TRANSPORTE DE PACOTE DE ONDAS EM FIOS QUÂNTICOS NÃO RAMIFICADOS E RAMIFICADOS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

TRANSPORTE DE PACOTE DE ONDAS EM FIOS QUÂNTICOS NÃO RAMIFICADOS E RAMIFICADOS

Alice Regina de Almeida

- Cuiabá - 31 de outubro de 2016

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE FÍSICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

TRANSPORTE DE PACOTE DE ONDAS EM FIOS QUÂNTICOS NÃO RAMIFICADOS E RAMIFICADOS

Dissertação apresentada ao programa de pós-graduação do Instituto de Física da Universidade Federal de Mato Grosso como parte dos requisitos necessários para obteção do título de mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. Teldo Anderson da Silva Pereira Co-orientador: Prof. Dr. Ariel Adorno de Sousa

-Cuiabá - 31 de outubro de 2016

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Dados Internacionais de Catalogação na Fonte.

Ficha catalográfica elaborada automaticamente de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

Permitida a reprodução parcial ou total, desde que citada a fonte.

A447t ALMEIDA, ALICE REGINA DE.

TRANSPORTE DE PACOTE DE ONDAS EM FIOS QUÂNTICOS NÃO RAMIFICADOS E RAMIFICADOS / ALICE REGINA DE ALMEIDA. -- 2016

60 f. : il. color. ; 30 cm.

Orientador: Teldo Anderson da Silva Pereira.

Co-orientador: Ariel Adorno de Sousa.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Mato Grosso, Instituto de Física, Programa de Pós-Graduação em Física, Cuiabá, 2016.

Inclui bibliografia.

1. TRANSPORTE. 2. FIOS. 3. QUANTICOS. 4. SEMICONDUTORES. I.

Título.

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Agradecimentos

À Deus em primeiro lugar por ter me dado capacidade de vencer mais uma etapa na minha vida prossional, em especial ao meu esposo Reinaldo e ao meu lho Guilherme pela motivação diária e necessária em todos os momentos, à minha mãe Marlene e ao meu pai Antonio pelo amor, cuidado e carinho nas horas mais difíceis, aos meus irmãos, Aline e Alexandre pelo cuidado e apoio.

Ao meu orientador Professor Dr. Teldo Anderson da Silva Pereira que sempre me motivou e me apoiou diante de tantas adversidades desde a graduação quando fui sua aluna de iniciação cientica, ao meu coorientador Professor Dr. Ariel Adorno pela sua contribuição signicativa neste trabalho.

A todos os meus colegas de mestrado, em especial a Patricia, Ana Paula, Renan, Fabrício, João Paulo e Jeny, nalmente agradeço ao Instituto de Física da UFMT pela oportunidade e a CAPES pelo apoio nanceiro.

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Resumo

Nas últimas décadas a sociedade presenciou um grande salto tecnológico na produção e miniaturização de dispositivos eletrônicos com impactos signicativos no cotidiano das pessoas. Este avanço teve por base pesquisas em Física da Matéria Condensada, na qual a Física de Materiais e Dispositivos Semicondutores tem posição de destaque. Dentro desse contexto, a descrição Teórica e experimental do transporte de partículas em sistemas de baixa dimensionalidade, os quais constituem a peça fundamental da construção de um dispositivo eletrônico, tem grande importância. No presente trabalho, apresentamos uma pesquisa teórica do transporte de elétrons em sistemas semicondutores formados por os quânticos obstruídos com barreiras e fendas e os quânticos ramicados por multicanais para saída de elétrons. O modelo teórico aplicado se baseia na solução numérica da equação de Schrödinger dependente do tempo, usando a abordagem da aproximação da massa efetiva, do formalismo matemático da função envelope e a técnica de separação de operadores denominada split-operator. Os valores da energia cinética dos pacotes de ondas usados neste trabalho estão no intervalo de 70 à 200 meV. O objetivo é investigar a dinâmica do transporte de elétrons sob efeito de espalhamento produzido por potenciais de obstrução e pela geometria do dispositivo. Os os quânticos são formados por materiais semicondutores com largura de 10 nm, e os potenciais são do tipo connamento ao longo da direção y e dos tipos barreira simples, fenda simples e dupla ao longo da direção x. Os os quânticos ramicados são formados por um canal para injeção de elétron e três canais para saída.

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Abstract

In recent decades the society has witnessed a major technological leap in production and miniaturization of electronic devices, with a signicant impact on people's daily li- ves. This advance was based on research in Physics of Condensed Matter, in which the Physics of Semiconductor Materials and Devices has a prominent position. In this con- text, the theoretical and experimental description of carriers transport in low-dimensional systems, which are the cornerstone of the construction of an electronic device, is of great importance. In this work, we present a theoretical research of electron transport in semiconductor systems formed by quantum wires blocked by barriers and slits potentials, and also, branched quantum wires based on multi-channels output for electron. The applied theoretical model is based on the numerical solution of the time dependent Schrödinger equation, account for the eective mass approach, the envelope wave function mathe- matical formalism and technique based on operators separation, namely split-Operator.

The wave packet kinetic energies values range from 70 to 200 meV. We are aiming to investigate the dynamics of electron transport and scattering eect produced by potential obstruction and the device geometry. The quantum wires are formed by semiconductor materials with a 10 nm width, wich the potentials are like-connement potential along the y direction and simple barrier, single and double slit along the x direction. Branched quantum wires are formed by one channel for electrons input and for three channels for electrons output.

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Sumário

Agradecimentos iii

Resumo iv

Abstract v

Lista de Figuras vi

Lista de tabelas x

1 Introdução 14

1.1 Nanoestruturas semicondutoras:

Poços, os, anéis, pontos e canais quânticos. . . 18

2 Modelo teórico 24 2.1 Equação de Schrödinger para um cristal . . . 25

2.2 Aproximação Adiabática . . . 27

2.3 Teoria da Massa Efetiva . . . 28

2.4 Aproximação da Função Envelope . . . 32

2.5 Descrição teórica para propagação de pacote de ondas em nanoestruturas semicondutoras . . . 33

2.5.1 Técnica de solução da equação de Schrödinger dependente do tempo: Propagação em Tempo Real . . . 34

3 Fios Quânticos Semicondutores 39 3.1 Descrição teórica do modelo . . . 40

3.2 Resultados e Discussões . . . 43 4 Propagação de pacotes de ondas em Fios Quânticos ramicados 49

5 Conclusões e Perspectivas 57

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Lista de Figuras

1.1 Campos de estudo multidisciplinares da nanociência. . . 15 1.2 Escala de comprimento com comparação de dispositivos eletrônicos e exem-

plos de micro-organismos . . . 16 1.3 (a) Primeiro transistor criado por John Bardeen, Walter Brattain e Willian

Shockley (b). (c) Protótipo do primeiro circuito integrado. (d) Primeiro transistor comercializado seguido de sua primeira aplicação (e) um aparelho auditivo. (f) 4004, primeiro processador fabricado da IBM, utilizado em calculadoras. (g) 8080, primeiro processador usado em computadores e (h) processador comercializado atualmente com maior número de transistores, o Intel Core i7 que possuí 55 milhões de transistores. . . 17 1.4 (a)Imagem de Micrograa por microscopia eletrônica de transmissão (TEM)

de uma heterointerface AlAs/GaAs retirado da referência [22], (b)Representação esquemática de uma heterojunção entre dois semicondutores com valores diferentes de gaps, formando degraus de potencial para o elétron na banda de condução e para o buraco na banda de valência. . . 19 1.5 (Em cima) Morfologia esquemática e (em baixo) densidade de estados para

portadores com diferentes dimensionalidades: (a) bulk, (b) um poço quân- tico, (c) o quântico e (d) ponto quântico. . . 21 1.6 Perl do potencial de connamento de elétrons em um (a) poço quântico e

(b) o quântico. O potencial de um ponto quântico é idêntico ao perl de potencial de um o quântico.. . . 22 1.7 (A) Imagem de um ponto quântico GaAs obtida por Microscopia de Força

Atômica, (B) Triplo anel concêntrico e (C) Anel/disco quântico [35]. . . 22 1.8 (a)Esquema de funcionamento de um MOSFET. (b) Hall Bar [34] . . . 23 2.1 (a) Banda de condução e valência devido a aproximação de um grande

número de átomos em um sólido semicondutor.(b) Bandas de energia em um semicondutor GaAs. As regiões hachuradas mostram os elétrons com T > 0K. . . 25 2.2 (a) Estrutura cristalina Zincblend do semicondutor GaAs (b) Primeira zona

de Brillouin com indicação de pontos e direção de alta simetria no espaço recíproco e (c) Estrutura de bandas de energia. . . 26

(10)

viii 2.3 Grid de discretização para aplicação de derivadas pelo método de diferenças

nitas . . . 37 3.1 Pers de potencial para três canais estudados: (a) canal com barreira, (b)

canal com uma fenda e (c) canal com dupla fenda. W_B é a largura das barreiras. . . 41 3.2 Transmissão em função da energia do pacote de ondas, para 3 valores da

largura da barreira W_B. As linhas azuis indicam W_B = 0.5 nm, linhas vermelhas indicam W_B = 1.0 nm e linhas pretas indicam W_B = 2.0 nm, sendo linhas sólidas a transmissão e linhas tracejadas reexão. . . 44 3.3 Corrente de probabilidade em função do tempo para pacote de ondas pro-

pagando a partir do estado fundamental com energia cinética igual aε₁ (linha sólida preta),ε₂ (linha tracejada vermelha) e paraε₃ (linha pontilhada azul). A linha traço ponto em verde representa a corrente de probabilidade em função do tempo, considerando energia cinética igual a ε₃ e pacote de ondas propagado a partir do primeiro estado excitado. . . 45 3.4 (a) Auto-energias de um poço quântico nito em função da largura do canal

(b) Diagrama representando as bandas de energia do estado fundamental e 1^o estado excitado em função do vetor de onda, para um poço quântico com largura L= 10 nm. . . 46 3.5 Módulo quadrado da função de onda em quatro instantes de tempo dife-

rentes, propagado a partir do estado fundamental com energia cinética ε₃. A primeira coluna mostra o instante t=300 f s, enquanto que as colunas seguintes mostram, respectivamente, os instantes t=600 f s, t=1.200 f s e t=12.600 f s.. . . 47 4.1 Pers de potencial para os sistemas investigados, compostos por 1 canal de

entrada para injeção do pacote de onda e 3 terminas de saída, os canais possuem 10 nm de largura inclusive o canal vertical. . . 50 4.2 Probabilidades de transmissão e reexão em função da energia cinética do

pacote de ondas. . . 51 4.3 Módulo quadrado da função de onda em quatro instantes diferentes, pro-

pagado a partir do estado fundamental. . . 53 4.4 Módulo quadrado da função de onda em quatro instantes diferentes, pro-

pagado a partir do primeiro estado excitado. . . 54 4.5 Corrente de probabilidade em função do tempo para quatro valores de

energia cinética do pacote de onda, sendo eles: Linha sólida preta, 70 meV;

Linha tracejada vermelha, 140 meV; Linha pontilhada azul, 180 meV no estado fundamental; e linha tracejada pontilhada verde, 180 meV propagada no primeiro estado excitado. . . 55

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ix 4.6 Condutância em função da energia do pacote de ondas em cada canal de

saída, sendo a linha sólida preta a condutância no canal de saídaT₁, a linha tracejada vermelha a condutância no canal de saídaT₂ e a linha traço ponto azul a condutância no canal de saídaT₃, calculado para os quatro sistemas estudados (a), (b), (c) e (d). . . 56

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Lista de Tabelas

1.1 Sistemas de dimensionalidade reduzida e seus respectivos números de graus de liberdade Dl e de connamento Dc. . . 19 3.1 Parâmetros da liga semicondutora GaxIn1−xAs. . . 40

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Capítulo 1 Introdução

O estudo de materiais em escala nanométrica ganhou importância signicativa em meados do século XX. Os nanomateriais levaram ao surgimento de uma nova ciência multidisciplinar e de grande potencial para a aplicação tecnológica, denominada de na- nociência. As áreas da nanociência e da nanotecnologia ultrapassaram rapidamente os limites da academia e da industria, tendo atingido o público em geral e trazendo consigo profundas transformações de costumes e comportamentos, alimentando tanto a imagina- ção da indústria quanto da cção cientíca. A Figura1.1ilustra o caráter multidisciplinar da nanociência e os ramos de aplicação tecnológica que surgem desta multidisciplinari- dade. O prexo nano vem do grego nanós e signica excessiva pequenez. No Sistema Internacional de unidades, denota um fator de10⁻⁹, que designa uma parte em um bilhão, assim as nanociências lidam com sistemas com dimensões da ordem de um bilionésimo do metro. Nesta escala o número de átomos que contém um determinado material chega a ser contável. Para melhor ilustrar a ordem de grandeza da escala nano, a Figura 1.2 apresenta uma escala de comprimento de objetos que variam de 1 m à 0.1 nm, com ênfase para a seção entre 100 nm e 1 nm. A escala de interesse para a nanociência e suas aplica- ções é de 100 nm até escalas atômicas, aproximadamente 0,2 nm. Este grande interesse surgiu no nal da década de 1950 quando os primeiros conceitos de nanotecnologia foram introduzidos por Richard Feynmam em uma palestra intitulada There's plenty of room at the bottom, que traduzindo para o português signica Há muito espaço na parte de baixo"[1]. Neste contexto, a física de semicondutores e a nanotecnologia tem se tornado interconectados.

Desde a fabricação do primeiro transistor em 1947¹, até os dias atuais, o estudo dos materiais semicondutores tem tido um papel fundamental no avanço tecnológico de dispositivos e equipamentos. Considerado uma das grandes invenções do século XX, o transistor quando foi construído em uma escala macroscópica, da ordem de dois décimos de um metro, não demorou muito para ter o seu primeiro modelo aperfeiçoado. Avanços na pesquisa

1O primeiro transistor foi criado por John Bardeen (1908-1991), Walter House Brattain (1902-1987) e Willian Bradford Shockley (1910-1989) os quais foram contemplados em 1956 pelo prêmio Nobel em Física.

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15

Nanociência

Física

Informática

Engenharia

Biologia

Medicina

Química

NA NOTE CNOLOGIA

Materiais Eletrônica

Chips de computadores

Equipamentos Militares

Cerâmicas Quântica

Semicondutores

Nanoestruturas

Processadores

Lasers

Moléculas

Polímeros

Catalisadores

Aditivos

Lubrificantes

Bio-quimica

Bio-física

DNA

Sistemas naturais

Cosméticos Implantes

Medicamentos

Sistemas Imunológicos

Células Combustíveis

Ferramentas

Simuladores

Computação quântica

Games Mundo

virtual

Figura 1.1: Campos de estudo multidisciplinares da nanociência.

em física do estado sólido, e em especial em semicondutores como silício e germânio, permi- tiram que os transistores ganhassem rapidamente a industria eletrônica, tomando o lugar das problemáticas válvulas eletrônicas. Em 1958 Jack Kilby, trabalhando para a empresa

"Texas Instruments", teve a ideia de fabricar o protótipo de um dispositivo, integrando em um mesmo material, um capacitor, uma resistência e um transistor, como ilustrado na Figura 1.3(c). Este protótipo viria a ser o primeiro circuito integrado da história. Ainda na Figura 1.3, é mostrado, além dos criadores do primeiro transistor na Figura 1.3(b), a evolução do transistor até os dias atuais. Na Figura 1.3(d) temos o primeiro transistor comercializado e na 1.3(e) o seu primeiro uso em um aparelho auditivo. A Figura 1.3(f) mostra o primeiro processador, o intel 4004 que possuía 2.300 transistores, a1.3(g) mostra o primeiro processador usado em computadores, o intel 8080 que possuía 6.000,00 transistores, e na1.3(h) temos o processador corei7 da intel, o processador comercial com velocidades de processamento extremamente rápidas e desempenho máximo, mesmo nas tarefas e games com alto gasto de processamento.

Em 1965 o então presidente da Intel, Gordon Earle Moore, publicou um artigo [2]

enfatizando que a miniaturização vinha permitindo dobrar o número de transistores em

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16

1nm 10nm 20nm 30nm 40nm 50nm 60nm 70nm 80nm 90nm

100nm 1m 10 m^-1 10 m^-2 10 m^-3 10 m^-4 10 m^-5 10 m^-6 10 m^-7 10 m^-8 10 m^-9 10 m^-10

(1cm)

(1mm)

(1 m)m

(1nm)

Resistor

1/16W

Folha plástica semicondutora orgânica

com transistores

Nanotubo de Carbono

Fita de DNA

Vírus ^{TV 60}pol

Primeiro Transistor

Proteinas

Fio de cabelo

Figura 1.2: Escala de comprimento com comparação de dispositivos eletrônicos e exem- plos de micro-organismos

circuitos integrados, sem que os custos de fabricação alterassem, tendência que segundo Moore, iria se manter por dez anos. Entretanto, em 1975 Moore atualizou a previsão, profetizando que o número iria dobrar a cada 24 meses, e que esta tendência deveria continuar, imprimindo na história da eletrônica desta forma à celebre lei de Moore. Nas últimas décadas o crescimento do número de transistores foi observado a cada 18 meses.

Desde então, temos com o passar dos anos uma crescente miniaturização de componentes eletrônicos, acompanhada de uma explosão de aplicações tecnológicas, que vão desde computadores de mão (smartfones, tablets, notebooks), smart tv, supercomputadores, à veículos de transporte (carros, aviões, etc.), modicando profundamente, e de forma irreversível, a forma como a sociedade se comunica, se desloca e, principalmente, como se comporta.

O desenvolvimento de técnicas de crescimento de lmes nos, com alta qualidade, como crescimento por epitaxia molecular (MBE) [3] e deposição por vapor químico (MOCVD) [4], tornou possível o grande avanço de dispositivos semicondutores, a partir da década de 70, mantendo a lei de Moore vigente até os dias atuais. Naturalmente, a lei de Moore não deve continuar indenidamente, tendo em vista que tais processos de litograa irão esbar- rar em leis físicas, o que deve ocorrer, segundo previsões da indústria de semicondutores, até o ano de 2020. Os conhecimentos acumulados no decorrer destes anos possibilitaram integrar grandes quantidades de circuitos sobre um mesmo substrato semicondutor. A funcionalidade e o benecio do dispositivo estão diretamente relacionados ao número de circuitos integrados no substrato semicondutor. Com isso, a diminuição das dimensões dos

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17

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g)

(h)

Figura 1.3: (a) Primeiro transistor criado por John Bardeen, Walter Brattain e Willian Shockley (b). (c) Protótipo do primeiro circuito integrado. (d) Primeiro transistor comercializado seguido de sua primeira aplicação (e) um aparelho auditivo. (f) 4004, primeiro processador fabricado da IBM, utilizado em calculadoras. (g) 8080, primeiro processador usado em computadores e (h) processador comercializado atualmente com maior número de transistores, o Intel Core i7 que possuí 55 milhões de transistores.

dispositivos aumenta o desempenho e reduz o consumo de energia, e esta equação econô- mica explica a imensa evolução registrada no mercado da eletrônica nas últimas cinco décadas, valendo-se da tecnologia planar de fabricação de circuitos integrados [5]. Por outro lado, conforme se miniaturiza os circuitos integrados os transistores cam menores, passando a ser formados por um número menor de átomos, o que torna cada vez mais complexo manter integridade de sinais e o controle de correntes de fuga. Desta forma, a medida que o ano de 2020 se aproxima, a criação de novas gerações de circuitos integrados torna-se mais desaadores para os cientistas e para a industria de semicondutores.

Novos ramos na pesquisa tem apontado para o uso de materiais bidimensionais (gra- feno, fósforo negro, seleneto de molibdênio, etc..), nanotubos de carbono e computadores quânticos. Por outro lado, estruturas semicondutoras de baixa dimensionalidade ainda vêm sendo intensivamente abordada na literatura, tanto do ponto de vista da física básica fundamental, voltada para pesquisas acadêmicas, quanto do ponto de vista da aplicação tecnológica e do mercado industrial. O imenso desenvolvimento de dispositivos ópticos, eletrônicos e circuitos integrados, impulsionado por uma moderna evolução tecnológica, é motivado por avanços provenientes de pesquisas multidisciplinares, (que estabelecem relacionamentos de áreas como física, química, matemática, ciências dos materiais, entre

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1.1. NANOESTRUTURAS SEMICONDUTORAS:

POÇOS, FIOS, ANÉIS, PONTOS E CANAIS QUÂNTICOS. 18

outras) e pelo desenvolvimento de novos conceitos sobre dispositivos.

Em especial, a física de semicondutores tem focado em estudos de estruturas com dimensionalidades reduzidas como poços, os e pontos quânticos, e cujas partículas como elétrons e buracos possuem nestas nanoestruturas um (dois), dois (um) e três (zero) graus de connamento (liberdade), respectivamente. O surgimento destas estruturas se deve a avanços em processos de crescimento de materiais semicondutores, como Si, Ge, AlAs, GaAs, entre outros, por processos de litograa, o qual possibilita crescimentos epitaxiais [3] e por evaporação [4] em diferentes geometrias. As propriedades ópticas e eletrônicas destes sistemas, dependem fortemente das dispersões de energia de elétrons e buracos, em bandas de energia dos materiais semicondutores que compõe as nanoestruturas. O connamento surge quando materiais semicondutores, com diferentes estruturas de bandas de energia são crescidos um sobre o outro, ou sobre óxidos como SiO2 ou óxidos com altas constantes dielétricas (high-k dielectrics) como Al2O3, HfO2, SrTiO3, etc..[6].

1.1 Nanoestruturas semicondutoras:

Poços, os, anéis, pontos e canais quânticos.

Os avanços na fabricação e nanoestruturação de composto semicondutores ocorridos nas últimas duas décadas abriram oportunidades para combinação de diferentes formas de dispositivos em escala nanométrica [7, 8,9, 10]. Muitas técnicas e métodos de fabricação destas nanoestruturas foram criadas neste período, dentre as quais destacam-se o crescimento auto-organizado em uma câmara MBE [11, 12, 13], técnica split-gate usada na fabricação de canais quânticos estreitos para transporte de elétrons [14]; litograa AFM, que pode ser usado para criar diferentes nanoestruturas experimentais [15, 16], entre outros. Os pioneiros no desenvolvimento de semicondutores nanoestruturados, foram Zhores I. Alferov e Herbet Krömer, agraciados com o prêmio Nobel em Física no ano de 2000 pelo desenvolvimento de heteroestruturas semicondutoras, seguindo o trabalho de R. Tsu e L. Esaki [17, 18] que deram os primeiros passos em 1970, propondo um estudo sobre transporte eletrônico em superredes. O primeiro trabalho experimental relacionado com heteroestruturas foi publicado em 1974 por Esaki e Chang [19], que estudaram propriedades de transporte eletrônico em estruturas periódicas de GaAs/AlAs, preparadas por MBE, denominadas superredes. O Prêmio Nobel de Física 1973 foi dividido parte por Leo Esaki e Ivar Giaever, por suas descobertas experimentais referentes a fenômenos de tunelamento em semicondutores e supercondutores, respectivamente, e a outra metade por Brian David Josephson, por suas previsões teóricas das propriedades um supercor- rente através de uma barreira de túnel, em particular os fenômenos que são geralmente conhecidas como os efeitos de Josephson [20].

Quando se unem dois diferentes materiais semicondutores, algumas propriedades variam com a posição como o espaçamento interatômico, gap de energia, massa efetiva e constantes dielétricas [21]. O não alinhamento das bandas de energia destes materiais

(18)

(a) (b)

z

y z

BV

BC

E BC

GaAs AlAs

E

y

Figura 1.4: (a)Imagem de Micrograa por microscopia eletrônica de transmissão (TEM) de uma heterointerface AlAs/GaAs retirado da referência [22], (b)Representação esque- mática de uma heterojunção entre dois semicondutores com valores diferentes de gaps, formando degraus de potencial para o elétron na banda de condução e para o buraco na banda de valência.

na interface da heterojunção se comporta como degraus de potencial que limitam o movimento de elétrons na banda de condução e buracos na banda de valência, ver Figura 1.4.

Se crescermos uma heteroestrutura de forma a envolver um material do tipo A por um material do tipo B, o desalinhamento das bandas de energia destes materiais formam regiões de connamento para elétrons e buracos. O connamento destes portadores pode ocorrer em uma, duas ou três dimensões, em heteroestruturas denominadas poços (2D), o (1D) e pontos quânticos (0D), respectivamente. É comum na literatura denominar os quânticos de nanoos, enquanto que pontos quânticos são também denominados átomos articiais, pois, assim como em átomos, os estados eletrônicos são quantizados e a carga total é restrita a um pequeno número inteiro de elétrons [23, 24].

A dimensionalidade destas heteroestruturas está relacionada ao número de graus de liberdade Dlou, de forma equivalente, ao número de graus de connamento Dcdos portadores elétrons e buracos. Um quadro resumido de quatro tipos de sistemas semicondutores

Tabela 1.1: Sistemas de dimensionalidade reduzida e seus respectivos números de graus de liberdade Dl e de connamento Dc.

Sistemas quânticos Dl Dc

Bulk 3 0

Poço quântico 2 1

Fio quântico 1 2

Ponto quântico 0 3

(19)

de baixa dimensionalidade é mostrado na Tabela 1.1. Em um semicondutor do tipo bulk os portadores tem liberdade para se mover em qualquer direção (D_l = 3), não possuindo nenhum grau de connamento (D_c = 0). No poço quântico, o portador tem seu movimento limitado na direção de crescimento da heteroestrutura (D_c = 1), e dois graus de liberdade (D_l= 2) no plano do poço quântico. No o quântico, a partícula pode se mover ao longo do eixo de crescimento do o (D_l = 1) e é connado no plano do o (D_c = 2).

Já em um ponto quântico a partícula é connada em todas as direções (D_c = 3), não possuindo nenhum grau de liberdade (D_l = 0). Note que na Tabela 1 a relação entre grau de liberdade e de connamento obedece à equação D_l+D_c= 3.

O connamento espacial dos portadores em semicondutores de baixa dimensionalidade resulta em uma relação energia-momento diferente, na direção de connamento, que por consequência, resulta em uma densidade de estado completamente nova, em comparação com o caso bulk, como pode ser visto na Figura 1.5. A medida que a dimensionalidade é reduzida, a densidade de estado deixa de ser continua, ou quase-continua, e se torna quantizada. No caso de pontos quânticos, os portadores ocupam apenas um conjunto restrito de níveis de energia, como ocorre com elétrons em um átomo, e por esta razão, pontos quânticos são muitas vezes referidos como átomos articiais. Entretanto, é importante frisar que em um ponto quântico de semicondutores existem centenas de milhares de átomos.

Se o movimento dos portadores em um semicondutor é limitado devido à uma redução da dimensionalidade da ordem do comprimento de onda de de Broglie, efeitos de quanti- zação da energia são observados. Desta forma, a escala de comprimento dos dispositivos formados por esses sistemas de dimensionalidade reduzida deve ser da ordem do comprimento de onda de de Broglie do portador. O comprimento de onda de de Broglie em um semicondutor depende da massa efetiva do portadorm^∗ e da temperatura, na forma [25], [26]

λ= h

p = h

√3m^∗K_bT. (1.1)

Os efeitos da quantização podem ser importantes mesmo em estruturas com escala da ordem de 10 a 100 vezes o valor da constante de rede do material.

A Figura 1.6 (a) mostra o perl de um potencial de connamento de elétrons (Banda de condução) e buracos (Banda de valência) em um poço quântico formado devido ao não alinhamento das bandas de energias. Na Figura1.6(b) mostra o perl de connamento em um o (ou ponto) quântico. Pode-se observar que a diferença entre os gaps dos materiais é igual a soma dos potencias que connam os portadores:

E_g^A−E_g^B = ∆E_e+ ∆E_h (1.2)

(20)

(a) (b) (c) (d)

Z

D(E)

Ec E

D(E)

E

D(E)

E

D(E)

E

Figura 1.5: (Em cima) Morfologia esquemática e (em baixo) densidade de estados para portadores com diferentes dimensionalidades: (a) bulk, (b) um poço quântico, (c) o quântico e (d) ponto quântico.

sendo ∆E_e o potencial que conna elétrons, ∆E_h o potencial que conna buracos, E_g^A o gap do material que forma a barreira da estrutura e E_g^B o gap do material que forma a região do poço. A Eq. (1.2) não fornece diretamente os valores de ∆E_e e ∆E_h. Estes valores podem ser calculados através das relações:

∆E_e =Q_c E_g^A−E_g^B

(1.3)

∆E_h =Q_v E_g^A−E_g^B

, (1.4)

onde as grandezas Q_c e Q_v são denominadas band-o-set de condução e band-o-set de valência, respectivamente. O band-o-set é um parâmetro do material obtido por métodos experimentos [25, 26, 27]. Ao crescermos uma heterojunção o band-o-set dá o valor da fração da diferençaE_g^A−E_g^B que conna elétrons Q_c e a fração que conna buracos Q_v, sendo queQ_c+Q_v = 1.

Além de poços, os e pontos quânticos outras nanoestruturas tem atraído a atenção de pesquisadores nos últimos anos, como por exemplo é o caso de anéis quânticos. Os anéis quânticos são heteroestruturas crescidos por um material semicondutor com diferentes propriedades, como mostra a imagem de um ponto InAs/GaAs na Figura1.7, produzida por microscopia de força atômica. Além de InAs/GaAs outros materiais usados na produ- ção de anéis quânticos são pontos quânticos de GaAs cobertos por uma camada de AlGaAs, ou usando InGaN/GaN, AlGaAs/GaAs, InAs/IP entre outros [27, 28, 29, 31, 32, 33]. A atenção dada a esta nanoestrutura por partes dos pesquisadores se deve ao fato do connamento de portadores em uma geometria com o formado de um anel. Do ponto de

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Eg A

DE^e

DEh

Eg B

A

B

-a/2 a/2 z

Eg

E_g^B A

DEe

DEh

r U( )r

0

(a) (b)

A

B

0 r 0

Figura 1.6: Perl do potencial de connamento de elétrons em um (a) poço quântico e (b) o quântico. O potencial de um ponto quântico é idêntico ao perl de potencial de um o quântico.

vista experimental, avanços em tecnologia na área da litograa tem tornado possível a fabricação dessas estruturas com alta qualidade e com dimensões bem controladas.

As nanoestruturas tem importantes aplicações em dispositivos eletrônicos, como em transistores de efeito de campo do tipo MOSFET (Metal-oxide-semiconductor eld eect transistor: Transistor de efeito de campo metal-óxido-semicondutor) ver Figura 1.8. Ou- tro exemplo representativo do estado-da-arte das nanoestruturas é mostrado na Figura 9.

Trata-se de uma nano estrutura bastante usada para estudar efeito Hall quântico, denominado Hall bar [34]. Tanto em um MOSFET quanto em um Hall bar, o surgimento de um canal semicondutor desempenha importante papel no transporte eletrônico. Nestes canais, os portadores de cargas se comportam como um gás de elétrons bi-dimensional (2DEG: Two dimensional eletrón gas), e o entendimento do comportamento de uma gás de elétrons em um canal quântico é de fundamental importância para fabricação dos dispositivos eletrônicos.

Figura 1.7: (A) Imagem de um ponto quântico GaAs obtida por Microscopia de Força Atômica, (B) Triplo anel concêntrico e (C) Anel/disco quântico [35].

Neste trabalho temos por objetivo estudar propriedades de transporte em canais es-

(22)

L W

B

Fonte Porta Dreno

Camada óxida

GaAs

(b) (a)

Figura 1.8: (a)Esquema de funcionamento de um MOSFET. (b) Hall Bar [34] . treitos. Especicamente, pretendemos investigar o processo de espalhamento de elétrons em canais com obstruções devido à barreiras de potenciais, e espalhamento em multicanais quânticos. O modelo teórico usado se baseia na propagação de um pacote de onda gaus- siano na banda de condução, através da solução numérica da Equação de Schrödinger. O trabalho está organizado em 5 capítulos que levam à analise do processo de espalhamento de elétrons em canais quânticos.

No capitulo 2, é apresentado o modelo teórico utilizado no trabalho, abordando a solução numérica da Equação de Schrödinger dependente do tempo, por meio de aproxi- mações como: aproximação adiabática, aproximação da função envelope e aproximação da massa efetiva. A ferramenta matemática que utilizaremos é o método split-operator, que consiste na separação de operadores quânticos, e permite o cálculo dos estados quânticos em sistemas de baixa dimensionalidade.

No capítulo 3, é estudado o espalhamento de elétrons, em canais semicondutores, devido à obstrução do tipo barreira e fendas simples e dupla. Formados pela heteroestrutura Ga0.3In0.7As/Ga0.7In0.3. As pesquisas tem se direcionado para busca de estudos que pos- sam proporcionar uma crescente miniaturização dos dispositivos eletrônicos, e os efeitos do connamento quântico de portadores tornam-se cada vez mais importantes a medida que as dimensões das estruturas semicondutoras são reduzidas. Os resultados obtidos, a transmissão e a corrente de probabilidade, mostram que as obstruções no interior do canal, provocam espalhamento do pacote de onda na região da barreira.

No capítulo 4 é estudado o espalhamento de elétrons em multicanais semicondutores.

A nanoestrutura é formada por um canal de entrada, usado para injeção de elétrons, e três canais de saída, por onde o elétron é espalhado.

Por m, as conclusões e perspectivas do trabalho são descritas no capítulo 5.

(23)

Capítulo 2

Modelo teórico

A compreensão dos mecanismos responsáveis pela corrente elétrica em um material semicondutor, e por consequência, sua aplicação em nanotecnologia, depende fortemente do comportamento dos elétrons nestes cristais. Elétrons em um átomo isolado tem estados quânticos estacionários, caracterizados por níveis de energia discretos e quantizados, correspondendo aos orbitais atômicos designados por 1s, 2s, 3p, 3d, etc. Quando estuda- mos um material com muitos átomos, como cristais semicondutores, o problema quântico torna-se muito mais complexo e depende da interação de cada átomo com os átomos vizi- nhos. O que acontece é que um átomo causa perturbações nos níveis de energia do outro, e se temos um grande número de átomos, estes terão um grande número de níveis de energia próximos uns dos outros, formando bandas de energia quase contínuas. As bandas de energia têm origem na sobreposição dos níveis de energia dos átomos, quando estes se agrupam para formar o sólido, e têm uma estrutura que está intimamente relacionada com o arranjo cristalino do material.

Como consequência do grande número de átomos presentes em um cristal10²³àtomos/

cm³ e do arranjo periódico destes átomos, formando a estrutura cristalina, os estados ener- géticos que descrevem o cristal se organizam de forma a produzir faixas contínuas destes estados, limitados e separados umas das outras por faixas de energias proibidas. As faixas de energia permitidas são denominadas bandas de energia, enquanto as faixas de energia proibidas denomina-se GAP de energia, ver a Figura2.2(a). Em um cristal semicondutor com temperaturaT = 0K, a última banda de energia abaixo do GAP, denominada banda de valência, esta completamente cheia de elétrons. Com o aumento da temperatura alguns elétrons da banda de valência ganham energia térmica suciente para migrarem para a banda acima do GAP, denominada banda de condução, a qual aT = 0K não contém elétrons, ver Figura 2.2(b). Elétrons que migram para a banda de condução deixam na banda de valência vacâncias denominadas buracos. O modelo de bandas de energia de materiais cristalinos é exclusivamente teórico, e se faz principalmente por cálculos de primeiros princípios, baseados em DFT "Density Functional Theory"que traduzindo para o português signica "Teoria do funcional da Densidade", ou aproximações do tipo ligação forte (Tight binding) [13]. Outros métodos também são usados para calcular bandas de

(24)

2.1. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA UM CRISTAL 25

L G C

ESO

hh lh

Egap

So

K E(K)

Bv Bc

Banda de condução el

Banda de valência

Níveis discretos

distância entre átomos

Energia

(a) (b)

Figura 2.1: (a) Banda de condução e valência devido a aproximação de um grande número de átomos em um sólido semicondutor.(b) Bandas de energia em um semicondutor GaAs.

As regiões hachuradas mostram os elétrons com T >0K.

energia em cristais e podem ser encontrados na literatura. Em geral, os modelos se ba- seiam em uma célula unitária do cristal e os cálculos são realizados na primeira zona de Brillouin. Como exemplo, a Figura 2.2(a) mostra a estrutura cristalina, célula primitiva da rede direta, do semicondutor arseneto de gálio (GaAs). Em Figura 2.2(c) a estrutura de bandas é mostrada para diferentes direções do vetor de onda K, e a Figura 2.2(b) mostra a estrutura octaédrica da primeira zona de Brillouin do GaAs.

2.1 Equação de Schrödinger para um cristal

A estrutura cristalina de um semicondutor consiste de um conjunto innito de íons localizados nos sítios da rede, ou próximos a estes, e um gás de elétrons que se move no campo destes íons. As propriedades básicas do cristal semicondutor, como óptica e de transporte por exemplo, dependem fortemente da dinâmica deste sistema interagente, formado pelos íons e pelo gás de elétrons. O estudo teórico destas propriedades começa por calcular a solução da equação de Schrödinger, a qual inclui no operador Hamiltoniano todas as interações que ocorrem no interior do cristal: interação elétron-elétron, interação elétron-íon e íon-íon, além de efeitos de spin e relativísticos para alguns casos particulares.

Por outro lado, o elevado número dos termos que descrevem estas interações, somados aos termos que descrevem a energia cinética dos íons e do gás de elétrons, faz com que a equação de Schrödinger não tenha uma solução exata. Então, introduzimos aproximações que permitem encontrar soluções correspondentes a diferentes aspectos do comportamento

(25)

2.1. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA UM CRISTAL 26

Energia eV

vetor de onda K

L L G D C K S G

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

k_z

w C

w

C

C D

D D

G S

L

k_x

ky

k (a)

(b)

(c)

Banda de valência GAP Banda de condução As

Ga

Figura 2.2: (a) Estrutura cristalina Zincblend do semicondutor GaAs (b) Primeira zona de Brillouin com indicação de pontos e direção de alta simetria no espaço recíproco e (c) Estrutura de bandas de energia.

do cristal: movimento eletrônico, movimento iônico, e suas interações com perturbações incluindo campos externos estáticos e oscilantes. A equação de Schrödinger que descreve o estado den elétrons, com coordenadas eletrônicasr₁, r₂, ..., r_n, e N íons, com coordenadas iônicasR₁, R₂, ..., R_N, é dada por

HΨ(rˆ ₁, r₂, ...., r_n, R₁, R₂, ..., R_N) =EΨ(r₁, r₂, ...., r_n, R₁, R₂, ..., R_N), (2.1)

sendoHˆ o operador Hamiltoniano que descreve todas as interações e energia cinética,

H =−

n

X

i

~² 2mi

∇²_i −

n

X

i

~² 2Mi

∇²_i +

n

X

i<j=1

1 4πε0

e²

|ri−rj|

+

N

X

i<j=1

1 4πε₀

Z_iZ_je²

|R_i−R_j| −

n,N

X

i,j

1 4πε₀

Z_Ie²

|R_i−r_j|. (2.2)

(26)

2.2. APROXIMAÇÃO ADIABÁTICA 27

Nesta equação, o Hamiltoniano não contém termos que descrevem efeitos relativísticos e de spin. O primeiro termo na Eq. (2.2) representa o operador de energia cinética dos elétrons, sendo que a soma se estende sobre todas os elétrons de massami e coordenada ri; o segundo termo representa o operador de energia cinética dos íons, e a soma se estende sobre todos os íons com massa Mi e coordenada Ri; o terceiro termo representa a energia potencial de interação coulombiana elétron-elétron para i < j; o quarto termo representa a energia potencial de interação coulombiana íon-íon, para i < j; o quinto e último termo representa a energia potencial de interação coulombiana elétron-íon. Cada soma se estende à aproximadamente 10²³ partículas por cm³, de forma que a equação como se apresenta em (2.2) não possui solução analítica e/ou numérica, devido a sua complexidade, para sistemas cristalinos e moleculares. Para contornar este problema é necessário aplicar aproximações que simplicam a Eq. (2.2) diminuindo o número de termos de interação e de energia cinética.

2.2 Aproximação Adiabática

Também conhecida como aproximação Born-Oppenheimer, a aproximação adiabática desacopla a dinâmica dos elétrons da dinâmica dos núcleos, levando em consideração o fato de que a energia cinética dos elétrons é muito maior que a energia cinética dos núcleos, devido a diferença entre as massas destas partículas serm_i ≈1.8×10⁻³M_k e a velocidade dos elétrons ser bem maior que a velocidade dos núcleos.

A aproximação adiabática considera que a função de onda do sistema pode ser expressa como um produto de uma função de onda eletrônica que depende das coordenadas (r₁, r₂, ..., r_n) e uma função de onda iônica que depende das coordenadas (R₁, R₂..., R_N) na forma

Ψ(r, R) = ψ(r)ϕ(R), (2.3)

onde Ψ(r) é a autofunção eletrônica, que depende da coordenada r dos elétrons. Subs- tituindo a função Ψ(r, R) da Eq. (2.3) e o Hamiltoniano Hˆ da Eq. (2.2) na equação de autovalores (2.1), podemos desacoplar as coordenadas eletrônicas r das coordenadas iônicas R. Desta forma, a função de onda ψ(r, R) que descreve o estado dos elétrons, satisfaz a equação de Shcrödinger

(27)

2.3. TEORIA DA MASSA EFETIVA 28

"

−

n

X

i=1

~²

2m_i∇_i²+

n

X

i<j=1

1 4πε₀

e²

|r_i− r_j| −

n,N

X

i,I

1 4πε₀

Z_Ie²

|R_I− r_i|

#

ψ(r, R)

=E₀(R)ψ(r, R), (2.4)

ondeE_e é a energia total dos elétrons, ou seja, auto-valores eletrônicos que dependem das coordenadasreR. A funçãoΨ(R)é autofunção iônica e satisfaz a equação de Schrödinger

"

−

N

X

i=1

~² 2Mi

∇_i²+φ(R)

#

Ψ(R) = EΨ(R), (2.5)

sendo:

φ(R) =E_e+

N

X

I<j

1 4πε₀

Z_IZ_je²

|R_i− R_j| (2.6)

o termo que descreve o potencial de interações ion-ion e a energia total E_e dos elétrons.

Essa aproximação tem efeito apenas sobre os íons. Agora queremos encontrar aproxima- ções que descrevem o comportamento dos elétrons de coordenada r. A coordenada R é arbitrária mas o potencial de interação elétron-íon é considerado um potencial periódico, com a periodicidade da rede cristalina. Ainda assim, o número de termos do Hamiltoniano da Eq. (2.2) é extremamente grande. Mesmo eliminando todos os termos correspondentes à energia cinética dos íons e a interação entre os mesmos, desacoplando o movimento dos elétrons do movimento dos íons, a solução numérica da equação de Schrödinger é totalmente inviável, fazendo com que tenhamos que aplicar outras aproximações.

2.3 Teoria da Massa Efetiva

Mesmo desacoplando o movimento eletrônico do iônico o problema de se resolver a Equação de Schrödinger para a parte eletrônica envolve um número muito grande de termos. Consideramos então que os elétrons sejam partículas indistinguíveis e independentes (aproximação do elétron independente) [36], e que cada elétron se move sob inuência de um potencial médio V_cr(r), o qual descreve as interações elétron-íons [37]. O movimento de um único elétron pode ser descrito por meio da equação de Schrödinger

p²

2m₀ +V_cr(r)

ψ_n,k(r) = E_n,kψ_n,k(r). (2.7)

(28)

2.3. TEORIA DA MASSA EFETIVA 29 Em redes cristalinas o movimento eletrônico é convenientemente descrito por um pacote de ondas, composto por auto-estadosψ_n,k(r) de um cristal sem perturbação, e estes estados são conhecidos como estados de Bloch [38]. A função de onda que descreve um estado de Bloch é escrita como

ψ_nk(~r) = e^ik·ru_nk(r), (2.8)

ondeeⁱ^k^·^ré a função de onda de Bloch, que tem a periodicidade da rede cristalina(u_nk(r) = u_nk(r+R)), e descreve o comportamento da função de onda dentro de uma célula unitária.

Substituindo a eq. (2.8) na eq. (2.7), temos que

Hu_n,k(r) =

− ~²

2m₀∇² +V_cr(r) + ~²k² 2m₀ + ~

m₀k·p

u_n,k(r) = E_n(k)u_n,k(r). (2.9)

Se considerarmos o centro da zona de Brillouin, ponto Γ(k = 0) como ponto de re- ferência, a solução para a Eq. (2.9) formará um conjunto completo de funções u_n,0(r), com n = 1,2,3, .... Este procedimento permite que a função de onda seja calculada para qualquer k6= 0, a partir de uma combinação linear das funções de Bloch.

u_n,k(r) =

∞

X

n⁰

c_n,n⁰u_n⁰_,0(r), (2.10)

onde o coecientec_nn⁰ é conhecido como função envelope [36].

Os casos de interesse e que serão estudados neste trabalho, são focados em elétrons de condução, os quais situam-se distante da banda de valência, exceto para semicondutores de gap estreito, os quais não serão investigados aqui. Desta forma, podemos simplicar nosso modelo considerando um modelo de banda simples. A função de onda de um estado excitado do elétron na banda de condução é formado por uma função de Bloch e a função envelope correspondente. Assim, o Hamiltoniano k·p é expandido em um elemento básico dado pela Eq. (2.11)

hu_n,0|H_kp|u_n,0i=E_n,0+~²k²

2m^∗_i (2.11)

Este modelo leva a uma forma de dispersão da energia, que ocorre no modelo equivalente de elétrons livre, na região da banda de condução próximo ao ponto k = 0, com formato aproximadamente parabólico. Entretanto, a curvatura difere da parabolicidade de dispersão do modelo de elétrons livres e depende especicamente da composição e

(29)

2.3. TEORIA DA MASSA EFETIVA 30 estrutura do semicondutor. Esta curvatura é introduzida por meio de um parâmetro em- pírico denominado massa efetiva do elétron, m^∗_e, a qual pode ser calculada aplicando a teoria de perturbação ao Hamiltoniano k·p.

Neste caso o Hamiltoniano não perturbado é dado por H₀ =− ~

2m₀∇²+V_cr(r), (2.12)

e a perturbação é representada pelo Hamiltoniano H₀ =− ~²

2m₀ k²

+ ~²

2m₀k·p. (2.13)

A energiaE_n,k , leva em consideração correções até a segunda ordem, dada por:

E_n,k =E_n,0+ X

α=x,y,z

−~²k² 2

"

1 m₀ + 2

m²₀ X

n⁰

P_n,n^α 0

2

E_n,0−E_n⁰_,0

#

, (2.14)

onde P_n,n^α 0 representa um parâmetro empírico determinado por experimentos ou através de cálculos de primeiros princípios (ab−initio). Os termos entre colchetes são denidos como o inverso da massa efetiva

1 m^∗ = 1

m₀ + 2 m²₀

X

n⁰

P_n,n^α 0

2

E_n,0−E_n⁰_,0, (2.15) de forma que a energia obedece a equação

E_n(k) =E_n,0+~²k²

2m^∗. (2.16)

de modo que o Hamiltoniano associado a energia descrita na Eq. (2.16) é dado por H= p²

2m^∗ (2.17)

Portanto, para um cristal periódico innito, a função envelope da banda de condução é uma onda plana descrita de acordo com o teorema de Bloch Eq. (2.8). Do ponto de vista da cinemática, a aceleração do elétron de bloch é denida pela equação

ak = ∂vk

∂t = 1

~

∂

∂t

∇_~_kE(k)

≡ 1

~

∂

∂t

∂E(k)

∂k

, (2.18)

(30)

2.3. TEORIA DA MASSA EFETIVA 31 onde usamos a relaçãov_k =∇_kw_k= ¹

~∇_kE(k), ou seja, a velocidade do elétron no estadok é dada pelo gradiente da banda de energia no espaço-K (espaço recíproco). Pelo princípio fundamental da dinâmica, podemos reescrever a aceleração na forma:

ak= 1

~²

∂²E(k)

∂k∂k Fext, (2.19)

sendop=~k eF =dp/dt =~dk/dt . Comparando a Eq. (2.19) com a 2^a Lei de Newton obtemos:

F=~²

∂²E(k)

∂k_i∂k_j ⁻¹

a, (2.20)

de forma que a massa efetiva pode ser expressa por

m^∗_ij =~

∂²E(k)

∂k_i∂k_j −1

. (2.21)

A Eq. (2.21) dene um tensor de massa efetiva para uma banda eletrônica, cujas componentes são

1 m_ij = 1

~

∂²E(k)

∂k_i∂k_j (2.22)

Assim, um elétron de Bloch excitado por um campo de forças externo comporta-se como se possuísse uma massa anisotrópica, diferente da massa de repouso do elétron m₀. A massa efetiva incorpora todas as informações da estrutura da rede que leve à banda de energiaE(k). Para alguns cristais complexos, componentes não diagonais do tensor massa efetiva são diferentes de zero. Assim, um campo elétrico aplicado em uma certa direção do cristal pode causar aceleração eletrônica em uma direção diferente. Na maior parte dos semicondutores o tensor massa efetiva é diagonal. Em especial, nos cristais isotrópicos, o tensor se reduz a uma massa escalar:

m^∗ = ~²

∂²E(k)/∂k² (2.23)

A banda de valência é geralmente formada por três ramos denominados buraco leve, buraco pesado e spin-orbita, devido as suas diferentes massas efetivas, como pode ser

(31)

2.4. APROXIMAÇÃO DA FUNÇÃO ENVELOPE 32 visto na Figura 2.2b. As expressões teóricas obtidas para a massa efetiva dos elétrons também se aplicam aos buracos, e em geral, seus valores dependem da estrutura cristalina, da periodicidade da rede, e da composição química do material. Na aproximação de massa efetiva, os elétrons (buracos) na banda de condução (valência) de um material são considerados como partículas livres, onde a inuência de qualquer potencial externo é adicionado ao Hamiltoniano efetivo, e interações com outros elétrons e íons de rede são considerados introduzindo o conceito de massa efetiva.

2.4 Aproximação da Função Envelope

A aproximação de Função Envelope é um formalismo matemático que possibilita utilizar a aproximação da massa efetiva para investigar o comportamento de elétrons e buracos em um cristal, quando este está sujeito a alguma perturbação. Essa perturbação pode se dar quando houver defeitos na rede, impurezas ou átomos dopantes, ou surgir devido a junção de camadas de materiais diferentes, ação de campos elétricos e/ou magnéticos externos ou campos internos provenientes de distorções da rede dependente do tempo [13]

[39].

A aproximação da função envelope se torna importante porque usamos a aproximação da massa efetiva para considerar um cristal de tamanho innito. Entretanto quando levamos em consideração que o sistema é limitado pelo tamanho do cristal, o elétron também é connado nos limites da heteroestrutura, o que se dá pelo potencialV(r) [37], o Hamiltoniano usado na função envelope é

H = p²

2m^∗ +V(r). (2.24)

Uma grande vantagem de se utilizar as aproximações da massa efetiva e da função envelope, é a simplicidade para incluir efeitos de connamento adicionais na descrição teórica do movimento de elétrons e buracos, tais como campos elétricos ou magnéticos. Esta tarefa é muitas vezes reduzida a introdução de um termo de potencial no Hamiltoniano da eq. (2.24). Além disso, este formalismo facilita a solução da equação de Schrödinger por meio de técnicas numéricas de discretização por diferenças nitas [36] [40].

(32)

2.5. DESCRIÇÃO TEÓRICA PARA PROPAGAÇÃO DE PACOTE DE ONDAS EM NANOESTRUTURAS

SEMICONDUTORAS 33

2.5 Descrição teórica para propagação de pacote de on- das em nanoestruturas semicondutoras

Partículas como elétrons e buracos, connadas em sistemas de baixa dimensionalidade, tem seus movimentos completamente quantizados. Portanto, o estudo dos ní- veis de energia e os correspondentes estados quânticos destas partículas é de fundamental importância para compreensão das propriedades ópticas, eletrônicas e de transporte destas nanoestruturas. Isto fez com que um grande número de métodos numéricos [25, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49] fossem desenvolvidos em diferentes aproximações, tendo por objetivo encontrar os estados quânticos das nanoestruturas.

A teoria da massa efetiva, descrita na seção anterior, é a aproximação mais comum aplicada na literatura, em investigações que envolvem nanoestruturas de semicondutores, tendo em vista a periodicidade do potencial de uma rede cristalina em um semicondutor, usando a aproximação da massa efetiva, a determinação dos estados quânticos reside no cálculo da função de onda envelope. A solução da equação de Schrödinger que determina os estados quânticos connados, requer condições de contorno relacionadas ao tamanho do sistema. Portanto, o tratamento da equação de Schrödinger no espaço real é mais adequada do que o tratamento no espaço de representação do momento.

Nesta seção apresentamos um método numérico para resolver a equação de Schrödinger de forma consistente com a aproximação da massa efetiva e com o formalismo da função envelope, para nanoestruturas semicondutoras. O método é particularmente interessante no cálculo de estados espacialmente connados, usando coordenadas do espaço real, em- bora possa ser modicado para lidar em coordenadas do espaço do momento, em sistemas que envolvem condições periódicas de contorno. O método permite o cálculo de estados excitados, inclusão de interações entre portadores e tratamento de campos externos dependente ou independente do tempo. O método numérico que iremos descrever deriva a partir do método de diferenças nitas no espaço, aplicado para propagar a função de onda em um passo innitesimal no tempo. O operador de evolução temporal é escrito de forma a separar a ação do operador de energia cinética do operador de energia potencial, método ”split−operator”. O esquema de propagador de evolução temporal pode ser usado também considerando o tempo como um número complexo, de forma que o método evolua uma função de onda inicial arbitrária para o estado fundamental do sistema. Este método pode ser extendido para calcular estados excitados bem como estados de muitas partículas [50].

A evolução temporal de pacote de ondas possibilita, além da obtenção do espectro de energia, cálculo da condutividade elétrica e óptica, densidade local de estados, etc. Tra- balhos recentes da literatura vem aplicando técnicas de propagação de pacotes de ondas para estudar oscilações de níveis de energia e coeciente de transmissão de elétrons devido à aplicação de campos magnéticos, efeito Aharanov Bohm [55, 51, 53], e também para descrição teórica de experimentos de microscopia [54], interação de elétrons com impu-

(33)

SEMICONDUTORAS 34

rezas em poços quânticos [56], estudos de correntes de tunelamento entre os quânticos dobrados [31], entre outros. Chaves e colaboradores [30] expandiram em 2015 a técnica de split-operator para estudo de sistemas onde interações spin-orbita e efeitos Zeeman tem importante papel. Outro exemplo de aplicação interessante foi publicado por Sousa e colaboradores em 2013 [51], que mostraram a baixa eciência de transmissão de elétrons devido à adição de um canal extra a um anel quântico conectado em um canal de entrada, alinhado com um canal de saída de elétrons, ver Figura (1.7). Foi mostrado neste trabalho a equivalência entre a baixa eciência da transmissão devido ao acréscimo de um canal extra ao anel e o Paradoxo de Braess. Em escala nanométrica, onde efeitos quânticos são relevantes, o equivalente quântico do Paradoxo se deve à fenômenos de espalhamento e interferência do pacote de onda.

Além da técnica split-operator, outras técnicas tem sido desenvolvidas para o cálculo de propagação de ondas em estruturas quânticas [57, 58, 59, 60, 61]. A maior parte destas técnicas são baseadas na aproximação de um operador de evolução temporal com o objetivo de se aplicar em situações práticas, por meio de ferramentas numéricas e compu- tacionais. Neste trabalho optamos pela técnica de split-operator porque quando aplicada em sistemas cujo potencial se extende em um plano (x, y), e é invariante com o tempo, apresenta baixo custo computacional, além de ter simples implementação.

2.5.1 Técnica de solução da equação de Schrödinger dependente do tempo: Propagação em Tempo Real

Com a aproximação da massa efetiva, a determinação dos estados quânticos consiste no cálculo da parte das funções de onda que variam lentamente, as funções de onda envelope, as quais são dadas por versões multi-bandas da equação de Schrödinger como resultado da aproximação da perturbação K·P para simplicar a estrutura de banda. O método split- operator resolve as derivadas pelo método de diferenças nitas no espaço real, aplicando a propagação de funções de onda em passos de tempo innitesimais. Para isto escrevemos o operador evolução temporal como uma soma de exponenciais, e a questão é obter o cálculo da soma de dois exponenciais que não comutam. Uma resposta exata não é possível, mas podemos obter aproximações.

A evolução temporal de uma partícula que se move em uma nanoestrutura semicondutora pode ser descrita a partir da equação de schrödinger dependente do tempo

− i~∂ψ(r, t)

∂t = ˆHψ(r, t) (2.25)

sendo ψ(r, t) a função de onda, que depende da posição r e do tempo t. O operador HamiltonianoHˆ é escrito em termos da soma de operadores

Hˆ = pˆ²

2m + ˆU(r), (2.26)

(34)

SEMICONDUTORAS 35

ondepˆ=−i~∇ é o operador momento eUˆ(r)o operador energia potencial, que descreve o potencial de connamento de portadores em nanoestruturas. A solução formal para Eq.

2.25 pode ser escrita na forma

ψ(~r, t) = e

−ⁱ

~ t

R

0

H∆t

ψ(~r,0) (2.27)

Para um tempo ∆t pequeno podemos escrever a Eq. (2.27)

ψ(~r, t) = e^−iH∆t/~ψ(~r,0). (2.28) ou

ψ(~r, t) =U(r, t)Ψ(r,0) (2.29)

ondeU(r, t)é o operador de evolução temporal

U(~r, t) =e^−i(T^+V^)∆t/~ (2.30)

sendoT =p²/2m^∗ o operador de energia cinética, que na representação espacial é escrito como T = −~²∇²/2m^∗ onde m^∗, é a massa efetiva do portador. O operador (2.30) não pode ser resolvido exatamente de forma que se faz necessário aplicar aproximações para envolver a função de onda. Uma forma de contornar este problema é escrever o operador exponencial como um produto de exponenciais.

Este procedimento é conhecido como método de split-operator,

e^−iH∆t/^~ =e^−i(T^+V^)∆t/^~ =e^−ip²^/2^~^m^∗e^−iV^∆t/^~ +erro. (2.31)

Expandindo o exponencial em série de potência: e^x =

∞

P

n=0 xⁿ

n! obtemos erro= (T V −V T)∆t²

2~²

= [T, V]∆t² 2~²

≈O(∆t²) (2.32)

Podemos melhorar a aproximação, e diminuir o erro reescrevendo a Eq. (2.31) como e^−i(T^+V^)∆t/^~ =e^−iV^∆t/2^~e^−iT∆t/^~e^−iV^∆t/2^~+O(∆t³) (2.33)