PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO

1. LUGAR GEOMÉTRICO

Um lugar geométrico (_L.G.) é o conjunto de todos os pontos que possuem uma determinada propriedade.

Assim, se o conjunto L é o lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade p, então:

1°) Se o ponto AL, então A possui a propriedade p; e 2°) Se o ponto A possui a propriedade p, então AL.

Por exemplo, uma circunferência de centro em um ponto O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância constante e igual a r do ponto O.

2. MEDIATRIZES

A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio.

A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos equidistantes das extremidades do segmento.

Demonstração:

Seja um ponto Pm, onde m é a mediatriz do segmento AB , então PMA PMB (caso especial de congruência para triângulos retângulos), então PA=PB, ou seja, P equidista das extremidades do segmento.

Seja P um ponto equidistante das extremidades de um segmento AB . Se M é o ponto médio de AB , então PA=PB.

Assim, considerando os triângulos PAM e PBM, temos PA=PB, AM=BM e MP é comum, portanto, pelo critério de congruência , L.L.L., PAM  PBM, o que implica PMAˆ =PMBˆ =90 , ou seja, P pertence à mediatriz de AB.

As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se em um único ponto denominado circuncentro e que equidista dos vértices do triângulo.

Demonstração:

Sejam m , ₁ m e ₂ m as mediatrizes dos lados AB , ₃ AC e BC do triângulo ABC, respectivamente.

Se  _{O =m1m2}, então, temos:

1

3 2

O m OA OB

OB OC O m

O m OA OC

       

    .

Portanto,  _{O =m1m2m3} e OAOBOC, como queríamos demonstrar.

O circuncentro de um triângulo é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

2.1. POSIÇÕES DO CIRCUNCENTRO EM RELAÇÃO AO TRIÂNGULO O circuncentro é interior ao triângulo, se o triângulo é acutângulo.

O circuncentro está sobre o ponto médio da hipotenusa, se o triângulo é retângulo.

O circuncentro é exterior ao triângulo, se o triângulo é obtusângulo.

3. BISSETRIZES

A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos congruentes.

A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados de um ângulo.

Demonstração:

Seja um ponto P bissetriz de AOB.^ˆ Traçam-se as perpendiculares por P aos lados do ângulo.

Nos triângulos POC e POD, temos PO lado comum, POC^ˆ =POD^ˆ e PCOˆ =PDOˆ =90 , então, pelo critério de congruência LAA , POC_o   POD, o que implica PC=PD, ou seja, P equidista dos lados do ângulo.

Seja P um ponto que equidista dos lados do ângulo AOB.^ˆ

Nos triângulos POC e POD, temos PO lado comum e PC=PD, então, pelo critério de congruência especial para triângulos retângulos, POC  POD, o que implica POC^ˆ =POD,^ˆ ou seja, P pertence à bissetriz do ângulo AOB.^ˆ

Observação:

• As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice são semirretas opostas.

• As bissetrizes de dois ângulos replementares são semirretas opostas.

• As bissetrizes de dois ângulos suplementares são perpendiculares.

3.1. BISSETRIZES INTERNAS DE UM TRIÂNGULO

Uma bissetriz interna de um triângulo é um segmento com extremidade em um vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos adjacentes congruentes.

ˆ ˆ

BAA 'A ' ACAA ' é bissetriz relativa ao vértice A do ABC

Observação: Um segmento que tem uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outro no lado oposto a esse vértice é denominado ceviana.

As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se em um único ponto denominado incentro e que equidista dos lados do triângulo.

Demonstração:

Sejam AA ', BB ' e CC ' as bissetrizes relativas aos vértices A, B e C do triângulo ABC, respectivamente.

Se ^{ }I =AA 'BB ', então, temos:

I AA ' IE IF

ID IE I CC '.

I BB ' ID IF

      

   

Portanto,  _{I =AA 'BB'CC'} e IDIEIF, como queríamos demonstrar.

O incentro de um triângulo é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

3.2. BISSETRIZES EXTERNAS DE UM TRIÂNGULO

Uma bissetriz externa de um triângulo é uma reta que divide um ângulo externo do triângulo em dois ângulos adjacentes congruentes.

Assim como as três bissetrizes internas, as três bissetrizes externas também equidistam dos lados do triângulo.

Cada bissetriz externa é perpendicular à bissetriz interna do mesmo vértice.

As três bissetrizes externas intersectam-se duas a duas determinando três pontos denominados exincentros.

Em cada exincentro intersectam-se as duas bissetrizes externas dos ângulos adjacentes a um lado do triângulo e a bissetriz interna do ângulo oposto a esse lado.

Os exincentros são equidistantes dos três lados do triângulo e são centros dos três círculos ex-inscritos.

Note que as demonstrações das propriedades das bissetrizes externas e dos exincentros são análogas às das bissetrizes internas e do incentro, pois correspondem aos mesmos lugares geométricos.

4. ALTURAS

Uma altura de um triângulo é uma ceviana perpendicular ao lado oposto, ou seja, é um segmento de reta com extremidades em um vértice e no lado oposto a ele e perpendicular a esse lado.

4.1. ORTOCENTRO

As três alturas de um triângulo (ou seus prolongamentos) concorrem em um único ponto denominado ortocentro.

Demonstração:

Sejam BE e CF duas alturas do ABC que se cortam no ponto H, e seja AD a ceviana passando por H.

# AFHE é inscritível FAH^ˆ =FEH^ˆ = 

ˆ ˆ

BFC=BEC=90º# BFEC é inscritível FEH^ˆ =FCB^ˆ = 

ˆ ˆ

CHD=AHF=90º−

( ) ˆ

ˆ ˆ

CDH 180º CHD DCH 180º 90º 90º

 = − − = − − − =

Logo, AD⊥BC, ou seja, AD também é uma altura do ABC, o que implica que as três alturas do triângulo encontram-se em um único ponto.

Outra forma de provar a concorrência das três alturas é traçar pelos vértices A, B e C retas paralelas aos lados opostos. Assim, # ABCJ e # ACBK são paralelogramos, o que implica BC AJ AK e BC=AJ=AK, logo A é ponto médio de KJ e, como AH₁⊥BC, então AH₁⊥KJ. Assim, conclui- se que AH é a mediatriz do lado KJ do ₁ IJK.

Analogamente BH e ₂ CH também são mediatrizes de KI e IJ, respectivamente. ₃

O ponto de encontro das três mediatrizes de um triângulo é o circuncentro do triângulo. É fácil garantir a sua existência e unicidade, pois ele é o ponto que equidista dos três vértices.

Como AH , ₁ BH e ₂ CH são as três mediatrizes do IJK,₃  eles se encontram no ponto H circuncentro do IJK e, consequentemente, ortocentro do ABC.

Se o triângulo é acutângulo, o ortocentro está no interior do triângulo.

Se o triângulo é retângulo, o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.

Se o triângulo é obtusângulo, o ortocentro está no exterior do triângulo.

Nas figuras seguintes, H é o ortocentro dos triângulos.

OBSERVAÇÃO:

O simétrico do ortocentro de um triângulo em relação a um de seus lados está sobre o círculo circunscrito ao triângulo.

Demonstração:

ˆ ˆ H 'C CAH ' CBH '

= = 2

ˆ

ˆ ˆ ˆ

CBH=90º BHD− =90º AHE− =CAH '

ˆ ˆ

CBH CBH ' DH DH '

 =  =

Logo, a interseção H ' do prolongamento de AD com o círculo circunscrito é o simétrico de H em relação ao lado BC, o que demonstra a proposição inicial.

4.2. TRIÂNGULO ÓRTICO

O triângulo órtico é o triângulo formado pelos pés das alturas de um triângulo.

No triângulo retângulo o triângulo órtico não está definido.

OBSERVAÇÃO:

• Em qualquer triângulo acutângulo, o ortocentro é o incentro do triângulo órtico, e seus vértices são exincentros do triângulo órtico.

• Em qualquer triângulo obtusângulo, o ortocentro é um dos exincentros do triângulo órtico, o vértice do ângulo obtuso é o incentro do triângulo órtico, e os outros dois vértices são os outros dois exincentros do triângulo órtico.

Demonstração:

ˆ ˆ

BFH=BDH=90º# BDHF é inscritível FBH^ˆ =FDH^ˆ

ˆ ˆ

CEH=CDH=90º# CDHE é inscritível ECH^ˆ =EDH^ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

FBH=ECH=90º A− FDH=EDH

Logo, DH é bissetriz do ângulo FDE.^ˆ Analogamente, EH e FH são bissetrizes dos ângulos DEF e ˆ DFE,ˆ respectivamente, o que implica que H é o incentro do DEF.

Observando ainda que os lados AB, BC e AC são perpendiculares às bissetrizes internas do DEF, então eles são bissetrizes externas do DEF e, consequentemente, os vértices A, B e C são exincentros do DEF.

A demonstração para o triângulo obtusângulo é análoga. Basta considerar o triângulo DEF como triângulo órtico do triângulo obtusângulo BCH.

5. MEDIANAS, BASES MÉDIAS E BARICENTRO

5.1. BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO

Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e é igual à metade do terceiro lado. Esse segmento é denominado base média do triângulo, relativa ao terceiro lado.

Demonstração:

Seja a reta r AB por C, e D a interseção de r, então o quadrilátero BMDC é um paralelogramo, o que implica MD BC e MDDC. Portanto, MN BC e BC

MN= 2 .

Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é o ponto médio do terceiro lado.

5.2. MEDIANAS E BARICENTRO

Uma mediana de um triângulo é uma ceviana com extremidade no ponto médio do lado oposto, ou seja, um segmento com extremidades em um dos vértices e no ponto médio do lado oposto.

BMMCAM é a mediana relativa ao vértice A do ABC OBSERVAÇÃO:

As três medianas de um triângulo interceptam-se em um único ponto denominado baricentro. O baricentro divide as medianas na razão 2:1, onde a parte maior é a que contém o vértice.

Demonstração:

Seja  _{X =BNCP}, D e E pontos médios de BX e CX, respectivamente.

No ABC, N e P são pontos médios de AC e AB , respectivamente, então NP BC e BC NP= 2 .

No XBC, D e E pontos médios de BX e CX , respectivamente, então DE BC e BC DE= 2 . NP DE NP DE # NPDE

    é um paralelogramo.

Como as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio, então NXXDDB e PXXEEC.

Logo, a mediana BN intercepta a mediana CP em um ponto X que divide as medianas na razão 2 :1.

Seja  _{Y =AMCP}, então analogamente Y divide as medianas AM e CP na razão 2 :1, portanto, XY.

Chamando esse ponto de X Y G, então  G =AMBNCP e ^{AG BG CG 2}. 1 GM =GN = GP =

OBSERVAÇÃO:

• O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.

• Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.

• Em um triângulo isósceles, todas as cevianas relativas ao vértice são coincidentes.

Vamos agora aplicar esses conceitos em alguns exercícios.

No triângulo ABC, D é o ponto médio de AB e E é o ponto de BC tal que BE= 2 EC. Dado que os ângulos ADC^ˆ e BAE são iguais, encontre o ângulo ˆ BAC^ˆ .

a) 30 b) 45 c) 60 d) 90 e) 120

RESOLUÇÃO: d

Construímos inicialmente CA '=CA.

Dessa forma, BC é mediana do ABA '.

Como BE= 2 EC, E é o baricentro do ABA '.

Logo, AE’ também é mediana do ABA '.

Notando agora que D é ponto médio de AB e C é ponto médio de AA’, então DC BA ' e

ˆ ˆ

ABA '=ADC= .

Logo, o AE ' B é isósceles e AE '=BE '.

180 2

ˆ ˆ

AE ' A 'ˆ 2 E ' A ' A E ' AA ' 90 2

 =   = = − = − 

( )

ˆ ˆ ˆ

BAC BAE ' E ' AA ' 90 90

 = + =  + −  =

(CN 1996) Considere as afirmativas sobre o triângulo ABC:

I − Os vértices B e C são equidistantes da mediana AM. M é o ponto médio do segmento BC;

II − A distância do baricentro Gao vértice B é o dobro da distância de G ao ponto N, médio do segmento AC;

III − O incentro I é equidistante dos lados do triângulo ABC;

IV − O circuncentro S é equidistante dos vértices A, B e C.

O número de afirmativas verdadeiras é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 RESOLUÇÃO: d

I – FALSA

A mediana AM é a ceviana que liga o vértice A ao ponto médio do lado oposto M. Assim, pode-se dizer que B e C são equidistantes do ponto M, mas não da mediana AM.

II – VERDADEIRA

O segmento MN é uma base média do ABC, então MN AB e AB

MN .

= 2

GN MN 1

MN AB GMN GAB BG 2 GN

BG AB 2

    = =  =  .

III − VERDADEIRA

O incentro I é o ponto de encontro das bissetrizes internas do ABC. Como a bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados desse ângulo, então cada bissetriz interna do ABC equidista de dois lados adjacentes e, consequentemente, o ponto de encontro das bissetrizes é único e equidista dos três lados do ABC. Por isso, o incentro I é o centro do círculo inscrito ao ABC.

IV − VERDADEIRA

O circuncentro S é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do ABC. Como a mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes das extremidades do segmento, então cada mediatriz equidista de dois vértices do ABC e, consequentemente, o ponto de encontro das mediatrizes é único e equidista dos três vértices do ABC. Por isso, o circuncentro S é o centro do círculo circunscrito ao ABC.

(CN 1997) O ponto P interno ao triângulo ABC é equidistante de dois de seus lados e dois de seus vértices. Certamente P é a interseção de:

a) uma bissetriz interna e uma altura desse triângulo.

b) uma bissetriz interna e uma mediatriz dos lados desse triângulo.

c) uma mediatriz de um lado e uma mediana desse triângulo.

d) uma altura e uma mediana desse triângulo.

e) uma mediana e uma bissetriz interna desse triângulo.

RESOLUÇÃO: b

Se P é equidistante de dois lados, então está sobre a bissetriz interna do ângulo formado por esses lados.

Se P é equidistante de dois vértices, então está sobre a mediatriz desses vértices.

Logo, P é a interseção de uma bissetriz interna e uma mediatriz do triângulo.

Na figura CAB^ˆ =90º , BC=  2 BM=10 cm e ED= 2 EN. Se DP=15 cm e AN=7, 5 cm, calcule MP.

a) 4 cm b) 4,5 cm c) 5 cm d) 5,5 cm e) 6 cm RESOLUÇÃO: c

BC= 2 BM 10cm= BM=MC=5cm

AM é mediana relativa à hipotenusa BC BC 10

AM 5

2 2

 = = =

MN=AN−AM=7, 5 5− =2, 5 AM 5 2 2, 5 1

MN = = Como AN é mediana relativa ao lado ED e ^{AM 2},

MN= 1 então M é o baricentro do ADE.

Logo, M divide DP na razão 2:1, assim MP 1 1

MP 15 5cm.

3 3

DP =  =  =

Sejam H, I e O, respectivamente, o ortocentro, o incentro e o circuncentro de um triângulo ABC. Se HAIˆ =  e IAO^ˆ = , então

a) 2 =  b)  = 2 c)  = 4 d) 4 =  e)  =  RESOLUÇÃO: e

O ângulo AOCˆ =2B,ˆ pois é um ângulo central associado ao mesmo arco que o ângulo inscrito

ˆ ˆ

ABC=B (note que o circuncentro O é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo).

Como OA=OC=R, então o triângulo AOC é isósceles e 180 2Bˆ

ˆ ˆ ˆ

OAC OCA 90 B.

2

= = − = −

No triângulo retângulo ABE, temos BAHˆ =90 −B.ˆ .

O incentro I é o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo, então BAI^ˆ IAC^{ˆ ˆA}.

= = 2 Assim, temos:

( )

ˆ ˆ ˆ ˆA ˆ

HAI BAI BAH 90 B

 = = − = 2 − − e _IAO^ˆ _{IAC OAC}^{ˆ ˆ ˆA} (_{90 B .}^ˆ)

 = = − = 2 − − Portanto,  = .

Para concluir, vamos analisar se as posições relativas entre H, I e O estão corretas.

BAHˆ =  −90 Bˆ BAI^ˆ IAC^{ˆ ˆA}

= = 2 CAOˆ =  −90 Bˆ

ˆA ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

90 B 180 2B A A B C 2B A C B

 −  2   −   + + −   

Assim, essa configuração está correta se o ângulo ˆB for maior que o ângulo ˆC. Caso contrário, as posições de O e H ficam invertidas em relação a I, e o problema pode ser resolvido da mesma maneira, mas usando o ângulo ˆC, em vez do ˆB.

REFERÊNCIA: Mathematics Today – May 2014 – pg. 80.

6. RETA DE SIMSON

Os pés das três perpendiculares traçadas de um ponto do círculo circunscrito a um triângulo aos lados do triângulo são colineares, sendo a reta que contém esses três pontos chamada reta de simson do ponto P.

Demonstração:

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

BC P=BA P=90ºBC P BA P 180º+ = # BA PC_{1 1} é inscritível BPCˆ ₁=BA Cˆ_{1 1}

1 1 1 1

ˆ ˆ

PA C=PB C=90º# PA B C é inscritível CA Bˆ_{1 1}=CPBˆ ₁

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

AC P=AB P=90ºAC P AB P 180º+ = # AB PC_{1 1} é inscritível B PC₁ˆ ₁=180º A−ˆ P está no círculo circunscrito ao ABC # ABPC é inscritível BPC 180º A^ˆ = −^ˆ

1 1

1 1 1 1

ˆ ˆ

B PC BPC

ˆ ˆ ˆ ˆ

B PB BPC BPB B PC

 =

 + = +

1 1 ˆ1 1 ˆ1 1

ˆ ˆ

BPC B PC BA C CA B

 =  =

Logo, os pontos C , ₁ A e ₁ B são colineares. ₁

(CN 2014) Seja ABC um triângulo acutângulo e "L" a circunferência circunscrita ao triângulo. De um ponto Q (diferente de A e de C) sobre o menor arco AC de "L" são traçadas perpendiculares às retas suportes dos lados do triângulo. Considere M, N e P os pés das perpendiculares sobre os lados AB, AC e BC, respectivamente. Tomando MN=12 e PN=16, qual é a razão entre as áreas dos triângulos BMN e BNP?

a) 3

4 b) 9

16 c) 8

9 d) 25

36 e) 36 49 RESOLUÇÃO: a

Inicialmente, observemos que os pontos M, N e P são colineares (esses pontos estão sobre a reta simson do ponto Q em relação ao ABC).

Como os pontos M, N e P são colineares, então os triângulos BMN e BNP têm bases sobre a mesma reta suporte (a simson de Q), o que implica que os triângulos possuem altura comum no vértice B.

Sabemos que, para triângulos que possuem altura comum, a razão entre suas áreas é igual à razão entre suas bases. Assim, temos: ^BMN

BNP

S MN 12 3

S = PN =16 =4.

7. CÍRCULO DOS NOVE PONTOS

A distância do circuncentro de um triângulo a um dos lados é metade da distância do ortocentro ao vértice oposto.

Demonstração:

Sejam AH e ₁ BH duas alturas do ₂ ABC que se cruzam no ortocentro H.

Sejam OM e ON segmentos pertencentes às mediatrizes dos lados BC e AC, que se cruzam no circuncentro O.

AH OM BH ON

AB MN MN 2 AB



  = 



AH BH

OM ON

2 2

 =  =

Em um triângulo não equilátero, o ortocentro, o baricentro e o circuncentro estão alinhados, sendo a reta que contém esses três pontos denominada reta de Euler do triângulo.

O baricentro de um triângulo não equilátero divide o segmento que une o ortocentro ao circuncentro na razão 2 :1.

Demonstração:

Na figura, sejam a mediana AM, o segmento HO que une o ortocentro e o circuncentro, e o ponto G interseção desses dois segmentos.

AG HG AH

AHG ~ MOG 2

GM GO OM

   = = =

Como G divide a mediana AM na razão 2 :1, então G é o baricentro do ABC.

O círculo dos nove pontos de um triângulo tem raio igual à metade do raio do círculo circunscrito;

tem centro no ponto médio do segmento que une o ortocentro ao circuncentro; contém os três pontos médios dos lados; contém os três pés das alturas; e contém os três pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

Demonstração:

Seja A ' ponto médio de AH, então AA '=A ' H=OM, então

A ' HE MOE A ' E EM HE EO

    =  =

Como HA '=A ' A e HE=EO, o segmento A ' E é base média do AHO, então OA R

A ' E ,

2 2

= =

onde R é o raio do círculo circunscrito ao ABC.

No triângulo retângulo A 'H M , a ceviana ₁ H E é a mediana relativa à hipotenusa, então ₁

1

H E A ' E EM R.

= = = 2

Adotando procedimento análogo em relação aos vértices B e C, conclui-se que ₂ R H E B' E EN

= = = 2

e ₃ R

H E C ' E EP .

= = = 2

Assim, sabemos que os pontos M, N e P; H , ₁ H e ₂ H ; A ', ₃ B ' e C ' todos distam R

2 do ponto E médio de HO, donde esses 9 pontos pertencem a um mesmo círculo de centro E e raio R

2.

Os triângulos ABC, BCH, CAH e ABH possuem o mesmo círculo dos nove pontos.

Demonstração:

Analisemos o BCH. Os pés das alturas são os mesmos do ABC. Os pontos M, B ' e C ' são os pontos médios dos lados. O ponto A é o ortocentro do BCH, logo os pontos A ', N e P são os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices. Donde se conclui que os dois triângulos possuem o mesmo círculo dos nove pontos e, inclusive, os nove pontos são os mesmos, apenas com papéis diferentes.

(CN 2011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é

' k ', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será a) 5k

2 b) 4k

3 c) 4k

5 d) k

2 e) k 3 RESOLUÇÃO: e

Sejam os pontos O e H, respectivamente, o circuncentro e o ortocentro do triângulo acutângulo ABC.

MN é base média, logo MN//AB e AB MN= 2 .

Como MN//AB, ON//BH e OM//AH, os triângulos OMN e HAB são semelhantes e AB MN= 2 e

OM AH.

= 2

Como OM//AH, os triângulos GAH e GMO são semelhantes e como AH

OM= 2 , AG

GM= 2 e GO GH

= 2 , então G é o baricentro do triângulo ABC e OH k

GO .

3 3

= =