Números Reais
9.º Ano
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1- Operações em IR
5 - Intervalos de números reais
2 - Tarefa 4
4 - Tarefa 5
3 - Propriedades da relação > e < em IR
7 - Tarefa 6
6 - Interseção e reunião de intervalos
Operações em IR
Ao passar do
conjunto Q
para o
conjunto IR
as
regras
de cálculo e as
propriedades
das operações mantêm-se
validas.
Calcular uma soma
é comum às duas
parcelas da soma
Efetuar um produto
Nota:
2
7
7
3
(
3
2
)
7
5
7
5
7
2
5
3
7
2
3
5
7
6
35
7
5
5
7
Caso notável – Quadrado do binómio
Notas:
2
5
2
a
b
2
a
2
2
ab
b
2
2
2
2
2
5
5
2
2
10
2
25
2
10
27
2
22
Caso notável – diferença de quadrados
Notas:
2
2
b
a
2
2
2
)(
)
(
a
b
a
b
3
)(
2
3
)
2
(
2
2
3
2
2
3
1
Propriedade distributiva em relação à
adição
Propriedade distributiva em relação à
subtração
5
2
2
2
4
2
5
5
2
2
2
2
5
2
2
(
2
)
2
5
2
2
2
5
2
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
(
2
)
2
5
2
2
2
4
2
5
a < b é equivalente a b >
a
Observa
Propriedades de Relação > e
< em IR
Propriedade 1
4 é menor
que 7
7 é
maior
que 4
(
4 < 7
)
4 < 7 é equivalente a 7 > 4
Mediu-se a altura de três irmãos e sabe-se que:
• a Santiago é mais baixo do que a Maria;
• a Maria é mais baixa do que o
Rodrigo.
O que podes concluir sobre a medida da altura do Santiago
e do Rodrigo?
Resolução:
O Santiago é mais baixo do que o
Rodrigo.
O Rodrigo é mais alto do que o
•
a < b e b < c então a < c;
•
a > b e b >c então a > c
Propriedade 3
Pensa em três números, a, b e c que possam representar a
altura, em cm, dos três irmãos.
Verifica que, se a < b e b < c então a < c.
Por
exemplo: Santiago: 105 cm Maria: 150 cm Rodrigo: 160 cm
a =105 cm
b = 150 cm c = 160 cm
105 < 150 e 150< 160 então 105 <
160.
As relações “<“ e “<“ em IR gozam da propriedade
Considera a desigualdade 3 < 5
Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:
• adicionas a ambos os membros da desigualdade um número
positivo
• adicionas a ambos os membros da desigualdade um número
negativo
Por
exemplo: 3+2 < 5+2
5 < 7
3-2 < 5-2
1 < 3
•
a < b então a +c < b+c;
•
a > b então a +c > b+c,
com a, b e c números reais quaisquer.Propriedade 2
O sentido da desigualdade
mantêm-se!
O sentido da desigualdade
Considera a desigualdade 7 > 3
Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:
• Multiplicas a ambos os membros da desigualdade um número
positivo
Por
exemplo:
14 > 6
Propriedade 4
O sentido da desigualdade
mantêm-se!
2
3
2
7
.
0
se
,
então
b
ac
bc
c
a
Se
.
0
se
,
então
b
ac
bc
c
Considera a desigualdade 7 > 3
Verifica o que acontece ao sentido da desigualdade quando:
• multiplicas a ambos os membros da desigualdade um número
negativo
Propriedade 4
O sentido da desigualdade altera-se!
)
2
(
3
)
2
(
7
14
6
.
0
se
,
então
b
ac
bc
c
a
Se
.
0
se
,
então
b
ac
bc
c
Exemplo: “Valores aproximados”
Indicar um valor aproximado, por defeito e por excesso, de
com duas casas decimais.
Valor
aproximado por defeito
Valor
aproximado por
excesso Valor aproximado
por defeito
Valor aproximado por excesso
5
2
...
236067977
,
2
5
24
,
2
5
23
,
2
5
2
2
23
,
2
2
,
24
2
5
2
23
,
Intervalos de números
reais
Consideremos a seguinte equação
A equação tem uma única solução:
3
Conjunto solução
Representação na reta real
Lê-se meno
s infinit
o
Lê-se mais infinito
3
x
3
S
� �
Se numa
equação
substituirmos o
símbolo
= por
obtemos uma
inequação
.
Às equações e inequações chamamos
condições
.
Qual o
conjunto
definido pela condição
x > 3
?
A inequação x > 3 traduz a seguinte pergunta:
Quais são os
números reais maiores do que 3
?
A forma de responder à pergunta é usar intervalos:
é menor que …é maior que …
é menor ou igual a …
é maior ou igual a …
, , ou
Menos infinito é
um símbolo, não é um
número real.
Ou
A bola aberta significa que três
não pertence ao conjunto
X > 3
A bola abertacorresponde à posição do parênteses ].
(Intervalo aberto) S é o
conjunto solução
da condição.
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Diferentes formas de representar o
conjunto
Representação em
compreensão
Representação
geométrica
Representação em
intervalo
São três
representações diferentes
do mesmo
conjunto
de números
reais.
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
[
,
3
]
:
x
3
Qual o
conjunto
definido pela condição
?
A bola fechada corresponde à
posição do parênteses [.
(Intervalo fechado)
A bola fechada significa que três
pertence ao conjunto
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
3
x
[
,
3
[
Nota:
O conjunto de
todos os números reais, IR
, pode
representar-se pelo intervalo ou pela reta:
Não esquecer:
e
não
são números
reais
.
� �
0
[
,
]
�
�R
,
[
Interseção e reunião de
intervalos
1. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:
Interseção de intervalos
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
A interseção é o conjunto dos pontos da
reta que pertencem
aos dois intervalos,
ou seja, aqueles que
têm as duas cores.
Lê-se
“interseção”
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
2
,
2
]
]
1
,
3
]
]
1
,
2
]
2. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:
Interseção de intervalos
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
OuA
B
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
2
,
0
]
]
3
,
4
]
3. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
Interseção de intervalos
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
3
,
1
]
]
0
,
1
]
4. Determine a interseção de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
Interseção de intervalos
[
4
,
]
[1, [�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�Interseção de conjuntos e conjunção de
condições
Considere a condição e
Temos:
Condição Conjunto Representação na reta
À conjunção de condições corresponde a interseção de conjuntos.
Nota:
Lê-se “e”
2
x
x
4
� - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 �
2
x
[2, [4
x
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
� - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 �
[ 4 , ]
4
2
x
x
[
2
,
[
]
,
4
[
[
2
,
4
[
4
2
4
2
x
x
1. Determine a Reunião de dois intervalos A e B, sendo:
Reunião de intervalos
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
A reunião de dois intervalos é o conjunto
numérico constituído
pelos elementos
comuns e não comuns dos intervalos dados.
Lê-se “Reunião”
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
2
,
2
]
]
1
,
3
]
2. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
2
,
0
]
]
3
,
4
]
3. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�]
3
,
1
]
]
0
,
1
]
4. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
[
4
,
]
[1, [�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�5. Determine a reunião de dois intervalos A e B, sendo:
Na mesma reta real e a cores diferentes vamos representar os intervalos A e B.
A
B
A
B
�
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
�[
4
,
]
[1, [Reunião de conjuntos e disjunção de
condições
Considere a condição e
Temos:
Condição Conjunto Representação na reta
À disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos.
Lê-se “ou”
2
x
x
4
� - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 �
2
x
[2, [4
x
� �
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
� - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 �
[ 4 , ]
4 2
x
