ESTIMATIVA DA DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DE RETENÇÃO DE ÁGUA EM UM SOLO UTILIZANDO KRIGAGEM INDICATRIZ

ESTIMATIVA DA DISTRIBUIÇÃO

ESPACIAL DE RETENÇÃO DE ÁGUA

EM UM SOLO UTILIZANDO

KRIGAGEM INDICATRIZ

Cassio Freitas Pereira de Almeida

Paulo Justiniano Ribeiro Junior

Relatório Técnico do Laboratório de Estatística

Departamento de Estatística

Universidade Federal do Paraná

Curitiba

1996

Sumário:

1- Descrição... 01

2 - Modelagem Probabilística e Estacionaridade... 04

3 - Descrição e Modelagem de Variabilidade Espacial... 06

4 - Krigagem... 11 4.1 - Krigagem Ordinária... 12 4.2 - Krigagem Indicatriz... 17 5 - Resultados... 25 6 - Referências Bibliográficas... 29 7- Anexos 7.1 Anexo 1... 31 7.2 Anexo 2 ... 34

1- Descrição:

O conhecimento da variabilidade espacial dos atributos físico-hídricos do solo é um dos fatores que pode viabilizar o manejo do solo e da água numa agricultura irrigada.

A preocupação com o tema não é recente como mostram os artigos de Waynick (1918 e 1919). Após um período onde a ênfase era nos delineamentos experimentais, onde normalmente utilizavam-se blocos como forma de “controlar” a variabilidade, os estudos que buscam compreender as relações de dependência espacial ganharam novo impulso com o desenvolvimento e formalização das técnicas geoestatísticas.

Notadamente a partir da década de 80 diversos trabalhos vem sendo publicados na área de solos, como por exemplo os de Vieira (1981 e 1983), Webster (1985) e a publicação Geoderma: an International Journal of Soil Science onde o v. 62 (1994) dedicou-se exclusivamente ao tema.

Um experimento realizado e descrito por Moraes (1991) visou o estudo da heterogeneidade hidráulica de uma terra roxa estruturada onde foram verificadas as seguinte hipóteses: (1a.) há que se modificar o procedimento operacional corrente do funil de Haines e câmara de pressão de Richards para a obtenção da curva característica contemplando os vários tipos de problemas que ocorrem desde a coleta da amostra até a elaboração da curva; (2a.) o solo utilizado pode apresentar variabilidade que independentemente da metodologia utilizada, desde que uniforme durante as análises, deverá manifestar-se pela análise estatística e interpretação física dos fenômenos. Posteriormente os dados da variável densidade foram utilizados por Ribeiro Jr. (1995), no estudo da variabilidade espacial de parâmetros de solo apresentando e discutindo conceitos geoestatísticos como: análise descritiva espacial, variografia, krigagem ordinária e validação cruzada.

Este experimento será aqui descrito sucintamente, maiores detalhes podem ser encontrados em Moraes(1991).

Agricultura "Luiz de Queiroz" da Universidade de São Paulo, no município de Piracicaba, Estado de São Paulo. A área experimental possui um relevo suave, com solo classificado como Terra Roxa Estruturada Latossólica, com dimensões de 125m por 50m.

Nesta área foi tomada uma amostra sistemática de tamanho 250. Foram coletadas amostras de solo a uma profundidade de 25cm e com espaçamento regular de 5m resultando numa malha de pontos amostrados de 25 linhas por 10 colunas como mostra a Figura 1:

25• 50• 75• 100• 125• 150• 175• 200• 225• 250• 24• 49• 74• 99• 124• 149• 174• 199• 224• 249• 23• 48• 73• 98• 123• 148• 173• 198• 223• 248• 22• 47• 72• 97• 122• 147• 172• 197• 222• 247• 21• 46• 71• 96• 121• 146• 171• 196• 221• 456• 20• 45• 70• 95• 120• 145• 170• 195• 220• 245• 19• 44• 69• 94• 119• 144• 169• 194• 219• 244• 18• 43• 68• 93• 118• 143• 168• 193• 218• 243• 17• 42• 67• 92• 117• 142• 167• 192• 217• 242• 16• 41• 66• 91• 116• 141• 166• 191• 216• 241• 15• 40• 65• 90• 115• 140• 165• 190• 215• 240• 14• 39• 64• 89• 114• 139• 164• 189• 214• 239• 13• 38• 63• 88• 113• 138• 163• 188• 213• 238• 12• 37• 62• 87• 112• 137• 162• 187• 212• 237• 11• 36• 61• 86• 111• 136• 161• 186• 211• 236• 10• 35• 60• 85• 110• 135• 160• 185• 210• 235• 9• 34• 59• 84• 109• 134• 159• 184• 209• 234• 8• 33• 58• 83• 108• 133• 158• 183• 208• 233• 7• 32• 57• 82• 107• 132• 157• 182• 207• 232• 6• 31• 56• 81• 106• 131• 156• 181• 206• 231• 5• 30• 55• 80• 105• 130• 155• 180• 205• 230• 4• 29• 54• 79• 104• 129• 154• 179• 204• 229• 3• 28• 53• 78• 103• 128• 153• 178• 203• 228• 2• 27• 52• 77• 102• 127• 152• 177• 202• 227• 1• 26• 51• 76• 101• 126• 151• 176• 201• 226•

Figura 1: Representação da área experimental com os pontos amostrados.

Em cada ponto foram medidos os valores das seguintes variáveis: densidade, teor de água às tensões de 5, 10, 60, 100, 306, 816, 3060 e 15300 cm de coluna de água (cca).

Neste trabalho foram considerados os teores de água às tensões de 306 e 15300 cca relacionados com capacidade de campo e o ponto de murcha permanente respectivamente.

O objetivo é aplicar a metodologia geoestatística, em particular a krigagem indicatriz, para verificação da distribuição espacial para cada uma das variáveis obtendo-se mapas que representem os valores médios, probabilidades

de obtenção de um valor de umidade maior que uma determinado valor de referência e valores de umidade dado uma probabilidade fixada (quantis). Além disso, acrescentou-se de forma resumida os conceitos básicos de geoestatística. O capítulo 1 trata da modelagem probabilística e estacionaridade, o capítulo 2 da descrição e modelagem da estrutura de variabilidade espacial, capítulo 3 da krigagem ordinária e krigagem indicatriz e no capítulo 4 um exemplo completo de aplicação da krigagem indicatriz.

2- Modelagem Probabilística e Estacionaridade:

Seja uma região onde em certos pontos foram extraídas amostras e feitas medidas das variáveis mencionadas. Desta amostra resulta um conjunto de dados espacialmente distribuídos, ou seja, medidas de um atributo acompanhadas de suas coordenadas. Estas coordenadas permitem o cálculo de distâncias (euclidianas) entre os pontos observados.

Para cada ponto xi amostrado tem-se uma variável aleatória Z distinta, considera-se este conjunto de variáveis aleatórias um processo estocástico, descrito da forma:

{

Z(x ):x D

_i

_{∈ ⊂ ℜ}

d

}

, (1)

onde,

Z é a variável aleatória que varia continuamente em D;

x é a posição da variável, considerada fixa;

D é a região em estudo;

ℜd _{é o espaço d-dimensional (d=1, 2, 3 ou 4).}

Quando d=1 os dados estão em uma transição, para d=2 em um plano e para d=3 em um volume. Pode-se ainda considerar o tempo.

O conjunto de dados obtidos da amostragem mencionada é uma realização {z(xi):x ∈ ⊂ ℜD 2_{} do processo descrito em (1).}

Nota-se que o resultado da amostragem para cada variável aleatória é composto de uma única realização em cada ponto e portanto de cada variável, o que torna impossível qualquer tipo de inferência sobre este processo. Isto faz com que algum tipo de estacionaridade, condizente com o problema em questão, deva ser assumido, de forma a possibilitar estimação de ao menos os dois primeiros momentos da distribuição da variável aleatória, que em geral estão relacionados com as propriedades de interesse tais como: média, correlação, covariância e de semivariância.

A forma de estacionaridade usualmente assumida na análise geoestatística é a chamada hipótese intrínseca e é definida pela condições:

i)

E Z x

{

(

_{i h+}

)

−

Z x

( )

_i

}

= 0

, (2) ii)E Z x

{

[ ( _{i h+} )−Z x( )]_i 2

}

=₂

_γ

( )h

, (3)

onde:

γ(h) é a semivariância que deve ser independente da posição dos pontos, sendo função apenas da distância entre eles e que será discutida com mais detalhes posteriormente.

Esta hipótese é um tipo de estacionaridade dos incrementos, que é formulada sob a variável aleatória:

g(h) = [Z(x+h) - Z(x)],

ou seja, as diferenças entre as variáveis separadas pela distância ¨h¨.

Portanto na situação aqui considerada espera-se que os dados sejam uma realização de um processo estocástico ao menos intrinsecamente estacionário.

Existem situações mais gerais no que diz respeito a forma de estacionaridade que não serão discutidas aqui e que podem ser encontradas em Isaaks & Srisvastava (1989) e Cressie (1991).

3- Descrição e Modelagem da Variabilidade Espacial:

Assumida a estacionaridade (hipótese intrínseca) definida em (2) e (3) e considerando que a associação das variáveis em pontos distintos é maior a medida que se reduz a distância entre eles, o passo seguinte é descrever e modelar estas relações entre distâncias e associação espacial.

Um exemplo de modelo que descreve tal comportamento é dado na Figura 1, onde γ(h) é uma medida de dissimilaridade.

Figura 2: Representação da associação das variáveis em pontos distintos em função da distância que as separa.

Várias medidas se prestam a tal descrição tais como a autocovariância e autocorrelação, usuais na análise de séries temporais. Na abordagem geoestatística a medida normalmente utilizada é a semivariância. É importante notar que, ao contrário da covariância e correlação, a semivariância é uma medida de dissimilaridade, ou seja, é maior a medida que as variáveis estão menos associadas. Esta medida exige uma hipótese de estacionaridade menos restritiva em relação as outras medidas possíveis, como por exemplo a covariância, que exige estacionaridade de segunda ordem Ribeiro Jr. (1995). Portanto a semivariância pode ser utilizada em um maior número de situações sendo definida a partir de (3) por:

[

]

γ

( )h =

E z x



( ) ( )

_i

z x

_j ,    

−

1 2 2 (4)

onde:

xi e xj indicam a posição dos pontos na região de estimação, separados por uma distância h.

Observa-se ainda na Figura 2 que a função inicia no valor γ(0), denominado efeito pepita ("nugget effect"). A função se estabiliza no valor γ(a) que denomina-se patamar total e sua respectiva distância ¨a¨ é denominada alcance ("range"). Denominase patamar (“sill”) a quantidade dada por: c= γ(a) -γ(0). Deve-se tomar cuidado no uso de programas computacionais verificando se requerem informações do patamar ou patamar total.

Em seu comportamento típico o valor do variograma aumenta a medida que aumenta a distância de separação entre os pontos, até estabilizar-se. Pode-se dizer então, que o grau de dissimilaridade mantém-Pode-se constante entre os pontos com distância maior ou igual ao alcance.

O estimador obtido pelo método dos momentos é dado por:

[

]

$ ( )

( )

(

)

( )

γ

h

N h

z x

i h

z x

i

=

1

∑

₊

−

2

2 . (5)

Para melhor esclarecimento, segue um exemplo simplificado da estimação da semivariância (exemplo 1).

Exemplo 1: Cálculo do semivariograma amostral.

Suponha o espaço D unidimensional onde foram amostrados cinco pontos como

segue: • z(x1)= 7 • z(x2)= 9 • z(x3)= 10 • z(x4)= 11 • z(x5)= 13 Figura 3: Amostras no espaço D

Considerando que as amostras foram tomadas em distâncias regulares de 1m, procede-se então os cálculos das semivariâncias, segundo o estimador dado por (5):

γ(1) = ½ *[ (7-9)2 _{+ (9-10)}2 _{+ (10-11)}2 _{+ ( 11-13)}2 _{]/ 4 = 1.25}

γ(2) = ½ *[ (7-10)2 _{+ (9-11)}2 _{+ ( 10-13)}2 _{]/ 3 = 3.67}

γ(3) = ½ *[ (7-11)2 _{+ (9-13)}2 _{]/ 2 = 8}

Fazendo o semivariograma tem-se:

Figura 4: Semivariograma estimado.

Em situações reais o variograma é obtido a partir de uma quantidade razoável de pontos, de maneira geral não menos que 50.

Na Figura 5 tem-se um exemplo de um semivariograma estimado para um conjunto de dados com número grande de observações num espaço bidimensional, onde observa-se as estimativas de semivariância para as distâncias possíveis no conjunto amostrado.

Figura 5 : Semivariograma estimado para um conjunto de dados hipotético.

No exemplo 1 estimou-se a semivariância nas distâncias de 1m, 2m e 3m, não sendo possível fazer o mesmo para distâncias intermediárias tal como 2.5m. Porém, muitas vezes necessita-se de um detalhamento maior da área amostrada, sendo necessário estimar pontos intermediários para proceder uma interpolação, o que exigirá o calculo de

γ

$

(h) para distâncias que podem não coincidir com as distâncias da amostra.

Para isso pode-se ajustar um modelo sobre os pontos do semivariograma estimado. Este modelo pode ser ajustado "a sentimento", ou seja, é selecionado e ajustado de modo que se sobreponha da melhor maneira possível aos pontos do semivariograma estimado. Cressie (1991) discute outros métodos de ajuste. O modelo ajustado pode posteriormente ser posto à prova através da validação cruzada ,discutida em Davis (1987). A Figura 6 mostra um modelo ajustado para o semivariograma da Figura 5.

Figura 6: Modelo ajustado sob um semivariograma estimado.

Os modelos para o variograma devem ser monótonos não decrescentes e positivo definidos. Outras condições são citadas por Ribeiro Jr. (1995).

Os modelos mais comumente disponíveis nos ¨softwares¨ e na literatura são: Gaussiano, Esférico, Exponencial e Linear. Suas expressões podem ser encontradas em Isaaks & Srisvastava (1989).

O fenômeno estudado pode ou não apresentar estruturas de variabilidade espacial diferentes conforme a direção tomada dentro da área. Estas diferenças podem ser percebidas comparando os semivariogramas estimados para varias direções. Quando esta estrutura de dependência espacial é a mesma para todas as direções ( ou seja, h é considerado como escalar), o fenômeno é dito isotrópico, caso contrário considera-se h um vetor e o fenômeno é dito anisotrópico.

Os casos de anisotropia devem ser considerados na estimação das semivariâncias e ajuste do modelo, o que acarreta em modelos com mais parâmetros conforme discutido em Ribeiro Jr.(1995).

A etapa de ajuste do modelo de semivariograma é de grande importância e pode influenciar resultados posteriores. Deve-se portanto, ter muita cautela verificando todas as possibilidades de ajuste para que o modelo ajustado escolhido se aproxime ao máximo do fenômeno real e consequentemente estimativas a serem feitas sejam mais próximas da realidade.

4 - KRIGAGEM:

Na maioria das vezes o interesse da análise não se limita a obtenção de um modelo de dependência espacial, desejando-se também predizer valores em pontos não amostrados. O interesse, pode ser em um ou mais pontos específicos da área ou obter uma malha de pontos interpolados que permitam visualizar o comportamento da variável na região através de um mapa de isolinhas ou desenho de uma superfície. Para se obter este maior detalhamento da área em estudo é necessário um interpolador.

Entre os muitos métodos de interpolação existentes pode-se citar: método poligonal, triangulação, médias locais das amostras e inverso do quadrado das distâncias. De modo geral estes interpoladores citados são simples e de cálculo relativamente fácil. Por outro lado, suas principais limitações são:

poligonal - estimativas locais descontínuas.

inverso do quadrado das distâncias - não considera a anisotropia, não limita a vizinhança, não considera a configuração da vizinhança.

triangulação - não considera a anisotropia.

médias locais - sensível a concentração de valores e não considera a distância entre as amostras e o ponto a ser estimado.

A proposta geoestatística de interpolação é conhecida como krigagem. Este interpolador pondera os vizinhos do ponto a ser estimado obedecendo os critérios de não tendenciosidade e mínima variância. Existem diversos tipos de krigagem: a simples, ordinária, universal, indicadora, probabilística, etc.

Para o entendimento deste interpolador proposto será inicialmente abordado em 4.1 a krigagem ordinária e no item 4.2 a krigagem indicatriz que é o objetivo principal deste trabalho.

4.1 - Krigagem Ordinária:

Considerando-se a Figura 7 onde na região D contida no espaço ℜ2

define-se o processo espacial:

{

Z x x

( ):

_i

∈ ⊂ ℜ

D

2

}

, (6)

onde em n pontos xi são feitas medidas de uma variável Z. Tem-se então, uma amostra de variáveis aleatórias espacialmente dependentes (ou seja, uma realização de (6))

{

z x x

( ):

_i

∈ ⊂ ℜ

D

2

}

.

Figura 7: Variáveis amostradas no espaço D

Deseja-se então estimar Z(x0) que é um valor desconhecido para determinada localização contida na região D.

Considera-se o estimador:

$( )

( )

Z x

₀

= ∑

λ

_{iz xi}

, (7)

função linear dos pontos conhecidos e onde os λi’s dados pela krigagem são ponderadores distintos dos demais de outros interpoladores usuais mencionados anteriormente. Distintos porque são proporcionais às “distâncias estatísticas”, significando que, além de ponderar pelas distâncias euclidianas entre o ponto a ser estimado e os demais pontos conhecidos, incorporam também a estrutura de variabilidade na região de estimação. Salienta-se ainda que as distâncias

consideradas não são somente as distâncias entre o ponto a ser predito e os vizinhos, mas também, as distâncias entre vizinhos. Exemplificando, suponha a situações representadas pelas Figuras 8a e 8b, assumindo fenômenos isotrópicos. • x2 • x1 • x2 • x3 • x4 • A • A • x3 • x4 • x1

Figura 8 a e b : Diferentes configurações de vizinhança.

É razoável que para a Figura 8a os pesos de cada ponto sejam semelhantes, uma vez que estão aproximadamente a mesma distância do ponto A e entre si. Na Figura 8b, nota-se um agrupamento de dados. Neste caso é razoável que o peso de x1 seja maior que os pesos de x2, x3 e x4, pois estes dados agrupados trazem informações quase redundantes de uma mesma região.

Esta característica deste interpolador é denominada ¨declustering¨, devendo-se ao fato do preditor considerar uma medida de associação entre os pontos xi da vizinhança. Normalmente, a medida de associação utilizada é a semivariância, e daí a necessidade do semivariograma e do modelo ajustado.

Considerando que o modelo adotado para o semivariograma é correto e não apresenta erros de medida, deve-se então determinar os valores de λi que garantam as propriedades de mínima variância e não tendenciosidade.

[

]

E Z x

$( )

₀

−

Z x

( )

₀

=

0

(8)

o que implica em

λ

_i i

∑ = 1

. A variância de estimação é dada por :

[

] {

}

(

{

}

)

V a r Z x$ ( ₀)−Z x( ₀) = E [ $ (Z x₀)−Z x( ₀)]2 − E [ $ (Z x₀)−Z x( ₀)] 2,

onde o último termo é zero pela a condição (8).

A variância quando minimizada sujeita a restrição

λ

_i i

∑ = 1

e igualada a

zero, resulta em um sistema de equações do tipo:

(

)

(

)

i i i j i j i i x x x x $ $ $ , , λ γ µ γ λ ∑ ∑ + = =      ₁

que sob notação matricial pode ser escrito:

γ γ γ γ γ γ γ γ γ λ λ λ µ γ γ γ 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 , , , , , , , , , , , , . . . . . . . . . . . . . $ $ . . . $ $ . . . n n n n n n _n n                                 =                

Assim, resolvendo o sistema tem-se a estimativa:

z x

_i

z x

_i

i

( )

₀

=

∑

λ

$ ( )

, onde o estimador é BLUE (¨Best Linear Umbiesed Estimator¨).

Detalhes das demonstrações envolvidas podem ser encontradas em Ribeiro Jr. (1995).

Através da krigagem ordinária obtém-se

$z x

( )

_o , que é uma estimativa do valor esperado da variável no ponto x0 , ou seja,

E Z x

[

( )

₀

]

.

Repetindo-se o processo de krigagem ordinária em vários pontos de modo a formar uma malha fina é possível obter um mapa das estimativas na região estudada, o que facilita a interpretação quanto ao comportamento espacial da variável.

Por estimar uma média este processo de krigagem implica numa suavização dos valores preditos para a região em estudo, além de não fornecer uma estimativa da dispersão destas variáveis (a variância de krigagem avalia apenas a configuração da vizinhança).

Exemplo 2: Seja o espaço D onde foram observados os valores conforme listados abaixo: x3 • x2 • • x0 • x4 x1 • • x5 D valores observados: z(x1)=0.90 z(x2)=0.75 z(x3)=0.70 z(x4)=0.65 z(x5)=0.25

Medindo-se as distâncias entre os pontos 1, 2, 3, 4, e 5 tem-se a matriz de distâncias: H= 0 1 0 2 4 2 6 2 05 1 0 0 1 6 2 4 2 5 2 4 1 6 0 15 2 6 2 6 2 4 15 0 1 6 2 05 2 5 2 6 1 6 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            

e procedendo da mesma forma em relação ao ponto 0 e os demais tem-se o vetor de distâncias: h’=

[

1.7, 1.4, 1.0, 1.0, 1.65

]

Considerando o modelo de variabilidade espacial: γ ( )h =0 11 0 46 , + , h (obs: γ(0)=0) . Monta-se o sistema de equações na forma matricial:

0 0 5 7 1 2 1 4 1 3 0 6 1 0 5 3 1 0 5 7 0 0 8 4 6 1 2 1 4 1 2 6 1 1 2 1 4 0 8 4 6 0 0 8 1 3 0 6 1 1 3 0 6 1 2 1 4 0 8 0 0 8 4 6 1 1 0 5 3 1 2 6 1 3 0 6 0 8 4 6 0 1 1 1 1 1 1 0 0 8 9 2 0 7 5 4 0 5 7 0 5 7 0 8 6 9 1 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * $ . . . . .

$

$

$

$

$

                                        =

λ

λ

λ

λ

λ

µ 1                   Resolvendo o sistema obtém-se:

i

$

. . . . .

λ

=                 0 1112 0 1497 0 3034 0 3164 0 1194 E a estimativa é dada por:

z x

_i

z x

_i

i

4.2- Krigagem Indicatriz:

Como a krigagem ordinária fornece apenas estimativa da esperança da variável Z em pontos desconhecidos, as possibilidades de interpretação e uso destes resultados são limitadas. A krigagem indicatriz é uma das alternativas que possibilita a estimação, não só da esperança, mas de toda a função de distribuição acumulada da variável em cada ponto.

A krigagem indicatriz baseia-se na transformação do conjunto de dados em variáveis indicadoras, mantendo-se os procedimentos básicos da krigagem ordinária.

Seja a transformação indicadora para um ponto de corte

z

c dada por:

{

I x z

_{( , )}

_{i c}

=

1

z x

( )

i

≤

z

c

0

se

c.c

, (9)

onde as realizações

z

(xi) i=1, 2, 3, ..., N das variáveis Z contínuas, espacialmente distribuídas e espacialmente dependentes, são transformadas em variáveis dicotômicas segundo (9).

O ponto de corte ou ”cutoff”, representado por

z

c, pode assumir valores contidos em [min

z

(xi) , max

z

(xi)], podendo ser selecionado segundo um critério do pesquisador.

O exemplo 3 mostra a transformação de um pequeno conjunto de dados hipotéticos.

Tem-se então a esperança e variância de cada variável indicadora:

{

}

[

]

[

]

[

]

E I x z

n

P Z x

z

n

P Z x

z

n

P Z x

z

n

F x z

n

i c i c i c i c Z i c

( , / ( )

*

( )

/ ( )

*

( )

/ ( )

( )

/ ( )

( , / ( ))

=

≤

+

>

=

=

≤

=

1

0

(10)

{

}

[

]

Var I x z

( ,

/

=

F

( ,

x z

/

) *

1

−

F

( ,

x z

/

)

Exemplo 3:

Observando-se afigura abaixo tem-se que as colunas x e y são as coordenadas, a coluna

z

são os valores observados e as colunas Ii são as variáveis transformadas segundo (9) utilizando-se os seguintes ¨cutoff’s¨:

z

1=0.232,

z

2=0.239,

z

3=0.2459,

z

4=0.24785 e

z

5=0.2527. x y z I1 I2 I3 I4 I5 0 0 0.2459 0 0 1 1 1 0 5 0.239 0 1 1 1 1 0 10 0.2338 0 1 1 1 1 0 15 0.2467 0 0 0 1 1 0 20 0.2541 0 0 0 0 0 0 25 0.2466 0 0 0 1 1

Portanto, como mostrado em (10), estima-se

E I x z

{

( ,

_{i c}

/

_{( )n}

}

e tem-se a estimativa de um ponto da função de distribuição acumulada condicional de Z em

z

c. Foi mencionado em 4.1 que a krigagem ordinária estima a esperança de uma

variável aleatória e portanto pode-se utilizar a krigagem ordinária de uma variável indicadora para estimar a função distribuição acumulada.

A abordagem probabilística é semelhante a de

Z

. Dada a região D contida

no espaço ℜ2 _{e definindo o processo espacial:}

{

I x z

( , ):

_{i c}

x

∈ ⊂ ℜ

D

2

}

, (12)

A hipótese intrínseca para a variável indicadora é definida por:

{

}

{

}

E I x

[ (

_{i h+}

)

−

I x

( )]

_i 2

=

₂

_γ

( )

h

₍₁₄₎

onde em n pontos xi tem-se os indicadores de uma variável Z para o ponto de corte

z

c. Para cada ¨cutoff¨ tem-se então, uma amostra de variáveis aleatórias

{

i x z

( , ):

_{i c}

x

∈ ⊂ ℜ

D

2

}

.

Figura 9: Variáveis Indicadoras das variáveis amostradas no espaço D.

Deseja-se estimar E{I(x0)/(n)} , valor indicador no ponto x0, dado o número ¨n¨ de observações consideradas na vizinhança definida.

Propõe-se o estimador: $(I x ) /_{( ) i I xi}( ) i

n

0 = ∑λ ,

onde os ponderadores λi devem ser estimados de modo a garantir as propriedades de mínima variância e não tendenciosidade, tal como na krigagem ordinária.

Assumindo a hipótese intrínseca, para a não tendenciosidade ser assegurada deve-se ter:

[

]

E I x

$( )

₀

−

I x

( )

₀

=

0

, (15)

que implica em

λ

_i i

[

]

{

} {

(

}

)

Var I x

$( ) ( )

₀

I x

₀

E I x

[ $( ) ( )]

₀

I x

₀ 2

E I x

[ $( ) ( )]

₀

I x

₀ ,

2

−

=

−

−

−

onde o último termo é nulo dada a condição (15).

Semelhante à krigagem ordinária, a variância quando minimizada, sujeita a restrição

λ

i

i

∑ = 1

, é igualada a zero, resultando em um sistema de equações do

tipo:

(

)

(

)

i i i j i j i i x x x x $ $ $ , , λ γ µ γ λ ∑ ∑ + = =      ₁

que sob notação matricial pode ser escrito:

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

λ

λ

λ

µ

γ

γ

γ

1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 0 2 0 0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

, , , , , , , , , , , ,

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

$

$

. . .

$

. . .

n n n n n n n n

































































=

































Resolvendo o sistema obtém-se os λi’s que são usados no estimador:

$( , / )

$ ( )

I x z n

_{c i}

i x

_i

i

0

=

∑

λ

,

note que

_{I x z}

_$

(

₀, _c/n

)

é um estimador BLUE e está estimando E I x z

[

( ,0 c / )n

]

.

Conforme comentado anteriormente, tal esperança é igual a função distribuição acumulada condicional para o ponto de corte

z

c ou seja:

[

]

$( , / ) $ ( ) /_{( )}

Assim, repetindo o processo para vários

z

_c

’s é possível estimar a função de distribuição acumulada condicional empírica em cada ponto da área conforme ilustra a Figura 10.

Figura 10: Função distribuição acumulada condicional

Estimando-se a função distribuição acumulada pode-se obter mais informações sobre a área em estudo, sendo possível construir mapas não só de médias, mas de outras estatísticas das variáveis na região de estimação tais como: medianas, quantis e probabilidades.

A Figura 11 mostra um fluxograma para o processo da krigagem indicatriz. Maiores detalhes podem ser obtidos em Journel (1983 e 1984), Kim (1988) e Isaaks & Srivastava (1989).

Modelar variograma

Tomar o j-ésimo cutoff Tomar o ponto k da malha

Montar e resolver o sistema de krigagem

Outro cutoff ?

Corrigir as relações de ordem e montar a ccdf

Outro ponto na malha?

Obter o mapa desejado

SIM

Definir a malha Definir outro cutoff?

Escolher cutoff z(c) e Transformar os dados

sim sim sim Krigagem Indicatriz (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

5 -

Resultados:

Com os resultados de teor de água dos dois conjuntos, tensão de 306 cca e 15300 cca, foram obtidas as variáveis indicadoras para nove pontos de corte (“cutoff’s”) conforme mostra a Tabela 1:

“cutoff” Tensão 306 cca 15300 cca zc1 0,232 0,17225 zc2 0,239 0,1797 zc3 0,2459 0,1871 zc4 0,24785 0,19315 zc5 0,2527 0,199 zc6 0,2579 0,2048 zc7 0,263 0,21165 zc8 0,26795 0,2178 zc9 0,2712 0,22605

Tabela 1: Relação dos valores dos pontos de corte

Os “cutoff’s” selecionados foram os decis exceto para os “cutoff’s” 1, 2, 3 e 9 da tensão 306 cca onde foram utilizados, respectivamente, os seguintes quantis 0.15, 0.25, 0.35 e 0.85.

Após a transformação foram construídos semivariogramas e ajustado os modelos isotrópicos listados na Tabela 2:

Estes procedimentos até este ponto equivalem aos passos 1, 2, 3 do fluxograma (Figura 11).

306 cca 15300 cca

“cutoff” _MODELO “cutoff” _MODELO

zc1 γ( h ) = 0.081 + 0.0465 sph (h/24.8) zc1 γ( h ) = 0.0747+0.0153 sph(h/31.33) zc2 γ( h ) = 0.095 + 0.0925 sph (h/18.8) zc2 γ( h ) = 0.1 + 0.06 exp (h/18.48) zc3 γ( h )= 0.142 + 0.0855 sph(h/16.578) zc3 γ( h ) = 0.12 + 0.09 sph (h/14.56) zc4 γ( h ) = 0.147 + 0.093 sph (h/17.2) zc4 γ( h ) = 0.123 + 0.117 sph (h/13.44) zc5 γ( h ) = 0.12 + 0.13 exp (3h/(18.4)) zc5 γ( h ) = 0.117 + 0.133 sph (h/13.44) zc6 γ( h ) = 0.16 + 0.08 sph (h/26.157) zc6 γ( h ) = 0.111 + 0.129 sph (h/11.76) zc7 γ( h ) = 0.139 + 0.071 sph (h/31.63) zc7 γ( h ) = 0.111 + 0.099 sph (h/11.2) zc8 γ( h ) = 0.11 + 0.05 sph (h/40.0) zc8 γ( h ) = 0.096 + 0.064 sph (h/11.76) zc9 γ( h ) = 0.78 + 0.0495 sph (h/40.0) zc9 γ( h ) = 0.0756 + 0.0144 sph (h/44.4) Tabela 2: Modelos ajustados para os nove “cutoff’s” dos dois conjuntos.

Os variogramas com os modelos ajustados estão no anexo 1. Nota-se que para cada um dos variogramas existe um valor definido para o patamar total correspondente a variância da variável indicadora. Exemplificando, caso tenha-se um semivariograma para uma variável indicatriz referente ao ““cutoff”” correspondente ao primeiro decil, a variância para esta variável será:

{

}

Var I x z( ,_{i c} /_{( )n} = 0 1 0 9, * , = 0 09 ,, que portanto deve ser o patamar total para o variograma.

Foram obtidas estimativas compondo uma malha com espaçamento de 0,5 m (passo 4 da Figura 11) e então procedeu-se a krigagem indicatriz utilizando-se as rotinas da GSLIB, mais especificamente o programa Ik3d (passos 5 a 11 da Figura 11) e posteriormente, com o programa Postik, foram gerados os mapas das Figuras 12, 13 e 14 (passo 12 da Figura 11). Para a tensão de 306 cca, os arquivos de parâmetros utilizados na GSLIB estão no anexo 2.

Os mapas da Figura 12 referem-se às médias e medianas para a duas tensões analisadas, 306 cca e 15300 cca. No mapa “12a” tem-se as esperanças estimadas com valores representados por escala de cores. Assim, a região fica mapeada em relação aos valores esperados de teor de água. Analogamente, o mapa “12c” traz o mesmo tipo de informação referente a tensão de 15300 cca. Os

mapas “12b” e “12d” mostram as medianas estimadas para as tensões 306 cca e 15300 cca respectivamente.

A Figura 13 apresenta os mapas de probabilidades do teor de água ser menor que um nível fixado. Nestes mapas a escala de cores representa uma probabilidade. Assim, pode-se determinar regiões de maior ou menor probabilidade que o teor de água seja menor que um valor de referência. Nos mapas da Figura 13 os valores de referência foram 0,19 e 0,25

Outra representação gráfica refere-se a Figura 14, que são os mapas de quantis para as duas tensões. Para os conjuntos estudados foram selecionados os quantis 0,2 e 0,8 que correspondem aos mapas “14a”, “14c “ e “14b”, “14d”. Nestes mapas a escala de cor refere-se a um quantil do teor de água que pode ser interpretado como segue: Para o mapa “14a”, a cor vermelha refere-se a teores de umidade em torno de 0,25. As regiões marcadas por esta cor no mapa tem probabilidade 0,2 de terem seu valor de umidade igual ou menor que o indicado na escala. Analogamente, no mapa “14b” , as regiões com cor vermelho tem probabilidade 0,8 de terem o teor de água menor ou igual ao valor indicado na escala.

Analisando de outro modo, os mapas “14a” e “14c”, que tem probabilidades fixadas em 0,2, demarcam as regiões com alta probabilidade (0,8) do teor de água ser maior ou igual ao indicado na escala. Nesta situação tem-se o ¨alto confiável¨. Isto significa uma probabilidade alta de se ter valores elevados de umidade. Para o quantil 0,8 a situação é inversa, são mapeados valores cuja a probabilidade da umidade estar abaixo deles é de 0,8. Neste caso tem-se o ¨baixo confiável”. De forma geral pode-se dizer que fixando quantis baixos tem-se confiança nos valores altos e para quantis alto tem-se confinaça valores baixos.

O processo de krigagem Indicatriz apresenta procedimentos e dificuldades adicionais: a obtenção de semivariogramas e ajustes de modelos em quantidade igual ao número de “cutoff’s” escolhidos, problemas de relação de ordem e tempo computacional. Por outro lado, os resultados obtidos são compensadores. A obtenção das distribuições acumuladas condicionais empíricas em cada ponto da região permite explorá-la com mapas como os das Figuras 12, 13 e 14, que dão

PR 306 cca

PR 15300 cca

MÉDIAS ESTIMADAS

MÉDIAS ESTIMADAS

MEDIANAS ESTIMADAS

MEDIANAS ESTIMADAS

Figura 12: Mapas do teor de água do solo.

a) Mapa das médias estimadas à tensão de 306 cca. b) Mapa das medianas estimadas à tensão de 306 cca. c) Mapa das médias estimadas à tensão de 15300 cca. d) Mapa das medianas estimadas à tensão de 15300 cca.

PR 306 cca

PR 15300 cca

P ( z(u) > 0.19 )

P ( z(u) > 0.19 )

P ( z(u) > 0.25 )

P ( z(u) > 0.25 )

Figura 13: Mapas de probabilidade para o teor de água do solo.

a) Mapa de probabilidade do teor de água ser maior que 0,19 à tensão de 306 cca ( P(z(u)>0.19). b) Mapa de probabilidade do teor de água ser maior que 0,25 à tensão de 306 cca ( P(z(u)>0.25). c) Mapa de probabilidade do teor de água ser maior que 0,19 à tensão de 15300 cca (P(z(u)>0.19).

PR 306 cca

PR 15300 cca

QUANTIL 0.2

QUANTIL 0.2

QUANTIL 0.8

QUANTIL 0.8

Figura 14: Mapas de quantis do teor de água do solo às tensões de 306cca e 15300cca. a) Mapa do quantil 0,2 do teor de água do solo á pressão 306 cca.

b) Mapa do quantil 0,8 do teor de água do solo á pressão 306 cca. c) Mapa do quantil 0,2 do teor de água do solo á pressão 15300 cca. d) Mapa do quantil 0,8 do teor de água do solo á pressão 15300 cca.

6- Referências Bibliográficas:

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DAVIS, B.M.. Uses and abuses of cross-validation in geostatistics. Mathematical Geology, New York, 19(3): 241-8, 1987.

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GEODERMA: AN INTERNATIONAL JOURNAL OF SOIL SCIENCE. Pedometrics-92:

Developments in Spatial Statistics for Soil Science, Special Issue. Netherlands: Elsevier, v. 62, n. 1-3,1994.

ISAAKS, E.H. & SRISVASTAVA, R.M.. An introduction to applied geostatistics. New York: Oxford University Press, 1989.

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JOURNEL, A.G.. A place on non-parametric geostatistics. In VERLY et. al., ed. Geostatistics for natural resources caracterization, vol.1, pag 307-55, Riedel, Dordrecht, Holland, 1984.

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RIBEIRO JR, P.J.. Métodos geoestatísticos no estudo variabilidade espacial de parâmetros físicos do solo. Piracicaba, 1985. 100p. Dissertaçào (Mestrado em Estatística) - Escola Superior de Agricultura "Luiz de Queiroz", USP.

VIEIRA, S.R.; NIELSEN, D.R.; BIGGAR, J.W.. Spatial varialility of field-measured infiltration rate. Soil Science Society of American Journal, Madison, 45(2): 1040-8, 1981.

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WAYNICK, D. D.. Variability in soil and its significance to past and future soil investigations. University of California Publications in Agricultural Sciences, vol. 3, No. 9, pp. 243-270, 1918.

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WEBSTER, R. Quantitative spatial analysis of soil in the field. Advances in Soil Science. New York, 3:1-70, 1985.

Anexo 1

VARIOGRAMAS INDICADORES PARA PRESSÃO 306 CCA CUTOFF 1 CUTOFF 2 CUTOFF 3 CUTOFF 4 CUTOFF 5 CUTOFF 6 CUTOFF 7 CUTOFF 8 CUTOFF 9

VARIOGRAMA INDICADOR PARA PRESSÃO 15300 CCA CUTOFF 1 CUTOFF 2 CUTOFF 3 CUTOFF 4 CUTOFF 5 CUTOFF 6 CUTOFF 7 CUTOFF 8 CUTOFF 9

Anexo 2

Parameters for IK3D *******************

START OF PARAMETERS:

306test.dat \data file

1 2 0 3 \column for x,y,z and variable direct.ik \direct indicator input (soft) -1.0e21 1.0e21 \data trimming limits 306sinkr.out \output file of kriging results 0 \debugging level: 0,1,2,3 ik3d.dbg \output file for debugging 91 0.0 0.5 \nx,xmn,xsiz

241 0.0 0.5 \ny,ymn,ysiz

1 0.0 5.0 \nz,zmn,zsiz

1 30 \min, max data for kriging 45.0 \maximum search radius 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \search: ang1,2,3,anis1,2 0 \max per octant (0-> not used) 0 2.5 \0=full IK, 1=Med IK (cutoff) 1 \0=SK, 1=OK

9 \number cutoffs

0.232 0.15 1 0.6353 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 24.8 0.3647 \it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.239 0.25 1 0.5067 \Cutoff, global cdf, nst, nugget 1 18.8 0.4933 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.2459 0.35 1 0.6242 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 16.578 0.3758 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.24785 0.40 1 0.6125 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 17.2 0.3875 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.2527 0.50 1 0.48 \cutoff, global cdf, nst, nugget 2 6.133 4 0.52 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.2579 0.60 1 0.6667 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 25.877 0.3333 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.263 0.70 1 0.6619 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 31.63 0.3381 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.26795 0.80 1 0.6875 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 40.0 0.3125 \ it, aa, cc

0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 \ ang1,ang2,ang3,anis1,2 0.2712 0.85 1 0.6118 \cutoff, global cdf, nst, nugget 1 40.00 0.3882 \ it, aa, cc

Parameters for POSTIK (obtenção das estimativas “e-type”) ********************

START OF PARAMETERS:

pr306in.out \input from IK3D 306ppet.out \output file

1 0.5 \output option, output parameter 9 \number of cutoffs

0.2284 0.23475 0.2428 0.24785 0.2527 0.2579 0.263 0.26795 0.2769 \the cutoffs 0 1 0.75 \volume support, type, varred

pr306 \global distribution 3 5 -1.0 1.0e21 \ivr, iwt, tmin, tmax

0.0 1.0 \minimum and maximum Z value 2 1.5 \lower tail: option, parameter 1 1.0 \middle : option, parameter 2 0.5 \upper tail: option, parameter 50 \maximum discretization