if
F
is
B
io
2010
Breve Lembrete das Leis de Newton
Enfatizar aqui: 2aLeique pode ser melhor entendida se a escrevermos como Ou seja, a aceleração de um corpo é resultado da
ação do resto do universo sobre ela
(ação que chamamos de Força F).
Além disso, a aceleração que resulta dessa ação, é inversamente proporcional à massa do corpo!
a
m
F
=
m
F
a
=
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2 T L M F =As dimensões incluem a “massa” e
de “força” completam o “nome” dos sistemas MKSe CGS
As unidades são newton (1N=1m•1kg/s2) dina (1dina=1cm•1g/s2)
0
0
=
⇒
=
a
F
A 1a Lei é conhecida como Lei da Inércia, e diz que se não há forças, não há aceleração:
A terceira é conhecida como Lei da Ação e Reação, e é muito importante, pois nos diz como calcular as forças em um sistema mais complexo:
As forças agem ao mesmo tempo e em separado, para cada par de corpos no universo, e para cada par essas forças são iguais em magnitude,
e “contrárias”: 2 , 1 1 , 2
F
F
=
−
Notem que as aceleraçõespodem ser
diferentes em magnitude, pois os corpos podem ter
massas diferentes ! 1 2 1 1 2 2 1 2
2
1
2
a
a
a
m
a
m
m
m
=
−
=
⇒
=
1 , 2F
2 , 1F
além disso,para quase todas as interações, existe uma mesma “linha de ação” das forças, que é aquela que
liga os dois corpos.
1
m
2m
19Mecânica: Dinâmica
if
F
is
B
io
2010
Vejam que no caso de 3 corpos, cada qual sofre ação de 2 forças; se fossem n corpos, cada um sofreria ação de (n-1) forças, e cada uma poderia ter uma direção diferente...
É preciso lidar com a direcionalidade das ações entre os corpos:
Vetor
•Ente matemático definido (no espaço 3D) por um módulo, uma direção, e um sentido (de O para P )
•Não tem ponto de aplicação
O
P
a
=
a
′
•É definida a SOMA de vetores pela
regra do paralelogramo
a
b
a
b
b
a
+
=
+
)
(
)
(
a
b
a
a
b
b
−
−
=
−
=
−
+
•É definida a Multiplicaçãode vetor por escalar (como no caso do negativo do vetor)
a
a
=
20a
−
a
a
if
F
is
B
io
2010
•Produto escalar de 2 vetores
é um escalar, só definível para
pares de vetores
(vamos usar em Física logo mais) existem outros tipos de produto entre vetores, mas que não usaremos agora... ver apêndice A
b
a
α
21com essas operações entre números e vetores, podemos definir um conceito essencial em Física, que é o
Sistema de Coordenadas
Podemos escolher no plano •dois vetores
(ou 3, no espaço 3D) •ortogonais entre si, •de módulo unitário
versores
Com isso, contruir um
sistema de eixos, paralelos aos versores
e para qualquer vetor, decompô-lo em Coordenadas
através do produto escalar e da regra do paralelogramo
y
x
ˆ
ˆ
XR
YR
x
R
R
X=
X⋅
ˆ
Y XR
R
R
=
+
y
R
R
Y=
Y⋅
ˆ
x
y
α
α
α
Rsen
y
R
R
R
x
R
R
Y X=
⋅
=
=
⋅
=
cos
Y XR
R
R
=
+
x
y
z
O
P
R
O movimento do ponto P pode ser representado pelo vetor posição Isso é ideal para descrever o movimento dos corpos, e portanto ideal para a
Mecânica!
Pergunta: Por quê a Física
if
F
is
B
io
2010
Resposta 1:
O produto momento linear ou “momento” de um corpo é muito importante em Mecânica.
Notem que
Se a massa do corpo for constante, vemos que a derivada temporal do momento é a força que atua sobre o corpo
Suponham um sistema de N partículas que interagem umas com as outras, mas não interagem com nenhum outro corpo fora do sistema; chamamos a isso um
sistema isolado
(ou “universo”).Podemos definir o Momento Total do sistema como a soma
22
A Lei de Conservação do Momento afirma o fato experimental que, em tal sistema, o Momento Total se conserva (é constante no tempo):
As Leis de Newton podem então ser colocadas de forma mais geral, em termos do Momento Linear de cada partícula no conjunto de N:
if
F
is
B
io
2010
Exemplos de fácil verificação podem ser montados em uma mesa
de bilhar:
No choque de duas bolas de bilhar o desenvolvimento da ação é previsível, ou seja, se soubermos as condições iniciais (massas e velecidades das duas bolas) saberemos o que vem depois, as condições finais.
Começamos pelo momento inicial total, que pode ser obtido da soma vetorial
Decompomos cada vetor nas suas componentes, somamos em cada eixo e obtemos as componentes do vetor soma;
somamos vetorialmente e chegamos ao resultado:
Precisamos do impulso transmitido, que depende da posição exata de uma bola em relação à outra no momento do choque, para saber o momento individual de cada bola depois do choque;
mas se soubermos o momento de uma delas, como o momento total agora se conserva
(sistema isolado)
saberemos o momento da segunda bola:
Essa lei não pode ser formulada ou utilizada sem a figura do VETOR
if
F
is
B
io
2010
Exemplos de fácil verificação podem ser montados em uma mesa
de bilhar:
Todos sabemos por experiência o que acontecerá
à bola de bilhar que se choca com uma borda (“parede”) da mesa: a bola vinha em linha reta em direção à borda, e ao se chocar muda de direção de forma previsível.
Para “prever” o resultado montamos um sistema de coordenadas e “descrevemos vetorialmente” o processo inicial (antes do choque):
Associamos um eixo à direção da borda mesa, e um eixo perperdicular a ele completa o sistema de
coordenadas; Agora decompomos o vetor momento linear da bola de bilhar (antes do choque) em suas componentes:
Notamos que na direção (paralela à borda da mesa) não há nenhumimpulso
sobre a bola, portantoo momento naquela direção se conserva
mas na direção perpendicular o impulso do choque é tal que inverte o sentido daquela componente do momento
Podemos agora juntar tudo e “montar” de novo o momento final
24
Estranho… o momento total mudou? É que não estamos considerando o efeito sobre a mesa, que não se move… pois
•em primeiro lugar tem já massa muito maior •em segundo lugar estápresa ao solo,
if
F
is
B
io
2010
Voltamos ao caso da queda livre de um corpo perto da superfície da Terra, mesmo experimentador, mas agora em um veículo que se move
com velocidade constante em relação ao solo:
)
(
t
gt
v
=
−
0 22
1
)
(
t
gt
y
y
=
−
+
massa m
Experiência indistinguível dentro ou fora do veículo,
mas resultados diferentes para observadores diferentes ?
As leis da Física devem respeitar a experiência,
encontrar o que é comum às duas tabelas! A lei que descreve o movimento
é a mesma, no solo ou naquele veículo!
x′
x
O mesmo hobbit agora está medindo tudo, mas de um sistema de referências
fixo no solo:
as tabelas agora são diferentes, pois
x varia com o tempo... assim, em módulo A tabela que o experimentador constrói, dentro do veículo, é exatamente igual àquela que ele havia fornecido ao hobbit, quando a experiência havia sido feita no solo, e leva a:
y’
(vertical
ixa ao solo)
y
vertical
local)
y
g
t
a
(
)
=
−
ˆ
25Resposta 2
a única quantidade que é a mesma nos dois casos é a
aceleração
(2a derivada)if
F
is
B
io
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Aceleração vetorial:
mesmo conceito, aplicado ao espaço 3D: trajetória da partícula deve ser colocada em termos dos versores (eixos)e do sistema de coordenadas
(origem e unidades correspondentes)
“tangente à curva”
velocidade também muda? mesmo que seja “só” de direção?
aceleração vetorial
if
F
is
B
io
2010
( )
21,2( )
1,2 2 1 ) 2 , 1 (ˆe
R
m
Gm
F
G=
G é uma constante universal, R(1,2) é a distância entre os dois corpos, e
é o versor na direção entre os corpos, no sentido de 1 para 2;ˆe( )1,2
As forças da natureza são de 4 tipos:
Gravitacional Eletromagnética Nuclear forte
Nuclear fraca não vamos tratar aqui
A Força Elétrica* é parte da eletromagnética, e tem a mesma forma da gravitacional, mas não depende da massa e sim da carga da partícula
A carga é uma qualidade que pode ser de dois tipos, ou não existir, e pode ser medida e trabalhada como se fosse positiva, negativa ou nula.
A única convenção é a escolha do + (ou -). A força entre corpos carregados
depende do sinal das cargas envolvidas, e é
atrativa se as cargas são de sinais opostos
repulsiva se são de mesmo sinal
*As primeiras experiências “modernas” com a eletricidade estática datam do século XVII, e as hipóteses não conseguiam
sistematizar os resultados, o que foi conseguido só no século XIX (ver as sedes indicadas na sede desta disciplina na Web)
( )21,2 ( )1,2 2 1 ) 2 , 1 (
ˆe
R
q
Kq
F
E=
−
0 2 1q < qNotem que à medida que se desenrola a interação entre dois corpos, a força entre eles (e sobre cada um deles) varia!
A gravidade constante na superfície da Terra é uma aproximação (muito boa) se a distância percorrida pelo corpo é muuuitopequena em relação ao raio da Terra
27
(quando incluimos todos os corpos, e todas as forças, temos um “universo”) Na verdade a força gravitacional entre dois corpos não é constante, diminui à
medida que a distância entre os corpos aumenta; a força sentida pelo corpo 1 é:
if
F
is
B
io
2010
28Um conceito útil muitas vezes (como no caso de g) é o de
Força Externa
Pensem que, em um arranjo de corpos em interação, estamos interessados
em prever o movimento (em um dado instante)
de apenas um deles: Não há necessidade de incluir as forças
entre os demais corpos, somente as interações entre o corpo de interesse e os demais. à soma de todas as forças agindo sobre
ele chamamos
Força Externa
Já utilizamos esse conceito ao falar de Força Gravitacional nas proximidades da superfície terrestre: (a Terra não é considerada de forma explícita).
F
=
m
g
Ainda mais útil seria considerar qual seria a força sofrida por um corpo de prova
de massa unitária(no caso da interação gravitacional) ou um corpo de carga
unitária positiva(no caso da interação elétrica) :
falamos então de
Campo de Forças
r
r
GM
r
G
(
)
=
−
2ˆ
Por exemplo o campo gravitacional de um corpo de massa M situado na origem do sistema de coordenadas seria
Aqui introduzimos o versor radial , um vetor unitário que aponta da origem para a posição do ponto P, ou seja, acompanha a direção e o sentido do vetor posição do corpo de prova, apenas tem módulo unitário.
x z y
rˆ
r
No caso de a intensidadedo campo diminui conforme aumentaa distância ao centro; como o campo é atrativo, o sentido aponta do corpo para a origem, por isso temos a dependência com
G
rˆ
r
rˆ
−
if
F
is
B
io
2010
No caso do campo gravitacional, não é fácil produzir em laboratório campos muito variados, mas é fácil para o Campo Elétrico
q
F
E
=
Caso mais simples: uma carga puntiforme positiva +Q, estacionária; A força atuante na carga de prova é
semelhante na forma à gravitacional.
Entretanto, como cargas iguais se repelem, o campo aponta “para fora”, ou seja, colocando a carga +Q na origem das coordenadas o campo fica (repulsivo para a carga de prova),
e apontaria para dentro se a carga causadora do campo fosse negativa.
r
r
KQ
r
E
(
)
=
+
2ˆ
(Q q) (q Q) Q q Ee
R
KQ
q
F
2 , , ) , (=
−
ˆ
Tudo isso pode ser colocado graficamente
em termos de linhas de campo, que representam diretamente a direção e o sentido da força sofrida pela carga de prova.
A intensidade é representada pela densidade relativa de linhas em cada região: decai conforme aumenta a distância ao centro.
r
É razovavelmente fácil montar um sistema de cargas puntiformes, ou espalhadas uniformemente em alguma superfície, e conseguir um campo elétrico de características especiais
if
F
is
B
io
2010
Podemos notar que à medida que se distancia do dipolo, o campo diminui em intensidade, seja porque a distância às cargas aumenta, seja porque aumenta a proporção
entre o cancelamento (projeção x) e a soma (projeção z);
para pontos suficientemente afastados, no plano bissetor, o campo de dipolo pode ser aproximado por sendo r a distância
ao centro das duas cargas.
Um caso muito importante é o de um
Dipolo Elétrico
duas cargas puntiformes, de mesma magnitude mas de sinais contrários, a uma distância fixa uma da outra. A força elétrica sobre uma carga de prova é a soma vetorial das forças causadas pelas duas cargas separadamente.
Definindo o
momento de dipolo
dirigido da carga negativa para a positiva o campo de dipolo é antiparalelo ap
z
qd
p
=
ˆ
3r
p
E
≅
0
=
+
O campo em um ponto genérico do espaço não é simples, mas vamos nos concentrar no plano bissetor da linha que une os
centros de força: as componentes dos campos da carga positiva e negativa paralelas ao
plano bissetor se anulam
e o campo resultante é perpendicular ao plano.
Como ficaria o campo de duas cargas de mesmo sinal? e de uma linha ou um plano de
cargas de mesmo sinal?
if
F
is
B
io
2010
Existem também muitos modelos mecânicos de força externa variável,
compostos de sistemas, máquinas, que dependem de propriedades (quânticas...) de materiais. Um exemplo importante é a
Força Restauradora Linear
Um corpo em repouso na origem, que é forçado a se afastar por uma força ou agente externo ao sistema, mas que quando cessa essa ação, exista uma força sobre ele, do sistema, que tenda a trazê-lo de volta à origem (restaurar a situação inicial).
No caso ideal, o corpo ultrapassa a origem, e nunca mais para de oscilar!
A força depende da posição em relação a um ponto de equilíbrio (x=0):
( )
0 0 ⇒ = = F x x( )
0 0 ⇒ < > F x x( )
0 0 ⇒ > < F x x x x xEssa força é restauradora
linear
se a dependência com o deslocamento for linear:
kx
x
F
(
)
=
−
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2[ ][ ]
[ ]
[ ]
2T
M
k
L
k
T
L
M
F
=
=
⇒
=
Força Restauradora Linear
k é conhecida como constante elástica e tem dimensões de
if
F
is
B
io
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Este sistema é extremamente importante em Física, e é conhecido como
Oscilador Harmônico
do qual o melhor modelo mecânico é o sistema mola-massa dentro do limite elástico: 0
0
−
=
(
)
)
(
t
t
x
)
( t
Na figura, vemos uma mola sendo alongada de seu comprimento natural até o comprimento . dentro do limite elásticoa força que a mola exerce sobre a massa é restauradora e linear (Lei de Hooke):
0
kx
x
F
(
)
=
−
kx
x
dt
d
m
kx
ma
−
=
−
=
2 2Onde
x
é a elongação da mola, ou seja, pela lei de Newtonse quisermos chegar à função posição do corpo no tempo, precisamos no caso mais geral integrar a equação do movimento
0
0
2 2 2 2 2=
+
=
+
x
x
dt
d
kx
x
dt
d
m
ω
Vejam que a lei de Newton nos fornece o fundamental (a aceleração), onde substituímos m k = ω
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
2[ ]
2[ ]
1 2 1 ; = − = = = = T T T M k L k T L M Fω
ω tem dimensões de frequência 32if
F
is
B
io
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Neste caso particular, nós sabemos a resposta sem precisar integrar, pois temos
x
x
dt
d
2 2 2ω
−
=
a segunda derivada da função é o negativo da própria função, multiplicada por uma constante: reconhecemos esse comportamento!
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
sen(
)
(
)
cos(
)
(
t
x
t
a
t
A
t
a
t
A
t
v
t
A
t
x
2 2ω
ϕ
ω
ω
φ
ω
ω
φ
ω
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
A posição do corpo oscila senoidalmente,realiza um movimento periódico de período
f
T
2
2
π
π
ω
=
=
Caso típico: freqüência angular ω ∼1— 50 rad/s (radianos por segundo)freqüência f ∼ 0.1 — 10 Hz (hertz, segundo a menos um)
período T ∼10 — 0.1 s (segundos)
freqüência depende da mola e da massa
limite de
pequenos ângulos
θ
Outro exemplo:
Pêndulo Simples
)
cos(
)
(
θ
0ω
φ
θ
t
=
t
+
neste caso a freqüência independe da massa
valores típicos (laboratório) f ∼ 0.1 — 1 Hz
f g
2
π
ω
= = Outros exemplos? da formação de gotas na torneira
à vibração da molécula de amônia,
à corrente elétrica nas tomadas de casa... à...
φ
θ
0,
ângulo máximo, fase;
f
T
=
2
=
1
ω
π
A freqüência angular está relacionada à freqüência
(ciclos por unidade de tempo)
if
F
is
B
io
2010
Resumindo:Corpo sujeito a força restauradora linear movimento harmônico simples
φ
ω
)
(
A
t
x
)
cos(
)
(
t
=
A
ω
t
+
φ
x
coordenada do corpo (linear, angular...) amplitude do movimento frequência angular fase inicialA frequência é determinada pelo sistema em si (massa, constante da mola;
comprimento do pêndulo, gravidade local) A fase é arbitrária (momento em que o relógio é ligado)
...e a amplitude? Movimento harmônico: o corpo passa sempre
pelo mesmo ponto
com a mesma velocidade com a mesma aceleração... um monte de “mesmas”...
Quando alguma coisa é a “mesma” dizemos que é “conservada”
Importante destacar tudo o que é constante no tempo para o sistema: a amplitude está ligada à
Energia
e para definir essa quantidade voltamos à queda livre
