ECONOMETRIA. Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

ECONOMETRIA

Cap. 9 – Modelos de Regressão com

Variáveis Binárias

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição. Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Variáveis Binárias

• = variáveis dummy – assumem valores 0 ou 1

• = variáveis indicadoras, de categoria, qualitativas ou

binárias

• São essencialmente variáveis nominais

• Um artifício para classificar dados em categorias mutuamente exclusivas como masculino e feminino • Modelos com regressores de natureza exclusivamente

binária são chamados modelos de análise de variância (ANOVA)

Cautela no uso de variáveis binárias

• Colinearidade perfeita

• No exemplo com 3 regiões se criarmos uma terceira

dummy D1 teremos ao somar as três dummies uma

coluna com 51 uns, igual aos 1’s implícitos em α 𝑌₁ = 𝛼. 1 + 𝛽₁𝐷₁₁ + 𝛽₂𝐷₂₁ + 𝛽₃𝐷₃₁ + 𝑢₁

𝑌₂ = 𝛼. 1 + 𝛽₁𝐷₁₂ + 𝛽₂𝐷₂₂ + 𝛽₃𝐷₃₂ + 𝑢₂ 𝑌₃ = 𝛼. 1 + 𝛽₁𝐷₁₃ + 𝛽₂𝐷₂₃ + 𝛽₃𝐷₃₃ + 𝑢₃

⋮

Cautela no uso de variáveis binárias

Colinearidade perfeita => essa matriz não tem inversa

Regra: se a variável qualitativa tem m categorias teremos que usar (m-1) variáveis dummies!!

Cautela no uso de variáveis binárias

• Categoria de base, de referência, de controle, de comparação ou omitida => não se designa variável binária

• 𝛽₁ é o valor médio dessa categoria

• Outros 𝛽_𝑠 são coeficientes diferenciais de intercepto • Se não usarmos a regra das classificações menos 1,

então temos que rodar o modelo sem intercepto • Daí os valores médios serão obtidos diretamente

Modelos ANOVA com duas variáveis

qualitativas

• Qual a categoria de referência nesse caso? • Qual o salário médio dos

casados?

• Qual o salário médio dos que residem no Sul?

• Esses salários são

estatisticamente diferentes daqueles da categoria

Regressões com variáveis quantitativas e qualitativas: os modelos ANCOVA

• Um método de controlar estatisticamente os efeitos de regressores quantitativos, chamados de covariáveis ou

variáveis de controle, em um modelo que inclui tanto

regressores quantitativos quanto qualitativos ou binários.

• Será que o gasto público com educação afeta o salário dos professores?

𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + 𝛽₂𝐷_2𝑖 + 𝛽₃𝐷_3𝑖 + 𝛽₄𝑋_4𝑖 + 𝑢_𝑖

Y_i = salário médio anual dos professores em US$

D_2i = 1 se NE ou CO; 0 c.c.

D_3i = 1 se Sul e 0 c.c.

X_i = gastos com ensino público em US$/aluno

A variável binária como alternativa ao teste de Chow

• No teste de Chow não é possível dizer se a diferença se devia ao intercepto, aos coeficientes angulares ou a

ambos.

• Há quatro situações possíveis:

1. Regressões coincidentes = interceptos e inclinações são iguais

2. Regressões paralelas = interceptos diferentes e inclinações iguais

3. Regressões concorrentes = interceptos iguais e inclinações diferentes

4. Regressões dessemelhantes = interceptos e inclinações são diferentes

A variável binária como alternativa ao teste de Chow

• Exemplo poupança e renda americana de 1970 a 1995 𝑌_𝑡 = 𝛼₁ + 𝛼₂𝐷_𝑡 + 𝛽₁𝑋_𝑡 + 𝛽₂ 𝐷_𝑡𝑋_𝑡 + 𝑢_𝑡

Y = poupança X = renda t = anos

D = 1 para o período 1982 a 1995

0, nos demais casos (1970 – 1981)

Função de poupança média, 1970 – 1981:

𝐸 𝑌_𝑡 𝐷_𝑡 = 0, 𝑋_𝑡 = 𝛼₁ + 𝛽₁𝑋_𝑡

Função de poupança média, 1982 – 1995:

𝐸 𝑌_𝑡 𝐷_𝑡 = 1, 𝑋_𝑡 = (𝛼₁ + 𝛼₂) + (𝛽₁ + 𝛽₂)𝑋_𝑡

Se significativo indica

que a inclinação é diferente Se significativo indica

A variável binária como alternativa ao teste de Chow

• Variável binária

ADITIVA => para avaliar interceptos

MULTIPLICATIVA => para avaliar inclinações

• Para saber se as retas são coincidentes é preciso testar simultaneamente 𝛼₂ = 𝛽₂ = 0

Efeitos de interação com o uso de

variáveis binárias

𝑌_𝑖 = 𝛼₁ + 𝛼₂𝐷_2𝑖 + 𝛼₃𝐷_3𝑖 + 𝛽𝑋_𝑖 + 𝑢_𝑖

Y_i = salários-hora em US$

D_2i = 1 se mulheres, 0 se homens

D_3i = 1 se não brancos e não hispânicos, 0 outros

X_i = escolaridade (anos de frequência à escola)

• O efeito diferencial da variável gênero é constante nas duas categorias de raça (a diferença de salário por ser mulher não depende de ser branco e hispânico)

• O efeito diferencial da variável raça é constante nos dois gêneros.

• E se a diferença de salário pelo gênero depender também da raça?

Efeitos de interação com o uso de

variáveis binárias

𝑌_𝑖 = 𝛼₁ + 𝛼₂𝐷_2𝑖 + 𝛼₃𝐷_3𝑖 + 𝛽𝑋_𝑖 + 𝑢_𝑖

• Pode haver uma interação entre as variáveis D₂ e D₃. O efeito sobre Y médio pode não ser aditivo, mas também

multiplicativo.

𝑌_𝑖 = 𝛼₁ + 𝛼₂𝐷_2𝑖 + 𝛼₃𝐷_3𝑖 + 𝛼₄(𝐷_2𝑖𝐷_3𝑖) + 𝛽𝑋_𝑖 + 𝑢_𝑖

Mulher não branca não hispânica: D₂=1 D₃=1

𝐸 𝑌_𝑖 𝐷_2𝑖 = 1, 𝐷_3𝑖 = 1, 𝑋_𝑖 = (𝛼₁ + 𝛼₂ + 𝛼₃ + 𝛼₄) + 𝛽𝑋_𝑖 Homem não branco não hispânico: D₂=0 D₃=1

𝐸 𝑌_𝑖 𝐷_2𝑖 = 0, 𝐷_3𝑖 = 1, 𝑋_𝑖 = (𝛼₁ + 𝛼₃) + 𝛽𝑋_𝑖 Homem branco e hispânico: D₂=0 D₃=0

𝐸 𝑌_𝑖 𝐷_2𝑖 = 0, 𝐷_3𝑖 = 0, 𝑋_𝑖 = 𝛼₁ + 𝛽𝑋_𝑖 Mulher branca e hispânica: D₂=1 D₃=0

𝐸 𝑌_𝑖 𝐷_2𝑖 = 1, 𝐷_3𝑖 = 0, 𝑋_𝑖 = (𝛼₁ + 𝛼₂) + 𝛽𝑋_𝑖

Em todos esses caso a inclinação não se altera. Poderíamos criar variáveis de interação

para ver se a inclinação se altera.

Variáveis binárias em análises sazonais

• Uma solução é usar uma dummy para cada período tendo o cuidado de estimar o modelo sem intercepto. • Usar um período como referência tem a vantagem de

podermos identificar se o intercepto diferencial em algum período não é estatisticamente significante. • Os resíduos dessa regressão serão a séria

dessazonalizada, com os componentes de tendência, cíclico e aleatório.

ST = s + c + t + u

Regressão linear segmentada

• Quando há mudança na inclinação a partir de um determinado valor do regressor.

𝑌_𝑖 = 𝛼₁ + 𝛽₁𝑋_𝑖 + 𝛽₂ 𝑋_𝑖 − 𝑋∗ 𝐷_𝑖 + 𝑢_𝑖

Y_i = comissão sobre vendas

X_i = volume de vendas geradas por um vendedor

X* _{= valor limiar de vendas, nó}

D = 1 se X_i > X* _{e 0 se X}

Regressão linear segmentada

Para X < X* _{=> D = 0}

𝐸(𝑌_𝑖|𝐷_𝑖 = 0, 𝑋_𝑖, 𝑋∗) = 𝛼₁ + 𝛽₁𝑋_𝑖 Para X > X* _{=> D = 1}

Variáveis binárias em regressões

semilogarítmicas

• Nessas regressões o coeficiente nos dá a semi-elasticidade

(variação percentual da variável dependente para uma variação unitária da variável explicativa).

• Só se aplica se o regressor for variável quantitativa. • Para um modelo do tipo

𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + 𝛽₂𝐷_𝑖 + 𝑢_𝑖

Onde Y = salário hora em US$ e D = 1 se mulher

A função salário para homens será:

𝐸(𝑙𝑛𝑌_𝑖|𝐷_𝑖 = 0) = 𝛽₁ A função salário para mulheres será:

𝐸 𝑙𝑛𝑌_𝑖 𝐷_𝑖 = 1 = 𝛽₁ + 𝛽₂

Dá a variação

no logaritmo médio dos salários-hora

Variáveis binárias em regressões

semilogarítmicas

• O antilogaritmo dos coeficientes nos dá o salário mediano e não o médio (antilog x = ex)

• 𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + 𝛽₂𝐷_𝑖

• 𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + ln(𝑒𝛽2𝐷𝑖) => 𝑠𝑒 𝐷 = 0 𝑒𝛽2𝐷𝑖 = 1

𝑠𝑒 𝐷 = 1 𝑒𝛽2𝐷𝑖 = 𝑒𝛽2

• Logo, quando D varia de 0 para 1 o ln Y varia (𝑒𝛽2 −

1)

• A variação no logaritmo é uma variação relativa • Se multiplicarmos por 100 teremos a variação %

Variáveis binárias em regressões

semilogarítmicas

• No modelo do exemplo 9.8

• Para verificar a variação percentual no salário mediano de homens e mulheres fazemos:

𝑒−0,2437 − 1 . 100 = −21,63%

O salário mediano da trabalhadora (D=1) é inferior ao masculino em cerca de 21,63%.

A hipótese da normalidade

Segue a distribuição t com n – 3 graus de liberdade. Por que 3 graus de liberdade?

t => para testar coeficientes parciais da regressão múltipla

χ2_{=> para testar hipóteses sobre o verdadeiro σ}2 _da

Testes de hipóteses relativos aos coeficientes de regressão individuais

• H₀: β₂ = 0 • H₁: β₂ ≠ 0

– Comparar t com tcrítico

– Qual seria o tcrítico para o caso da MI? – Na prática olhamos o p-valor

– E se eu espero um determinado sinal?

• O teste não é mais bilateral... no exemplo da MI poderia supor que o coeficiente de PNBpc seja negativo. Então:

H₀: β₂ ≥ 0 H₁: β₂ < 0

Teste de significância geral da regressão

amostral

• Testa se há uma relação linear entre o Y e as variáveis explicativas em conjunto

H₀: β₂ = β₃ = 0

• É o mesmo que testar β₂ = 0 e β₃ = 0? – Não!

– Usamos a mesma amostra para testar β₂ = 0 e β₃ = 0, portanto não são independentes

– 𝑃 𝛽₂ = 0 𝛽₃ = 0 ≠ 𝑃 𝛽₂ = 0 . 𝑃(𝛽₃ = 0) – 𝑃[ 𝛽₂ ± 𝑡𝛼

2𝑒𝑝 𝛽2 , 𝑃[ 𝛽3 ± 𝑡𝛼 2𝑒𝑝 𝛽3 ] ≠ (1 − 𝛼)(1 − 𝛼)

A abordagem da ANOVA: teste F

Se distribui como a distribuição F, com 2 e n-3 graus de liberdade. Se β₂ = β₃ = 0 for verdadeira SQE e SQR serão muito próximos. O modelo não agrega explicação. Não se rejeitará H₀. Se SQE for

muito maior que SQR rejeita-se H₀.

Significância geral de uma regressão

múltipla

Dado o modelo de regressão com k variáveis:

𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + 𝛽₂𝑋_2𝑖 + 𝛽₃𝑋_3𝑖 + ⋯ + 𝛽_𝑘𝑋_𝑘𝑖 + 𝑢_𝑖 Para testar a hipótese:

H₀: β₂ = β₃ =...= β_k = 0

H₁: nem todos os coeficientes angulares são simultaneamente iguais a zero 𝐹 = 𝑆𝑄𝐸 𝑔𝑙 𝑆𝑄𝑅 𝑔𝑙 = 𝑆𝑄𝐸 (𝑘 − 1) 𝑆𝑄𝑅 (𝑛 − 𝑘) Se F > F_α(k-1,n-k), rejeite H₀.

Significância geral de uma regressão

múltipla

• Testes dos coeficientes individuais não substituem o teste geral da regressão linear múltipla.

• É possível ter regressão significativa como um todo com poucos ou nenhum coeficiente significativo

individualmente.

• E também R₂ baixos em regressões com coeficientes significativos. Essa é uma situação comum em dados em corte transversal.

• O importante é a especificação correta do modelo, sinais corretos e significância estatística.

Relação entre R

e F

Relação entre R

e F

R2 = 0 => F = 0 => regressão não é significante R2 = 1 => F => ∞

Quando acrescentar uma nova variável?

Se as variáveis dependentes dos modelos novo e antigo são as mesmas posso usar:

𝐹 =

𝑅_{𝑛𝑜𝑣𝑜}2 − 𝑅_{𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜}2

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔. 1 − 𝑅_{𝑛𝑜𝑣𝑜}2

Quando acrescentar uma nova variável?

• A prática de escolher modelo com 𝑅_{𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡}2 mais alto não é adequada, pois não há certeza de que o aumento é

significativo.

• 𝑅_{𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡}2 aumenta se | t | da nova variável é maior que 1, sendo | t | calculado sob a hipótese de que o coeficiente é igual a zero.

Quando acrescentar um grupo de

variáveis?

Quando F dado por

𝐹 =

𝑅_{𝑛𝑜𝑣𝑜}2 − 𝑅_{𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜}2

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔. 1 − 𝑅_{𝑛𝑜𝑣𝑜}2

𝑛 − 𝑘 for maior que 1.

Teste da igualdade de dois coeficientes da

regressão

𝑌_𝑖 = 𝛽₁ + 𝛽₂𝑋_2𝑖 + 𝛽₃𝑋_3𝑖 + 𝛽₄𝑋_4𝑖 + 𝑢_𝑖 • X₃ = renda, X₄ = riqueza, Y = demanda do bem

H₀: β₃ = β₄ => (β₃ - β₄) = 0 H₀: β₃ ≠ β₄ => (β₃ - β₄) ≠ 0

𝑡 = 𝛽3 − 𝛽4 − (𝛽3 − 𝛽4) 𝑒𝑝 𝛽₃ − 𝛽₄

𝑒𝑝 𝛽₃ − 𝛽₄ = 𝑣𝑎𝑟 𝛽₃ + 𝑣𝑎𝑟 𝛽₄ − 2𝑐𝑜𝑣( 𝛽₃, 𝛽₄) Onde obter as var e cov?

Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear

Função Cobb-Douglas

𝑌_𝑖 = 𝛽₁𝑋_2𝑖𝛽2_𝑋

3𝑖𝛽3𝑒𝑢𝑖

Onde X₂ = insumo de mão de obra, X₃ = insumo de capital, Y = produção

𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₀ + 𝛽₂𝑙𝑛𝑋_2𝑖 + 𝛽₃𝑙𝑛𝑋_3𝑖 + 𝑢_𝑖 Onde 𝛽₀ = 𝑙𝑛𝛽₁

Se houver retornos constantes de escala = variação equiproporcional da produção para uma variação equiproporcional nos insumos

Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear

A abordagem do teste t:

𝑡 = 𝛽2 + 𝛽3 − (𝛽2 + 𝛽3) 𝑒𝑝 𝛽₂ + 𝛽₃

Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear

A abordagem do teste F: 𝐹 = 𝑆𝑄𝑅_𝑅 − 𝑆𝑄𝑅_𝑆𝑅 𝑚 𝑆𝑄𝑅_𝑆𝑅 𝑛 − 𝑘 𝐹 = 𝑅_𝑆𝑅2 − 𝑅_𝑅2 𝑚 1 − 𝑅_𝑆𝑅2 𝑛 − 𝑘

Mínimos quadrados restritos: teste das restrições de igualdade linear

Como obter o modelo restrito?

𝛽₂ + 𝛽₃ = 1 𝛽₂ − 1 = 𝛽₃ 𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₀ + (1 − 𝛽₃)𝑙𝑛𝑋_2𝑖 + 𝛽₃𝑙𝑛𝑋_3𝑖 + 𝑢_𝑖 𝑙𝑛𝑌_𝑖 = 𝛽₀ + 𝑙𝑛𝑋_2𝑖 − 𝛽₃𝑙𝑛𝑋_2𝑖 + 𝛽₃𝑙𝑛𝑋_3𝑖 + 𝑢_𝑖 𝑙𝑛𝑌_𝑖 − 𝑙𝑛𝑋_2𝑖 = 𝛽₀ + 𝛽₃(𝑙𝑛𝑋_3𝑖 − 𝑙𝑛𝑋_2𝑖) + 𝑢_𝑖 𝑙𝑛 𝑌𝑖 𝑋_2𝑖 = 𝛽0 + 𝛽3𝑙𝑛 𝑋_3𝑖 𝑋_2𝑖 + 𝑢𝑖

Teste da estabilidade estrutural ou dos

parâmetros nos modelos de regressão: Teste de Chow

• Quando empregamos um modelo de regressão que

envolve o uso de séries temporais pode haver mudança dos coeficientes ao longo do tempo.

• Exemplos: (i) exportações no Brasil antes e depois da liberação do câmbio em 1999; (ii) demonstrações

contábeis antes e depois do IFRS

Teste de Chow

• Nada mais é que um teste de modelo restrito x modelo sem restrições

• Aqui o restrito é o que supõe que os coeficientes são iguais ao longo de todo o tempo

• Premissas:

– 𝑢_1𝑡~𝑁 0 , 𝜎2 – 𝑢_2𝑡~𝑁(0 , 𝜎2)

– 𝑢_1𝑡 e 𝑢_2𝑡 têm distribuições independentes Distribuição Normal

Teste de Chow

• Etapas do teste:

1. Estima-se as regressões separadas

2. Estima-se a regressão para o período completo 3. Obtém-se os SQR (soma quad. resíduos)

4. Teste F 𝐹 = 𝑆𝑄𝑅_𝑅 − 𝑆𝑄𝑅_𝑆𝑅 𝑘 𝑆𝑄𝑅_𝑆𝑅 (𝑛₁ + 𝑛₂ − 2𝑘) ~ 𝐹_{𝑘 ,𝑛1+𝑛2−2𝑘}

Teste de Chow

• Advertências:

1. As premissas devem ser respeitadas. É preciso verificar se as variâncias dos erros das regressão são iguais.

2. O teste não diz se a diferença entre as regressões decorre dos interceptos, coeficientes angulares ou de ambos.

3. O teste pressupõe que conhecemos o ponto de quebra estrutural.