UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA

CURSO DE BACHARELADO EM FÍSICA

CRISTIANO PEREIRA

ESTUDO E APLICAÇÃO DAS CORRENTES DE FOUCAULT

FORTALEZA

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CRISTIANO PEREIRA

ESTUDO E APLICAÇÃO DAS CORRENTES DE FOUCAULT

Monografia apresentada ao curso de Física do Departamento de Física da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do Título de Bacharelado em Física.

Orientador: Prof. Dr. Raimundo Nogueira Costa Filho

FORTALEZA

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CRISTIANO PEREIRA

ESTUDO E APLICAÇÃO DAS CORRENTES DE FOUCAULT

Monografia apresentada ao curso de Física do Departamento de Física da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do Título de Bacharelado em Física.

Aprovado em ____/____/_______.

BANCA EXAMINADORA

____________________________________________________

Prof. Dr. Raimundo Nogueira Costa Filho

Universidade Federal do Ceará

____________________________________________________

Prof. Dr. Wandemberg Paiva Ferreira

Universidade Federal do Ceará

___________________________________________________

Prof. Dr. Ascânio Dias de Araújo

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AGRADECIMENTOS

A minha família, pelo apoio durante esses anos.

Ao Prof. Dr. Raimundo Nogueira Costa Filho, pela orientação nessa monografia.

Aos colegas Wendell, Andre, Jessé, Everton, Tiago Moura, Rafael, Dilton, Douglas, Felipe e Ted por esses anos de estudos.

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RESUMO

Esse trabalho irá estudar as correntes de Foucault (ou Eddy current, no inglês), que são as correntes induzidas. Começará com um estudo teórico de indução eletromagnética proposto por Michael Faraday, onde ele explicará que uma variação no fluxo magnético irá induzir uma corrente elétrica no condutor. Em seguida será estudado o método de indutância, onde será visto que se a corrente nas proximidades de uma das extremidades do solenóide sofrer uma variação, o campo magnético gerado pelas espiras próximas à região onde ocorreu a variação de corrente, irá produzir um fluxo magnético variável sobre as outras espiras que formam o solenóide, ou seja, o circuito produzirá um fluxo magnético variável sobre si mesmo, e ele auto-induzirá uma induzida. Depois desses estudos teóricos será visto os efeitos que a corrente de Foucault produzirá nos condutores como, por exemplo, o amortecimento magnético que os condutores sofrem devido ao campo magnético e outro exemplo seriam os geradores elétricos que são dispositivos com a finalidade de transformar a energia mecânica em energia elétrica.

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ABSTRACT

This work will study the eddy current, which are induced currents. Will begin with a theoretical study of electromagnetic induction proposed by Michael Faraday, where he will explain that a variation in magnetic flux will induce an electric current in the conductor. Then will be studied by the method of inductance, where it will be seen that if the current in the vicinity of one of the ends of the solenoid suffer a variation, the magnetic field generated by the coils near the area where there was the current variation, will produce a magnetic flux variable on the other coils that form the solenoid, i.e. the circuit will produce a magnetic flux variable about himself, and he will induce a self-induced . After these theoretical studies will be seen the effects that the eddy current will produce in the conductors, for example, the magnetic damping that the conductors suffer due to the magnetic field and another example would be the electric generators that are devices with finality to transform the mechanical energy into electrical energy.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 10

2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA ... 12

2.1 Lei de Faraday ... 12

2.2 Indutância ... 15

2.3 Energia em campos magnéticos ... 18

3 CORRENTES DE FOUCAULT ... 21

3.1 Conceito ... 21

3.2 Amortecimento magnético ... 21

3.2.1 Máquina de Atwood ... 23

3.2.2 Pêndulo ... 25

3.2.3 Disco ... 26

3.3 Gerador elétrico ... 27

CONCLUSÃO ... 29

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1 INTRODUÇÃO

As leis da indução elétrica fundamentam boa parte da nossa tecnologia mecânica e eletrônica. Os geradores elétricos, por exemplo, são responsáveis pela produção de energia elétricas das cidades e tem como fundamento a conversão de energia mecânica em energia elétrica através da indução elétrica. Este trabalho irá mostrar o fenômeno de amortecimento magnético que é produzido devido às correntes de Foucault geradas no condutor.

O desenvolvimento de métodos de correntes de Foucault foi baseado em certas descobertas feitas durante o inicio do século dezenove sobre relações entre eletricidade e magnetismo.

Em 1820, o dinamarquês Hans Christian Oersted observou que quando uma corrente passava através de um fio a agulha magnética de uma bússola próxima era defletida, ou seja, ao redor desse fio era gerado um campo magnético devido à corrente elétrica. Esse foi o princípio da descoberta do eletromagnetismo, pois unia um efeito elétrico com um efeito magnético.

Em 1831, Michael Faraday descobriu o efeito de indução eletromagnética. Faraday mostrou o inverso do efeito proposto por Oersted, em que dizia que campo magnético poderia produzir corrente elétrica, pois ele observou que uma variação do campo magnético em um condutor induzia uma voltagem no condutor, causando uma corrente elétrica. No mesmo período, Joseph Henry também descobriu o efeito de indução, de forma independente, mas não publicou a tempo de lhe ser creditado o feito.

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Em 1855, Jean Bernard Leon Foucault observou que quando um disco de cobre era colocado entre os pólos de um ímã era preciso mais força para fazê-lo girar do que quando não havia o ímã, fato que ocorre devido ao surgimento de correntes induzidas no interior do metal produzidas pela variação do fluxo magnético, correntes estas que também ficaram conhecidas como correntes de Foucault.

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2 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

2.1 Lei de Faraday

Com a descoberta de Oersted, foi observado que correntes elétricas geram campo magnético, fato este que é expresso pela equação

conhecida como lei de Ampère em sua forma integral, ou então pela sua forma diferencial

Mas o inverso será possível? Ou seja, a partir do campo magnético pode-se gerar corrente elétrica?

Para obter essa resposta, vamos observar dois experimentos realizados por Michael Faraday. No primeiro caso ele enrolou um fio a um ímã e ligou os terminais de um galvanômetro, porém nada foi observado.

No segundo caso, foi substituído o ímã por um solenóide que gera campo magnético em seu interior quando é percorrido por uma corrente elétrica, e mesmo sabendo que passava corrente no solenóide, nada foi detectado pelo galvanômetro.

Figura 1 – Primeira experiência de Michael Faraday.

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Porém, Faraday observou que no primeiro caso que ao introduzir ou retirar o ímã, o galvanômetro detectava rapidamente uma corrente, da mesma forma para o segundo caso, quando se liga e desliga a fonte que fornece corrente para o solenóide. Dessa forma quando variamos o campo magnético o galvanômetro detectava corrente elétrica, logo podemos concluir que a variação do fluxo de campo magnético gera correntes elétricas que por conseqüência campos elétricos.

Para analisar a relação do campo magnético com o campo elétrico vejamos a configuração da Figura 3.

Temos uma espira imersa em um campo magnético constante na direção de como indica a Figura 3. Ao mover a espira na direção de o fluxo magnético que passa pela espira passa a variar, o que gera uma força eletromotriz na mesma, dada por

!

onde é fluxo magnético e é definido como a quantidade de linhas de campo magnético que atravessam uma determinada área como ilustra a Figura 4. Assim podemos escrever o fluxo magnético como

" #

$ %

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14

A integral é sobre uma superfície aberta, pois se fosse sobre uma superfície fechada a integral seria nula, pois não temos um monopólo magnético. Por definição, também podemos reescrever a da forma

&

' (

onde a integral é sobre um círculo fechado ₎. Assim comparando as equações e ₍ , temos

&

' ! *

e pela definição do fluxo magnético, ficamos com

&

' ! "$ #

&

' "

+ +! #

$ ,

No lado esquerdo da equação , podemos aplicar o teorema de Stokes para transformar uma integral de linha em uma integral de superfície da forma

-' " .$ -/ # 0

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15

dessa forma a equação , fica

" & #

$ "

+ +! # $

" 4 & +_{+! 5 #}

$ 6 7

como o diferencial de área não é nulo, obtemos

& +_+! 6 8

que é a lei de Faraday na forma diferencial.

2.2 Indutância

Vamos supor que temos dois circuitos )₉ e )_:, e que por )₉ passe uma corrente variável ;₉. O circuito )₉ irá produzir um campo magnético variável ₉ dado pela lei de Biot-Savart,

9 _(<;9 9_{?= =>?}= =>_@ 'A

6

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que por sua vez irá passar através da área de ₎₉ e produzir uma variação de fluxo de campo _: escrita como

: " 9 #: 'D

Vemos na equação ₆ que o campo magnético é proporcional a corrente _;₉, logo o fluxo também será proporcional a corrente, então podemos escrever como

: E:9;9

onde _E_:9 é a constate de proporcionalidade e é chamada de indutância mútua do

circuito )₉ e )_:. Podemos analisar a natureza de E_:9 partindo da equação ,

: " 9 #: 'D

" F9 #: 'D

%

onde _F é definido como sendo

F (< ?= =>?; (

aplicando o teorema de Stokes 0 em % , obtemos

: F9 :

'D

*

substituindo ₍ na equação acima, ficamos com

: G(< _{?= =>?};9 9 'A

H :

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: _(<;9 _{?= =>?}9 : 'D

'A

,

comparando _, com , determinamos _E_:9 como sendo

E:9 _(< _{?= =>?}9 : 'D

'A

0

que é conhecida como fórmula de Neumann. Vemos que a indutância mútua só depende da geometria dos dois circuitos. Com uma simples troca de índice, vemos que

E:9 E9: 7

ou seja, quaisquer que sejam as formas e/ou posições dos circuitos, o fluxo que passa através de )_: quando é percorrido uma corrente ; em )₉, será o mesmo fluxo em ₎₉ quando a mesma corrente _; estiver percorrendo ₎_:.

Como _E_:9 _E_9:, podemos pensar agora em um solenóide pelo qual é percorrida uma corrente estacionária ;, que por algum motivo sofra uma variação. A espira próxima onde houve variação e corrente irá gerar um campo magnético variável que por sua vez produzirá um fluxo variável sobre as outras espiras, o fluxo pode ser escrito de forma similar a equação como

I; 8

onde I é a constante de auto-indutância.

Essa variação de fluxo gera sobre o solenóide uma auto-induzida, como vemos se derivarmos a equação anterior em função do tempo

! I !;

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18

I _!; 6

O sinal negativo indica que a auto-induzida se opõe a variação da corrente, ou seja, a auto-induzida dificulta a produção de variação de corrente pelo circuito. De forma equivalente a equação 0 podemos escrever I como sendo

I (< _' _' ?= =>?>

2.3 Energia em campos magnéticos

Como já determinamos a induzida do circuito através da equação 6 , agora vamos analisar a potência gerada pelo trabalho de um agente externo que deve produzir uma oposta a induzida para forçar a corrente _; circule pelo circuito, assim a potência é dada por

J K_!LMN LMN;

Como _LMN é oposto a induzida, ficamos

KLMN

! OI ;!P ;

KLMN I; ; %

e como esse trabalho é para forçar o surgimento de corrente, ele será armazenado na forma de energia magnética, ou seja, K_LMN Q, assim

Q I; ;

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Q I;: (

Podemos reescrever essa equação a partir de uma equação similar a equação _*

F '

onde _I;, ficamos com

I; F

'

multiplicando ambos os lado por T :

;

I; ; F

'

Q F ;

'

*

Fazendo uma análise de densidade de corrente, a equação * fica

Q " F V

W X

*

Pela lei de Ampère

V ,

reescrevemos a equação *

Q " F

W X

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20

Para esse caso, veremos a seguinte identidade do divergente de um produto vetorial,

.F / . F/ F

F . / . F/ .F / 7

e como _F, a equação ₀ fica

Q 4" X

W "W .F / X5

Q 4" : _X

W $ .F / #5

8

Integrando sobre todo o espaço que contenha _V, ou seja, fazendo _X tender ao infinito de tal forma que a integral de superfície tenda a zero, ficamos com

Q " : _X W

%6

e dessa forma, podemos definir a densidade volumétrica de energia como sendo

Y : %

onde percebe-se que quanto mais intenso for o campo, maior será a energia armazenada. A partir da equação * e %6 vemos uma similaridade dos campos elétrico e magnético

QZ " F V

W X "

: _X

W

Q[ " \X

W X

]

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3 CORRENTES DE FOUCAULT

3.1 Conceito

Essas correntes foram descobertas em 1855 por Leon Foucault, por isso são chamadas de correntes de Focault. Foucault construiu um dispositivo utilizando um disco de cobre e o fez se mover em um campo magnético para mostrar que tais correntes são geradas quando um condutor se move dentro de um campo magnético.

Os testes das correntes de Foucault começaram a partir dos resultados de indução eletromagnética obtidos por Michael Faraday em 1931. Faraday descobriu que quando um condutor se move através de um campo magnético, uma corrente elétrica irá fluir através do condutor, caso exista um caminho fechado onde possa circular.

Podemos definir correntes de Foucault como correntes elétricas circulares induzidas numa amostra por um campo magnético variável. Tem como principais características e/ou efeitos:

1. Apresentam-se em caminhos fechados e concêntricos.

2. Seu caminho de circulação é circular quando não há limitação no material ou descontinuidade.

3. Geram um campo magnético que se opõe ao campo inicial. 4. Aquecimento do condutor.

3.2 Amortecimento magnético

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Um fenômeno interessante que essas correntes de Focault causam sobre os condutores ao entrarem ou saírem de uma região de campo magnético é o efeito de amortecimento. Para analisar esse amortecimento, vamos supor uma barra condutora deslizando sobre um trilho condutor em uma região onde há um campo magnético perpendicular ao plano do trilho conforme ilustra na Figura 6. Dessa forma podemos determinar o fluxo magnético na barra como sendo

" # $

#

%

Logo teremos a força eletromotriz induzida sendo

T^_ _!

T^_ ` %

Agora vamos determinar a corrente induzida, que será dada por

aT^_ T^__b

aT^_ _b` % %

Com isso podemos determinar a força atuante sobre a barra, temo

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- aT^_

- O _{b P}`

- : :_b ` % (

Aplicando a segunda lei de Newton na equação _{% (} , ficamos com `

!

: :_`

b

"c N _``_SS cd

: : b " !S

N

ef g` !_{` h} : :_{b !}

` ! ` ijDkDlmN % *

Assim como indicado pela equação _{% *} , vemos que realmente a velocidade da barra está sofrendo um retardo.

3.2.1 Máquina de Atwood

Na referência [3] foi montado um experimento para mostrar o efeito de amortecimento magnético. O Experimento trata-se da maquina de Atwood, onde em uma de suas extremidades está uma lâmina metálica de massa que ao longo do tempo passa por três fases.

Na primeira fase, a lâmina está completamente inserida no campo magnético e, portanto é movida somente pela força de tração, pois como não há variação de fluxo magnético na lâmina, logo não haverá corrente induzida e portando não sofrerá amortecimento, assim a única força resultante será

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A segunda fase é quando a lâmina está parcialmente dentro do campo magnético, dessa forma o fluxo magnético varia, fazendo com que a lâmina sofra amortecimento até que fique totalmente fora do campo magnético. A força resultante nessa fase será

- ! -n ` ! % 0

onde está relacionado com a resistência efetiva da lâmina, com o comprimento e com o campo magnético como indica a equação % ( .

Na terceira fase, a lâmina está totalmente fora do campo magnético, nesse caso a lâmina não sofre efeito do campo magnético, sendo a força atuante dada pela equação _{% ,} , sendo, portando, similar a fase 1.

Por fim, podemos observar a evolução desse amortecimento pelos gráficos da Figura abaixo:

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3.2.2 Pêndulo

Para enfatizar a Seção 3.2.1, vamos verificar o que ocorre quando a lâmina possui fendas. Para isso, na referencia [4] foi montado um experimento com pêndulos formados por três tipos de placas (Figura 9.b): uma placa inteira (assim como visto na seção 3.2.1), uma com fendas e outra na forma de pente (fendas abertas). As placas então são postas para oscilar entre dois ímãs (Figura 9.a).

Figura 8 – (a) Gráfico do deslocamento da lâmina em função do tempo nas três fases. (b) Gráfico da velocidade da lâmina em função do tempo nas três fases.

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O resultado foi que com o pêndulo de placas inteiras o amortecimento foi bem mais intenso que nas outras, já que o fluxo magnético nessa placa é maior, o que gera uma corrente de Foucault superior as demais. O menor amortecimento ocorre na placa em forma de pente, onde oscilou quase que livremente já que não tem um circuito fechado assim como as anteriores.

3.2.3 Disco

Na referência [4] também é montado outro experimento que trata de um disco girando em uma região com campo magnético. Para entender como o amortecimento funciona nesse caso, observe a Figura 9. Vemos que o arco q está entrando na região de campo, assim o fluxo nessa região aumenta e como vemos, entrando no plano do disco, que pela lei de Lenz surgirá um fluxo contrário para anular o fluxo dessa região, dessa forma surgirá uma corrente de Foucault no sentido anti-horário no arco q. Já no arco q_{r r} que está saindo do campo, está sofrendo uma diminuição de fluxo que, para compensar, surgi uma corrente no

sentido horário. Assim, no arco rq teremos uma corrente resultante direcionada para o centro do disco, e como é nessa região que o campo magnético age, surgirá uma força de Lorentz tal que gere um torque que amortecerá o movimento do disco.

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3.3 Gerador elétrico

Os geradores elétricos têm como objetivo a transformação de energia mecânica em energia elétrica. Seu funcionamento tem como princípio básico uma bobina girando em um campo magnético, que pela lei de indução irá gerar corrente elétrica.

Vamos considerar uma espera retangular de lados e que gira com

uma velocidade angular constante _s em uma região de campo magnético constante.

O fluxo sobre a espira é dado pela equação %

" #

$ tuv w

no entanto _{w s!}, substituindo fica

tuv s! % 7

Derivando em função do tempo

! s vxf s!

E pela equação , obtemos a induzida

! s vxf s! % 8

Figura 11 – Espira girando em torno eixo

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A corrente por sua vez será dada como

; ! _b!

; ! s vxf s!_b % 6

onde _b é a resistência do circuito. A corrente varia no tempo em forma de uma função senoidal, logo terá picos positivos e negativos, caracterizando-a como uma corrente alternada. Em termos da potência, temos

J ;

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CONCLUSÃO

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REFERÊNCIAS

[1] GRIFFITHS, David j. Introduction to Electrodynamics, 3rd Edition.

Prentice-Hall, New Jersey, 1999.

[2] MACHADO, Kleber Daum. Teoria do eletromagnetismo, vol. 2. Editora

UEPG, Ponta Grossa, 2002.

[3] ONORATO, Pasquale. DE AMBROSIS, Anna. Magnetic damping: Integrating