(eq.(A.1-2), desprezando-se I•0

(1)

ANEXO A - MÉTODO PROPOSTO DE EXTRAÇÃO DE SEQÜÊNCIA NEGATIVA - INJEÇÃO DIRETA DE SEQÜÊNCIA NEGATIVA (DNSI)

A.1 Dedução do algoritmo

Sabe-se de (Fortescue, 1918) e (Robba et al., 1996) que a matriz que relaciona as componentes simétricas fasoriais da corrente de linha com as componentes fasoriais da corrente de linha é dada pela eq.(A 1-1).

















=

































−

=

















•

−

• +

•

T S R

M 0

I I I . I

I I . º 120 1 º 120 1 1

º 120 1 º 120 1 1

1 1

1 3. 1 I I I

M 4

4 4

4 3 4

4 4 4 2 1

(A.1-1)

Para se eliminar o desequilíbrio existente entre as correntes de linha basta que se anulem as correntes de seqüência negativa e zero existentes na mesma. Assim, a corrente de compensação deve ter o sinal oposto à parcela de corrente negativa (−I^•₋) (eq.(A.1-2), desprezando-se I^•₀ ).

































−

=

















− ^•

•

− T

S R

I I I . º 120 1 º 120 1 1

0 0

0

0 0

0 3. 1 I

0 0

(A.1-2)

Para se obter as correntes de compensação na base rst basta multiplicar a corrente obtida pela eq.(A.1-2) pela matriz inversa (M^-1) da eq.(A.1-1), obtendo a eq.(A.1-3).

Compensação de desequilíbrios de carga empregando conversor operando com PWM – Rodrigo Cutri

(2)

































−

=

















−

=

































−

=

















•

−

•

−

•

−

•

−

•

−

•

−

•

−

T S R

T S R 1

t _ ref

s _ ref

r _ ref

I I I . 1 º

60 1 º 60 1

º 60 1 1 º

60 1

º 60 1 º 60 1 1 3.

1 I

I I

I I I . º 120 1 º 120 1 1

0 0

0

0 0

0 3. . 1 I

I I

M

(A.1-3)

A matriz complexa da eq.(A.1-3) pode ser reescrita em duas sub-matrizes: uma contendo os termos reais e outra contendo os termos imaginários multiplicados por -j conforme a eq.(A.1-4).

















































−

















−

=

















•

−

•

−

•

−

T S R

t _ ref

s _ ref

r _ ref

I I I . 2 0

3 2

3

2 0 3

2

3 2

0 3 .j 1 2 / 1 2 / 1

2 / 1 1 2 / 1

2 / 1 2 / 1 1 3.

1 I

I I

(A.1-4)

No domínio do tempo, o atraso de 90º é implementado armazenando-se as N/4 últimas amostras medidas, onde N é igual ao número de amostras por ciclo da rede.

As correntes atrasadas são denominadas por ir90(t), is90(t) e it90(t). Reescrevendo a eq.(A.1-4) no domínio do tempo, para o regime permanente obtém-se a eq.(A.1-5).

















































−

− +

































−

=

















−

=

















−

•

−

•

−

•

−

) t ( i

) t ( i . 2 0

3 2

0 3 2

3

2 3 2

0 3

) t ( i

) t ( i . 1 2 / 1 2 / 1

2 / 1 1 2 / 1

2 / 1 2 / 1 1 3.

1 ) t ( i

) t ( i

) t ( i I

I I

90 t

90 s

90 r

t s r

t _ ref

s _ ref

r _ ref

(A.1-5)

(3)

A.2 Prova matemática do método proposto

Hipótese a ser provada: a eq.(A.1-5) é válida para o domínio do tempo, em regime permanente.

A validação desta hipótese é feita adotando-se três correntes instantâneas ir(t), is(t) e it(t) genéricas contendo componentes de seqüência positiva e negativa e calculando- se as correntes de seqüência negativa a serem compensadas pela eq.(A.1-5);

Os resultados esperados são três correntes com a fase oposta às correntes de seqüência negativa do sinal original.

Assim, sejam as correntes instantâneas ir(t), is(t) e it(t), respectivamente eqs.(A.2-1), (A.2-2) e (A.2-3) e as correntes instantâneas atrasadas em π/2 eqs.(A.2-4), (A.2-5) e (A.2-6).

) t cos(

. I ) t cos(

. I ) t (

i_r = ₊ ω +φ⁺ + ₋ −ω +φ⁻ (A.2-1) 3 )

. t 2

cos(

. I 3 )

. t 2

cos(

. I ) t (

i_s = ₊ ω +φ⁺ − π + ₋ −ω +φ⁻ + π (A.2-2) 3 )

. t 2

cos(

. I 3 )

. t 2

cos(

. I ) t (

i_t π

− φ + ω

− π +

+ φ + ω

= ₊ ⁺ ₋ ⁻ (A.2-3)

2) t

cos(

. I 2) t

cos(

. I ) t (

i_r₉₀ π

− φ + ω

− π +

− φ + ω

= ₊ ⁺ ₋ ⁻ (A.2-4)

2) 3

. t 2

cos(

. I 2) 3

. t 2

cos(

. I ) t (

i_s₉₀ = ₊ ω +φ⁺ − π−π + ₋ −ω +φ⁻ + π−π (A.2-5) 2)

3 . t 2

cos(

. I 2) 3

. t 2

cos(

. I ) t (

i_t₉₀ = ₊ ω +φ⁺ + π−π + ₋ −ω +φ⁻ − π−π (A.2-6)

(4)

Representando as equações acima na forma exponencial obtemos as eqs.(A.2-7), (A.2-8), (A.2-9), (A.2-10), (A.2-11) e (A.2-12).

) e

. I e

. I Re(

) t (

i_r = ₊ ^j⁽^ω^t⁺^φ⁺⁾ + ₋ ^j⁽⁻^ω^t⁺^φ⁻⁾ (A.2-7) )

e . I e

. I Re(

) t (

i ³ ⁾

. t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j s

+ π φ + ω

−

− π φ + ω +

−

+ +

= (A.2-8)

) e

. I e

. I Re(

) t (

i ³⁾

. t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j t

− π φ + ω

−

− + π

φ + ω +

− +

+

= (A.2-9)

) e

. I e

. I Re(

) t (

i_r₉₀ ^j⁽ ^t ²⁾ ^j⁽ ^t ²⁾

−π φ + ω

−

−π φ + ω +

−

+ +

= (A.2-10)

) e

. I e

. I Re(

) t (

i ³ ²⁾

. t 2 ( j 2)

3 . t 2 ( j 90

s

−π + π φ + ω

−

−π

− π φ + ω +

−

+ +

= (A.2-11)

) e

. I e

. I Re(

) t (

i ³ ²⁾

. t 2 ( j 2)

3 . t 2 ( j 90

t

−π

− π φ + ω

−

−π + π φ + ω +

− +

+

= (A.2-12)

Calcula-se individualmente pela eq.(A.1-5) as três correntes de compensação (−i_r₋(t),−i_s₋(t),−i_t₋(t) ) comprovando assim a validação da hipótese inicial.

A seguir descreve-se o cálculo de −i_r−(t) (eq.(A.2-13)) substituindo os valores dados pelas eqs. (A.2-7), (A.2-8), (A.2-9), (A.2-10), (A.2-11) e (A.2-12) na eq.(A.1- 5).

.

10 termo

2) 3 . t 2 ( j

9 termo

2) 3 . t 2 ( j

8 termo

2) 3 . t 2 ( j

7 termo

2) 3 . t 2 ( j

6 termo

3 ) . t 2 ( j

5 termo

3 ) . t 2 ( j

4 termo

3 ) . t 2 ( j

3 termo

3 ) . t 2 ( j

2 termo

) t ( j

1 termo

) t ( j r

)) e

. I 6 . e 3

. I 6 .

3

e . I 6 . e 3

. I 6 .

3

e 6 . e I

6 . e I

6 . I

e 6 . e I

3 . e I

3 . Re( I ) t ( i

4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 4 3 4

4 4 2 1

4 4 3 4

4 2 1

4 4 3 4

4 2 1 4 4 3 4

4 2 1

4 4 3 4

4 2 1 4 4 3 4

4 2 1 4 43 4

42 1

−π

− π φ + ω

−

−π + π φ + ω +

−π + π φ + ω

−

−π

− π φ + ω +

− π φ + ω

− − + π

φ + + ω + π

φ + ω

− −

− π φ + + ω φ + ω

− − φ + + ω

−

− +

−

− + +

+

−

− +

+

+ +

−

=

−

(A.2-13)

(5)

Utilizando-se a identidade

2 e ) e

cos( ^.j ^.j

α

− α+

=

α para os termos (3) e (5) da eq.(A.2- 13), bem como para os termos (4) e (6), obtêm-se as equações (A.2-14) e (A.2-15).

) t ( j )

t ( j

.

3 ) . t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j

e 6 . ) I 3

. cos(2 . 2 . e

6 . I

e 6 . e I

6 . 5 I termo 3

Termo

+ +

φ + + ω φ

+ + ω

+ π φ + + ω

− π φ + + ω

− π =

=

= +

+

=

+ (A.2-14)

) t ( j )

t ( j

.

3 ) . t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j

e 6 . ) I 3

. cos(2 . 2 . e

6 . I

e 6 . e I

6 . 6 I termo 4

Termo

−

φ + ω

− − φ

+ ω

− −

− π φ + ω

− − + π

φ + ω

− −

− π =

=

= +

+

=

+ (A.2-15)

Utilizando-se a identidade

j . 2

e ) e

.j .jα − − α

= α

sin( para os termos (7) e (9) da eq.(A.2- 13), bem como para os termos (8) e (10), obtêm-se as equações (A.2-16) e (A.2-17).

) t ( ) j

( 2 j 2) t ( j

2) t ( j

.

2) 3 . t 2 ( j 2)

3 . t 2 ( j

e 2 . e I

. e

2 . I

3 ) . ( 2 sin .j . 2 . e

. I 6 .

3

e . I 6 . e 3

. I 6 . 9 3 Termo 7

Termo

+ + +

+ +

φ + + ω +π

−π φ + + ω

−π φ + ω +

−π + π φ + ω +

−π

− π φ + ω +

= +

π = +

= +

−

= +

(A.2-16)

) t ( j

2) ( j 2) t ( j 2)

t ( j

.

2) 3 . t 2 ( j 2)

3 . t 2 ( j

e . I 2. 1

e . e

. I 2. ) 1 3

. ( 2 sin .j . 2 . e

. I 6 .

3

e . I 6 . e 3

. I 6 . 10 3 ermo T 8 Termo

−

φ + ω

−

+π

−π φ + ω

−

−π φ + ω

−

−π

− π φ + ω

−

−π + π φ + ω

−

=

− π =

−

= +

−

= +

(A.2-17)

Substituindo-se os resultados das eqs.(A.2-14), (A.2-15), (A.2-16) e (A.2-17) na eq.(A.2-13) obtém-se a parcela da corrente de seqüência negativa instantânea da fase r à ser compensada na eq.(A.2-18).

(6)

Compensação de desequilíbrios de carga empregando conversor operando com PWM – Rodrigo Cutri ) e

. I Re(

) e

2 . e I

2 . Re( I ) t (

i_r₋ = − ⁺ ^j⁽^ω^t⁺^φ⁺⁾ − ⁻ ^j⁽⁻^ω^t⁺^φ⁻⁾ + ⁺ ^j⁽^ω^t⁺^φ⁺⁾ − ⁻ ^j⁽⁻^ω^t⁺^φ⁻⁾ = − ₋ ^j⁽⁻^ω^t⁺^φ⁻⁾

−

(A.2-18) As correntes de compensação –is-(t) e -it-(t) seguem o mesmo procedimento e são

apresentadas nas eqs.(A.2-19) e (A.2-20).

.

3) t ( j

s (t) Re(I .e )

i

−π φ + ω

−

= −

− (A.2-19)

.

3) t ( j

t (t) Re(I .e )

i

+π φ + ω

−

= −

− (A.2-20)

Apresenta-se a seguir um quadro resumo (Tabela I) contendo o sinal original, o sinal de compensação obtido e o sinal resultante da compensação comprovando assim a hipótese inicial.

Tabela I – Quadro demonstrativo das correntes de compensação pelo método DSNI Sinal Original Sinal de compensação obtido

) e

. I e

. I Re(

) t (

i_r = ₊ ^j⁽^ω^t⁺^φ⁺⁾ + ₋ ^j⁽⁻^ω^t⁺^φ⁻⁾ ^. j( t )

r (t) Re(I .e )

i ₋ = ₋ ⁻^ω⁺^φ⁻⁻^π

− )

e . I e

. I Re(

) t (

i ³ ⁾

. t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j s

+ π φ + ω

−

− π φ + ω +

−

+ +

= ^. ^j⁽ ^t ₃⁾

s (t) Re(I .e )

i

−π φ + ω

−

=

− )

e . I e

. I Re(

) t (

i ³ ⁾

. t 2 ( j 3 )

. t 2 ( j t

− π φ + ω

−

− + π

φ + ω +

− +

+

= ^. ^j⁽ ^t ₃⁾

t (t) Re(I .e )

i

+π φ + ω

−

= −

−

Sinal Resultante (original+compensação) )

e . I Re(

) t (

i_rc = ₊ ^j⁽^ω^t⁺^φ⁺⁾

) e

. I Re(

) t (

i ³ ⁾

. t 2 ( j sc

− π φ + ω +

+

=

) e

. I Re(

) t (

i ³ ⁾

. t 2 ( j tc

+ π φ + ω +

+

=

(7)

Dos resultados observados na Tabela I, verifica-se que o mesmo procedimento vale individualmente para qualquer harmônica de seqüência negativa. Observa-se também que se a carga a ser compensada for uma carga monofásica contendo harmônicos, estes harmônicos serão redistribuídos entre as fases apresentando uma amplitude menor que a inicial e defasagem de 120º. A demonstração desta constatação se encontra no anexo B.