Vetores
Parte 1: Defini¸ c˜ ao e Exemplos
Prof. Dr. David Alexander Chipana Mollinedo
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Departamento Acadˆemico de Matem´atica
davida@utfpr.edu.br
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Defini¸ c˜ ao e Exemplos
Paralelismo Entre Vetores
Coplanaridade de Vetores
Conte´ udo
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Defini¸ c˜ ao e Exemplos
Paralelismo Entre Vetores
Coplanaridade de Vetores
Motiva¸ c˜ ao
Grandezas F´ısicas
Caracterizadas
Magnitude
•Comprimento
• Area ´
•Volume
•Tempo
•Massa
•Temperatura
Sa˜ o modelados por N´ umeros Reais
Magnitude Dire¸ c˜ ao Sentido
•Deslocamento
•Velocidade
•Acelera¸ c˜ ao
•For¸ ca
Sa˜ o modelados por
Vetores
Segmento Orientado
Defini¸ c˜ ao
Um Segmento Orientado ´ e determinado por dois pontos, o primeiro chamado origem (ponto inicial) do segmento, o segundo chamado extremidade (ponto final). O segmento orientado de origem A e extremidade B ser´ a representado por AB e geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza o sentido do segmento.
AB A
B
AB (M´ odulo ou Comprimento) Ponto Inicial
Ponto Final Sentido
Dire¸ c˜ ao
Segmento Orientado: Observa¸ c˜ ao
(a) AB = BA, isto ´ e, segmentos orientados opostos possuem o mesmo comprimento.
(b) Dois segmentos orientados n˜ ao nulos AB e CD tˆ em a mesma dire¸ c˜ ao se as retas suportes desses segmentos s˜ ao paralelas ou coincidentes, isto ´ e, s´ o se pode comparar sois segmentos orientados se eles tem a mesma dire¸ c˜ ao.
AB A
B
C CD
D
AB A
B
D CD
C
AB
A B D CD C
Segmento Orientado: Observa¸ c˜ ao
(c) Da defini¸ c˜ ao afirmamos que: Segmentos Orientados possuem
uma dire¸ c˜ ao, um sentido e um comprimento. No entanto, eles
tamb´ em s˜ ao caracterizados pelo seu ponto inicial. Na verdade, s˜ ao
modelos (representa¸c˜ oes) de vetores “localizados” , onde o ponto
de aplica¸ c˜ ao ´ e importante.
Defini¸ c˜ ao de Vetor
Defini¸ c˜ ao
Vetor ´ e um conjunto de todos os segmentos orientados de mesma dire¸ c˜ ao, de mesmo sentido e de mesmo comprimento (segmentos equipolentes).
A B
C D
#» v . . .
. . .
Figura: 1. Vetor #» v
Defini¸ c˜ ao de Vetor: Observa¸ c˜ ao
(a) Na defini¸ c˜ ao de Vetor ( ver figura 1) temos um conjunto de segmentos orientados de um ´ unico vetor. Indicamos este vetor por
#» v .
(b) Nota¸ c˜ ao usual de vetores: #» a , #»
b , #» c , #» u , #» v , ...
(c) O vetor determinado pelo segmento orientado AB ´ e indicado por AB # » ou “B − A”.
# » AB A
B
Defini¸ c˜ ao de Vetor: Observa¸ c˜ ao
(d) As caracter´ısticas de um vetor #» v s˜ ao as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto ´ e: o m´ odulo, a dire¸ c˜ ao e o sentido do vetor s˜ ao o m´ odulo, a dire¸ c˜ ao e o sentido de qualquer um de seus representantes.
(e) O m´ odulo de um vetor #» v denota-se por k #» v k .
(f) Igualdade de Vetores: Dois vetores AB # » e CD # » s˜ ao iguais se eles possuem a mesma dire¸ c˜ ao, sentido e o mesmo comprimento.
Exemplo: Consideremos o paralelogramo e triˆ angulo a seguir:
# » AB A
B
# » CD C
D # »
AB
# » AC A
B
C Ent˜ ao, podemos afirmar que: Do paralelogramo, o vetor # »
AB ´ e igual ao vetor # »
CD. Agora, do triˆ angulo, o vetor # »
AB n˜ ao ´ e igual ao vetor
# »
AC .
Defini¸ c˜ ao de Vetor: Observa¸ c˜ ao
(g) Vetores Opostos: Dado um vetor #» v = # »
AB, o vetor # » BA ´ e o oposto de # »
AB e se denota por − # »
AB ou por − #» v .
# » AB A
B
# » BA
− # » AB A
B
(h) Um vetor #» v ´ e unit´ ario se k #» v k = 1 .
(i) Vetor Nulo: Os segmentos nulos determinam um ´ unico vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, o qual ´ e denotado por #»
0 .
Versor de um vetor
Defini¸ c˜ ao
Versor de um vetor #» v n˜ ao-nulo ´ e o vetor unit´ ario que tem a mesma dire¸ c˜ ao e mesmo sentido de #» v .
Exemplo: Considere a seguinte figura:
#» u u #»
1u #»
2u #»
30 1 2 3 ⇒ versor de #» v = u #»
3Conte´ udo
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Defini¸ c˜ ao e Exemplos
Paralelismo Entre Vetores
Coplanaridade de Vetores
Paralelismo entre Vetores
Defini¸ c˜ ao: Vetores Colineares ou Paralelos
Dois vetores #» u e #» v s˜ ao paralelos se tiverem a mesma dire¸ c˜ ao. Em outras palavras: #» u e #» v s˜ ao paralelos se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou retas paralelas.
#» u A
B
#» v C
D
#» u A
B
#» v D
C
#» u
A B D #» v C
Conte´ udo
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