Exerc´ıcios - C´ alculo num´erico Zeros de fun¸c˜ oes reais
Prof. Juliana Berbert
Q3 - 2016
Resolver numericamente os problemas abaixo.
1. Para o di´oxido de carbono (CO2), a equa¸c˜ao de estado de um g´as tem os seguintes coeficientes: a = 0,401Pa m3 e b = 42,7.10−6m3. Determine o volume ocupado por 1000 mol´eculas deste g´as, `a temperatura de 300K e press˜ao de 3,5.107Pa, pelo m´etodo de bisec¸c˜ao, com uma tolerˆancia de 10−12. Constante de Boltzmann ´e k = 1,3806503.10−23 Joule K−1.
[p+a(N/V)2](V −N b) =kN T .
Fa¸ca tamb´em outros algoritmos para resolu¸c˜ao usando os m´etodos de falsa- posi¸c˜ao e de Newton-Raphson.
2. Considere a fun¸c˜ao
− 1
x3 + −1
x2 = E .
Fa¸ca algoritmos que, para dado valor de E (valores negativos para E), encontre o valor de x usando os m´etodos de bisec¸c˜ao, de falsa-posi¸c˜ao e de Newton-Raphson. Determine o n´umero de itera¸c˜oes necess´arias at´e que o erro seja
|xn+1−xn| ≤ eps.max{1,|xn+1|} . eps ´e o epsilon da m´aquina.
3. Um corredor tem a forma indicada na figura. O comprimento m´aximo L de uma barra que pode passar de uma extremidade a outra deslizando no solo ´e dada por
L = `2
sin(π −γ −α) + `1 sin(α) ,
1
onde α ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao n˜ao-linear
`2 cos(π −γ −α)
sin2(π −γ −α) −`1 cos(α)
sin2(α) = 0 .
Calcular α pelo m´etodo de Newton-Raphson para `2 = 10, `1 = 8 e γ = 3π/5. Qual outro m´etodo pode ser usado para resolver este problema?
Qual a diferen¸ca entre eles?
Figure 1: Problema de uma barra deslizando num corredor.
4. Analisar a convergˆencia das itera¸c˜oes de ponto fixo x(k+1) = x(k)[(x(k))2 + 3a]
3(x(k))2 + a , k ≥0
para o c´alculo da raiz quadrada de um n´umero positivo a. OBS.: k repre- senta a k-´esima itera¸c˜ao.
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