VELOCIDADE 10381
Francisco Brójo
2013-2014
Escoamento considerando gases reais.
No caso de gases reais, as equações previamente enunciadas antes da simplificação para o caso de gases perfeitos são válidas e encontram-se descriminadas a seguir:
Equação de estado, =
=
; ℎ =
Continuidade,
=
Energia, ℎ
−
= ℎ
Momento, ∑ =
−
Em que é o factor de compressibilidade, que para
gases perfeitos tem o valor 1.
Escoamento considerando gases reais.
As equações anteriores são o ponto de partida para o estudo da dinâmica de gases considerando os efeitos de gases reais.
Os desvios em relação aos gases perfeitos podem ser considerados tendo em conta a dependência do factor na temperatura e pressão.
As entalpias e energias internas têm agora que ser determinadas por integração de
=
;
ℎ =Até agora, foi considerado que os calores específicos não
variavam e consequentemente que o índice adiabático
permaneceria também constante ao longo de todo o processo,
o que conduziu às equações para gases perfeitos em que
≈ 1.
Escoamento considerando gases reais.
Os gases consistem numa miríade de átomos e/ou moléculas que estão em movimento aleatório contínuo em relação umas às outras, em adição a qualquer movimento que tenham em relação ao referencial considerado.
A energia cinética deste movimento aleatório forma a base para a propriedade que se chama temperatura. Logo, o movimento aleatório corresponde à temperatura estática e o movimento em relação ao referencial corresponde à diferença entre as temperaturas estática e de estagnação.
As moléculas estão continuamente a mudar de direcção, visto que colidem e trocam de energia umas com as outras.
Quando colidem com uma superfície física, a troca de
momento origina uma propriedade a que chamamos pressão.
Escoamento considerando gases reais.
Gases monoatómicos, consistem em um só átomo por molécula. Estes gases estão bem representados pelos gases inertes (hélio, néon, árgon) a pressões normais. Têm constante numa gama alargada de temperaturas e pressões comuns. Os outros gases têm constituintes monoatómicos a temperaturas suficientemente elevadas e pressões suficientemente reduzidas para que a dissociação possa ocorrer.
Gases diatómicos, têm uma molécula que consiste em dois
átomos. São o tipo mais comum de gases, com oxigénio e
azoto (principais constituintes do ar) como os melhores
exemplos. Estes gases são mais complicados que os
monoatómicos, visto que têm uma estrutura interna activa e
podem rodar internamente e mesmo vibrar em adição à
translação.
Escoamento considerando gases reais.
Gases poliatómicos, consistem em três ou mais átomos por molécula (e.g., dióxido de carbono) e partilham os mesmos atributos com os gases diatómicos, excepto pelos modos vibracionais extra que dependem do número de átomos em cada molécula.
Existem portanto três categorias de graus de liberdade
molecular: translação, rotação e vibração. Cada um deles
contribui para a capacidade calorífica, visto que cada um
actua como um modo de armazenagem de energia para o
gás.
Escoamento considerando gases reais.
Se considerarmos o escoamento num bocal, à medida que o escoamento acelera para valores supersónicos, a temperatura e a pressão decrescem significativamente e tornam-se visíveis efeitos de desequilíbrio.
Estes efeitos revelam-se através de um atraso na variação dos valores das propriedades (e.g., inércia na variação instantânea dos calores específicos com a variação da temperatura). Em expansões em bocais curtos afecta o comportamento na variação das propriedades visto que permanece essencialmente constante.
Podemos assim considerar um escoamento com propriedades
fixas (frozen flow) ou de equilíbrio (equilibrium flow).
Escoamento considerando gases reais.
Em propulsão foguete, ao considerarmos as propriedades fixas subestimamos o desempenho de um foguete típico em cerca de 4%. Se considerarmos o equilíbrio sobre-estimamos o desempenho em cerca de 4%.
Tendo em atenção que as considerações de escoamento isentrópico em sistemas ideais (sem separação no escoamento, atrito, choques, …) pode conduzir a um erro inerente de cerca de
±10%, o cálculo com propriedades fixas é o preferido.
Sistemas sem combustão (motores foguete aquecidos
electricamente e túneis hipersónicos) comportam-se de forma
similar à dos motores foguete, visto que a temperaturas
elevadas o ar dissocia-se e começa a reagir quimicamente.
Escoamento considerando gases reais.
No caso dos choques normais, a variação da razão de pressões com para um dado nº de Mach é consideravelmente inferior ao da razão de temperaturas através do choque.
O escoamento ao longo da frente de choque permanece congelado. No entanto, as propriedades dos gases aproximam-se do equilíbrio numa pequena região após o choque.
Para choques oblíquos, aplicam-se as mesmas considerações.
As expansões de Prandtl-Meyer são menos propensas a
desequilíbrios visto que o escoamento se inicia e termina
supersónico, o que significa que as variações de temperatura
são inferiores e que o gás está suficientemente frio para que
as moléculas não estejam vibracionalmente activas.
Escoamento considerando gases reais.
Um gás semi-perfeito é um gás que pode ser descrito pela equação de estado dos gases perfeitos, mas com uma diferença relativa à variação dos calores específicos com a temperatura.
Na figura ao lado temos a
variação do calor específico a
pressão constante e do índice
adiabático para gases
diatómicos e poliatómicos
semi-perfeitos em função da
temperatura.
Escoamento considerando gases reais.
A equação de estado dos gases perfeitos é razoavelmente precisa e pode ser utilizada numa gama alargada de temperaturas. No entanto, a aproximação de gás semi-perfeito é inevitável em sistemas de propulsão com combustão.
As propriedades para gases reais estão tabeladas, podendo retirar-se directamente delas a energia interna e a entalpia. No que respeita à entropia, pode calcular-se uma variação de entropia recorrendo à equação seguinte:
∆#
= $
− $
− %&
em que $
e $
são os parâmetros tabelados.
Escoamento considerando gases reais.
Apêndice K – Propriedades do Ar a baixa pressão
1 – Ar a 276 kPa e 533 K é submetido a um processo irreversível com transferência de calor passando a 138 kPa e 810 K. Calcule a variação de entropia.
2 – Ar é submetido a uma compressão isentrópica de 345 kPa e 500 K a 1034 kPa. Calcule a temperatura final.
Escoamento considerando gases reais.
A utilização de tabelas e diagramas é conveniente na resolução de problemas simples. No caso de problemas mais complexos, são utilizados programas de computador, em que as propriedades são determinadas utilizando equações, semelhantes às apresentadas abaixo.
Gás Equação
'( [kJ/kg.K] ) =/000* [-]
Intervalo [K]
Erro máx.
[%]
N = 39,060 − 512,79:,;+ 1072,7:− 820,40:? 300-3500 0,43 O = 37,432 + 0,020102:,;− 178,57:,;+ 236,88: 300-3500 0,30 H = 56,505 − 702,74:B,C;+ 1165,0: − 560,70:,; 300-3500 0,60 CO = 69,145 − 0,70463:B,C; − 200,77:B,; + 176,76:B,C; 300-3500 0,42 OH = 81,546 − 59,350:B,;+ 17,329:B,C;− 4,2660: 300-3500 0,43
Escoamento considerando gases reais.
Os gases podem existir em três formas distintas:
vapores, gases perfeitos e fluidos supercríticos.
Escoamento considerando gases reais.
Os vapores existem próximo das linhas de condensação e na região bifásica e os fluidos supercríticos na zona de altas pressões acima da região bifásica.
Os gases perfeitos são gases a temperaturas suficientemente elevadas e pressões suficientemente reduzidas para estarmos afastados das regiões dos vapores e dos fluidos supercríticos.
Quando a equação de estado dos gases perfeitos já não é válida, tem que se recorrer a outras relações mais complicadas entre propriedades. Uma das expressões iniciais era por exemplo a equação de van der Waals
+ E
F
F − G =
Escoamento considerando gases reais.
O factor de compressibilidade é definido como sendo =
e podem ser construidos gráficos individuais relacionando o factor de compressibilidade com a temperatura e a pressão.
Pode também definir-se propriedades reduzidas sem perda apreciável de precisão.
-
Pressão reduzida ->
H=
I
-
Temperatura reduzida ->
H=
JJI
em que
Ke
Ksão os valores críticos.
Escoamento considerando gases reais.
O factor de compressibilidade pode então ser
apresentado graficamente em função das pressões e
temperaturas reduzidas. Este diagrama é tão similar para
a maioria dos gases, que um diagrama médio pode ser
utilizado para qualquer gás.
3 – Calcule o volume específico do ar a 126K e 942 kPa. Utilize o diagrama de compressibilidade e compare os resultados com os do cálculo considerando o gás como perfeito. Os valores críticos a utilizar são: K=132,8 K e K=3769,3 kPa.
Escoamento considerando gases reais.
Índice adiabático variável. Processos isentrópicos
Já foram calculados anteriormente escoamentos isentrópicos considerando o índice adiabático como constante.
Comparando valores reais do índice adiabático com a simplificação de gases perfeitos, verifica-se que:
-
Para valores do nº de Mach inferiores a 2,5, as variações em cálculos envolvendo pressões são desprezáveis;
-
Para valores do nº de Mach inferiores a 1,0, as variações em cálculos envolvendo temperaturas são desprezáveis;
-
Para o caso da massa específica, o valor do nº de Mach está entre os anteriores;
-
Para valores do nº de Mach inferiores a 1,5, as variações em cálculos envolvendo áreas são desprezáveis.
O anterior é válido para gases diatómicos e poliatómicos (os
gases monoatómicos não têm o modo vibracional).
Escoamento considerando gases reais.
Índice adiabático variável. Processos isentrópicos
Os métodos de cálculo incluindo variações com índice adiabático e áreas variáveis são os seguintes:
- Aproximação considerando um valor médio de – considera relações de gases perfeitos, considerando um valor médio do índice adiabático para as equações da entalpia de estagnação e pressão de estagnação.
-
Aproximação de gás real – considera o gás como um gás semi-perfeito, em que a equação de estado dos gases perfeitos é utilizada, mas os valores das propriedades são retidados das tabelas de gás (toma em consideração a variação dos calores específicos).
No entanto, estes métodos só são aplicáveis para
≈ 1.
Escoamento considerando gases reais.
Índice adiabático variável. Processos isentrópicos
Ambos os métodos são iterativos, mas o primeiro é de utilização mais fácil e é mais rápido, fornecendo resultados suficientemente precisos para o projecto preliminar. Este método é baseado nas seguintes equações:
L = − 1 ℎ = M J ≈
B = − 1
= 1 + − 1 2 N = 1 + − 1
2 N
OP O
= N
As equações são apenas válidas para gases perfeitos (devido aos calores específicos constantes). No entanto, introduzindo um valor de modificado/médio, obtém-se resultados precisos.
Escoamento considerando gases reais.
Índice adiabático variável. Processos isentrópicos
O cálculo para um processo isentrópico é então ilustrado pelo exemplo seguinte. Considere a instalação da figura abaixo e considerando o seguinte:
Dados: A composição do gás,
≈;
≈e
?Objectivos:
a) Calcular a temperatura e nº de Mach à saída (
?e
N?)
b) A razão de áreas necessária
para produzir essas condições.
Escoamento considerando gases reais.
Processos isentrópicos
Solução:
1.
Considere
?obtido a partir da solução com constante.
2.
Determine
?do Apêndice L ( é função da temperatura estática). Se a temperatura for suficientemente reduzida para que não haja modos vibracionais, então ≈ 1,4 para o caso do ar e para valores mais elevados de temperatura ≈ 1,3.
3.
Calcular o médio na estação 3 a partir de ̅
?=
ORSO T4.
Como a partir da equação da energia ℎ
?= ℎ
,
?≈
OOUT OURR OT
(1ª estimativa para
?).
Escoamento considerando gases reais.
Processos isentrópicos
Solução:
5. Os valores a considerar para são sempre os valores médios, desde que eles dependam dos valores a montante. O nº de Mach pode ser estimado por N
?≈
OUR
VT R
WURXT
PWUR
− 1 .
6. Conhecidos N
?e
?, pode calcular-se
?, por
= 1 +
ON
.
7. Comparar o valor de
?obtido no passo 6 com o
considerado no passo 1.
Escoamento considerando gases reais.
Processos isentrópicos Solução:
8. Reavaliar
?para o novo valor de
?e verificar se varia apreciavelmente em relação ao valor considerado inicialmente.
9. Caso haja necessidade de melhorar a precisão de
?, volta-se ao passo 3; caso contrário o valor de
?obtido é aceitável e o de N
?também.
Para a razão de áreas, utiliza-se a equação = N
YJOpara as estações 2 e 3.
Para escoamento supersónico na estação 3, N
=1,0 e
para escoamento isentrópico,
∗=
∗≈
?∗.
Escoamento considerando gases reais.
Processos isentrópicos Solução:
As regiões subsónicas são relativamente insensíveis a variações de , o que significa que entre as estações 1 e 2 podem ser utilizados valores da tabela isentrópica para
=1,4 sem introdução de erros significativos.
=
≈ 0,528828
=
≈ 0,83333
10. Substituindo estes valores na equação do passo 9 e reorganizando, temos:
[R[\
=
[[RR∗
≈
B,;C]^R
T R
OTJR ORJT
4 – Ar é expandido isentropicamente através de um bocal supersónico a partir de condições de estagnação =3137,1 kPa e =1333,3 K para uma pressão de saída ?=20,7 kPa. Calcule o nº de Mach à saída, a razão de áreas do bocal e a temperatura de saída considerando os resultados de gás perfeito e o método 1. Compare os resultados obtidos com resultados do método 2.
5 – Considere o escoamento nas condições da figura abaixo e assuma que as propriedades do ar são dadas pela equação de estado de gases perfeitos, mas com calores específicos variáveis. Calcule as condições na garganta e na saída, incluindo a razão de áreas pelo método 1.
Escoamento considerando gases reais.
Processos com variável e área constante Choques
No caso dos problemas com choques, a resolução torna- se mais complicada quando depende de e , de acordo com o diagrama de compressibilidade e quando
pode variar com a temperatura.
Para ar sem dissociação (temperaturas reduzidas) e abaixo de Mach 5,0, os cálculos para gás perfeito têm erros inferiores a 10% dos cálculos considerando gases reais e podem ser utilizados como estimativa.
A razão de pressões ao longo do choque é menos sensível a variações de e os cálculos considerando gás perfeito são razoáveis para determinar a pressão.
No caso da temperatura pode recorrer-se ao conceito de
médio.
Escoamento considerando gases reais.
Processos com variável e área constante Choques
Recorrendo à velocidade mássica, podemos chegar a ℎ = ℎ + _
2 1
− 1 = ̅ − 1
̅ − 1 + _
2 1
− 1 Conhecidas todas as condições na estação 1:
1. Obter e da solução de gás perfeito.
2. Calcular e (Apêndice K) e calcular ̅.
3. Determinar _ a partir da informação obtida no passo 1.
4. Da equação da temperatura acima, obter utilizando ̅. Este novo valor de deve ser mais preciso que o resultado de gás perfeito.
5. Se necessário, calcular uma estimativa mais precisa para utilizando o novo na equação de estado dos gases perfeitos.
Considere que é o obtido nos resultados do choque considerando gases perfeitos.
6 – Considere um veículo de reentrada que voa a N=6,2691 e existe um choque normal na linha central do nariz do veículo. As propriedades estáticas a montante são =216,65 K e =12112 Pa.
Calcule as propriedades a jusante do choque considerando que não existe dissociação. Devido às temperaturas reduzidas, pode assumir- se que =1,402.
Escoamento considerando gases reais.
Processos com variável e área constante Escoamento de Fanno
Os escoamentos de Fanno mostram pequena variação na gama subsónica, que é a gama comum de utilização para escoamentos com área constante e atrito.
Escoamento de Rayleigh
Os escoamentos de Rayleigh em câmaras de combustão
é usualmente um escoamento com área constante sem
atrito e com transferência de calor a nºs de Mach
subsónicos. A dependência com os valores de são
desprezáveis no regime subsónico.
Escoamento considerando gases reais.
Processos com variável e área constante
Pode concluir-se que para escoamentos de Fanno e de
Rayleigh, a aproximação considerando =constante é
satisfatória, desde que estes escoamentos operem no
regime subsónico. Resta apenas estabelecer o valor
apropriado de a utilizar.
7 – Ar é aquecido reversivelmente a pressão constante até o volume duplicar e em seguida é aquecido reversivlmente até a pressão duplicar. Se o ar estiver inicialmente 295 K, calcule o trabalho total, a transferência de calor total e a variação de entropia total utilizando as tabelas do ar.
8 – Considerando que o bocal de De Laval abaixo está a funcionar no 2º ponto crítico (choque normal na saída), calcule as propriedades após o choque quando M=6,0, =272 K e =1696 Pa.
