Matemática

01

Elizabete Alves de Freitas C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O

Razão, proporção e

grandezas proporcionais

Coordenadora da Produção dos Materias

Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de Edição

Ary Sergio Braga Olinisky

Coordenadora de Revisão

Giovana Paiva de Oliveira

Design Gráfico

Ivana Lima

Diagramação

Ivana Lima

José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de Brito Vitor Gomes Pimentel

Arte e ilustração

Adauto Harley Carolina Costa Heinkel Huguenin

Revisão Tipográfica

Adriana Rodrigues Gomes

Design Instrucional

Janio Gustavo Barbosa

Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva

Margareth Pereira Dias

Revisão de Linguagem

Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Adaptação para o Módulo Matemático

Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Revisão Técnica

Rosilene Alves de Paiva

equipesedis | universidadedoriograndedonorte – ufrn

Projeto Gráfico

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Governo Federal Ministério da Educação

Você verá

por aqui...

Olá! Estamos iniciando os nossos estudos em Matemática. Em nosso material impresso, você verá alguns tópicos que lhe darão uma visão panorâmica de várias partes da Matemática, como a Geometria, a Álgebra e a Matemática Financeira, envolvidas em situações comuns da Segurança do Trabalho. Esse conteúdo será apresentado em 12 aulas.

Em nossa primeira aula, vamos abordar os conceitos de razão, proporção e de grandezas

proporcionais que aqui se apresentam traduzidos na linguagem matemática para que

possamos ampliá-los (inclusive estudando suas propriedades) e utilizá-los na resolução de algumas situações escritas nessa linguagem.

Os conceitos de razão e proporção são utilizados em vários aspectos de nosso cotidiano. Os exemplos aqui desenvolvidos abordarão alguns desses aspectos, porém você poderá enriquecer o seu estudo, pesquisando sobre outras situações, quer sejam na Matemática, quer sejam em outras áreas nas quais esses conhecimentos podem ser aplicados, a exemplo de áreas profissionais como a de Construção Civil.

O estudo das grandezas proporcionais é utilizado quando observamos duas grandezas relacionadas entre si, de modo que, quando uma sofre alguma alteração a outra também varia. De acordo com a lei que define a relação entre essas duas grandezas é que podemos descrevê-las como grandezas diretamente proporcionais ou

grandezas inversamente proporcionais.

Na aula 2, você estudará sobre regra de três simples e regra de três composta. Nas aulas 3 e 4, as diversas unidades de medidas. Já na aula 5, você terá a oportunidade de estudar sobre o cálculo de áreas de algumas figuras geométricas e, na aula 6, sobre cálculo de volume de alguns sólidos geométricos. Nas aulas 6 e 7, você verá alguns tópicos de Matemática Financeira, como fazer conversões monetárias, o cálculo de porcentagens, lucro ou prejuízo, acréscimos e descontos sucessivos, como também o cálculo de juros simples e juros compostos. E nas aulas 11 e 12, estudará um pouco sobre funções.

Para exercitar o seu raciocínio, disponibilizamos algumas atividades, ao longo do conteúdo, que servem para você aplicar imediatamente o conhecimento adquirido em cada bloco do assunto estudado. Também disponibilizamos para você uma série de exercícios ao final de todo o conteúdo, envolvendo questões de todo o estudo realizado até aqui, em um só bloco. Se, após resolver todas essas questões, você perceber que há necessidade de rever alguns dos itens estudados, refaça os exercícios nos quais sentiu mais dificuldade e, se for o caso, entre em contato com o tutor em seu pólo de apoio presencial. Ele lhe encaminhará para o atendimento pelo tutor a distância ou pelo professor da disciplina.

Objetivo

Entender o que é razão e proporção, aprendendo a identificar seus elementos.

Saber estimar um valor desconhecido de uma proporção, utilizando-se adequadamente de uma ou mais propriedades das proporções. Entender de que maneira são conceituadas grandezas em diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Aplicar as propriedades das grandezas proporcionais (sejam direta ou inversamente proporcionais) para a resolução de problemas.

   

É uma questão

de proporção?

Q

uando observamos uma imagem e dizemos que uma de suas partes é muito pequena em relação às outras, estamos dizendo que suas medidas não são proporcionais. Observe a desproporcionalidade entre as partes do corpo no quadro Abaporu, de Tarsila do Amaral, apresentada na Figura 1. Essa desproporcionalidade (intencional ou não) é percebida quando, instintivamente, comparamos as medidas dessa imagem com as de outra que tomamos como padrão ou, ainda, quando comparamos as medidas de uma das partes com as de outras partes dessa mesma imagem.

Na maioria dos desenhos de corpo humano, quando proporcionais, pode ser observado que a altura de um corpo adulto é, aproximadamente, sete vezes a altura da cabeça. Já em desenhos de corpos de crianças, a relação entre essas medidas pode variar. A altura total pode ser a de cinco cabeças ou menos, como vemos em alguns desenhos como o “Dexter” e “As Meninas Superpoderosas”, em que observamos que a altura total do corpo corresponde, aproximadamente, à altura de duas cabeças, em cada personagem.

Figura 1 – Abaporu, de Tarsila do Amaral

Fo nt e: < ht tp :/ /w w w .c ap iv ar i.s p. go v. br /i m ag es /c ul tu ra /o br as _t ar si la /a ba po ru .jp g> . A ce ss o em : 2 0 ju n. 2 0 0 8 .

Conhecendo

razão e proporção

Com as informações apresentadas no texto anterior, observarmos que, no desenho proporcional de um corpo humano, podemos estabelecer uma comparação entre as alturas da cabeça e do corpo.

Razão

Razão entre dois números

Nesse caso, para um corpo humano adulto, temos que a razão entre a altura da cabeça e a altura total do corpo é de 1 para 7, que será escrita como

1

7 ou 1:7 De uma forma geral, podemos dizer que

A razão do número a para o número b (diferente de zero) é o quociente

de a por b.

A razão entre a e b, escrita através de notação matemática, é

a

b ou a:b, onde b = 0.

A leitura dessa razão entre a e b é: ‘a para b’ ou ‘a está para b’.

Os números a e b são os termos da razão, na qual a é o antecedente, e b o

conseqüente (sendo b ≠ 0).

Na razão 1 : 7, o antecedente é 1 e o conseqüente é 7. 1

7

→ antecedente → conseqüente

Legal! Uma razão também pode ser simplificada. Olhe os exemplos 2 e 3.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

A razão de 2 para 5 é 2 5 ou 2:5.

Exemplo 

A razão de 4 para 20 é ₂₀4 = _{20 ÷ 4}4 ÷ 4 = 1₅ ou 1:5.

Exemplo 

A razão de 12 para 4 é 12₄ = 12 ÷ 4_{4 ÷ 4} = 3₁ = 3 .

Exemplo 

A razão entre 1 2 e 9 é 1 2 9 = 1 2 · 1 9 = 1 18 ou 1:18.

Exemplo 5

A razão entre 5 e 21 3 é 5 21 3 = 5₇ 3 = 5 ·3₇ = 5 1 · 3 7 = 15 7 ou 15:7.

Razão entre duas grandezas

A razão entre duas grandezas, dadas em certa ordem, é razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda (sendo esta última diferente de zero).

Se as grandezas que formam a razão são de uma mesma espécie, devemos apresentá-las em uma mesma unidade. Nesse caso, a razão é um número que não apresenta unidade de medida.

Observe os exemplos:

Exemplo 6

A razão entre 12 m e 15 m é 12 m 15 m = 12 ÷ 315 ÷ 3 = 4 5, ou seja, é 4 para 5.

Exemplo 7

A razão entre 20 cm e 3 m é 20 cm 3 m = 20 cm 300 cm = 300 ÷ 1020 ÷ 10 = 30 ÷ 22 ÷ 2 = 1 15 , ou seja, é 1 para 15.

Exemplo 8

A razão entre 15 minutos e 1 hora é 15 min 1 h = 15 min 60 min = 15 60 = 15 ÷ 360 ÷ 3 = 20 ÷ 55 ÷ 5 = 1 4 , ou seja, é 1 para 4.

Se as grandezas que formam uma razão não são de uma mesma espécie, a unidade dessa razão vai depender das unidades das grandezas do antecedente e do conseqüente. Que tal ver mais alguns exemplos?

Exemplo 9

Um torno de madeira, em 5 minutos, produz 3 000 rotações. A razão entre o número de rotações e o tempo gasto para produzi-las é

3 000 rotacoes

5 min = 600 rotacoes/min.

Responda aqui

Praticando...

Escala é uma das razões entre grandezas de mesma natureza. Velocidade média é uma das razões entre grandezas de naturezas diferentes.

1

Exemplo 10

O deslocamento diário de 140 quilômetros de casa para a fábrica onde trabalha, é percorrido por um operário em 2 horas. A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é .

140 km 2 h =

140

2 km/h = 70 km/h.

Podemos dizer que a velocidade média de seu meio de transporte nesse deslocamento é de 70 km/h.

1. Calcule a razão entre os números: a) 12 e 21

b) 15 e 105 c) 1,2 e 3 d) 3 e 18

5

2. Calcule a razão entre as seguintes

grandezas: a) 30 km e 3 l de álcool b) 120 mm e 4 dm c) 12 g e 4 cm3 d) 4 200 g e 60 kg e) 25 d e 1 me 10 d 25 d = 25 dias 1 m = 1 mês 10 d = 10 dias LEGENDA

Proporção

Em duas filiais de uma mesma empresa, nos serviços de escritório, foi diagnosticada a seguinte situação:

Filial

Têm curso de informática completo

Total de funcionários

A 6 8

B 9 12

A razão entre os funcionários que apresentam curso completo de informática e o número total de funcionários do escritório de cada filial é:

Filial A: 6₈ = 6 ÷ 2 8 ÷ 2 = 3 4 Filial B: 9 12 = 12 ÷ 39 ÷ 3 = 3 4

Quando simplificamos cada uma das razões, encontramos um mesmo número, logo podemos afirmar que 6

8 = 9

12 (ou 6 : 8 :: 9 : 12) . A leitura de cada uma dessas expressões é a mesma: “6 está para 8 assim como 9 está para 12”.

∈

 pertence

ℜ

* conjunto

dos números reais diferentes de zero Assim: a, b, c e d

são números reais diferentes de zero.

∈ ℜ *

Praticando...



Assim, dados os números 6, 8, 9 e 12, nesta ordem, podemos afirmar que a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos.

A igualdade entre duas razões recebe um nome especial. Dizemos que, nessa mesma ordem, os números 6, 8, 9 e 12 formam uma proporção.

De uma forma geral, dados quatro números reais e diferentes de zero (a, b, c e d), em certa

ordem, se a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja, se a

b = c

d, dizemos que os números a, b, c e d, nesta ordem, formam uma proporção.

Termos de uma proporção

Se a, b, c e d ∈ ℜ * e a

b = c

d, dizemos que: a, b, c e d são os termos da proporção; a e c são os antecedentes;

b e d são os conseqüentes;

a e d são os extremos da proporção; b e c são os meios da proporção.

    

1. Indique o antecedente e o conseqüente em cada uma das razões

a seguir: a) 12 para 7 b) 3:20 c) 51₃:12 5 d) 18 25

2. Destaque os extremos com e os meios com em cada proporção

a seguir: a) 10₂₇ = 30 81 b) 1 8 = 15 120 c) 3 11 = 15 55

Propriedade fundamental das proporções

Para verificar essa propriedade, devemos realizar algumas operações. Na proporção

a b =

c

d , podemos multiplicar os dois lados da igualdade pelo produto dos conseqüentes

das razões que a formam (b · d ou bd). Assim: a b · bd =

c d· bd.

Simplificando, temos: a · d = c · b ou a · d = b · c.

Diante desse resultado, podemos afirmar o seguinte:

Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicando a propriedade fundamental, podemos verificar se duas razões formam uma proporção ou não. É o que faremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 11

A expressão 2₇ = 18_{63 é uma proporção?} O produto dos extremos é: 2 . 63 = 126 .

O produto dos meios é: 7 . 18 = 126.

Podemos observar que 2 . 63 = 7 . 18

Resposta:

A expressão 2 7 =

18

Exemplo 1

A expressão 2₃ = 18

24 é uma proporção? O produto dos extremos é: 2 . 24 = 48.

O produto dos meios é: 3 . 18 = 54.

Observe que 2 . 24 ≠ 3 . 18, logo dizemos que 2_{3 }= 18₂₄.

Resposta:

A expressão 2 3 =

18

24 não é uma proporção.

Exemplo 1

Verifique se os números 11, 15, 22 e 30, não obrigatoriamente nessa ordem, formam uma proporção.

Fazendo o produto entre o menor e o maior desses números, temos: 11 . 30 = 330

Fazendo o produto entre os outros dois números, temos: 15 . 22 = 330 Assim: 11 . 30 = 15 . 22.

Comparando a igualdade anterior (11 . 30 = 15 . 22) e o que nos diz a propriedade fundamental das proporções (o produto dos extremos é igual ao produto dos meios), podemos considerar 11 e 30 como sendo os extremos e os outros dois números como os meios dessa proporção.

Dessa forma, a proporção 11 15 =

15

30 é uma das proporções que podem ser formadas por esses números.

Resposta: Uma das proporções que podemos formar com esses quatro números, nessa ordem, é 11

15 = 15 30.

Para descobrir se quatro números, em uma dada ordem, formam uma proporção, observe o que vem a seguir:

Recíproca da propriedade fundamental das proporções

Sejam a, b, c e d números reais e diferentes de zero, tais que o produto de dois deles

seja igual ao produto dos outros dois, isto é: a · d = b · c.

Dividindo cada membro da igualdade pelo produto b · d, temos que: ad

bd = bc bd

Após a simplificação, temos:

a b =

c d

Assim transformamos a igualdade entre dois produtos em uma proporção, como você também verá no exemplo a seguir.

Exemplo 1

Escreva a igualdade 3 . 35 = 7 . 15 em forma de proporção.

Dividindo ambos os membros da igualdade 3 . 35 = 7 . 15 pelo produto 3 . 35 . 15,

temos: 3 · 35 35 · 15 =

7 · 15 35 · 15.

Ao simplificarmos essa expressão, obtemos a proporção 3 15 =

7 35.

Cálculo de um termo desconhecido

Em uma proporção, é sempre possível determinar o valor de um dos termos, sendo os outros três conhecidos. Basta aplicar a propriedade fundamental das proporções. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 15

Quando aplicamos a propriedade fundamental na proporção 3 4 =

60

x , temos:

Exemplo 16

Na proporção 2

x =

15

120 , quando aplicamos a propriedade fundamental das proporções, temos: 15x = 120 . 2 ⇒ 15x = 240 ⇒ x = 240 ÷ 15 ⇒ x = 16.

Transformações

Transformar uma proporção é escrevê-la com os mesmos termos em outra ordem, ou seja, é encontrar proporções equivalentes à proporção dada, mudando apenas a ordem dos termos.

Considere a proporção 3₅ = 12

20 . Observe que a igualdade entre as razões se mantém quando: alternamos os extremos: 20 5 = 12 3 ⇒20 · 3 = 5 · 12 = 60; alternamos os meios: 3 12 = 5 20 ⇒3 · 20 = 12 · 5 = 60; invertemos os termos: 5₃ = 20 12 ⇒5 · 12 = 3 · 20; transpomos as razões: 12 20 = 3 5 ⇒12 · 5 = 20 · 3;    

Proporções Múltiplas

Observe as razões ₁₄6 e 15₃₅. Vemos, após a simplificação, que todas são iguais a 3

7. Logo, podemos escrever ₁₄6 = 15

35 = 3

Chamamos de proporção múltipla a toda proporção que envolve uma igualdade entre três razões ou mais. Uma proporção múltipla também pode ser chamada de

série de razões iguais.

De forma geral: a b = c d = . . . = m

n (onde a, b, c,..., n ∈ ℜ*) é uma proporção múltipla.

Propriedade fundamental das proporções múltiplas

Seja a proporção a

b = c

d = . . . = m

n. Considerando que cada uma dessas razões é igual

a um mesmo número k. Esse valor k é chamado de coeficiente de proporcionalidade

dessa proporção. Assim, temos: a b = k, c d = k, . . . m n = k

Quando isolamos o valor de cada antecedente, encontramos:

a = bk, c = dk,

...,

m = nk

Somando essas igualdades, membro a membro, temos:

a + c + . . . + m = bk + dk + . . . + nk a + c + . . . + m = k· (b + d + . . . + n)

Dividindo ambos os membros por (b +d + ... + n), temos: a + c + . . . + m b + d + . . . + n = k, ou seja, a + c + . . . + m b + d + . . . + n = a b = c d = . . . = m n = k

Assim, em uma proporção múltipla, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes assim como qualquer antecedente está para seu respectivo conseqüente.

Observe o exemplo a seguir:

Exemplo 17

1 5 = 3 15 = 5 25 = 6 30 ⇒ ⇒ _{5 + 15 + 25 + 30}1 + 3 + 5 + 6 = 1₅ ou ₁₅3 ou ₂₅5 ou ₃₀6 .

Observe que 1_{5 é o coeficiente de proporcionalidade dessa proporção, pois} todas as razões são iguais a 1₅.

Mais algumas propriedades das proporções

Considerando a proporçãoa

b = c

d, podemos observar as seguintes propriedades:

I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma proporção.

A soma dos antecedentes de uma proporção está para a soma dos seus conseqüentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo conseqüente.

a + c b + d = a c ou a + c b + d = c d

II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de uma proporção.

A diferença entre os antecedentes está para a diferença de seus conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conseqüente.

a− c b_{− d} = a b ou a− c b_{− d} = c d

III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo antecedente.

A soma dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a soma dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.

a + b a =

c + d c

A diferença dos termos da primeira razão está para seu antecedente, assim como a diferença dos termos da segunda razão está para seu respectivo antecedente.

a− b a =

c− d c

IV) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo conseqüente.

A soma entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a soma entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.

a + b a =

c + d c

A diferença entre os termos da primeira razão está para seu conseqüente, assim como a diferença entre os termos da segunda razão está para seu respectivo conseqüente.

a_{− b} b =

c_{− d} d

Veja a utilização dessas propriedades na resolução dos exemplos a seguir:

Exemplo 18

Determine dois números, sabendo que a sua soma é 54 e que a razão entre eles é 1:2. Número menor: x Número maior: y Dados do problema: x + y = 54 e x y = 1 2 Aplicando a Propriedade III na proporção x

y = 1 2, temos: x + y x = 1 + 2 1

Como x + y = 54 , temos:

54

x =

3 1

Aplicando a propriedade fundamental das proporções e resolvendo a equação resultante, temos:

3 · x = 54 · 1 ⇒ 3x = 54 ⇒ x = 54 ÷ 3 ⇒ x = 18

Para encontrar o valor de y basta substituir o valor de x em qualquer das equações. Substituindo x = 18 na equação x + y = 54, temos:

18 + y = 54 ⇒ y = 54 − 18 ⇒ y = 36 Resposta: Os números procurados são 18 e 36.

Exemplo 19

Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é igual a 12 e que o maior está para o menor assim como seis está para cinco.

Número maior: m Número menor: n Dados do problema: m – n = 12 e m n = 6 5

Aplicando a propriedade IV na proporção m_n = 6₅, temos:

m_{− n} m =

6 − 5 6

Substituindo o valor de m – n e resolvendo 6 – 5, temos: 12 m =

1 6 Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

Responda aqui

Praticando...



Ou seja, m = 72 .

Para calcular o valor de n, basta substituir o valor de m na equação m – n = 12.

Assim: 72 − n = 12 ⇒ −n = 12 − 72 ⇒ −n = −60

Multiplicando por (-1) toda a equação, encontramos: n = 60

Resposta: os números procurados são 72 e 60.

1. Verifique se é uma proporção a expressão ₁₃2 = 10_{65 .} . Calcule o valor de x na proporção x₅ = x− 3

2 .

. Aplicando as transformações, reescreva de 4 maneiras diferentes a

proporção 2

15 =

8 60 .

. Determine os valores de x, y e z, sabendo que x + y + z = 80 e x

2 = y 4 = z 14. 5. Se x – y = 18 e x y = 25 19 .

Grandezas proporcionais

Quando a variação de uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos que essas grandezas se relacionam. Como por exemplo, distância percorrida por um automóvel e a quantidade de combustível gasto ou a velocidade média e o tempo gasto para se fazer um determinado percurso. A variação em uma grandeza causa a variação na outra.

De acordo com a relação entre essas duas grandezas, elas podem ser classificadas em

grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

Segundo a NR 24, norma do Ministério do Trabalho e do Emprego que regula as condições sanitárias e de conforto nos locais de trabalho, cada empresa deve providenciar, por trabalhador, a quantidade de 60 litros de água para o consumo nas instalações sanitárias.

Em uma empresa que obedece a essas normas foi construída a seguinte tabela:

Tabela 1 – Representação da NR 24 implementada em uma empresa

Filial Filial A Filial B Filial C Filial D Matriz

Número de funcionários 12 18 20 30 50

Quantidade mínima

necessária de água (em litros) 720 1 080 1 200 1 800 3 000

Note que:

enquanto uma grandeza aumenta, a outra também aumenta;

cada uma das razões entre a quantidade de água mínima necessária (litros) e o número de funcionários de cada unidade da empresa é sempre igual a 60, pois

720 12 = 1 080 18 = 1 200 20 = 1 800 30 = 3 000 50 = 60.

Dizemos, então, que as seqüências de números (720, 1 080, 1 200, 1 800, 3 000) e (12, 18, 20, 30, 50) são diretamente proporcionais e que o coeficiente de proporcionalidade é 60.

Chamando dois valores quaisquer da primeira grandeza a’ e a”, e os valores

correspondentes na segunda grandeza de b’ e b” , podemos apresentar a

seguinte proporção:

a b =

a b

Alternando os extremos, obtemos:

b b =

a a

Ou seja, se duas grandezas são diretamente proporcionais, a razão entre dois valores de uma delas é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra.

As seqüências de números (reais e diferentes de zero) que representam essas grandezas são ditas diretamente proporcionais.

 

Exemplo 0

As seqüências (5, 6, 7) e (25, 30, 35) são diretamente proporcionais? Para responder a essa pergunta, temos que formar as razões entre os números correspondentes e compará-las.

As razões são: 5 25, 6 30 e 7 35. Todas iguais a 1 5.

Como todas as razões entre os termos correspondentes das seqüências são iguais, podemos afirmar que as seqüências acima são diretamente proporcionais.

Exemplo 1

Qual é o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências diretamente proporcionais (5, 8, 12) e (40, 64, 96)?

As razões formadas pelos elementos correspondentes de seqüências diretamente proporcionais são todas iguais a um mesmo número, e esse número é chamado de coeficiente de proporcionalidade.

Como 5 40 = 8 64 = 12 96 = 1

8, temos que o coeficiente de proporcionalidade é 1

8.

Grandezas inversamente proporcionais

Em um serviço de entregas, um veículo de uma transportadora percorre certa distância em 6 horas, a uma velocidade média de 40 km/h.

Se sua velocidade média aumentasse para 80 km/h, o tempo que se levaria para

percorrer a mesma distância seria reduzido para 3 horas. Ou seja:

Velocidade média (km/h) 40 80 Tempo de percurso (h) 6 3

aumenta diminui

Aumentando em duas vezes a velocidade média, o tempo gasto para fazer o mesmo percurso diminui, é reduzido à metade.

Enquanto uma grandeza aumenta, a outra diminui, ou seja, as grandezas variam em sentido contrário. As grandezas velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

As seqüências (40, 80) e (6, 3) são inversamente proporcionais. Nesse caso, a primeira seqüência é diretamente proporcional aos inversos dos elementos correspondentes na segunda seqüência. Ou seja, as seqüências (40, 80) e (1₆, 1

3) são diretamente proporcionais. Assim: 40₁ 6 = 80₁ 3

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 40 ·1₃ = 80 ·1₆ .

A proporção formada (já simplificada) é 40₃ = 80₆ . Que tal ver mais alguns exemplos?

Exemplo 

Qual o coeficiente de proporcionalidade entre as seqüências de números inversamente proporcionais (1, 2, 5) e (20, 10, 4)?

Como as seqüências são inversamente proporcionais, temos que: 1 1 20 = 2₂ 10 = 5₁ 4 = 20 .

Exemplo 

Sabendo que as seqüências (m, -4, 1) e (2, n, 4) são inversamente

proporcionais, determine os valores de m e n.

Considerando as seqüências inversamente proporcionais, temos:

m 1 2 = −₁4 n = 1₁ 4 .

A última razão dessa proporção múltipla é 1

1 4

= 1 ·4₁ = 4 , que é também o coeficiente de proporcionalidade.

Igualando cada proporção ao coeficiente de proporcionalidade, temos:

m 1 2 = 4 ⇒ m ·2₁ = 4 ⇒ 2m = 4 ⇒ m = 2 −4 1 n = 4 ⇒ −4 · n₁ = 4 ⇒ −4n = 4

Multiplicando por (-1), temos:

4n = – 4 ⇒ n = –1 Assim, temos:

Praticando...



Responda aqui

Indique se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais as seqüências de números:

a) ( 3, 5, 9) e (₁₅1 , 1

9, 1

5) b) (40, 80, 16) e (2, 1, 5)

Agora que concluiu todas as atividades, você pode testar seus conhecimentos na série de exercícios a seguir, em que são apresentadas questões envolvendo todo o conteúdo da presente aula.

Exercícios

1.Determine a razão entre os números a) 12 e 36 b) 60 e 15 c) 3 e 2,25 d) 1,05 e 3,5 e) 51 2 e 2 f) 4 e 31₅

. Verifi que se a razão 10₂₅ é igual à razão 2 10.

. Calcule a razão entre as seguintes grandezas: a) 15 m e 12 cm

b) 20 dam e 3 km c) 1 g e 5 kg d) 2 km e 0,5 m3

. Calcule o valor de x na proporção x₅ = 2 − x 3 .

5. Escreva a razão igual a 4 para 21, cujo antecedente seja igual a 12.

6. Escreva a proporção cujas razões são iguais a 5 para 7 e cujos

conseqüentes sejam 3 e 16.

7. Calcule x e y, sabendo que x + y = 300 e x

y =

9 11.

8. Complete a série B no quadro abaixo sabendo que as séries A e B são

diretamente proporcionais e o coefi ciente de proporcionalidade entre os seus elementos é 1₄.

A

B

4

6

12

Auto-avaliação

Leitura complementar

SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <www.somatematica.com.br>. Acesso em: 20 jun. 2008.

Na internet, você encontra alguns sites interessantes com conteúdo matemático de qualidade. Um deles é o Só Matemática, que apresenta o conteúdo por tópicos e também por nível de ensino (fundamental, médio e superior). Para acessar livremente todo o conteúdo, você precisa se cadastrar gratuitamente.

Nesta aula, você revisou os conceitos de razões, proporções e de grandezas proporcionais, como seus elementos e propriedades. Também viu alguns exemplos nos quais foram resolvidas algumas aplicações práticas utilizando esses conhecimentos.

Atenção! Se você sentiu dificuldade na resolução de alguma atividade ou exercício, releia esse fascículo e procure refazer seus cálculos. Se você não tem mais dúvida, responda agora a esta auto-avaliação:

Escreva o conceito de razão.

Dê um exemplo de razão e indique o antecedente e o conseqüente. Constr ua uma proporção que tenha coeficiente de proporcionalidade 0,5.

Como você classifica as grandezas número de dias gastos e o

número de operários empregados para a construção de uma casa:

diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? Por quê? Dê um exemplo de grandezas diretamente proporcionais e um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.

1.

.

.

.

Para Consulta

Razão:

a:b ou a_b (lê-se: a está para b), onde a ∈ ℜ e b ∈ ℜ*_. Termos da Razão:

Considerando a razão a

b, a é o antecedente e b é o conseqüente.

Proporção:

É a igualdade entre duas razões. Por exemplo: a

b = c

d, onde a, b, c e d

são números reais diferentes de zero.

Propriedade fundamental das proporções:

Considerando a proporção a

b = c

d, temos que a · d = b · c, ou seja, que ‘em

uma proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios’.

Recíproca da Propriedade Fundamental das Proporções

Considere a, b, c e d, números reais diferentes de zero. Se a . d = b . c,

temos que ad bd = bc bd, ou seja, que a b = c d. Proporção múltipla: a b = c d = . . . = m n = k ⇒ ⇒ a + c + . . . + m b + d + . . . + n = a b = c d = . . . = m n = k

Outras propriedades das proporções:

I) Razão entre a soma dos antecedentes e a soma dos conseqüentes de uma proporção a + c b + d = a c ou a + c b + d = c d

II) Razão entre a diferença dos antecedentes e a diferença dos conseqüentes de uma proporção

a− c b− d = a b ou a− c b− d = c d

III) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e o respectivo antecedente a + c b + d = a c ou a + c b + d = c d

V) Razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma proporção e seu respectivo conseqüente

a + b b = c + d d ou a− b b = c− d d

Referências

CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e financeira fácil. 11. ed. São Paulo: Saraiva, 1996.

MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para concursos: mais de 1.500 aplicações. São Paulo: Atlas, 2003.

SOUZA, Maria Helena de; SPINELLI, Walter. Razões e proporções. In: ______. Matemática. São Paulo: Ática, 2000. p. 257-274. (Série, 6).