Equações diferenciais lineares

(1)

CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA

EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS LINEARES

(2)

Fernando Haddad Maria Paula Dallari Bucci Carlos Eduardo Bielschowsky Claudia Pereira Dutra

Universidade Federal de Santa Maria

Clóvis Silva Lima Felipe Martins Muller João Manoel Espina Rossés André Luis Kieling Ries José Francisco Silva Dias João Rodolfo Amaral Flores Jorge Luiz da Cunha Charles Jacques Prade Helio Leães Hey

João Pillar Pacheco de Campos Fernando Bordin da Rocha

Coordenação de Educação a Distância

Cleuza Maria Maximino Carvalho Alonso Roseclea Duarte Medina

Roberto Cassol

José Orion Martins Ribeiro

Centro de Ciências Naturais e Exatas

Martha Bohrer Adaime João Carlos Denardin

Elaboração do Conteúdo

Pedro Fusieger

Ministro do Estado da Educação Secretária da Educação Superior Secretário da Educação a Distância Secretária de Educação Especial

Reitor Vice-Reitor Chefe de Gabinete do Reitor Pró-Reitor de Administração Pró-Reitor de Assuntos Estudantis Pró-Reitor de Extensão Pró-Reitor de Graduação Pró-Reitor de Planejamento Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa

Pró-Reitor de Recursos Humanos Diretor do CPD

Coordenadora de EaD Vice-Coordenadora de EaD Coordenador de Pólos Gestão Financeira

Diretor do Centro de Ciências Naturais e Exatas Coordenador do Curso de Física

(3)

Carlos Gustavo Matins Hoelzel

Cleuza Maria Maximino Carvalho Alonso Rosiclei Aparecida Cavichioli Laudermann Silvia Helena Lovato do Nascimento Volnei Antônio Matté

Ronaldo Glufke

André Krusser Dalmazzo Edgardo Gustavo Fernández

Marcos Vinícius Bittencourt de Souza Ligia Motta Reis

Diana Cervo Cassol Evandro Bertol

ETIC - Bolsistas e Colaboradores

Elias Bortolotto

Fabrício Viero de Araujo Gilse A. Morgental Falkembach Leila Maria Araújo Santos Andrea Ad Reginatto Maísa Augusta Borin Marta Azzolin Rejane Arce Vargas Samariene Pilon

Silvia Helena Lovato do Nascimento Cauã Ferreira da Silva

Evandro Bertol

Júlia Rodrigues Fabrício Mariana Rotilli dos Santos Natália de Souza Brondani Criscia Raddatz Bolzan Gabriel Barbieri

Leonardo Moreira Fabrin Luiza Kessler Gama Naieni Ferraz

Victor Schmitt Raymundo Adílson Heck

Ândrei Componogara Bruno Augusti Mozzaquatro

Coordenador da Equipe Multidisciplinar

Desenvolvimento da Plataforma Gestão Administrativa Gestão do Design Designer Orientação Pedagógica Revisão de Português Ilustração Diagramação Suporte Técnico

(4)

Variáveis independentes e variáveis dependentes ... 9

Ordem das derivadas ... 9

Objetivo do curso ... 10

O que é uma equação diferencial? ... 10

Algumas equações diferenciais que aparecem na física... 11

Classificar as equações diferenciais ... 12

Linearidade ... 13

Solução de uma equação diferencial ... 15

Tópico 2 – Existência e unicidade de soluções ... 17

Objetivos ... 17

Introdução ... 17

Problema de valor inicial ... 17

Existência e unicidade de soluções para o problema de valor inicial ... 20

O teorema de existência e unicidade ... 20

A importância do teorema ... 21

Tópico 3 – Variáveis separáveis ... 22

Objetivo ... 22

Introdução ... 22

Variáveis separáveis ... 22

Dedução da técnica ... 23

Pré-requisitos da técnica ... 24

Tópico 4 – Equações homogêneas ... 27

Objetivos ... 27

Equações homogêneas ... 27

Método de solução ... 28

Dedução da técnica ... 30

Tópico 5 – Equações exatas ... 33

Objetivos ... 33

Equações exatas ... 33

Tópico 6 – Equações lineares de primeira ordem ... 38

Objetivo ... 38

Equações lineares de primeira ordem ... 38

Exemplos de equações diferenciais lineares: ... 38

Método de solução (chamado de fator integrante) ... 39

Tópico 7 – Equações de Bernoulli ... 44

Objetivos ... 44

Equações de Bernoulli ... 44

Exemplos de Equações de Bernoulli ... 44

Tópico 8 – Equações de Ricatti ... 47

Objetivos ... 47

Equações de Ricatti ... 47

Exemplos de Equações de Ricatti: ... 47

Tópico 9 – Equações de Clairaut ... 51

Objetivos ... 51

Equações de Clairaut ... 51

Exemplos de Equações de Clairaut ... 51

Tópico 10 – Método de Picard ... 53

Objetivo ... 53

Método de Picard ... 53

Objetivo do método ... 53

Ideia da “prova” do método ... 53

Aplicação do método ... 54

(5)

Aplicações de equações não-lineares ... 60

Tópico 12 – Problema de valor inicial para equações diferenciais lineares de segunda ordem ... 61

Objetivos ... 61

Problema de valor inicial para equações lineares de segunda ordem ... 61

Existência e unicidade das soluções para o problema de valor inicial ... 61

Problema de valor inicial para equações lineares de terceira ordem... 62

Problema de valor inicial para equações lineares de ordem superior ... 63

Problema de valor de contorno ... 65

Existência e unicidade falham para o problema de valor de contorno ... 65

Tópico 13 – Dependência e independência linear de funções ... 67

Objetivos ... 67

Aplicações ... 67

Dependência linear ... 67

Independência linear ... 67

Critério para independência linear - Wronskiano ... 68

Tópico 14 – Solução geral para equações diferenciais lineares ... 70

Objetivos ... 70

Aplicações ... 70

Equações lineares homogêneas de segunda ordem ... 70

Princípio da superposição ... 70

Soluções linearmente independentes ... 71

Solução geral de uma equação diferencial linear ... 72

Soluções para equações diferenciais lineares de ordem superior ... 73

Tópico 15 – Solução geral para equações lineares não homogêneas ... 75

Introdução ... 75

Objetivo ... 75

Solução particular ... 75

Solução geral ... 76

Soluções gerais para equações diferenciais lineares não homogêneas de ordem superior ... 78

Tópico 16 – Determinando uma segunda solução ... 79

Introdução ... 79

Objetivo ... 79

Variação de parâmetro ... 79

Fórmula geral ... 81

Tópico 17 – Equações lineares homogêneas com coeficientes constantes ... 84

Introdução ... 84

Objetivos ... 84

Equação característica para equação diferencial de ordem 2 ... 84

A equação característica possui raízes reais distintas ... 86

A equação característica possui raízes reais iguais... 86

A equação característica possui raízes complexas ... 87

Equações lineares com coeficientes constantes de ordem três. ... 89

Equações lineares com coeficientes constantes de ordem quatro ... 89

Equações lineares com coeficientes constantes de ordem superior ... 90

Tópico 18 – Soluções particulares para equações lineares com coeficientes constantes para alguns casos específicos ... 91

Objetivo ... 91

Considerações sobre o método ... 91

Tópico 19 – Soluções particulares para equações lineares com coeficientes constantes da abordagem por anuladores ... 94

Objetivo ... 94

Observações sobre o método ... 94

Anuladores ... 94

Descrição do método passo a passo ... 95

(6)

equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes ... 103

Objetivo ... 103

Corpo em queda livre ... 103

Sistema massa-mola ... 104

Pêndulo simples ... 104

Corda giratória ... 105

Circuitos em série ... 105

Tópico 22 – equação de Cauchy-Euler ... 107

Introdução ... 107

Objetivo ... 107

Equação de Cauchy-Euler ... 107

Equação de Cauchy-Euler de ordem 2, caso homogêneo ... 107

Equação de Cauchy-Euler de ordem 2, caso não homogêneo ... 109

Sobre equações diferencias de cauchy-euler cuja ordem é maior do que 2 ... 111

Tópico 23 – Introdução a séries de potências ... 113

Introdução ... 113 Objetivos ... 113 Séries de potências ... 113 Convergência ... 114 Intervalo de convergência ... 114 Raio de convergência ... 115 Convergência absoluta ... 115

Como calcular o raio de convergência ... 115

Integração termo a termo ... 116

Funções analíticas ... 117

Singularidades ... 117

Tópico 24 – Soluções de equações diferenciais usando série de potências ... 118

Objetivo ... 118

Tópico 25 – Soluções de equações diferenciais usando série de potências. Pontos ordinários e singulares de uma equação diferencial. ... 121

Objetivo ... 121

Ponto ordinário ... 121

Método de solução para pontos ordinários ... 122

Método de solução para pontos não ordinários. ... 122

Método de solução – equação indicial ... 123

Raízes da equação indicial que não diferem por um inteiro positivo ... 124

Raízes que diferem por um inteiro ... 124

Raízes iguais ... 124

Tópico 26 – Equações de Bessel ... 125

Objetivo ... 125

Equação de Bessel ... 125

Método de solução por séries ... 125

Tópico 27 – Equações de Legendre ... 129

Objetivo ... 129

Equações de Legendre... 129

Polinômios de Legendre ... 132

Tópico 28 – Transformada de Laplace ... 133

Introdução ... 133

Objetivo ... 133

Transformada de Laplace ... 133

Transformada inversa de Laplace ... 133

Algumas propriedades da transformada de Laplace ... 134

Crescimento exponencial ... 134

Relação entre a transformada e as equações diferenciais ... 136

(7)

Translação de uma transformada de Laplace –

primeiro teorema de translação ... 139

Forma inversa do primeiro teorema de translação ... 139

Transformada de laplace de funções descontínuas ... 139

Função de grau unitário ... 140

Segundo teorema de translação ... 141

A derivada de transformadas... 142

Tópico 30 – Convolução ... 143

Objetivo ... 143

Convolução ... 143

Algumas propriedades da convolução ... 143

Convolução de funções periódicas... 145

Tópico 31 – Resolver equações usando transformada de Laplace ... 146

Objetivo ... 146

Tópico 32 – Função delta de Dirac (ou distribuição Delta de Dirac) ... 148

Objetivo ... 148

Função pulso unitário ... 148

Delta de Dirac ... 148

(8)

diferenciais

Objetivos do tópico •

Pré-requisitos •

Variáveis independentes e variáveis dependentes •

Ordem das derivadas •

Objetivo do curso •

O que é uma equação diferencial? •

Algumas equações diferenciais que aparecem na física •

Classificar as equações diferenciais •

Quanto ao número de variáveis independentes •

Quanto à ordem da derivada de maior ordem •

Linearidade •

Solução de uma equação diferencial • Bibliografia •

objetivos do tópico

Reconhecer e classificar uma equação diferencial. Verificar possí-veis soluções.

pré-requisitos

No cálculo, aprendemos o que é a derivada de uma função. Apren-demos também a derivar algumas funções. Veja a tabelinha:

3

2

₊

=

x

y

'

=

2 x

+

3 x

y cos

=

y −

'

=

senx

y =

y cos

'=

x

e

y =

_{y =}

_'

_e

x

ln

y

=

x

y 1

'=

n

x

y =

_{y nx}

_'

₌

n−1

tgx

y =

y

_'=

_sec

2

x

arcsenx

y =

₁

2

1 '

x

y

−

=

x

y arccos

=

₂

1

1 '

x

y

−

=

))

(

ln( x

f

y =

'

f

_f

₍

('

_x

x

₎

)

(9)

Aprendemos que se

y =

f

(x

)

então a derivada

'

dy

'( )

y

f x

dx

=

é também uma função de

x

.

Para o nosso curso, vamos partir do princípio que todos já estuda-ram os conceitos de derivada e de integral.

variáveis independentes

e variáveis dependentes

Ao escrevermos

y =

f

(x

)

estamos subentendendo que

y

é uma

função de

x

,

x

é uma variável independente e

y

é uma variável

dependente. Isto é,

y

depende de

x

. As letras

x

e

y

podem ser

tro-cadas para outras letras. Podemos escrever

d =

f

(t

)

e, nesse caso,

t

é uma variável independente e

d

é uma variável dependente.

Uma função a uma única variável é uma função do tipo acima com apenas uma variável independente.

Ao escrevermos

z =

f

( y

x

,

)

, estamos subentendendo que

z

é uma função de

x,

y

. As variáveis

x,

y

são variáveis

independen-tes e

z

é uma variável dependente. Isto é,

f

(x

depende de

)

x

, y

.

Uma função a duas variáveis é uma função do tipo acima com duas variáveis independentes.

Uma função a várias variáveis é uma função com várias variá-veis independentes.

ordem das derivadas

Relembramos também que a derivada de primeira ordem de é

'( )

dy f x

dx

=

Em outras palavras,

dy

dx

é a derivada da variável dependente

y

em relação à variável independente

x

.

Como

f

('x

)

é uma função de

x

, podemos derivar novamente e

obtemos a derivada de segunda ordem de

f

(x

)

ou a derivada

se-gunda de

f

(x

)

. Obtemos 2 2

'( )

_{''( )}

df x

_{d dy d y f x}

dx

=

dx dx dx

=

(10)

vando novamente obtemos a derivada de ordem três ou de terceira ordem e assim sucessivamente.

Para funções de três variáveis

d =

f

(

x

,

y

,

z

)

, temos as derivadas parciais de primeira ordem

x

d

∂

,

y

d

∂

e

z

d

∂

.

As derivadas parciais de primeira ordem são funções de três variá-veis. Podemos derivar novamente e obter as derivadas parciais de segunda ordem 2 2

y

d

∂

,

y

x

d

∂

2 , ₂ 2

y

d

∂

e

x

y

d

∂

2 . e assim sucessivamente.

objetivo do curso

No cálculo, para cada função

y =

f

(x

)

, nosso problema era

en-contrar a derivada

dy f x

'( )

dx

=

.

Neste curso, o nosso problema não é encontrar derivadas. Nosso problema é resolver equações que envolvem derivadas.

exemplo 1: encontre uma função

y =

f

(x

)

tal que

0 '

−

y

=

y

.

y =

f

(t

)

que satisfaça a equação

3

''' (cos ) '

y

−

t y ty

+

=

sent

exemplo 3: qual é a função

y =

f

(x

)

que satisfaz

2

'''' 3 ( ')

2 1

y

−

x y

+

xy

=

x

+

o que é uma equação diferencial?

Uma equação diferencial é uma equação que contém as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

(11)

Alguns exemplos de equações diferenciais: 1.

y

'

−

y

=

0

2.

y

''' (cos ) '

−

t y ty

+

3

=

sent

3.

y

'''' 3 ( ')

−

x y

2

+

xy

=

2 1

x

+

4.

x

y

x

d

y

d

₌

₊

∂

+

∂

2 2 2 2 5.

x

d

x

d

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2 2 6.

y

'

''

−

v

''

=

w

'

''

+

v

'

+

w

'

7.

x

u

y

x

w

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2

Nos exemplos (1), (2), (3) e (6), temos equações diferenciais que envolvem uma única variável independente.

No exemplo 6, temos mais de uma variável dependente

y ,

,

v

w

e uma única variável dependente que não aparece na equação. Nos exemplos (4) e (5), temos uma única variável dependente

d

e duas variáveis independentes

x

e

y

.

No exemplo (7), temos uma equação diferencial com três

variá-veis dependentes

d ,

,

w

u

e duas variáveis independentes

x

e

y

.

Para não haver confusão, vamos usar a linha como em

y

'

se a equação diferencial contiver a derivada de uma ou mais variáveis dependentes mas somente uma única variável independente.

algumas equações diferenciais

que aparecem na física

Corpo em queda livre 2

2

d s

_g

dt

= −

Sistema Massa-Mola 2 2

d x

m

kx

dt

= −

Pêndulo simples 2 2

0 d

_{g sen}

dt

l

q

₊

_q

₌

(12)

Corda Giratória

d

[ ( ) ]

T x

dy

p y

2

0 dx

dx

+

w

=

Circuitos em série 2 2

1 _{( )}

d q

_R

dq

_{q E t}

dt

+

dt C

+

=

Lei de Esfriamento de Newton

dT k T T

(

_m

)

dt

=

−

Cabo Suspenso 2 2 2 1

1 ( )

d y w

dy

dx

=

T

+

dx

classificar as equações diferenciais

Neste curso, vamos aprender algumas técnicas para resolver uma equação diferencial. Cada técnica é aplicável para algum grupo de equações diferenciais. Antes de estudarmos as técnicas, pre-cisamos agrupar ou classificar tais equações. Vamos classificar as equações diferenciais considerando:

o número de variáveis independentes; •

a ordem de derivada de maior ordem contida na equação; •

linearidade. •

Quanto ao número de variáveis independentes

Equações Diferenciais Ordinárias são equações diferenciais que envolvem uma ou mais variáveis dependentes e apenas uma vari-ável independente.

Equações Diferenciais Parciais são equações diferenciais que en-volvem uma ou mais variáveis dependentes e duas ou mais variá-veis independentes.

exemplos:

1.

y

'

−

y

=

0

é uma equação diferencial ordinária.

2.

y

''' (cos ) '

−

t y ty

+

3

=

sent

é uma equação diferencial ordinária. 3.

y

'

''

−

3 x

(

y

)'

2

+

xy

=

2 x

+

1

(13)

4.

x

y

x

d

y

d

₌

₊

∂

+

∂

2

2 é uma equação diferencial parcial.

5.

x

d

x

d

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2 2

é uma equação diferencial parcial.

6.

y

'

''

−

v

''

=

w

'

''

+

v

'

+

w

'

7.

x

u

y

x

w

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2

é uma equação diferencial parcial.

Neste curso, vamos estudar apenas as Equações Diferencias Ordi-nárias.

Quanto à ordem da derivada de maior ordem

A ordem da derivada de maior ordem é a ordem da equação dife-rencial. As equações diferenciais podem ser de primeira ordem, de segunda ordem, de terceira ordem e assim por diante.

exemplos:

1.

y

'

−

y

=

0

equação diferencial de ordem UM ou equação

dife-rencial de primeira ordem.

2.

y

''' (cos ) '

−

t y ty

+

3

=

sent

equação diferencial de terceira ordem. 3.

y

'''' 3 ( ')

−

x y

2

+

xy

=

2 1

x

+

equação diferencial de terceira ordem.

4.

∂

_∂

_y

d

+

∂

_∂

_x

d

2

=

x

+

y

2

2 2

equação diferencial de segunda ordem.

5.

x

d

x

d

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2 2

equação diferencial de segunda ordem

6.

y

'

''

−

v

''

=

w

'

''

+

v

'

+

w

'

equação diferencial de terceira ordem.

7.

_x

u

y

x

w

y

d

∂

=

∂

+

∂

2 2 2

equação diferencial de segunda ordem.

linearidade

A derivada pode ser vista como um operador

Dy y

=

'

. Como a

(14)

2

_{( )}

_'

_''

D y D Dy

=

Dy

=

y

é linear em

y

e assim sucessivamente

) (n

n

_y

D =

. A derivada de ordem

n

de

y

é linear em

y

.

Observe que

(

D

2

+

2 D

+

1 )

y

=

y

''

+

2 y

'

+

y

também é linear em

y

. Note, também, que

Ty

=

( ')

y

2 não é linear em

y

.

O operador 1 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 2 1 0

( )

...

( )

...

( )

n n n n n n n n n n

d y

dy

F y

a x

a

x

a x

a x y

dx

a x D

a

x D

a x D

a x D a x y

− − − − −

=

+

+ +

+





=

_

+

+ +

+

_

é linear em

y

.

As funções

a

_n

(

x

),

a

_n₋₁

(

x

),

,..,

a

₂

(

x

),

a

₁

(

x

),

a

₀

(

x

)

são chamadas de coeficientes das derivadas.

Numa equação diferencial linear

a única potência permitida para a variável dependente • e suas derivadas é 1. os coeficientes da variável dependente e suas derivadas • só podem ser funções das variáveis independentes. exemplos:

1.

y

'

−

y

=

0

é linear pois tanto

y

como

y

'

aparecem sem

potên-cias.

2.

y

''' (cos ) '

−

t y ty

+

3

=

sent

não é linear pois

y

aparece elevado ao cubo.

3.

y

'''' 3 ( ')

−

x y

2

+

xy

=

2 1

x

+

não é linear pois

y

'

aparece eleva-do ao quadraeleva-do.

4.

∂

_∂

_y

d

+

∂

_∂

_x

d

2

=

x

+

y

2

2 2

é linear pois as derivadas parciais apare-cem sem potências.

5.

y

'

y

+

y

'

''

=

0

não é linear pois aparece o produto

y'

y

e neste

caso o coeficiente de

y

é uma função de

y

'

.

6.

x

2

y

'

+

y

=

x

3 é linear pois

y

como

y

'

aparecem sem potências

(15)

Numa equação diferencial linear não pode conter

(y´)², yy´, yy´´,y´y´´,y², y³, (y´´´)².

Não pode conter qualquer produto das variáveis dependentes e suas derivadas. Também não são lineares as equações diferenciais que contêm

),...

'

tan(

),'

(

),'

cos(

),...

tan(

),

(

),

cos(

y

sen

y

sen

y

Uma equação diferencial é linear se pudermos escrevê-la na forma

)

(

)

,...,

''

,'

,

(

y

g

x

F

n

₌

onde

F

é uma função linear em relação às entradas

y

,

y

,'

y

''

,...,

y

n. No caso de equações diferenciais parciais

)

,

(

)

...,

,

(

2₂ 2 2 2₂

g

x

y

z

y

z

x

y

z

y

x

z

x

z

y

z

x

z

F

n_n

=

∂

,

é linear se

F

for uma função linear nas entradas

n n

y

z

y

z

x

y

z

y

x

z

x

z

y

z

x

z

∂

...,

,

2₂ 2 2 2₂

solução de uma equação diferencial

Voltamos aos exemplos:

y =

f

(x

)

tal que

0 '

−

y

=

y

.

y =

f

(t

)

que satisfaça a equação

3

''' (cos ) '

y

−

t y ty

+

=

sent

y =

f

(x

)

que satisfaz

2

'''' 3 ( ')

2 1

y

−

x y

+

xy

=

x

+

ou ainda

y =

f

(x

)

que satisfaz

)

(

)

,...,

''

,'

,

(

y

g

x

F

n

₌

No caso de equações diferencias parciais

(16)

)

,

(

)

...,

,

(

2₂ 2 2 2₂

g

x

y

z

y

z

x

y

z

y

x

z

x

z

y

z

x

z

F

n_n

=

∂

A função procurada é chamada de solução da equação diferencial.

exemplo 1:

y =

e

x é solução da equação diferencial

0 '

−

y

=

y

.

Para ver isso, calculamos

y

'

e substituímos

y =

e

x e

y =

'

e

x na equação e obtemos

0 =

−

x x

_e

e

.

exemplo 2:

y cos

=

x

é solução da equação diferencial

0 ''

+

y

=

y

.

Solução: calculamos

y

=

cos

x

,

y

'

=

−

senx

,

y

''

=

−

cos

x

substituímos na equação

0 ''

+

y

=

y

obtendo

.

0 cos

cos

+

=

−

x

bibliografia

Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equações Diferenciais, volume I. Tradução Antonio Zumpano, São Paulo, Makron Books, 2001.

(17)

tópico 2 – existência e unicidade de

soluções

Objetivos do tópico • Introdução •

Problema de valor inicial •

Existência e unicidade de soluções para o problema de valor inicial •

O teorema de existência e unicidade • A importância do teorema • Bibliografia • Objetivos do tópico •

objetivos

Resolver problemas de valor inicial, conhecendo as soluções da equação. Entender o que são soluções do problema de valor ini-cial. Entender o significado da Existência e da Unicidade.

introdução

Estamos interessados em resolver Equações Diferenciais de pri-meira ordem que podem ser escritas na forma

( , )

dy f x y

dx

=

exemplos: 1.

dy x y

2 2

dx

=

+

2.

dy x

2

1 dx

=

+

3.

dy sen x y

(

2 2

)

dx

=

+

problema de valor inicial

Observe a equação diferencial

3

2 '

=

x

+

y

Sabemos que

3

2

₊

=

x

y

é uma solução desta equação diferencial. Observe que

3

2

₊

=

x

(18)

O mesmo para os demais casos. Observe a tabela:

senx

y −

'

=

y cos

=

x

+c

x

y cos

'=

_{y =}

_senx

_+c

x

e

y =

'

_{y = +c}

_e

x

y 1

'=

y ln

=

x

+c

1

'

n

y nx

₌

− _n

x

y = +c

x

y

_'=

_sec

2

_{y =}

_tgx

_+c

2

1

1 '

x

y

−

=

_{y =}

_arcsenx

_+c

2

1

1 '

x

y

−

=

_{y arccos}

₌

_x

_+c

)

(

)

('

'

x

f

x

f

y =

_{y =}

_{ln( x}

_f

₍

₎₎

_+c

A constante C que aparece na tabela é chamada constante de inte-gração. Se soubermos o valor da função em pelo menos um ponto, saberemos qual é a constante que vamos usar. Observe

' 2

3 (0) 60

y

x

y

=

+

=

Neste caso, para cada C,

y

=

x

2

+

3 x

+

3

+C é solução de

3

2 '

=

x

+

y

. Vemos que 2

(0) 60

(0) 0 3 0 3

60 60 3 57

y

C

=

+ ⋅ + + =

=

− =

e, portanto, 2

₃

_{3 57}

y x

=

+

x

+ +

=

x

2

+

3 x

+

60

é solução do problema

' 2

3 (0) 60

y

x

y

=

+

=

(19)

Problemas como este são chamados de problemas com valor inicial. exemplos:

1. Resolva o problema de valor inicial

2

₁

(0) 3

dy x

dx

y

=

+

=

Solução: 3 2

(

1)

3 x

y

=

_∫

x

+

dx

=

+ +

x C

3

0

3

0 )

0 (

=

3

+

C

=

y

portanto,

3

+

=

x

y

é uma solução procurada.

4

₂

2

₃

(1) 20

dy x x x

dx

y

=

+

=

Solução: 5 3 2 4 2 5 3 2

2

3 (

2 3 )

5

3

2

1 2 1

3 1

1 2 3

6 20 45

71 (1)

5

3

2 5 3 2

30

30 x

x

y

x

x dx

C

y

C

=

+

=

+

⋅

+

=

+

+ = + + + =

+ =

+

∫

donde

20 71 600 71 529

30

30 C

=

−

=

−

=

e uma solução procurada é

5

₂

3

₃

2

₅₂₉

5

3

2

30 x

x

y =

+

cos

( ) 0

dy

_x

dx

y p

=

π

(20)

Solução:

cos

( )

y

xdx senx C

y

p

sen

p

C C

=

+

=

+ =

∫

donde

C

=

0

e

y =

senx

é uma solução procurada.

existência e unicidade de soluções para o

problema de valor inicial

Quando consideramos um problema de valor inicial

0 0

)

(

)

,

(

'

y

x

y

x

f

y

=

nós nos perguntamos: sempre vai existir uma solução? 1. quantas soluções podemos ter? uma única? 2. nos exemplos acima, podemos ter outras soluções além 3. dessas encontradas?

o teorema de existência e unicidade

Se

f

( y

x

,

)

e

_y

f

∂

são contínuas em

(

x

₀

,

y

₀

)

então existe uma

única solução

y

(x

)

definida numa vizinhança de

x

₀ tal que

0 0

)

(

x

y

=

.

Exemplo de um problema de valor inicial com mais de uma solução: Se

f

(

x

,

y

)

=

x

y

, então

y

x

y

f

2 =

∂

não está definida em

)

0 ,

0 (

e muito menos contínua neste ponto. Podemos ver que o

problema de valor inicial

0 )

0 (

'

=

y

x

y

possui as soluções

y

=

0

e 4

16 x

y =

_{. Neste caso, não temos}

unici-dade para o problema de valor inicial.

(21)

Note, ainda, que, se mudarmos o valor inicial no problema acima, por exemplo,

1 )

0 (

'

=

y

x

y

o teorema garante a unicidade da solução 2

1 )

2

4

1 (

+

=

x

y

para este problema.

Em muitos casos, saberemos, via o teorema de existência e unici-dade, a existência e unicidade da solução e conhecemos nenhuma técnica que nos permite exibir a solução.

a importância do teorema

1. No exemplo (1) acima temos

2

₁

(0) 3

dy x

dx

y

=

+

=

donde

f

(

x

,

y

)

=

x

2

+

1

,

=

0 ∂

∂

y

f

. Portanto

f

e

y

f

∂

são contínuas em todos os pontos do plano. O teorema nos diz que a solução encontrada é única.

2. O mesmo acontece no exemplo (2)

4

₂

2

₃

(1) 20

dy x x x

dx

y

=

+

=

Temos

f

(

x

,

y

)

=

x

4

+

2 x

2

+

3 x

que também não depende de

y

e donde

=

0 ∂

∂

y

f

. Portanto

f

e

y

f

∂

são contínuas em todos os pontos do plano. O teorema nos diz que a solução encontrada tam-bém é única.

3. No exemplo (3),

f

(

x

,

y

)

=

cos

x

, como nos exemplos

anterio-res, podemos concluir que a solução encontrada é única.

bibliografia

(22)

Objetivo • Introdução • Variáveis separáveis • Dedução da técnica • Pré-requisitos da técnica • Exemplos • Bibliografia •

objetivo

Resolver equações diferenciais de primeira ordem pelo método chamado de variáveis separáveis.

introdução

Neste tópico começaremos a apresentar as técnicas de resolução de equações diferenciais.

variáveis separáveis

Começaremos com a técnica mais simples chamada variáveis se-paráveis. Esta técnica se aplica a grupo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que podem ser reescritas na forma

( )

dy

( )

g y

h x

dx

=

ou na forma diferencial

g y dy h x dx

( )

=

( )

Este tipo de equações é chamado de equação separável ou tem variáveis separáveis.

As equações diferenciais mais simples de variáveis separáveis são as do tipo

( )

dy h x

dx

=

onde

g

( =

y

)

1

.

Neste caso as soluções, para este tipo de equação, são, simples-mente,

( )

y

=

∫

h x dx

.

Quando integramos, não podemos esquecer a constante de inte-gração. Relembramos que resolver um problema de valor inicial é determinar um valor para esta constante.

(23)

Veja outros exemplos de equações separáveis na tabela abaixo.

dy xy

dx

=

1 dy x

_{y dx}

=

1 dy xdx

_y

=

dy y

dx

=

1 _{y dx}

dy

=

1 1 dy dx

_y

=

2

(

1)cos

dy

_x

_y

dx

=

+

_cos

1 _{y dx}

dy x

=

2

+

1 _cos

1 _y

dy

=

(

x

2

+

1)

dx

2 3 3x 5y

dy x e

dx y

+

=

2 2 3 5 x y

y dy xe

dx

e

=

2 2 3 5 x y

y dy xe dx

e

=

2 2 2 2

1 dy

_x

_y

_{x y}

dx

= +

+

2 2

1 ₁

1 dy

_x

y dx

= +

+

2 2

1 ₍₁

₎

1 +

y

dy

= +

x dx

dedução da técnica

Note que, se

y =

f

(x

)

_então

dy f x

_dx

=

'( )

A equação diferencial

( )

dy

( )

g y

h x

dx

=

pode ser reescrita na forma

g

(

f

(

x

))

f

('

x

)

=

h

(

x

)

A equação

g

(

f

(

x

))

f

('

x

)

=

h

(

x

)

é uma igualdade que só depen-de depen-de

x

. Podemos integrar em relação a

x

ambos os lados da igualdade

∫

g f x f x dx

( ( )) '( )

=

∫

h x dx

( )

Fazendo

y =

f

(x

)

obtemos

dy f x dx

=

'( )

. Substituindo na

inte-gral, obtemos

( )

g y dy

=

h x dx

∫

Portanto, podemos integrar em relação a

y

o lado da igualdade

que depende de

y

e integramos em relação a

x

o lado da

igualda-de que igualda-depenigualda-de igualda-de

x

.

)

(24)

1 dy xdx

y

=

∫

1 dy dx

y

=

∫

2

1 ₍

₁₎

cos

y

dy

=

x

+

dx

∫

2 2 3 5 x y

y dy xe dx

e

=

∫

2 2

1 ₍₁

₎

1 +

y

dy

=

+

x dx

∫

pré-requisitos da técnica

Como podem ver, resolver equações com o método variáveis sepa-ráveis consiste em resolver integrais. Uma boa revisão nas técni-cas de integração pode facilitar a resolução de equações com este método. Uma tabela de integrais também pode ser utilizada para a resolução dos exercícios.

Exemplos:

exemplo1: resolva

dy xy

dx

=

.

Solução: como vimos, na tabela acima, é uma equação separável, pois pode ser reescrita na forma

1 dy xdx

y

=

portanto,

1 dy xdx

y

=

∫

.

Logo, resolvendo as integrais de ambos os lados, obtemos

2

1 ln | |

2

(25)

Usando uma propriedade dos logaritmos, (

log

_a

b

=

c

⇔

a

c

=

b

), e sabendo que

ln | | log | |

y

=

_e

y

obtemos,

2 2 2 1 2 1

|

_y

₌

_e

x +C

₌

_e

C

_e

x _.

Usando a propriedade do módulo (

|

y =

|

y

se

y

≥

0

e

|

y −

|

=

y

se

0 ≤

y

) Temos 2 2 1 x C

_e

e

y =

ou 2 2 1 x C

_e

e

y −

=

.

Mas, como

C

é uma constante

e

C também é constante. Podemos

juntar as duas soluções numa só, pondo,

C

₁

=

±

e

C. Obtemos

as-sim a solução geral

2 2 1 1 x

e

C

y =

.

exemplo 2: resolva

(1

+

x dy ydx

)

=

.

Solução: é uma equação separável, pois pode ser reescrita na forma

1

1 dy

dx

y

=

+

x

Portanto,

1

1 dy

dx

y

=

+

x

∫

.

Logo, resolvendo as integrais de ambos os lados, obtemos

ln | | ln |1

y

=

+

x C

|

+

o que pode ser escrito na forma

ln | | ln |1

y

−

+ =

x C

|

usando uma propriedade dos logaritmos, (

ln

a

ln

b

ln a

b

−

=

),

ln |

|

1 y

_C

x

=

+

. Portanto, C

e

x

y =

+

|

1 |

.

Usando a propriedade do módulo (

|

y =

|

y

se

y

≥

0

e

|

y −

|

=

y

se

0 ≤

y

), temos

e

C

x

y =

+

1

ou C

e

x

y

₌

₋

+

1

.

(26)

Mas, como

C

é uma constante

e

C também é constante. Podemos

juntar as duas soluções numa só, pondo,

C

₁

=

±

e

C. Obtemos

as-sim a solução geral

)

1 (

1

x

C

y

=

+

.

bibliografia

(27)

tópico 4 – equações homogêneas

Objetivos

•

Equações homogêneas •

Exemplos de equações diferenciais homogêneas de primeira ordem • Método de solução • Dedução da técnica • Exemplos • Bibliografia •

objetivos

Identificar e resolver equações diferenciais homogêneas.

equações homogêneas

Dada uma equação diferencial de primeira ordem reescrita na forma

( , )

0 M x y dx N x y dy

+

=

Dizemos que esta equação é homogênea se para algum

n

,

( , )

n

( , )

M tx ty

=

t M x y

e

N tx ty

( , )

=

t N x y

n

( , )

.

Observe também que

(

,

)

(

,1

)

x

y

M

x

y

x

M

₌

n _e

)

,1

(

)

,

(

x

y

N

x

y

x

N

₌

n _.

Exemplos de equações diferenciais homogêneas de primeira ordem: 1.

(

x

2

+

y dx x

2

)

+

(

2

−

2 )

xy dy

=

0

. É uma equação diferencial ho-mogênea, pois 2 2

)

,

(

x

y

x

y

M

=

+

2

( , )

2 N x y

=

x

−

xy

, portanto, 2 2 2 2 2 2

( , ) ( ) ( )

(

)

( , )

M tx ty

=

tx

+

ty

=

t x

+

y

=

t M x y

e

N tx ty

( , ) ( ) 2( )( )

=

tx

2

−

tx ty

=

t x

2

(

2

−

2 )

xy

=

t N x y

2

( , )

. Logo, para

n

=

2

, 2 2

( , )

M tx ty

t M x y

N tx ty

t N x y

=

(28)

2.

2 xydx xdy

−

=

0

3.

2 x ydx x

3

+

(

4

+

y dy

4

)

=

0

4.

(

)

0

y x

y xe dx xdy

+

=

Algumas equações diferencias homogêneas não estão escritas na forma

( , )

0 M x y dx N x y dy

+

=

. Temos que as reescrever. Veja a tabela.

dy y x

dx y x

−

=

+

(

y x dx

−

)

+

(

y x dy

+

)

=

0 dy y x

dx x y

= +

(

y

2

+

x dx

2

)

+

( )

yx dy

=

0

3

3 dy x

y

dx

x y

+

=

+

(

y

+

3 )

x dx

+

(3

y x dy

+

)

=

0 método de solução

A técnica consiste em transformar a equação diferencial homogê-nea numa equação variável separável.

exemplo 1: transforme

2 2 2

(

x

+

y dx x

)

+

(

−

2 )

xy dy

=

0

numa equação separável. Solução: começamos colocando

y ux

=

.

Pela regra do produto para derivada, obtemos

dy udx xdu

=

+

. Substituindo

y ux

=

, obtemos

[ ]

2 2 2

(

x

+

( ) )

ux dx x

+

(

−

2 ( ))

x ux dy

=

0

Resolvendo

(

x u x dx x

2

+

2 2

)

+

(

2

−

2 x u dy

2

))

[ ]

=

0

(29)

isolando

x

2, obtemos

x

2

_



(1

+

u dx

2

)

+ −

(1 2 ))

u dy

[ ]



_

=

0

. Cancelando

x

2, obtemos

(1

+

u dx

2

)

+ −

(1 2 ))

u dy

[ ]

=

0

.

Substituindo

dy udx xdu

=

+

[

]

2

(1

+

u dx

)

+ −

(1 2 ))

u udx xdu

+

=

0

, obtemos 2

(1

u

) (1 2 )

u u dx x

(1 2 ) ) 0

u du



+

+ −



+

−

=





2 2

(1

u

) (

u

2 )

u

dx x

(1 2 ) ) 0

u du



+

+ −



+

−

=





2

(1

u u

)

dx x

(1 2 ) ) 0

u du



+ −



+

−

=





e finalmente obtemos a equação diferencial separável 2

1 1 2

1 u

dx

du

x

u u

−

= −

+ −

. exemplo 2: resolva:

(

y

2

+

x dx

2

)

+

( )

yx dy

=

0

. Solução: Trata-se de uma equação homogênea, pois

2 2

( , )

M x y

=

x

+

y

( , )

N x y

=

xy

Portanto, 2 2 2 2 2 2

( , ) ( ) ( )

(

)

( , )

M tx ty

=

tx

+

ty

=

t x

+

y

=

t M x y

e

N tx ty

( , ) ( )( )

=

tx ty

=

t xy

2

( )

=

t N x y

2

( , )

Logo, para

n

=

2

, 2 2

( , )

M tx ty

t M x y

N tx ty

t N x y

=

Vamos transformá-la em variável separável. Começamos

colocan-do

y ux

=

dy udx xdu

=

+

.

(30)

2 2 2 2

(( )

)

(

)(

) 0

(

1)

(

)

0 (2

1)

)

0

1

2

1 ux

x dx ux udx xdu

x u

dx u udx xdu

u

dx xdu

dx

du

x

u

+

=



+



=







+



=





= −

+

logo,

1

₂

1

2

1 dx

du

x

= −

u

+

∫

. Portanto, 2 2

1

2 ln | |

( 2 )

2

1 ( 2 ) 1

2 x

du

arctg

u C

u

= −

+

∫

donde

(

)

(

)

2 ln | |

( 2 )

2 tan( 2 ln | |

2 x C

arctg

u

x C

−

=

−

Portanto,

(

)

(

)

2 tan 2 ln | |

2 y

=

x

−

x C

−

.

dedução da técnica

( , )

0 M x y dx N x y dy

+

=

(1, )

0 (1, )

(1, )

0

n

y

n

y

x M

dx x N

dy

x

y

M

dx N

dy

x

+

=

+

=

Fazendo

x

y

u =

temos

y ux

=

dy udx xdu

=

+

. Substituindo na equação

M

(1, )

y

dx N

(1, )

y

dy

0 x

+

x

=

, obtemos

(

)

(1, )

0 M u dx N u udx xdu

+

=

.

(31)

Fazendo umas continhas

(

)

(

)

(1, )

0 (1, )

(1, )

0 (1, )

₀

(1, )

M u dx N u udx xN u du

M u N u u dx xN u du

dx

N u

_du

x

M u uN u

+

=

+

=

+

=

+

Esta última é uma equação de variável separável.

A fórmula nos permite rapidamente encontrar a equação na forma de variável separável. Veja os exemplos:

Exemplos: 1.

(

x

2

+

y dx x

2

)

+

(

2

−

2 )

xy dy

=

0

. 2 2 2

1 )

,1

(

)

,

(

u

M

y

x

y

x

M

+

=

+

=

2

( , )

2 (1, ) 1 2

N x y

x

xy

N u

u

=

−

= −

Portanto,

(

)

(

2

)

(1, )

₀

(1, )

1 2

₀

1 (1 2 )

dx

N u

_du

x

M u uN u

dx

u

_du

x

u

+

=

+

−

+

=

+

−

2.

2 xydx xdy

−

=

0 ( , ) 2

(1, ) 2

M x y

xy

M u

u

=

1 )

,1

(

)

,

(

−

=

−

=

u

N

x

y

x

N

(

)

(

)

(1, )

₀

(1, )

1 ₀

2 dx

N u

_du

x

M u uN u

dx

_du

x

_{u u}

+

=

+

−

+

=

−

(32)

3.

2 x ydx x

3

+

(

4

+

y dy

4

)

=

0

3

( , ) 2

(1, ) 2

M x y

x y

M u

u

=

4 4 4

( , )

(1, ) 1

N x y

x

y

N u

u

=

+

= +

(

)

(

)

4 4

(1, )

₀

(1, )

1 ₀

2 (1

)

dx

N u

_du

x

M u uN u

dx

u

_du

x

u u

u

+

=

+

=

+

4.

(

)

0

y x

y xe dx xdy

+

=

( , )

(1, )

y x u

M x y

y xe

M u

u e

= +

( , )

(1, ) 1

N x y

x

N u

=

(

)

(

)

(1, )

₀

(1, )

1 ₀

u

dx

N u

_du

x

M u uN u

dx

_du

x

u e u

+

=

+

=

+ +

É importante, para cada exercício, seguir os passos de como a fór-mula foi obtida. Decorar a fórfór-mula não é o que se deve fazer.

bibliografia