Grupos enumeravelmente compactos

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Grupos enumeravelmente compactos

Artur H. Tomita

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica Universidade de S˜ao Paulo

tomita@ime.usp.br

25 de agosto de 2009

(2)

Estudos Preliminares

Nesta apresenta¸cão, todo espa¸co topológico é completamente regular e Hausdorff e todo grupo é abeliano.

Um grupo (G,+) munido com uma topologia τ ´e um grupo

topológico se a soma + :G×G −→G e a inversa −:G −→G são cont´ınuas, onde G×G está munido com a topologia produto.

Um espa¸co topológicoX é enumeravelmente compacto se para toda cobertura enumerável formada por conjuntos abertos do espa¸co X existe uma subcobertura finita que cobreX.

Um espa¸co topológicoX é enumeravelmente compacto se, e somente se, toda sequência emX possui ponto de acumula¸cão.

Dado um ultrafiltro livre p ∈ω^∗ e um espa¸co topológicoX, dizemos que x∈X é o p-limite de{x_n:n∈ω} ⊆X se para toda vizinhan¸ca U dex o conjunto{n ∈ω:xn∈U}é um elemento dep.

Um espa¸co topológicoX é enumeravelmente compacto se, e somente se, toda sequência emX possui p-limite para algump ∈ω^∗.

(3)

Estudos Preliminares

Um espa¸co topológicoX é pseudocompacto se toda fun¸cão cont´ınua deX na reta realRcom a topologia usual é limitada.

Todo espa¸co enumeravelmente compacto X ´e pseudocompacto. A rec´ıproca ´e verdadeira para espa¸cos normais.

Um grupo topológicoG é pseudocompacto se, e somente se, G é um subgrupoG_δ-denso de um grupo compacto.

Um espa¸co topológicoX é p-compacto se toda sequência em X tem p-limite.

Um espa¸co X ´e ω-limitado se todo subconjunto enumer´avel deX possui fecho compacto.

(4)

Axioma de Martin

Defini¸c˜ao do Axioma de Martin (Axioma de Martin para ordens parciais enumer´aveis)

Se P é uma ordem parcial c.c.c. (enumerável) e se Dé uma cole¸cão de cardinalidade menor que c de conjuntos densos emP, então existe um filtro G emP que intersecta todo elemento de D.

Um conjunto D⊆P ´e denso se, e somente se, para todo p∈P, existe q∈D tal que q ≤p.

Um conjunto G ⊆P ´e filtro se, e somente se, para todo p ∈G e q ∈P,p ≤q =⇒ q∈G e se para todop,q ∈G, existe r ∈G tal que r ≤p e r ≤q.

(5)

Ultrafiltros seletivos

Defini¸c˜ao de Ultrafiltro Seletivo

Um ultrafiltro livre p é seletivo se para toda parti¸cão{A_n: n ∈ω} deω, existe n∈ω tal que A_n∈p ou existeB ∈p tal que A_m∩B tem no máximo um elemento, para cada m∈ω.

Blass mostrou que o Axioma de Martin implica a existˆencia de 2^c ultrafiltros seletivos incompar´aveis.

Kunen mostrou que adicionando pelo menosℵ₂ reais randˆomicos num modelo de CH, n˜ao existem ultrafiltros seletivos.

(6)

Sequˆ encias convergentes

Todo grupo compacto possui sequências não triviais convergentes, pois todo grupo compacto é imagem cont´ınua de um cubo

generalizado de Cantor [Kuszminov, Doklady Akad. Nauk., 1959].

Sirota [Mat. Sbornik, 1969] mostrou que para cada cardinal infinito κ=κ^ω, existe um grupo pseudocompacto de cardinalidade e peso κ, respondendo negativamente a uma pergunta de Arhangel’skii.

Hajnál e Juhász [Gen. Topology Appl., 1976] mostraram que sob a Hipótese do Cont´ınuo existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes de cardinalidadec.

E. van Douwen [Trans. Amer. Math. Soc., 1980], Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000] e Garcia-Ferreira, Tomita e Watson [Proc. Amer. Math. Soc., 2005] melhoraram este resultado para o Axioma de Martin, MA_enumeravel e existˆencia de um ultrafiltro seletivo respectivamente.

(7)

Sequˆ encias convergentes

(8)

Sequˆ encias convergentes

(9)

HFD e propriedade (P)

Um subconjuntoX de 2^c é HFD (Hereditariamente Finalmente Denso) se para todo subconjunto enumerável infinitoA deX, existe α <c tal que π_]α,c[(A) é denso em 2^]α,c[.

Um subconjuntoX de 2^c possui a propriedade (P) se π_[0,α[(X) = 2^α para cada α <c.

Hajnál e Juhász constru´ıram um grupoHFD com propriedade (P) usando CH. Em particular tais grupos são enumeravelmente

compactos, sem sequˆencias convergentes, hereditariamente separ´aveis e hereditariamente normais.

O exemplo de van Douwen também é um HFD constru´ıdo sob MA, porém a compacidade enumerável é garantida de forma mais direta, ao invés da propriedade (P) definem-se somente os peda¸cos iniciais que se fizerem necessários para que uma sequência tenha ponto de acumula¸cão.

(10)

HFD e propriedade (P)

Um subconjuntoX de 2^c é HFD (Hereditariamente Finalmente Denso) se para todo subconjunto enumerável infinitoA deX, existe α <c tal que π_]α,c[(A) é denso em 2^]α,c[.

Um subconjuntoX de 2^c possui a propriedade (P) se π_[0,α[(X) = 2^α para cada α <c.

Hajnál e Juhász constru´ıram um grupoHFD com propriedade (P) usando CH. Em particular tais grupos são enumeravelmente

compactos, sem sequˆencias convergentes, hereditariamente separ´aveis e hereditariamente normais.

O exemplo de van Douwen também é um HFD constru´ıdo sob MA, porém a compacidade enumerável é garantida de forma mais direta, ao invés da propriedade (P) definem-se somente os peda¸cos iniciais que se fizerem necessários para que uma sequência tenha ponto de acumula¸cão.

(11)

Teorema de Comfort e Ross

Compacidade, a propriedade de serω-limitado e p-compacidade para um ultrafiltro p∈ω^∗ s˜ao propriedades preservadas por produtos.

Compacidade enumerável e pseudocompacidade não são preservados por produtos. Os primeiros exemplos foram obtidos por Novák [Fund.

Math., 1953] e Terasaka [Osaka Math., 1952]. Tais exemplos s˜ao constru´ıdos a partir de um subespa¸co deβω. O fato do fecho de um subconjunto infinito de βω ter cardinalidade maior ou igual ac ´e crucial.

Comfort e Ross [Pacific J. Math., 1966]

Teorema: O produto de grupos pseudocompactos é pseudocompacto. Questão (Comfort): O produto de grupos enumeravelmente compactos é enumeravelmente compacto?

(12)

Teorema de Comfort e Ross

Teorema: O produto de grupos pseudocompactos ´e pseudocompacto.

Quest˜ao (Comfort): O produto de grupos enumeravelmente compactos ´e enumeravelmente compacto?

(13)

Teorema de Comfort e Ross

Teorema: O produto de grupos pseudocompactos ´e pseudocompacto.

(14)

Um exemplo de van Douwen

A resposta à pergunta de Comfort é consistentemente não.

E. van Douwen [Trans. Amer. Math. Soc., 1980]

Existem dois grupos enumeravelmente compactos cujo produto n˜ao ´e enumeravelmente compacto sob o Axioma de Martin.

O exemplo de van Douwen ´e dividido em duas partes:

(Axioma de Martin) Existe um subgrupo de 2^c de cardinalidade c enumeravelmente compacto sem sequências convergentes. (ZFC) Um subgrupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes de 2^c contém dois subgrupos enumeravelmente compactos cujo produto não é enumeravelmente compacto.

(15)

Um exemplo de van Douwen

(Axioma de Martin) Existe um subgrupo de 2^c de cardinalidade c enumeravelmente compacto sem sequˆencias convergentes.

(ZFC) Um subgrupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes de 2^c contém dois subgrupos enumeravelmente compactos cujo produto não é enumeravelmente compacto.

(16)

Um exemplo de van Douwen

(Axioma de Martin) Existe um subgrupo de 2^c de cardinalidade c enumeravelmente compacto sem sequˆencias convergentes.

(17)

Sobre um teorema de van Douwen

[van Douwen, Trans. Amer. Math. Soc.,1980]

A demonstra¸cão é parecida com a constru¸cão de dois subespa¸cos

enumeravelmente compactos deβω cujo produto n˜ao ´e enumeravelmente compacto, fazendo uso do truque da diagonal pequena.

Num espa¸co enumeravelmente compacto sem sequências convergentes, o fecho de todo subconjunto enumerável infinito é pelo menosc.

Comece com um subgrupo enumerável infinitoE qualquer. Fa¸ca por indu¸cão de comprimento c duas extensões desse grupo que tenham

(18)

Sobre um teorema de van Douwen (cont.)

Ao final da constru¸cão, teremos dois grupos enumeravelmente compactos H0 eH1 tais queH0∩H1 =E. A diagonalD ={(x,x) : x∈2^c}é fechada em 2^c×2^c. Logo, seH0×H1 for enumeravelmente compacta, então D∩(H₀×H₁) ={(x,x) : x ∈E}é enumeravelmente compacto, contradi¸cão, pois todo grupo enumeravelmente compacto infinito tem cardinalidade maior ou igual ac.

Para obter um exemplo cujo quadrado não é enumeravelmente compacto, não se pode fazer como no caso de espa¸cos topológicos, já que a soma topológica não gera um grupo.

(19)

Sobre um teorema de van Douwen (cont.)

Ao final da constru¸cão, teremos dois grupos enumeravelmente compactos H0 eH1 tais queH0∩H1 =E. A diagonalD ={(x,x) : x∈2^c}é fechada em 2^c×2^c. Logo, seH0×H1 for enumeravelmente compacta, então D∩(H₀×H₁) ={(x,x) : x ∈E}é enumeravelmente compacto, contradi¸cão, pois todo grupo enumeravelmente compacto infinito tem cardinalidade maior ou igual ac.

Para obter um exemplo cujo quadrado não é enumeravelmente compacto, não se pode fazer como no caso de espa¸cos topológicos, já que a soma topológica não gera um grupo.

(20)

Um exemplo de Hart e van Mill

Hart e van Mill [Trans. Amer. Math. Soc., 1991]

Existe um grupo enumeravelmente compacto cujo quadrado não é enumeravelmente compacto sob o Axioma de Martin para ordens parciais enumeráveis.

O exemplo contém um subgrupoω-limitado formado a partir de modifica¸cões de uma fam´ıliaω-independente. As modifica¸cões são feitas para ”corrigir”a parte inicial do ponto que será ponto de acumula¸cão. O exemplo possui sequências não triviais convergentes. MA_enumeravel é utilizado para construir um grupo enumerável que é HFD.

Primeiro é feito o truque da diagonal pequena para encontrar dois grupos enumeravelmente compactos. Para obter o exemplo acima, eles modificam a constru¸cão para obter um grupo que contenha dois subgrupos fechados cujo produto não é enumeravelmente compacto.

(21)

Um exemplo de Hart e van Mill

O exemplo contém um subgrupoω-limitado formado a partir de modifica¸cões de uma fam´ıliaω-independente. As modifica¸cões são feitas para ”corrigir”a parte inicial do ponto que será ponto de acumula¸cão. O exemplo possui sequências não triviais convergentes.

MA_enumeravel é utilizado para construir um grupo enumerável que é HFD.

(22)

Um exemplo de Hart e van Mill

O exemplo contém um subgrupoω-limitado formado a partir de modifica¸cões de uma fam´ıliaω-independente. As modifica¸cões são feitas para ”corrigir”a parte inicial do ponto que será ponto de acumula¸cão. O exemplo possui sequências não triviais convergentes.

MA_enumeravel é utilizado para construir um grupo enumerável que é HFD.

(23)

Varia¸c˜ oes do exemplo de Hart e van Mill

Tomita [Topology Appl., 1999]

Sob MA_enumeravel, existe um grupo topológico cujo quadrado é enumeravelmente compacto, mas o cubo não é.

Tomita [CMUC, 1996]

Sob MA_enumeravel, para cada natural positivo n existe um grupo topológico G tal queGⁿ é enumeravelmente compacto mas G²ⁿ não é.

Estas constru¸cões utilizam uma modifica¸cão do exemplo de Hart e van Mill, mas o grupoω-limitado é S

α<c2^α.

Ao invés da pequena diagonal, é construido uma sequência no produto sem ponto de acumula¸cão.

(24)

Varia¸c˜ oes do exemplo de Hart e van Mill

Tomita [Topology Appl., 1999]

Sob MA_enumeravel, existe um grupo topológico cujo quadrado é enumeravelmente compacto, mas o cubo não é.

Tomita [CMUC, 1996]

Sob MA_enumeravel, para cada natural positivo n existe um grupo topológico G tal queGⁿ é enumeravelmente compacto mas G²ⁿ não é.

Estas constru¸cões utilizam uma modifica¸cão do exemplo de Hart e van Mill, mas o grupoω-limitado é S

α<c2^α.

Ao invés da pequena diagonal, é construido uma sequência no produto sem ponto de acumula¸cão.

(25)

Sem sequˆ encias convergentes com MA

_enumeravel

Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000]

Sob MA_enumeravel, existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes cujo quadrado não é enumeravelmente compacto.

A cada estágio da constru¸cão,MA_enumeravel é utilizado para definir as coordenadas de um grupo enumerável, mas que muda a cada estágio de acordo com o elemento não nulo que o grupo deve conter e que deve ter valor não nulo neste estágio. Isto é necessário para garantir uma imersão algébrica ao final da constru¸cão.

Para preservar os pontos de acumula¸cão e para podermos trabalhar com um grupo enumerável a cada estágio, enumeramos as sequências de forma que seu ”suporte”fique abaixo do seu indice. Os pontos de acumula¸cão que preservaremos serão relacionados ao ´ındice da sequência.

Não há necessariamente subconjuntos HFD e a propriedade (P) não precisa estar satisfeita.

(26)

Sem sequˆ encias convergentes com MA

_enumeravel

Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000]

Sob MA_enumeravel, existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes cujo quadrado não é enumeravelmente compacto.

A cada estágio da constru¸cão,MA_enumeravel é utilizado para definir as coordenadas de um grupo enumerável, mas que muda a cada estágio de acordo com o elemento não nulo que o grupo deve conter e que deve ter valor não nulo neste estágio. Isto é necessário para garantir uma imersão algébrica ao final da constru¸cão.

Para preservar os pontos de acumula¸cão e para podermos trabalhar com um grupo enumerável a cada estágio, enumeramos as sequências de forma que seu ”suporte”fique abaixo do seu indice. Os pontos de acumula¸cão que preservaremos serão relacionados ao ´ındice da sequência.

Não há necessariamente subconjuntos HFD e a propriedade (P) não precisa estar satisfeita.

(27)

p-compacidade e ultrafiltros seletivos

Quest˜ao 482

Garcia Ferreira [Comfort, Open Problems in Topology, 1990]: Assuma o Axioma de Martin. Existe um grupo p-compacto e um grupoq-compacto cujo produto n˜ao ´e enumeravelmente compacto?

Garcia Ferreira [Topology Appl., 1993] mostrou que num modelo de Shelah em que todos os ultrafiltros s˜ao Rudin Keisler compat´ıveis, o produto de um grupo p-compacto e um grupoq-compacto ´e

r-compacto para algum ultrafiltro r.

Tomita e Watson [Topology Appl., 2004] mostraram que para quaisquer dois ultrafiltros seletivos incomparáveisp eq, existe um grupop-compacto e um grupo q-compacto cujo produto não é enumeravelmente compacto.

E utilizado o fato de que ([c]´ ^<ω)^ω/p ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo 2.

(28)

p-compacidade e ultrafiltros seletivos

Quest˜ao 482

Garcia Ferreira [Comfort, Open Problems in Topology, 1990]: Assuma o Axioma de Martin. Existe um grupo p-compacto e um grupoq-compacto cujo produto n˜ao ´e enumeravelmente compacto?

Garcia Ferreira [Topology Appl., 1993] mostrou que num modelo de Shelah em que todos os ultrafiltros s˜ao Rudin Keisler compat´ıveis, o produto de um grupo p-compacto e um grupoq-compacto ´e

r-compacto para algum ultrafiltro r.

Tomita e Watson [Topology Appl., 2004] mostraram que para quaisquer dois ultrafiltros seletivos incomparáveisp eq, existe um grupo p-compacto e um grupo q-compacto cujo produto não é enumeravelmente compacto.

E utilizado o fato de que ([c]´ ^<ω)^ω/p ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo 2.

(29)

Ultraprodutos e p-compacidade

SejaG = ([κ]^<ω)^ω um grupo topol´ogico com a diferen¸ca sim´etrica ∆ ep um ultrafiltro.

Diremos que duas fun¸c˜oesf,g em G^ω s˜ao p-equivalentes se

{n ∈ω: f(n) =g(n)} ∈p. Dadof ∈G^ω, [f]_p denotar´a a classe de p-equivalˆencia def.

Se G está munido com uma topologia de grupo ef,g são duas fun¸cões em G^ω tais quex=p−lim{f(n) :n ∈ω}e

y =p−lim{g(n) :n ∈ω}, ent˜aox+y = p−lim{f(n) +g(n) :n ∈ω}.

Se G está munido com uma topologia de grupo ef,g são duas sequências emG p-equivalentes tais que x=p−lim{f(n) :n ∈ω}, entãox =p−lim{g(n) :n ∈ω}.

(30)

Construindo homomorfismos num subgrupo enumer´ avel com ultrafiltros seletivos.

[Tomita e Watson, Topology Appl.,2004]

Proposi¸cão: Sejam p₀ e p₁ ultrafiltros seletivos incomparáveis eF um subconjunto finito de c, um subconjunto enumerávelE contendoF e {g_ξ: ξ∈E}uma fam´ılia de fun¸cões de ω em [E]^<ω. SeS0 e S1 são subconjuntos de E tais que{[g_ξ]_p_j : ξ∈S_j} ∪ {[{µ}]_p_j;µ∈E}é linearmente independente em ([c]^<ω)^ω/p_j para cada j ∈2, então existe uma sequência crescente{b_i : i ∈ω} ⊆ω, uma fun¸cãor deω em 2 e uma sequência{E_i : i ∈ω} de subconjuntos finitos deE tais que a) F ⊆E₀;

b) E =S

i∈ωEi; c) E_i+1⊇S

{g_ξ(b_i) :ξ ∈E_i} ∪E_i, para cada i ∈ω;

d) {g_ξ(b_i) : ξ∈E_i∩S_r(i₎} ∪ {{µ}: µ∈E_i}´e linearmente independente para cada i ∈ω e

e) {b_k : k∈r⁻¹(j)} ∈p_j para cada j ∈2.

(31)

Construindo topologias p-compactas

Tomita e Watson [Topology Appl.,2004]

Teorema: Sejam p₀ ep₁ ultrafiltros seletivos incompar´aveis eF₀ e F₁ subconjuntos finitos de c, um subconjunto enumer´avelE contendo

F0∪F1∪ω e {g_ξ: ξ∈E}uma fam´ılia de fun¸c˜oes de ω em [E]^<ω. SeS0

e S₁ são subconjuntos deE tais que{[g_ξ]_p_j : ξ∈S_j} ∪ {[{µ}]_p_j;µ∈E} é linearmente independente em ([c]^<ω)^ω/pj para cada j ∈2, então existem homomorfismosφj : [E]^<ω−→2 para cada j <2 tais que

i) φ_j(F_j)6= 0 se F_j 6=∅e j <2;

ii) {n∈ω: φ_j(g_ξ(n)) =φ_j({ξ})} ∈p_j para cada j <2 e ξ∈S_j; iii){n∈ω : (φ0({n}), φ₁({n})) = (φ₀(F0), φ1(F1))}´e finito.

Com a escolha de uma base conveniente {[g ] } ∪ {[{µ}] : µ∈c} de

(32)

Construindo topologias p-compactas (cont.)

Por i), a diagonal de todas asφj’s gerará uma imersão em 2^c para cada j <2. O grupo [c]^<ω será equipado com as topologias induzidas pelas imersões, que denotaremos por G₀ e G₁. Pela condi¸cãoiv), os

representantes de uma base tem pj-limite, logo serão pj-compactos. A condi¸cãoiii) garante que o ponto (F₀,F₁) não é ponto de acumula¸cão da sequência{({n},{n}) : n∈ω} em G₀×G₁, logo G₀×G₁ não será enumeravelmente compacto.

Lema t´ecnico sobre ultafiltros seletivos

Sejamp₀ e p₁ ultrafiltros seletivos incompar´aveis e sejam

{a_k^j : k ∈ω} ∈p_j sequˆencias crescentes tais que k<a^j_k para cada j <2 e k ∈ω. Ent˜ao existem subconjuntos I0 e I1 deω disjuntos tais que

i) {a^j_k : k ∈I_j} ∈p_j para cadaj <2;

ii) {[k,a^j_k] : j <2∧k ∈I_j} s˜ao intervalos deω dois a dois disjuntos.

(33)

Construindo topologias p-compactas (cont.)

Por i), a diagonal de todas asφj’s gerará uma imersão em 2^c para cada j <2. O grupo [c]^<ω será equipado com as topologias induzidas pelas imersões, que denotaremos por G₀ e G₁. Pela condi¸cãoiv), os

representantes de uma base tem pj-limite, logo serão pj-compactos. A condi¸cãoiii) garante que o ponto (F₀,F₁) não é ponto de acumula¸cão da sequência{({n},{n}) : n∈ω} em G₀×G₁, logo G₀×G₁ não será enumeravelmente compacto.

Lema t´ecnico sobre ultafiltros seletivos

Sejamp₀ e p₁ ultrafiltros seletivos incompar´aveis e sejam

{a_k^j : k ∈ω} ∈p_j sequˆencias crescentes tais quek <a^j_k para cada j <2 e k ∈ω. Ent˜ao existem subconjuntos I0 e I1 deω disjuntos tais que

(34)

Um grupo p-compacto sem sequˆ encias convergentes

[Garcia-Ferreira, Tomita e Watson, Proc. Amer, Math. Soc.,2005]

Exemplo: Sejap um ultrafiltro seletivo. Existe um grupop-compacto sem sequências convergentes que é subgrupo de 2^c. Em particular, se existe um ultrafiltro seletivo então existem dois grupos enumeravelmente compactos cujo produto não é enumeravelmente compacto.

Para fazer com que a sequência não possua sequências não triviais convergentes escolhemos uma fam´ıliaF ⊆([c]^<ω)^ω tal que toda sequência injetora possua pelo menos duas subsequências emF e tal que {[f]_p: f ∈ F } ∪ {[{µ}]_p : µ∈c}seja uma base de ([c]^<ω)^ω/p. Usando de técnicas similares ao artigo de Tomita e Watson, obtem-se um grupo p-compacto sem sequências não triviais convergentes.

(35)

Um grupo p-compacto sem sequˆ encias convergentes

[Garcia-Ferreira, Tomita e Watson, Proc. Amer, Math. Soc.,2005]

Exemplo: Sejap um ultrafiltro seletivo. Existe um grupop-compacto sem sequências convergentes que é subgrupo de 2^c. Em particular, se existe um ultrafiltro seletivo então existem dois grupos enumeravelmente compactos cujo produto não é enumeravelmente compacto.

Para fazer com que a sequência não possua sequências não triviais convergentes escolhemos uma fam´ıliaF ⊆([c]^<ω)^ω tal que toda sequência injetora possua pelo menos duas subsequências emF e tal que {[f]_p: f ∈ F } ∪ {[{µ}]_p : µ∈c}seja uma base de ([c]^<ω)^ω/p.

(36)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados

Tomita [Topology Appl., 2005, vol. 153]

Teorema: Se existe um grupo abeliano enumeravelmente compacto então existe um outro grupo enumeravelmente compacto cujo quadrado não é enumeravelmente compacto.

No resultado de van Douwen, ele extraia dois subgrupos de um grupo de ordem 2.

No resultado acima, mostra-se que se existe um grupo abeliano enumeravelmente compacto sem sequências convergentes, então existe um outro grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes cujo suporte seja (Zp)^(c) ou (Z)^(c).

Para estes grupos, extrai-se um subgrupo em que designam-se pontos de acumula¸cão para cada sequência de forma que o ´ındice do ponto de acumula¸cão do suporte de qualquer elemento da sequência. Isto fará com que a organiza¸cão dos pontos de acumula¸cão se pare¸ca com o do grupo se constru´ıdo em Koszmider, Tomita e Watson.

(37)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados

(38)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados

(39)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados

Para estes grupos, extrai-se um subgrupo em que designam-se pontos

(40)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados (cont.)

Refina-se a topologia para ter propriedades parecidas com a da compactifica¸cão de Stone-ˇCech deω para um par de sequências enumerável pré-fixada, mas preservando os pontos de acumula¸cão designados.

Finalmente tomar um subgrupo que preserve a compacidade

enumerável mas eliminando os pontos de acumula¸cão da sequência de pares pré-fixada . Para isto, a sequência de pares pré-fixada não pode ter nenhum p-limite, assim toda vez que um ultrafiltro é p-limite de uma das sequências do par, temos que fazer com que a outra sequência não tenha p-limite.

(41)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados (cont.)

Refina-se a topologia para ter propriedades parecidas com a da compactifica¸cão de Stone-ˇCech deω para um par de sequências enumerável pré-fixada, mas preservando os pontos de acumula¸cão designados.

Finalmente tomar um subgrupo que preserve a compacidade

enumerável mas eliminando os pontos de acumula¸cão da sequência de pares pré-fixada . Para isto, a sequência de pares pré-fixada não pode ter nenhum p-limite, assim toda vez que um ultrafiltro é p-limite de uma das sequências do par, temos que fazer com que a outra

(42)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados (cont.)

Como consequˆencia do teorema acima e do exemplo de Garcia-Ferreira, Tomita e Watson [Proc. Amer. Math. Soc.,2005] segue:

Tomita [Topology Appl.,2005, v. 153]

Corolário: Se existe um ultrafiltro seletivo, então existe um grupo enumeravelmente compacto cujo quadrado não é enumeravelmente compacto.

Recentemente, Szeptycki e Tomita [Topology Appl.,2009] mostraram que existe um HFD com propriedade (P) num modelo de reais randˆomicos.

Utilizando o teorema acima:

Szeptycki e Tomita [Topology Appl.,2009]

A existˆencia de um grupo enumeravelmente compacto cujo quadrado n˜ao

´

e enumeravelmente compacto n˜ao implica a existˆencia de ultrafiltros seletivos.

(43)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados (cont.)

´

(44)

Uma vers˜ ao do teorema de van Douwen para quadrados (cont.)

´

(45)

Quest˜ ao 477 [Comfort, Open Problems in Topology, 1990]

Questão 477: Para quais cardinaisκ≤2^c existe um grupo topológico G tal que G^α é enumeravelmente compacto paraα < κ, mas G^κ não é enumeravelmente compacto?

Ginsburg e Saks [Pacific J. Math., 1975] mostraram que seX é um espa¸co topológico tal que X²^c é enumeravelmente compacto então toda potência de X é enumeravelmente compacta.

Os exemplos de Hart e van Mill e Tomita citados anteriormente mostram que 2 e 3 são cardinais para os quais existe um grupo topológico como na pergunta de Comfort. Em outro artigo citado anteriormente, Tomita mostrou que para cada positivon, existe k ∈[n,2ⁿ[ e um grupo topológicoG tal que G^k enumeravelmente compacto, masG^k+1 não é. Todos os exemplos são sobMAenumeravel. Os exemplos de Tomita utilizam a álgebra de conjuntos gerada por um conjunto finito.

(46)

Quest˜ ao 477 [Comfort, Open Problems in Topology, 1990]

Questão 477: Para quais cardinaisκ≤2^c existe um grupo topológico G tal que G^α é enumeravelmente compacto paraα < κ, mas G^κ não é enumeravelmente compacto?

Ginsburg e Saks [Pacific J. Math., 1975] mostraram que seX é um espa¸co topológico tal que X²^c é enumeravelmente compacto então toda potência de X é enumeravelmente compacta.

Os exemplos de Hart e van Mill e Tomita citados anteriormente mostram que 2 e 3 são cardinais para os quais existe um grupo topológico como na pergunta de Comfort. Em outro artigo citado anteriormente, Tomita mostrou que para cada positivon, existe k ∈[n,2ⁿ[ e um grupo topológicoG tal que G^k enumeravelmente compacto, masG^k+1 não é. Todos os exemplos são sobMAenumeravel. Os exemplos de Tomita utilizam a álgebra de conjuntos gerada por um conjunto finito.

(47)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias finitas

Sob MA_enumeravel, para todo cardinal finito existe um grupo como na pergunta de Comfort.

Aqui é utilizado uma modifica¸cão da idéia de ultraprodutos, para garantir que uma sequência de n-uplas têm ponto de acumula¸cão. Para cada sequência den-uplas fixamos uma k-upla ”independente”que gera todas as outras junto com as sequências constantes. A não compacidade enumerável da n+ 1-ésima potência é obtida usando independencia linear de um conjunto com n+ 1 elementos comparado a um dek ≤n elementos.

Tomita [Fund. Math.,2005]

Se existem cultrafiltros seletivos, para todo cardinal finito existe um grupo

(48)

Quest˜ ao 477- potˆ encias infinitas - algumas considera¸c˜ oes

Em potências finitas, o número de candidatos a ponto de acumula¸cão do produto grande erac e eram eliminados um a um pelas

coordenadas definidas por homomorfismos. Para isto, dado uma N+ 1-upla (F₀, . . . ,F_N+1) constr´oi-se um homomorfismo

Φ : [c]^<ω −→2 que preserva os pontos de acumula¸c˜ao designados e {k ∈ω: Φ({k(N+ 1) +j}) = Φ(F_j)∀j <N+ 1}.

Para potências infinitas, não ficou claro se poderia-se garantir com algo similar que um ponto da potência não seja ponto de acumula¸cão.

No caso em que κ= 2^c, por exemplo, o número de candidatos a ponto de acumula¸cão de uma sequência no produto grande é pelo menos 2²^c, sendo que o número de ultrafiltro livres é somente 2^c. Com isto, ao invés de evitar que um ponto do produto grande seja ponto de acumula¸cão, o problema se tornou evitar que a sequência pré-fixada tenhap-limite para cada coordenada.

(49)

Quest˜ ao 477- potˆ encias infinitas - algumas considera¸c˜ oes

O problema é que ao incluir um novo ponto para assegurar pontos de acumula¸cão às sequências de potências pequenas, poder´ıa-se incluir p-limites indesejados à sequência.

A solu¸cão foi primeiro construir um grupo e extrair o exemplo como subgrupo. Assim, sabemos quais ultrafiltrosp têmp-limite para a sequência pré-fixada, e então remover um ponto necessário para uma das coordenadas terp-limite. Como iremos eliminar pontos, queremos que cada sequência em produtos pequenos tenham uma grande quantidade de pontos de acumula¸cão que sejam ”independentes”uma das outras.

Para garantir que podemos incluir uma pequena quantidade de pontos ao grupo sem dar ump-limite à sequência pré-fixada, refina-se

(50)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao

Tomita [Fund. Math., 2005]

Se existem 2^c ultrafiltros seletivos incomparáveis e 2^<2^c= 2^c, então para todo cardinal infinitoκ existe um grupo topológicoG como na pergunta de Comfort.

A extra¸cão do subgrupo que será o exemplo é diferente para κ∈[ω,2^c[ e κ= 2^c devido a cardinalidade deω^∗.

A constru¸cão do grupo grande e do refinamento da topologia é a mesma em ambos os casos. Nesta parte, são utilizados ultrafiltros seletivos, 2^c para cada sequência num produto pequeno. 2^<2^c = 2^cé usada para garantir que o número de sequências num produto pequeno seja 2^c.

(51)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao

Lema 1

Seja{p_ξ:ω ≤ξ <2^c}uma cole¸c˜ao de ultrafiltros seletivos incompar´aveis.

SejaF ={g_ξ,β :ω≤ξ <2^c∧β ≤γ < α}uma enumera¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes injetoras em ([2^c×α]^<ω)^ω, com α≤2^c, tais que

Sβ≤γ

n∈ωg_ξ,β(n)⊆ξ×α,para todo ordinal infinito ξ <2^c. Considere ainda a fam´ılia {A_ξ :ω≤ξ <2^c} de subconjuntos deαtal que dado ξ∈2^c\ω, {[g_ξ,β]pξ :β ∈Aξ} ∪ {[−→µ]pξ :µ∈2^c}´e linearmente independente. Ent˜ao, dado F ∈ [2^c×α]^<ω, existe um homomorfismoφ: [2^c×α]^<ω7−→ {0,1}

tal que:

φ(F) = 1,seF ∈ [2^c×α]^<ω\ ∅

(52)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Se A⊆ω×α, ent˜ao existe um homomorfismo ψ_A : [2^c×α]^<ω 7−→ {0,1}

tal que:

{(n, γ)∈ω×α:ψA({n} × {γ}) = 1}=A;

{n ∈ω:ψ_A(g_ξ,β(n)) =ψ_A({ξ} × {β})} ∈p_ξ,∀β∈A_ξ⊆α, ω≤ ξ <2^c.

Para cadaη ∈2^c,β∈α, fa¸ca

xη,β ={φ_F({η} × {β}) :F ∈ [2^c×α]^<ω\ ∅}∪

∪{ψ_A({η} × {β}) :A⊆ω×α}, com φ_F : [2^c×α]^<ω 7−→ {0,1}

homomorfismo definido no lema anterior tal que φ_F(F) = 1.

Considere{x_ξ,β :ξ <2^c, β∈α} enumera¸c˜ao do conjunto formado pelos elementos definidos acima.

(53)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Lema 2

Sejam{p_ξ:ω ≤ξ <2^c},α≤2^c,{g_ξ,β :ω≤ξ <2^c e β ≤γ < α}e {A_ξ :ω≤ξ <2^c} como no lema 1. Ent˜ao, existe uma fam´ılia {x_ξ,β :ξ <2^c, β∈α} ⊆2²^c satisfazendo:

(I) x_ξ,β ´e op_ξ-limite de{x_g

ξ,β(n):n∈ω} para todoξ ∈[ω,2^c), com β ∈A_ξ

(I-a)Se λ /∈A_ξ, a sequˆencia{x_g

ξ,λ(n):n∈ω} possui p_ξ-limite em h{x_η,θ : (η, θ)∈Sβ≤γ

n∈ωg_ξ,β(n)∪ {ξ} ×A_ξ}i

(II) para todoA⊆ω×α, existe (η, β)∈2^c×α tal que {(n, γ)∈ω×α:x_n,γ(η, β) = 1}=A

(54)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

H^γ é enumeravelmente compacto para todoγ <2^c, mas H²^c não é.

Lema

SejaF ={g_ξ,β :ω≤ξ <2^c∧β < γ <2^c}uma enumera¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes injetoras em ([2^c×2^c]^<ω)^ω tais que:

Sβ<γ

n∈ωg_ξ,β(n)⊆ξ×2^c,para todo ordinal infinitoξ <2^c, comγ <2^c; cada gξ em (([2^c×2^c]^<ω)^ω) aparece 2^c vezes na enumera¸c˜ao: (aqui denotamosg_ξ por{g_ξ,β:β ≤γ});

existe uma fam´ılia{A_ξ:ω≤ξ <2^c} de subconjuntos de 2^c, com

|A_ξ| ≤γ <2^c, tal que dadoξ∈2^c\ω,

{[g_ξ,β]_p_ξ :β ∈A_ξ} ∪ {[−→µ]_p_ξ :µ∈2^c}´e linearmente independente.

(55)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Lema

Sejam{x_ξ,β :ξ <2^c, β∈2^c} fam´ılia que satisfaz as condi¸cões (I)-(III) no Lema 2 para a fam´ıliaF. Seja ω^∗ ={q_η :η <2^c}enumera¸cão de todos os ultrafiltros livres. Então, existem fam´ılias{µ_ξ :ξ <2^c},{β_ξ:ξ <2^c}, {I_ξ:ξ <2^c} e{S_ξ:ξ <2^c}que satisfazem as seguintes condi¸cões:

I_ξ=ω×ω∪ {{µ_η} ×A_µ_η :η < ξ} ∪ {{n} × {β_η}:n∈ω∧η < ξ},

∀ξ <2^c e µ_η, β_η ∈[ω,2^c) para cadaη < ξ;

seη < ξ <2^c ent˜ao S_η ⊆S_ξ, com S_ξ⊆2^c×2^c,∀ξ <2^c; I_ξ∩S_ξ=∅ para cada ξ <2^c;

(56)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

S_ξ tem cardinalidade menor ou igual a |ξ|+|ω|para cada ξ <2^c. Exemplo

SejaI = S

ξ<2^c

Iξ e H =h{x_ξ,β: (ξ, β)∈I}i. EntãoH^γ é enumeravelmente compacto para todoγ <2^c, mas H²^c não é enumeravelmente compacto.

Sejaγ <2^c e considere{t_n,λ:n∈ω∧λ∈γ+ 1} sequˆencia 1-1 em H^γ

{t_n,λ:n ∈ω∧λ∈γ+ 1} pode ser vista como {x_g

µξ,λ(n) :n∈ω∧λ∈γ+ 1}

(57)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

para todoλ≤γ, seλ∈Aµξ, temos pelo item (I) do Lema 2 que x_µ_ξ_,λ ´e op_µ_ξ- limite de{x_g

µξ,λ(n):n∈ω}

Se λ /∈A_µ_ξ, temos do item (I-a) do Lema 2 que a sequˆencia {x_g

µξ,λ(n) :n∈ω} possui p_µ_ξ-limite em h{x_η,θ : (η, θ)∈ Sβ∈γ

n∈ωg_µ_ξ_,β(n)} ∪ {µ_ξ} ×A_µ_ξ}i ⊆ h{x_ξ,β : (ξ, β)∈I_ξ+1}i

Comoh{x_ξ,β : (ξ, β)∈I_ξ+1}i ⊆H, temos que H^γ ´e enumeravelmente compacto.

(58)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

H²^c não é enumeravelmente compacto A sequência

{(x_n,β_ξ)ξ∈2^c :n∈ω} n˜ao possui q-limite emH²^c para todo q∈ω^∗ dadoq ∈ω^∗ temos que q=q_η para algum η∈2^c

a sequˆencia{x_n,β_η :n ∈ω} n˜ao possui q_η−limite ou q_η−lim{x_n,β_η :n ∈ω}∈ h{x/ _η,θ : (η, θ)∈2^c×2^c\S_η}i temos que

I∩Sη =∅de forma que H⊆ h{x_η,θ: (η, θ)∈2^c×2^c\Sη}i a sequência{x_n,β_η :n ∈ω} não possui qη−limite emH Logo, {(x_n,β_ξ)ξ∈2^c :n∈ω}não possui ponto de acumula¸cão.

(59)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

H^γ é enumeravelmente compacto para todoγ < α, mas H^α não é (ω≤α <2^c).

SejaF ={g_ξ,β :ω≤ξ <2^c∧β < γ < α}uma enumera¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes injetoras em ([2^c×α]^<ω)^ω, com α <2^c , tal que

Sβ<γ

n∈ωgξ,β(n)⊆ξ×α,para todo ordinal infinito ξ <2^c,

cada gξ em (([2^c×α]^<ω)^ω)^α aparece 2^c vezes na enumera¸c˜ao (Aqui denotamosg_ξ por{g_ξ,β:β < γ});

existe uma fam´ılia{A_ξ:ω≤ξ <2^c} de subconjuntos deα, com

|A | ≤γ < α, tal que dado ξ∈2^c\ω,

(60)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Lema

Sejam{x_ξ,β :ξ <2^c, β∈α} e {p_ξ :ω≤ξ <2^c}fam´ılias que satisfazem as condi¸cões (I)-(III) no lema 2 para a fam´ıliaF. Então existem fam´ılias {µ_ξ :ξ <2^c},{I_ξ :ξ <2^c},{S_ξ:ξ <2^c}e {P_ξ:ξ <2^c} que satisfazem as seguintes condi¸cões:

I_ξ=ω×α∪ {{µ_η} ×A_µ_η :η < ξ},∀ξ <2^c e µ_η <2^c para cada η < ξ;

S_ξ ⊆2^c×α,∀ξ <2^c;

(I_ξ∪ {µ_ξ} ×Aµ_ξ)∩S_ξ=∅para cada ξ <2^c;

gµξ =gδ_ξ, onde δξ ´e o menor ordinalδ em [ω,2^c) para o qual Sn∈ω

β<γsupp(g_δ,β(n))⊆I_ξ eg_δ6=g_µ_η,∀η < ξ;

(61)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Pξ={p :p−lim{x_n,β :n∈ω} ∈ hx_η,µ: (η, µ)∈2^c×αi,∀β < α e

∃β₁, β2,β1 6=β2, tais quep−lim{x_n,β₁+x_n,β₂ :n∈ω} ∈H_ξ},∀ξ <

2^c;

sep ∈P_ξ ent˜ao existeβ < α tal quep−lim{x_n,β:n ∈ω}∈/

∈ h{x/ _η,θ : (η, θ)∈2^c×α\Sξ}i;

Pξ tem cardinalidade menor ou igual que |α|+|ξ|para cadaξ <2^c; Sξ tem cardinalidade menor ou igual que |α|+|ξ|para cada ξ <2^c; S_ξ tem cardinalidade menor ou igual que |α|+|ξ|para cada ξ <2^c; seη < ξ <2^c,entãoPη ⊆P_ξ e se ξé ordinal limite, então

P_ξ= S P_η;

(62)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Exemplo SejaI = S

ξ<2^c

I_ξ e seja H =h{x_ξ,β : (ξ, β)∈I}i. Então H^γ é enumeravelmente compacto para todoγ < α, mas H^α não é enumeravelmente compacto. H^γ é enumeravelmente compacto

sejaγ < αe considere {t_n,λ:n∈ω∧λ∈γ+ 1} sequˆencia 1-1 em H^γ

existe µ_ξ<2^c tal que g_µ_ξ =g_θ e a sequˆencia {t_n,λ:n ∈ω∧λ∈γ+ 1} pode ser vista como {x_g

µξ,λ(n) :n∈ω∧λ∈γ+ 1}

para todoλ≤γ, se λ∈Aµ_ξ, temos pelo item (I) do lema 2 quex_µ_ξ_,λ

´

e op_µ_ξ- limite de {x_g

µξ,λ(n):n∈ω}

(63)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao.

Se λ /∈Aµ_ξ, temos do item (I-a) do lema 2 que a sequˆencia {x_g

µξ,λ(n) :n∈ω} possuip_µ_ξ-limite em h{x_η,θ : (η, θ)∈ Sn∈ω

β<γg_µ_ξ_,β(n)∪ {µ_ξ} ×A_µ_ξ}i ⊆ h{x_ξ,β: (ξ, β)∈I_ξ+1}i h{x_ξ,β : (ξ, β)∈Iξ+1}i ⊆H para todo λ∈γ+ 1

H^γ ´e enumeravelmente compacto.

H^α n˜ao ´e enumeravelmente compacto

Suponha por contradi¸cão que a sequência {(x_n,β)β∈α :n∈ω} possui ponto de acumula¸cão em H^α

(64)

Quest˜ ao 477 - potˆ encias infinitas - esbo¸co da solu¸c˜ ao

Sejap ∈ω^∗ tal que (x_β)β∈α =p−lim{(x_n,β)β∈α :n∈ω} ∈ (H_ξ)^α ⊆H^α

vemos quep ∈P_ξ e da´ı existeβ < α tal que

p−lim{x_n,β :n∈ω}∈ h{x/ _η,θ : (η, θ)∈2^c×α\S_ξ}i existe β < α tal que

p−lim{x_n,β :n∈ω}∈ h{x/ _η,θ : (η, θ)∈2^c×α\S_ξ}i

H =h{x_ξ,β : (ξ, β)∈I}ie I∩Sξ=∅e p−lim{x_n,β :n∈ω}∈/ H, o que ´e contradi¸c˜ao

(65)

Grupos cuja cardinalidade tem cofinalidade enumer´ avel

E. van Douwen [Proc. Amer. Math. Soc., 1980]

Sob a Hipótese Generalizada do Cont´ınuo, todo grupo pseudocompacto tem cardinalidade de cofinalidade não enumerável.

Ele também mostrou que usando uma aritmética adequada, é consistente que existem grupos pseudocompactos cuja cardinalidade tem cofinalidade enumerável.

E. van Douwen [Proc. Amer. Math. Soc., 1980]

Questão: Se G é um grupo enumeravelmente compacto então|G|^ω =|G|?

Pelo menos a cofinalidade de |G|é não enumerável?

(66)

Grupos cuja cardinalidade tem cofinalidade enumer´ avel

O exemplo em Tomita [Proc. Amer. Math. Soc., 2003] modificou o exemplo em Tomita [Topology Appl., 1999], que ´e uma varia¸c˜ao de Hart e van Mill [Trans. Amer. Math. Soc., 1991].

O grupo enumerável é substituido por um grupo de cardinalidade ℵ_ω >c ou seja, o exemplo é a soma do grupo ω-limitado e um grupo de cardinalidade ℵ_ω. Todas as sequências no grupo de cardinalidade ℵ_ω tem um ponto de acumula¸cão no grupoS

α<c2^α× {0}^[α,c[. O forcing utilizado ´e parecido ao utilizado em Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000].

O peso do exemplo ´e c=ℵ₁. Tomita [Topology Appl., 2005, v. 150]

Existe um grupo p-compacto de cardinalidade ℵ_ω cujo peso ´e 2^c>ℵ_ω.

(67)

Peso de grupos enumeravelmente compactos sem sequˆ encias convergentes

Malykhin e Sapiro [Math. Notes, 1985] provaram que sob a Hipótese Generalizada do Cont´ınuo (GCH), todo grupo totalmente limitado (em particular, pseudocompacto) sem sequências não triviais

convergentes tem cardinalidade de cofinalidade n˜ao enumer´avel. Eles obtiveram via forcing um modelo onde existe um grupo

pseudocompacto sem sequˆencias convergentes de peso ℵ₁<c.

Tomita [Proc. Amer. Math. Soc., 2003] mostrou que ´e consistente que existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequˆencias convergentes de peso ℵ_ω.

Castro Pereira e Tomita [Topology Appl., 2009] mostraram que é consistente que para cada cardinal κ existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes cujo peso é maior que κ e tem cofinalidade enumerável.

(68)

Peso de grupos enumeravelmente compactos sem sequˆ encias convergentes

Castro Pereira e Tomita [Topology Appl., 2009] mostraram que é consistente que para cada cardinal κ existe um grupo enumeravelmente compacto sem sequências convergentes cujo peso é maior que κ e tem cofinalidade enumerável.

(69)

Peso de grupos enumeravelmente compactos sem sequˆ encias convergentes

(70)

Grupos abelianos livres enumeravelmente compactos

Tkachenko [Izvestia, 1990] provou que sob CH existe um grupo abeliano livre enumeravelmente compacto de cardinalidade c.

Tomita [CMUC, 1998], Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000] e Madariaga Garcia e Tomita [Topolog Appl., 2007]

obtiveram tais exemplos sob MA, MA_enumeravel e existˆencia de c ultrafiltros seletivos respectivamente.

Koszmider, Tomita e Watson [op. cit.] obtiveram uma topologia de grupo enumeravelmente compacta para Z⁽²^c) usando forcing. Madariaga Garcia e Tomita [op. cit.] obtiveram tal exemplo assumindo a existência de 2^c ultrafiltros seletivos incomparáveis. Castro Pereira e Tomita [Appl. Gen. Topology, 2004] construiram um grupo abeliano livre sem sequências convergentes de cardinalidadeℵ_ω num modelo de forcing.

(71)

Grupos abelianos livres enumeravelmente compactos

Tkachenko [Izvestia, 1990] provou que sob CH existe um grupo abeliano livre enumeravelmente compacto de cardinalidade c.

Tomita [CMUC, 1998], Koszmider, Tomita e Watson [Topology Proc., 2000] e Madariaga Garcia e Tomita [Topolog Appl., 2007]

obtiveram tais exemplos sob MA, MA_enumeravel e existˆencia de c ultrafiltros seletivos respectivamente.

Koszmider, Tomita e Watson [op. cit.] obtiveram uma topologia de grupo enumeravelmente compacta para Z⁽²^c) usando forcing.

Madariaga Garcia e Tomita [op. cit.] obtiveram tal exemplo assumindo a existˆencia de 2^c ultrafiltros seletivos incompar´aveis.

Castro Pereira e Tomita [Appl. Gen. Topology, 2004] construiram um