Publicações do PESC Dualidade em Problemas de Programação não Linear com Vínculos Positivos

DUALIDADE EM PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO L I N E A R COM V ~ N C U L O S P O S I T I V O S

M a n u e 1 M a r ti ns F i l h o

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRA- MAS DE P~S-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO PARTE DOS R E Q U I S I T O S NECESSÁRIOS P A - RA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS ( M . S c . )

A p r o v a d a por : R o n a l d o C . M a r i n h o P e r s i a n o

C

,

@

/

.

C l ó v i s C a e s a r G o zaga R I O DE J A N E I R O , R J

-

B R A S I L JUNHO DE 1 9 8 1

M A R T I N S F I L H O , MANUEL D u a l i d a d e e m P r o b l e m a s de ~ r o ~ r a m ~ ~ ã o N ~ O L i n e a r c o m ~ i n c u - 10s P o s i t i v o s \ R i o de ~ a n e i r o

1

1 9 8 1 V i , 72p

,

2 9 - , 7 cri^ ( C O P P E - U F R J , M . S c . , E n g e n h a r i a d e S i s t e

_-

m a s e ~ o m p u t a ç ã o , 1 9 8 1 ) . T e s e

-

U n i v . Fed. R i o de J a n e i r o , Fac. E n g e n h a r i a 1. ~ t i m i z a ç ã o I . COPPE/UFRJ 11. ~ i t u l o ( s é r i e )

iii

AGRADECIMENTOS

-

Ao Marinho, mais que um orientador, um grande amigo.

A Angela e Denise pela datilografia e a ~eralúcia e Nadir pelos acertos finais.

A Nilza pelo apoio e estímulo.

A CAPES pelo auxilio financeiro.

Aos amigos que me incentivaram a terminar este traba -

Estudaremos um problema p a r t i c u l a r em Progra- mação N ~ O - L i n e a r , (Problema a ~ í n c u l o s P o s i t i v o s ) e s u a r e l a ç ã o com o Método d a s P e n a l i d a d e s E x t e r i o r e s .

Desenvolveu-se m a t e o r i a de Dualidade p a r a Problemas a ~ i n c u l o s P o s i t i v o s , buscando-se o b t e r c o n d i ç õ e s mais f r a c a s , que garantam a i g u a l d a d e dos v a l o r e s Õtimos dos problemas Prima1 e Dual.

O s r e s u l t a d o s d e s s a t e o r i a d e Dualidade s e r ã o usados p a r a g a r a n t i r a c o n v e r g ê n c i a do Método d a s P e n a l i d a d e s E x t e r i o r e s .

d

A t e o r i a g e r a l de Dualidade, e a p r e s e n t a d a usando-se a abordagem a d o t a d a p o r G e o f f r i o n

1

7 1 1 sem h i p ó t e s e s de convexidade.

A s p e c i a l c i a s s of Non-Linear Programming Problems (Problems w i t h P o s i t i v e C o n s t r a i n t s ) and i t s

r e l a t i o n s h i p t o t h e E x t e r i o r P e n a l t y F u n c t i o n Method i s c o n s i d e r e d .

A D u a l i t y Theory f o r problems w i t h p o s i t i v e c o n s t r a i n t s i s deveboped, i n o r d e r t o o b t a i n weaker s u f f c i e n t c o n d i t i o n s , f o r t h e e q u a l i t y o f t h e o p t i m a l v a l u e s of t h e P r i m a 1 and Dual Problems.

The c o n v e r y e n c e of t h e E x t e r i o r P e n a l t y F u n c t i o n Method, i s a s s u r e d a s r e s u l t of t h e a p p l i c a t i o n o f s u c h D u a l i t y Theory. The G e n e r a l D u a l i t y Theory, i s p r e s e n t e d f o l l o w i n g t h e a p p r o a c h p r o p o s e d by G e o f f r i o n

f

711

,

w i t h o u t c o n v e x i t y a s s u m p t i o n s .

INDICE

...

CAPÍTULO I1 . TEORIA GERAL DE DUALIDADE 6

...

Seção 1

-

Introdução 6

Seção 2

-

Definição de (P) e (D)

-

Definição de

Ponto de Sela

-

Interpretação

...

7 seção 3

.

Definições . Resultados Preliminares

...

Seção

4

.

Duafidade

...

Seção 5

.

Demonstração dos Teoremas de Otimalidade

e Dualidade Forte

...

Seção 6

.

Conclusão

...

CAPÍTULO

111

.

DUALIDADE EM PROBLEMAS A V~NCULOS POSITIVOS

E O

METODO

DE PENALIDADES

...

...

Seção 1 . Introdução

Seção 2

-

Estabilidade e Propriedades da

unção

perturbação em Problemas a vínculos

Positivos

...e...m

Seção 3

-

Condições de Otimalidade em Problemas

a

~ínculos Positívos

...

~ e ç ã o

4

-

Método das Penalidades Exteriores

~quivalência com Problema a ~ínculos

....

Positivos

-

Um Teorema de Convergência

CAPITULO I

INTRODUÇÃO

Estudaremos a teoria geral de Dualidade em

programação Não-~inear, usando a abordagem adotada Por

Geoffrion 1711, porém sem o uso de hipóteses adicionais (conve-

xidade)

.

Restringiremos no entanto nosso estudo, a uma

classe particular de problemas, em que a função vínculo é posi- tiva ou nula em todo o seu domínio (Problema a vínculos Positi-

vos

-

P.V.P.)

.

Embora o estudo se restrinja a essa família

particular de problemas, deve-se salientar que qualquer proble-

ma de ~rogramação Não-~inear pode ser transformado em

um

Proble -

ma a ~ínculos Positivos equivalente.

Desenvolveremos uma teoria de Dualidade para

P.V.P., e estudaremos a sua relação com o ~ ê t o d o das Penalida-

des Exteriores.

A interrelação entre esses dois métodos será

explicitada quando da definição de um método de penalidades ex-

teriores, obtido

5

partir do P.V.P..

O método de penalidades exteriores, pode ser

vizualiaado como

um

mêtodo Dual,

Nesse caso, o peso da função penalidade é um multiplicador de Lagranye para o problema Dual.

A resolução do proBlema Prima1 pelo método de penalidades exteriores corresponde a buscar-se uma solução para

o problema Dual.

Espera-se que a aplicação de um método de pe-

nalidades exteriores, gere uma sequência de soluções convergente

a uma solução do problema Prima1 (P), e além dissc,que a sequên -

tia de valores Õtimos dos sub-problemas desvinculados, convirja

para o valor Õtimo do problema Primal.

A teoria de Dualidade desenvolvida para pro-

blema a ~ h c u l o s Positivos, permite obter-se condições que ga-

rantam a igualdade dos valores Õtimos dos problemas Primal ( P )

e Dual (D), e a partir daí assegurar-se a convergência do méto-

do das penalidades exteriores.

A busca dessas condições e n v o l ~ e ~ , ~ basicamente

propriedades da função perturbação.

Mostra-se que, a menos de condições razoaveis

de viabilidade, que a semi-continuidade inferior dessa função

na origem

6

suficiente para garantir a igualdade dos valores

6-

timos dos problemas Primal (Pj e Dual CD)

,

mesmo na ausência de estabilidade, e mesmo que o problema Dual não tenha solução.

A definição dos problemas Primal (P) e Dual (D), e a interpretação desses problemas em termos de condições

de Ponto de Sela serão vistas no capítulo 11.

R

partir dessa interpretação, apresentaremos

um tesrema que garante a equivalência entre condições de Ponto de Sela, adotadas por Lasdon 1 6 8 1 , e condições de Otimalidade

Neste capítulo, reapresentaremos ainda a teo-

ria geral de Dualidade, sem hipóteses adicionais.

O capítulo I11 aborda o Problema a ~ i n c u l o s Positivos.

Estudaremos estabilidade, as propriedades da

função perturbação associada a esse tipo de problema, e veremos

que a igualdade dos valores Ótimos pode ser obtida 5 partir de hipóteses menos restritivas.

Finalmente estudaremos o ~ é t o d o das Penalida-

des Exteriores e a sua relação com o Problema a ~ i n c u l o s Positi

-

vos.

No Ultimo capitulo são expostas algumas con-

clusões, e no apêndice apresentam-se alguns resultados de Pro-

Para cada inteiro

-

n denotamos por Rn o espaço euclidiano - n dimensional, cujos elementos são n-uplas ordenadas de números reais, que nós consideramos como vetores colunas.

Se x R ~ , então para i=1,2,.

. .

.

,n, x denota a i-ésima componen

i -

Se x, ~ E denotamos o produto escalar por: R ~

A norma de um vetor x E Rn é denotada por:

Se x, y E Rn, então usaremos a notação x < y para indicar que,

para i=1,2,

.

.

. .

,n x. < y

1 i'

~nálogamente, x_L y (x z y ) significa que, para i=1,2,.

. . .

,n O conjunto dos naturais e reais são denotados respectivamente

por R e N.

Acrescentaremos ainda, algumas observações sobre as referências.

Os capítulos são numerados em algarismos romanos; as expressões

e os parágrafos em algarismos arábicos.

Com algarismo arábico entre parênteses indicamos uma referência

a uma expressão ou parágrafo no mesmo capítulo.

Para referenciar expressões em outro capitulo, colocamos a nume

-

ração do capítulo, seguida da numeração da expressão

A s r e f e r ê n c i a s ao apêndice s ã o f e i t a s a t r a v é s da l e t r a A , s e g u i

-

da do número da expressão. Exemplo

-

( v e r A - 2 )

A b i b l i o g r a f i a é a p r e s e n t a d a no fim do t r a b a l h o , em ordem a l f a - b é t i c a por nome do a u t o r . A r e f e r ê n c i a b i b l i o g r á f i c a é a p r e s e n - t a d a e n t r e b a r r a s e i n d i c a a d a t a de p u b l i c a ç ã o do t r a b a l h o . Exemplo : Geof f r i o n

1

7 1

1

.

C A P I T U L O I1 TEORIA GERAL DE DVP;LIDADE

O ob j e t i v o b á s i c o d e s t e c a p i t u l o é a p r e s e n - t a r o s r e s u l t a d o s de Dualidade o b t i d o s p o r G e o f f r i o n

1 ' 1

,

sem h i p ó t e s e s a d i c i o n a i s .

Veremos i n i c i a l m e n t e na s e ç ã o 2 , a d e f i n i ç ã o dos problemas Prima1 ( P ) e Dual ( D ) , e a i n t e r p r e t a ç ã o d e s s e s pro

-

blemas em termos de condições do P o n t o de S e l a e da função Lan - grangeana de ( P )

.

Na s e ç ã o 3 , apresentaremos um c o n j u n t o d e d e f i n i ç õ e s b á s i c a s , n e c e s s á r i a s p a r a d e s e n v o l v e r os r e s u l t a d o s dos demais c a p í t u l o s

.

~ l é m d i s s o , estudaremos a e q u i v a l ê n c i a en - t r e condições de Ponto de S e l a e condições d e O t i m a l i d a d e , e q u i - v a l ê n c i a e s t a que s e r á v a l i o s a na obtenção dos r e s u l t a d o s acima menci onados

.

s e r ã o v i s t o s a i n d a o s c o n c e i t o s de e s t a b i l i - dade e função p e r t u r b a ç ã o que s e r ã o usados e x a u s t i v a m e n t e no de - c o r r e r d e s t e t r a b a l h o .

Finalmente, n a s e ç ã o 4 , a p r e s e n t a r e m o s OS

p r i n c i p a i s r e s u l t a d o s de Dualidade, resumidos nos

t r ê s

teoremas b á s i c o s , Otimalidade

,

Dualidade Fraca e Dualidade F o r t e .

A p r o v a dos teoremas de Otimalidade e Duali - dade F o r t e , bem como a a p r e s e n t a ç ã o d e a l g u n s lemas ~ e l e v a n t e s e s t ã o na s e ç ã o 5 .

çeçã-0

-

2

-

DEFINIÇÃO DE ( P ) E ( D )

DEFINIÇÃO DE PONTO DE SELA E LAGRANGEANA-IN?IERPE@TA@

Nesta s e ç ã o s e r ã o a p r e s e n t a d a s as d e f i n i ç õ e s de ( P ) e ( D ) ; a d e f i n i ç ã o do p o n t o de s e l a e s u a r e l a ç ã o com a s s o l u ç õ e s &timas de ( P ) e ( D ) . A i n t e r p r e t a ç ã o de ( P ) e ( D ) s e r á v i s t a

à

p a r t i r d e s t a d e f i n i ç ã o . 1

-

~ e f i n i ç ã o : d e f i n e - s e o problema p r i m a l da s e g u i n t e maneira : ( P ) Enconkrar s e e x i s t i r , um v e t o r

5

E t . q . onde -

x

= Cx E X

I

g ( x ) L - O), g I i = 1

,

2

,

. . .

,

m s ;o funções de v a l o r r e a l n d e f i n i d a s em X 5 R

.

Frequentemente ( P ) é e n u n c i a d o simplesmente : Existem m u i t a s maneiras d e d e f i n i r o d u a l de um determinado p r i m a l . Como n o s s o t r a b a l h o t e r á p o r b a s e os r e - s u l t a d o s o b t i d o s p o r Geof £ r i on

1

(

p a r a prob lemas convexos, - u saremos a d e f i n i ç ã o a d o t a d a p o r e s t e ,

8 2

-

~ e f i n i ç ã o : O problema d u a l d e ( P ) com r e l a ç ã o a s r e s t r i ç c õ e s onde Max { i n f f ( x ) u > O , U E ~ - X E X i n f f ( x )

+

<u ,g x e x ) > = w ( u ) é a f u n ç ã o ob j e t i vo d e ( D ) m O v e t o r u E R é chamado v e t o r de v a r i á v e i s d u a i s . Vale o b s e r

v a r a q u i que o maximando de (D) é uma função côncava e m u .

3 - ~rcposiqão: w função obrje ti vo de ( D ) é c Ônc ava

.

1 2 Prova: Sejam u - e u E R ~ , u1 - - > 0 , u2

2

- 0 e h E Q 0 , l J . Podemos e s c r e v e r que : M u l t i p l i c a n d o 4 p o r

X ,

5 p o r ( 1 - h ) e somando t e m - s e : 2

+

( i - h ) w(u )

J

x E

x

Tomando a g o r a o í n f i m o e m x E X do l a d o e s q u e r d o da d e s i g u a l d a - d e vem:

O U s e j a : provando 3

1

1 .

Veremos a s e g u i r a d e f i n i ç ã o de p o n t o d e s e - l a e um teorema de o t i m a l i d a d e . n 6

-

~ e f i n i ç ã o : Sejam Ü

2

- O , u E Rm e L = R

x

Rm -r R a f u n ç ã o - - 4 Lagrangeana d e ( P ) L ( x , u ) = f ( x ) + . < u , g ( x ) >

.

O p o n t o ( x , u ) e p o n t o d e s e l a d e L ( 4

,

) s e : Na r e a l i d a d e t o d o o problema d a d u a l i dade - -

c o n s i s t e e m e n c o n t r a r um p a r ( x , u ) que s a t i s f a ç a ao mesmo tempo - ( 7 ) e ( 8 ) . Ou s e j a , e n c o n t r a r ( x , u ) @ a 1 q u e : - - Se ( x , u ) s a t i s f a z ( 9 ) pode-se e s c r e v e r q u e : - - Max L ( X , u ) = L ( x , u ) = Min L ( x , Ü ) XEX - - O r e s u l t a d o ( 1 0 ) é uma c o n s e q u ê n c i a i m e d i a t a d e ( x , u ) s a t i s f a

-

z e r ( 9 )

.

A n a l i s a n d o ( 1 0 ) c o n c l u e - s e q u e ( 9 ) pode ser

e s c r i t a de uma maneira mais compacta, ou a i n d a , e m vez de t e n - t a r - s e r e s o l v e r ( 7 ) e ( 8 ) separadamente ( o que e q u i v a l e a r e s o l - v e r ( 9 ) )

.

Pode-se p e n s a r em r e s o l v e r um dos s e g u i n t e s problemas :

Min Sup L ( x , u ) X E X u>O Max I n f L ( x , u ) ULO - xeX O problema (11) e q u i v a l e a r e s o l v e r ( 9 ) da e s q u e r d a p a r a a d i r e i t a , o u s e j a , e n c o n t r a - s e o Sup L ( x , u ) no m c o n j u n t o d a s u ' s

2

- O , u E R e m s e g u i d a minimiza-se e m x E X. E m ( 1 2 ) o p r o c e d i m e n t o é exatamente o i n v e r - s o , acha-se o í n f i m o e m x E X e e m s e g u i d a maximizamos e m u

2

- O, u E R ~ .

E

_{e v i d e n t e que r e s o l v e r ( 1 2 ) e q u i v a l e a r e s o l v e r o p r g} blema d u a l , ou s e j a : ( D ) Max i n f {-.f ( x )

+

< u , g ( x )

? I

u>O - X E X Analisemos a g o r a o problema (11) Min Sup L ( x , u ) X E X u10 -

Façamos h ( x ) = Sup - ( f ( x )

+

<u,g:,(x) >} u10 -

Sup { f ( x )

+

< u , g ( x ) > ]

6

o b t i d o fazendo-se u = 0 .

u10 -

P a r a x não v i á v e l ( g ( x )

A

O ) , h ( x ) =

+

a. ES - t e r e s u l t a d o é e v i d e n t e p o i s b a s t a f a z e r :

onde K > O pode s e r +ornado t ã o g r a n d e q u a n t o se q u e i r a . Com i s - t o dx não v i á v e l h ( x ) =

+

a. Logo pode-se d i z e r q u e :

o u s e j a , r e s o l v e r (11) e q u i v a l e a r e s o l v e r ( P )

.

Obteve-se a s s i m a p a r t i r das condições d e p o n t o de s e l a os problemas (11) e ( 1 2 ) que s ã o e q u i v a l e n t e s r e s - p e c t i v a m e n t e a ( P ) e ( D )

.

Veremos a s e g u i r que a i n t e r - r e l a ç ã o e n t r e o problema ( 9 ) e os problemas (11) e ( 1 2 ) é t a l q u e s e pode g a r a n -

- - -

t i r que um p a r ( x , u ) é s o l u ç ã o de ( 9 ) , s e e somente s e , x r e s o l - -

ve (P), u r e s o l v e ( D ) e

f ( x )

t= w(Ü). E s t e r e s u l t a d o c a r a c t e r i z a

bem a i n t e r p r e t a ç ã o de ( P ) e ( D ) em termos de condições de pon t o de s e l a .

- -

1 4

-

Teorema: O p a r ( x , u ) é p o n t o de s e l a de L s e e somente s e ,

- -

x r e s o l v e ( p ) , uc.resolve ( D ) e

£(x)

=

~ ( 6 ) .

Prova: (=Y) S e j a

(2,Ü)

s a t i s f a z e n d o ( 7 ) e ( 8 ) . De ( 8 ) temos que:

u E R ~ , ou ainda Fazendo - u = u . ,

+

1 s e g u e q u e : j 7 Variando j de 1 a t é m obtém-se

g(x)

5

O , o u s e j a

Z

é v i á v e l . Como Ü 2 _- O e

g(x)

5 _- O s e g u e q u e : - < u , g ( X ) >

5

o .

Fazendo em ( 1 5 ) u = O r e s u l t a : De p o s s e de ( 1 7 ) e ( 1 8 ) c o n c l u e - s e enbão q u e : D e ( 7 ) temos

f ( x )

+

<uI

g ( x ) >

2

f ( x )

+

< Ü l g ( x ) > J x E X Em v i s t a de ( 1 9 ) s e g u e q u e :

-

P a r a x E X t a l que g ( x )

5

O temos < u , g ( x ) >

5

O . Logo

provando que

Z

r e s o l v e ( P ) .

Mos t r a r e m o s a g o r a que Ü r e s o l v e ( D )

.

Sabe-se

-

-

que w (Ü) = L ( x , u ) p o i s Mas - -

w(Ü)

= i n f L(x,Ü) = L ( x , u ) . ( d e ( 7 ) ) . X E X

Logo w(u) - < w ( Ü )

4

u 1 - 0 , provando q u e Ü r e s o l v e ( D ) . De ( 2 1 ) s e g u e que: w ( Ü ) = f ( X )

+

xü,

g ( X ) >

E m v i s t a de ( 1 9 ) vem: w (Ü) = f

(2)

e n c e r r a n d o a p r i m e i r a p a r t e da p r o v a

.

- (<=) Suponha que

5

r e s o l v e ( P ) , u r e s o l v e ( D ) e f ( x ) = w(Ü). Sabe-se q u e :

Como <u, g

(x)

> O ( J u 1 - 0 )

(x

é v i á v e l p o r h i p ó t e s e )

,

pode-se e s c r e v e r que :

Fazendo em ( 2 3 ) u = Ü r e s u l t a :

-

provando ( 7 ) . Ainda em ( 2 3 ) fazendo x = x tem-se

provando ( 8 )

1

(

.

Obtivemos a s s i m com e s t e s r e s ul t a d o s

,

uma i n - t e r p r e t a ç ã o c l a r a de (P) e (D) em termos d e c o n d i ç õ e s d e p o n t o

- - de s e l a , e um teorema que g a r a n t e a o t i m a l i d a d e do p a r ( x , u ) p a

- r a o s problemas ( P ) e ( D ) , quando ( x , u ) é um p o n t o de s e l a da ~ u n ~ ã o Lagrangeana de ( P ) ( L ( x , u ) = f ( x ) + < u , ' g ( x b ) . Na s e ç ã o s e g u i n t e , s e r ã o v i s t a s algumas de - f iniçÕes e r e s u l t a d o s p r e l i m i n a r e s que s e r v i r ã o d e b a s e p a r a d e s e n v o l v e r a t e o r i a d e d u a l i d a d e n a s e ç ã o 4 . s e r ã o i n t r o d u z i d o s os c o n c e i t o s de Condi - çÕes de Otimalidade e E s t a b i l i d a d e

.

O p r i m e i r o s e r á usado em s u b s t i t u i ç ã o a s condições de p o n t o d e s e l a p o r f a c i l i d a d e de f o r m a l i z a ç ã o e i n - t e r p r e t a ç ã o . O segundo ( e s t a b i l i d a d e ) é fundamental p a r a o s p r i n c i p a i s r e s u l t a d o s de d u a l i dade. A h i p ó t e s e de convexidade não s e r á usada em nenhum momento.

s e ç ã o 3

-

DEFINIÇÕES ( RESULTADOS PRELIMINARES )

Antes de i n i c i a r m o s a d i s c u s s ã o dos r e s u l t a - dos p r e l i m i n a r e s

,

s e r ã o a p r e s e n t a d a s algumas d e f i n i ç õ e s b á s i -

tas

,

n e c e s s á r i a s p a r a uma melhor compreensão dos mesmos.

2 5

-

~ e f i n i ~ ã o : O - v a l o r &imo de ( P ) é o í n f i m o de { f ( x )

I

X E X , g ( x )

5

0 1 .

O v a l o r ótimo de ( D ) é o

Sup {w(u)

/

u > O , - U E

~

~

1

.

O s problemas ( P ) e ( D ) sempre possuem v a l o - r e s Ótimos p o i s convencionamos q u e s u p ( i n f ) de um c o n j u n t o va -

26

-

~ e f i n i ~ ã o : O v e t o r u

6

e s s e n c i a l m e n t e i n v i á k e 1 1 em ( D ) s e w ( u ) =

-

m. Se t o d o u

2

- 0

G

e s s e n c i a l m e n t e i n v i á v e l em ( D )

,

-

e n t ã o ( D ) é d i t o ser e s s e n c i a l m e n t e i n v i á v e l . S e ( D ) não e e s s e n c i a l m e n t e i n v i á v e l

,

e n t ã o (D) é e s s e n c i a l m e n t e v i á v e l . - - 27

-

~ e f i n i ç ã o : O p a r ( x , u ) s a t i s f a z a s condições d e O t i m a l i d a d e ( C . O . ) p a r a ( P ) s e : 7 i ) minimiza f

+

<Ü, g> em X

-

i i ) < u ,

g ( x ) >

= O i i i ) Ü L O i v ) g ( 3

2

0 1s t o p o s t o , passemos a a l g u n s r e s u l t a d o s p r e l i n i i n a r e s

.

A e q u i v a l ê n c i a d i r e t a e n t r e P o n t o de S e l a e condições de O t i m a l i d a d e , é g a r a n t i d a p e l a p r o p o s i ç ã o s e g u i n t e : -

-

2 8

-

~ r o p o s i ç ã o : O p a r ( x , u ) é p o n t o de s e l a d a f u n ç ã o Lagrag geana L de ( P )

,

s e e somente s e ,

(2,Ü)

s a t i s f a z a s condições d e Otimalidade p a r a ( P )

.

- - Prova:

( = > I

S e j a ( x , u ) um p o n t o d e s e l a de L. De ( 7 ) vem: f ( X )

+

<Ü,

g ( X ) > ~

f ( x )

+

<üI

g ( x ) >

J

x E

x

-

ou s e j a , x minimiza f

+

< E I g >

em X ( c o n d i ç ã o i ) . A condição

iii) é v á l i d a p o i s Ü

2

- O p o r h i p ó t e s e . A obtenção das condições

i i ) e i v ) é i d ê n t i c a a s das e x p r e s s õ e s ( 1 6 ) e ( 1 9 ) no Teorema

-

-

(<=) S e j a ( x , u ) s a t i s f a z e n d o a s C.O. p a r a (P)

.

A e x p r e s s ã o ( 7 ) r e s u l t a d i r e t o da condição i )

,

ou s e j a : Como

Z

é v i á v e l

(g(x)

( _- O ) , p a r a t o d o u

L

_- O , u E: vem

<u

I g ( x ) >

I

- O . Pode-se e s c r e v e r e n t ã o que: provando ( 8 )

1

I

.

De agora em d i a n t e , condições de Otimalidade s e r ã o usadas em s u b s t i t u i ç ã o a condições de Ponto de S e l a . A r a - zão p a r a i s t o é que Condições de Otimalidade s ã o f o ~ m a l i z a d a s de uma maneira mais f á c i l de serem usadas e i n t e r p r e t a d a s . E s t a f o r m a l i z a ç ã o p e r m i t e d e s e n v o l v e r uma t e o r i a s o b r e Dualidade de uma maneira b a s t a n t e s i m p l e s e o b j e t i v a . Um r e s u l t a d o i m e d i a t o da p r o p o s i ç ã o ( 2 8 ) é o s e g u i n t e : - - 31

-

c o r o l á r i o : O p a r ( x , u ) s a t i s f a z a s condições de Otimalida- de p a r a ( P )

,

s e e somente s e , x é a s o l u ç ã o de ( P )

,

Ü é s o l u ç ã o de (D) e f ( x ) =

w(Ü).

Prova: A prova

6

i m e d i a t a em v i s t a do Teorema ( 1 4 ) e da e q u i v a l ê n - tia dada p e l a ~ r o p o s i ç ã o ( 2 8 ) .

32

-

~ e f i n i ç ã o : O v e t o r Ü E Rm é um v e t o r m u l t i p l i c a d o r &imo -

-

( v . rn.o.1 p a r a ( P ) , s e o p a r ( x , u ) s a t i s f a z a s condições de Otimalidade p a r a algum r X. Da d e f i n i ç ã o d e v.m.0. e da p r o p o s i ç ã o ( 2 8 ) vê-se que a e x i s t ê n c i a de um v e t o r m u l t i p l i c a d o r ó t i m o , p r e s u - põe a e x i s t ê n c i a de uma s o l u ç ã o Õtima p a r a ( P )

.

~ l é m d o mais

,

-

s e u é um v.m.0. p a r a ( P )

,

e l e s a t i s f a z j u n t o com t o d a s o l u ç ã o Ótima de ( P )

,

a s condições d e Otimalidade como veremos e m

(11-52)

.

N ~ O s e pode a f i r m a r e n t r e t a n t o , que a e x i s - t ê n c i a de uma s o l u ç ã o ótima p a r a ( P ) i m p l i c a na e x i s t ê n c i a de um v e t o r m u l t i p l i c a d o r Õtimo. Mesm n o c a s o convexo, e s t e r e - s u l t a d s e x i g e condições a d i c i o n a i s . Algumas d e s s a s condições enl - voAvem a função p e r t u r b a ç ã o de ( P ) que passaremos a e s t u d a r .

3 3

-

~ e f i n i ç ã o : A função p e r t u r b a ç ã o d e ( P )

,

é a função v: Rm + R dada p o r : y E Rm é chamado v e t o r p e r t u r b a ç ã o . O c o n j u n t o das p e r t u r b a ç õ e s v i á v e i s de ( P ) Y = { y E

I

g ( x ) 5 - y p a r a algum

x

E x}. S e j a y E Y e consideremos o problema ( P ) Min f ( x ) s . a . g ( x )

2

y X E X

O problema ( P é o problema ( P ) p e r t u r b a d o Y p o r y . A ú n i c a d i f e r e n ç a e n t r e e l e s , e s t á no c o n j u n t o d e pon - t o s v i á v e i s que no c a s o de ( P ) é Y Se f é l i m i t a d a i n f e r i o r m e n t e ( P ) é l i m i t a Y

-

do p a r a q u a l q u e r p e r t u r b a ç ã o y E Y . Em v i s t a d a D e f i n i ç ã o ( 3 3 ) o v a l o r de v em _y é o v a l o r do problema ( P )

.

A menos do c a s o t r i v i a l ( X =

($1)

,

Y Y é não v a z i o , e como f é l i m i t a d a i n f e r i o r m e n t e , o í n f i m o e x i s - t e . Observe-se também que s e y = O

ou s e j a v ( o ) é exatamente o v a l o r ótimo do p r i m a l . 3 4

-

D e f i n i ç ã o : S e j a Z c _{R". A função h : Z} -+ R é c r e s c e - n t e s e h é _--. d e c r e s c e n t e s e -h _{-. -}

-

é c r e s c e n t e . 1 3 5

-

~ e m a : s e y l , y 2 E Y e y _{- y} e n t ã o Prova: Temos

19

2

S e j a E X (y )

,

e n t ã o pode-se e s c r e v e r q u e :

p r i m e i r a p a r t e do lema. Sabe-se a i n d a q u e :

2 1

Como X(y ) c X(y ) , a d e s i g u a l d a d e v a l e e m p a r t i c u l a r

2

Tomando o í n f i m o de f ( - ) em X(y ) vem

ou s e j a a p a r a e n c e r r a n d o a p r o v a

I

I .

No s e n t i d o d o Lema 35 dizemos q u e a f u n ç a o p e r t u r b a ç ã o é d e c r e s c e n t e . E m g e r a l a função p e r t u r b a ç ã o v n ã o é d i f e - r e n c i ã v e l e m t o d o s os p o n t o s do s e u domínio. Um c o n c e i t o i m - p o r t a n t e que a m p l i a a i d é i a de d i f e r e n c i a b i l i d a d e será v i s t o a s e g u i r . m 36

-

~ e f i n i ç ã o : S e j a U c R um c o n j u n t o q u a l q u e r e t : U -t R m uma f u n ç ã o q u a l q u e r . Um v e t o r y E R é um s u b g r a d i e n t e d e t e m ; E U s e : t ( u ) - >

t ( ü )

+

<y, ( u - ü ) ,

( J

u E U )

Exemplo: _-

A e x i s t ê n c i a de um s u b g r a d i e n t e g a r a n t e que o g r á f i c o da função e s t á t o d o acima d a forma l i n e a r d e f i n i d a p o r e s t e s u b g r a d i e n t e . 37

-

~ e f i n i ç ã o : S e j a U E um c o n j u n t o q u a l q u e r e t : U -+ R uma função q u a l q u e r . O c o n j u n t o de s u b g r a d i e n t e s

-

de t em Ü E U é Dizemos que t : U -t R é

-

s u b d i f e r e n c i á v e l e m - 4

u E U s e 6 t ( ü ) é não v a z i o . Evidentemente nem t o d a função e s u b d i f e r e n c i á v e l

.

unções

e s t E i tamente côncavas p o r exemplo

,

não admitem s u b g r a d i e n t e s em nenhum p o n t o do i n t e r i o r do s e u d o d n i o . E m p a r t i n u l a r , s u b g r a d i e n t e s d a função p e r t u r b a ç ã o n a origem s ã o i m p o r t a n t e s n e s s e t r a b a l h o , p o i s como veremos mais

a d i a n t e , e s t e s s u b g r a d i e n t e s s ã o s i m é t r i c o s dos v e t o r e s m u l t i - p l i c a d o r e s Ótimos p a r a ( P ) , s e ( P ) tem s o l u ç ã o . A s s i m , s e ( P ) tem s o l u ç ã o Ótima, condições que garantem que v é s u b d i f e r e n c k á

-

v e l na origem, implicam d i r e t a m e n t e na e x i s t ê n c i a de um v.m.0. p a r a ( P ) . E m v i s t a da i m p o r t â n c i a acima mencionada,

,

s e r ã o v i s t a s a g o r a algumas p r o p r i e d a d e s dos s u b g r a d i e n t e s de v. 38

-

~ r o ~ o s i ~ ã o : _{S u b g r a d i e n t e s da função p e r t u r b a ç ã o s ã o nega}

_-

t i v o s . Prova: S e j a y E um s u b g r a d i e n t e de v em

y

E Y . ~ n t ã o y = y + e J r e s u l t a

Como v é d e c r e s c e n t e segue que :

fazendo j v a r i a r de 1 a t é

m

obtemos <

o

Y

= provando ( 3 8 )

(

I .

O r e s u l t a d o s e g u i n t e a p r e s e n t a a r e l a ç ã o e n

-

t r e a e x i s t ê n c i a de s u b g r a d i e n t e s de v e a v i a b i l i d a d e do p r g blema d u a l . 39

-

~ r o p o s i ç ã o : Se v admite um s u b g r a d i e n t e em algum

y

E Y

,

e n t ã o (D) é e s s e n c i a l m e n t e v i á v e l .

2 2 Prova: S e j a y E um s u b g r a d i e n t e de v em algum

y

E Y , e n t ã o £a zen do Mas ou a i n d a Tomando o í n f i m o em X do l a d o esquerdo d a d e s i gdaldade vem: ou s e j a w ( - y ) - > v ( ? )

-

< y , y > provando ( 3 9 )

1 1 .

E s t a p r o p o s i ç ã o s e r á usada largamente no c a - p i t u l o s e g u i n t e , como h i p ó t e s e p a r a obtenção de uma s é r i e d e r e s u l t a d o s i m p o r t a n t e s . E l a é v á l i d a no s e n t i d o c o n t r á r i o sem convexidade

,

e s t e r e s u l t a d o porém, não s e r á a q u i demonstrado

.

Daremos a g o r a duas d e f i n i ç õ e s do q u e s e r á chamado de e s t a b i l i d a d e do problema p r i m a l . A p r i m e i r a d e l a s ( e s t a b i l i d a d e g l o b a l ou simplesmente e s t a b i l i d a d e ) é mais r e s - t r i t i v a e g a r a n t e uma s é r i e de r e s u l t a d o s i m p o r t a n t e s . A segun - d a , que

6

a d e f i n i ç ã o de e s t a b i l i d a d e a d o t a d a p o r Ceoffrion 1 7 1

1

é

menos r e s t r i t i v a e p r e c i s a da h i p ó t e s e de convexidade p a r a gg r a n t i r r e s u l t a d o s mais f o r t e s

.

40

-

-

~ e f i n i ç ã o : Suponha v ( 0 ) f i n i t o . O problema ( P ) é e s t á v e l s e a função p e r t u r b a ç ã o v , a e l e a s s o c i a d a , admite um s u b g r a - d i e n t e e m y = 0

.

4 1

-

--

~ e f i n i ç ã o : O problema ( P ) é e s t á v e l segundo G e o f f r i o n s e v ( 0 ) é f i n i t o , , e e x i s t e um e s c a l a r M > O t a l q u e : O r e s u l t a d o a b a i x o r e l a c i o n a a s duas d e f i - n i ç õ e s . 42

-

Teorema: Se ( P ) é e s t á v e l , e n t ã o ( P )

é

e s t á v e l segundo G e o f f r i o n . Prova: S e j a y E um s u b g r a d i e n t e de v em y = O . ~ n t ã o , Em p a r t i c u l a r ( 4 3 ) é v á l i d a p a r a y

#

O . Lo - go p o d e r s e e s c r e v e r que : Como p e l a d e s i g u a l d a d e de Cauchy-Schwartz <-yry>

L

-

II

y l l

I l

Y

ll

e n t ã o

---

-

V ( Y ) <

11

y

11

_y

_#

_o

c o n c l u i n d o a

II

Y

II

p r o v a

I I .

A s s i m , s e v admite um s u b g r a d i e n t e n a o r i - gem, v e r i f i c a - s e p e l o teorema ( 4 2 ) , que e s t a não pode d e c r e s c e r

i n f i n i t a m e n t e r á p i d o em nenhuma d i r e ç ã o de p=turba@o, ou s e j a , e x i s t e u m e s c a l r M > O t a l q u e a e x p r e s s ã o d a Def. ( 4 1 ) é v e r d a - d e i r a q u a l q u e r que s e j a a p e r t u r b a ç ã o c o n s i d e r a d a .

A i m p l i c a ç ã o d e s t e teorema no s e n t i d o con - t r á r i o , não é v e r d a d e i r a em g e r a l , como podemos v e r no s e g u i n - t e exemplo g r á f i c o :

Neste exemplo ( P ) é e s t á v e l segundo Gzoffrim, porém a função p e r t u r b a ç ã o a e l e a s s o c i a d a não admite s u b g r a d i

-

e n t e em y = 0 .

~ l é m

d e s s a s duas d e f i n i ç õ e s d e e s t a b i l i d a d e , e x i s t e o c o n c e i t o de " l o c a l m e n t e e s t á v e l "

.

4 5

-

~ e f i n i * : ( P ) é . l o c a l m e n t e e s t á v e l s e v ( 0 ) é f i n i t o e 3 6 > O e M > O ( 6 , M E R ) t a i s q u e : Na f i g u r a s e g u i n t e s ã o a p r e s e n t a d a s a s r e l a - çÕes e x i s t e n t e s e n t r e os

t r ê s

c o n c e i t o s de e s t a b i l i d a d e , e a s h i p ó t e s e s n e c e s s á r i a s p a r a q u e s e j a m v á l i d a s a s i m p l i c a ç õ e s - a

p r e s e n t a d a s

.

A i m p l i c a ç ã o de ( A ) -t ( B ) é j u s t i f i c a d a p e l o

teorema ( 4 2 ) . De ( B ) -t ( C ) é uma d e c o r r ê n c i a i m e d i a t a d a s d e f i n i -

çÕes. A i m p l i c a ç ã o de ( C ) -t ( B ) e de ( B ) -t ( A ) com a h i p ó t e s e de

6anvexiidade de v, é jcstificada pelos lemas 1, 2

.e

3 do ~ p ê n d i c e A. Como vemos, o c o n c e i t o de e s t a b i l i d a d e g l g b a l ou simplesmente e s t a b i l i d a d e é o mais r e s t r i t i v o . E l e &mplg

ca d i r e t a m e n t e em e s t a b i l i d a d e segundo G e o f f r i o n e e s t a b i l i d a d e l o c a l . B a s t a a convexidade de v p a r a que a s i m p l i c a ç õ e s segam v á l i d a s no s e n t i d o c o n t r á r i o .

Mais a d i a n t e veremos como e s t a b i l i d a d e

é

um c o n c e i t o r e l e v a n t e p a r a os p r i n c i p a i s r e s u l t a d o s de d u a l i d a d e .

Voltamos a d i s c u t i r e s s e q u a d r o no c a p í t u l o

Na próxima s e ç ã o s e r ã o d i s c u t i d o s o s p r i n c i - p a i s r e s u l t a d o s d e d u a l i d a d e

.

DUALIDADE -

Antes de passarmos a d i s c u ~ k ã o dos d o i s t e o - remas b á s i c o s de d u a l i d a d e

,

apresentaremos um teorema d e otima - l i d a d e que f o r n e c e a b a s e n e c e s s á r i a p a r a c a r a c k e r i z a r e i n t e r

-

p r e t a r o s v e t o r e s m u l t i p l i c a d o r e s Ótimos

.

Dos teoremas a p r e s e n - t a d o s n e s t a s e ç ã o , veremos somente a p r o v a do teorema d e Duali - dade F r a c a . A s p r o v a s dos demais teoremas s e r ã o v i s t a s na p r 4 xima s e ç ã o .

59:

-

---

Teorema ( o t i m a # i d a d e ) : Suponha que ( P ) tem uma s o l u ç ã o Ótima. ~ n t ã o , e x i s t e um v e t o r m u l t i p l i c a d o r Ótimo, s e e somen- t e s e ( P ) é e s t á v e l ; e u é um v e t o r m u l t i p l i c a d o r Ótimo p a r a ( P ) s e e somente s e - u

é

s u b g r a d i e n t e de v e m y = 0 . O p r i m e i r o r e s u l t a d o d e s t e teorema, a p r e s e n

-

t a e s t a b i l i d a d e como uma c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a e s u f i c i e n t e p a r a m a e x i s t ê n c i a de um v e t o r u E R t a l que o p a r ( x , u ) s a t i s f a z

a s condições de Otimalidade p a r a ( P ) com algum x E X. Q u a l

-

q u e r condição de q u a l i f i c a ç ã o de v í n c u l o s i m p l i c a uma e s t a b i l i

-

dade e consequentemente na e x i s t ê n c i a de um v.m. o. como obser- vou G e o f f r i o n

1 7 ' 1 .

A c o n d i ç ã o de q u a l i d i c a ç ã o de S l a t e r p o r _{- e} xemplo, supõe a e x i s t ê n c i a de algum

2

E X t a l que

g(x)

< O . E s -

t e r e s u l t a d o é s u f i c i e n t e p a r a g a r a n t i r que ( P ) é e s t á v e l no c a s o convexo.

Se ( P ) não f o i convexo, condições d e q u a l i - f i c a ç ã o de v h c u l o s s ã o d i f i c e i s de serem e n c o n t r a d a s e em a 1 - guns c a s o s i m p o s s í v e l . porém, s e f f o r s u f i c i e n t e m e n t e bem com - p o r t a d a , o problema p o d e r á s e r e s t á v e l independentemente do

compoxtamento dos v í n c u l o s ( p o r exemplo, 5 a o n s t a n t e )

.

Caso ( P ) t e n h a s o l u ç ã o , condições que g a r a n - tam e s t a b i l i d a d e s ã o r e l e v a n t e s p o i s implicam p e l o teorema (501 n a e x i s t ê n c i a de um v e t o r m u l t i p l i c a d o r ó t i m o p a r a ( P )

,

e con sequentemente em condições de Otimali dade.

A segunda p a r t e do teorema, nos p e r m i t e i n - t e r p r e t a r e c a r a c t e r i z a r um v e t o r m u l t i p l i c a d o r ótimo.

Suponhamos que Ü é um v.m.0. p a r a (P)

,

e que o problema f o i p e r t u r b a d o com uma ~ e r t u r b a ~ ã o 8y onde 6>0 e y E ( 0 E R)

.

~ n t ã o o problema p e r t u r b a d o p o r 6y s e r á : fin: f ( x ) s u j e i t o a g ( x ) BY X E X Como Ü é um v.m.0. p a r a ( P ) , p e l o teorema (501, temos que: V ( B Y )

2

V ( O )

-

e<Ü,y>, J

e

1 - 0 , - 4 ou s e j a , -u é s u b g r a d i e n t e de v em y = O . porém como v ( 0 y ) e o v a l o r Ótimo do problema p e r t u r b a d o c o n c l u e - s e que

f o r n e c e um l i m i t e i n f e r i o r p a r a e s t e v a l o r . ~ l é m do m a i s , t o

-

+

mando o l i m i t e quando 0 -t O

,

obtém-se a d e r i v a d a d i r e c i o n a l de

v na d i r e ç ã o y

,

o u s e j a :

Se y é um v e t o r u n i t á r i o onde t o d a s as com - ponentes s ã o n u l a s , e x c e t o a componente j temos que:

d + v ( e y ) - 1 -

-

u j , ou s e j a de - - u j é _{o l i m i t a n t e i n f e r i o r da t a x a marginal de v a r i a ç ã o do va -}

l o r ótimo de ( P ) , quando h á um acréscimo na j-ésima r e s t r i ç ã o . A s s i m , o c o n j u n t o de s u b g r a d i e n t e s da função p e r t u r b a ç ã o na origem, pode s e r c a r a c t e r i z a d o em termos do c o n j u n t o de w.m.0.

p a r a ( P )

.

Passemos agora a d i s c u s s ã o dos teoremas de d u a l i d a d e . 51

- --

Teorema: Dualidade

--

Fraca. S e j a

&

v i á v e l em (P) e Ü v i á v e l em (D). ~ n t g o o v a l o r da função o b j & t i v b de ( D ) c a l c u l a d a em -

u é menor ou i g u a l a o v a l o r da função ob j e t i v o de (P) c a l c u l a -

A demonstração do teorema

é

i m e d i a t a . senão vejamos: S e j a v i á v e l em ( P ) e Ü v i á v e l em ( D )

.

Sabe-se que :

r e s u l t a : completando a prova. Um r e s u l t a d o i m e d i a t o d e s t e teorema é _que q u a l q u e r s o l u ç ã o v i á v e l de ( D )

,

f o r n e ç e um l i m i t a n t e i n f e r i o r p a r a o v a l o r Ótimo de ( P ) , e q u a l q u e r s o l u ç ã o v i á v e l de ( P )

,

f o r n e c e um l i m i t a n t e s u p e r i o r p a r a o v a l o r Ótimo de ( D ) . No c a - s o de a l g o r i t m o s impiementaGeis p.ara a r e s o l u ç ã o de ( P ) ou ( D )

,

e s t e r e s u l t a d o é b a s t a n t e Ú t i l p o i s pode f u n c i o n a r como um c r i -

t é r i o d e p a r a d a p a r a o a l g o r ~ t m o : s e em alguma i t e r a ç ã o o s va- l o r e s d a s funções o b j e t i v o de (P) e ( D ) forem i g u a i s , então. a s s o l u ç õ e s s e r ã o Ótimas p a r a ( P ) e ( D )

.

Ou s e j a , a i g u a l d a d e dos v a l o r e s Ótimos de ( P ) e ( D ) i m p l i c a ( p e l o c o r o l á r i o (31)) d i r e t a - mente em o t i m a l i d a d e . Em g e r a l , a i g u a l d a d e dos v a l o r e s Ótimos n ã o o c o r r e , dando origem ao "gap" d e d u a l i d a d e , ou s e j a , a d i

-

f e r e n ç a e n t r e o s v a l o r e s Ótimos de (P) e ( D )

.

~ o n d i ç c õ e s q u e garantam a i g u a l d a d e dos v a l o - r e s Ótimos e consequentemente a não e x i s t ê n c i a do gap s e r ã o v i s t a s no teorema s e g u i n t e , 5 2

-

Teorema:

-

Dualidade F o r t e .

_-

Se (P) é e s t á v e l , e n t ã o : a ) (D) tem s o l u ç ã o ótima; b ) O s v a l o r e s Õtimos de ( P ) e ( D ) s ã o i g u a i s ;

-

c ) Ü é uma s o l u ç ã o Ótima d e ( D ) s e e somente s e -u

6

s u b g r a d i - e n t e d e v e m y = O;,

d ) Toda s o l u ç ã o Ótima Ü d e ( D ) c a r a c t e r i l z a o c o n j u n t o de t o d a s a s s o l u ç õ e s Ótimas de ( P ) , como as q u e minimizam f

+

< Ü f g > em X ; q u e s a t i s f a z e m a condição d e v i a b i l i d a d e g

(X)

5 - 0 e

a c o n d i ç ã o d e complementaridade

< Ü t g ( x )

> = 0 .

Buscar soluçÕes p a r a problemas e s t á v e i s a - t r a v é s do s e u d u a l é plenamente j u s t i f i c a d o p e l o s r e s u l t a d o s a ) e d ) d e s t e teorema.

Se Ü uma s o l u ç ã o Õtima do d u a l , o r e s u l t a d o d ) g a r a n t e que oc,conjunto d e t o d a s a s s o l u ç õ e s de ( P ) pode s e r determinado.

Na r e a l i d a d e o r e s u l t a d o d ) pode s e r f o r m u l a do e m termos de c o n d i ç õ e s d e O t i m a l i d a d e p a r a ( P ) .

s e Ç ã o 5

-

DEMONSTRAÇÃO DOS TEOREMAS DE OTIMALIDADE E DUALIDADE FORTE

0s lemas q u e apresentamos a s e g u i r , s e r v i r ã o d e b a s e p a r a demonstração dos teoremas ( 5 0 ) e ( 5 2 )

.

-

5 3

-

Lema: -- Suponhamos v ( 0 ) f i n i t o . ~ n t ã o , u é uma s o l u ç ã o Õtima d e ( D ) e os v a l o r e s Õtimos d e ( P ) e ( D ) s 6 o i g u a i s , se e somen- - t e se -u é s u b g r a d i e n t e d e v e m y = 0 . Prova:

( < = I

-- - Se v ( 0 ) é f i n i t o e -u é um s u b g r a d i e n t e d e v e m y = 0 , e n t ã o p e

-

l a p r o p o s i ç ã o ( 3 8 ) E > -

_-

0 . Segue a i n d a q u e :

Fazendo y = g ( x ) onde x E

x

vem:

Como f ( x )

2

v ( g ( x ) ) ( J x E X) d e ( 5 4 ) vem:

Ou a i n d a : 55

Tomando a g o r a o í n f i m o em X do l a d o e s q u e r d o d a d e s i g u a l d a d e vem : - A w(u)= i n f { f ( x )

+

< Ü , g ( x ) > I - > v(O) X E X P e l o Teorema 5 1 (Dualidade F r a c a ) c o n c l u e - s e que Ü é uma s o l u ç ã o Õtima d e ( D ) e os v a l o r e s Ótimos de ( P ) e

( D ) s ã o i g u a i s .

(=>I

S e j a Ü uma s o l u ç ã o Õtima d e ( D ) e suponhamos q u e o v a l o a Ótimo de ( D )

,

i g u a l a o v a l o r Ótimo de ( P )

.

~n t ã o : Se y E Y, x E X e g ( x ) - < y e n t ã o : - Logo pode-se e s c r e v e r q u e : O u a i n d a : Tomando o í n f i m o em X do l a d o e s q u e r d o da d e s i g u a l d a d e p a r a cada y E Y vem:

Ou s e j a : Mas s e y gI Y v ( y ) =

+

- Logo v ( y ) - > v ( 0 )

-

< u , y > J y E R ~ , provando - que -u é um s u b g r a d i e n t e de v em y = O

1 1 .

O r e s u l t a d o s e g u i n t e f o r n e c e a r e l a ç ã o e n t r e v e t o r e s m u l t i p l i c a o d r e s Ótimos p a r a (P) e o c o n j u n t o de s u b g r a - d i entes de v e m y = 0 .

5 9

-

Lena; Se ( P ) tem uma s o l u ç ã o ótima, e n t ã o , u é um v. m. o . p a r a ( P ) s e e somente s e -u é um s u b g r a d i e n t e de v em y = 01.

Prova: (=>) S e j a Ü um v.

m.

o. p a r a ( P )

.

~ n t ã o o p a r

(:,C)

s a t i s f a z a s condições de Otimalidade p a r a algum

2

E X . _{P e l o Co -}

-

r o l á r i o (311,

5

é s o l u ç ã o Ótima de ( P ) , u é s o l u ç ã o Õtima de ( D ) -

e

.f(x)

= w ( Ü ) . Usando a g o r a o lema ( 5 3 ) conclue-se que -u é sub -

g r a d i e n t e de v em y = 0 .

-

(<-) S e j a

2

uma s o l u ç ã o Ótima de ( P ) e -u um s u b g r a d i e n t e d e v em y = O . Como ( P ) tem s o l u ç ã o ótima v ( 0 ) é f i n i t o ; l o g o p e l o

-

lem ( 5 3 ) , u é uma s o l u ç ã o Ótirna de ( D ) e

f ( 2 )

= w ( Ü ) . Usando ago

-

-

-

r a o c o l o r ã r i o (31) conclue-se que o p a r ( x , u ) s a t i s f a z a s Condi - -

Na demonstração d e s t e lema, f i c o u e v i d e n c i a - da a i m p o r t â n c i a da r e l a ç ã o e n t r e Ponto de S e l a e condições d e Otimalidade dada p e l a p r o p o s i ç ã o ( 2 8 )

.

E l a s e r v e de l i g a ç ã o e n - t r e os r e s u l t a d o s a p r e s e n t a d o s e m termos de P o n t o de S e l a ( T e 2 rema-14) e o c o l o r ã r i o (31) qm. ! t r a b a l h a com condições d e Otima- 1 i d a d e .

O próximo lema a p r e s e n k a mais um r e s U l t a d o de condições de Otimalidade p a r a ( P )

.

6 0

-

Lema: Suponha que v é f i n i t a em y = O , e q u e y é um sub - g r a d i e n t e n e s t e p o n t o . ~ n t ã o é uma s o l u ç ã o Ótima de ( P ) s e e somente s e ( x , - y ) s a t i s f a z a s ~ 0 n d i ç Õ e s de Otimalidade p a r a (P)

.

Prova: (==>) -- Suponhamos q u e : v ( 0 ) é f i n i t o ,

Y

é um s u b g r a d i e n t e de v em y=O -

e x é uma s o l u ç ã o Ótima p a r a ( P ) : P e l o lema (53) tem-se que -y

é uma s o l u ç ã o Ótima para ( D ) e

£(x)

= w ( - y ) .

través

do c o l o r ã - r i o ( 3 l ) c o n c l u e - s e e n t ã o que o p a r (?,-y) s a t i s f a z as condições d e Otimalidade p a r a ( P )

.

( c = ) A p r o v a n e s t e s e n t i d o é i m e d i a t a em v i s t a do c o l o r ã r i o

Uma r e l a ç ã o d i r e t a e n t r e e s t a b i l i d a d e e exis

-

t ê n c i a de s o l u ç ã o Ótima p a r a ( D )

,

s e r á o tema d o próximo lema.

6 1

-

Lema: Suponha o v a l o r ótimo do prima1 i g u a l a o v a l o r Ó t i - mo do d u a l . ~ n t ã o ( P ) é e s t á v e l , s e e somente s e ( D ) tem s o l u -

-

Prova: Se o v a l o r ótimo d o p r i m a l não é f i n i t o , e n t ã o ( P ) não ---

e

é e s t á v e l e ( D ) não tem s o l u ç ã o . Se o v a l o r ótimo do p r i m a l e -

f i n i t o p o r h i p ó t e s e e p e l o lema ( 5 3 ) , u r e s o l v e ( D ) s e e somen - -

t e s e -u é s u b g r a d i e n t e de v em y = O c o n c l u i n d o a prova

I , [

Analisando o s r e s u l t a d o s dos lemas a p r e s a n - t a d o s , pode-se c o n c l u i r q u e o s v e t o r e s m u l t i p l i c a d o r e s Ótimos p a r a ( P ) , s ã o exatamente o s i m é t r i c o dos s u b g r a d i e n t e s d e v na origem.

A e x i s t ê n c i a d e uma s o l u ç ã o Ótima p a r a (D) que g a r a n t a a i g u a l d a d e dos v a l o r e s Ótimos d e ( P ) e ( D )

,

e s t á intimamente l i g a d a a e s t a b i l i d a d e , e p o r t a n t o a e x i s t ê n c i a de s u b g r a d i e n t e s da função p e r t u r b a ç ã o v na origem.

A s s i m , s e os v a l o r e s Ótimos de ( P ) e ( D ) -

s ã o i g u a i s , u s e r á uma s o l u ç ã o ótima p a r a ( D ) s e -u f o r um sub - gradi'.ente..de v em g = O . Se ( P ) t e m uma s o l u ç ã o Ótima e é e s t á - v e l , e n t ã o : e x i s t e u m v e t o r m u l t i p l i c a d o r Ótimo, o problema d u a l tem s o l u ç ã o e condições d e Otimalidade s ã o o b t i d a s . Vale s a l i e n t a r a i n d a q u e , a e x i s t ê n c i a d e uma s o l u ç ã o Ótima p a r a

( D ) é apenas uma c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a p a r a que c o n d i ç õ e s d e O t i

-

maliadde s e j a m o b t i d a s .

A s s i m ( D ) pode t e r uma s o l u ç ã o Ótima, e Con - d i ç õ e s de O t i m a l i d a d e s ã o serem v e r i f i c a d a s

,

o que pode ocor - r e r caso ( P ) não t e n h a s o l u ç ã o ou o s v a l o r e s Ótimos não coincil

-

dam.

O s exemplos q u e s e seguem, i l u s t r a m o segun - do c a s o :

Exemplo 1: Sejam f e

-

como a b a i x o :

A função p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a a o problema acima será:

@)i T E M . Ç o t u ç i i o

(O) T E Y S O L U $ 6 0

( S = o l

Exemplo 2 :

Neste c a s o o g r á f i c o da função p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a ao p a o b l e

-

ma s e r á :

1s t o p o s t o , passemos a demonstração dos t e o - remas (50) e ( 5 2 )

.

Prova do Teorema 50: O t i m a l i d a d e .

--

A prova é i m e d i a t a em v i s t a do lema (59) e da r e l a ç ã o e n t r e e s t a - b i l i d a d e e e x i s t ê n c i a de s u b g r a d i k n t e de v na okigem ( I k f i n i - ç ã o ( 4 0 )

1

.

Prova do Teorema 5 2 : Dualidade F o r t e . -

Suponha q u e ( P ) é e s t á v e l . ~ n t ã o os r e s u l t a d o s a )

,

b ) e c ) f L cam demonstrados p e l o lema ( 5 3 )

.

A parte d ) f i c a demonstrada p e 10 lema (6 0) e p e l o r e s u l t a d o c )

.

O e s t u d o q u e fizemos n e s s e c a p í t u l o per- t i u a p r e s e n t a r , s e g u i n d o a l i n h a de Geof f r i o n , , os r e s u l t a d o s da

T e o r i a Geral de Dualidade sem h i p ó t e s e s a d i c i o n a i s .

A i n t e r p r e t a ç ã o dos problemas p r i m a 1 ( P ) e d u a l ( D ) f o i d e s e n v o l v i d a com b a s e nas Condições d e Ponto de S e l a e l a b o r a d a s p o r Lasdon

1

1

.

Vimos q u e , a e x i s t ê n c i a de s o l u ç ã o Ótima pa -

.C

r a os problemas ( P ) e ( D )

,

e a i g u a l d a d e dos v a l o r e s otjrmos d e s s e s problemas, e s t á d i r e t a m e n t e l i g a d a a o c o n c e i t o d e e s t a - b i l i d a d e . E s t e c o n c e i t o , d e s e n v o l v i d o com b a s e na função p e r

de Dualidade, como f o i v i s t o nas s e ç õ e s 3 e 4 , a t r a v é s dos t e o

-

remas de Otimalidade (11-50) e Dualidade F o r t e ( 1 1 - 5 2 ) .

Devido a i s s o , b u s c a r condições que garan - t a m e s t a b i l i d a d e , t o r n a - s e assim um p o n t o fundamental p a r a os p r i n c i p a i s r e s u l t a d o s d e s t e c a p i t u l o .

No próximo c a p í t u l o , t r a b a l h a r e m o s com um problema p a r t i c u l a r (com v í n c u l o s p o s i t i v o s ( g ( x )

2

- 0

d x

E X ) ) buscando e n c o n t r a r condições que garantam o t i m a l i d a d e d e ( P ) e (D)

,

a p a r t i r de h i p ó t e s e s mais f r a c a s . A h i p ó t e s e de q u e a função p e r t u r b a ç ã o v é s e m i - c o n t í n u a i n f e r i o r m e n t e na origem

,

s e r á usada largamente na obtenção dos r e s u l d a d o s d e o t i m a l i d a

-

de.

C A P I T U L O I11

D U A L I D A D E EM PROBLEMAS A V ~ N C U L O S P O S I T I V O S E O N ~ T O D O D E PENALIDADES

Procuraremos n e s t e c a p í t u l o

,

d e s e n v o l v e r e aprofundar a t e o r i a d e d u a l i d a d e a p r e s e n t a d a no c a p í t u l o a n t e r i o r , p a r a uma c l a s s e p a r t i c u l a r d e problemas (Problemas a v í n - c u l o s p o s i t i v o s

-

P . V . P . )

.

Veremos na s e ç ã o 2 que e s t a b i l i d a d e em Pro

-

blemas a Vínculos P o s i t i v o s , pode s e r g a r a n t i d a à p a r t i r d e r e - s u l t a d o s menos r e s t r i t i v o s e estudaremos a s p r o p r i e d a d e s da

função p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a a e s t a c l a s s e de problemas.

A busca d e condições que garantam a o t i m a l i - dade dos problemas ( P ) e ( D ) s e r á o escopo d a s e ç ã o 3 .

Mais uma vez e s t a s condições envolvem a fun - ção p e r t u r b a ç ã o ( v ) d e ( P )

,

e a h i p ó t e s e de que v 6 semi-contí - nua i n f e r i o r m e n t e na origem, é b á s i c a p a r a a m a i o r i a dos r e s u l - t a d o s d e o t i m a l i d a d e .

Veremos na s e ç ã o 4 a r e l a ç ã o e n t r e Proble - mas

5

~ í n c u l o s P o s i t i v o s e o método das Penalidades E x t e r i o r e s . Estudaremos d o i s métodos usuai s d e p e n a l i d a d e s e x t e r i o r e s

(Zangwi l l / ~ o l a c k )

,

e apresehtaremos um método d e s e n v o l v i d o

5

p a r t i r d o Problema à v í n c u l o s P o s i t i v o s ( e q u i v a l e n t e ao p r o b l e - ma o r i g i n a l (11-1) )

.

E m v i s t a d a e q u i v a l ê n c i a e n t r e P . V . P . e o método das Penalidades E x t e r i o r e s a p r e s e n t a d o , a Otimalidade de ( P ) e ( D ) será o b t i d a à p a r t i r d e u m teorema que g a r a n t e a

c o n v e r g ê n c i a do método a p r e s e n t a d o . Usaremos r e s u l t a d o s d a t e o - r i a d e Dualidade p a r a m o s t r a r que o método converge.

..

Nesta s e ç ã o i n t r o d u z i r e m o s o s Problemas a V í c u l o s P o s i % i v o s , e veremos como um problema g e r a l ( P ) (11-l), pode s e r t r a n s f o r m a d o e m um Problema

5

Vínculos P o s i t i v o s e q u i

-

v a l e n t e .

Estudaremos em s e g u i d a e s t a b i l i d a d e em P r o - blemas

5

v í n c u l o s P o s i t i v o s , e veremos como e l a pode s e r g a r a h -

t i d a à p a r t i r de h i p ó t e s e s menos r e s t r i t i v a s .

Por s e r fundamental p a r a a m a i o r i a dos re - s u l t a d o s de o t i m a l i d a d e (Seção 3 ) , abordaremos também a s p r g p ~ i e d a d e s da função p e r t u r b a ç ã o , a s s o c i a d a a um Problema

5

Vín - c u l o s P o s i t i v o s

.

a 1 - D e f i n i ç ã o : - ( E ) e um problema ã v í n c u l o s p o s i t i v o s se g ( x ) -

L

0

4

x E X . I s t o p o s t o , tem-se que o c o n j u n t o d e p e r - t u r b a ç õ e s v i á v e i s ( Y )

,

p a r a um P . V . P .

,

s e r á e n t ã o t o d o o r t a n - - t e p o s i t i v o ( R m f )

.

senão vejamos : m Por d e f i n i ç ã o Y = {y E R I g ( x ) - < y , p a r a algum x E

x).

- - S e j a y E Rm t a l que y j < O p a r a algum j ( y - - )( 0 ) . Como g ( x )

L

_- O J x E X, e n t ã o $ x E X t a l que g ( x ) _{- -} < y . Logo y g! Y c o n c l u i n d o a p r o v a .

Se ( P ) é um P . V . P . tem-sk p a r a o v a l o r d a função p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a a ( P ) :

De f a t o , s e y

2

_- 0 , e n t ã o :

x E X t a l que g ( x ) _- < y p o i s

Q u a l q u e r problema, pode s e r transformado em um Problema a v í n c u l o s P o s i t i v o s e q u i v a l e n t e . O procedimento mais u s u a l c o n s i s t e n o s e g u i n t e :

Define-se novas funções v í n c u l o s como s e s e g u e :

Lo

c a s o c o n t r á r i o

O problema

s e r á um problema

à

v í n c u l o s p o s i t i v o s , e q u i v a l e n t e a o problema o r i g i n a l .

Em t o d o o c a p i t u l o , vamos s u p o r qCie ( P ) é um problema à v í n c u l o s p o s i t i v o s .

Para e s t e t i p o d e problema, r e s u l t a d o s mais f o r t e s s e r ã o o b t i d o s

.

O p r i m e i r o d e l e s a p r e s e n t a a i d e n t i d a d e e n - t r e e s t a b i l i d a d e g l o b a l e e s t a b i l i d a d e segundo G e o f f r i o n

1

7 1

1 .

E l e vem no teorema s e g u i n t e .

2

-

--- Teorema: ( P ) é e s t á v e l segundo G e o f f r i o n , s e e somente s e ( P ) é gaobalmente e s t á v e l .

Prova : Suponha ( P ) e s t á v e l segundo Geof f r i o n ( 1 1 - 4 1 )

.

~ n t ã o ,

--v v ( 0 ) é f i n i t o e e x i s t e um e s c a l a r M > O t a l q u e : Como

11

11

L

O pode-se e s c r e v e r : Para y _{- -} > O tem-se c C m

.

max I y i (

I I Y I I

- i = 1 , 2 ,

...

m =

6 .

max 'i J ( ~ 1 0 ) i = 1 , 2 , .

.

.m m = d % . < e , y > onde e E R é o v e t o r com t o d a s a s componentes i g u a i s a 1.

~ n t ã o d e ( 3 ) obtemos: s 'Logo C o m o p a r a y $ O - v ( y ) = + m e ( 5 ) c o n t i n u a v á l i d a , o v e t o r

-

( M . r m ) , e E Rm é um subgradLente d e v em y = O . Logo ( P ) é e s t á v e l ( g l o b a l m e n t e ) . A 2 a p a r t e do teorema é e q u i v a l e n t e a o Teo

-

rema (11-42)

1 1 .

O u t r o teorema onde e s t a b i l s d a d e g l o b a l é ga

-

r a n t i d a

5

p a r t i r de h i p ó t e s e s mais f r a c a s , é o que vem a s e - g u i r .

6

-

Teorema: Se ( P ) é l o c a l m e n t e e s t á v e l , e (D) é e s s e n c i a l m e n - t e v i á v e l , e n t ã o ( P ) é e s t á v e l ( g l o b a l m e n t e )

.

Prova: Por h i p ó t e s e tem-se que v ( 0 ) é f i n i t o e :

( 3 E > O ) ( Z M - > O ) ( d y E B ~ ( O ) , Y # O )

e a i n d a

-

w ( Ü ) ? K onde K E R e (Ü E Rm, u

2

O )

Logo, pode-se e s c r e v e r que : - ~ n t ã o , dado

? E

Rm, y . 2 0 r e s u l t a : K - < i n f ( f ( x )

+

< Ü , g ( x ) > ) p o r ( 9 ) XE X - - = v(Y)

+

< u , y > p o r d e f i n i ç ã o d e v Ou a i n d a : Como v ( 0 ) é f i n i t o p o r h i p ó t e s e , s e g u e : e p a r a

7

g! B, ( O ) vem: - < V ( ' ) - K

+

( 1

Ü

11

p o r ~ a u c h y - ~ w a r t z

II

Y

II

provando que :

- -

_{- <} ~1 p a r a algum ~1 > 0 e

Y

e'

B, ( O )

I l Y l l

Como p a r a

y

E BE ( 0 ) v a l e

( i ) ,

e em v i s t a de ( 1 0 ) , ( P ) é e s t á v e l segundo G e o f f r i o n . P e l o Teorema ( 1 1 1 - 2 ) conclue-se f i n a l m e n t e que ( P ) é globalmente e s t á v e l

.

1

1

E s t e s d o i s teoremas d e e s t a b i l i d a d e s ã o va - l i o s o s n a a p l i c a ç ã o da t e o r i a a p r e s e n t a d a no c a p í t u l o I1

2

p r o - blemas

5

v í n c u l o s p o s i t i v o s

.

0s d o i s teoremas b á s i c o s , Otimalidade e Dua - l i d a d e F o r t e , e s t ã o baseados na h i p ó t e s e d e que ( P ) é g l o b a l - mente e s t á v e l , ou s e j a , v admite um s u b g r a d i e n t e n a origem. Co - mo o teorema de Dualidade F r a c a , não n e c e s S i t a de nenhuma hipÕ t e s e r e l a c i o n a d a com e s t a b i l i d a d e ( e l e é v á l i d o d e s d e que ( P ) e ( D ) tenham s o l u ç ã o ) , t o d a t e o r i a a p r e s e n t a d a no c a p í t u l o I1 c o n t i n u a v á l i d a com h i p ó t e s e s bem mais f r a c a s .

A r a z ã o f o r t e p a r a e s t e f a t o , é q u e a s fun - çÕes p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a s aos problemas

ã

v í n c u l o s p o s i t i v o s , possuem c a r a c t e r í s t i c a s bem p a r t i c u l a r e s como veremos a s e g u i r . Como v assume o v a l o r (+a) p a r a p e r t u r b a çÓes não p o s i t i v a s ( y O )

,

e n t ã o e l a

6

d e s c o n t í n u a na origem.

T a l d e s c o n t i n u i dade porém não c r i a grandes problemas desde q u e v s e j a semi-contínua i n f e r i o r m e n t e na o r i - gem, como veremos n a s e ç ã o 3 .

A s s i m , na m a i o r i a dos c a s o s de problemas e s - t á v e i s , o g r á f i c o d a função p e r t u r b a ç ã o a s s o c i a d a ao problema,

é como o d a f i g u r a a b a i x o .

Observando a f i g u r a , c o n c l u e - s e que ( D ) tem i n f i n i t a s s o l u ç õ e s Ótimas. A s r e t a s ll e 12, c a r a c t e r i z a d a s por 1 2 s e u s c o e f i c i e n t e s a n g u l a r e s -u e -u r e s p e c t i v a m e n t e , s ã o s u - p o r t e s a o g r á f i c o d e v em v ( O ) , ou s e j a , os d o i s v a l o r e s u1 e u2 da v a r i á v e l d u a l , fornecem um mesmo v a l o r p a r a a f u n ç ã o ob - j e t i v o d e ( D ) ( n o c a s o i g u a l a ~ ( 0 ) ) .

A s s i m , se Ü é uma s o l u ç ã o Ótima d e (D),quaL 1

q u e r u - - > Ü também

será

ótimo em ( D ) ( no exemplo 182 > u ) . Levando-se em c o n t a o f a t o d e q u e s e ( P ) é e s t á v e l , o c o n j u n t o d e s u b g r a d i e n t e s de v em y = O ( 6 v(O)), é exatamente o c o n j u n t o d e s o l u ç õ e s Ótimas p a r a ( D ) 1 1 - 5 3

,

p g de-se a f i r m a r que: