Mecânica Geral – Estática cap04

(1)

Disciplina:

Mecânica Geral - Estática

Prof. Dr. Eng. Fernando Porto

IV. Propriedades Mecânicas de

Figuras Planas

(2)

Momentos de Primeira Ordem

• O momento de primeira ordem (ou momento

estático) de uma superfície plana em relação a

um “eixo” de seu plano é o somatório dos

produtos de seus elementos de área pelas

distâncias desses elementos ao eixo

(3)

Onde

dA = dx.dy

x; y: coordenadas do

elemento de área dA : coordenadas do centroide da figura plana

(4)

(5)

Atenção: O momento estático pode ser positivo ou negativo ou nulo.

(6)

Exemplo 1

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x :

(7)

Da definição de momento de primeira ordem:

Sabe-se que

dA = dx.dy

(8)

(9)

Exemplo 2

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x₁ :

(10)

dA = dx.dy

(11)

(12)

(13)

Exemplo 3

• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

(14)

dA = dx.dy

(15)

(16)

(17)

Exemplo 4

• Determinar o momento estático do triângulo em relação ao eixo

(18)

(19)

(20)

(21)

OBS.: Se eixo passar pelo CG da figura o momento estático da área referente à figura em relação a este eixo será nulo.

(22)

Exemplo 5

• Determinar os momentos de primeira ordem da superfície plana mostrada, em relação aos eixos x e y.

(23)

(24)

Retângulo Triângulo Semicírculo Círculo Componente Componente Retângulo Triângulo Semicírculo Círculo M_x = +506,2 x 103 M_y = +757,7 x 103

(25)

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(26)

Exercício 1

• Determine os

momentos de primeira ordem

(momento estático) em relação aos eixos x e y.

(27)

Exercício 2

• Determine os

30 mm

300 mm

240 mm 30 mm

(28)

Exercício 3

• Determine os

6 m _{6 m}

6 m 6 m

(29)

Exercício 4

• Determine os

6 m 8 m

8 m

12 m

(30)

Exercício 5

• Determine os momentos de primeira ordem (momento

estático) em

relação aos eixos x e y.

(31)

Exercício 6

• Determine os momentos de primeira ordem

20 m 16 m

(32)

Exercício 7

• Determine os

(33)

Exercício 8

• Determine os momentos de primeira ordem

r1 = 8 m r2 = 12 m

(34)

Exercício 9

• Determine os

(35)

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(36)

Momento de Inércia de Área

• O momento de inércia de área é uma

propriedade geométrica da seção transversal

de elementos estruturais.

• Fisicamente está relacionado com as tensões e

deformações que aparecem por flexão em um

elemento estrutural e, portanto, junto com as

propriedades do material determina a

resistência de um elemento estrutural sob

flexão.

(37)

Momento de Inércia de Área

• Momento de inércia de uma superfície plana

(por isto o nome Momento de Inércia de Área)

em relação a um “eixo” de seu plano é o

somatório dos produtos de seus elementos de

área pelo quadrado das distâncias desses

(38)

Atenção: O momento de inércia de área é sempre positivo.

(39)

Exemplo 1

• Determinar o

momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo x.

(40)

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

(41)

(42)

(43)

Exemplo 2

• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):

(44)

Da definição de momento de inércia de área:

Sabe-se que

dA = dx.dy

(45)

(46)

(47)

Exemplo 3

• Determinar o momento de inércia de área do triângulo em relação ao eixo x :

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

Momento Polar de Inércia

• Momento polar de inércia de uma superfície

plana em relação a um “ponto” de seu plano é

o somatório dos produtos de seus elementos

da área pelo quadrado de suas distâncias ao

(53)

(54)

(55)

Exemplo 4

• Calcular o momento

polar de inércia do retângulo em relação ao vértice 3.

(56)

Calculando-se J_p em relação ao vértice 3 tem-se

(57)

Momento Centrífugo

• Momento centrífugo de uma superfície plana

em relação a um “sistema de eixos

cartesianos” de seu plano é o somatório dos

produtos dos seus elementos de área pelas

distâncias desses elementos aos eixos

considerados.

O momento centrífugo ou produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo.

(58)

Exemplo 5

centrífugo do

retângulo em relação aos eixos x e y.

(59)

Sabe-se que

(60)

(61)

Exemplo 6

centrífugo do

retângulo em relação aos eixos x e y₁.

(62)

Sabe-se que

(63)

(64)

Exemplo 7

centrífugo do

retângulo em relação

(65)

Sabe-se que

(66)

(67)

Exemplo 8

• Calcular o momento centrífugo do triângulo em relação

(68)

(69)

Atenção: para a área dA, a coordenada x assume o valor do centroide da área dA.

(70)

(71)

(72)

(73)

Atenção!!!

• Se um dos eixos de referência for de simetria o

(74)

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(75)

Raio de Giração

• Considere uma superfície A com momento de inércia

(76)

Raio de Giração

• Imaginemos que concentramos essa superfície em

uma faixa estreita paralela ao eixo x.

(77)

Raio de Giração

• Para que a superfície de área A concentrada desse

modo tenha o mesmo momento de inércia em

relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância i_x do eixo x.

i_x J_x J_x

(78)

Raio de Giração

• A distância i_x é definida pela relação

i_x

J_x J_x

(79)

Raio de Giração

• A distância i_x é denominada de raio de giração da

superfície em relação ao eixo x.

• O raio de giração é sempre positivo.

• Unidade [L] L ® unidade de comprimento

i_x

(80)

Translação de Eixos

• Considere o momento de inércia J de uma superfície

A em relação a um eixo AA’.

ou Teorema dos Eixos Paralelos

(81)

Translação de Eixos

• Representando por y a distância entre um elemento

de superfície de área dA e AA’, escrevemos:

(82)

Translação de Eixos

• Vamos traçar agora um eixo BB’ paralelo a AA’,

passando pelo centroide C, representando por y’ a distância entre o eixo BB’ e dA. Escrevemos que:

Observe que d é a distância entre os eixos AA’ e BB’.

(83)

• Assim, temos

(84)

• A primeira integral representa o momento de inércia

J em relação ao eixo BB’.

• A segunda integral representa o momento de

primeira ordem (momento estático) da superfície em relação ao eixo BB’. Como este eixo passa pelo

centroide, esta integral tem valor nulo.

• _{A terceira integral é igual à área A.}

Para evitar confusões, esta distância d será chamada daqui por diante de d_y.

(85)

• Analogamente também tem-se

(86)

Exemplo 1

• Calcular o momento de inércia de um círculo em relação a um eixo diametral (eixo x).

(87)

D = 2.R

(88)

D = 2.R

dA = r.dq.dr

(89)

ou

(90)

Exemplo 2

• Calcular o momento de inércia polar do círculo em relação ao ponto “0” (centro geométrico).

Lembrando que:

(91)

(92)

Retângulo

(93)

̅

Círculo

Semicírculo

R R

(94)

R

Quarto de círculo

(95)

Exemplo 3

• Calcular o momento de inércia da figura plana em relação ao eixo x.

(96)

Figura geométrica 1

Figura geométrica 2

Atenção: para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x !

(97)

Exemplo 4

• Calcular o momento de inércia da figura plana em relação ao eixo x.

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

Atenção: também neste caso, para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x.

(98)

Figura geométrica 1 Figura geométrica 2

(99)

Exemplo 5

• Calcular o momento de inércia e raio de giração da figura plana em relação ao eixo x.

(100)

ƒ

‚

Área total: A = A₁ + A₂ + A₃ A = 6´24+48´8+6´48 = 816 mm2 Momento de inércia: Raio de giração: 4 ̅ 4 4 4

(101)

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Figuras Planas

(102)

Determine os momentos de inércia (a) J_x e (b) J_y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exemplo 1

eixos centroidais: eixos que passam pelo centroide. 1,0 mm 3,8 mm 0,5 mm 0,5 mm 3,6 mm 1,3 mm

(103)

• Localizar o centroide: A, mm2 mm mm mm3 _mm3 Fig 3: ¨ 1,3 x 1 Fig 2: ¨ 0,5 x 3,8 Fig 1: ¨ 3,5 x 0,5 S S S S

(104)

(105)

(106)

Determine o momento polar da área cinzenta mostrada na figura em relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.

(107)

• Determinação do centroide da seção:

=

-Fig.1

Fig.2

(108)

Obs.: Não há necessidade de cálculo para encontrar a

posição do centroide no eixo x, pois a figura é simétrica em relação ao eixo y.

(109)

• Momento polar:

J_p = J_x + J_y

• Figura 1:

y

(110)

• Momento polar:

J_p = J_x + J_y

• Figura 2:

y

(111)

• Figura completa:

(a) J_pO = 11,573 x 106 _mm4

• Agora esta resposta é usada para estimar J_pC .

=

-Fig.1

Fig.2

D 160 x 80 D 80 x 60

Atenção: este é o

momento polar em relação ao ponto O.

(112)

• Figura completa:

A = 4000 mm2

(b)

d = 30,667mm

(113)

Dois perfis L 6 x 4 x ½ (ou L152 x 102 x 12,7) são unidos por solda para formar a seção mostrada. Determine os momentos de

inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 3

Perfil L152 x 102 x 12,7

Atenção: As propriedades geométricas dos perfis comerciais são tabeladas.

152,4 mm

101,6 mm 12,7 mm

(114)

Propriedades geométricas do perfil L152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm2 J_x : 7,2 x 106 _mm4 _J y : 2,59 x 106 mm4 k_x : 48,5 mm k_y : 29,0 mm Centroide:

(115)

C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm2 J_x : 7,2 x 106 _mm4 J_y : 2,59 x 106 _mm4 y 76,2 mm 76,2 mm 25,9 mm 50,3 mm · 57,15 mm 57,15 mm Valores tabelados y_O x_O

(116)

C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm2 J_x : 7,2 x 106 _mm4 J_y : 2,59 x 106 _mm4 y_O x_O

(117)

C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm2 J_x : 7,2 x 106 _mm4 J_y : 2,59 x 106 _mm4 y_O x_O

(118)

C152 x 102 x 12,7: Área: 3060 mm2

J_x : 7,2 x 106 _mm4

(119)

Dois perfis C e duas chapas de aço são usadas para formar a

seção de coluna mostrada abaixo. Para b = 200mm, determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada

com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exemplo 4

(120)

Propriedades geométricas do perfil C250 x 22,8: Área: 2890 mm2 Altura: 254 mm Largura: 66,0 mm J_x : 28,0 x 106 _mm4 _J y : 0,945 x 106 mm4 k_x : 98,3 mm k_y : 18,1 mm Centroide: 16,1 mm

(121)

C250 x 22,8:

Área: 2.890 mm2

J_x : 28,0 x 106 _mm4

J_y : 0,945 x 106 _mm4

(122)

C250 x 22,8: Área: 2.890 mm2 J_x : 28,0 x 106 _mm4 J_y : 0,945 x 106 _mm4 Dado que b = 200mm : Perfis C250x22,8 Chapas 16,1 mm b

(123)

(124)

Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA

† Altura nominal em mm e massa em quilogramas. ‡ Altura, largura e espessura de chapa em mm.

(125)

Exercício 1

Determine o momento de inércia da área em azul com respeito (a) ao

eixo x e (b) ao eixo y quando a = 20mm.

(126)

Determine os momentos de inércia (a) J_x e (b) J_y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 2

(127)

Determine os momentos de inércia (a) J_x e (b) J_y da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.

Exercício 3

Ex.9-43 9th Ed. Resp.: (a) 191,3 mm4 _{(b) 75,2 mm}4

1,2 mm

5,0 mm

1,8 mm

0,9 mm

(128)

Dois perfis C200 x 17,1 são unidos por solda à um perfil W200 x 46,1 para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exercício 4

Resp.: J_xC = 105,72 x 106 _mm4 J_yC = 42,50 x 106 _mm4 k_x = 101,6 mm k_y = 64,52 mm C200 x 17,1 W200 x 46,1 Ex.9-50 9th Ed.

(129)

A resistência do perfil W é aumentada através da soldagem de um perfil C na sua flange superior. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.

Exercício 5

Resp.: J_xC = 745 x 106 _mm4 J_yC = 91,3 x 106 _mm4 Ex.9-51 9th Ed.

(130)

Dois perfis L76 x 76 x 6,4 são soldados a um perfil C250 x 22,8. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y respectivamente paralelo e perpendicular à linha pontilhada faceando o perfil C.

Exercício 6

Resp.:

J_xC = 3,55 x 106 _mm4

J_yC = 49,8 x 106 _mm4

(131)

Bibliografia

BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL;

EISENBERG, ELLIOT R.

Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010 ISBN: 8580550467

(132)

• _{Resistência dos Materiais}

• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,

E. Russell; Editora Pearson

Nakron Books, 3a. Ed., 2010

(133)

Bibliografia

MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA.

In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: Wikimedia Foundation, 2015. Disponível em:

<https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Momen to_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea&oldid=41583 402>. Acesso em: 15 abr. 2016.