Aula 06 Regra de três

Aula 06 – Regra de três

Raciocínio Lógico para TJ MG (todos os cargos)

Prof. Arthur Lima

Sumário

RAZÃO E PROPORÇÃO ... 3

GRANDEZASDIRETAMENTEPROPORCIONAIS 4 GRANDEZASINVERSAMENTEPROPORCIONAIS 6 REGRADETRÊSCOMPOSTA 9 Método tradicional para regras de três compostas 9 Método alternativo para regras de três compostas 14 DIVISÃOEMPARTESPROPORCIONAIS 17 DIFERENÇASDERENDIMENTO 22 QUESTÕES COMENTADAS PELO PROFESSOR ... 27

LISTA DE QUESTÕES DA AULA ... 75

GABARITO ... 93

RESUMO DIRECIONADO ...94

Regra de três

Olá, tudo bem? Aqui é o professor Arthur Lima.

É com muita alegria que inicio mais essa aula.

Vamos tratar sobre os seguintes tópicos do seu edital neste encontro:

Noções básicas de proporcionalidade: problemas envolvendo regra de três simples.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

Para começar esta aula, imagine que estamos dirigindo um carro. Você concorda que, quanto MAIS rápido eu dirigir o carro, MAIOR será a distância que eu vou conseguir percorrer em um determinado período de tempo (por exemplo, 1 hora)? E, quanto MENOR for a minha velocidade, MENOR será a distância por mim percorrida? Perceba que temos duas “entidades” ou “grandezas” envolvidas neste exemplo: a velocidade que eu dirijo o carro e a distância percorrida. Nós podemos falar que a distância é proporcional à velocidade pois, como vimos, essas duas grandezas variam juntas!

Portanto, já guarde isso: duas grandezas são proporcionais quando elas variam juntas – seja as duas aumentando, as duas diminuindo, ou uma aumentando e a outra diminuindo.

Precisamos conhecer dois tipos de proporcionalidade: aquelas com grandezas diretamente proporcionais, e aquelas com grandezas inversamente proporcionais. Vamos lá?

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando elas variam no mesmo sentido, isto é: quando uma cresce, a outra também cresce. Já, se a primeira diminui, a segunda diminui também.

Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é diretamente proporcional ao tempo de serviço.

O que significa isso? Ora, significa que, à medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional também aumenta. Por outro lado, quanto menor for o tempo de serviço do funcionário, menor será o seu salário. Essa variação ocorre de maneira proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário e o tempo trabalhado.

Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha nesta empresa?

Temos duas grandezas envolvidas (tempo e salário). Para encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), podemos organizar as informações da seguinte maneira:

Tempo (anos) Salário (reais) 51000

T1500

Veja que, na primeira linha, coloquei as informações relativas a João. Na segunda linha estão as informações relativas a Kléber. A forma de resolver um exercício como este é muito conhecida: estamos diante de uma regra de três simples. Basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000). Costumamos chamar isso de “multiplicação cruzada”. Veja:

5 x 1500 = T x 1000 7500 = T x 1000 𝑇 =7500

1000 𝑇 = 7,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos.

Guarde esse procedimento básico para a solução de problemas de proporcionalidade direta:

PROPORÇÃO DIRETA:

1 – Confirme que as grandezas são diretamente proporcionais (aumentam juntas / diminuem juntas);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Veja essa questão:

FCC – TRT/PE – 2018) A relação entre funcionários homens e funcionárias mulheres em uma repartição pública é de 5 para 4, nessa ordem. Após um concurso, foram admitidos 5 novos funcionários homens e 12 novas funcionárias mulheres nessa repartição. Com o ingresso desses funcionários, a proporção entre funcionários homens e funcionárias mulheres da repartição passou a ser de 9 para 8, nessa ordem. Sendo assim, depois do concurso a repartição passou a ter um total de funcionárias mulheres igual a

(A) 64.

(B) 78.

(C) 80 (D) 72.

(E) 70.

RESOLUÇÃO:

Foi afirmado que para cada 5 homens, temos 4 mulheres na repartição. Sendo H e M os totais de homens e mulheres inicialmente, temos:

5 homens --- 4 mulheres H homens --- M mulheres

5 x M = 4 x H H = 5M/4

Após entrarem 5 homens e 12 mulheres, ficamos com H+5 homens e M+12 mulheres, e a razão passou a ser de 9 homens para 8 mulheres. Ou seja:

9 homens --- 8 mulheres H + 5 homens --- M + 12 mulheres

9 x (M + 12) = 8 x (H + 5) 9M + 108 = 8 x (5M/4) + 40

9M + 108 = 10M + 40 10M – 9M = 108 – 40

M = 68

Originalmente havia 68 mulheres. Com as 12 contratações, passamos para 80 mulheres.

Resposta: C

Antes de prosseguir, trabalhe mais esta questão:

CESPE – EMAP – 2018) Os operadores dos guindastes do Porto de Itaqui são todos igualmente eficientes. Em um único dia, seis desses operadores, cada um deles trabalhando durante 8 horas, carregam 12 navios.

Com referência a esses operadores, julgue o item seguinte.

( ) Para carregar 18 navios em um único dia, seis desses operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

RESOLUÇÃO:

Observe que, aparentemente, temos TRÊS grandezas envolvidas: o número de operadores, o número de horas de trabalho, e o número de navios carregados. Entretanto, perceba que o número de operadores NÃO MUDA (permanecem 6). Quando uma grandeza não muda, podemos simplesmente ignorá-la e trabalhar somente com as demais. Anotando-as em uma tabela:

Horas por dia --- Navios 8 12

X 18

Perceba que quanto MAIS horas de trabalho por dia nós tivermos, MAIS navios conseguiremos carregar. Ou seja, temos grandezas diretamente proporcionais. Fazendo a multiplicação cruzada, temos:

8 . 18 = X . 12 2 . 18 = X . 3

2 . 6 = X . 1 12 = X

Portanto, os operadores precisam trabalhar 12 horas. O item é ERRADO, pois afirma que os operadores deverão trabalhar durante mais de 13 horas.

Resposta: E

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. Por exemplo, imagine que 2 pedreiros trabalhando juntos levam 6 horas para erguer uma parede.

Quanto tempo levariam 3 pedreiros? Temos duas grandezas inversamente proporcionais: número de pedreiros e tempo para erguer a parede. Isso porque, quanto MAIS pedreiros trabalhando em uma obra, MENOS tempo é necessário para finalizá-la, concorda? É muito importante ser capaz de imaginar o “mundo real” para fazer esse julgamento!

A forma de resolução do problema é bem parecida com o caso anterior, há apenas uma pequena (mas importantíssima) diferença. O primeiro passo consiste em anotar as informações do enunciado em uma tabela:

Número de pedreirosTempo (hr) 26

Aqui vem a diferença: como as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais, antes de realizar a multiplicação cruzada nós precisamos INVERTER uma das colunas. Você pode escolher qualquer coluna para inverter, ok? Eu escolhi inverter os termos da coluna dos Pedreiros. Veja como ficou:

Número de pedreiros Tempo (hr) 36

2T

Feito isso, basta efetuar a multiplicação cruzada:

3 x T = 2 x 6 3 x T = 12

𝑇 =12 3 𝑇 = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Portanto, o AUMENTO de número de pedreiros (de 2 para 3) REDUZ o tempo necessário para erguer a parede de 6 para 4 horas. Era exatamente isso que nós esperávamos, concorda?

Vamos então anotar a “receita de bolo” para enfrentar problemas de proporcionalidade inversa:

PROPORÇÃO INVERSA:

1 – Confirme que as grandezas são inversamente proporcionais (quando uma aumenta, a outra diminui, e vice-versa);

2 – Monte a tabela com os valores dados no enunciado;

3 – INVERTA os valores de uma das colunas (troque-os de linha);

4 – Faça a multiplicação cruzada e encontre o valor solicitado.

Perceba que a única diferença está no passo 3!

Resolva essa questão introdutória antes de avançarmos:

FCC – TRT/11 – 2017) Um ciclista cumpriu seu trajeto de treinamento com uma velocidade média de 20 km/h e um tempo de 6 horas e 24 minutos. No dia seguinte, ao voltar, o ciclista cumpriu o mesmo trajeto em exatamente 8 horas. Nesse dia sua velocidade média caiu, em relação ao treinamento do dia anterior, um valor igual a

(A) 1,5 km/h.

(B) 3 km/h.

(C) 7 km/h.

(D) 4 km/h.

(E) 6 km/h.

RESOLUÇÃO:

Podemos escrever:

20km/h —————— 6h 24min V km/h ——————– 8h

Uma dica importante: nunca trabalhe com horas e minutos. O ideal é transformar tudo em minutos. Como 1 hora corresponde a 60 minutos, fica fácil dizer que 8 horas são 8 x 60 = 480 minutos. Da mesma forma, 6 horas são 6 x 60 = 360 minutos. Somando ainda os 24 minutos (de 6h24min), temos 384 minutos. Assim, ficamos com:

20km/h —————— 384 min V km/h —————— 480 min

Repare que, quanto MAIOR a velocidade que percorremos um trajeto, MENOR será o tempo gasto no trajeto.

O enunciado não disse, mas nós percebemos claramente que as grandezas são inversamente proporcionais!

Devemos inverter uma das colunas. No caso, vou inverter a coluna das velocidades:

V km/h —————— 384 min 20 km/h ——————– 480 min Agora basta fazer a multiplicação cruzada:

V x 480 = 20 x 384 V x 24 = 384 V = 384 / 24 V = 16 km/h

A queda na velocidade foi de 20 para 16 km/h, ou seja, uma queda de 4km/h.

Resposta: D

Vamos trabalhar mais uma questão?

VUNESP – PM/SP – 2018) Uma máquina trabalhando ininterruptamente 5 horas por dia produz um lote de peças em 3 dias. Para que esse mesmo lote fique pronto em 2 dias, o tempo que essa máquina terá que trabalhar diariamente, de forma ininterrupta, é de

(A) 7 horas e 50 minutos.

(B) 6 horas e 45 minutos.

(C) 6 horas e 35 minutos.

(E) 7 horas e 05 minutos.

RESOLUÇÃO:

Vamos anotar os dados do enunciado na tabela abaixo:

Horas por diaDias 5 3

T 2

Note que quanto MAIS horas trabalhamos por dia, conseguimos produzir um lote em MENOS dias. Isto evidencia que as grandezas são INVERSAMENTE proporcionais. Portanto, devemos inverter uma das colunas.

Vou inverter a coluna das horas por dia. Veja:

Horas por diaDias T 3

5 2 Agora é só montar a nossa multiplicação cruzada:

T x 2 = 3 x 5 T = 15/2

T = 7,5 T = 7h + 0,5h T = 7 horas + 30 minutos Resposta: D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Até aqui trabalhamos apenas com duas grandezas por vez. Nas questões onde aparecem 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos a famosa regra de três composta.

Quero te ensinar a resolver as questões de regra de três composta usando dois métodos, para que você fique à vontade para escolher aquele que se identificar melhor, ok?

Método tradicional para regras de três compostas

Vamos entender como funciona este método através de um exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Perceba que agora nós temos 3 grandezas: número de pedreiros, número de paredes e tempo de construção. Veja o esquema abaixo, onde anotei os dados fornecidos:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 241

5X7

A seguir, podemos colocar uma seta na coluna onde está a grandeza que precisamos descobrir (X), apontando para baixo ou para cima (como você quiser):

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 241

5X7

Agora, vamos comparar as demais grandezas com aquela onde está o X (número de paredes), para descobrir se há uma relação direta ou inversamente proporcional entre elas. Observe que, quanto MAIOR o número de paredes, MAIS pedreiros serão necessários para construí-las. Portanto, trata-se de uma relação diretamente proporcional. Assim, colocamos a seta no MESMO SENTIDO (isto é, para baixo) na coluna do Número de pedreiros:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 241

5X7

Da mesma forma, vemos que quanto MAIOR o número de paredes, MAIOR será o tempo de construção.

Portanto, essas grandezas também são diretamente proporcionais, e podemos colocar a seta no mesmo sentido:

Número de pedreiros Número de paredes Tempo de construção 241

5X7

Obs.: se alguma grandeza fosse inversamente proporcional, colocaríamos a seta no sentido oposto. Depois, para colocar a seta no mesmo sentido das demais, precisaríamos inverter os termos daquela grandeza (trocá-los de linha). Veremos exercícios tratando sobre isso.

Uma vez alinhadas as setas, podemos montar a nossa proporção. Para isso, montamos a razão (divisão) entre os termos da coluna onde está o X (isto é, fazemos _𝑋⁴) e a igualamos à multiplicação das razões obtidas nas demais colunas (²₅ e ¹₇), ficando com:

4 = 2 1

Para obter o valor de X, basta terminar os cálculos. É interessante, neste momento, tentar SIMPLIFICAR os números, visando trabalhar com valores menores. Para você não ficar inseguro, vamos lembrar do ÚNICO caso em que você NÃO PODE simplificar: nunca simplifique na DIAGONAL, ou seja, o numerador de um lado com o denominador do outro. Ou seja, não é possível fazer as simplificações nos sentidos vistos na figura abaixo:

Podemos simplificar o 4 (numerador da esquerda) com o 2 (numerador da direita). Basta dividir ambos por 2, ficando com:

2 𝑋=1

5𝑥1 7

2 𝑋= 1

35

2 . 35 = X . 1

70 = X

Portanto, seria possível erguer 70 paredes com 5 pedreiros trabalhando por 7 meses. Veja no quadro abaixo um resumo do que fizemos neste exemplo.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA:

1. Encontrar quais são as grandezas envolvidas e montar uma tabela com elas;

2. Colocar uma seta na coluna onde estiver o valor a ser descoberto (X);

3. Comparar as demais grandezas à da coluna do X, verificando se são direta ou inversamente proporcionais à ela, e colocando setas no mesmo sentido ou no sentido oposto;

4. Alinhar todas as setas, invertendo os termos das colunas onde for necessário;

5. Montar a proporção, igualando a razão da coluna com o termo X com o produto das demais razões;

6. Obter X.

Uma observação: você verá que muitas vezes eu nem desenho as setas! Elas são um bom recurso em um momento inicial, para que você fixe melhor o procedimento de resolução. Mas, se preferir, nem perca tempo as desenhando!

A propósito, resolva essas questões comigo:

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim:

FuncionáriosMáquinas Dias 20 15045

30 275D

Note que quanto MAIS dias tivermos para fazer o trabalho, MENOS funcionários são necessários, e MAIS máquinas podem ser despachadas. Portanto, devemos inverter a coluna dos funcionários, que é inversamente proporcional. Ficamos com:

FuncionáriosMáquinas Dias 30 15045

20 275D

Montando a proporção:

45 𝐷 =30

20𝑥150 275 Preste atenção nas simplificações:

45 𝐷 =3

2𝑥150 275

15 𝐷 =1

2𝑥150 275

1 𝐷=1

2𝑥 10 275

1 𝐷=1

1𝑥 5 275

1 𝐷= 5

275

Podemos inverter os dois lados, ficando com:

𝐷 =275 5

Multiplicando em cima e embaixo por 2 (é um bom truque para quando o denominador é 5):

𝐷 =550

10 = 55 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Anotando as informações fornecidas:

2 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 3 funcionários --- 24 relatórios --- N dias

Agora devemos comparar a coluna onde está a variável (dias) com as demais. Note que quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MENOS funcionários são necessários para concluir um trabalho. E quanto MAIS dias de trabalho nós temos disponíveis, MAIS relatórios podem ser feitos. Fica claro que “funcionários” é INVERSAMENTE proporcional ao número de dias, o que nos leva a inverter essa coluna:

3 funcionários --- 12 relatórios --- 3 dias 2 funcionários --- 24 relatórios --- N dias Agora podemos montar a nossa proporção:

3 𝑁=3

2𝑥12 24 3

𝑁=3 2𝑥1

2 1

𝑁=1 2𝑥1

2 1 𝑁 =1

4 𝑁 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠 Resposta: D

Método alternativo para regras de três compostas

Pela minha experiência, a maioria dos alunos acaba tendo alguma dificuldade em verificar se duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Existe um segundo método de resolução que dispensa este passo. Para resolvê-lo, entretanto, é preciso ser capaz de separar as grandezas do enunciado em dois

“tipos”:

- aquela grandeza que representa o “resultado”;

- aquelas grandezas que representam os “ingredientes” para aquele resultado.

Como assim? Vamos retomar o nosso exemplo:

2 pedreiros constroem 4 paredes em 1 mês. Quantas paredes serão construídas por 5 pedreiros em 7 meses?

Repare que temos os PEDREIROS, as PAREDES e o TEMPO (meses). Note que o resultado buscado é a construção de paredes, concorda? E quais são os ingredientes utilizados para construir as paredes? Os pedreiros e o tempo de trabalho! Sabendo disso, podemos anotar as informações em uma tabela como esta abaixo, deixando de um lado dos ingredientes e do outro lado o resultado:

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Para chegar em nosso resultado, basta fazermos as multiplicações dos termos marcados pelas linhas

INGREDIENTES RESULTADO

Pedreiros Tempo Paredes

2 1 4

5 7 P

Repare que o procedimento é simples: basta multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra linha. Agora, podemos igualar as duas multiplicações:

2 x 1 x P = 5 x 7 x 4

Uma vez montado o problema, basta terminarmos de resolver:

2P = 140 P = 70

Simples e rápido, não? Anote aí a “receita de bolo”:

REGRA DE TRÊS COMPOSTA (MÉTODO ALTERNATIVO):

1 – identificar qual é o OBJETIVO ou RESULTADO pretendido e quais são os INGREDIENTES necessários;

2 – montar uma tabela separando os ingredientes do resultado;

3 – multiplicar os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra;

4 – igualar as duas multiplicações, obtendo o valor da variável buscada.

Vamos praticar esse método nos mesmos exercícios que trabalhamos anteriormente?

FCC – TRF/3ª – 2016) Uma indústria produz um tipo de máquina que demanda a ação de grupos de funcionários no preparo para o despacho ao cliente. Um grupo de 20 funcionários prepara o despacho de 150 máquinas em 45 dias. Para preparar o despacho de 275 máquinas, essa indústria designou 30 funcionários. O número de dias gastos por esses 30 funcionários para preparem essas 275 máquinas é igual a

(A) 55.

(B) 36.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 48.

RESOLUÇÃO:

Temos as grandezas: máquinas despachadas, funcionários trabalhando, e dias de trabalho. Qual é o RESULTADO que buscamos? Ora, queremos despachar máquinas! E, para fazer isso, quais são os ingredientes utilizados? Nós estamos utilizando funcionários e tempo de trabalho, concorda? Portanto, podemos montar a nossa tabela:

Veja que eu já coloquei as linhas que indicam as multiplicações a serem realizadas: multiplicamos os ingredientes de uma linha pelo resultado da outra! Ficamos com:

20 x 45 x 275 = 30 x D x 150 Simplificando os cálculos:

2 x 45 x 275 = 3 x D x 150 2 x 15 x 275 = 1 x D x 150 2 x 1 x 275 = 1 x D x 10

550 = D x 10 D = 55 dias Resposta: A

FGV – CGM NITERÓI – 2018) Dois funcionários fazem, em média, doze relatórios em três dias. Mantendo a mesma eficiência, três funcionários farão vinte e quatro relatórios em

(A) um dia.

(B) dois dias.

(C) três dias.

(D) quatro dias.

(E) seis dias.

RESOLUÇÃO:

Veja que o OBJETIVO aqui é produzir relatórios. Para produzi-los, os ingredientes são:

- tempo (dias) de trabalho.

Podemos anotar as informações:

Agora basta seguir as linhas azul e vermelha para resolvermos o exercício:

2 x 3 x 24 = 3 x D x 12 2 x 3 x 2 = 3 x D x 1 2 x 1 x 2 = 1 x D x 1

4 = D Resposta: D

DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS

Algumas questões nos apresentam situações onde devemos dividir alguma coisa (ex.: lucro da empresa) entre algumas pessoas de maneira PROPORCIONAL a algum critério (ex.: fatia da empresa possuída por cada sócio). A resolução é relativamente tranquila, pois podemos usar até mesmo regras de três simples! Para você compreender melhor, vejamos um exemplo.

Suponha que André, Bruno e Carlos são pedreiros, e trabalharam juntos na construção de uma casa. O patrão combinou de pagar um total de R$40000, sendo que cada pedreiro receberia um valor proporcional ao tempo que trabalhasse. Ao final, André trabalhou 200 horas, Bruno trabalhou 300 horas e Carlos trabalhou 500 horas. Quanto foi recebido por cada rapaz?

Veja que temos uma coisa (40.000 reais) a ser dividida entre 3 pessoas seguindo um determinado critério de proporcionalidade (a divisão deve ser diretamente proporcional aos tempos de trabalho de cada um).

Uma primeira forma de resolver consiste em uma regra de três simples com a seguinte “cara”:

Dinheiro TOTAL --- Tempo TOTAL Dinheiro de Fulano --- Tempo de Fulano

Veja que basta montar uma regra de três relacionando os valores totais (dinheiro e tempo) e os valores de um determinado indivíduo (que pode ser André, Bruno ou Carlos). O dinheiro total é 40.000 reais, e o tempo total é dado pela soma 200 + 300 + 500 = 1000 horas de trabalho. Assim, no caso de André, que trabalhou 200 horas, temos a regra de três:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de André --- 200 horas Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 200 = 1000 x Dinheiro de André 40 x 200 = Dinheiro de André 8000 reais = Dinheiro de André

De maneira similar, podemos calcular o dinheiro de Bruno. Como ele trabalhou 300 horas:

40000 reais --- 1000 horas Dinheiro de Bruno --- 300 horas

Fazendo a multiplicação cruzada:

40000 x 300 = 1000 x Dinheiro de Bruno 40 x 300 = 1 x Dinheiro de Bruno 12000 reais = Dinheiro de Bruno

Você pode calcular a parcela de Carlos da mesma forma, basta usar 500 horas. Outra forma, até mais fácil, é simplesmente pegar o total (40.000 reais) e subtrair os valores dados a André e Bruno, ou seja,

Carlos = 40.000 – 8.000 – 12.000 = 20.000 reais

Perceba que a divisão foi mesmo DIRETAMENTE proporcional! André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MENOS dinheiro. Já Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MAIS dinheiro.

Uma segunda forma de resolver consiste no uso de ‘constantes de proporcionalidade’. Considero IMPORTANTÍSSIMO que você aprenda este segundo método, pois ele é fundamental em questões mais complexas sobre divisão proporcional. A ideia básica é criar uma variável, que chamamos de constante de proporcionalidade. Eu costumo usar a letra K. Assim, como André trabalhou 200 horas, ele tem direito a 200K.

Como Bruno trabalhou 300 horas, ele faz jus a 300K e, como Carlos trabalhou 500 horas, ele deve receber 500K.

A soma dos valores recebidos, que é 200K + 300K + 500 K = 1000K, deve ser igual a 40.000 reais, concorda?

1000K =40000 K =40

Sabendo o valor da constante, conseguimos calcular rapidamente o valor recebido por cada rapaz:

André = 200K = 200 . 40 = 8000 reais Bruno = 300K = 300 . 40 = 12000 reais Carlos = 500K = 500 . 40 = 20000 reais Entendeu? Excelente!

E se a questão falasse que o dinheiro deveria ser distribuído de forma INVERSAMENTE proporcional ao tempo de trabalho de cada um??? Neste caso, você poderia usar a mesma constante K. Entretanto, André faria jus a ^𝐾

200 , Bruno a ^𝐾

300, e Carlos a ^𝐾

500. Essa é a única mudança! Ao invés de multiplicar a constante pelos valores de cada pessoa, nós dividimos a constante pelo valor de cada pessoa, uma vez que a divisão é inversamente proporcional a esses valores.

A soma continua sendo de 40000 reais, portanto:

𝐾 200+ 𝐾

300+ 𝐾

500= 40000

Multiplicando todos os termos por 100, ficamos com:

𝐾 2+𝐾

3 +𝐾

5 = 4.000.000

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 5 é o 30. Podemos multiplicar todos os termos por 30, ficando com:

15𝐾 + 10𝐾 + 6𝐾 = 120.000.000 31𝐾 = 120.000.000

𝐾 =120.000.000 31 𝐾 = 3.870.967,74

(não se assuste com o tamanho dos números... isso ocorre porque este exercício NÃO foi concebido para trabalharmos com divisão inversamente proporcional, só estamos fazendo para entender o método)

Agora que sabemos o valor da constante, podemos encontrar o valor recebido por cada rapaz:

André = K/200 = 3.870.967,74 / 200 = 19.354,83 reais Bruno = K/300 = 3.870.967,74 / 300 = 12.903,22 reais Carlos = K/500 = 3.870.967,74 / 500 = 7.741,93 reais

Repare que a soma dos valores é mesmo 40.000 reais (ou quase isso, por conta dos arredondamentos). E veja que a divisão foi mesmo INVERSAMENTE proporcional. André, que trabalhou MENOS horas, ganhou MAIS dinheiro! E Carlos, que trabalhou MAIS horas, ganhou MENOS dinheiro!

Compreendido? Vamos então empregar os dois métodos nos próximos exercícios!

FCC – SABESP – 2018) Em um centro de telemarketing de uma rede de academias, três operadores dividem entre si um bônus no final do ano de forma proporcional às quantidades de clientes matriculados por cada um ao longo do ano. No ano de 2017, o operador Carlos matriculou 700 clientes; a operadora Silvânia, 850 clientes;

o operador Josias, 800 clientes. Se o bônus recebido por Josias foi de R$ 1.200,00, então o valor total do bônus dividido entre os três operadores em 2017 foi de

(A) R$ 2.515,50.

(B) R$ 9.600,00.

(C) R$ 8.400,00.

(D) R$ 3.525,00.

(E) R$ 10.200,00.

RESOLUÇÃO:

➔ PRIMEIRA SOLUÇÃO (regra de três simples):

Veja que temos mais informações em relação a Josias: ele ganhou 1200 reais de bônus, e matriculou 800 clientes. Podemos montar a seguinte regra de três relacionando os bônus e os números de matriculados:

Bônus total --- Total de matriculados Bônus de Josias --- Matriculados por Josias

O total de matriculados é de 700 + 850 + 800 = 2350. Assim, substituindo os valores conhecidos, temos:

Bônus total --- 2350 1200 --- 800 Resolvendo a regra de três simples:

Bônus total x 800 = 1200 x 2350 Bônus total x 8 = 12 x 2350

Bônus total x 2 = 3 x 2350 Bônus total = 3 x 1175 Bônus total = 3525 reais Podemos marcar a alternativa D, que é o nosso gabarito.

➔ SEGUNDA SOLUÇÃO (constante de proporcionalidade):

Outra forma de resolver consiste em trabalhar com “k”, a nossa constante de proporcionalidade. As partes a serem divididas para os operadores são diretamente proporcionais à quantidade de clientes matriculados por cada um (700, 850 e 800 clientes), ou seja, os valores de cada um são 700k, 850k e 800k. Foi dado que Josias recebeu 1200 reais. O bônus de Josias é 800k, ou seja,

800k = 1200 k = 1200/800

k = 1,5 Assim, o valor total do bônus foi de:

Total = 700k + 850k + 800k Total = 2350k Total = 2350 . 1,5 Total = 3525 reais Resposta: D

Veja ainda uma situação menos comum em prova, mas que você também deve aprender a resolver:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) O número 772 foi dividido em três partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Assinale a alternativa que apresenta o menor desses números.

(A) 120.

(B) 160.

(C) 180.

(D) 200.

(E) 240.

RESOLUÇÃO:

Como temos uma divisão que é diretamente proporcional a alguns números e inversamente proporcional a outros, a solução mais recomendável é o uso da constante de proporcionalidade K.

Devemos dividir 772 em três partes, que ao mesmo tempo são diretamente proporcionais a 7, 4 e 8, e inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Isto significa que podemos escrever cada uma das três partes da seguinte forma:

- 7

K2 (diretamente proporcional a 7 e inversamente proporcional a 2);

- 4

K3 (diretamente proporcional a 4 e inversamente proporcional a 3);

- 8

K5 (diretamente proporcional a 8 e inversamente proporcional a 5);

Neste caso, chamamos K de “constante de proporcionalidade”. A soma dos 3 números é igual a 772, ou seja:

7 4 8

772=  +  + K 2 K 3 K 5 105 40 48

772 30

K+ K+ K

=

23160=193K 120 K =

Portanto, a constante K é igual a 120. Deste modo, os 3 números são:

7

K2 = 120 x (7/2) = 420 4

K3= 120 x (4/3) = 160 8

K5 = 120 x (8/5) = 192 Repare que, de fato, 160 + 192 + 420 = 772. O menor dos 3 números é 160.

Resposta: B

DIFERENÇAS DE RENDIMENTO

Imagine que Paulo e Marcos levam 1 hora para arrumar 600 livros na estante. Sabemos ainda que Paulo, trabalhando sozinho, levaria 3 horas para completar este serviço. Quanto tempo levaria Marcos, trabalhando sozinho, para completar o serviço?

Esse é um tipo de questão que pode aparecer em provas como a sua. Aqui, o exercício deixa implícito que podem haver diferenças de rendimento entre os trabalhadores. Isto é, pode ser que Paulo seja mais eficiente que Marcos, sendo capaz de guardar os livros mais rapidamente. Assim, Paulo gastaria menos tempo que Marcos, se cada um tivesse que executar o trabalho inteiro sozinho.

Neste tipo de exercício, o enunciado sempre informará dados sobre:

a) o desempenho dos 2 funcionários trabalhando juntos (neste caso, eles levam 1 hora para arrumar 600 livros);

b) o desempenho de um dos funcionários trabalhando sozinho (neste caso, Paulo levaria 3 horas).

Com base nisso, você precisará deduzir qual é o desempenho do outro funcionário, para então calcular o

Se Paulo leva 3 horas para guardar 600 livros, em 1 hora ele guarda 200 livros (600 / 3). Esta foi a parcela de trabalho executada por Paulo quando eles trabalharam juntos por 1 hora: 200 livros. Os outros 400 foram guardados por Marcos! Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros em 1 hora. Descobrimos o desempenho de Marcos. Com isso, podemos calcular o que foi pedido pelo enunciado: se Marcos guarda 400 livros em 1 hora, ele levará 1,5 hora para guardar os 600 livros, trabalhando sozinho. Vamos escrever as regras de três que seriam necessárias para resolver este exercício:

1. Descobrir a parcela do trabalho de Paulo no tempo que trabalharam juntos:

Horas de trabalhoLivros guardados 3 600

1 P

3 1 600 200 P

P livros

= 

=

2. Descobrir a parcela de trabalho de Marcos no tempo que trabalharam juntos:

P + M = 600

M = 600 – P = 600 – 200 = 400livros

3. Descobrir o tempo gasto por Marcos para efetuar a tarefa sozinho:

Horas de trabalhoLivros guardados 1400

T600

1 600 400 600 1,5 400

T

T hora

 =

= =

Você deve ter reparado que a segunda informação dada pelo enunciado (tempo gasto por um dos funcionários para executar o trabalho sozinho) serviu para obtermos a capacidade de trabalho daquele funcionário. Em alguns exercícios, o enunciado pode fornecer a capacidade operacional daquele funcionário.

Por exemplo: ao invés de ter dito que Paulo leva 3 horas para executar o trabalho sozinho, o exercício poderia ter dito que a capacidade operacional de Paulo é 50% da capacidade operacional de Marcos (afinal, Paulo guarda 200 livros por hora, enquanto Marcos guarda 400).

Com essa informação da capacidade operacional em mãos, também seria possível resolver o exercício.

Bastaria observar que, se Marcos é capaz de guardar M livros em 1 hora, então Paulo é capaz de guardar 50%

de M, ou seja, 0,5M livros no mesmo tempo. Portanto, juntos eles guardam M + 0,5M, ou seja, 1,5M livros em 1 hora. Com a regra de três abaixo obteríamos a capacidade de trabalho de Marcos (M):

1,5M --- 600 livros M --- X livros

1,5 600

600 400 1,5

M X M X

 = 

= =

Ou seja, Marcos é capaz de guardar 400 livros por hora, como já havíamos constatado no caso anterior.

Vamos resolver juntos a questão a seguir:

FCC – TRT/24ª – 2011) Dois funcionários de uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho – Matilde e Julião – foram incumbidos de arquivar X processos. Sabe-se que: trabalhando juntos, eles arquivariam 3

5^{de X em 2} horas; trabalhando sozinha, Matilde seria capaz de arquivar 1

4 de X em 5 horas. Assim sendo, quantas horas Julião levaria para, sozinho, arquivar todos os X processos?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

RESOLUÇÃO:

O exercício apresentou dois casos: os 2 funcionários trabalhando juntos e Matilde trabalhando sozinha. E pediu um terceiro caso: Julião trabalhando sozinho. Nessas questões, não podemos assumir que os 2 funcionários tem a mesma eficiência, isto é, são capazes de arquivar o mesmo número de processos por hora. Estamos diante de um exercício onde há diferença de rendimento! Devemos, portanto, começar analisando o caso onde Matilde trabalha sozinha, pois assim saberemos de sua capacidade de trabalho. Feito isso, analisaremos o caso dos dois funcionários trabalhando juntos, para descobrir a capacidade de trabalho de Julião (uma vez que já saberemos a de Matilde). Por fim, podemos trabalhar com o caso de Julião trabalhando sozinho. Acompanhe tudo isso abaixo.

Matilde arquiva 1

4de X em 5 horas. Assim, podemos descobrir quanto Matilde arquiva em 2 horas (que é o tempo em que ela e Julião trabalharam juntos) utilizando uma regra de três simples:

Número de processos arquivados por MatildeTempo gasto 1

4^{X 5} P 2

Efetuando a multiplicação cruzada:

1 2 5

4

2 5

4 2 5

2 5 10

X P

X P X P

X X

P

 = 

=

=

= =

 Portanto, em 2 horas Matilde arquiva

10

X processos. O enunciado disse que, trabalhando juntos, Matilde e

Julião arquivam 3

5X em 2 horas. Como a parte de Matilde é de 10

X , restam para Julião:

3

5 10 6

10 10 5

10 2

X X X X X X

− =

− =

=

Portanto, em 2 horas Julião arquiva 2

X processos. Como Julião arquiva metade dos processos em 2 horas, ele arquivará todos os processos no dobro deste tempo (4 horas) trabalhando sozinho. Você também poderia descobrir isso através da seguinte regra de três:

Número de processos arquivados por JuliãoTempo gasto

2 X 2

X T

2 2

1 2

2 4 X T X

T T

 = 

 =

= Resposta: A

E aí, compreendeu? Eu sei que esse é o caso mais complicado! Fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas se for necessário.

Podemos sintetizar assim o processo de resolução das questões onde há diferença de rendimento:

MÉTODO DE SOLUÇÃO – DIFERENÇAS DE RENDIMENTO:

1 - Partir da pessoa sobre a qual temos a informação de sua capacidade de trabalho isolada;

2 - Descobrir quanto essa pessoa produz (sozinha) no tempo em que ela trabalhou junto da outra;

3 - Subtrair essa parte do trabalho total realizado pelas duas pessoas juntas, para descobrir quanto a outra pessoa fez sozinha naquele tempo de trabalho conjunto;

4 – Montar uma regra de três para saber em quanto tempo a segunda pessoa é capaz de fazer o trabalho sozinha.

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões comentadas pelo professor

1.

Duas torneiras abertas e com mesma vazão enchem um tanque, que estava vazio, em 18 horas. Se mais uma torneira, idêntica às duas, e com mesma vazão, fosse aberta, então o tanque seria completamente cheio em:

a) 15 horas b) 12 horas e meia c) 12 horas d) 27 horas RESOLUÇÃO:

Podemos montar a proporção:

2 torneiras —————– 18 horas 3 torneiras —————- N horas

Quanto MAIS torneiras, MENOS tempo é necessário. Devemos inverter uma das colunas, ficando com:

2 torneiras —————– N horas 3 torneiras —————- 18 horas

Fazendo a multiplicação cruzada:

2×18 = 3xN N = 2×6 N = 12 horas Resposta: C

2.

Numa proporção, sabe-se que x está para 5 assim como y está para 3 e que x + y = 32. Nessas condições, o valor que representa o triplo de x é:

a) 9 b) 12 c) 60 d) 36 e) 15

RESOLUÇÃO:

Afirmar que x está para 5 assim como y está para 3 equivale a formular a seguinte expressão: = . Assim, podemos formar as equações a seguir:

I ) = II ) x + y = 32

Uma vez que queremos encontrar o valor da incógnita “x”, então devemos isolá-la na equação x + y = 32, Isto é, y = 32 – x. Substituindo na equação I, teremos:

= Igualando o produto dos meios aos extremos, encontramos

3x = 5. (32 - x) 3x = 160 – 5x 3x + 5x = 160

8x = 160 x = 160/8 x = 20 O triplo de x corresponde a 3x = 3.20 = 60

Resposta: C

3.

Em uma festa, compareceram 135 pessoas, sendo que 81 são do sexo feminino e o restante do sexo masculino.

Desse modo, a razão entre o número de pessoas do sexo feminino e o número de pessoas do sexo masculino é:

a) 8 27 b)3

2 c)5 6 d)91

54

e) 81 135

RESOLUÇÃO:

O total de pessoas equivale a 135, sendo 81 do sexo feminino e o restante, ou seja, 135 – 81 = 54, são homens.

Portanto a razão entre o número de pessoas do sexo feminino e o número de pessoas do sexo masculino é 81/54, ou seja

= =

= = Assim, a razão pedida pelo enunciado corresponde a 3/2 Resposta: B

4.

José tem três flhas, Ana de 15 anos, Alice de 20 anos e Andressa de 25 anos. José pretende dividir R$ 3.000,00 para as três flhas em valores proporcionais às suas idades. Nessas condições, o valor que Ana deve receber é:

a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.250,00 c) R$ 750,00 d) R$ 850,00 e) R$ 900,00 RESOLUÇÃO:

Ana Alice Andressa Idade em anos 15 20 25

Quantia x y z

Uma vez que as quantias são proporcionais às idades, então teremos a seguinte relação proporcional:

15/x = 20/y = 25/z E ainda x + y + z = 3000 Em proporção temos o seguinte:

15/x = 20/y = 25/z = (15 + 20 + 25) / (x + y + z) 15/x = 20/y = 25/z = (60) / (3000)

Como desejamos obter qual quantia cabe à Ana, então basta calcular o valor de x, isto é:

15/x = (60) / (3000) 60x = 3000.15

60x = 45000 x = 45000/60

x = 750 Assim, a quantia que cabe à Ana equivale a R$ 750,00 Resposta: C

5.

Um professor que leciona aulas particulares de Matemática, montou a seguinte tabela referente ao valor a ser pago por cada estudante por 8 horas de aula.

Um pequeno grupo composto somente de 6 alunos queria exclusividade para eles, não importando o quanto pagariam pelas 8 horas de aula com o professor.

Assinale a alternativa que apresenta o preço que cada um dos 6 alunos vai desembolsar.

a) R$ 200,00 b) R$ 215,00 c) R$ 150,00 d) R$ 100,00 e) R$ 90,00 RESOLUÇÃO:

Repare que quanto mais alunos, menor será o valor a pagar por aluno, além disso, independentemente da quantidade de alunos, o total a ser pago é sempre constante e igual a 1200 reais, tendo em vista que:

15x80 = 20x60 = 25 x 48

Assim, as grandezas “valor por aluno” e “”número de alunos” são inversamente proporcionais entre si, sendo a constante de proporcionalidade equivale a 1200. Assim, se temos 6 alunos e cada qual contribui com x reais, então essas grandezas são inversamente proporcionais, de modo que 6x = 1200 e, por consequência, x = 200.

Resposta: A

6.

Com velocidade média de 60 km/h um automóvel vai de uma cidade A até uma cidade B em 4 horas. Se a velocidade média do automóvel aumentar em 15 km/h, então o tempo para ir da cidade B até a cidade A, pelo mesmo percurso, é:

a) 3 horas

b) 3 horas e 20 minutos c) 3 horas e 12 minutos d) 5 horas

RESOLUÇÃO:

Temos a seguinte situação:

Velocidade Tempo 60 4 75 T

Quanto MAIOR a velocidade, MENOR o tempo necessário para percorrer uma distância. Vamos inverter a coluna do tempo, dado que as grandezas são inversamente proporcionais.

Velocidade Tempo 60 T 75 4

60×4 = 75xT 240 / 75 = T T = 3,2 horas T = 3 horas + 0,2 horas T = 3 horas + 0,2×60 minutos

T = 3 horas + 12 minutos Resposta: C

7.

Paulo vai dividir R$ 4.500,00 em partes diretamente proporcionais às idades de seus três filhos com idades de 4, 6 e 8 anos respectivamente. Desse modo, o total distribuído aos dois filhos com maior idade é igual a:

a) R$2.500,00 b) R$3.500,00 c) R$ 1.000,00 d) R$3.200,00 RESOLUÇÃO:

Nessas questões de divisão proporcional, basta criarmos uma “constante de proporcionalidade”, que chamaremos de K. Como os valores recebidos são proporcionais a 4, 6 e 8, podemos dizer que esses valores são iguais a 4.K, 6.K e 8.K, respectivamente. E como a soma dos valores é de 4500 reais, então:

4K + 6K + 8K = 4500 18K = 4500 K = 4500 / 18

K = 500 / 2 K = 250

A soma das partes dos filhos de maior idade é 6K + 8K = 14K. Como K = 250, então esses dois filhos receberam, juntos, 14x250 = 7x500 = 3500 reais.

Resposta: B

8.

Durante 20 dias a equipe C composta por 8 técnicos em informática, instalou câmeras em uma empresa. Em quantos dias a equipe B composta por 5 técnicos faria o mesmo procedimento, considerando que a capacidade de produção das equipes B e C é equivalente e proporcional ao número de seus componentes? Assinale a alternativa que apresenta o número de dias necessários.

a) 13 dias.

b) 51 dias.

c) 32 dias.

d) 22 dias.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos:

Dias Técnicos

D 5

Quanto MAIS técnicos, MENOS dias são necessários. Invertendo uma coluna:

Dias Técnicos D 8 20 5

Montando a proporção:

D/20 = 8/5 Dx5 = 20x8

D = 4x8 D = 32 dias Resposta: C

9.

Paulo leu 10 páginas de um livro em 3 dias, lendo 2 horas por dia. O total de páginas do mesmo livro que Paulo leria se lesse 3 horas por dia durante 5 dias seria de:

a) 25 b) 20 c) 15 d) 30

RESOLUÇÃO:

Aqui podemos montar proporção:

Páginas Dias Horas por dia 10 3 2

T 5 3

Quanto MAIS páginas queremos ler, MAIS dias são necessários e MAIS horas por dia também. Temos grandezas diretamente proporcionais. Assim:

10 3 2 5 3 T =  T = 25 páginas Resposta: A

10.

Para completar uma obra foram necessários 12 pedreiros trabalhando 6 horas por dia. Se a obra tivesse que ser feita com 3 pedreiros a menos então o total de horas necessárias para completar a obra seria de:

a) 8 b) 9 c) 4,5 d) 10

RESOLUÇÃO:

Aqui temos:

Pedreiros Horas por dia 12 6 9 H

Quanto MAIS pedreiros, MENOS horas por dia são necessárias. Assim, devemos inverter uma das colunas:

Pedreiros Horas por dia 9 6 12 H

Assim:

9/12 = 6/H 12/9 = H/6 H = 8 horas por dia Resposta: A

11.

Um motorista dirige um automóvel e faz um percurso em 3 horas numa velocidade média de 75 km/h. Se o motorista fizesse o mesmo percurso em 150 minutos, então sua velocidade média seria de:

a) 62,5 km/h b) 80 km/h c) 87,5 km/h d) 90 km/h RESOLUÇÃO:

Podemos descobrir o tamanho do percurso assim:

75km --- 1 hora D km --- 3 horas

75 x 3 = D x 1 D = 225km

150 minutos correspondem a 150/60 = 2,5 horas. Assim, se em 2,5 horas fossem percorridos os mesmos 225km, em 1 hora seriam percorridos:

2,5 horas --- 225km 1 hora --- V

2,5V = 1 x 225 V = 225 / 2,5

V = 90 km em 1 hora = 90km/h Resposta: D

12.

Paulo pagou R$ 15,62 por 4 kg de um produto A e R$ 19,53 por 5 kg de um produto B. Nessas condições, e sem arredondar as casas decimais, pode-se dizer que:

a) o valor de 10 kg do produto A é maior que o valor de 10 kg do produto B.

b) o valor de 10 kg do produto A é igual ao valor de 10 kg do produto B.

c) o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do produto B.

d) só é possível resolver a questão se arredondarmos as casas decimais.

RESOLUÇÃO:

É possível obter o valor de 10kg de cada produto através de regras de três:

4kg de A --- 15,62 reais 10kg de A --- R reais

4R = 156,2 R = 39,05 reais

5kg de B --- 19,53 reais 10kg de B --- T reais

5T = 195,3 T = 39,06 reais

Assim, o valor de 10 kg do produto A é menor que o valor de 10 kg do produto B.

Resposta: C

13.

Carol pagou sua dívida a Ana no valor de R$125,00 com 22 notas. Utilizou para este pagamento notas de R$5,00 e de R$10,00. O número de notas de R$5,00 utilizadas foi de:

a) 22 b) 19 c) 18 d) 17

RESOLUÇÃO:

Se tivéssemos apenas notas de 5 reais, seriam necessárias 125 / 5 = 25 notas. Como ao todo devemos ter 22 notas, é preciso trocar 6 notas de 5 reais por 3 notas de 10 reais. Assim, ficamos com 19 notas de 5 reais e mais 3 notas de 10 reais, totalizando 125 reais.

Resposta: B

14.

Carlos e Adão possuem relógio de pulso (analógicos). O relógio de Carlos atrasa 2min30s por dia e o relógio de Adão atrasa 4 min por dia. Se no dia 10 de junho de 2010 seus relógios marcavam o mesmo horário, então marcarão novamente o mesmo horário no dia:

b) 3 de outubro de 2010 c) 20 de julho de 2010 d) 20 de junho de 2010 RESOLUÇÃO:

Se um relógio atrasa 2,5 minutos por dia, e o outro atrasa 4 minutos por dia, um relógio se “distancia” do outro 4 – 2,5 = 1,5 minuto por dia. Para os dois relógios analógicos voltarem a medir a mesma hora, é preciso que eles se “distanciem” 12 horas, ou seja, se distanciem 12 x 60 = 720 minutos. Montando uma regra de três simples:

1,5 minuto --- 1 dia 720 minutos --- D dias

1,5D = 720 D = 480 dias

480 dias correspondem a 1 ano e mais 115 dias. Se no dia 10 de junho de 2010 seus relógios marcavam o mesmo horário, então marcarão novamente o mesmo horário no dia 3 de outubro de 2011, isto é, 480 dias depois. Basta lembrar que em 10 de junho de 2011 teremos 365 dias, e então devemos somar mais 20 dias restantes de junho, 31 dias de julho, 31 de agosto, 30 de setembro e mais 3 de outubro.

Resposta: A

15.

As provas da professora Rita valem 10 pontos para um determinado número de questões. Como no dia da prova ela chegou atrasada, para não prejudicar os alunos, ela resolveu tirar 4 questões e deixar a prova valendo 8, mantendo assim o mesmo valor para cada questão. Nesta situação, o número de questões da prova original era de:

a) 24 b) 20 c) 18 d) 16

RESOLUÇÃO:

Como 4 questões foram responsáveis pela redução de 2 pontos da prova, os 10 pontos correspondem a:

4 questões --- 2 pontos N questões --- 10 pontos

40 = 2N N = 20 questões

Resposta: B

16.

As sequências (1, 2, x) e (12, y, 3) são progressões, cujos termos são, respectivamente, grandezas inversamente proporcionais. Assim, o produto entre as razões dessas progressões vale:

a) (1/2) b) 1 c) 4 d) 6

RESOLUÇÃO:

Comparando termos equivalentes das duas sequências, temos:

Termo da 1ª sequência Termo da 2ª sequência 1 12

2 Y

Como os termos são inversamente proporcionais, devemos inverter uma das colunas:

Termo da 1ª sequência Termo da 2ª sequência 1 Y

2 12

1 x 12 = 2y y = 6

Prosseguindo, podemos obter x de maneira análoga:

Termo da 1ª sequência Termo da 2ª sequência 1 12

X 3

Invertendo:

1 3 X 12

1 x 12 = 3x x = 4

Assim, as duas sequências são:

(1, 2, 4) e (12, 6, 3)

Observe que a razão da primeira sequência é 2 (pois o termo seguinte é o dobro do termo anterior), e a razão da segunda sequência é ½ (pois o termo seguinte é a metade do anterior). O produto dessas duas razões é:

2 x ½ = 1 Resposta: B

17.

Manoel mora na Bahia, mas está pensando em se mudar para São Paulo. Pesquisando pela internet viu um anúncio de venda de um terreno de 20 alqueires em São Paulo e ficou entusiasmado com o valor encontrado.

Só que descobriu que a medida do alqueire paulista é de 24.200m² e que a medida do alqueire baiano é de 193.600m². Pelo alqueire baiano estaria comprando:

a) 20 alqueires b) 2,5 alqueires c) 5 alqueires d) 7,5 alqueires RESOLUÇÃO:

Como o alqueire paulista é de 24200m², podemos dizer que a área correspondente a 20 alqueires é:

Área = 20 x 24200 = 484000m²

Assim, podemos descobrir o total de alqueires baianos assim:

1 alqueire baiano --- 193.600m² N alqueires baianos --- 484.000m²

1 x 484000 = N x 193600 N = 2,5 alqueires baianos

Resposta: B

18.

Um trecho de 100m de uma estrada foi recapeada em 5 dias por 3 trabalhadores. Para recapear 400m da mesma estrada em seis dias serão precisos:

a) 5 trabalhadores b) 8 trabalhadores c) 10 trabalhadores d) 18 trabalhadores RESOLUÇÃO:

Aqui temos as seguintes grandezas:

Trecho Dias Trabalhadores 100 5 3 400 56 T

Quanto MAIS trabalhadores, MAIOR o trecho que pode ser recapeado, e MENOS dias são necessários.

Devemos inverter a coluna dos dias, pois ela é inversamente proporcional. Assim:

Trecho Dias Trabalhadores 100 6 3 400 5 T

Montando a proporção:

3 100 6 400 5 T = 

1 1 2 4 5 T = 

T = 10 trabalhadores Resposta: C

19.

a) R$3.000,00 b) R$3.030,00 c) R$3.300,00 d) R$3.600,00 RESOLUÇÃO:

Considerando que o mês “padrão” tem 30 dias, podemos dizer que:

3 dias --- 330 reais 30 dias --- S reais

S = 3300 reais Resposta: C

20.

Um caminhão-pipa contém 30.000L de água e descarrega 1.000L a cada 6 minutos. O tempo necessário para descarregar 10.000L é de

a) 2 horas b) 1 hora c) 12 minutos d) 0,6 horas RESOLUÇÃO:

Uma regra de três simples permite resolver:

1000 litros --- 6 minutos 10000 litros --- X minutos

1000X = 6 x 10000 X = 60 minutos = 1 hora Resposta: B

21.

Para pintar um galpão, possuo 36L de tinta. Com esta tinta consigo pintar uma faixa de 126m de comprimento por 60cm de altura. Acrescentando 12L de tinta e aumentando a altura em mais 12cm, pintarei uma faixa de:

a) 140m de comprimento b) 98,81m de comprimento

c) 78,75m de comprimento d) 20,16m de comprimento RESOLUÇÃO:

Temos as seguintes variáveis:

Litros de tinta Comprimento da faixa Altura da faixa 36 126 60 48 C 60 + 12

Quanto MAIOR o comprimento da faixa, MAIS tinta é necessária, e MENOR deve ser a altura da faixa (para ser pintada com uma certa quantidade de tinta). Assim, a coluna “altura” é inversamente proporcional à coluna

“comprimento”, devendo ser invertida. Assim, temos:

Litros de tinta Comprimento da faixa Altura da faixa 36 126 72 48 C 60

Montando a proporção:

126 36 72 48 60 C =  126 3 6

4 5 C =  C = 140 metros Resposta: A

22.

Um pintor gasta 50 dias para pintar 2/3 de uma escola, ou seja, para pintar 3/5 da mesma escola serão gastos:

a) 50 dias b) 45 dias c) 30 dias d) 20 dias RESOLUÇÃO:

Podemos montar uma regra de três simples:

N dias --- 3/5

50 x 3/5 = N x 2/3 10 x 3/1 = N x 2/3

30 = N x 2/3 30 x 3/2 = N N = 45 dias Resposta: B

23.

Carlos e seus amigos juntos possuíram R$480,00 para fazer um bolão da mega-sena. Antes de fazer o jogo, mais 6 amigos também entraram no bolão e o total passou a ser R$600,00. O total de amigos que participaram do bolão, incluindo Carlos, foi de:

a) 20 b) 30 c) 36 d) 48

RESOLUÇÃO:

Veja que foram acrescidos 120 reais (600 – 480) pelos 6 amigos. Portanto:

120 reais --- 6 amigos 600 reais --- N amigos

120N = 6 x 600 N = 30 amigos Resposta: B

24.

A distância que um trem percorre durante 2h45min, numa velocidade média de 160km/h, é de:

a) 330km b) 440km c) 220km

d) 400km RESOLUÇÃO:

O trem percorre 160km em 1 hora, ou seja, 160km em 60 minutos. Como 2h45min correspondem a 165 minutos, podemos montar a regra de três:

160km --- 60minutos D --- 165minutos

160 x 165 = D x 60 D = 440km Resposta: B

25.

Uma milha marítima tem 1.852m. A velocidade de um navio é dada em nós, ou milha/hora. Por conta destas informações, um torpedo que tem a velocidade igual a 30 nós possui aproximadamente:

a) 56km/h b) 30km/h c) 16km/h d) 12km/h RESOLUÇÃO:

30 nós correspondem a 30 milhas por hora. Isto é, em 1 hora o torpedo percorre 30 milhas. Como 1 milha corresponde a 1852 metros, temos:

1 milha --- 1852 metros 30 milhas --- D metros

1 x D = 30 x 1852 D = 55560 metros

Assim, o torpedo percorre 55560 metros em 1 hora, ou 55,56 quilômetros em 1 hora. A sua velocidade é, portanto, de aproximadamente 56km/h.

Resposta: A

26.

Ligia foi ao supermercado e verificou que o preço de 600g de presunto era equivalente ao preço de 1,5kg de apresuntado. Com o mesmo valor, resolveu comprar uma quantia de cada um, ou seja, 400g de presunto e:

a) 1,5 kg de apresuntado b) 1 kg de apresuntado c) 600 g de apresuntado d) 500 g de apresuntado RESOLUÇÃO:

Vejamos quantos gramas de apresuntado correspondem a 400g de presunto:

600g de presunto --- 1500g de apresuntado 400g de presunto --- G de apresuntado

600G = 400 x 1500 G = 1000g = 1kg de apresuntado Resposta: B

27.

Percorrendo 100km, Ana observou que seu veículo estava consumindo 1 litro a cada 15km. Com a mesma quantidade de combustível, o veículo de Roberta estava consumindo 1 litro a cada 12km, ou seja, o veículo de Roberta percorreu:

a) 120km b) 100km c) 90km d) 80km RESOLUÇÃO:

Primeiramente vamos calcular a quantidade de combustível usada nos 100km:

1 litro --- 15km N litros --- 100km

N x 15 = 1 x 100 N = 100 / 15 = 20 / 3 litros

O carro de Roberta percorre 12km com 1 litro. Assim, com 20/3 litros ela percorre:

1 litro --- 12km 20/3 litros --- D

1 x D = 12 x 20/3 D = 80km Resposta: D

28.

Duas ferrovias A e B distam 240km e a distância entre suas representações em um certo mapa é de 12cm. Se a distância entre as representações de duas outras ferrovias C e D neste mesmo mapa é de 5cm, então a distância real entre elas é de:

a) 120 km b) 240 km c) 100 km d) 50 km RESOLUÇÃO:

Podemos aqui fazer a seguinte proporção:

12cm no mapa --- 240km reais 05cm no mapa --- D km reais

12 x D = 5 x 240 D = 100km reais Resposta: C

29.

A geladeira, para conservação de cadáveres, do necrotério de determinada cidade possui 12 gavetas da mesma medida. Para a limpeza de 7 dessas gavetas, o auxiliar de autópsia gasta 3,5 kg de sabão. Então, para a limpeza das 12 gavetas, ele gastará

b) 6 kg de sabão.

c) 7 kg de sabão.

d) 8 kg de sabão.

e) 9 kg de sabão.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a regra de três simples:

7 gavetas limpas --- 3,5kg de sabão 12 gavetas limpas --- N kg de sabão

7 x N = 12 x 3,5 7N = 42 N = 42 / 7 N = 6kg de sabão Resposta: B

30.

Todos os auxiliares de autópsia do necrotério de uma cidade são igualmente eficientes. Sabe-se que 20 deles limpam e pintam, em uma semana, uma das salas do necrotério de 100 m², trabalhando 3 horas por dia. Nesse caso, para limpar e pintar outra sala do necrotério, de 300 m², em uma semana, trabalhando 2 horas por dia, serão necessários

a) 90 auxiliares de autópsia.

b) 85 auxiliares de autópsia.

c) 80 auxiliares de autópsia.

d) 75 auxiliares de autópsia.

e) 70 auxiliares de autópsia.

RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar assim as informações fornecidas:

Auxiliares de autópsia Tamanho da sala Horas por dia 20 100 3 N 300 2

Observe que quanto mais auxiliares de autópsia estiverem disponíveis poderemos limpar e pintar uma sala maior. Essas grandezas são diretamente proporcionais entre si. Observe ainda que quanto mais auxiliares de autópsia estiverem disponíveis eles poderão trabalhar menos horas por dia para executar o mesmo serviço.

Essas grandezas são inversamente proporcionais entre si, motivo pelo qual devemos inverter a coluna de horas por dia, ficando com:

Auxiliares de autópsia Tamanho da sala Horas por dia 20 100 2 N 300 3

Montando a proporção:

20 / N = (100 / 300) x (2 / 3) 20 / N = (1 / 3) x (2 / 3)

20 / N = 2 / 9 20 x 9 / 2 = N 10 x 9 = N 90 auxiliares = N Resposta: A

31.

Em uma ação policial, foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura de Cannabis sativa com outras ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou

a) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas.

b) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas.

c) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas.

d) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas.

e) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a seguinte regra de três:

5kg do produto --- 2kg de Cannabis sativa

Resolvendo a regra de três ficamos com:

5 x P = 150 x 2 P = 300 / 5

P = 60 kg de Cannabis sativa

Restante do peso é formado por outras ervas, ou seja, temos 150 - 60 = 90kg de outras ervas.

Resposta: C

32.

Os 16 peritos criminais da área contábil são igualmente eficientes e, em 12 dias de trabalho, dão parecer conclusivo em 768 processos. Nesse caso, se apenas 10 desses peritos estivessem disponíveis para analisar e dar parecer conclusivo em 240 processos, eles necessitariam de trabalhar durante:

a) 9 dias b) 8 dias c) 7 dias d) 6 dias e) 5 dias RESOLUÇÃO:

Podemos esquematizar as informações fornecidas no enunciado assim:

Peritos Dias de trabalho Processos 16 12 768 10 D 240

Observe que quanto mais dias de trabalho forem disponibilizados nós precisaremos de menos peritos para dar conta do trabalho. Assim essas duas grandezas são inversamente proporcionais entre si. Observe ainda que quanto mais dias de trabalho disponibilizados será possível finalizar um número maior de processos, de modo que essas duas grandezas são diretamente proporcionais entre si. É preciso inverter apenas a coluna dos peritos, ficando com:

Peritos Dias de trabalho Processos 10 12 768 16 D 240

Montando a proporção:

12 / D = (10 / 16) x (768 / 240) 12 / D = (5 / 8) x (96 / 30)

12 / D = (5 / 8) x (16 / 5) 12 / D = 16 / 8

12 / D = 2 12 / 2 = D 6 dias = D Resposta: D

33.

Ao receber um desses pacotes, um agente deve distribuir seu conteúdo em frascos. Os frascos têm capacidade de 1 kg, 2 kg e 3 kg e encontram-se vazios. Para que a quantidade recebida seja distribuída de forma proporcional nos frascos, o agente deve colocar, em cada um deles, uma quantidade proporcional à capacidade do frasco. Dessa forma, a distribuição correta do conteúdo do pacote é aquela na qual se deposita, no maior dos frascos,

(A) 0,5 kg do reagente.

(B) 1,0 kg do reagente.

(C) 1,5 kg do reagente.

(D) 2,0 kg do reagente.

(E) 2,5 kg do reagente.

RESOLUÇÃO:

Veja que a capacidade total dos frascos juntos é igual a 1 + 2 + 3 = 6kg. Como queremos distribuir 3 quilogramas do reagente de maneira proporcional à capacidade de cada frasco, podemos fazer a seguinte regra de três para saber a quantidade que será depositada no maior frasco:

Quantidade total de reagente --- capacidade total dos frascos Quantidade de reagente no maior frasco ---- capacidade do maior frasco

Substituindo os valores conhecidos, e chamando de Q a quantidade de reagente que será depositada no maior

3kg --- 6kg Q --- 3kg

3x3 = Qx6 Q = 1,5kg Resposta: C

34.

Para coletar sangue de 30 pessoas, 12 técnicos trabalham durante 3 horas. Para coletar sangue de 40 pessoas em 2 horas, quantos técnicos são necessários?

(A) 15 (B) 20 (C) 6 (D) 24 (E) 12 RESOLUÇÃO:

Vamos montar uma regra de três para essa situação:

30 pessoas --- 12 técnicos --- 3 horas 40 pessoas --- N técnicos --- 2 horas

Veja que quanto mais pessoas para serem atendidas, mais técnicos serão necessários. Da mesma forma, quanto mais pessoas, mais horas serão gastas para fazer a coleta. Em relação às pessoas, essas grandezas são diretamente proporcionais. Então, temos:

30/40 = 12/N x 3/2 3/4 = 6/N x 3/1 1/4 = 6/N x 1/1

N = 6 x 4 N = 24 técnicos Resposta: D

35.