UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE INFORM ATICA PROGRAMA DE P OS-GRADUAC ~AO EM COMPUTAC ~AO Relac~oes Formais entre Gramaticas de

(1)

PROGRAMA DE POS-GRADUAC~AO EM COMPUTAC~AO

Relac~oes Formais entre

Gramaticas de Grafos e Redes de Petri

por

MARCELO CUNHA SANTOS

Dissertac~ao submetida a avaliac~ao,

como requisito parcial para a obtenc~ao do grau de Mestre em Ci^encia da Computac~ao

Prof. Dr. Daltro Jose Nunes Orientador

Profa. Dra. Leila Ribeiro Co-orientadora

Porto Alegre, maio de 1999.

(2)

CIP - Catalogac~ao na Publicac~ao

Santos, Marcelo Cunha

Relac~oes Formais entre Gramaticas de Grafos e Redes de Petri / por Marcelo Cunha Santos. { Porto Alegre: PPGC da UFRGS, 1999.

Dissertac~ao (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Programa de Pos-Graduac~ao em Computac~ao. Porto Alegre, BR - RS. Orientador:

Nunes, Daltro Jose. Co-orientadora: Ribeiro, Leila.

1.Formalismos. 2.Gramaticas de Grafos. 3.Re- des de Petri. 4.Sem^antica. 5.Teoria das Categorias.

I.Nunes, Daltro Jose. II.Ribeiro, Leila. III.Ttulo.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Reitora: Prof. Wrana Panizzi

Pro-Reitor de Pos-Graduac~ao: Prof. Franz Rainer Semmelmann

Diretor do Instituto de Informatica: Prof. Philippe Olivier Alexandre Navaux Coordenadora do CPGCC: Profa. Carla Maria Dal Sasso Freitas

Bibliotecaria-Chefe do Instituto de Informatica: Beatriz Haro

(3)

Agradecimentos

Uma nidade de pessoas que eu quero agradecer contriburam, direta ou indi- retamente, para a realizac~ao deste trabalho. Merecem destaque especial Serigo M.

Schneider, Rafael D. Lins, Daltro J. Nunes e Leila Ribeiro (a ordem e cronologica).

Agradecimentos tambem ao CPGCC/UFRGS pela disponibilidade de recursos

humanos e materiais e ao apoio nanceiro do CNPq.

(4)

Sumario

Lista de Smbolos ...6

Lista de Figuras ... 7

Resumo ...9

Abstract ...10

1 Introduc~ao ...11

1.1 Gramaticas de Grafos ... 11

1.2 Redes de Petri ... 11

1.3 Ferramenta Matematica e Sem^antica Utilizadas ...12

1.4 Objetivos ... 12

1.5 Sntese dos Captulos ...13

2 Redes de Petri ...14

2.1 Redes Lugar/Transic~ao ...15

2.2 Sem^antica Operacional de Redes L/T ... 20

2.3 Redes Seguras ...21

2.4 Redes de Ocorr^encia ...22

2.5 Unfolding de Redes Lugar/Transic~ao ... 25

3 Gramaticas de Grafos ...29

3.1 Grafos ... 30

3.2 Grafos Tipados ...32

3.3 Regras ... 35

3.4 Gramaticas de Grafos ... 38

3.5 Sem^antica Operacional de Gramaticas de Grafos ...41

3.6 Grafos Duplamente Tipados ...42

3.7 Regras Duplamente Tipadas ...46

3.8 Gramaticas de Grafos com Tipo Duplo ... 47

3.9 Relac~oes numa Gramatica de Grafos com Tipo Duplo ... 49

3.10 Gramaticas de Grafos de Ocorr^encia ...54

3.11 Unfolding de Gramaticas de Grafos ...58

4 Transformando Gramaticas de Grafos em Redes L/T ...64

4.1 Transformac~ao dos Objetos de GG ...64

4.2 Transformac~ao dos Morsmos de GGD ...68

4.3 Transformac~ao dos Objetos de OccGGD ... 70

4.4 Transformac~ao dos Morsmos de OccGGD ... 74

5 Transformando Redes L/T em Gramaticas de Grafos ...76

5.1 Transformac~ao dos Objetos de PTNets ...76

5.2 Transformac~ao dos Morsmos de PTNets ... 79

5.3 Transformac~ao dos Objetos de OccNets ...85

(5)

6 Relac~oes entre Gramaticas de Grafos e Redes L/T ... 89

6.1 Relac~ao Sintatica ...89

6.2 Relac~ao Sem^antica ... 92

7 Trabalhos Relacionados ... 99

8 Conclus~ao ... 101

A Transformac~ao de Gramaticas de Grafos em Gramaticas de Grafos Discretas ... 103

A.1 Transformac~ao Direta ... 103

A.2 Transformac~ao Estruturada ...103

A.3 Adjunc~ao entre GG e GGD ... 104

A.4 Implicac~ao Sem^antica ...105

Bibliograa ...106

(6)

Lista de Smbolos

Cd ( A ): cardinalidade do conjunto A . a b : par ordenado ( a;b ).

S

f

A

¹

;::: ;A n

^g

: uni~ao dos conjuntos A

¹

;::: ;A n .

U

: uni~ao disjuntiva.

✤ //❴❴❴❴❴

: morsmo total.

❴ ❴ ❴ ❴ ❴ //

: morsmo total e injetor.

)

: implicac~ao logica.

,

: equival^encia logica.

( T;O T ): conjunto apontado ... 16

L

s

^2[^[

^]^]

( s ) s : multiconjunto ...16

S

: conjunto de multiconjuntos ...16

u [

v : passo ... 20

P

( a ): pre-transic~ao ... 22

D

( a ): pos-transic~ao ... 22

: relac~ao de depend^encia (redes L/T) ...22

#: relac~ao de conito (redes L/T) ... 23

Co ( X ): elementos concorrentes ... 25

U

kR ( R ): unfolding nito de redes L/T ...25

U

kG ( GG ): unfolding nito de gramaticas de grafos ... 59

Unf ^R ( R ): unfolding (sem^antica) de redes L/T ... 26

Unf ^G ( GG ): unfolding (sem^antica) de gramaticas de grafos ... 60

: comutatividade fraca ... 31

T

f : funtor de retipagem ...34

r : relac~ao de subregra ... 37

nr

^:

m =

⁾

: derivac~ao direta ... 41

V

T : funtor de esquecimento de tipo ... 46

Pre ^R ( a ): conjunto de pre-condic~oes ... 49

Min ^R : conjunto de elementos mnimos ...49

R

^j

S : restric~ao de R ao conjunto S ...49

: relac~ao de depend^encia ... 50

# !

: relac~ao de conito fraco ... 52

# ()

: relac~ao de conito (gramaticas de grafos) ...52

#

: relac~ao de ocorr^encia (gramaticas de grafos) ...53

#

A ,

^#

_a relac~ao de ocorr^encia local ... 53

pre a : pre-condic~ao da regra a ... 46

post a : pos-condic~ao da regra a ... 46

(7)

Lista de Figuras

FIGURA 2.1 Exemplo de redes Lugar/Transic~ao ... 15 -

FIGURA 2.2 Representac~ao algebrica das redes da gura 2.1... 18 -

FIGURA 2.3 Exemplo de uma Rede L/T. ... 20 -

FIGURA 2.4 Disparo de uma transic~ao numa rede L/T. ... 21 -

FIGURA 2.5 Exemplos de uma (a) rede segura e (b) rede de ocorr^encia. 22 - FIGURA 2.6 Exemplos de uma (a) rede com ciclo e (b) rede com - autoconito. ... 23

FIGURA 2.7 Exemplo de uma rede de ocorr^encia decorada. ... 24 -

FIGURA 3.1 Exemplos de representac~ao algebrica de grafos. ... 31 -

FIGURA 3.2 Exemplo de um morsmo entre os grafos - G e H ... 32

FIGURA 3.3 Grafo tipado ( - G;t ^G ;T )... 33

FIGURA 3.4 Exemplo de um morsmo entre os grafos tipados - G ^T

⁰

e H ^T

¹

. ... 34

FIGURA 3.5 Retipagem do morsmo - g

¹

. ... 36

FIGURA 3.6 Exemplo de uma regra com tipo - T . ... 37

FIGURA 3.7 Exemplo de subregra... 38 -

FIGURA 3.8 Exemplo de uma gramatica de grafos - GG

⁰

. ... 39

FIGURA 3.9 Gramatica de grafos - GG

¹

. ... 40

FIGURA 3.10 Derivac~ao direta do grafo - I

⁰

usando a regra r

²

... 42

FIGURA 3.11 Grafo duplamente tipado - G ^TG

^%

^T ... 43

FIGURA 3.12 Morsmo entre grafos duplamente tipados... 44 -

FIGURA 3.13 Retipagem do grafo duplamente tipado - G

¹

^TG

¹^%

^T

¹

. ... 45

FIGURA 3.14 Morsmo resultante da aplicac~ao de -

^V

T ao morsmo da gura 3.12... 46

FIGURA 3.15 Regra duplamente tipada. ... 47 -

FIGURA 3.16 Gramatica de grafos com tipo duplo... 48 -

FIGURA 3.17 Gramatica duplamente tipada - GG

¹

. ... 50

FIGURA 3.18 Gramatica de grafos de ocorr^encia - GG

²

... 54

FIGURA 3.19 Gramatica de Grafos - GG . ... 62

FIGURA 4.1 Exemplo de gramaticas de grafos discretas. ... 67 -

FIGURA 4.2 Redes L/T resultantes da aplicac~ao do funtor -

^R

as gramaticas da gura 4.1... 67

FIGURA 5.1 Transformac~ao de uma rede L/T em uma gramatica de - grafos. ... 78

FIGURA 5.2 Duas redes L/T e suas representac~oes algebricas... 80 -

FIGURA 5.3 Gramaticas resultantes da aplicac~ao do funtor -

^G

as redes

da gura 5.2... 81

(8)

FIGURA 6.1 Exemplos de Redes de Ocorr^encia... 92 -

FIGURA 6.2 Gramaticas de Grafos de Ocorr^encia Discretas... 93 -

FIGURA A.1 Gramatica de grafos discreta ( - GG

²

) e n~ao-discreta ( GG

¹

).103

(9)

Resumo

Este trabalho vem a dar mais uma contribuic~ao para o ja consagrado uso de teo- ria das categorias para descrever e estabelecer relac~oes entre formalismos diferentes.

O uso de formalismos tem se tornado cada vez mais frequente na Ciência da Com- putac~ao, onde pesquisas têm sido realizadas direcionadas por domnios de aplicac~ao, muitas vezes se chegando a modelos matematicos que, em primeira instância, s~ao totalmente distintos, n~ao tendo, aparentemente, nada em comum entre si. Porem, analisados detalhadamente, tais formalismos podem revelar representarem intrinse- camente as mesmas ideias.

Esta dissertac~ao tem como objetivo principal estabelecer uma relac~ao (por meio de funtores) entre os formalismos de redes de Petri e gramaticas de grafos, a partir de suas ja difundidas representac~oes categoricas, utilizando, para isto, a linguagem da teoria das categorias. Com este intuito, e estabelecida uma relac~ao entre as catego- rias sintaticas, onde e identicada uma subcategoria da categoria das gramaticas de grafos que e equivalente a categoria das redes de Petri. Para a sem^antica, sera usado o modelo unfolding semantics , onde e estabelecida uma relac~ao entre as categorias sem^anticas.

Palavras-chave: Formalismos, Gramaticas de Grafos, Redes de Petri, Sem^antica,

Teoria das Categorias.

(10)

TITLE: \FORMAL RELATIONSHIPS BETWEEN GRAPH GRAMMAS AND PETRI NETS"

Abstract

This work comes to be one more contribution to the well diused use of category theory to describe and stablish relationships between dierent formalisms. Recently, the use of formalisms has spread out to several areas of Computer Science, where research are directed by application domains, sometimes elaborating mathematical models that, at rst sight, are totally dierent. Nevertheless, under detailed analysis, such formalisms can be seen as representing the same ideas.

The main goal of this dissertation is to stablish a relationship (through functors) between the Petri nets and graph grammar formalisms, using category theory and their categorical representations found in the literature. With this in mind, it will be stablished a relationship between the sintactic categories, where a subcategory of the category of graph grammars will be identied and proved equivalent to the category of Petri nets. For the semantics, the model unfolding semantics will be used and a relationship between the semantic categories will also be stablished.

Keywords: Formalisms, Graph Grammars, Petri Nets, Semantics, Category The-

ory.

(11)

1 Introduc~ao

1.1 Gramaticas de Grafos

As gramaticas de Chomsky, tais como as usadas em linguagens de programac~ao, s~ao denidas por um smbolo inicial e um conjunto de regras, onde o smbolo inicial e os lados direito e esquerdo das produc~oes s~ao strings . As gramaticas de grafos

surgiram a partir destas gramaticas, utilizando grafos no lugar de strings : um grafo (grafo-estado) e usado para representar o smbolo inicial (estado inicial da gramatica) e os lados esquerdo e direito das produc~oes (regras da gramatica) tambem s~ao grafos.

Deste modo, uma gramatica de grafos consiste de um conjunto de produc~oes e um grafo inicial. Analogamente a aplicac~ao de regras nas gramaticas de Chomsky, uma regra em gramaticas de grafos pode ser aplicada num grafo-estado se houver uma ocorr^encia do lado esquerdo da regra no grafo-estado. Assim, quando um sistema e descrito utilizando gramaticas de grafos, seu estado (inicial) e representado por um grafo e uma mudanca de estado e representada por relac~oes entre grafos, descritas por meio das regras.

A sem^antica operacional descrevendo o comportamento de um sistema descrito por uma gramatica de grafos e dada pela aplicac~ao das regras da gramatica a grafos- estado (iniciando-se no estado inicial). A aplicac~ao de uma regra a um grafo-estado e chamada derivac~ao direta .

Diferentes modelos matematicos para representar grafos e gramaticas de grafos t^em sido propostos na literatura [ RIB 96b, TAE 96, KOR 93 ]. Neste trabalho, ser~ao usados grafos dirigidos, representados algebricamente por meio de func~oes e conjuntos. Para as gramaticas de grafos, sera seguida a abordagem algebrica SPO ( Single PushOut ). Nesta abordagem, as regras s~ao representadas por um morsmo parcial entre grafos e as derivac~oes diretas s~ao denidas por meio de um pushout , em contraste com DPO ( Double PushOut ), onde uma derivac~ao direta e denida por meio de dois pushouts [ LOW 93, EHR 96, COR 96 ]. Esta abordagem e chamada algebrica porque os grafos s~ao considerados uma algebra e uma derivac~ao (aplicac~ao de regras) e denida pela construc~ao algebrica chamada pushout na cate- goria de grafos e morsmos de grafos. Com isto, pode-se aplicar resultados gerais da algebra e teoria das categorias em gramaticas de grafos. Esta abordagem tem sido bastante pesquisada e prov^e resultados para a analise de paralelismo [ RIB 96b, TAE 96 ], avaliac~ao eciente de express~oes funcionais [ AND 96 ] e mecanismos de sincronizac~ao, sistemas distribudos e implementac~ao de tipos abstratos de dados [ COR 96 ^].

1.2 Redes de Petri

As Redes de Petri foram apresentadas por C.A. Petri em sua tese de doutorado

[ PET 62 ] e est~ao sendo largamente usadas como modelo (formalismo) para con-

corr^encia. T^em sido tambem usadas para modelar sistemas paralelos, concorrentes,

(12)

assncronos e n~ao-determinsticos por possuirem uma representac~ao graca que per- mite a visualizac~ao dos processos e a comunicac~ao entre eles. Tem surgido grande interesse neste modelo sob o ponto de vista teorico por causa de sua simplicidade e natureza concorrente.

Varios tipos de redes de Petri com diferentes representac~oes matematicas t^em surgido na literatura [ LIN 96, REI 82 ]. Neste trabalho, ser~ao usadas as redes

Lugar/Transic~ao , que s~ao formadas por dois tipos de componentes: um ativo, de- nominado transic~ao , e um passivo, denominado lugar . A ativac~ao de uma transic~ao e determinada pela presenca de tokens em certos lugares da rede. Estas redes po- dem ser usadas para modelar um sistema, onde os recursos s~ao representados pelos lugares, as possveis ac~oes pelas transic~oes e os recursos disponveis num dado mo- mento pelos tokens . Deste modo, a semântica operacional (comportamento) de um tal sistema e dada pelo disparo de transic~oes, descrevendo uma movimentac~ao de tokens na rede. Assim como em gramaticas de grafos, varios modelos semânticos (estruturas matematicas) têm sido propostos para representar esta semântica. Neste trabalho, sera usada tambem a abordagem algebrica para representar as redes L/T [ MES 94a, MES 94b ].

1.3 Ferramenta Matematica e Sem^antica Utilizadas

Uma semântica e denida de modo a reetir o comportamento de uma rede L/T (resp. gramatica de grafos) atraves do disparo de transic~oes (resp. aplicac~ao de regras), iniciando-se na marcac~ao inicial (resp. grafo inicial). Com esta nalidade, varias abordagens para a representac~ao e semântica de redes de Petri e gramaticas de grafos têm sido propostas na literatura, que diferem basicamente na quantidade de informac~oes que s~ao representadas na semântica e no modo de se representar tais in- formac~oes. Para um estudo comparativo de diversos modelos semânticos, vantagens e desvantages, veja [ RIB 96b, MES 94b, COR 95 ]. Neste trabalho, sera usada a abordagem algebrica, utilizando teoria das categorias , e o modelo semântico a ser utilizado para ambas redes L/T e gramaticas de grafos neste trabalho sera unfolding semantics [ MES 94a, RIB 96b ]. Suas principais caractersticas/objetivos s~ao:

sem^antica concorrente;

n~ao-determinismo, concorr^encia e exclus~ao mutua representados explicita- mente;

n~ao apenas ac~oes, mas tambem dados s~ao representados no nvel sem^antico;

relac~oes importantes que descrevem um sistema (tais como relac~ao de de- pend^encia, de conito e de ocorr^encia) possuem representac~ao;

representa todas as derivac~oes (sequenciais e concorrentes) de uma gramatica de grafos/rede L/T.

1.4 Objetivos

O objetivo deste trabalho e estabelecer relac~oes sintaticas e sem^anticas entre

os formalismos de gramaticas de grafos e redes L/T, utilizando o modelo sem^antico

( unfolding semantics ) denido em [ MES 94b ] (redes L/T) e [ RIB 96b ] (gramaticas

de grafos). Estas relac~oes ser~ao estabelecidas por meio dos funtores

^R

,

^G

,

^UR

e

^UG

.

O funtor

^G

descrevera como transformar redes L/T, no nvel sintatico, em

gramatica de grafos, e vice-versa, atraves do funtor

^R

. Isto sera feito pela escolha de

uma subcategoria ( GGD ) de gramatica de grafos onde os grafos obedecem a um certo

(13)

em redes L/T. Ja o funtor relaciona a categoria sem^antica de redes L/T com a categoria sem^antica de gramatica de grafos, e vice-versa, atraves do funtor

^UR

. O diagrama abaixo mostra as relac~oes destes funtores com as respectivas categorias.

PTNets

G

Unf

^R

//❴❴❴❴❴

OccNets

UG

GGD

R

UU

Unf

^G

//❴❴❴❴❴❴❴

OccGGD

UR

UU

Sera analisado no texto a comutatividade deste diagrama. Para isto, sera visto o seguinte:

as categorias GGD e PTNets s~ao equivalentes, de modo que podem ser conside- radas \essencialmente a mesma" e desfrutam, assim, das mesmas propriedades;

ocorre \perda de informac~ao" com a aplicac~ao do funtor

^{U R}

: a semântica de uma gramatica de grafos e mais informativa do que a semântica de uma rede L/T (para uma gramatica de grafos de ocorrência discreta Occ , ha um morsmo h : Occ

^!^{U G}

(

^UR

( Occ )), que, via de regra, n~ao e um isomorsmo);

os funtores

^UG

e

^UR

preservam a sem^antica (preservam os colimites especiais usados na denic~ao da sem^antica).

A existência destes funtores signica que qualquer rede de Petri pode ser mode- lada por uma gramatica de grafos preservando sua semântica operacional. Isto quer dizer que as redes L/T podem ser consideradas um caso especial de gramatica de grafos. Sera mostrado tambem que, para uma gramatica de grafos (discreta) modelada por meio de uma rede L/T, a semântica operacional e \preservada"

atraves de um morsmo que possui algumas propriedades especiais, garantindo uma equival^encia em termos de comportamento.

1.5 Sntese dos Captulos

captulo 2: denic~ao da categoria de redes L/T PTNets , juntamente com a sem^antica de unfoldings , que tambem e uma rede L/T, porem, com carac- tersticas especiais: s~ao redes seguras livres de autoconitos e de ciclos;

captulo 3: apresentac~ao dos conceitos e denic~oes de grafos, regras, grafos tipados e gramaticas de grafos (categoria sintatica GG ) que s~ao usados neste trabalho Denic~ao da categoria OccGG das gramaticas de ocorr^encia, que servir~ao como um domnio sem^antico para as gramaticas de GG . Estas gramati- cas tambem possuem a propriedade de serem livres de ciclos e autoconitos;

captulo 4: denic~ao da categoria GGD das gramaticas de grafos discretas, que s~ao as gramaticas de GG que ser~ao transformadas em redes L/T de modo a preservar uma correspond^encia sintatica e sem^antica. Os funtores

^R

: GGD

^!

PTNets e

^UR

: OccGGD

^!

OccNets s~ao tambem denidos;

captulo 5: transformac~ao das redes L/T em gramaticas de grafos: denic~ao dos funtores

^G

: PTNets

^!

GGD e

^UR

: OccNets

^!

OccGGD ;

captulo 6: interrelacionamento entre as categorias sintaticas e sem^anticas por meio de funtores: prova de que as categorias GGD e PTNets s~ao equivalentes.

Exemplos de que os funtores

^UR

e

^UG

preservam colimites e n~ao formam

adjunc~ao (pelo fato de a sem^antica de uma rede ser mais abstrata que a

sem^antica de uma gramatica de grafos).

(14)

2 Redes de Petri

As Redes de Petri foram apresentadas por C.A. Petri em [ PET 62 ] e desde ent~ao varios tipos com diferentes abordagens t^em surgido na literatura [ LIN 96 ^].

Neste trabalho, ser~ao usadas as redes Lugar/Transic~ao seguindo a abordagem algebrica. No uso destas redes para modelar um sistema, o estado (recursos) do sistema e representado por lugares, a disponibilidade de recursos (estado atual) por tokens (marcas) nos lugares e uma mudanca de estado por (disparo de) transic~oes (i.e., a ocorr^encia de eventos e equivalente ao disparo de transic~oes). Ao ser dis- parada, uma transic~ao remove tokens (consome recursos) de alguns lugares (pre- condic~ao da transic~ao) e cria novos tokens (disponibiliza recursos) em outros lugares (pos-condic~ao da transic~ao). O comportamento de tal rede e ent~ao dado pelo uxo de tokens atraves dos disparo de transic~oes. O disparo de uma transic~ao n~ao con- some tempo e, dependendo da disponibilidade de tokens , varias transic~oes podem ser disparadas \ao mesmo tempo" (paralelismo). Uma outra situac~ao ocorre quando existem duas transic~oes \aptas" a serem disparadas mas apenas uma delas pode ser disparada: a escolha de qual delas disparar e n~ao-determinstica (esta caracterstica favorece o uso das redes L/T para a modelagem de sistemas n~ao-determinsticos).

Varios modelos semânticos (estruturas matematicas) têm sido propostos para representar estas ideias. Neste trabalho, sera usada a semântica de unfolding . O unfolding nito de uma rede R e construdo indutivamente, de modo que o unfolding zero representa a marcac~ao inicial de R e os outros unfoldings s~ao construdos a partir do disparo de transic~oes.

As denic~oes e conceitos deste captulo foram retiradas de [ LIN 96, MES 94b ] e [ MES 94a ], onde tambem podem ser encontradas as provas para as proposic~oes e teoremas apresentados.

Estrutura do captulo:

sec~ao 1: denic~ao da categoria PTNets de redes L/T: os conceitos de redes L/T s~ao apresentados juntamente com sua representac~ao graca usual e algebrica, em termos de multiconjuntos;

sec~ao 2: conceituac~ao da sem^antica operacional das redes L/T, em termos do disparo de transic~oes a partir da marcac~ao inicial;

sec~ao 3: denic~ao das redes seguras, que s~ao redes L/T onde os lugares t^em multiplicidade unitaria e s~ao todos alcancaveis;

sec~ao 4: denic~ao das redes de ocorr^encia, que s~ao redes seguras que desfrutam de certas propriedades: n~ao possuem ciclos nem autoconitos. Estas redes ser~ao usadas como domnio sem^antico para as redes L/T;

sec~ao 5: apresentac~ao do unfolding e denic~ao da sem^antica de uma rede L/T

em termos de unfoldings nitos.

(15)

a

v

³

v

¹

m _b m _c

v

²

R

⁰

m _d

❈2❈❈ ❈❈!!

2

}}④ ④④ ④④

2

✤✤✤

==④④④④④ ✤✤✤ !!❇❇❇❇❇

aa❈ ❈

❈ ❈ ❈

m

a m _b

m _c m _e

m _d

t

²

t

⁴

R

¹

UU ✤✤✤✤✤✤

2

JJ ✤✤✤✤✤✤ IITT

2

Figura 2.1-

Exemplo de redes Lugar/Transic~ao

2.1 Redes Lugar/Transic~ao

As redes Lugar/Transic~ao (ou, simplesmente, redes L/T) t^em sido largamente usadas para modelar/especicar sistemas concorrentes. Estas redes s~ao formadas por dois tipos de componentes: um ativo ( transic~oes ) e um passivo ( lugares ^).

Na modelagem de um sistema, os lugares representam as variaveis de estado e as transic~oes representam as ac~oes/eventos realizados pelo sistema. A realizac~ao de ac~oes esta condicionada a um conjunto de pre-condic~oes que a habilitam, re- sultando um conjunto de pos-condic~oes, que por sua vez habilitam outras ac~oes (vale ressaltar que nas redes classicas n~ao existe a noc~ao de tempo para a rea- lizac~ao de uma ac~ao). A gura 2.1 mostra duas redes L/T na sua representac~ao graca usual. Os crculos representam os lugares e os ret^angulos representam as transic~oes. As marcas dentro dos crculos representam tokens (ou recursos) na rede e e chamada a marcac~ao da rede. Arcos valorados que chegam nas transic~oes representam os recursos necessarios (pre-condic~ao) para a ativac~ao/habilitac~ao da respectiva transic~ao e os que saem delas representam os recursos gerados (valores unitarios est~ao omitidos na gura). Num dado momento, as marcac~oes de uma rede L/T representam as condic~oes em que se encontra o sistema modelado e a presenca de uma marca ( token ) num determinado lugar pode ser interpretada como a pre- senca de um recurso de um determinado tipo. Os tokens disponveis inicialmente numa rede s~ao chamados marcac~ao inicial . Uma vez ativada, uma transic~ao pode consumir recursos (pre-condic~ao) e gerar recursos (pos-condic~ao) na rede.

Exemplo 2.1: Na rede R

⁰

da gura 2.1, a transic~ao v

¹

necessita de dois tokens do tipo a

para ser ativada e disponibiliza na rede 2 tokens do tipo b e 1 do tipo c . Como existem 2 tokens no lugar a , a transic~ao v

¹

esta habilidada e pode ser disparada.

^.^`^.

Varias ferramentas matematicas t^em sido usadas para representar as redes L/T,

como teoria dos conjuntos, teoria matricial ([ LIN 96 ]) e teoria das categorias, entre

outras. O uso de categorias possui a vantagem de se poder denir combinadores

de redes (e outros conceitos) usando construc~oes categoricas. Neste trabalho, ser~ao

usados multiconjuntos ( bags ) e func~oes (parciais) para representar as redes L/T. As

func~oes parciais ser~ao representadas por func~oes totais entre conjuntos apontados,

denidos a seguir.

(16)

Definic

~

ao

2.1

^. (Conjunto Apontado)

E um par ( S;O S ) onde S e um conjunto e O S

²

S e o elemento apontado. Morsmos entre conjuntos apontados s~ao func~oes

que preservam os elementos apontados.

^`

Considerando o elemento apontado como um valor indenido, a categoria de conjuntos e func~oes parciais e isomorca a categoria de conjuntos apontados e seus morsmos.

Exemplo 2.2: A func~ao parcial f denida abaixo pode ser representada pela func~ao to- tal g usando conjuntos apontados: os elementos com valor indenido s~ao mapeados para o elemento apontado.

f : A

^!

B A =

^f

a;b;c

^g

B =

^f

1 ; 2 ; 3

^g

x f ( x )

a 1

b

^undef

c

^undef

g : A

¹ ^!

B

¹

A

¹

=

^f

O A ;a;b;c

^g

B

¹

=

^f

O B ; 1 ; 2 ; 3

^g

x g ( x ) O A O B

a 1

b O B

c O B

..

`

Os multiconjuntos (conjuntos com elementos repetidos, ou bags ) ser~ao usados para representar as multiplicidades dos tokens dos lugares, pre- e pos-condic~oes de uma rede L/T. Ser~ao denidos como uma func~ao de um conjunto (de lugares) para o conjunto dos numeros naturais.

Definic

~

ao

2.2

^. (Multiconjunto)

Dado um conjunto S , S

denota o conjunto dos multiconjuntos de S , i.e., o conjunto de todas as func~oes de S para o conjunto

N

dos numeros naturais. A func~ao que mapeia todos os elementos de S para 0 sera denotada por O S e e denida como o elemento apontado de S

. Para

²

S

, [[ ]]

denota o subconjunto de S constitudo dos elementos s

²

S tais que ( s ) > 0.

^`

Notac~ao: O multiconjunto sera representado pela soma

^L

_s

^2[^[

^]^]

( s ) s (com a omiss~ao das parcelas nulas).

Exemplo 2.3: Por exemplo, para o multiconjunto (func~ao) denido abaixo, = b

2 c

4 d ^e [[ ]] =

^f

b;c;d

^g

. O elemento apontado de S

^, O S , que e tambem uma func~ao, mapeia todos os elementos de S ^{para zero.}

S =

^f

a;b;c;d

^g

: S

^!^N

O S : S

^!^N

O S ;

²

S

x ( x ) a 0 b 1 c 2 d 4

x O S ( x )

a 0

b 0

c 0

d 0

..

Como um conjunto S tambem pode ser um conjunto da forma A

(conjunto de

`

multiconjuntos), sera denida uma formula para transformar um elemento de S

= ( A

)

num elemento de A

. Este conceito sera usado na denic~ao de morsmos entre redes L/T.

Definic

~

ao

2.3

^. (Combinac¸˜ao Linear de Multiconjuntos)

Seja S = A

. Para n

²^N

, a seguinte formula transforma um elemento de ( A

)

num elemento de A

:

M

²

S n =

^M

n (

^M

a

²

A ( a ) a ) =

^M

a

²

A (

^X

²

S n ( a )) a

`

(17)

c 2 b e = a c . O multiconjunto = 2 3 pertence a S , uma vez que

¹

;

²

e

³ ²

S , e e calculado da seguinte maneira:

= 2( a

2 b )

( c

2 b )

3( a

c )

= (2 + 0 + 3) a

(4 + 2 + 0) b

(0 + 1 + 3) c = 5 a

6 b

4 c

x

¹

( x )

²

( x )

³

( x ) ( x )

a 1 0 1 5

b 2 2 0 6

c 0 1 1 4

..

`

Como os multiconjuntos ser~ao usados na denic~ao das redes L/T, e necessario denir morsmos entre conjuntos do tipo S

. Estes morsmos ser~ao denidos em termos de combinac~ao linear de multiconjuntos.

Definic

~

ao

2.4

^. (Morfismo entre Conjuntos de Multiconjuntos)

Sejam A e B dois conjuntos e h : A

^!

B

uma func~ao total. Um morsmo de A

para B

e uma func~ao g : A

^!

B

denida para todo

²

A

por

g ( ) =

^M

s

²

A ( s ) h ( s )

Para h

¹

: A

^!

B

e h

²

: B

^!

C

, a composic~ao de h

¹

e h

²

e dada por:

⁸

a

²

A;h

²

h

¹

( a ) =

^L

_b

²

_B h

¹

( a )( b ) h

²

( b ).

^`

Isto signica que a func~ao g e induzida pela func~ao h e seu valor para cada elemento e calculado usando combinac~ao linear de multiconjuntos. A composic~ao destes morsmos representa \uma multiplicac~ao de multiplicidades": se h

¹

( a ) = 2 b

3 c;h

²

( c ) = 4 d

2 e e h

²

( b ) = 3 k

2 d , ent~ao h

²

h

¹

( a )( d ) = 3

4 + 2

2 = 16.

Exemplo 2.5: Para o morsmo g : A

^!

B

induzido pela func~ao h e o multiconjunto

= 2 a

b dados a seguir, tem-se que g ( ) = ( a ) h ( a )

( b ) h ( b )

( c ) h ( c ) = 2( u

v )

1(2 z

u )

0( O B ) = (2+1+0) u

(2+0+0) v

(0+2+0) z

(0+0+0) y = 3 u

2 v

2 z ^.

A =

^f

a;b;c

^g

B =

^f

u;v;y;z

^g

= A

^!^N

h : A

^!

B

x h ( x ) a u

v b 2 z

u c O B

x ( x ) a 2 b 1 c 0

x g ( )( x )

u 3

v 2

z 2

y 0

..

`

Numa rede L/T, a marcac~ao inicial e as pre- e pos-condic~oes das transic~oes ser~ao representadas por multiconjuntos. Uma func~ao de origem ⁽ ^p ) fornece a pre- condic~ao de uma transic~ao e uma de destino ( d ) fornece a pos-condic~ao. Sera considerada aqui a restric~ao usual de que todas as transic~oes devem possuir pre- condic~ao diferente de vazio. Esta restric~ao e necessaria para viabilizar a denic~ao dos unfoldings . Excec~ao a esta regra e a transic~ao nula , que possui pre- e pos- condic~oes vazias.

Definic

~

ao

2.5

^. (Rede Lugar/Transic¸˜ao)

Uma rede lugar/transic~ao (rede L/T)

e uma estrutura R = ( p R ;d R : ( T R ;O T )

^!

S _R

;u R ), onde S R e um conjunto cujos

elementos s~ao chamados

^lugares

; ( T R ;O T ) e um conjunto apontado cujos elementos

(18)

Rede R

⁰

: R

⁰

= ( p R

⁰

;d R

⁰

: ( T R

⁰

;O T

⁰

)

^!

S _R

⁰

;u R

⁰

) S R

⁰

=

^f

a;b;c;d

^g

( T R

⁰

;O T

⁰

) =

^f

O T

⁰

;v

¹

;v

²

;v

³^g

R

⁰

= 2 a

x p R

⁰

( x ) d R

⁰

( x ) O T

⁰

O S

R⁰

O S

R⁰

v

¹

2 a 2 b

c v

²

2 b d

v

³

b a

Rede R

¹

: R

¹

= ( p R

¹

;d R

¹

: ( T R

¹

;O T

¹

)

^!

S _R

¹

;u R

¹

) S R

¹

=

^f

a;b;c;d;e

^g

( T R

¹

;O T

¹

) =

^f

O T

¹

;t

¹

;t

²

;t

³

;t

⁴^g

R

¹

= a

3 c

d

x p R

¹

( x ) d R

¹

( x ) O T

¹

O S

R¹

O S

R¹

t

¹

2 c

a b t

²

b a

2 c t

³

c

d e t

⁴

e c

d

Figura 2.2-

Representac~ao algebrica das redes da gura 2.1.

s~ao chamados

^transic¸˜^oes

; p R e d R s~ao morsmos entre conjuntos apontados que fornecem, respectivamente,

^origem

e

^destino

das transic~oes; u R

²

S _N

e a

^marcac¸˜^ao

inicial

. Alem disso, ha a seguinte restric~ao: para todo t

²

( T R ;O T ), se p R ( t ) = O S

ent~ao t = O T .

^`

Pelo fato de p R e d R serem morsmos entre conjuntos apontados, p R ( O T ) = O S

e d R ( O T ) = O S . Ou seja, a transic~ao nula e a unica que pode ter origem e destino nulos.

Exemplo 2.6: A gura 2.2 mostra a representac~ao das redes R

⁰

^e R

¹

da gura 2.1 usando

esta denic~ao.

^.^`^.

Definic

~

ao

2.6

^. (Morfismo entre Redes L/T)

Um morsmo entre duas redes L/T R

⁰

= ( p R

⁰

;d R

⁰

: ( T R

⁰

;O T

⁰

)

^!

S _R

⁰

;u R

⁰

) e R

¹

= ( p R

¹

;d R

¹

: ( T R

¹

;O T

¹

)

^!

S _R

¹

;u R

¹

) e um par de func~oes ( f;h ) que satisfaz as seguintes condic~oes:

1: ^f ^{: (} ^T ^R

⁰

^;O ^T

⁰

⁾

^!

⁽ ^T ^R

¹

^;O ^T

¹

) e um morsmo entre conjuntos apontados;

2: g : S _R

⁰ ^!

S _R

¹

e o morsmo entre multiconjuntos induzido pela func~ao h : S R

⁰ ^!

S _R

¹

;

3: ^g ⁽ ^u ^R

⁰

^{) =} ^u ^R

¹

⁽ ^g preserva a marcac~ao inicial);

4:

⁸

^a

²

^S ^R

⁰

^;

⁸

^b

²

^S ^R

¹

^;g ⁽ ^a ⁾⁽ ^b ⁾

¹ 5:

⁸

a

²

S R

¹

e

⁸

t

²

T R

⁰

:

( p R

¹

f ( t ))( a ) = ( g

p R

⁰

( t ))( a )

( d R

¹

f ( t ))( a ) = ( g

d R

⁰

( t ))( a )

S _R

⁰

T R

⁰

S _R

⁰

S _R

¹

T R

¹

S _R

¹

✤

p

_R⁰

oo❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ✤

d

_R⁰

//❴❴❴❴❴

✤

p

R¹

oo❴ ❴ ❴ ❴ ❴ ✤

d

_R1

//❴❴❴❴❴

❴

g

✤✤✤✤✤ ❴

f

✤✤✤✤✤✤ ❴

g

✤✤✤✤✤

= =

6:

⁸

^a;b

²

^S R

⁰

se [[ g ( a )]]

^\

[[ g ( b )]]

⁶

=

^;

ent~ao a = b .

A categoria de redes L/T e denotada por PTNets .

^`

O item 4 da denic~ao acima restringe a ac~ao de g : a func~ao h : S R

⁰ ^!

S _R

¹

,

que induz o morsmo g e restrita a conjuntos, i.e.,

⁸

a

²

S R

⁰

;h ( a ) e um conjunto.

(19)

: S 0 ; 1 . Esta restric~ao n~ao e imposta aos morsmos denidos em [ MES 94a ] e e includa aqui para permitir a exist^encia de um funtor de PTNets para GG , a categoria de gramaticas de grafos. Isto signica que a quantidade de tokens da marcac~ao inicial ou de pre- ou pos-condic~oes das transic~oes n~ao pode ser

\aumentada" por um morsmo, i.e., para d

²

[[ g ( b )]], se b zer parte da marcac~ao inicial, d tera a mesma quantidade de tokens que b e se b pertencer a pos- ou pre- condic~ao de alguma transic~ao t , ent~ao a multiplicidade de d na pos- ou pre-condic~ao da transic~ao f ( t ) e a mesma que a de b .

O item 5 garante que os morsmos respeitar~ao a origem e o destino das transic~oes.

Esta e uma caracterstica presente tambem nos morsmos entre grafos (denic~ao 3.3).

O item 6 e includo para permitir a exist^encia do produto e coproduto na cate- goria. Esta condic~ao impede que lugares pertencentes a marcac~ao inicial ou a pos- ou pre-condic~ao de alguma transic~ao sejam mapeados para multiconjuntos tendo algum lugar em comum, limitando a ac~ao dos morsmos. Em [ MES 94a ^{], esta}

restric~ao e imposta apenas a marcac~ao inicial e as pos-condic~oes das transic~oes.

Novamente, esta restric~ao e extendida neste trabalho para permitir a exist^encia do funtor supracitado.

A categoria PTNets e bastante geral: os objetos s~ao redes L/T nas quais as marcac~oes podem ser innitas e as transic~oes podem ter pre- e pos-condic~oes innitas (mas com multiplicidades nitas para os lugares, i.e., o conjunto de lugares S R pode ser innito). A unica restric~ao e que uma transic~ao n~ao pode ter pre-condic~ao vazia. Os morsmos s~ao bastantes gerais para permitirem construc~oes categoricas:

esta categoria possui objeto nal e o produto e coproduto podem ser interpretados como as operac~oes de composic~ao paralela e n~ao-determinstica, respectivamente.

O objeto terminal e uma rede com conjunto de lugares vazio, tendo como unica transic~ao a transic~ao nula.

Exemplo 2.7: Para a rede R

²

da gura 2.3, o conjunto de transic~oes e ( T R

²

;O T

²

) =

f

O T

²

;t

¹

;t

²

;t

³

;t

⁴^g

, o conjunto de lugares e S R

²

=

^f

k;l;m;n

^g

e a marcac~ao inicial e u R

²

= 2 k

2 l . Um morsmo ( f;h ) : R

⁰ ^!

R

²

entre as redes R

⁰

da gura 2.1 e R

²

, e dado pelas func~oes f e h dadas a seguir ( g e induzida por h ). Se c fosse, por exemplo, mapeado para l , chegar-se-ia a contradic~ao [[ g ( a )]]

^\

[[ g ( c )]] =

^f

l

^g

(contraria o item 6 da denic~ao). Como se pode notar, todos os elementos de [[ g ( x )]] para x em S R

⁰

possuem multiplicidade menor ou igual a 1, i.e., h ( x ) e um conjunto (item 4 da denic~ao). Veja ainda que g (2 a ) = 2 k

2 l ^, g (2 b ) = 2 m ^, g ( b ) = m ^, g (2 b

c ) = 2 m ^, g ( d ) = O S

R²

e g ( a ) = k

l , respeitando origem e destino das transic~oes mapeadas.

x h ( x ) a k

l b m c O S

R²

d O S

R²

x f ( x ) O T

⁰

O T

²

v

¹

t

¹

v

²

t

²

v

³

t

³

..

`

(20)

R

²

t

³

t

²

m

k

m _l m _m

t

¹

t

⁴

m _n

✤✤✤✤

2

++

2

✤✤✤✤

2

II

2

kk

2

//❴❴❴❴❴

✤✤✤✤ <<③③③③③③

x p R

²

( x ) d R

²

( x ) t

¹

2 k

2 l 2 m t

²

m O S

R²

t

³

2 m k

l

t

⁴

m n

Figura 2.3-

Exemplo de uma Rede L/T.

2.2 Sem^antica Operacional de Redes L/T

As transic~oes formam a unidade basica de computac~ao numa rede L/T. Uma transic~ao t com origem p ( t ) =

¹

e destino d ( t ) =

²

realiza uma computac~ao con- sumindo os tokens em

¹

e produzindo os tokens em

²

, i.e, a sem^antica operacional e dada pela movimentac~ao dos tokens na rede. Para consumir tokens , uma transic~ao precisa estar habilitada.

Definic

~

ao

2.7

^. ^(Transic¸˜ao Habilitada)

Seja R uma rede L/T e u R sua marcac~ao.

Uma transic~ao t

²

( T R ;O T ) esta

^habilitada

se, e somente se,

⁸

a

²

S R ;p R ( t )( a )

u R ( a ). Com o

^disparo

de t obtem-se uma nova marcac~ao u

¹ ²

S _R

para R dada por:

8

a

²

S R ;u

¹

( a ) = u R ( a ) p R ( t )( a ) + d R ( t )( a ).

^`

Uma transic~ao habilitada e disparada ^para consumir ôs ^tokens de que necessita e gerar ôs ^tokens que disponibiliza. Num dado momento, mais de uma transic~ao pode estar habilitada e qualquer uma pode ser (ou n~ao) disparada, dando uma caracterstica n~ao-determinstica a semântica operacional.

Exemplo 2.8: Na rede R

⁰

da gura 2.4, a transic~ao v

¹

pode ser disparada para produzir uma nova marcac~ao u

¹

= 2 b

c (mostrada na rede R

⁰⁰

^):

u

¹

( a ) = 2 2 + 0 = 0 u

¹

( b ) = 0 0 + 2 = 2 u

¹

( c ) = 0 0 + 1 = 1 u

¹

( d ) = 0 0 + 0 = 0

..

`

Na rede R

¹

da gura 2.1, as transic~oes t

¹

e t

³

est~ao ambas habilitadas e, neste caso, podem ser disparadas ao mesmo tempo (i.e., em paralelo). Esta ideia sera representada atraves de passo , que e formado por um numero nito de transic~oes compostas em paralelo. Um passo sera representado por um multiconjunto de transic~oes e tem origem e destino. A origem e a uni~ao das pre-condic~oes das transic~oes que formam o passo e o destino e a uni~ao das pos-condic~oes.

Definic

~

ao

2.8

^. ^(Passo)

Um passo e um multiconjunto de transic~oes. Um passo com origem u e destino v e representado por u [

v . O

conjunto de passos

de uma rede R = ( p R ;d R : ( T R ;O T )

^!

S _R

;u R ),

^P

( R ), e gerado pelas seguintes regras:

p R ( t ) = u e d R ( t ) = v;t

²

T R e w em S

( u

w )[ t

( v

w ) em

^P

( R ) u [

v e u

⁰

[

v

⁰

em

^P

( R )

( u

u

⁰

)[

( v

v

⁰

)em

^P

( R )

(21)

a

v

³

v

¹

m _b m _c

v

²

R

⁰

m _d

❈2❈❈ ❈❈!!

2

}}④ ④④ ④ ④

2

✤✤✤

==④④④④④ ✤✤✤ !!❇❇❇❇❇

aa❈ ❈ ❈❈ ❈

transic~ao v

¹

: a

v

³

v

¹

m

b

m _c

v

²

R

⁰⁰

m _d

❈2❈❈ ❈❈ !!

2

}}④ ④④ ④④

2

✤✤✤

==④④④④④ ✤✤✤ !!❇❇❇❇❇

aa❈ ❈ ❈ ❈ ❈

Figura 2.4-

Disparo de uma transic~ao numa rede L/T.

O conjunto

^PP

( R ) de

^seq¨^uˆencias de passos

e dado pela regra u R [

⁰

v

⁰

;::: ;u n [ n

v n em

^P

( R ) e u i = v i

¹

;i = 1 ;::: ;n

u R [

⁰

[

¹

[ n

v n em

^P^P

( R )

O conjunto de

^marcações alcanç áveis

de uma rede R ,

^A

( R ), e o conjunto das marcac~oes que s~ao destino de alguma sequ^encia de passos:

A

( R ) =

^f

v

^j9

( u R [

⁰

[

¹

[ n

v )

²^P^P

( R )

^g

`

Portanto, uma sequ^encia de passos representa as transic~oes que podem ser dis- paradas, iniciando-se com as transic~oes habilitadas pela marcac~ao inicial e um lu- gar alcancavel e um lugar que pode ser atingido atraves dos disparo de transic~oes, iniciando-se tambem na marcac~ao inicial.

2.3 Redes Seguras

Um tipo especial de redes surge quando a marcac~ao inicial e as pre- e pos- condic~oes das transic~oes de uma rede L/T forem conjuntos no lugar de multicon- juntos e todos os lugares forem acessveis a partir da marcac~ao inicial: as redes

seguras que, como consequ^encia, permitem apenas 1 token por vez em cada lugar.

Estas redes ser~ao usadas na denic~ao de redes de ocorr^encia.

Definic

~

ao

2.9

^. (Redes Seguras)

Uma rede R = ( p R ;d R : ( T R ;O T )

^!

S _R

;u R ) e

^segura

se, e somente se as seguintes condic~oes forem satisfeitas:

1.

⁸

t

²

T R ;p R ( t ) e d R ( t ) s~ao conjuntos;

2.

⁸

v

²^A

( R ) ;

⁸

a

²

S R ;v ( a )

1, i.e., v e um conjunto;

3.

⁸

a

²

S R ;

⁹

v

² ^A

( R )

^j

a

²

[[ v ]], i.e., qualquer lugar ou pertence a marcac~ao inicial ou e destino de alguma transic~ao.

A categoria Safe e denida como a subcategoria completa de PTNets que tem as

redes seguras como objetos.

^`

(22)

m

a

m _b m _c

t

¹

t

²

m _d m _e t

³

R

³

( a )

✤✤✤✤✤✤✤ !!❇❇❇❇❇❇ >>⑥⑥⑥⑥⑥ //❴❴❴❴❴❴❴❴❴❴❴ OO✤✤✤✤✤✤✤✤✤✤✤

>>⑥⑥⑥⑥⑥

``❇ ❇ ❇❇ ❇

}}④ ④④ ④④

m _a

m _b

t

¹

t

²

m _c m _d

m _e

t

³

t

⁴

m _f m _g

R

⁴

( b )

}}④ ④④ ④④ ④

!!❈❈❈❈❈

✤✤✤ ✤✤✤

}}④ ④④ ④④ ④

!!❈❈❈❈❈

✤✤✤ ✤✤✤✤✤✤

Figura 2.5-

Exemplos de uma (a) rede segura e (b) rede de ocorr^encia.

Exemplo 2.9: A gura 2.5(a) mostra um exemplo de uma rede segura. Como exemplo de passos para esta rede, tem-se ( a

b

c [ t

¹

d

e

c ) ^e ( a

b [ O T

³

a

b ) ^(note

que a origem e o destino do passo formado apenas pela transic~ao nula, O T

³

, s~ao sempre iguais, uma vez que esta transic~ao possui origem e destino vazios). S~ao sequ^encias de passos

( a

b [ O T

³

[ t

¹

d

e ) e ( a

b [ t

¹

[ t

²

b

c

d ) , por exemplo. O conjunto de marcac~oes alcancaveis para esta rede e

^A

( R

³

) =

^f

a

b;d

e;b

c

d;c

d

^g

^.

^.^`^.

2.4 Redes de Ocorr^encia

Redes de Ocorr^encia s~ao redes seguras acclicas sem conitos (a serem denidos nesta sec~ao) onde nenhum lugar da marcac~ao inicial e destino de qualquer transic~ao.

O unfolding de uma rede L/T R possui estas caractersticas e, consequentemente, se R for uma rede de ocorr^encia, seu unfolding sera isomorco a R .

Estas redes ir~ao constituir o domnio sem^antico para as redes L/T: suas transic~oes representam possveis disparos de transic~oes da respectiva rede L/T e os lugares, lugares que s~ao acessveis a partir da marcac~ao inicial.

De modo semelhante a pre- e pos-condic~ao de uma transic~ao, ser~ao denidas as pre-transic~oes de um lugar b , que s~ao as transic~oes que têm b como destino e as pos-transic~oes, que s~ao as transic~oes que têm b como procedência.

Definic

~

ao

2.10

^. (Pré-, P ós-Transição)

Sejam R = ( p R ;d R : ( T R ;O T )

^!

S _R

;u R ) uma rede L/T e a

²

S R . O conjunto das

pré-transições

do lugar a e denido como

P

( a ) =

^f

t

²

T R

^j

a

²

[[ d R ( t )]]

^g

, e o conjunto das

^{p ´}os-transic¸˜oes

do lugar a e denido como

^D

( a ) =

^f

t

²

T R

^j

a

²

[[ p R ( t )]]

^g

.

^`

As relac~oes de depend^encia e de conito, denidas a seguir, ser~ao usadas para caracterizar uma rede de ocorr^encia.

Definic

~

ao

2.11

^. ^(Relação de Dependência)

Sejam R = ( p R ;d R : ( T R ;O T )

^!

S _R

;u R ) uma rede L/T,

¹

a relac~ao denida por

¹

=

^f

( a;t )

^j

a

²

S R ;t

²

T R ;t

² ^D

( a )

^g^[

f

( t;a )

^j

a

²

S R ;t

²

T R ;t

² ^P

( a )

^g

e

o fecho transitivo de

¹

. A relac~ao de depend^encia de R , denotada por

, e denida como o fecho reexivo de

. Se

9

a

²

T R

^[

S R

^j

a

a , a rede R possui ciclos.

^`