– PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO –
1- Em um triângulo qualquer ABC, encontramos circuncentro quando:
a) Traçamos o triângulo dentro de uma circunferência.
b) Traçamos as três medianas deste triângulo.
c) Traçamos as três bissetrizes deste triângulo.
d) Traçamos as três alturas deste triângulo.
e) Traçamos as três mediatrizes deste triângulo.
Resolução da questão:
Vimos que o circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo.
Portanto, em questão de pontos notáveis no triângulo, falou em mediatrizes, falou em circuncentro.
Gabarito: E
2- O centro de uma circunferência inscrita em um triângulo é facilmente obtido quando se determina o:
a) Autocentro.
b) Baricentro.
c) Circuncentro.
d) Incentro.
Resolução da questão:
Vimos que o Incentro, além de ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, é também o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Gabarito: D
3- Considere a situação hipotética em que, na investigação para encontrar a arma usada em um crime, o suspeito tenha declarado o seguinte para o
delegado: “O local onde enterrei a arma é um ponto tal que as distâncias desse ponto à minha casa, à delegacia e ao fórum são iguais.” Admitindo que a
cidade seja plana e que o fórum, a delegacia e a casa do suspeito sejam os vértices de um triângulo cujos ângulos internos são todos agudos — menores que 90º — e cujos comprimentos dos lados são todos desiguais, a polícia encontrará a referida arma:
a) no ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
b) em um ponto externo ao triângulo.
c) no ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
d) no ponto de encontro das medianas do triângulo.
e) no ponto de encontro das alturas do triângulo.
Resolução da questão:
Pelo enunciado da questão, a casa, a delegacia e o fórum representam as vértices do triângulo.
A arma está enterrada num locar equidistante desses vértices.
O ponto notável que equidista dos vértices do triângulo é o Circuncentro.
O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes.
Logo, a arma pode ser encontrada no ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
Gabarito: A
4- Analise as afirmativas a seguir.
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c > b > a. Pode-se afirmar que c² = a² + b² se, e somente se, o triângulo for retângulo.
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos.
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo.
Assinale a opção correta.
a) Somente I e II são verdadeiras.
b) Somente II e III são verdadeiras.
c) Somente I é verdadeira.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras.
Resolução da questão:
Vamos analisar as informações:
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c > b > a. Pode-se afirmar que c² = a² + b² se, e somente se, o triângulo for retângulo. → Verdadeira, pois todo triângulo que obedece ao teorema de Pitágoras é retângulo.
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos. → Falsa. O centro do círculo circunscrito em um triângulo
retângulo é o ponto médio da hipotenusa deste triângulo.
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo. → Falsa. O ponto que equidista dos lados é o incentro.
A única afirmação correta é a I.
Gabarito: C
5- Sendo E o baricentro do triângulo ABC, AE = 10 cm, EN = 6 cm, e CE = 14 cm, o valor, em cm, de x + y + z é
a) 18.
b) 20.
c) 22.
d) 24.
Resolução da questão:
O conceito mais importante para resolvermos essa questão é: O Baricentro divide a mediana em 2 partes, na relação de 2 pra 1.
Então, se AE = 10 cm, AM (z) = 10/2 = 5 cm
Se EN = 6 cm, BE (y) = 2 . 6 = 12 cm
Se CE = 14, x = 14/2 = 7 cm
Portanto, x = 7, y = 12 e z = 5 x + y + z = 7 + 12 + 5 = 24
Gabarito: D
6- Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.
Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é
a) 3.
b) 2.
c) 4.
d) 1.
e) 5.
Resolução da questão:
Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido.
Gabarito: A
7- O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado:
a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana
Resolução da questão:
Vimos na aula que o Ortocentro é ponto de encontro das alturas de um triângulo.
Gabarito: D
8- Um triângulo ABC tem um lado medindo 8 cm. Sabendo que seu baricentro
= incentro = circuncentro = ortocentro, os outros lados do triângulo medem:
a) 8 cm e 8 cm b) 10 cm e 6 cm c) 12 cm e 10 cm d) 4cm e 12 cm
Resolução da questão:
Vimos que no triângulo equilátero todos os pontos notáveis do triângulo são iguais, ou seja, o baricentro é igual ao incentro, que é igual ao circuncentro, que é igual ao ortocentro.
Ou seja, a questão está tratando de um triângulo equilátero.
No triângulo equilátero todos os lados são iguais.
Portanto, seus outros lados medirão também 8 cm cada.
Gabarito: A
9- Observe o triângulo abaixo:
Sabendo que os pontos notáveis (Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro) desse triângulo estão alinhados, os valores dos seus ângulos internos p, m e n são, respectivamente:
a) 115º, 90º, 180º b) 65º, 65º e 50º c) 80º, 80º, 40º d) 60º, 60º e 90º e) 50º, 50º e 80º
Resolução da questão:
Quando a questão diz que os pontos notáveis estão alinhados, automaticamente deduzimos que se trata de um triângulo isósceles.
O triângulo isósceles possui 2 ângulos iguais e apenas o ângulo oposto a sua base é diferente.
Visto isso, sabemos que m = n
n é suplementar de 115º, logo, n = 180º - 115º = 65º
m = n = 65º
A soma dos ângulos internos dos triângulos vale 180º
m + n + p = 180 65 + 65 + p = 180 p = 180 – 130 p = 50º
Então, temos que o valores de m, n e p são, respectivamente: 65º, 65º e 50º
Gabarito: B
10- Em uma de suas aulas de geometria, na turma da terceira série do ensino médio, o professor Marcelo trabalha com seus alunos a ideia de centro de gravidade de um triângulo. A ideia é fazer com que os alunos equilibrem
triângulos de madeira na ponta de um prego. Para que esses alunos consigam lograr êxito no experimento, é necessário lançar mão de uma ferramenta muito importante que é o:
a) Autocentro.
b) Baricentro.
c) Incentro.
d) Ortocentro.
Resolução da questão:
Para que consiga equilibrar um triângulo, a ponta do prego deve estar em seu centro de gravidade, ponto esse chamado de Baricentro.
Gabarito: B
