Objetivo Compreender o conceito de determinante e como calcular determinantes de ordem 2 e 3.

Determinantes: Ordem 2 e Ordem 3

Objetivo

Compreender o conceito de determinante e como calcular determinantes de ordem 2 e 3.

Se liga

Para essa aula é importante que você tenha visto sobre matrizes.

Curiosidade

Você sabia que a regra de Sarrus tem esse nome por causa do Pierre Frédéric Sarrus. Ele ficou conhecido pelo método matemático (regra de Sarus) responsável por encontrar os determinantes das matrizes quadradas de ordem 3 (3 x 3).

Teoria

Determinante

Determinante é um número associado a uma matriz quadrada que tem inúmeras aplicações na Matemática, dentre as quais podemos destacar as operações entre vetores na Álgebra Linear e o Teorema de Cramer para a resolução de sistemas lineares. Vamos aprender a calcular determinantes!

• Matriz quadrada de ordem 1: é o valor único da matriz.

A = [a11] → det A = a11

• Matriz quadrada de ordem 2: é a diferença entre o produto dos termos das diagonais principal e secundária.

𝑨 = [𝒂 𝒃 𝒄 𝒅] det A = |a b

c d| = ad − bc Exemplo:

𝑨 = [𝟏 𝟏 𝟑 𝟐] det A = |1 1

3 2| = 2 ∙ 1 − 3 ∙ 1 = 2 − 3 = −1

Matriz quadrada de ordem 3: usamos a regra de Sarrus.

𝐴 = [

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 ℎ 𝑖

]

𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 ℎ 𝑖

| =

|

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 ℎ 𝑖

| 𝑎 𝑑 𝑔

𝑏 𝑒 ℎ

𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑ℎ – 𝑐𝑒𝑔 – 𝑎𝑓ℎ – 𝑏𝑑𝑖

Exemplo:

𝐴 = [

1 3 4 0 0 1 1 1 2 ]

Pela regra de Sarrus, duplicamos as duas primeiras colunas e fazer a conta:

𝑑𝑒𝑡𝐴 = |

1 3 4 0 0 1 1 1 2

| 1 3 0 0 1 1

= (1.0.2) + (3.1.1) + (4.0.1) − (4.0.1) − (1.1.1) − (3.0.2) = 0 + 3 + 0 − 0 − 1 − 0 = 2 + + +

− − −

Exercícios de fixação

1.

O determinante da matriz 𝐴 = [1 2

2 4] é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

2.

Dada a matriz 𝐴 = [1 3

4 𝑐]. Qual o valor de 𝑐 para que 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 a) 11

b) 12 c) 13 d) 14

3.

Calcule o determinando de 𝐴 = [𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 ] a) 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)

b) cos(𝑥 + 𝑦) c) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) d) cos(2𝑥)

4.

Dada a matriz 𝐵 = [1 0 0 2 3 4 1 1 2

], prove que det 𝐵 = 2.

5.

Na matriz 𝐵 = [1 2 0

1 4 2

5 10 𝑎

], qual o valor de 𝑎 para que o det 𝐵 = 0 ? a) 1

b) 2 c) 3 d) 0

Exercícios de vestibulares

1.

O valor do determinante (𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )é:

a) 1.

b) cos 2x.

c) sen 2x.

d) tg 2x.

e) 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 – 𝑠𝑒𝑛²𝑥

2.

Observe a matriz [3 + 𝑡 −4

3 𝑡 − 4]. Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3.

O valor do determinante ||

0 𝑙𝑜𝑔₃3 𝑙𝑜𝑔1 3 1 3

1 𝑙𝑜𝑔₃2 7 𝑙𝑜𝑔¹

3

2 7 0 𝑙𝑜𝑔₃8 1 𝑙𝑜𝑔₃2 43

|| é:

a) 0 b) 1 c) – 1 d) 3 e) 1/3

4.

Sabendo que p é um número real, considere a matriz 𝐴 = [𝑝 2

0 𝑝]e a sua transposta 𝐴^𝑇. Se 𝐴 + 𝐴^𝑇 é singular (não invertível), então:

a) p = 0 b) | p | = 1

5.

Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então os valores de c que tornam singular a matriz [1 1 1

1 9 𝑐 1 𝑐 3

]são:

a) 1 e 3.

b) 0 e 9.

c) –2 e 4.

d) –3 e 5.

e) –9 e –3.

6.

Se o determinante da matriz 𝐴 = (𝑥 2 1

1 −1 1

2𝑥 −1 3

) é nulo, então:

a) x = –3.

b) x = −⁷₄. c) x = –1.

d) x = 0.

e) x = ⁷₄

7.

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 3, 𝐴 = (1 𝑎 1

𝑏 1 𝑎

2 𝑏 2

)Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a:

a) 0 b) 2 c) 5 d) 10 e) 12

8.

Sendo |𝑥 𝑦

1 1| = 6, o valor de |3𝑥 + 1 8 3𝑦 + 1 8|é:

a) 6.

b) 8.

c) 24.

d) 128.

e) 144

9.

Considere a matriz 𝑀 = [^{-3 0}

4 5]. Os valores de K que tornam nulo o determinante da matriz 𝑀 – 𝐾 ∙ 𝐼,

sendo I a matriz identidade, são:

a) 0 e 4 b) 4 e 5 c) -3 e 5 d) -3 e 4 e) 0 e 5

10.

É dada a matriz 𝐴 = (𝑎 𝑏

−𝑏 𝑎)onde a e b são números reais. Se (0 1 3 5) . (𝑎

𝑏) = (2

22), então o determinante de A é igual a:

a) 3b + 4a.

b) 2b²+ a². c) b² + 5. d) 5a + 2.

e) 5a.

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Gabaritos

Exercícios de fixação

1. A

Temos 𝐴 = [1 2

2 4], então:

𝐷𝑒𝑡𝐴 = |1 2

2 4| = 1 ∙ 4 − 2 ∙ 2 = 4 − 4 = 0

2. B

Temos 𝐴 = [1 3

4 𝑐],então:

𝐷𝑒𝑡𝐴 = 0 → |1 3

4 𝑐| = 0 → 1 ∙ 𝑐 − 3 ∙ 4 = 0 → 𝑐 − 12 = 0 → 𝑐 = 12

3. C

Temos 𝐴 = [𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 ], então:

det 𝐴 = |𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑦 cos 𝑦 | = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos 𝑦 − [𝑠𝑒𝑛 𝑦 ∙ (− cos 𝑥)]

det 𝐴 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ cos 𝑦 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ∙ cos 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) 4. Temos 𝐵 = [1 0 0

2 3 4 1 1 2

], calculando o det 𝐵, temos:

det 𝐵 = |

1 0 0 2 3 4 1 1 2

| 1 2 1

0 3 1

= 1 ∙ 3 ∙ 2 + 0 ∙ 4 ∙ 1 + 0 ∙ 2 ∙ 1 − 2 ∙ 2 ∙ 0 − 1 ∙ 4 ∙ 1 − 1 ∙ 3 ∙ 0

= 6 + 0 + 0 − 0 − 4 − 0 = 6 − 4 = 2 5. D

Temos B = [1 2 0

1 4 2

5 10 𝑎

], portanto:

det 𝐵 = 0 → |

1 2 0

1 4 2

5 10 𝑎

| 1 1 5

2 4 10

= 0 → 4𝑎 + 20 + 0 − 2𝑎 − 20 − 0 = 0 → 2𝑎 = 0 → 𝑎 = 0

Exercícios de vestibulares

1. A

Calculando o determinante temos 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − (−𝑠𝑒𝑛²𝑥) = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑒𝑛²𝑥 = 1 (relação fundamental da trigonometria)

2. A

Tem-se que

|3 + 𝑡 −4

3 𝑡 − 4| = 0  (𝑡 + 3)(𝑡 − 4) + 12 = 0  t(t − 1) = 0

 t = 0 ou t = 1

Portanto, como 1>0, segue que a resposta é 1.

3. C

Calculando, temos

||

0 𝑙𝑜𝑔₃3 𝑙𝑜𝑔1 3

1 3 1 𝑙𝑜𝑔₃2 7 𝑙𝑜𝑔1

3

2 7 0 𝑙𝑜𝑔₃8 1 𝑙𝑜𝑔₃2 43

|| = |0 1 1 1 3 −3

0 4 5

| = 4 − 5 = −1

4. B

Tem-se que 𝐴 + 𝐴^𝑡= [𝑝 2

0 𝑝] + [𝑝 0

2 𝑝] = [2𝑝 2 2 2𝑝] Desse modo, como 𝐴 + 𝐴^𝑡 é singular, vem

|2𝑝 2

2 2𝑝| = 0  4𝑝²− 4 = 0  𝑝²= 1  |p| = 1 5. D

Calculando-se o determinante pela regra de Sarrus e igualando a 0:

27 + c + c − 9 − c² − 3 = 0

−c² + 2c + 15 = 0 c² − 2c − 15 = 0 c′ = −3

c" = 5

6. E

Aplicando a regra de Sarrus temos:

−3x + 4x − 1 + 2x + x − 6 = 0 x =7

4

7. D

Desde que 2 + 𝑎 = 𝑎 + 𝑏 + 1 = 𝑏 + 4, temos 𝑎 = 3 𝑒 𝑏 = 1. Logo, vem 𝑑𝑒𝑡𝐴 = |

1 3 1 1 1 3 2 1 2

| 1 1 2

3 1 1

𝑑𝑒𝑡𝐴 = (1 ∙ 1 ∙ 2) + (3 ∙ 3 ∙ 2) + (1 ∙ 1 ∙ 1) − [(3 ∙ 1 ∙ 2) + (1 ∙ 3 ∙ 1) + (1 ∙ 1 ∙ 2)]

= 2 + 18 + 1 − 6 − 3 − 2 = 10 8. E

|x y

1 1| = 6 → x − y = 6

|3x + 1 8

3y + 1 8| → 24x + 8 − 24y − 8 = 24(x − y) = 24 ∙ 6 = 144 9. C

Seja i a identidade de ordem 2 𝐾 ∙ 𝐼 = 𝐾 (1 0

0 1) = (𝐾 0 0 𝐾) 𝑀 − 𝐾 ∙ 𝐼 = (−3 − 𝐾 0

4 5 − 𝐾)

Para 𝑑𝑒𝑡 (𝑀 − 𝐾 ∙ 𝐼) = 0 (−3 − 𝐾)(5 − 𝐾) − 0 ∙ 4 = 0 (−3 − 𝐾)(5 − 𝐾) = 0

−3 − 𝑘 = 0 𝑜𝑢 5 − 𝑘 = 0 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑘 = −3 𝑜𝑢 𝑘 = 5

10. E (0 1

3 5) ∙ (a b) = (2

22)

( b

3a + 5b) = (2 22)

{ b = 2

3a + 5 ∙ 2 = 22 → 3a = 12 → a = 4

A = ( a b

−b a) = ( 4 2

−2 4) DetA = 20 = 5a