-lo, basta calcularmos a medida do ângulo agudo.

Ângulo entre duas retas

Denotando por a medida do ângulo agudo formado pelas retas r e r', temos dois casos a considerar:

Caso 1: Uma das retas é vertical

1) 2)

(62)

62 x y r r' O

Figura 5.2: uma reta vertical

Neste caso, se é a medida do ângulo que a reta r faz com o eixo dos x, então temos que . Resulta ,então, que:

x y

r r'

O

Figura 5.3: uma reta vertical

Neste caso, se é a medida do ângulo que a reta r faz com o eixo dos x, então temos que . Logo, resulta que: