ME951 - Estatística e Probabilidade I

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ME951 - Estatística e Probabilidade I

Parte 14

Notas de aula de ME414 produzidas pelos professoresSamara Kiihl,Tatiana BenagliaeBenilton Carvalhomodificadas e

alteradas pela Profa. Larissa Avila Matos

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Fundamentos de Inferência

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Introdução

Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.

Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.

O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população. Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

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Introdução

O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população. Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

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Introdução

O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população.

Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

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Introdução

O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população.

Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?

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Inferência Estatística

Variável Aleatória: Característica numérica do resultado de um experimento.

População: todos os elementos ou resultados de um problema que está sendo estudado.

Amostra: qualquer subconjunto da população que contém os elementos que podem ser observados e é onde as quantidades de interesse podem ser medidas.

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Inferência Estatística

Parâmetros: Característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da população.

Estimador/Estatística: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um parâmetro de interesse na

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Estatística

SejaX1, ..., Xn uma amostra,T =f(X1, ..., Xn) é uma estatística.

X¯n= ¹_nPn

i=1Xi= _n¹(X1+...+Xn): a média amostral é uma estatística.

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}. X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

X_(i)é o i-ésimo valor da amostra ordenada.

Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico (estimativa).

(10)

Estatística

X¯n= ¹_nPn

i=1Xi= ¹_n(X1+...+Xn): a média amostral é uma estatística.

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}. X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

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Estatística

X¯n= ¹_nPn

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}.

X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

(12)

Estatística

X¯n= ¹_nPn

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}.

X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

(13)

Estatística

X¯n= ¹_nPn

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}.

X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

(14)

Estatística

X¯n= ¹_nPn

X₍₁₎=min{X1, ..., Xn}.

X_(n)=max{X1, ..., Xn}.

(15)

Estatística

Para que serve uma estatística? Para “estimar” os valores de uma distribuição, ou características de uma população.

População:

médiaP. variânciaP.

Amostra: médiaA=Pn

i=1 X_i

n “estima” a médiaP. variânciaA=Pn

i=1

(X_i−médiaA)²

n “estima” a variânciaP

(16)

Estatística

População:

Amostra: médiaA=Pn

i=1 X_i

i=1

(X_i−médiaA)²

(17)

Estatística

População:

Amostra:

médiaA=Pn i=1

X_i

i=1

(X_i−média_A)²

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Exemplo

Temos interesse em conhecer a média e variância das alturas dos brasileiros adultos. Sabemos que a distribuição das alturas pode ser representada por um modelo normal.

Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros adultos. Solução 2: Selecionar de forma aleatória algumas pessoas

(amostra), analisá-las e inferir propriedades para toda a população.

(19)

Exemplo

Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros adultos.

Solução 2: Selecionar de forma aleatória algumas pessoas

(20)

Exemplo

(21)

Exemplo

(22)

Exemplo

Sejaθa proporção de alunos na Unicamp que concorda com a presença da PM no campus.

Inviável perguntar para todos os estudantes: coleta-se uma amostra. Planejamento amostral: obter uma amostra aleatória simples de tamanhon= 100 alunos, sem reposição.

CadaXi,i= 1, ...,100, vai assumir o valor 1 se o alunoiconcorda com presença da PM, e 0 se não.

Estatística: T =^X¹^+...+X₁₀₀ ¹⁰⁰.

Uma vez que a coleta foi implementada,T assume um valor, por exemplo, 0.63, que será usado para estimarθ, ou seja, ˆθ= 0.63.

(23)

Exemplo

Inviável perguntar para todos os estudantes: coleta-se uma amostra.

Planejamento amostral: obter uma amostra aleatória simples de tamanhon= 100 alunos, sem reposição.

(24)

Exemplo

(25)

Exemplo

(26)

Exemplo

Estatística: T =^X¹^+...+X¹⁰⁰.

(27)

Exemplo

(28)

Parâmetro

Cada quantidade de interesse (comoθno exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.

Para apresentar uma estimativa de um parâmetro (ˆθ), devemos escolher uma estatística (T).

Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória simples), a estatísticaT é uma variável aleatória, visto que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.

Portanto, a estatísticaT possui uma distribuição de probabilidade, chamada dedistribuição amostralde T.

(29)

Parâmetro

(30)

Parâmetro

(31)

Parâmetro

(32)

Distribuição Amostral

(33)

Exemplo

Imagine um fenômeno de interesse que possa ser representado por uma v.a. X que assume os valores 1 ou 2 com igual probabilidade.

µ=E(X) = 1×P(X = 1) + 2×P(X= 2)

= 1×1

2+ 2×1 2 = 3

2

σ²=V ar(X) =E[(X−µ)²]

= (1−1.5)²×P(X = 1) + (2−1.5)²×P(X = 2)

=1 4

(34)

Exemplo

µ=E(X) = 1×P(X = 1) + 2×P(X= 2)

= 1×1

2+ 2×1 2 = 3

2

σ²=V ar(X) =E[(X−µ)²]

= (1−1.5)²×P(X = 1) + (2−1.5)²×P(X = 2)

=1 4

(35)

Exemplo

µ=E(X) = 1×P(X = 1) + 2×P(X= 2)

= 1×1

2+ 2×1 2 = 3

2

σ²=V ar(X) =E[(X−µ)²]

= (1−1.5)²×P(X = 1) + (2−1.5)²×P(X = 2)

=1 4

(36)

Exemplo

Imagine que uma população de interesse tenha distribuição como a de X definida anteriormente.

Imagine também que, embora saibamos que os valores possíveis sejam 1 e 2, não tenhamos conhecimento sobre suas respectivas probabilidades. Isto é, se temosN elementos nessa população, podemos pensar que a característica de interesse de cada elementoisegue uma v.a. X_i em queP(Xi= 1) =P(Xi= 2) = 1/2, mas nós não sabemos disso. Imagine que o interesse sejaµ.

(37)

Exemplo

Imagine também que, embora saibamos que os valores possíveis sejam 1 e 2, não tenhamos conhecimento sobre suas respectivas probabilidades.

Isto é, se temosN elementos nessa população, podemos pensar que a característica de interesse de cada elementoisegue uma v.a. X_i em queP(Xi= 1) =P(Xi= 2) = 1/2, mas nós não sabemos disso. Imagine que o interesse sejaµ.

(38)

Exemplo

Isto é, se temosN elementos nessa população, podemos pensar que a característica de interesse de cada elementoisegue uma v.a. X_i em queP(Xi= 1) =P(Xi= 2) = 1/2, mas nós não sabemos disso.

Imagine que o interesse sejaµ.

(39)

Exemplo

Isto é, se temosN elementos nessa população, podemos pensar que a característica de interesse de cada elementoisegue uma v.a. X_i em queP(Xi= 1) =P(Xi= 2) = 1/2, mas nós não sabemos disso.

Imagine que o interesse sejaµ.

(40)

Exemplo

Vamos coletar uma amostra aleatória simples com reposição (AASc) de tamanhon= 2 e calcular a média amostral.

Usaremos esta média amostral para estimarµ.

Quão útil é esta estimativa que se baseia em apenas 2 elementos da população?

Quão precisa?

(41)

Exemplo

Quão precisa?

(42)

Exemplo

Quão precisa?

(43)

Exemplo

Quão precisa?

(44)

Exemplo

Imagine que o alunoA coleta umaAASc comn= 2 a partir da população, obtém os dados e calcula ¯x.

O alunoB coleta umaAAS_c comn= 2 a partir da população, obtém os dados e calcula ¯x.

As duas médias amostrais serão necessariamente iguais?

A média amostral é uma v.a. e, portanto, tem uma distribuição de probabilidade.

(45)

Exemplo

(46)

Exemplo

(47)

Exemplo

(48)

Exemplo

Todas as combinações possíveis de valores para o primeiro e para o segundo elemento amostrados segundo o planoAAS_c comn= 2 são:

Possibilidades (X₁= 1, X₂= 1) (X₁= 1, X₂= 2)

¯

x 1 1.5

P(X1=i, X2=j) 0.25 0.25 Possibilidades (X1= 2, X2= 1) (X1= 2, X2= 2)

¯

x 1.5 2

P(X =i, X =j) 0.25 0.25

(49)

E( ¯X) = 1×1

4 + 1.5×1

2 + 2×1 4 =3

2

V ar( ¯X) =E

( ¯X−E( ¯X))²

= (1−1.5)²×1

4+ (1.5−1.5)²1

2+ (2−1.5)²1 4 =1

8 Repare que:

E( ¯X) =µ=E(X) e

V ar( ¯X) =^σ_n² = ^{V ar(X)}_n .

(50)

E( ¯X) = 1×1

4 + 1.5×1

2 + 2×1 4 =3

2

V ar( ¯X) =E

( ¯X−E( ¯X))²

= (1−1.5)²×1

4+ (1.5−1.5)²1

2+ (2−1.5)²1 4 =1

8

Repare que:

E( ¯X) =µ=E(X) e

V ar( ¯X) =^σ_n² = ^{V ar(X)}_n .

(51)

E( ¯X) = 1×1

4 + 1.5×1

2 + 2×1 4 =3

2

V ar( ¯X) =E

( ¯X−E( ¯X))²

= (1−1.5)²×1

4+ (1.5−1.5)²1

2+ (2−1.5)²1 4 =1

8 Repare que:

E( ¯X) =µ=E(X) e

V ar( ¯X) =^σ_n² = ^{V ar(X)}_n .

(52)

Exemplo

Distribuição de probabilidade deX (esquerda) e de ¯X (direita):

(53)

Distribuição Amostral

Resultado:

SejaX uma v.a. com médiaµe variânciaσ².

SejaX₁, ..., X_n uma amostra aleatória simples deX. X¯n= ^X¹^+...+X_n ⁿ.

E X¯_n

=µ. V ar X¯n

=^σ_n².

Ou seja, emboraµseja desconhecido, sabemos que o valor esperado da média amostral éµ. Além disso, conforme o tamanho amostral aumenta, a imprecisão da média amostral para estimarµfica cada vez menor, poisV ar( ¯X) =σ²/n.

(54)

Distribuição Amostral

Resultado:

SejaX uma v.a. com médiaµe variânciaσ². SejaX₁, ..., X_n uma amostra aleatória simples deX.

X¯n= ^X¹^+...+X_n ⁿ. E X¯_n

=µ. V ar X¯n

=^σ_n².

(55)

Distribuição Amostral

Resultado:

SejaX uma v.a. com médiaµe variânciaσ². SejaX₁, ..., X_n uma amostra aleatória simples deX. X¯n= ^X¹^+...+X_n ⁿ.

E X¯_n

=µ. V ar X¯n

=^σ_n².

(56)

Distribuição Amostral

Resultado:

E X¯_n

=µ.

V ar X¯n

=^σ_n².

(57)

Distribuição Amostral

Resultado:

E X¯_n

=µ.

V ar X¯n

= ^σ_n².

(58)

Distribuição Amostral

Resultado:

E X¯_n

=µ.

V ar X¯n

= ^σ_n².

Ou seja, emboraµseja desconhecido, sabemos que o valor esperado da média amostral éµ. Além disso, conforme o tamanho amostral

(59)

Exemplo

Exemplo: X1, X2, X3 ensaios de Bernoulli(p) independentes.

µ=E(Xi) = 0.3 ⇒ E X¯3

= 0.3.

σ²=V ar(Xi) =p(1−p) = 0.3(0.7) = 0.21 ⇒ V ar X¯3

= ^0.21₃ = 0.07

(60)

Exemplo

µ=E(Xi) = 0.3 ⇒ E X¯₃

= 0.3.

σ²=V ar(Xi) =p(1−p) = 0.3(0.7) = 0.21 ⇒ V ar X¯3

= ^0.21₃ = 0.07

(61)

Exemplo

µ=E(Xi) = 0.3 ⇒ E X¯₃

= 0.3.

σ²=V ar(Xi) =p(1−p) = 0.3(0.7) = 0.21 ⇒ V ar X¯3

= ^0.21₃ = 0.07

(62)

Teorema do Limite Central

(63)

Teorema do Limite Central

Usando o resultado enunciado anteriormente, temos a esperança e a variância da média amostral ¯X: E( ¯X) =µeV ar( ¯X) = ^σ_n².

No entanto, para conhecermos a distribuição de probabilidade de ¯X, como foi feito no exemplo anterior, é preciso conhecer todos os valores possíveis deX e suas respectivas probabilidades.

Mas, se conhecermos tudo isso, não precisamos fazer amostragem nem inferência: saberemos tudo o que desejarmos daquela população! O exemplo anterior foi um caso hipotético apenas para demonstrar como a média amostral ¯X se comporta quando realizamos a amostragem.

Na prática, não teremos informações suficientes para de fato descrevermos a distribuição exata de ¯X.

(64)

Teorema do Limite Central

Mas, se conhecermos tudo isso, não precisamos fazer amostragem nem inferência: saberemos tudo o que desejarmos daquela população! O exemplo anterior foi um caso hipotético apenas para demonstrar como a média amostral ¯X se comporta quando realizamos a amostragem.

(65)

Teorema do Limite Central

Mas, se conhecermos tudo isso, não precisamos fazer amostragem nem inferência: saberemos tudo o que desejarmos daquela população!

O exemplo anterior foi um caso hipotético apenas para demonstrar como a média amostral ¯X se comporta quando realizamos a amostragem.

(66)

Teorema do Limite Central

(67)

Teorema do Limite Central

(68)

Teorema Central do Limite (TLC)

Resultado

Para uma amostra aleatória simplesX1, ..., Xn coletada de uma população com médiaµe variânciaσ², a distribuição amostral de ¯X_n aproxima-se de umadistribuição Normalde médiaµe variância ^σ_n², quandonfor suficientemente grande.

Definimos também:

Z =

X¯n−µ σ/√

n ∼N(0,1)

(69)

Teorema Central do Limite (TLC)

Resultado

Para uma amostra aleatória simplesX1, ..., Xn coletada de uma população com médiaµe variânciaσ², a distribuição amostral de ¯X_n aproxima-se de umadistribuição Normalde médiaµe variância ^σ_n², quandonfor suficientemente grande.

Definimos também:

Z =

X¯n−µ σ/√

n ∼N(0,1)

(70)

Teorema do Limite Central

(71)

Exemplo

SejaX1, ..., Xn uma amostra aleatória de tamanhontal que X∼Exp(2):

fX_i(x) = 2e^−2x, parax≥0 EntãoE(Xi) =¹₂ eV ar(Xi) =¹₄.

Suponha queXi modela o tempo de vida de um transistor em horas.

Os tempos de vida de 100 transistores são coletados. Desejamos estudar a variável aleatória ¯X100 (média amostral de uma amostra de tamanho 100). Sabemos:

E X¯100

= 1

2 e V ar X¯100

=1/4 100 = 1

400. Pelo TLC, temos que: ¯Xn∼N

1 2, 1

400

(72)

Exemplo

FX¯₁₀₀(x) =P X¯100≤x

=P

X¯100−(1/2) (1/2)/√

100 ≤ x−(1/2) (1/2)/√

100

=P(Z≤10(2x−1)) e

P X¯100≥x

= 1−P X¯100< x

= 1−P

X¯₁₀₀−(1/2) (1/2)/√

100 ≤ x−(1/2) (1/2)/√

100

(73)

Exemplo

X= resultado obtido no lançamento de um dado honesto.

x 1 2 3 4 5 6

p(x) =P(X =x) ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆

E(X) =¹₆×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ²¹₆ = 3.5

V ar(X) = ¹₆[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)−¹₆×(21)²] = ³⁵₂ = 17.5 X_i: resultado doi-ésimo lançamento de um dado honesto. Xi tem distribuição uniforme discreta∀i.

µ=E(X_i) = 3.5 e σ²=V ar(X_i) = 17.5,∀i.

(74)

Exemplo

x 1 2 3 4 5 6

p(x) =P(X =x) ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ E(X) =¹₆×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ²¹₆ = 3.5

V ar(X) = ¹₆[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)−¹₆×(21)²] = ³⁵₂ = 17.5

X_i: resultado doi-ésimo lançamento de um dado honesto. Xi tem distribuição uniforme discreta∀i.

µ=E(X_i) = 3.5 e σ²=V ar(X_i) = 17.5,∀i.

(75)

Exemplo

x 1 2 3 4 5 6

p(x) =P(X =x) ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ E(X) =¹₆×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ²¹₆ = 3.5

V ar(X) = ¹₆[(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)−¹₆×(21)²] = ³⁵₂ = 17.5 X_i: resultado doi-ésimo lançamento de um dado honesto.

Xi tem distribuição uniforme discreta∀i.

µ=E(X_i) = 3.5 e σ²=V ar(X_i) = 17.5,∀i.

(76)

Exemplo

x 1 2 3 4 5 6

p(x) =P(X =x) ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ E(X) =¹₆×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ²¹₆ = 3.5

µ=E(X_i) = 3.5 e σ²=V ar(X_i) = 17.5,∀i.

(77)

Exemplo

x 1 2 3 4 5 6

p(x) =P(X =x) ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ ¹₆ E(X) =¹₆×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = ²¹₆ = 3.5

µ=E(X_i) = 3.5 e σ²=V ar(X_i) = 17.5,∀i.

(78)

Exemplo

Se temos uma amostra aleatória simples de tamanhon:

X1, X2, . . . , Xn, pelo TLC sabemos que a distribuição amostral de ¯Xn

é aproximadamente Normal 3.5,^17.5_n .

O primeiro histograma a seguir mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar o resultado do lançamento de 1 dado. Repare que é muito próximo de uma distribuição uniforme discreta (chance 1/6 para cada resultado).

O segundo histograma mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 2 dados (equivalente a observar a média de 2 lançamentos de um dado).

(79)

Exemplo

(80)

Exemplo

O segundo histograma mostra o resultado de 10000 repetições do

(81)

Exemplo

(82)

Exemplo

1 2 3 4 5 6 Média de 1 dado

0 500 1000 1500

1 2 3 4 5 6 Média de 2 dados

0 500 1000 1500

1 2 3 4 5 6

Média de 3 dados

0 500 1000 1500

1000 1500

(83)

Exemplo

O último histograma mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 100 dados (equivalente a observar a média de 100 lançamentos de um dado).

Repare que conforme o número de dados (tamanho amostral) aumenta, a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal com média 3.5 e variância cada vez menor (17.5/n).

(84)

Exemplo

O último histograma mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 100 dados (equivalente a observar a média de 100 lançamentos de um dado).

Repare que conforme o número de dados (tamanho amostral) aumenta, a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal com média 3.5 e variância cada vez menor (17.5/n).

(85)

Teorema do Limite Central (TLC)

Você pode verificar o comportamento de ¯X para vários tipos de distribuição deX:

https://nishantsbi.shinyapps.io/CLT_Shiny

https://gallery.shinyapps.io/CLT_mean/

(86)

Aproximação da Distribuição Binomial pela

Normal

(87)

Aproximação da Binomial pela Normal

Consideremos uma população em que a proporção de indivíduos portadores de uma certa característica sejap.

Xi =

( 1, se o indivíduo i possui a característica 0, caso contrário

⇒Xi∼Bernoulli(p);i= 1,2, ..., n. Se as observações são independentes:

Sn =X1+...+Xn∼Bin(n, p).

Após a coleta de uma amostra aleatória simples denindivíduos, podemos considerar:

ˆ

p= ^S_nⁿ (média amostral como estimador da média populacional).

(88)

Aproximação da Binomial pela Normal

Xi =

⇒Xi∼Bernoulli(p);i= 1,2, ..., n.

Se as observações são independentes:

Sn =X1+...+Xn∼Bin(n, p).

ˆ

(89)

Aproximação da Binomial pela Normal

Xi =

Sn =X1+...+Xn∼Bin(n, p).

ˆ

(90)

Aproximação da Binomial pela Normal

Xi =

Sn =X1+...+Xn∼Bin(n, p).

ˆ

(91)

Aproximação da Binomial pela Normal

Xi =

Sn =X1+...+Xn∼Bin(n, p).

ˆ

(92)

Aproximação da Binomial pela Normal

Utilizando a distribuição exata (n pequeno):

P

ˆ p= k

n

=P Sn

n =k n

=P(Sn=k) = n k

!

p^k(1−p)^n−k, parak= 0,1, ..., n.

Utilizando a aproximação para a Normal (n grande): ˆ

p∼N

p,p(1−p) n

(93)

Aproximação da Binomial pela Normal

Utilizando a distribuição exata (n pequeno):

P

ˆ p= k

n

=P Sn

n =k n

=P(Sn=k) = n k

!

p^k(1−p)^n−k, parak= 0,1, ..., n.

Utilizando a aproximação para a Normal (n grande):

pˆ∼N

p,p(1−p) n

(94)

Exemplo

Sepfor a proporção de fumantes no estado de SP,p= 0.2 e tivermos coletado uma amostra aleatória simples de 500 indivíduos:

X_i=

( 1, se o indivíduo i é fumante 0, caso contrário

ˆ p=

P500 i=1X_i 500 . ˆ

p∼N 0.2,^0.2×0.8₅₀₀

=N(0.2,0.00032)

P(ˆp≤0.25) =P(Z ≤2.795) = Φ (2.795) = 0.9974

(95)

Exemplo

X_i=

ˆ p=

P500 i=1X_i 500 .

ˆ

p∼N 0.2,^0.2×0.8₅₀₀

=N(0.2,0.00032)

P(ˆp≤0.25) =P(Z ≤2.795) = Φ (2.795) = 0.9974

(96)

Exemplo

X_i=

ˆ p=

P500 i=1X_i 500 . ˆ

p∼N 0.2,^0.2×0.8₅₀₀

=N(0.2,0.00032)

P(ˆp≤0.25) =P(Z ≤2.795) = Φ (2.795) = 0.9974

(97)

Exemplo

X_i=

ˆ p=

P500 i=1X_i 500 . ˆ

p∼N 0.2,^0.2×0.8₅₀₀

=N(0.2,0.00032)

P(ˆp≤0.25) =P(Z ≤2.795) = Φ (2.795) = 0.9974

(98)

Aproximação da Binomial pela Normal

ˆ

p= ^S_nⁿ ⇒Sn =np.ˆ

Quandoné grande o suficiente ˆp∼N

p,^p(1−p)_n . Qual a distribuição deSn quando n é grande o suficiente? S_n=X₁+...+X_n

ˆ

p= ^S_nⁿ ∼N

p,^p(1−p)_n

S_n=nˆp∼N(np, np(1−p))

Portanto: Bin(n, p)≈N(np, np(1−p)) quando né grande.

(99)

Aproximação da Binomial pela Normal

ˆ

p,^p(1−p)_n .

Qual a distribuição deSn quando n é grande o suficiente? S_n=X₁+...+X_n

ˆ

p= ^S_nⁿ ∼N

p,^p(1−p)_n

(100)

Aproximação da Binomial pela Normal

ˆ

p,^p(1−p)_n . Qual a distribuição deSn quando n é grande o suficiente?

S_n=X₁+...+X_n ˆ

p= ^S_nⁿ ∼N

p,^p(1−p)_n

(101)

Aproximação da Binomial pela Normal

ˆ

p,^p(1−p)_n . Qual a distribuição deSn quando n é grande o suficiente?

S_n=X₁+...+X_n

ˆ

p= ^S_nⁿ ∼N

p,^p(1−p)_n